�

� 1

Unidad 1 – Matrices

PÁGINA 7

SOLUCIONES

1. La resolución de los sistemas puede expresarse de la forma siguiente:

La segunda matriz proporciona la solución x 5,y 6.= =

La última matriz proporciona la solución x y z2, 3, 4.= = =

�

� 2

2. Veamos que P P2 .= Para ello,

Las igualdades anteriores son debidas a:

(1) la definición de la potencia al cuadrado;

(2) la hipótesis PQ P;=

(3) la propiedad asociativa del producto;

(4) la hipótesis QP Q;=

(5) la hipótesis PQ P.=

3. La que indica las relaciones existentes en el grafo es:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� 3

PÁGINA 23

SOLUCIONES

1. Supongamos que la edad de la madre es de 39 años; imponiendo las condiciones del problema, obtenemos:

P H H H H P H H H H

P H H H H

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

393939 39 10101

37 13 7 3 1

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ � ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Luego si la madre tiene 39 años, el padre tiene 37 y los cuatro hijos tienen respectivamente, 13, 7, 3 y 1 años.

Observamos que si partimos de que la madre tiene 38 años obtenemos la misma respuesta, e igual que para 37, 36, 35 años. Es decir, independientemente de la edad de la madre, nos salen las edades del padre, 37 años, y las edades de los hijos: 13, 7, 3 y 1 años.

En general la madre tendrá xy años xy x y10= + años.

xyxyxyxyxyxy xy P H H H H P H H H H

xy1 2 3 4 1 2 3 4= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ � = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ahora bien:

xyxyxy x y x y x y

xy x y

x y x y

x y x y

100000 10000 1000 100 10

10

101010 10101 10101(10 )10101

10 10

+ + + += =

+

+ += = =

+ +

Descomponemos 10 101 en factores y es: 10101 37 13 7 3 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Luego las edades serán:

Q H

H H

H

3

1 4

2

37años 3años

13años 1año

7años

= =

= =

=

�

� 4

2. Llamamos x, y a los números. Se debe cumplir que:

xx y x y

y+ = ⋅ =

Resolviendo:

xx y x yy

xxx y

xy x yy 2

1

1

+ = ⋅ �� =�

−�⋅ = �� = � = ±�

Luego para x

yx

1 11

= + � =−

no tiene solución.

Para x

y xx

11 1

1 2= − � = − � =

−

La solución válida es: x y1

; 12

= = −

�

�

�

�

� 5

�

PÁGINA 28

�

� 6

�

SOLUCIONES

1. Realizando las operaciones indicadas y aplicando la igualdad de matrices, obtenemos:

Resolviendo el sistema, a 5, b 12, c 6, d 4.= = = − = −

2. La solución en cada caso queda:

a) ���

�

�

−

−=���

�

�

−−+���

�

� −=+

11

15

21

04

30

11BA

b) ���

�

� −−=���

�

�

−

−−���

�

�

−−−���

�

� −=−−

23

32

32

21

21

04

30

11CBA

c) ���

�

� −−=���

�

�

−

−−���

�

�

−−−���

�

� −=−−

23

32

32

21

21

04

30

113 CBA

d) 1 1 4 0 4 0 1 2 5 2 4 8 9 6

0 3 1 2 1 2 2 3 3 6 5 8 8 2AB BC

− − − −� � � � � � � � � � � � � �− = ⋅ − ⋅ = − = � � � � � � �

− − − − − − − − − � � � � � � �

e) 1 1 4 0 1 1 1 2 4 0 1 2

2 3 5 2 3 50 3 1 2 0 3 2 3 1 2 2 3

AB AC BC− − − −� � � � � � � � � � � �

+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = � � � � � �− − − − − − � � � � � �

���

�

�

−

−=���

�

�

−

−−���

�

�

−

−+���

�

�

−−=

5549

3933

4025

4020

2718

33

126

410

3. Los productos quedan:

�

� 7

4. Los productos posibles son:

5. En general, las igualdades anteriores no son ciertas, ya que el producto de matrices no es conmutativo.

6. Encuentra todas las matrices, del orden correspondiente, que conmuten con las matrices siguientes:

���

�

�=

10

11A y ��

�

�

�

−=

01

21B

Sea ���

�

�=

dc

baX la matriz que conmuta con ��

�

�

�=

10

11A . Debe cumplirse: XA AX=

��

�

��

�

=+

=

+=+

+=

⇔���

�

� ++=���

�

�

+

+⇔���

�

�⋅���

�

�=���

�

�⋅���

�

�=

ddc

cc

dbba

caa

dc

bbca

dcc

baa

dc

ba

dc

baX

10

11

10

11

Resolviendo el sistema, obtenemos � �

=

=

ad

c 0

Las matrices buscadas son de la forma ���

�

�=

a

baX

0 con a y b números reales cualesquiera.

�

� 8

������

�����Sea ���

�

�=

dc

baX la matriz que conmuta con ��

�

�

�

−=

01

21B . Debe cumplirse: XB BX=

��

�

��

�

−=

−=−

+=

+=−

⇔���

�

�

−−

++=���

�

�

−

−⇔���

�

�⋅���

�

�

−=���

�

�

−⋅���

�

�=

bc

adc

dba

caba

ba

dbca

cdc

bba

dc

ba

dc

baX

2

22

2

22

2

2

01

21

01

21

Resolviendo el sistema, obtenemos � �

−=

+−=

cb

dca

2

Las matrices buscadas son de la forma ���

�

� −+−=

dc

cdcX

2 con c y d números reales

cualesquiera.

7. Llamamos A y B a las matrices numéricas que aparecen en cada uno de los sistemas. Resolvemos éstos por el método de reducción y obtenemos:

�

� 9

d)

1 13

3 2 21 1

1 32 2

2 2

x y A x A Bx y A

x y B x A By A B

�+ = = −� �+ =� � �

⇔ ⇔ + = = −� � � = − +� ��

Por tanto, ���

�

�

−=

2/12/3

01X e ��

�

�

�=

2/12/3

80Y

e) � �

+−=

+−=⇔

� �

+−=

=−⇔

� �

=−

=−

BAy

BAx

BAy

Byx

Byx

Ayx

2

3

2

32

Por tanto, ���

�

� −−=

165

54X e ��

�

�

� −−=

102

53Y

8. Las operaciones quedan:

a) ( )tC A 7 1⋅ = − b) t tA B

12 9

0 1

9 4

−� � �

⋅ = � �− �

c)� tC C

8 4 12

2 4 2 6

12 6 18

� � �

⋅ ⋅ = � � �

������������������������d) tB A C3

5

−� �⋅ ⋅ = �

− �

9. Toda matriz cuadrada A puede expresarse de la forma t tA A A A

A2 2

+ −= + .

En la suma anterior, el sumando tA A

2

+ es una matriz simétrica y el sumando

2

tA A− es una

matriz antisimétrica.

Las descomposiciones pedidas son:

�

�10

10. En cada uno de los dos casos queda del siguiente modo:

Calculamos las potencias sucesivas de A.

Observamos que las potencias de la matriz A se repiten de cuatro en cuatro. Así:

IAAIAIAAAA −==⋅=⋅=⋅==+⋅ 222122124212450 )( �

AAIAIAAAA =⋅=⋅=⋅==+⋅ 24244124497 )( �

La matriz 0

1

a

b

� � � �

que conmuta con A cumplirá: 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 0

a a

b b

− −� � � � � � � �⋅ = ⋅ � � � �

� � � �

Finalmente: 1 0

0 1

b a

a b

− − −� � � �= � �

− � � con 1 y 0.a b= =

�

�11

�

PÁGINA 29

�

�

�

�

�

�

�12

SOLUCIONES

11. Las triangulares equivalentes son:

�

�13

12. Las inversas quedan del siguiente modo:

�

�14

13. Despejamos la matriz X en la ecuación dada:

CXBACBXAX =−�=− )( y calculemos esta matriz X: ���

�

�

−=���

�

����

�

�

−− 1

0

23

12

y

x

�����

� �

=

−=�

���

−=−−

=+

2

1

123

02

y

x

yy

yx��donde la matriz X es�� ��

�

�

�−=

2

1X

14. Queda:

�����La matriz )(AB es ���

�

�=���

�

����

�

�

13

77

32

13

01

21

La matriz traspuesta de la anterior tAB)( es ��

�

�

�

17

37

�����La matriz inversa de la anterior 1)( −AB es ��

�

�

�

−

−

2/114/3

2/114/1

15. La solución queda:

La matriz B es

���

�

�

�

−

−

=

012

111

210

B

Resolvemos la ecuación:

���

�

�

�

−

−

=

���

�

�

�

−

−

���

�

�

�

036

333

630

012

111

210

ihg

fed

cba

Operando e igualando matrices obtenemos tres sistemas:

2 0 3

0 0

2 6 0

b c a

a b c b

a b c

− + = =� �� �

+ + = � =� � �− + = − =� �

��

�

�

=

=

=

���

��

�

=+−

=++

−=+−

0

3

0

32

3

32

f

e

d

ed

fed

fe

��

�

�

=

=

=

���

��

�

=+−

=++

=+−

3

0

0

02

3

62

i

h

g

hg

ihg

ih

�����La matriz X viene dada por:

���

�

�

�

=

300

030

003

X

�

�15

16. Queda del siguiente modo:

a) Rango de =���

�

�

012

101Rango de 2

210

101=���

�

�

−

b) Rango de =

���

�

�

�

−

240

101

120

Rango de 2

000

120

101

=

���

�

�

� −

c) Rango de =

���

�

�

� −

163

151

112

Rango de =

���

�

�

�

−−

−−

290

390

151

Rango de 3

100

390

151

=

���

�

�

�

−−

d) Rango de =

���

�

�

�

742

122

310

Rango de =

���

�

�

�

620

310

122

Rango de 2

000

310

122

=

���

�

�

�

17. Quedan:

a) Escribe tres matrices de dimensión 3x3 que tengan, respectivamente, rango 3, 2 y 1

Una matriz 3x3 de rango 3 es

1 1 0

1 0 1

0 1 1

A

� � �

= � � �

. Tiene las tres filas independientes.

Una matriz 3x3 de rango 2 es

1 2 3

0 1 1

1 3 2

B

� � �

= − � � �

. La fila tercera es suma de la primera y la

segunda.

Una matriz 3x3 de rango 1 es

1 2 1

4 8 4

5 10 5

C

−� � �

= − � �− − �

. La fila segunda es cuatro veces la

primera y la fila tercera es el producto de –5 por los elementos de la fila primera.

�

�16

b) Escribe tres matrices 3x2 que tengan, respectivamente, rango 1, 2 y 3.

Una matriz 3x2 de rango 1 es

1 2

4 8

3 6

A

� � �

= � �− − �

. La fila segunda es cuatro veces la fila primera y

la fila tercera es el producto de los elementos de la fila primera por –4.

Una matriz 3x2 de rango 2 es

1 2

1 0

0 2

A

� � �

= − � � �

. La fila tercera es suma de los elementos de las

filas primera y segunda. Una matriz 3x3 de rango 3 no puede existir.

18. La solución queda:

Sean X, Y, Z tres matrices tales que es posible efectuar Zt – XY. ¿Es posible efectuar (Y · Z)t + X? Sea Z una matriz de dimensión (m x n) por tanto Zt tendrá por dimensión (n x m).

����� ���� ���� ��� �� ��������� �� �������� � ��� �� �� �� ��� ��������� � �� �� �� �������� ��

����������������������������������������������������������������������������������� ����

������������������������������ ����������������������������������� ����������� �����������

����!���

19. Quedan:

a) 100 pizzas de calidad extra necesitan 15 000 g de masa, 20 000 g de ingredientes y 25 000 g de queso; 120 pizzas de calidad superior necesitan 24 000 g de masa, 24 000 g de ingredientes y 24 000 g de queso, y 200 pizzas de calidad normal necesitan 50 000 g de masa, 30 000 g de ingredientes y 20 000 g de queso.

b)

���

�

�

�

=

���

�

�

�

���

�

�

�

€10,1

€45,1

€512,1

€75,2

€00,3

€50,1

100,0150,0250,0

200,0200,0200,0

250,0200,0150,0

Esta matriz nos da el precio de cada pizza extra, superior y normal, respectivamente.

�

�

�

�

�

�

�

�17

�

PÁGINA 30

�

�

�

�

�

�

�18

SOLUCIONES

20. Queda del siguiente modo:

El valor que hace que la última matriz sea la matriz nula es 1k = .

21. Operando en la ecuación matricial, obtenemos:

BAXBAXBAAXABAXABBA 12222 −=⇔=⇔=⇔+=+

Por tanto, la solución es la matriz BAX 12 −= .

Al ser

���

�

�

�

−−− 542

752

321

, la matriz buscada es la resultante de efectuar la operación:

���

�

�

�

−

−−

−−

=

���

�

�

�

−

−

−

���

�

�

�

−−−

==−

26144

32186

1482

110

101

211

542

752

321

22 1BAX

22. Queda:

�

�19

23. Queda del siguiente modo:

24. Queda:

�

�20

25. La solución es:

a) ���

�

�=⋅

700233000239500286

000240500239500284MT

El elemento 11a de esta matriz representa el precio en euros que cobra la empresa 1E por llevar

el producto A a estos cuatro países.

El elemento 23a nos da el precio que cuesta transportar C con la empresa 2E .

b) La suma de los elementos de cada fila de esta matriz nos muestra la más barata y es la

empresa 2E .

26. Queda:

IIAAAIAIAIAIAIABBB =+−−=+−−=−⋅−=⋅= 224224)2()2( 222

Por tanto, la matriz 2B es la identidad.

27. Queda:

La matriz 1−B es ��

�

�

�

−

−

43

54

La matriz 2A es ��

�

�

�=���

�

�

−

−

���

�

�

−

−

90

09

30

03

30

03

La matriz 1−B 2A es ��

�

�

�

−

−

43

54���

�

�

−

−=���

�

�

3627

4536

90

09

La matriz 1−B 2A B es ��

�

�

�

−

−

3627

4536���

�

�=���

�

�

−

−

90

09

43

54

28. La solución queda:

Sea a b

Ac d

� �= � �

la matriz que conmuta con 1 1

2 3X

−� �= � �

.

Debe cumplirse: AX XA= ⇔ 1 1 1 1

2 3 2 3

a b a b

c d c d

− −� � � � � � � �⋅ = ⋅ � � � �

� � � �

�

�21

Entonces:

2 3

2 3

a b a b

c d c d

+ − +� �= �

+ − � 2 3 2 3

a c b d

a c b d

− −� � �

+ �⇔

2

3

2 2 3

3 2 3

a b a c

a b b d

c d a c

c d b d

+ = −��

− + = −�

+ = +��− + = +�

Resolviendo el sistema, obtenemos 2

2

c b

d a b

= −�

= −�

Las matrices buscadas son de la forma 2 2

a bA

b a b

� �= �

− − � con a y b números reales

cualesquiera.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�