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Matemáticas 3.º ESO

Unidad 1 Conjuntos Numéricos

1. ¿Cuántos minutos tiene un cuarto de hora? ¿Y un doceavo de hora? ¿Y cinco doceavos de hora?

2. Después de la fiesta de cumpleaños de Andrés han quedado 3

8 de tarta sin comer. ¿En

cuántos trozos se dividió la tarta? ¿Cuántos trozos se han comido? Andrés quería llevar a su abuela un cuarto de tarta con lo que sobrase. ¿Puede hacerlo?

3. Salta en este laberinto desde una fracción irreducible a la siguiente para responder a la

pregunta: ¿qué le ocurre a una fracción irreducible?

4. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

a) 3 1 5 1

:5 2 6 3 b)

3 1 5 1:

5 2 6 3

c) 3 1 5 1

:5 2 6 3

d)

3 1 5 1:

5 2 6 3

5. Al mediodía me he comido la mitad de una tortilla de patatas. A la hora de la merienda, Ana

ha tomado un tercio de la tortilla original, y para cenar, Luis se ha tomado tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Qué porción de la tortilla queda al final del día? Representa con dibujos cada paso del problema.

6. Mi hermano pequeño ha terminado su colección de cromos de la liga, y le han sobrado 200

cromos. Los ha repartido entre sus tres amigos de la siguiente forma:

A Diego le ha dado 2

5 de los cromos que le han sobrado

A Sergio, 5

12 de lo que queda

A Patricia, el resto

¿Qué amigo recibe más cromos? ¿Qué amigo recibe menos?


7. Seguro que sabes escribir un número irracional; al fin y al cabo, solo se trata de poner una coma y luego un número indefinido de cifras a lo loco, y que nunca aparezca un periodo. ¿Serías capaz de escribir un número irracional utilizando solo dos cifras? ¿Y solo una cifra?

8. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. En caso de que sean racionales halla su fracción generatriz.

b) 12,323232… c) 0,1010010001… e) -3,33333… g) 6,54321

c) 3,12345678… d) -4,24344444…. f) 66,001 h) -23,232323232…

9. Realiza estas operaciones, pasando primero las expresiones decimales a fracción y, a continuación, operando con fracciones.

d) 6,41 5,2 b) 1,51 0,63 c) 7,520 :1,035

10. ¿Sabes jugar al dominó? Construye un cuadrado de 4 por 4 fichas utilizando las fichas que aparecen a continuación:

11. Completa el crucigrama redondeando las cantidades a la cifra que se indica en cada caso.

Horizontales:

1. De Madrid a Barcelona hay 621 km (redondea a la decena)

2. La valla mide 89,7 m de largo (redondea a la unidad)

3. En la hucha tengo 147,30 € (redondea a la unidad)

Verticales:

1. Dos botellas de aceite cuestan 5,80 € (redondea a la unidad)

¡Estoy más solo que la …!

2. El kilo de jamón pata negra cuesta 29,42 € (redondea a la décima)

3. Famoso agente secreto

12. ¿Qué aparato tiene mayor precisión?

A. Una balanza que indica 2,1 kg cuando pesa un cuerpo de 2 kg.

B. Un velocímetro que indica 39 km/h cuando vamos a 40 km/hora.


13. Vamos a realizar operaciones con fracciones de forma gráfica sobre la recta real

a) Representa estas fracciones en la recta real: 5

6,

4

3 y

7

4

b) Con la ayuda de un compás realiza gráficamente la suma 5 4 7

6 3 4

. Para eso sigue estos

pasos:

Empieza situando en la recta real 5

6 desde el 0 y llama a ese punto A.

Abre el compás una apertura de 4

3 (mídela del apartado anterior) y avanza

4

3 desde A.

Ten en cuenta que el avance tiene que ser hacia la izquierda, por ser un número negativo. Llama B al punto en el que caes.

Abre ahora el compás una apertura de 7

4 (mídela en el primer apartado), y avanza

7

4 desde

el punto B. Llama C al punto en el que caes.

c) Realiza la suma 5 4 7

6 3 4

numéricamente y comprueba que el resultado coincide con el

punto C en la recta real.

14. Usando la representación basada en triángulos semejantes que se explica en el libro, representa las siguientes raíces sobre la recta real:

e) 3 b) 5

15. Representa en la recta real los conjuntos de números que se deducen de los siguientes enunciados:

f) Leire, Enrique y Víctor son tres hermanos. Leire tiene 12 años y Víctor 7. ¿Cuál puede ser la edad de Enrique, que es el mediano?

g) La edad mínima para votar en España es 18 años. ¿Qué edades tienen los votantes?

h) En este parque infantil no permiten la entrada a mayores de 10 años. ¿Quiénes pueden entrar?

i) En la contabilidad de una empresa las deudas se anotan como cantidades negativas. ¿Qué valores pueden tener?

16. Para representar en la recta real números irracionales que no sean raíces podemos acotarlos en intervalos, según la precisión que deseemos. Por ejemplo, para representar

3,14159265... :

Grado de aproximación

Valor mínimo Valor máximo Intervalo

a la unidad 3 4 (3, 4)

a la décima 3,1 3,2 (3,1; 3,2)

a la centésima 3,14 3,15 (3,14; 3,15)

a la milésima 3,141 3,142 (3,141; 3,142)

Haz tu lo mismo con los siguientes números:

a) 0,191199111999… b) 2,54637281… c) -6,525225222…


Unidad 2 Potencias y raíces

1. Calcula.

a) 30 b)

01

5

c) (–1024)0 d)

04

3

e) (–1)–6 f) (–1)–25

2. Expresa como una potencia de exponente positivo los siguientes números.

a) 3–5 d) 1

1

9 g) (–7)–3 j)

41

5

m)

4

1

5

p)

32

3

b)

51

2

e) (–5)–2 h)

51

7

k) 2

1

6 n)

3

1

5

q)

42

5

c) 4–1 f)

21

7

i) (–5)–4 l) 6

1

5 o)

32

3

r)

42

5

3. Expresa como una única potencia el resultado de las siguientes operaciones.

a) 5 7 2 6

5 3 4

3 3 3 3

3 3 3 3

b)

10 1 7

3 2

4 4 4

4 4 4

c)

2 5 4

1 2

( 5) ( 5) ( 5)

( 5) ( 5)

d)

2 3

5

( 2) (2)

2 ( 2)

e)

2 3

4

( ) ( )

( )

x x

x x

4. Reduce a una sola potencia.

a) 4 43 5 b) 3

3

2

8

c)

2

2

( 4)

5

d)

5

5

( 1)

( 3)

5. Expresa como una potencia de exponente positivo.

a) 432 b)

315

c)

323

4

d) 42

10

e)

511

10

6. Descompón en forma de potencia o producto de potencias de exponentes positivos cuyas bases sean

números primos.

a) 15–3 b)

21

10

c) 8–2 d) (–24)–5 e) 100–3

7. Simplifica las siguientes expresiones. Da el resultado en forma de potencia o producto de potencias de

exponente positivo.

a) 3 3

6

2 3

6

b)

3 5

9

8 5

10

c)

1 2

2 3 2

10 14

7 2 5

d)

4 4 2

2 1

100 2 5 3

6 15

e)

31 2

5 4

6 3

1 2

8. Contesta, de forma razonada, a las siguientes preguntas sabiendo que x es un número entero.

a) ¿ 4( )x es siempre positivo?

b) ¿ 5( )x es siempre negativo?

c) ¿ ( 1) 1x ?

d) ¿3x 1 siempre?

e) ¿1

1

x es negativo?


17. Completa los pasos para expresar las siguientes magnitudes en notación científica.

a) 5 942 000 000 000 000 000 000 000 = 5,942 10

b) 0,000 012 = 1,2 10

c) 13 835 000 000 = ...,........ 10

d) 0,000 000 000 066 7 = 10

18. Expresa las siguientes magnitudes en notación científica.

a) 69 900 d) 0,000 000 000 025

b) 602 200 000 000 000 000 000 000 e) 0,000 000 0302 5

c) 778 500 000 f) 0,000 002 001

19. Completa los pasos para transformar las siguientes magnitudes expresadas en notación científica en notación decimal.

a) 153,25 10 3,25 10000000000000000 .......................................

b) 71,99 10 1,99 ............................. .......................................

c) 5 9,339,33 10 ...............................

100000

d) 12 5,65,6 10 .......................................

.............................

20. Expresa las siguientes magnitudes expresadas en notación científica en notación decimal.

a) 57,28 10 d) 75,13 10

b) 138,012 10 e) 113,021 10

c) 107,14 10 f) 44,0025 10

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.


1. Ordena mentalmente los siguientes números de menor a mayor.

a) 2 5

5 33 4

b) 7 1

2 0,13 4

2. Utiliza la calculadora para calcular 2 3 y comprueba que el resultado no coincide con 5 .

3. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales.

a) 72 c) 1215 e) 4 7 1332a b c

b) 192 d) 3 432 f) 3 8 15 49a b c

4. Simplifica estas sumas y restas con radicales.

a) 8 2 98

b) 147 27 12

c) 32 6 24 200

d) 3 3 316 2000 250

5. Realiza estas operaciones con radicales del mismo índice, extrayendo factores cuando sea posible.

a) 2 12

b) 3 318 45

c) 4 424 : 2

d) 3 32 26 4a b a

6. Reduce estos radicales a índice común y simplifica.

a) 32 4

b) 64 3 6

c) 8

4

54

3

d) 3 42 3 2ab a b

7. Simplifica las siguientes expresiones.

a)

600 2 24

3 12

b) 18 50 3 27

4

8. Decide si las siguientes igualdades son ciertas o falsas.

a) a b a b c) 24 2a b a b

b) 1n

n

n

aa b

b

d) 4 2 22 4ab a b


Unidad 3 Polinomios

1. Llamamos x a la edad de Juan. Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados.

a) La edad de Juan dentro de 10 años

b) El doble de la edad de Juan hace 5 años

c) La tercera parte de la edad de Juan dentro de 2 años

d) La tercera parte de la mitad de la edad de Juan

2. Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados.

j) Tengo un número indeterminado de billetes de 5 € y de 10 €. Expresa algebraicamente que tengo 225 € juntando todos los billetes.

k) En un garaje hay coches y motocicletas. Expresa algebraicamente el número de ruedas que tienen los vehículos del garaje en total.

l) En un teatro hay butacas de patio que cuestan 20 € y butacas de entresuelo que cuestan 10 €. Expresa el dinero recaudado para una representación en función de las localidades vendidas de cada tipo.

m) Tres números pares consecutivos.

3. Inventa un enunciado para las siguientes expresiones algebraicas.

n) 2 2x c) 6 5x e) 3

a b c

o) 3

3

x d)

2

1

5

x f) 1 2x x x

4. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores de x que se indican.

x 1 x 3 1

2x x 0

2 2x

2 5x

2 5 8x

22 7

5 7

x

x

3 2 6x x

x

2

3x


5. Identifica el coeficiente, parte literal y grado de los siguientes monomios

p) 2x c) 23x y e) 5x g) 312

3xy

q) 2x d) 3 f) 35

4

x h)

4

7

xy

6. Calcula.

r) 2 5x x c) 3 3 33 4 10x x x e) 5 5 54 6x x x g) 1 5

23 3

xx

s) 2 27x x d)

3 35

4 4

x x f)

2 2 23 7

2 2 4

x x x h)

4 18

7 7

xy xy

7. Opera.

t) 2 5x c) 33 4 10x x x e) 4 5 54 6x x x g) 1 3

23 2

xx

u) 2 37x x d) 23

2 2

x xx f)

3 25 8

4 5

x x h)

2414

7

xyx y

8. Dados los monomios 26A x x , 35

4

xB x

y

5

xC x calcula el valor de las siguientes

expresiones.

v) A x B x C x c) A x C x B x

w) B x C x d) 2 2

A x C x B x

9. Responde justificando tus respuestas.

a) ¿Puedo sumar los monomios 3x2 y 3x?

b) ¿El grado del resultado de sumar varios monomios semejantes es el mismo que el grado de cada uno de los monomios?

c) ¿Cuál es el coeficiente de x2 en el monomio 22

5

x?

d) Un número, ¿es un monomio? Si lo es, ¿de qué grado?


10. Identifica el coeficiente principal, el término independiente y el grado de los siguientes polinomios.

e) 2 3x c) 2 43 5 8x x e) 5 22 3x x x g) 4

3 65 3 7 74

3 2 2 2

xx x x

f) 2 5x x d) 7 f) 3 25 8 1

4

x x x h)

4 3

7

x

11. Dados los polinomios 3 2( ) 2 5 3 1P x x x x , 3 2( ) 5 6 3Q x x x y 2( ) 3 2R x x x , calcula:

g) P x Q x c) P x R x e) 3P x Q x g) 5 2P x Q x

h) P x Q x d) Q x R x f) 2 5P x R x h) 1 1

2 2P x R x

12. Sea 4 2( ) 6 3 9 3P x x x x . Calcula:

i) x P x b) 2x P x c) 1

3x P x d)

32

3

xP x

13. Dados los polinomios: 2( ) 3 1P x x x , ( ) 2 3Q x x y ( ) 3 2R x x , calcula:

j) P x Q x c) Q x R x e) 2

Q x

k) P x R x d) 2

P x P x P x f) 2

R x

14. Dados los polinomios: ( ) 1P x x , 2( ) 1Q x x , ( ) 3R x x y ( ) 2 3S x x , calcula:

l) P x Q x c) Q x R x e) 2

P x P x P x g) 2

R x

m) P x R x d) Q x S x f) 2

Q x h) 2

S x

15. Extrae factor común en las siguientes expresiones.

n) 6 4 22 5x x x c) 5 4 33 6 9x x x e) 2 2 2 23 18 9xy x y x y g) 4 4 3 3 24x y x y x y

o) 4 3 22 5x x x x d) 6 210 5 5x x f) 3 2 2 2 35 7 3x y xy x y h) 6 3 4 2 22 8x y x y x y

16. Contesta de forma razonada a las siguientes preguntas.

p) ¿Qué podemos decir del grado del polinomio suma de otros dos?

q) ¿El grado de la suma de dos polinomios es el mayor de los grados de los polinomios?

r) ¿Cuál es el grado del producto de tres polinomios?

s) ¿Se puede extraer factor común de un polinomio que tiene término independiente?


17. Desarrolla, usando las identidades notables, las siguientes potencias.

t) 2

5x c) 22 2x e)

235 x g) 2

4 a

u) 2

3x d) 25 4x f)

222 x h) 258 y

18. Efectúa las siguientes operaciones.

v) 2

2 1x c) 233 1x e)

224 3y x

w) 2

5 3x d) 224 3x f)

223 3a b

19. Desarrolla:

x)

23

12

x c)

2

3 23

3x y e)

243ab a

y)

2259

3

x d)

2

456

2xy x f)

226 5a ab

20. Desarrolla las siguientes expresiones.

z) 5 5x x c) 3 33 2 3 2x y x y e)

3 31 1

2 2

x x

aa) 5 3 5 3x x d) 2 24 3 4 3x x f)

4 45 56 6

2 2xy x xy x

21. Escribe las siguientes expresiones como productos o cuadrados.

bb) 4 22 1x x c) 4 2 29 24 16x x y y e) 4425

9x

cc) 225

99

x d) 2 26 9y xy x f) 2 44 1x y

22. Escribe el término que falta para que la expresión sea una identidad notable.

dd) 4 24 ___x x c) 2 2 ___y xy e) 8 54025 ___

3x x g) 8 24 ___ 81a b

ee) 236 ___ 25x d) 4 481 ___ 25x y f) 24 1___

9 9x h) 2 310 ___a ab

23. Identifica las identidades notables que hay entre las siguientes expresiones.

ff) 4 210 25x x c) 2 24 4x xy y e) 225 25 25x x g) 649 16x

gg) 236 25x d) 22 25 9y x f) 49 1x h) 4 29 12 16x x


Unidad 4 División y factorización de polinomios

24. Realiza las siguientes divisiones de monomios.

a) 32 :x x c) 4 35 : 2x x e) 5 3: 2x x g) 6 614 : 7x x

b) 5 2:x x d) 2 27 :x x f) 35 : 4x x h) 7 74 : 4x x

25. Dados los polinomios 5 4 32 6 3P x x x x , 3 25 10Q x x x y 2 33 6R x x x calcula:

a) 3:P x x c) 3: 3P x x e) : 5Q x x g) 2:R x x

b) 2: 2P x x d) 2x : 5xQ f) 2: 3R x x h) : 6xR x

26. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 3 2 22 5 1 : 1x x x x c) 3 2 23 : 1x x x x x

b) 4 3 2 32 2 2 2 :x x x x x x d) 7 6 5 4 3 2 22 2 2 : 2x x x x x x x x x

27. Utiliza la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Identifica el cociente y el resto.

a) 5 4 3 24 5 3 2 3 : 3x x x x x x d) 4 16 : 1x x

b) 3 1 : 1x x e) 32 2 4 : 3x x x

c) 32 3 2 : 2x x x f) 2 4 4 : 2x x x

5. Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones exactas. Expresa el dividiendo como divisor por cociente.

a) 3 3 2 : 2x x x e) 6 55 5 : 5x x x x

b) 4 3 23 2 7 3 : 3x x x x x f) 2 36 : 6x x

c) 4 34 4 : 4x x x x g) 2 6 9 : 3x x x

d) 3 24 6 5 : 5x x x x h) 2 20 100 : 10x x x

6. Calcula el valor de k para que las siguientes divisiones sean exactas

a) 3 3 : 1x x k x c) 3 22 2 6 : 3x x kx x

b) 3 22 5 : 1x x x k x d) 3 22 4 : 2x x kx x

7. Contesta justificando tus respuestas.

a) ¿Qué podemos decir del grado del cociente de dividir dos polinomios?

b) ¿Qué podemos decir del grado del resto de dividir dos polinomios?

c) Si el resto de una división entre polinomios es cero, ¿qué relación hay entre ellos?

d) ¿Qué relación hay entre el grado del dividendo y el grado del cociente en una división por Ruffini?


1. Realiza las siguientes divisiones de monomios.

a) 32 :x x c) 4 35 : 2x x e) 5 3: 2x x g) 6 614 : 7x x

b) 5 2:x x d) 2 27 :x x f) 35 : 4x x h) 7 74 : 4x x

2. Dados los polinomios 5 4 32 6 3P x x x x , 3 25 10Q x x x y 2 33 6R x x x calcula:

a) 3:P x x c) 3: 3P x x e) : 5Q x x g) 2:R x x

b) 2: 2P x x d) 2x : 5xQ f) 2: 3R x x h) : 6xR x

3. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 3 2 22 5 1 : 1x x x x c) 3 2 23 : 1x x x x x

b) 4 3 2 32 2 2 2 :x x x x x x d) 7 6 5 4 3 2 22 2 2 : 2x x x x x x x x x

4. Utiliza la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Identifica el cociente y el resto.

a) 5 4 3 24 5 3 2 3 : 3x x x x x x d) 4 16 : 1x x

b) 3 1 : 1x x e) 32 2 4 : 3x x x

c) 32 3 2 : 2x x x f) 2 4 4 : 2x x x

5. Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones exactas. Expresa el dividiendo como divisor por cociente.

a) 3 3 2 : 2x x x e) 6 55 5 : 5x x x x

b) 4 3 23 2 7 3 : 3x x x x x f) 2 36 : 6x x

c) 4 34 4 : 4x x x x g) 2 6 9 : 3x x x

d) 3 24 6 5 : 5x x x x h) 2 20 100 : 10x x x

6. Calcula el valor de k para que las siguientes divisiones sean exactas

a) 3 3 : 1x x k x c) 3 22 2 6 : 3x x kx x

b) 3 22 5 : 1x x x k x d) 3 22 4 : 2x x kx x


a) ¿Qué podemos decir del grado del cociente de dividir dos polinomios?

b) ¿Qué podemos decir del grado del resto de dividir dos polinomios?

c) Si el resto de una división entre polinomios es cero, ¿qué relación hay entre ellos?

d) ¿Qué relación hay entre el grado del dividendo y el grado del cociente en una división por Ruffini?


5. Halla el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas, cuando sea posible, para x = 1 y

x = −2.

a) 1

3

x

x

b)

2 1

1

x

x

c)

3

2

x

x

d)

2 2

x

x x

6. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) 2

2 2

x x

x x

d)

2

2

3 2

1

x x

x

b) 3 2

2

3

3

x x

x x

e)

2

5

10 25

x

x x

c) 4 3 2

2

6 9

2 6

x x x

x x

f)

2

1x

x x

7. Efectúa las siguientes sumas y restas con fracciones algebraicas. Expresa el resultado de la manera más simplificada posible.

a) 2 3 5 3 4

3 2 3 2 3 2

x x x

x x x

e)

1

5

x

x x

b) 6 2 5 5 4

3 3 3

x x x

x x x

f)

2

5

1 1

x

x x

c) 1 2

1 1

x x

x x

g)

12

2x

x

d) 1 2

1 2

x x

x x

h) 1

5

xx

x

8. Efectúa las siguientes multiplicaciones con fracciones algebraicas. Expresa el resultado de la manera más simplificada posible.

a) 21 1

1

x

x x

e)

3 9 2 2

1 3

x x

x x

b) 2

2

4 2

1 2

x x

x x x

f)

2 4 2

2 2

x x

x x

c) 5 2 2

1 5

x x

x x

g)

3

4 2

4 1 16

x x

x x x

d) 3

2

5 2 4

2 4

x x

x x x

h)

2

2

9

3 3

x x

x x x


9. Efectúa las siguientes divisiones con fracciones algebraicas. Expresa el resultado de la manera más simplificada posible.

a) 2

1 1:

1 1x x e)

2 2 2:

1

x

x x

b) 2 24 2

:3 2

x x x

x x

f) 2 2

4 :2

xx

x

c) 5 5

:1 2 2

x x

x x

g)

4 2 8:

2 3

x x

x x

d) 24 4

:5 2 4

x x x

x x

h)

2

3:

9 3

x x

x x


a) ¿Se puede simplificar x2 en la siguiente fracción 2

2

4x

x

?

b) Al calcular el valor numérico de una fracción algebraica para x = 6 obtenemos 0

0. ¿Qué podemos deducir?

c) En la siguiente resta de fracciones algebraicas 22 1

5 5

x x

x x

, ¿cómo afecta el signo menos a la segunda

fracción?

d) ¿Se puede sumar un polinomio y una fracción algebraica?


Unidad 5 Ecuaciones y sistemas

1.- Indica si x = 2 es solución de las siguientes ecuaciones.

hh) 2 5( 2) 4 4x x x c)

4

42 3

x xx

ii) 2 3 2 0x x d) 3 24 5 2x x x

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

jj) 2( 1) 5 3 1x x x e) 3( 1) 5(2 5) 4x x x

kk) 3 5( 2) 7( 3) 5x x x f)

2

105 2

x x

ll) 5 1 3

2 ( 2)2 2 2

xx x

g) 2( 1) 4 20x x x x

mm)

1

3 43

xx x h) 2 2 23( 1) 4(2 ) 5x x x x

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 incompletas.

nn) 2 22 4 2( )x x x x c) 2 3 2 ( 1)x x x x

oo) 2 21 2 24x x d) 2 1 2( 1)( 2) 3x x x

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 completas.

pp) (2 1)( 5) 0x x c)

2( 1) 5

4 3

x x x

qq) ( 1) 2

2 4

x x x d) 25( 3)(4 20) 0x x

5.- Encuentra el valor o valores de k para que las siguientes ecuaciones tengan una única solución real.

a) 218 12 0x x k b) 2 2 5 0kx x c) 22 2 0x kx d) 2 5 0x kx

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que 2.

a) 3 2 0x x x b) 4 24 0x x c) 3 25 6x x x d) 3 22 5 6 0x x x

7.- Contesta, de forma razonada, las siguientes preguntas.

a) Si una ecuación de grado dos es incompleta con c = 0, ¿cuál es una de sus soluciones?

b) P(x) es un polinomio de grado 2, P(x) = 0 tiene una única solución 2

3x . ¿Qué se puede decir de P(x)?

c) Un polinomio P(x) tiene grado 3 y tiene como raíces x = 1, x = –2 y x = 5 ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación P(x) = 0?

d) ¿Cuál es el número máximo de soluciones reales de una ecuación bicuadrada? ¿Y el mínimo?


1.- Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 966.

2.- Halla dos números impares consecutivos cuyo producto sea 51075.

3.- Halla dos números múltiplos de 3 consecutivos cuyo producto sea 1188.

4.- Halla la edad de Juan sabiendo que el doble de la edad que tenía hace 5 años es 30.

5.- Halla la edad de María sabiendo que la mitad de la edad que tendrá dentro de 20 años es 15.

6.- El espacio recorrido por un coche a velocidad constante durante 2 horas es 100 km. Halla la velocidad a la que circula.

7.-La madre de Daniel tiene 30 años más que él y entre los dos suman 42 años. Calcula la edad de Daniel.

8.- Un marco mide 10 cm más de alto que de ancho. Halla sus dimensiones si sabemos que su área es de 264 cm2.

9.- En un triángulo rectángulo, un cateto mide 12 m y la hipotenusa mide 4 m más que el otro cateto. Calcula el otro cateto y la hipotenusa.

10.- En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es el triple que uno de los otros dos. ¿Cúanto miden los ángulos del triángulo?

11.- Cuatro amigos se han comido una tarta que han repartido de la siguiente forma: Daniel se ha comido la mitad que María, Pedro, la tercera parte que Daniel y Silvia se ha comido tanta tarta como Daniel y Pedro juntos. ¿Qué parte de la tarta se ha comido cada uno?

12.- Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Sabemos que uno de los lados que forma el ángulo recto es la mitad que el otro y que el lado opuesto al ángulo recto mide 500 m. Indica las dimensiones de la finca y la cantidad de cerca que se necesita.


1.- Comprueba si la pareja de números 2x e 3y es solución de los siguientes sistemas.

a)

2 1

2 8

x y

x y b)

2 1

5

x y

x y c)

34

2 3

21

5

x y

x y d)

04 6

21

3 9

x y

x y

2.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

b)

2 1

2 4

x y

x y c)

2 2 12

3 4 18

x y

x y e)

2( 1) 3 11

5 2( 4) 2

x y

x y g)

2 3 2

36

2

x y

x y

b)

2 7

4 1

x y

x y d)

2 3 3

5 2 9

x y

x y f)

42 3

24 2

x y

x y

h)

2( 1) 43

5 33( 1)

14 7

x y

x y

3.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación.

c)

2 1

3 2

x y

x y c)

2 2 12

4 6

x y

x y e)

5 44

3 52

xy

xy

b)

2 5

4 1

x y

x y d)

2 3 5

5 2 18

x y

x y f)

22 4

42

x y

yx

4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.

d)

1

5

x y

x y c)

2 2 12

3 4 6

x y

x y e)

2 5 4

3 12

x y

xy

b)

2 5

2 3 1

x y

x y d)

2 3 9

5 5 15

x y

x y f)

12 4

02

x y

yx

5.-Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según el número de soluciones.

e)

2 3 11

5 5

x y

x y b)

2 4

2 4 2

x y

x y c)

2 12 4

3 18 6

x y

x y d)

2 1

52

x y

yx

6.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico, clasifícalos según el número de soluciones e identifica la posición relativa de las rectas correspondientes.

a)

2

3 2

x y

x y b)

2 3 6

2 3

x y

x y c)

2 3 4

4 6 12

x y

x y d)

2 1

4 2 2

x y

x y


1.-Clara ha comprado en una tienda 5 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 25 €. Enrique ha comprado en la misma tienda 3 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 18 €. ¿Qué precio tienen los bocadillos de jamón y los refrescos?

2.- Las edades de una madre y su hija se diferencian en 26 años, hace 10 años la madre tenía el triple que su hija. ¿Cuáles son las edades actuales de las dos?

3.- David tiene billetes de 5 € y de 10 €. En total tiene 215 €. Si tiene 25 billetes, ¿cuántos tiene de cada clase?

4.- En un hotel hay habitaciones con dos camas y habitaciones con cinco camas. En total se pueden alojar 500 personas. Si hay 106 habitaciones, ¿cuántas habitaciones hay de cada clase?

5.- En una tienda alquilan bicicletas y triciclos. Todos usan las mismas ruedas. En total hay 42 vehículos y las ruedas que se necesitan para tenerlos todos funcionando son 100. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase?

6.- Se ha mezclado leche de 1 €/l con leche de 0,75 €/l y se han obtenido 150 l de leche a un precio de 0,8 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase se han usado?

7.- Una finca de forma rectangular tiene 25 m más de largo que de ancho. Para vallarla se necesitan 1000 m de cerca ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?

8.- Tenemos un poster al que ponemos una cartulina negra de 10 cm de ancho en tres de sus lados. El poster tiene un perímetro de 180 cm y la cartulina negra tiene un perímetro exterior de 200 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del poster?

9.- Un autobus sale de una ciudad A hacia otra ciudad B y lleva una velocidad constante de 60 km/h. Al mismo tiempo sale un autobús desde B hacia A con velocidad de 70 km/h. Las dos ciudades distan 195 km.

a) ¿Cuántos kilómetros recorre cada autobús hasta que se encuentran?

b) ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse?


Unidad 6 Proporcionalidad

1.- Indica si las siguientes parejas de magnitudes son o no directamente proporcionales.

a) Un estanque está vacío. Abrimos una manguera para llenarlo. El tiempo que está abierta la manguera y la cantidad de agua que hay en el estanque.

b) La edad de una persona y su altura.

c) La cantidad de naranjas que hemos comprado y el precio que hemos pagado por ellas.

d) El número de entradas de cine que compramos y el IVA que hemos pagado.

e) En un cumpleaños hay una tarta. El número de amigos que van al cumpleaños y la cantidad de tarta a la que tocan.

2.- Indica si las siguientes tablas corresponden a magnitudes directamente proporcionales y, en tal caso, halla el valor de la constante de prorporcionalidad directa.

a)

x 2 4 5 600

y 5 10 12,5 1500

b)

x 3 4 5 10

y 9 16 15 30

3.- Completa estas tablas para que las magnitudes que expresan sean directamente proporcionales. Indica en cada caso la constante de proporcionalidad de y sobre x.

a)

x 2 4 120 600

y 18 300 900

b)

x 2 50 150 25 000

y 15 60 120

4.- Una empresa destina parte de sus beneficios a una ONG. Este mes ha tenido unos beneficios de 350 000 € y ha destinado 28 000 € a la ONG. Si hemos comprado un artículo que vale 25 €. ¿Qué cantidad de nuestro dinero ha sido para la ONG?

5.- Una fotografía de 2,4 MB se ha descargado en nuestro móvil en 5 s. ¿Cuánto tardará en descargarse un vídeo de 1200 MB?

6.-Tres amigos han recibido un premio de 1500 € por un trabajo realizado. Para repartirlo deciden hacerlo proporcionalmente al tiempo dedicado al mismo por cada uno de ellos. El primero le ha dedicado 18 h, el segundo 26 h y el tercero 16 h. ¿Cuánto recibirá cada uno?


1.- Completa la siguiente tabla como en el ejemplo.

Ejemplo a) b) c) d) e) f)

% 15 24 45 50 2

de 2500 1200 1540 3500 12 000

es 375 1800 77 315 60

2.-El 18% de los alumnos de un centro de Secundaria está cursando 3º de ESO. Si en el centro hay 1350 alumnos, ¿cuántos alumnos están en 3º?

3.- Diego tiene 42 libros de novela negra, que son el 26% de sus libros. ¿Cuántos libros tiene en su biblioteca?

4.- En una Ciudad hay 254 hoteles, 24 de ellos son de 4 estrellas. ¿Qué porcentaje del total representan los hoteles de 4 estrellas en la ciudad?

5.-Indica en cada caso qué ocurre al multiplicar una cantidad por los siguientes números (di si es aumento o disminución porcentual) y di el porcentaje en que aumenta o disminuye la cantidad.

a) 1,5 c) 1,3 e) 2 g) 0,06

b) 1,02 d) 0,4 f) 0,75 h) 0,99

6.- Un becario ganaba 300 € al mes. Ha tenido un aumento del 0,5% durante tres meses seguidos. ¿Cuánto ganará ahora?

7.- En las rebajas de enero ha bajado el precio de un ordenador un 6%. En febrero ha vuelto a bajar un 20%. Ahora vale 710,64 € ¿Cuánto valía antes de los descuentos?

8.- La venta de aceite en el mes de enero ha sido de 25 millones de toneladas. En el mes de febrero ha sufrido una disminución del 5%, pero en el mes de marzo ha subido un 5% respecto a febrero. ¿Cuántas toneladas de aceite se han vendido en marzo?

9.- Halla el capital final en que se convierten 500 € durante 10 años a un interés simple y compuesto del:

a) 1,5 % b) 10% c) 2% d) 5%

10.- Se colocan 3000 € a interés simple del 3% anual.

a) ¿Qué beneficios nos darán cada año?

b) Si los tenemos durante 4 años, calcula los beneficios totales y el capital final que retiramos.

c) Compara cómo varían los beneficios totales y el capital final si se colocasen esos 3000 € a un interés compuesto del 3% anual durante 4 años.


1.- Indica si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos cosas.

a) En una obra, el número de albañiles y la duración de la obra.

b) En la construcción de una carretera. La cantidad de alquitrán y los kilómetros asfaltados.

c) Tenemos un balón lleno de aire. Los días que pasan y la presión del balón.

d) El caudal de agua de una manguera y el tiempo que tarda en llenar un estanque.

e) El número de hijos y el dinero que reciben de una herencia que se reparte a partes iguales.

2.- Indica si las siguientes tablas corresponden a magnitudes inversamente proporcionales y, en tal caso, halla el valor de la constante de proporcionalidad inversa

a)

x 2 4 1 20

y 50 25 100 5

b)

x 12 4 6 60

y 10 30 5 2

3.- Completa estas tablas para que las magnitudes que expresan sean inversamente proporcionales. Indica en cada caso la constante de proporcionalidad inversa.

a)

x 2 4 120 600

y 18 300 3

b)

x 2 50 150 25 000

y 15 60 120

4.- Tenemos que pagar un autobús para hacer una excursión. Si vamos 20 alumnos, a cada uno de corresponde pagar 15 €, ¿cuánto tendremos que pagar si vamos 50?

5.- Realiza los siguientes repartos:

a) 14000 inversamente proporcional a 2 y 5.

b) 460000 inversamente proporcional a 2,6 y 10.

6.-Seis personas consumen 63 barras de pan en una semana. ¿Cuántas barras consumirán 8 personas en 10 días?


1.- Estudia la semejanza de los siguientes polígonos. En caso de que sean semejantes, calcula la razón de semejanza.

a) b)

2.- Calcula las medidas desconocidas:

3.- Indica la razón de semejanza entre los lados de los siguientes polígonos, entre sus perímetros y entre sus áreas respectivas.

4.- Una piscina tiene una capacidad de 200 000 l. Se ha construido otra semejante a ella pero con lados tres veces más grandes. ¿Cuántos litros de agua caben en la nueva piscina?

5.- Un depósito con forma de prisma triangular tiene una capacidad de 500cm3. Queremos construir otro semejante con capacidad de 2000 cm3, ¿cuál es la razón entre los lados de los prismas?

6.-La escala de un mapa es 1:15 000 000. Dos ciudades distan 5 cm en el mapa. ¿Cuánto distan en la realidad?

7.- En el plano de una casa un dormitorio tiene 6cm2 de superficie. Si la escala es 1:150, ¿cuál es la superficie real del dormitorio?


1.- En un comedor escolar 75 alumnos han consumido 230 kg de pescado en 2 meses. ¿Cuántos kg de pescado consumirán 150 alumnos en 3 meses?

2.- A un teatro con 2 sesiones diarias, pueden asistir 18 000 personas en 30 días. ¿Cuántas personas podrán asistir en 45 días si el teatro aumenta una sesión diaria?

3.- Las 5 vacas de una granja consumen 60 kg de pienso en 4 días. ¿Cuántos días se podrán alimentar 8 vacas con 360 kg de pienso?

4.- Los 10 trabajadores de una fábrica han necesitado 5 días para fabricar 1000 piezas trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en fabricar 3000 piezas si trabajan 10 horas diarias?

5.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una ciudad que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 50 kg a 200 km de distancia?

6.- Para llenar un depósito hasta una altura de 80 cm, con un caudal de 20 litros por minuto (l/min), se ha necesitado 1 h y 20 min. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar otro depósito hasta una altura de 90 cm con un caudal de 15 l/min?


Unidad 7 Figuras planas

1.- Halla la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos convexos.

a) Cuadrilátero

b) Heptágono

c) Octógono

2.- Halla la medida de los ángulos interiores de:

a) Un octógono regular.

b) Un polígono regular de 15 lados.

c) Un polígono regular de 30 lados.

3.- Indica el número de lados que tienen los polígonos convexos sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es:

a) 2520 c) 4500

b) 3240 d) 7200

4.- Indica el número de lados que tiene un polígono regular si cada uno de sus ángulos interiores mide:

a) 108 c) 140

b) 120 d) 157,5

5.- Se conocen cuatro ángulos interiores de un pentágono convexo: 87, 96, 100 y 160. ¿Cuánto mide el ángulo que falta?


1.- Estudia si existe algún triángulo cuyos lados midan.

a) 5 cm,11 cm y 7 cm.

b) 14 cm,6 cm y 8 cm.

c) 10 cm, 2 cm y 4 cm.

2.- Dibuja el ortocentro, el circuncentro y la circunferencia circunscrita de los siguientes triángulos.

3.- Dibuja el baricentro, el incentro y la circunferencia inscrita de los siguientes triángulos.

4.-En un triángulo isósceles, la distancia del baricentro al vértice desigual es de 5 cm, ¿cuánto mide la altura del lado desigual?

5.- Contesta razonadamente las siguientes preguntas

a) El baricentro de un triángulo siempre está en el interior del triángulo.

b) ¿Dónde se sitúa el ortocentro de un triángulo rectángulo?

c) ¿Qué ocurre con las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices en un triángulo equilátero?

d) ¿Cuál es el punto que equidista de tres puntos dados no alineados?


1.- Completa la siguiente tabla en la que tenemos datos de dos de los lados de un triángulo rectángulo.

Cateto b Cateto c Hipotenusa a

45 cm 60 cm

8 dm 15 dm

20 m 80 m

6 m 6 m

2.- Estudia si los triángulos cuyas medidas de lados se indican son rectángulos.

a) 40 cm, 30 cm y 50 cm

b) 25 dm, 18 dm y 40 dm

c) 4 cm, 4 cm y 6 cm

d) 20 m, 16 m y 12 m

3.- Sabemos que los cuadrados de la cuadrícula siguiente tienen 1 cm de lado. ¿Cuánto miden los segmentos dibujados?

4.- Un triángulo equilátero tiene 10 cm de lado, ¿cuánto mide su altura?

5.- La altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles mide 8cm. El lado desigual mide 4 cm, ¿cuánto mide cada uno de los otros lados?

6.-Se quiere sujetar una antena de 25 m de altura mediante un cable al suelo. El punto de sujeción está a 8m de la base de la antena. ¿Cuánto mide el cable?

7.- La diagonal de un rectángulo mide 14 dm. Si un lado mide 7 dm, ¿cuánto mide su perímetro?


1.- Calcula la medida de los ángulos centrales de los siguientes polígonos regulares.

2.- Calcula las medidas de los ángulos desconocidos en las siguientes figuras.

a) c) e) g)

b) d) f) h)

3.- Calcula las medidas de los ángulos semiinscritos en las circunferencias.

4.- Calcula las medidas de los ángulos desconocidos en los siguientes polígonos regulares.

5.- Dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 8 cm. ¿Es única la solución? 6.- Responde de forma razonada a las siguientes preguntas.

a) ¿Los ángulos inscritos correspondientes al mismo arco tienen la misma medida?

b) ¿Un ángulo inscrito en una circunferencia puede ser mayor que 180º?

c) ¿Cómo se puede calcular el ángulo interior de cualquier polígono regular a partir del número de lados usando las propiedades de los ángulos inscritos en una circunferencia?


1.- Calcula los perímetros de las siguientes figuras. Las medidas están en centímetros.

2.- Calcula las áreas de las siguientes figuras. Las medidas están en metros.

3.- Calcula las longitudes marcadas en rojo. Las medidas están en decímetros.

a) b) c) d)

4.- Calcula las áreas sombreadas en las siguientes figuras. Las medidas están en decímetros.

5.- Calcula el área y el perímetro de un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de 13 cm, y un cateto, de 12 cm.

6.-La diagonal menor de un rombo mide 8 m y su área es 48 m2 Calcula su perímetro.

7.- Calcula el área de las figuras sombreadas en verde. Las medidas están en metros.

a) b)


Unidad 9 Cuerpos Geométricos

11. Identifica los poliedros entre los siguientes cuerpos.

a) b) c) d) e)

12. Clasifica los siguientes poliedros en cóncavos y convexos.

a) b) c) d) e)

13. Identifica los nombres de los poliedros regulares y la forma de las caras. Cuenta el número de caras de cada uno.

a) b) c) d) e)

14. Cuenta número de caras, vértices y aristas de un hexaedro y un dodecaedro. Comprueba que se cumple la fórmula de Euler.

15. Clasifica los siguientes cuerpos geométricos en prismas o pirámides, di si son regulares o no y si son

oblicuos o rectos.

a) b) c) d) e)

16. Dibuja un cono, un cilindro y una esfera. Identifica el eje de giro y la generatriz de cada uno de ellos.

17. Indica, de forma razonada, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

f) Los poliedros que tienen todas sus caras regulares se llaman poliedros regulares.

g) La fórmula de Euler se cumple en todos los poliedros aunque no sean regulares.

h) Una pirámide triangular regular es un tetraedro.

i) La Tierra es un cuerpo de revolución.


18. Calcula el área total de un cubo de 5 cm de lado.

19. Calcula la cantidad de cartón que se necesita para hacer una caja de cartón sin tapadera cuya base

tiene 25 cm de ancho y 30cm de largo, y cuya altura es de 50 cm.

20. Calcula el área lateral de un prisma triangular regular de 10 dm de altura, cuya base tiene un lado de 6

dm.

21. Calcula el área total de una pirámide triangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista lateral

mide 10 cm.

22. Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista

lateral mide 7 cm.

23. Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular cuya base tiene lado 6 m y que mide 5 m de altura.

24. Calcula el volumen de un prisma triangular cuya base es un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 6

cm y cuya altura es de 20 cm.

25. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene 10 m de lado y que tiene

una altura de 25 m.

26. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular de lado 4 dm y arista lateral 12 dm.

27. Identifica los siguientes poliedros. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

a) b)


28. Calcula el área total de un cilindro de 5 cm de radio y 10 cm de altura.

29. Calcula la cantidad de hojalata que se necesita para hacer una lata cilíndrica sin tapadera, cuya base

tiene 20 cm de diámetro, y su altura, 50 cm.

30. Calcula el área lateral de un cono de 10 dm de altura, cuya base tiene 6 dm de radio.

31. Calcula el área total de un cono cuya base tiene 8 cm de radio y cuya generatriz mide 10 cm.

32. Calcula el área de una superficie esférica de 8 cm de diámetro.

33. Calcula el volumen de un cilindro cuya base tiene 6 m de diámetro y que mide 15 m de altura.

34. Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 cm de radio y cuya altura es de 20 cm.

35. Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 m de radio con una generatriz de 25 m.

36. Calcula el volumen de una esfera de radio 4 dm.

37. Identifica los siguientes cuerpos. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

a) b)


Unidad 10 Sucesiones

1. Escribe los cuatro primeros términos y el décimo término de las siguientes sucesiones.

a) an = 3n – 2 c) cn = n3 – 1 e) en = (–1)n + 1

b) bn = 5 – 2n d) dn = 3

2n f) fn = 2 · 3n – 2

2. Escribe los tres términos siguientes de estas sucesiones.

a) 3 4 5 6

, , , ...2 3 4 5

c) 2, 6, 12, 20, 30…

b) –1, 8, –27, 64… d) 4, 8, 12, 16, 20…

3. Escribe los términos generales de las sucesiones del ejercicio anterior.

4. Escribe los términos generales y los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones.

a) A cada número natural le corresponde el cuadrado de su mitad.

b) A cada número natural le corresponde la mitad de su cuadrado.

c) A cada número natural le corresponde la suma de los cuadrados de sí mismo y de su siguiente.

5. Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia.

a) a1 = 1; an = an – 1 + 3 c) c1 = 1; c2 = 7; cn = 1 2

2n nc c

b) b1 = 1

12; bn = 2bn – 1 d) d1 = 5; d2 = 7; dn = 2 · (dn – 1 + dn – 2)

6. Encuentra la ley de recurrencia de las siguientes sucesiones en función de los dos términos

anteriores.

a) (an) = (2, 5, 10, 50, 500, 25 000…) para n > 2

b) 1 1 1

2,16, 8, , , , 2...2 16 8

nb

para n > 2

c) (cn) = (1, 2, 9, 121, 16 900…) para n > 2

7. Encuentra la ley de recurrencia de los números triangulares que se obtienen como se observa en la

siguiente ilustración.


8. Averigua si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia en aquellas que lo sean.

a) 1, 7, 13, 19, 25… c) 2 4 6 8 10

, , , , ...3 5 7 9 11

e) 4, 9, 16, 25, 36…

b) –2, 4, 6, 8, –10… d) 8, 5, 2, –1, –4… f) 1, 3, 5, 7, 11…

9. Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas.

a) 3, 2, –7, –10… c) 5 7 8

, 2, , ...3 3 3

b) 11, 13, 15, 17… d) 1,2; 1,6; 2; 2,4…

10. Calcula el término general y los términos 100, 200 y 500 de las siguientes progresiones ariméticas.

a) a1 = 3, d = 2 c) 1

3 1,

2 4c d

b) b1 = –5, d = –3 d) d1 = 5, d = –4

11. Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas.

a) a1 = 3, a4 = 15 c) c3 = 7, c7 = 9

b) b2 = 6, b5 = 0 d) d1 = –3, d9 = –19

12. Calcula la suma de los veinte primeros términos de las progresiones aritméticas del ejercicio 3.

13. Averigua si los siguientes números pertenecen a las progresiones que se indican. En caso afirmativo,

indica qué lugar ocupan.

a) 2702 y an = 3n + 5

b) 150 y bn= 140 – 2n

c) 106 y cn = 10 + 4n

14. El primer término de una progresión aritmética es 100, y la suma de sus 40 primeros términos, 7900.

¿Cuál es el término general de la progresión?


15. Averigua si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas. Calcula la razón en aquellas que lo sean.

a)

1 1 1 11, , , , ...

2 4 6 8 c)

1 1 1 11, , , , ...

2 4 8 16 e) 2, –4, 8, –16, 32…

b) 5 10 20 40

, , , ...7 7 7 7

d) 1, 3, 3, 9, 27… f) 1 2 4 8

, , , ...3 9 27 81

16. Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas.

a) 1 1 1 1

1, , , , ...2 4 8 16

c) 1 2 4 8

, , , ...3 9 27 81

b) 2, –4, 8, –16, 32… d) 1, –1, 1, –1, 1, –1…

17. Calcula el término general y la posición 12 de las siguientes progresiones geométricas.

a) a1 = 3, r = –2 c) 1

181,

3c r

b) b1 = 5, r = 0,1 d) 1

1, 2

4d r

18. Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas.

a) a1 = 3, a4 = –24

b) b2 = 0,0006, b6 = 6 y sus términos son positivos.

19. Calcula la suma de los ocho primeros términos de las progresiones geométricas del ejercicio 3.

20. Calcula la suma de los infinitos términos de las progresiones geométricas siguientes.

a) 81, 27, 9, 3, 1…

b) 50; 5; 0,5; 0,05…

c) 8, 4, 2, 1…

21. Cierto tipo de bacterias se reproducen por fisión cada 30 minutos, es decir, de cada bacteria se

obtienen dos en ese plazo de tiempo. Si se introducen 10 bacterias en un cultivo, ¿cuántas habrá al cabo de 24 horas si ninguna de ellas muere?


Unidad 13 Estadística unidimensional

1.- ¿De qué tipo son las siguientes variables estadísticas?

a) Marca del móvil de los estudiantes de secundaria del Instituto.

b) Número de personas que conviven en la residencia familiar.

c) Gasto mensual en móvil.

d) Nota de la 2ª evaluación en Lengua de los alumnos de 3º A.

e) Tiempo que tarda una persona en llegar desde su casa al trabajo.

2.- En un centro de secundaria se ha preguntado a los alumnos de 3º por el número de materias aprobadas en la segunda evaluación. Las respuestas han sido:

N.º asignaturas aprobadas 0 1 2 3 4 5 6 7 8

N.º de alumnos 2 3 2 3 4 6 7 2 1

a) Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.

3.- Un profesor ha preguntado a sus alumnos acerca de sus preferencias sobre el tipo de exámenes. Las respuestas han sido las siguientes.

Tipo test 12

Preguntas cortas 5

Preguntas de desarrollo 3

Haz un diagrama de sectores y otro de barras que representen la información.

4.- Se ha preguntado a 30 asistentes a un curso de formación su impresión acerca de la preparación del ponente del curso. Las respuestas han sido:

Muy mala 2

Mala 5

regular 8

Buena 10

Muy buena 5

Haz un diagrama de sectores y otro de barras que representen la información.

5.- La talla de zapato de las personas que entran en una tienda a lo largo de un día viene dado en la siguiente tabla.

Talla de zapato 37 38 39 40 41 42 43 44 45

N.º alumnos 5 3 12 8 5 10 12 4 1




1.- El tiempo, en minutos, que dedican los trabajadores de una empresa a buscar datos en Internet viene dado por la siguiente tabla.

Tiempo en minutos [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180) [180,210) [210,240)

N.º de empleados 50 65 70 45 10 5 5



2.- Se ha preguntado a 30 personas de una empresa el número de tweets que escriben al día. Las respuestas han sido:

a) Agrupa en número de tweets en intervalos de 5 en 5. Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y

acumuladas.


3.- Se han recogido las temperaturas mínimas de las capitales de provincia durante el mes de junio, obteniendo los siguientes datos.

Temperaturas [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) [18,20) [20,22) [22,24) [24,26)

N.º de capitales 3 5 12 10 12 5 3 1



4.- Se han recogido los litros por metro cuadrado de lluvia que han caído de diferentes observatorios de España a lo largo de un mes, obteniendo los siguientes datos.

5 40 32 25 92 45 77 99 53 42

49 33 26 39 42 30 72 81 78 35

19 33 25 28 41 32 85 55 71 59

82 22 18 25 37 21 80 58 81 61

17 45 19 27 28 16 66 54 92 70

a) Agrupa los resultados en intervalos de 10 l/m2 y construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y

acumuladas.


5.- La duración de las llamadas telefónicas de una persona a lo largo de un día vienen recogidas en la siguiente tabla:

Duración [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32)

N.º de llamadas 25 10 12 15 12 3 4 1



5 40 32 25 12 45

49 33 26 39 42 30

1 33 25 28 41 32

8 22 18 25 37 21

17 4 19 27 28 16


1.- En un centro de secundaria se ha preguntado a los alumnos de 3º por el número de materias aprobadas en la segunda evaluación. Las respuestas han sido.

N.º asignaturas aprobadas 0 1 2 3 4 5 6 7 8

N.º de alumnos 2 3 2 3 4 6 7 2 1

a) Halla la moda, la mediana, la media, los cuartiles y el diagrama de cajas.

b) Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

2.- La talla de zapato de las personas que entran en una tienda a lo largo de un día viene dado en la siguiente tabla.

Talla de zapato 37 38 39 40 41 42 43 44 45

N.º alumnos 5 3 12 8 5 10 12 4 1

a) Halla la moda, la mediana, la media, los cuartiles y el diagrama de cajas.


3.- El tiempo, en minutos, que dedican los trabajadores de una empresa a buscar datos en Internet viene dado por la siguiente tabla.

Tiempo en minutos [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180) [180,210) [210,240)

N.º de empleados 50 65 70 45 10 5 5

a) Halla la media.


4.- La duración de las llamadas telefónicas de una persona a lo largo de un día vienen recogidas en la siguiente tabla.

Duración [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32)

N.º de llamadas 25 10 12 15 12 3 4 1

a) Halla la media.


5.- Se han recogido los litros por metro cuadrado de lluvia que han caído de diferentes observatorios de España a lo largo de un mes, obteniendo los siguientes datos.

5 40 32 25 92 45 77 99 53 42

49 33 26 39 42 30 72 81 78 35

19 33 25 28 41 32 85 55 71 59

82 22 18 25 37 21 80 58 81 61

17 45 19 27 28 16 66 54 92 70

a) Agrupa los resultados en intervalos de 10 l/m2 y calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de

variación.

b) Los datos de los mismos observatorios durante el mes de junio nos dan una media de 47,8 l/m2 con s = 10.

¿Qué podemos deducir del reparto de las lluvias en mayo, en relación con las de julio?


Unidad 14 Probabilidad

1.- En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se saca una bola al azar.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Escribe un suceso imposible.

c) Escribe tres sucesos elementales.

d) Escribe tres sucesos que no sean elementales.

e) Escribe dos sucesos incompatibles.

f) Escribe dos sucesos contrarios.

g) Escribe dos sucesos compatibles.

2.- a) Escribe el espacio muestral asociado a la extracción de dos bolas con reemplazamiento de una bolsa en la

que hay bolas rojas, verdes y negras.

b) Describe un suceso imposible.

3.- Escribe el espacio muestral asociado al experimento: "Lanzar dos dados cúbicos y sumar las puntuaciones", mediante una tabla de doble entrada.

4.- En un centro de secundaria los alumnos cursan algunas de las siguientes materias: Inglés, Francés, Alemán, Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas y Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas. Se consideran los sucesos.

C1 :Ser alumno de 1º, C2:Ser alumno de 2º, C3:Ser alumno de 3º, C4:Ser alumno de 4º

I1: Cursar Inglés, I2: Cursar Francés, I3: Cursar alemán,

M1: Cursar Matemáticas académicas M2: Cursar Matemáticas aplicadas.

Describe los siguientes sucesos como una operación de los sucesos anteriores

a) S1: Alumnos de 2º que cursan Inglés.

b) S2: Alumnos de Inglés y Francés.

c) S3: Alumnos de 1º y de 4º.

d) S4: Alumnos que cursan Alemán o Matemáticas aplicadas.

e) S5: Alumnos de 3º que cursan Matemáticas aplicadas.

f) S6: Alumnos de Secundaria.

g) S7: Alumnos de 3º que cursan Francés o Matemáticas académicas.

h) S8: Alumnos que no cursan Inglés.

i) S9: Alumnos de 2º que no cursan Francés.

j) S10: Alumnos que cursan algún idioma.

5.- Describe los sucesos del ejercicio anterior que se indican:

a) I3 M1 f) C1 C2

b) C2 I3 g) M1 M2

c) 3 4I C h) 3 3C I

d) C1 I1 I2 i) 3 1C C

e) 3C . j) 3 2I M


1.- En el lanzamiento de un dado cúbico. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Que salga par.

b) Que salga mayor que 3.

c) Que no salga menor o igual que 4.

d) Que salga par o primo.

e) Que salga impar y mayor que 3.

2.- Se extrae una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Que salga figura.

b) Que salga oros.

c) Que no salga espadas.

d) Que salga par o copas.

e) Que no salga figura.

3.- Se lanzan dos dados cúbicos y se suman las puntuaciones. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Que sumen más de 6.

b) Que sumen un número par.

c) Que sumen 10.

d) Que sumen menos de 10 y más de 7.

e) Que sumen entre 2 y 5.

f) Que sumen más de 9 o menos de 3.

g) Que no sumen más de 8.

4.- En una bolsa están los temas del examen de Matemáticas numerados del 1 al 5. Los dos primeros temas son de Aritmética, los dos siguientes de Álgebra y el último de Probabilidad. Se elige un tema al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea de Álgebra.

b) Sea par y de Aritmética.

c) Sea impar o de Álgebra.

d) Sea de Probabilidad.

e) No sea de Probabilidad.

f) No sea impar.

g) Sea de Álgebra y de Probabilidad.

5.- Contesta, de forma razonada, a las siguientes cuestiones.

a) ¿La probabilidad de un suceso es siempre positiva?

b) ¿Hay sucesos cuya probabilidad es mayor que 1?

c) Si un suceso A está contenido en otro suceso B entonces P(A) > P(B).

d) Si P(A) = 0,7, ¿cuánto vale ( )P A ?


1.- Indica si los siguientes experimentos compuestos son dependientes o independientes.

a) Lanzar dos dados.

b) Lanzar una moneda y un dado.

c) Sacar dos bolas de una bolsa.

d) Sacar dos bolas de dos bolsas distintas.

e) Elegir dos alumnos al azar y ver si han aprobado Matemáticas.

f) Sacar una bola de una urna, ver su color, devolverla a la urna y sacar otra bola para ver su color.

g) Sacar dos cartas de una baraja.

2.- Se lanza una moneda y se saca una bola al azar de una urna con dos bolas rojas, tres blancas y cinco verdes. Dibuja un diagrama de árbol que permita calcular la probabilidad de que salga:

a) Cara y bola roja.

b) Cruz y bola verde.

c) Cara y bola blanca.

3.- Se saca una bola al azar de una bolsa, se mira su color, se devuelve a la bolsa y se saca otra bola. La bolsa contiene 5 bolas blancas y 10 negras. Calcula las probabilidades de que:

a) Las dos bolas sean blancas.

b) Las dos bolas sean negras.

c) La primera bola sea blanca y la segunda negra.

d) La primera bola sea negra y la segunda blanca.

e) Una bola sea blanca y otra negra.

4.- Se sacan dos bolas al azar de una bolsa que contiene 5 bolas blancas y 10 negras. Calcula las probabilidades de que:

a) Las dos bolas sean blancas.

b) Las dos bolas sean negras.

c) La primera bola sea blanca y la segunda negra.

d) La primera bola sea negra y la segunda blanca.

e) Una bola sea blanca y otra negra.

5.- Se sacan dos temas al azar de un total de 10 temas de un examen. Un alumno ha estudiado 6 temas. Calcula la probabilidad de que el alumno:

a) Sepa los dos temas.

b) No sepa ningún tema.

c) Sepa el primer tema y el segundo no.

d) Sepa el segundo tema pero no el primero.

e) Sepa algún tema.

6.- En una clase de 30 alumnos, hay 20 alumnos que tardan menos de 5 minutos en llegar de su casa al instituto, 6 alumnos tardan más de 5 y menos de 10 minutos y 4 alumnos tardan más de 10 minutos. Elegimos dos de ellos al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos tarden menos de 5 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero tarde menos de 5 minutos, y el segundo, más de 10?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero tarde más de 10 minutos, y el segundo, entre 5 y 10?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos tarden más de 10?

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