Instituto Tecnológico de Costa Rica

Escuela de Matemática

-Undécimo Año-

-Modalidad bienal-

IV EXAMEN PARCIAL

Nombre: _________________________________ código: _______

Colegio: _______________________________________________

Sábado 25 de mayo de 2013

INSTRUCCIONES

1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.

2. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar.

3. Este examen consta de tres partes. La primera de ellas es de respuesta corta (10

puntos), la segunda es de selección única (15 puntos) y la tercera es de

desarrollo (25 puntos).

4. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique

correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice

únicamente bolígrafo de tinta azul o negra.

5. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está

desordenada, ésta, no se calificará.

6. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene

únicamente las operaciones básicas.

7. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos.

I Parte. Respuesta corta. Total de puntos: 10

INSTRUCCIONES: Complete las siguientes afirmaciones con la información

que se le solicita, de modo que sean proposiciones verdaderas:

1. Si en un rectángulo se duplican las medidas de su largo y ancho entonces

su área aumenta el siguiente número de veces: ______________________.

2. Si se sabe que ∆��� y ∆��� tienen igual área, �� � 8�� , la altura

correspondiente a �� mide 3 cm y �� � 6 cm entonces la altura

correspondiente a �� mide: __________________ cm.

3. El □ ���� es un trapecio de 8cm de altura con �� ∥ ��. Si CD = 12 cm y

CB = 17 cm, el perímetro de dicho trapecio corresponde a:

_____________________________________cm.

4. El área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 8�� corresponde a:

_______________________________cm2.

5. En un cuadrado, cuyos lados miden 10��, se inscribe un círculo. Al

calcular el área de dicho círculo se obtiene: ______________________ cm2.

6. En la figura adjunta, ���� � 110° y el arco ���� � 64°. La medida del

∡��� corresponde a: __________________________________.

7. Si los radios de dos circunferencias tangentes exteriormente miden 7�� y

9�� entonces la distancia entre sus centros es ___________________ cm.

8. Si el área total de un cubo es 150�� entonces su volumen corresponde a:

__________________________��.

9. El área total de un cono cuya generatriz mide 9�� y el diámetro de la

base 10�� , corresponde a: _____________________________���.

10. Si el perímetro de un hexágono regular es 12cm entonces la medida de su

apotema corresponde a ________________ cm.

II Parte. Selección única. Total de puntos: 15

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 15 enunciados, cada uno con

cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una

equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta

cada enunciado.

1. Dos esferas de metal de radios 4� y 2� se funden jutas para hacer una

esfera mayor. El radio de la nueva esfera mide:

a) 6�

b) 72�

c) 2�√9"

d) 2�√5

2. El área total de un cilindro es 150#��� y su altura mide el doble de su

radio. La medida de la altura es:

a. 5��

b. 10��

c. 5√6��

d. $

�√2��

3. El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 7√2��. Si a

esa misma circunferencia se circunscribe otro cuadrado, su lado medirá:

a. 7��

b. 14��

c. 14√2��

d. √14��

4. En la figura adjunta �� es la altura sobre la hipotenusa del ∆���. Si �� � √3

y �� � √12 entonces la medida de �� es:

a. √6

b. 3√2

c. 3√3

d. 6√5

5. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar un máximo de nueve

diagonales desde un vértice?

a. Hexágono

b. Eneágono

c. Decágono

d. Dodecágono

6. Considere las siguientes funciones &:ℝ → *0,+∞.con &/01 = 2√334

y

5: *0,+∞. → ℝ con 5/01 = log9:0. Se puede afirmar que:

a. & es creciente y 5 es decreciente

b. & es decreciente y 5 es creciente

c. & y 5 son decrecientes

d. & y 5 son crecientes

7. El valor de 0 para que log4 27 = �; corresponde a:

a. <�;

:=

b. 81

c. √3@A

d. 4

8. ¿Cuál es el dominio de la función ℎ cuyo criterio es ℎ/01 = CD/4 − 0�1?

a. *−2,2.

b. .−2,2*

c. *−∞,−2. ∪ *2, +∞.

d. *−∞,−2* ∪ .2, +∞.

9. Sean � y G números reales positivos y 0, 0H, 0� números reales. Considere las

siguientes afirmaciones:

I. Si 0 < � < 1 y 0H <0� entonces �49 < �4: II. Si � < G y 0 < 0 entonces �4 > G4

III. Si � > 1 y 0H >0� entonces �49 > �4:

De las afirmaciones anteriores, se cumplen con certeza:

a. I y II

b. II y III

c. I y III

d. Solo III

10. El conjunto solución de la inecuación log�/20 + 11 < log�/51 es:

a. K = *−∞, 2.

b. K = L− H� , +∞M

c. K = L− H� , 2M

d. K = *0,2.

11. La gráfica de la función 5 cuyo criterio es 5/01 = CD/0 − 21, definida en su

dominio máximo es:

a.

b.

c.

d.

12. El conjunto solución de la inecuación NH�O�4PH > H

HQ es:

a. K = L$� , +∞M

b. K = L−∞, $�M

c. K = LH� , $�M

d. K = L0, $�M

13. La expresión logR9 + logR8 + logR2 − logR16 es igual a:

a. logR9

b. log�144log�16

c. logR3

d. log�19log�16

14. El peso S (en T5) de una población de elefantes africanos hembras está

relacionado con la edad U (en años) mediante ( ) ( )30,0752600 1 0,5 tW t e− ⋅= −

¿Cuánto pesa un elefante recién nacido?

a. 10T5

b. 325T5

c. 400T5

d. 2600T5

15. La asíntota de la gráfica de la función &/01 = HPVWX/�4P$1� , definida en su

dominio máximo, es la recta de ecuación

a. 0 = 5

b. Y = 5

c. 0 = $�

d. Y = $�

III Parte. Desarrollo. Total de puntos: 25

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en

forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos

necesarios para obtener la respuesta correcta.

1. En la figura adjunta ������ es un hexágono regular de centro O y Z� = 2.

Calcule el área de la región pintada de gris.

5 puntos

2. Considere la siguiente definición: “La porción de cono circular recto

comprendía entre su base y un plano paralelo a ella se llama tronco de

cono. Los círculos que lo limitan son las bases del tronco de cono y la

distancia entre sus bases es la altura del tronco de cono”.

Calcule el volumen de un tronco de cono tiene una altura de 8�� y los

radios de sus bases superior e inferior miden 4�� y 6��, respectivamente.

5 puntos

3. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

a) 4 27 log 4

9 8 log8

x x ⋅ =

4 puntos

b) ( ) ( ) ( )2 21 log 1 2 log 6 2log 1x x x x+ + + − + = + 6 puntos

4. Verifique que log

1 loglog

aa

ab

Nb

N= + 5 puntos