Centroides, centros de gravedad y momentos de inercia .

5.1. Centroides

5.1.1. Líneas, áreas y volúmenes

5.1.2. Centros de masa

5.1.3. Elementos compuestos

5.2. Momentos de inercia

5.2.1. Áreas y volúmenes

5.2.2. Masas

5.2.3. Momento polar de inercia

5.3. Teorema de los ejes paralelos

5.1CENTROIDE - CENTRO DE MASA

El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tenerdensidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

CENTROIDES

En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos loshiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

Momento de Inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de lainercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Un área compuesta A que está constituida por varias áreas componentes A1, A2, A3... Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3..., el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de áreas A1, A2, A3... con respecto al mismo eje.

5.1.1 LINEA, AREA Y VOLUMEN

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa.

En particular, si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores.

Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría de éste. Consideraremos tres casos específicos.

5.1.2 CENTROS DE MASA

Punto en el que se concentra el peso de un cuerpo, de forma que si el cuerpo se apoyara en ese punto, permanecería en equilibrio. También llamado centro de gravedad. Frecuentemente el Centro de Gravedad CG coincide con el centro de masa el cual es considerado como la posición promedio de todas las partículas de masa que forman a un objeto en particular.Comparando, el centro de gravedad de un objeto es el punto ubicado en la posición promedio de un objeto; mientras que el centro de masa, es el punto ubicado en la ubicación promedio de la masa que compone a un objeto.En muy pocos casos el centro de gravedad y el centro de masa no coinciden. Esto sucede en objetos muy grandes como la luna donde la gravedad puede variar de una parte a otra, de esta forma el centro de gravedad de la Luna esta ligeramente más cerca de la Tierra que su centro de masa.El centro de gravedad de los objetos con una forma regular, se ubica en el punto medio, y coincide con el centro geométrico de ese objeto.

El centro de gravedad constituye el centro de balance del objeto. El efecto de la fuerza de gravedad se concentra en el centro de gravedad.

Como ejemplo podemos citar el porqué la Torre de Pisa no se cae; y esto se debe a su centro de gravedad, la regla para derrumbar un objeto es que su centro de gravedad sobrepase su base.

Momento de Inercia.

La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que dice lo siguiente: “un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”. El momento de inercia es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia.Una fórmula análoga a la segunda Ley de Newton del movimiento, se puede rescribir para la rotación:

* F = MaF = FuerzaM = Masaa = aceleración lineal

* T = IA (T = torsión; I = momento de inercia; A = aceleración rotacional)Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como No obstante, a la hora de determinar el momento de inercia de un determinado cuerpo es interesante conocer que

* La simetría del cuerpo permite a veces realizar sólo parte del cálculo.* Como el momento de inercia es aditivo el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. También si tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que ``le falta un cacho'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el cacho que le falta

5.1.3 ELEMENTO COMPUESTO

En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes mostradas en la tabla 1.La abscisa xde su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, se escribe

Fig. Centro de gravedad de una placa compuesta.

O en forma condensada,X∑W=∑xW Y Y∑W=∑yW.Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas XyYdel centro de gravedad de la placa.

Fig. Centroide de un área compuesta.

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa Xdel centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto deX con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y .La ordenada Ydel centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene:

O en forma condensada, Qy=X∑A=∑xA Y Qx=Y∑A=∑yA .

Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas Xy Y de su centroide. Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo comentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, se escribe

Fig. Centro de gravedad de una placa compuesta.

O en forma condensada,X∑W=∑xW Y Y∑W=∑yW.Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas XyYdel centro de gravedad de la placa.

Fig. Centroide de un área compuesta.

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C de su área. La abscisa Xdel centroide del área puede determinarse observando que el primer momento Qy del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto deX con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y .La ordenada Ydel centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene:

O en forma condensada, Qy=X∑A=∑xA Y Qx=Y∑A=∑yA .

Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas Xy Y de su centroide. Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos.

Por ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respectoha dicho eje. Además al área de un agujero se le debe asignar un signo negativo (ver la fıgura).De manera similar, en muchos casos es posible determinar el centro de gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea compuesta dividiendo al alambre o a la línea en elementos más simples.

5.2 MOMENTO DE INERCIA

Momento de inercia: La inercia es una propiedad de la materia que se refleja en que los sistemas físicos, por sí mismos y en ausencia de interacciones externas, no adquieren velocidad y aceleración. En realidad, las fuerzas de inercia son fuerzas aparentes que es necesario añadir a las fuerzas reales actuantes sobre un sistema físico si se desea que la segunda Ley de Newton conserve su validez en un sistema no inercial. Además, se puede considerar que la inercia es una fuerza ejercida sobre la masa, para que esta desarrolle una acción.

El momento de inercia o inercia rotacional representa la inercia de un cuerpo a rotar; es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido; es una magnitud que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas, respecto de un eje, en un

movimiento de rotación. El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen, sino de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; este concepto desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

5.2.1. Áreas y volúmenes

El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud4).

Dada la definición de momento de inercia, esta se expresa según lo siguiente:

I = ∫ y dA I = ∫ x dA

En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la formay2dA , donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). dAy2

Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de tenerlos a mano.

Ejemplo:

1. Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga.

Áreas

un cuadrado = a2

un rectángulo = ab

un paralelogramo = bh

un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)

un círculo = pi r2

un elipse = pi r1 r2

un triángulo = (1/2) b h

un triángulo equilátero = (1/4)sqrt(3) a2

un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C

un triángulo cuando se sabe a,b,c = sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)

polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2

cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto

Volúmenes

un cubo = a3

un prisma rectangular = a b c

un prisma irregular = b h

un cilindro = b h = pi r2 h

una pirámide = (1/3) b h

un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h

una esfera = (4/3) pi r3

un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3

5.2.2. Masas

las masas hace referencia a un sujeto colectivo en ciertas manifestaciones del comportamiento social, especialmente para describir formas de comportamiento gregario, frente al de tipo individual. Se utiliza frecuentemente en plural (las masas), y en oposición al concepto de las élites. Habitualmente no se usa de forma neutra, sino con distinta valoración semántica según la intención ideológica que se tenga, ya sea despectiva o más positiva, al entenderla como fenómeno de posible liberación. Guarda estrecha relación con otros conceptos como pueblo, muchedumbre, multitud, plebe, vulgo o chusma; y con la expresión griega hoi polloi (οἱ πολλοί -"los muchos" o "la mayoría"-, el fundamento de la democracia o poder del pueblo -siendo demos traducible por pueblo-) en oposición a hoi olligoi (οἱ ὀλίγοι -"los pocos" o "la minoría"-, el fundamento de la oligarquía), ambas procedentes del discurso fúnebre de Pericles y muy utilizada la primera de ellas como un tópico elitista en la cultura anglosajona desde principios del siglo XIX.nota 1

Los partidos de masas surgieron en el siglo XX, frente a los partidos de cuadros o de élites. También puede asociarse al concepto de partido de clase (referido a la clase obrera y a los partidos marxistas Partido Socialista o Partido Comunista).

Desde el principio, masa no fue solo un concepto, sino un modo de pensar y organizar la sociedad, una forma de modelar el mundo, un modelo concreto de sociedad. Para

algunos pensadores, la sociedad de masas es la mejor forma de organizar la sociedad.

Además fue un concepto conflictivo, ya que a finales del S. XIX estaba en todos los debates políticos y planteaba, como se ha nombrado, una confrontación ideológica entre la izquierda y la derecha. Desde la izquierda (movimiento socialista, obrero) la masa se veía como objeto de liberación, ya que era entendida como un conjunto de gente que al unirse podría conseguir una emancipación respecto al poder. El marxismo planteaba que el capitalismo había creado su propio enemigo, ya que la masa iba a poner en común sus experiencias, y podría actuar en común. Por tanto se plantea como un motivo de esperanza desde la izquierda.

Por otro lado, desde la derecha, la burguesía, más proclive a mantener el orden establecido, planteaba la masa como una amenaza, como una catástrofe de la sociedad. Dentro de esta corriente podríamos considerar las valoraciones de Ortega y Gasset, que en su obra La rebelión de las masas plantea a estas como individuos sin raciocinio que contribuyen a la destrucción del mundo occidental.

En la formación del concepto, desde el punto de vista demográfico, la industrialización supone un fuerte crecimiento de las principales ciudades. Esto provoca que la población que anteriormente vivía en núcleos rurales, se aglomere en un espacio reducido y un tiempo acelerado, en busca de trabajo y supervivencia. Este fenómeno produjo un fuerte impacto a nivel económico, político y social en aquella época.

Con el paso de las décadas, masa ha acabado teniendo un sentido negativo, y por tanto se ha impuesto una de las dos visiones, la más conservadora. (Podría plantearse que esta visión se ha generalizado al imponerse la tradición política que la defendía). Además, habitualmente se observa una visión de tipo cuantitativo de la masa, sobre todo desde la perspectiva sociológica, donde se la observa como un gran conjunto de gente uniforme y pasivo. Si vinculamos el concepto al ámbito comunicativo, tendría un papel destacable a la hora de definir los medios de comunicación de masas, que serían propios de esta sociedad moderna, urbana, industrializada y capitalista.

5.2.3. Momento polar de inercia

El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas

radio de giro:

Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría que colocarse el área concentrada de tal manera que produzca el mismo momento de inercia del área total.

El radio de giro expresa una medida de la distribución del área respecto al eje.

5.3. Teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

El teorema de Steiner o de ejes paralelos permite, conocidos los momentos respecto a ejes que pasen por el centro de gravedad, calcular muy fácilmente los momentos de inercia respecto a ejes paralelos que no pasen por el centro de gravedad. Este "traslado" del segundo momento de inercia, se hace mediante la fórmula:

Dónde:

* Ieje - Segundo momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa.

* I(CM)eje - Segundo momento de inercia para el eje que pasa por el centro de gravedad.

* A - Área de la sección transversal.

* d - Distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad.

Enunciado del Teorema de Steiner:

El momento de inercia con respecto a un eje paralelo a un eje que pase por el centro de masas es igual al momento de inercia de este eje más el producto de la masa total del sólido por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes.

Este teorema nos permite calcular el momento de inercia del solido con respecto a un eje e’, cuando se conoce el momento de inercia de un eje e, paralelo, que pase por el centro de masas y la distancia d entre ambos ejes.

Basta elegir un sistema de referencia apropiado, que nos permita hacer coincidir uno de los ejes con un eje coordenado y de forma que el plano que contiene a ambos ejes e y e’ paralelos sea uno de los planos coordenados, tal como se indica en la figura.