una visión conjunta de la noción de nervio para distintas...

Una visión conjunta de la noción de nervio paradistintas estructuras categóricas

ARIADNA AZOZ

Trabajo Fin de Máster del Máster en MatemáticasTutor: Antonio Rodríguez Garzón

Universidad de GranadaSeptiembre 2009

Índice

1. Introducción 2

2. Preliminares 5

2.1. Categorías y funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Conjuntos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Nervio (de Grothendieck) de una categoría pequeña. El caso de

un grupoide 13

4. El nervio geométrico de una categoría monoidal 17

5. El nervio de un grupo categórico 23

6. El nervio geométrico de una 2-categoría 26

Referencias 31

La noción de nervio para distintas estructuras categóricas 2

1. Introducción

La Topología Algebraica puede ser mirada como el estudio de espacios topológi-cos y aplicaciones contínuas por medio de objetos algebraicos (grupos, . . . ), y laconexión entre el Álgebra y la Topología se consigue por medio de funtores. Estaconexión convierte un problema topológico (i.e., de espacios topológicos y aplica-ciones contínuas) en uno algebraico que, eventualmente, es de más fácil solucióny, en su caso, computable. Muchos de los funtores computables son invariantesbajo deformación contínua de los espacios o aplicaciones entre ellos (homotopías),lo que conduce a la consideración de la categoría fundamental para la TopologíaAlgebraica, la categoría de homotopía de los espacios. Se trata por tanto de estu-diar y clasificar el tipo de homotopía de los espacios, es decir, de clasificar espaciossalvo equivalencia homotópica (isomorfismos en la categoría de homotopía).

En un sentido más amplio, tal problema, aludido usualmente como la búsquedade “modelos algebraicos para tipos de homotopía de espacios ”, consiste, para cadacategoría de espacios considerada T , en la búsqueda de una categoría algebraicaconveniente A y una noción de homotopía definida en ella junto con funtores“clasificador de espacios ”

B : A → T

y “modelo algebraico ”F : T → A

que induzcan una equivalencia entre las correspondientes categorías de homotopía

H0(T ) ' H0(A)

y que permita en definitiva el transvase de información entre los dos escenarios,el topológico y el algebraico.

Esta visión revela la existencia de una llamada “Teoría de Homotopía Alge-braica ” en cuyo desarrollo ha jugado un papel especialmente significativo la intro-ducción de la noción de conjunto simplicial (“complete semi-simplicial complex” ensu nomenclatura original) por Eilenberg-Zilber en 1950, [10], lo que quedó puestode manifiesto en los inmediatos trabajos de los años 50 por D.M.Kan [15, 16],y posteriormente en los 60 con los de E. Curtis, P. May, y D. Quillen (véase[9, 20, 23]). La consecuencia fue que, aun manteniendo una profunda conexióncon la teoría de homotopía de los espacios topológicos, pero teniendo en cuentaque los métodos e ideas en la teoría de conjuntos simpliciales eran algebraicos y


combinatorios, la teoría de homotopía existe, y puede formularse, completamenteal margen de cualquier contexto topológico.

Éste fue efectivamente el espíritu y punto de vista introducido por Kan y pos-teriormente codificado por Quillen (con su noción de categoría de modelos [23])que en todo caso concluyó con la equivalencia de la categoría de homotopía aso-ciada a la de conjuntos simpliciales, y más aún, de toda la teoría de homotopíaasociada, con la teoría de homotopía ordinaria de los espacios topológicos.

Esta equivalencia es conseguida por medio de la existencia de un par de fun-tores adjuntos (véase [20, 23]), la realización geométrica de Milnor

| |: Simp(Sets) → Top

y el complejo singular total

S(−) : Top → Simp(Sets)

con | | adjunto por la izquierda a S(−).

La consideración de esta equivalencia permite entonces, a la hora de buscar elllamado ya anteriormente funtor clasificador de espacios B:A → T , hacerlo comocomposición con el funtor realización geométrica de un correspondiente funtor

N : A → Simp(Sets)

genéricamente denominado, para estructuras categóricas, “nervio de la estructura”.

Esta construcción de nervios, y entonces de espacios clasificadores, pretendeasociar por tanto objetos geométricos a estructuras categóricas de forma que di-chos objetos retengan toda la información de la estructura (a nivel de conjuntossimpliciales, por tanto, que dicha información se registre en sus operadores cara ydegeneración).

Esta teoría de nervios, y consecuentemente de espacios clasificadores de es-tructuras categóricas diversas (como categorías, categorías monoidales, gruposcategóricos, 2-categorías, bicategorías, . . . ) se ha convertido en los últimos 25años en una parte esencial de la maquinaria usada en la Topología Algebraica (ytambién en otros campos como la K-teoría algebraica, la Geometría Algebraica,


. . . ) y una de las razones fundamentales para ésto es que cualquiera de estos pro-cesos pone al descubierto la forma en que la coherencia categórica (es decir, lasreglas que han de seguir los isomorfismos naturales en que derivan las igualdadesen casos estrictos) se convierte en coherencia homotópica (a nivel de conjuntossimpliciales y espacios topológicos).

Los orígenes de toda la teoría están en Grothendieck [14] quien por primeravez asoció un conjunto simplicial N(C) a una categoría pequeña C al que llamó el“nervio de C”. A partir de ahí, y en especial en los últimos años, se ha desarrolla-do una intensa actividad investigadora en la línea de describir nervios y espaciosclasificadores de estructuras categóricas superiores. Algunas referencias al respec-to son [3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 18, 24, 25].

El objetivo de este trabajo es mostrar de forma conjunta, y en casos en que lacomplejidad de la estructura categórica no es demasiado elevada, algunas de estasconstrucciones que conducen a nervios conjuntos simpliciales dando de forma ex-plícita, en dimensiones bajas, las definiciones de operadores cara y degeneraciónen cada caso, así como su interpretación geométrica. Ésto ha supuesto un proce-so de recopilación de bibliografía conducente al estudio previo de las estructurascategóricas implicadas (en concreto, las de categoría monoidal, grupo categóricoy 2-categoría) y al posterior análisis de diferentes definiciones de nervio apare-cidas para ellas en la literatura. Todo ha ello ha sido realizado con el soportede los conocimientos adquiridos en el curso “modelos algebraicos en Teoría deHomotopía” del Máster en Matemáticas de la Universidad de Granada y bajo ladirección del Dr. Antonio R. Garzón.


2. Preliminares

La bibliografía básica utilizada para esta sección preliminar es [9, 19, 20].

2.1. Categorías y funtores

Definición 1 Una categoría C puede ser definida como una cuaterna

C = (obj(C), HomC, 1, ◦)

donde:• Obj(C) es la clase de objetos.• ∀A, B ∈ Obj(C), HomC(A, B) es el conjunto de morfismos de A en B.• ∀A ∈ Obj(C) existe un morfismo distinguido 1A : A −→ A , llamado la

identidad en A.• ∀A, B, C ∈ Obj(C) hay una ley de composición

◦ : HomC(A, B)×HomC(A, C) −→ HomC(A, C)

(f, g) 7→ g ◦ f

que verifica:i) es asociativa, esto es, (h◦g)◦f = h◦(g◦f) para cualesquiera f ∈ HomC(A, B), g ∈HomC(B, C) y h ∈ HomC(C, D), con A, B, C,D ∈ Obj(C)

ii) tiene identidades, esto es, f ◦1A = f = 1B ◦f para cualquier f ∈ HomC(A, B)

Denotaremos Morf(C) :=⋃

A,B∈Obj(C)

HomC(A, B).

Una categoría se dice que es pequeña si la clase Obj(C) es un conjunto.

Dada cualquier categoría C, podemos construir la categoría opuesta de C, Cop,que es aquella en la que Obj(Cop) = Obj(C) y ∀A, B ∈ Obj(C) HomCop(A, B) =

HomC(B, A).

Definición 2 Si A y B son categorías, un funtor (covariante) F : A −→ B ,consiste en un par de funciones, la función sobre objetos:

F : Obj(A) −→ Obj(B)

A 7→ F (A)


y la función sobre morfismos:

F : HomA(A, B) −→ HomA(F (A), F (B))

f 7→ F (f)

verificando :1) F (g◦f) = F (g)◦F (f) para cualesquiera morfismos f : A → B y g : B → C

2) F (1A) = 1F (A) para cualquier objeto A de A.

Un funtor contravariante F : A −→ B, con A y B categorías, es un funtor covari-ante de Aop en B. Por tanto, para cualesquiera morfismos f : A → B y g : B → C

F verifica que F (g ◦ f) = F (f) ◦ F (g).

Funtores covariantes F : A → B y G : B → A se componen por la regla(GF )(A) = G(F (A)) y (GF )(f) = G(F (f)) con A ∈ Obj(A) y f ∈ Morf(A).

Definición 3 Dados dos funtores F, G : A −→ B, una transformación natural τ

de F en G representada por el diagrama:

AF

**

G

44⇓ τ B

consiste de una función

τ : Obj(A) −→ Morf(B)

A 7→ τA : F (A) → G(A)

tal que para cualquier f : A → A′ ∈ Morf(A) el siguiente diagrama conmuta:

F (A)τA //

F (f)

��

G(A)

G(f)

��F (A′)

τA′ // G(A′)

Si F, G y H son funtores entre las categorías A y B, y τ : F ⇒ G y τ ′ : G ⇒ H

son transformaciones naturales,

⇓ τ

A

F

H

>>G // B

⇓ τ ′


la composición vertical de τ y τ ′ es la transformación natural τ ′ ◦ τ : F ⇒ H

definida, ∀A ∈ Obj(A), por (τ ′ ◦ τ)A = τ ′A ◦ τA : F (A) → H(A).

Si τ : F ⇒ G y τ ′ : F ′ ⇒ G′ son transformaciones naturales, siendo F y G

funtores entre las categorías A y B y F ′ y G′ funtores entre las categorías B y C,

AF

**

G

44⇓ τ B BF ′

**

G′

44⇓ τ ′ C

la composición horizontal de τ y τ ′ es la transformación natural τ ′∗τ : F ′F ⇒ G′G

definida por (τ ′ ∗ τ)A = G′τAτ ′F (A) = τ ′GAF ′τA : (F ′F )(A) → (G′G)(A).

Definición 4 Dadas dos categorías A y B, con A pequeña, la categoría BA es lacategoría con Obj(BA)={funtores de A en B}, y Morf(BA)={transformacionesnaturales entre funtores de A en B}, con la composición dada por la composicónvertical de transformaciones naturales .

Definición 5 Un grupoide G es una categoría pequeña en la que todo morfismoes un isomorfismo (es decir, ∀f : A → B, ∃g : B → A tal que fg = 1B y gf = 1A).

Si G es un grupoide y consideramos en Obj(G) la relación A ∼ B si HomG(A, B) 6=∅, ésta es una relación de equivalencia. Denotamos Π0(G) = Obj(G)/ ∼ al con-junto cociente que llamaremos el conjunto de componentes (conexas) de G. SiΠ0(G) = {∗} se dice que G es conexo y si Π0(G) = Obj(G) el grupoide se dicetotalmente disconexo.

Si A ∈ Obj(G) entonces es fácil ver que HomG(A, A) es un grupo, que deno-taremos Π1(G, A) y que llamaremos grupo de automorfismos de G en A.Si A, B ∈ Obj(G) están en la misma componente de G entonces Π1(G, A) ∼= Π1(G, B)

estando dado el isomorfismo

Π1(G, A) → Π1(G, B)

y 7→ xyx−1

donde x : A → B es un morfismo cualquiera de A a B en G.

Se tiene entonces, para cada grupoide G, un funtor

Π1(G,−) : G → Grupos


que aplica A 7→ Π1(G, A) y, a cada x : A → B morfismo en G, el homomorfismode grupos Π1(G, x) : Π1(G, A) → Π1(G, B) dado por x 7→ xyx−1, que es un iso-morfismo.

Si denotamos Gpd a la categoría cuyos objetos son los grupoides y cuyos mor-fismos son los funtores entre ellos se tiene un funtor

Π0 : Gpd → Sets

que aplica G 7→ Π0(G), y cada funtor F : G → H en la aplicación Π0(F ) : Π0(G) →Π0(H) (definida por el hecho de que si A y B están en la misma componente deG entonces F(A) y F(B) están en la misma componente de H). Se tiene ademásuna transformación natural Π1(F ) : Π1(G,−) ⇒ Π1(H, F (−)) definida, para cadaA ∈ Obj(G), como el morfismo de grupos Π1(F, A) : Π1(G, A) → Π1(H, F (A))

dado por Π1(F, A)(x) = F (x)

2.2. Conjuntos simpliciales

Definición 6 La categoría simplicial de los símplices estándard, ∆, es aquella enla que Obj(∆) = {[n] = {0, 1, . . . , n}, n ≥ 0} y en la que Hom∆([n], [m]) = {f :

[n] → [m] tal que f es monótona}.

Cualquier conjunto ordenado [n] puede ser considerado como una categoría conlos elementos de [n] como objetos y sólo un morfismo i → j si i ≤ j. Con estaidentificación, la categoría ∆ puede considerarse como una subcategoría plena dela categoría Cat de las categorías pequeñas y funtores entre ellas.

Definición 7 Si C es cualquier categoría, la categoría de los objetos simplicialesen C, denotada Simp(C), es la categoría de funtores contravariantes de ∆ en C,esto es, Simp(C) = C∆op .

En el caso particular de que C = Sets tenemos entonces Simp(Sets) = Sets∆op ,que es la llamada categoría de conjuntos simpliciales.

En la categoría ∆ hay una serie de morfismos distinguidos, a saber los morfismosδi : [n− 1] → [n] inyectivos y los sobreyectivos σi : [n + 1] → [n] para 0 ≤ i ≤ n.


De los primeros hay n+1, que están determinados por el único i que no estáen la imagen y que estan definidos por:

δi(j) =

{j si i > j

j + 1 si i ≤ j

De los segundos hay n+1, que están determinados por el único i tal que i e i+1tienen la misma imagen y que están definidos por:

σi(j) =

{j si i ≥ j

j − 1 si i < j

Estos morfismos δi y σi tienen la propiedad de que generan todos los morfis-mos en la categoría ∆ en el sentido de que todo morfismo de ∆ se expresa deforma única como f = δjp · · · δj1σi1 · · ·σim siempre que ik < ik+1 y jk < jk+1.

Ejemplo: Si f : [5] → [4] es la aplicación f(0) = 0, f(1) = f(2) = f(3) =

1, f(4) = f(5) = 4 entonces puede comprobarse que f = δ3δ2σ1σ2σ4.

Los morfismos δi y σi verifican las siguientes identidades:

δjδi = δiδj−1 si i < j

σjσi = σiσj+1 si i ≤ j

σjδi =

δiσj−1 si i < j

id si i = j o i = j + 1

δi−1σj si i > j + 1

que se conocen como identidades cosimpliciales.

El hecho fundamental a destacar es que las aplicaciones δi y σi junto con las iden-tidades cosimpliciales constituyen un sistema de generadores y relaciones para ∆

y consecuentemente que la categoría simplicial ∆ está determinada por ellas.

Entonces si K ∈ Obj(Simp(Sets)) lo que se tiene es un funtor


K : ∆op // Sets

[n] � //

��

K([n]) = Kn

[m] � // K([m]) = Km

OO

En particular tenemos, para 0 ≤ i ≤ n,

[n− 1] � //

δi

��

Kn−1

[n] � // Kn

K(δi)

OO

donde K(δi) := di son llamados los operadores cara, y para 0 ≤ j ≤ n,

[n] � // Kn

K(σj)

��[n + 1] � //

σj

OO

Kn+1

donde K(σj) := sj son llamados los operadores degeneración .

Los operadores cara y degeneración satisfacen las siguientes identidades que sededucen de las identidades cosimpliciales:

didj = dj−1di si i < j

sisj = sj+1si si i ≤ j

disj =

sj−1di si i < j

id si i = j o i = j + 1

sjdi−1 si i > j + 1.

y que son conocidas con el nombre de identidades simpliciales para el conjuntosimplicial K.

Así, K ∈ Obj(Simp(Sets)) queda totalmente determinado por el objeto grad-uado indizado en los enteros no negativos K• = {Kn}n≥0 junto con los operadorescara di y degeneración sj satisfaciendo las identidades simpliciales.


Un conjunto simplicial se suele representar como un diagrama como el siguiente:

K• : Kn+1

d0 //dn+1... // Kn

d0 //dn

... //s0nnsn

...ll

. . .s0mm

sn−1...kk

K2

d0 //d1 //d2 // K1

d0 //

s1

mm

s0

jj

d1 // K0

s0

jj

Si x ∈ Kn, se dice que x es un n-símplice. En particular a los 0-símplices seles llama vértices.

Los morfismos en Simp(Sets) de K : ∆op → Sets a L : ∆op → Sets son lastransformaciones naturales f : K ⇒ L lo que, de forma análoga a como se ha pro-cedido antes, puede verse que equivale a dar un conjunto graduado de aplicacionesf• = {fn : Kn → Ln}n≥0 que conmutan con los operadores cara y degeneración,esto es, fndi = difn+1 ∀i = 0, . . . , n + 1 y fn+1sj = sjfn ∀j = 0, . . . , n

Definición 8 Sea K• = {Kn}n≥0 un conjunto simplicial. Para cualquier k, 0 ≤k ≤ n + 1, definimos Λn+1

k = {(x0, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn+1) ∈ (Kn)n+1 / dixj =

dj−1xi si i < j, i, j 6= k}; que se conoce como el conjunto de las “open k-horns” endimensión n.

Un conjunto simplicial K• se dice que satisface la condición de extensión deKan (o que es de Kan) si ∀k, 0 ≤ k ≤ n + 1, el morfismo canónico

dl : (d0, . . . , dk−1, dk+1, . . . , dn+1) : Kn+1 → Λn+1k (K•)

es sobreyectivo.Denotaremos KanSimp(Sets) a la categoría de los conjuntos simpliciales que

satisfacen la condición de extensión de Kan.

Todas las siguientes secciones del trabajo ofrecen diferentes ejemplos de conjuntossimpliciales construidos como nervios de distintas estructuras categóricas. Antesde pasar a ellas ofrecemos un ejemplo fundamental que determina además, juntocon el funtor realización geométrica, la equivalencia de las teorías de homotopíade espacios y conjuntos simpliciales.

Ejemplo: El conjunto simplicial singular de un espacio topológico.Sea ∆n = {(t0, . . . , tn) ∈ Rn+1/

∑ti = 1, 0 ≤ ti ≤ 1} el n-símplice eucídeo están-

dar.


Para cada aplicación θ : [n] → [m] se tiene la aplicación θ∗ : ∆n → ∆m definida

como ∆∗(t0, . . . , tn) = (s0, . . . , sm) donde si =

{0 si θ−1(i) = ∅∑

j∈θ−1(i) tj si θ−1(i) 6= ∅

Se tiene así un funtor:

∆T // Top

[n] � //

θ ��

∆n

θ∗ ��[m] � // ∆m

Para cada espacio topológico X, consideramos también el funtor:

TopHomTop(−,X)

// Sets

∆n

θ∗ ��

� // HomTop(∆n, X)

∆m� // HomTop(∆m, X)

(θ∗)∗OO

donde (θ∗)∗(f : ∆m → X) = f ◦ θ∗.

Entonces se define el conjunto simplicial singular de X como el conjunto sim-plicial dado por la composición de T y HomTop(−, X), esto es,

S(X) = HomTop(−, X) ◦ T : ∆op → Sets

así que el conjunto de n-símplices es S(X)n = HomTop(∆n, X) y si f : ∆n → X

es un n-símplice, tenemos que los operadores cara están dados por:

dif : ∆n−1 −→ X

(t0, . . . , tn−1) 7→ f(t0, . . . , 0, ti, . . . , tn−1)

y los operadores degeneración por

sjf : ∆n+1 −→ X

(t0, . . . , tn+1) 7→ f(t0, . . . , tj−1, tj + tj+1, tj+2 . . . , tn+1)

Esta construcción determina un funtor

S(−) : Top // SimpSets

X� // S(X)

al que se le llama funtor conjunto simplicial singular.


Destaquemos que el conjunto simplicial singular S(X) es un conjunto simplicialde Kan puesto que, al ser la unión de cualesquiera n+1 caras de ∆n+1 un retractode ∆n+1, entonces cualquier aplicación contínua definida sobre tal unión puedeextenderse a ∆n+1.

3. Nervio (de Grothendieck) de una categoría pe-

queña. El caso de un grupoide

En esta sección ofrecemos dos construcciones isomorfas de la noción de nerviode una categoría pequeña C. Esta construcción es debida a Grothendieck [14]y proporciona un encaje pleno y fiel (esto es, inyectivo en objetos) de Cat enSimp(Sets). El hecho interesante a destacar es que, en este conjunto simplicial, laestructura de la categoría C (composición, identidades) queda cifrada en términosde sus caras y degeneraciones.

El Nervio (de Grothendieck) de C es el conjunto simplicial

NC : ∆op → Sets

definido como sigue:NC0 = ObjC (esto es, los vértices son los objetos)y, para p ≥ 1

NCp =⊔

(x0,...,xp)∈ObjCp+1

C(x0, x1)× C(x1, x2)× . . . C(xp−1, xp)

donde C(xi, xi+1) es HomC(xi, xi+1), esto es, un p-símplice para p ≥ 1 es unasucesión (u1, . . . , up) de p morfismos componibles en C

x0u1 // x1

u2 // x2u3 // . . . xp−1

up // xp

Así, los 1-símplices son los morfismos de C, los 2-símplices son pares de morfismoscomponibles, etc.

Los morfismos cara di : NCp → NCp−1 están dados, para p = 1, por

{d0(u1) = x1

d1(u1) = x0


y, para p ≥ 2,

di(u1, . . . , up) =

(u2, . . . , up) i = 0

(u1, . . . , ui+1ui, . . . , up) 0 < i < p

(u1, . . . , up−1) i = p

Así la cara i-ésima de un p-símplex (u1, . . . , up) se obtiene eliminando el obje-to xi, poniendo xj en la posición j − 1 para j > i y usando composición.

Y los morfismos degeneración sj : NCp → NCp+1 estan dados, para p = 0, pors0(x) = idx y, para p ≥ 1, por sj(u1, . . . , up) = (u1, . . . , uj, idxj

, uj+1, . . . , up), 0 ≤j ≤ p, esto es, sustituyendo el objeto xj por el morfismo identidad 1xj

: xj → xj.

Comprobemos a título de ejemplo algunas identidades simpliciales:Sea (u1, u2) un 2-símplice, esto es, x0

u1 // x1u2 // x2 ∈ NC2

• d0d1(u1, u2) = d0d0(u1, u2). En efecto:d0d1(u1, u2) = d0(u1u2) = x2

d0d0(u1, u2) = d0(u2) = x2.

• d0d2(u1, u2) = d1d0(u1, u2). En efecto:d0d2(u1, u2) = d0(u1) = x1

d1d0(u1, u2) = d1(u2) = x1.

• d1d2(u1, u2) = d1d1(u1, u2). En efecto:d1d2(u1, u2) = d1(u1) = x0

d1d1(u1, u2) = d1(u1u2) = x0.

• d0s0(u1, u2) = (u1, u2). En efecto:d0s0(u1, u2) = d0(idx0 , u1, u2) = (u1, u2).

• d0s1(u1, u2) = s0d0(u1, u2). En efecto:d0s1(u1, u2) = d0(u1, idx1 , u2) = (idx1 , u2)

s0d0(u1, u2) = s0(u2) = (idx1 , u2).


• d0s2(u1, u2) = s1d0(u1, u2). En efecto:d0s2(u1, u2) = d0(u1, u2, idx2) = (u2, idx2)

s1d0(u1, u2) = s1(u2) = (u2, idx2).

Si se considera el conjunto simplicial

∆C : ∆op → Sets

definido por ∆Cp = Funt([p], C), entonces, si F : [p] → C es un p-símplice se tieneque, si p = 0, F se identifica con el objeto F0 de C; si p = 1, F se identifica conel morfismo F0,1 : F0 → F1; si p = 2, F se identifica con la terna (F0,1, F1,2, F0,2)

con F0,1 : F0 → F1, F0,2 : F0 → F2 y F1,2 : F1 → F2 tales que F0,2 = F0,1F1,2 yFi,i = idFi

para i = 0, 1, 2. En general, para p ≥ 1, un p-símplice F : [p] → C seidentifica con uplas de morfismos (Fi,j : Fi → Fj)0≤i≤j≤p tales que Fi,k = Fj,kFi,j

para 0 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ p y Fi,i = idFi∀i.

Esta construcción da una alternativa para la consideración del nervio de Grothendieck,pues se tiene un isomorfismo simplicial

∆C ∼= NC

dado para cada símplice F ∈ ∆Cp por

F 7→ (F0F0,1 // F1

F1,2 // . . . F (p− 1)Fp−1,p// Fp) .

Ambos conjuntos simpliciales son entonces usualmente identificados.

Destaquemos que ∆C tiene una interpretación geométrica más sugerente queNC puesto que un p-símplice de ∆C puede mirarse como el 1-esqueleto de unp-símplice estándar orientado con objetos Fi de C situados en los vértices y mor-fismos Fi,j : Fi → Fj situados en las aristas para 0 ≤ i ≤ j ≤ p con la condiciónde que cada triángulo, para 0 ≤ i < j < k ≤ p

FjFj,k

!!CCC

CCCC

C

Fi

Fi,j==||||||||

Fi,k

// Fk

sea conmutativo.


Así, por ejemplo, un 3-símplice de ∆C puede mirarse como un diagrama de objetosy morfismos en C

F1

F1,3

��

F1,2

!!DDD

DDDD

D

F0

F0,1

==zzzzzzzz F0,2 //

F0,3 !!DDD

DDDD

D F2

F2,3}}zzzz

zzzz

F3

donde cada triángulo F1F1,2

""FFFFFFFF

F0

F0,1

=={{{{{{{{

F0,2

// F2 ,

F1F1,3

""FFFFFFFF

F0

F0,1

=={{{{{{{{

F0,3

// F3 ,

F2F2,3

""FFFFFFFF

F0

F0,2

=={{{{{{{{

F0,3

// F3 ,

F2F2,3

""FFFFFFFF

F1

F1,2

=={{{{{{{{

F1,3

// F3 ,

es conmutativo y es cada una de sus cuatro caras.

Notemos que la construcción anterior del nervio de una categoría pequeña deter-mina un funtor entre la categoría de las categorías pequeñas, Cat, y Simp(Sets):

N(_) : Cat −→ Simp(Sets)

C 7→ N(C).

Recordemos que un grupoide es una categoría en la que todo morfismo es unisomorfismo. En tal caso se tiene que la construcción de nervio define un funtor

N(_) : Gpd → KanSimp(Sets)

desde la categoría de grupoides a la categoría de conjuntos simplicales de Kan;es decir, que el nervio (de Grothendieck) de un grupoide satisface la condición deextensión de Kan (recordada en los preliminares).

A continuación hacemos algunas comprobaciones particulares de tal hecho queson ilustrativas de la demostración general.

Por ejemplo, si (x0, x2) ∈ Λ21, veamos que existe z ∈ N(G)2 tal que di(z) = xi

para i = 0, 2.Como x0, x2 ∈ N(G)1, entonces son isomorfismos x0 : G01 → G02 y x2 : G21 →G22, y como (x0, x2) ∈ Λ2

1, d0x2 = d1x0; esto es G22 = G01. Ahora, tomandoz = (x2, x0), claramente z ∈ N(G)2 , d0(z) = x0 y d2(z) = x2


Supongamos ahora que (x0, x1, x3) ∈ Λ32 y veamos que existe z ∈ N(G)3 tal que

di(z) = xi para i = 0, 1, 3.En efecto, como (x0, x1, x3) ∈ N(G)2, entonces d0x0 = d0x1; d0x3 = d2x0; d1x3 =

d2x1. Si ponemos x0 = (g01, g02), x1 = (g11, g12), x3 = (g31, g32), tenemos queg02 = g12; g01 = g32 y g31g32 = g11. Ahora, tomando z = (g31, g01, g02) ∈ N(G)2

ya hemos acabado, pues en efecto d0z = (g01, g02) = x0, d1z = (g31g01, g02) =

(g31g32, g02) = (g11, g12) = x1 y d3z = (g31, g01) = (g31, g32) = x3.

4. El nervio geométrico de una categoría monoidal

Abstrayendo la noción conjuntista de monoide se tiene:

Definición 9 Una categoría monoidal M⊗ = (M, ⊗, α, e, λ, ρ) es, [19], una cat-egoría M, un bifuntor

⊗ : M ×M → M

(a, b) 7→ a⊗ b

(f, g) 7→ f ⊗ g

un objeto unidad e ∈M y tres isomorfismos naturales:(asociatividad) α = αa,b,c : a⊗ (b⊗ c) ∼= (a⊗ b)⊗ c, natural en a, b, c;(unidad izquierda) λ = λa : e⊗ a ∼= a, natural en a;(unidad derecha) ρ = ρa : a⊗ e ∼= e, natural en a;

tales que ∀a, b, c, d ∈ M los siguientes diagramas (pentágono y triángulo) con-mutan:

a⊗ (b⊗ (c⊗ d)) α //

1⊗α��

(a⊗ b)⊗ (c⊗ d) α // ((a⊗ b)⊗ c)⊗ d

α⊗1��

a⊗ ((b⊗ c)⊗ d) α // (a⊗ (b⊗ c))⊗ d

a⊗ (e⊗ c) α //

1⊗λ

��

(a⊗ e)⊗ c

ρ⊗1

��a⊗ c a⊗ c

y tal que λe = ρe : e⊗ e → e.

Cuando los isomorfismos de asociatividad y unidad son identidades se dice que lacategoría monoidal es estricta.


Por ejemplo, un monoide (i.e. un conjunto con una ley de composición asocia-tiva para la que existe elemento neutro) visto como una categoría discreta (i.e.con solo identidades) es una categoría monoidal estricta en la que ⊗ está dado porla multiplicación en el monoide. La categoría de grupos abelianos con el productotensor usual y con objeto unidad Z es también una categoría monoidal.

Junto a otras conocidas y equivalentes posibilidades de definir el espacio clasi-ficador de una categoría monoidal(véase [4]) hay una posibilidad de hacerlo via laconstrucción del llamado nervio geométrico ∆M⊗ introducido por Street y Duskin[11, 26] y estudiado por Cegarra [4]. Este nervio geométrico es un conjunto sim-plicial que aglutina la estructura categórica y monoidal de M⊗ y que vamos adescribir a continuación.

Definición 10 El nervio geométrico de una categoría monoidal M⊗ es el con-junto simplicial

∆M⊗ : ∆op → Sets

definido por[n] 7→ (∆M⊗)n = {xi,j, xi,j,k}0≤i≤j≤k≤n

donde xi,j son objetos de M y xi,j,k : xi,k → xj,k ⊗ xi,j son morfismos de M talesque:

• xi,i = e (el objeto unidad de M⊗) ;• xi,j,j = l : xi,j → e⊗ xi,j; xi,i,j = r : xi,j → xi,j ⊗ e;• (xj,k,l ⊗ 1xi,j

)xi,j,l = axk,l,xj,k,xi,j(1xk,l

⊗ xi,j,k)xi,k,l

∀ 0 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ l ≤ n

Esta definición admite la siguiente (más sugerente) interpretación geométrica:(∆M⊗)0 = {e}(∆M⊗)1 = { 0

x0,1 // 1 } donde x0,1 ∈ Obj(M)

(∆M⊗)2 = {x0,1,2 : x0,2 → x1,2 ⊗ x0,1} donde x0,1,2 ∈ Morf(M) y es situadoen un triángulo como el siguiente:

1x1,2

��===

====

0 x0,2

//

x0,1

@@�� x0,1,2

OO

2


Para n = 3, un 3-símplice es un tetraedro:

3

0

x0,3

@@��x0,2 //

x0,1 ��===

====

2

x2,3

^^=======

1

x1,3

OO

x1,2

@@��

con x0,1,2 : x0,2 → x1,2 ⊗ x0,1

1x1,2

��===

====

0 x0,2

//

x0,1

@@�� x0,1,2

OO

2

x0,1,3 : x0,3 → x1,3 ⊗ x0,1

1x1,3

��===

====

0 x0,3

//

x0,1

@@�� x0,1,3

OO

3

x0,2,3 : x0,3 → x2,3 ⊗ x0,2

2x2,3

��===

====

0 x0,3

//

x0,2

@@�� x0,2,3

OO

3

y x1,2,3 : x1,3 → x2,3 ⊗ x1,2

2x2,3

��===

====

1 x1,3

//

x1,2

@@�� x1,2,3

OO

3

que es conmutativo, en el sentido de que el siguiente diagrama es conmutativo:

x0,3x0,1,3 //

x0,2,3

��

x1,3 ⊗ x0,1x1,2,3⊗id// (x2,3 ⊗ x1,2)⊗ x0,1

x2,3 ⊗ x0,2id⊗x0,1,2 // x2,3 ⊗ (x1,2 ⊗ x0,1)

∼ α

OO

En general, para n ≥ 3, un n-símplice puede mirarse como el 2-esqueleto deun n-símplice estándar orientado

n n− 1xn−1,noo

0

x0,n

@@��

66nnnnnnnnnnnnnn

((QQQQQQQQQQQQQQQQ

x0,1 ��>>>

>>>>

>

1 x1,2

//

EE��

x1,n

OO

2

x2,n−1

OOYY333333333333333


con objetos xi,j situados en las aristas i → j para 0 ≤ i < j ≤ n

y morfismos xi,j,k : xi,k → xj,k ⊗ xi,j situados en el interior de triángulos

jxj,k

��<<<

<<<<

<

i xi,k

//

xi,j

AA�� xi,j,k

OO

k

para 0 ≤ i < j < k ≤ n.

Estos datos deben verificar que cada tetraedro

l

i

xi,l

@@��xi,k //

xi,j��;

;;;;

;;; k

xk,l

^^========

j

xj,l

OO

xj,k

@@��

donde xi,j,k : x → x ⊗ xi,j

jxj,k

��<<<

<<<<

<

i xi,k

//

xi,j

AA�� xi,j,k

OO

k

xi,j,l : xi,l → xj,l ⊗ xi,j

jxj,l

��;;;

;;;;

;

i xi,l

//

xi,j

AA�� xi,j,l

OO

l

xi,k,l : xi,l → xk,l ⊗ xi,k

kxk,l

��<<<

<<<<

<

i xi,l

//

xi,k

@@�� xi,k,l

OO

l

xj,k,l : xj,l → xk,l ⊗ xj,k

kxk,l

��<<<

<<<<

<

j xj,l

//

xj,k

@@�� xj,k,l

OO

l

ha de ser conmutativo, en el sentido de que el diagrama

xi,lxi,j,l //

xi,k,l

��

xj,l ⊗ xi,jxi,j,l⊗id

// (xk,l ⊗ xj,k)⊗ xi,j

xk,l ⊗ xi,kid⊗xi,j,k // xk,l ⊗ (xj,k ⊗ xi,j)

∼ α

OO


sea conmutativo para 0 ≤ i < j < k < l ≤ n.

Los operadores cara están definidos como sigue:

Si {x0,1, x0,2, x0,3, x1,2, x1,3, x0,1,2, x0,1,3x0,2,3, x1,2,3} es un 3-símplice,

3

0

x0,3

@@�� x0,2 //

x0,1 ��===

====

2

x2,3

^^=======

1

x1,3

OO

x1,2

@@��

con x0,1,2 : x0,2 → x1,2 ⊗ x0,1,x0,1,3 : x0,3 → x1,3 ⊗ x0,1, x0,2,3 : x0,3 → x2,3 ⊗ x0,2 yx1,2,3 : x1,3 → x2,3 ⊗ x1,2;d0({x0,1, x0,2, x0,3, x1,2, x1,3, x0,1,2, x0,1,3x0,2,3, x1,2,3}) = x1,2,3,d1({x0,1, x0,2, x0,3, x1,2, x1,3, x0,1,2, x0,1,3x0,2,3, x1,2,3}) = x0,2,3,d2({x0,1, x0,2, x0,3, x1,2, x1,3, x0,1,2, x0,1,3x0,2,3, x1,2,3}) = x0,1,3 yd3({x0,1, x0,2, x0,3, x1,2, x1,3, x0,1,2, x0,1,3x0,2,3, x1,2,3}) = x0,1,2.

Si x0,1,2 : x0,2 → x1,2 ⊗ x0,1 es un 2-símplice, d0(x0,1,2) = x1,2, d1(x0,1,2) = x0,2

y d2(x0,1,2) = x0,1.

En general, la cara di de un n-símplice, para 0 ≤ i ≤ n, consiste en el 2-esqueletodel (n− 1)-símplice estándard orientado que resulta de eliminar el vértice i, y enconsecuencia los objetos xi,j, para 0 ≤ i ≤ j ≤ n, y xk,i para 0 ≤ k ≤ i ≤ n y losmorfismos (triángulos) correspondientes del n-símplice estándar orientado.

Y los operadores degeneración:

Sea ( 0x0,1 // 1 ) ∈ (∆M⊗)1

s0( 0x0,1 // 1 ) = x0,0,1 = r : x0,1 → x0,1 ⊗ e;

0x0,1

��===

====

0 x0,1

//

x0,0=e@@�� r

OO

1


s1( 0x0,1 // 1 ) = x0,1,1 = l : x0,1 → e⊗ x0,1;

1x1,1=e

��===

====

0 x0,1

//

x0,1

@@�� l

OO

1

Si x0,1,2 : x0,2 → x1,2 ⊗ x0,1 es un 2-símplice,s0(x0,1,2) = 2

0

x0,2

@@�� x0,1 //

e��=

====

==1

x1,2

^^=======

0

x0,2

OO

x0,1

@@��

con x0,0,2 = r : x0,2 → x0,2⊗e, x0,1,2 : x0,2 → x1,2⊗x0,1 y x0,0,1 = l : x0,1 → x0,1⊗e

s1(x0,1,2) = 2

0

x0,2

@@�� x0,1 //

x0,1 ��===

====

1

x1,2

^^=======

1

x1,2

OO

e

@@��

con x0,1,1 = l : x0,1 → e⊗x0,1, x0,1,2 : x0,2 → x1,2⊗x0,1 y x1,1,2 = r : x1,2 → x1,2⊗e

s2(x0,1,2) = 2

0

x0,2

@@�� x0,2 //

x0,1 ��===

====

2

e^^=======

1

x1,2

OO

x1,2

@@��

con x0,2,2 = l : x0,2 → e⊗x0,2, x0,1,2 : x0,2 → x1,2⊗x0,1 y x1,1,2 = r : x1,2 → x1,2⊗e

En general, la degeneración sj de un n-símplice, para 0 ≤ j ≤ n, consiste enel 2-esqueleto del (n + 1)-símplice estándard orientado que resulta de repetir elvértice j, y en consecuencia los objetos xi,j, para 0 ≤ i ≤ j ≤ n, xj,k para0 ≤ j ≤ k ≤ n y e, junto con sus morfismos (triángulos) correspondientes, aln-símplice estándar orientado.


5. El nervio de un grupo categórico

Grupos categóricos son grupoides monoidales en los que todo objeto es invert-ible, salvo isomorfismo, respecto al producto tensor.

Antes de precisar más esta definición y fijar notación destaquemos que la (2)-categoría de los grupos categóricos viene a ser el análogo 2-dimensional de lacategoría de grupos y que tales estructuras categóricas surgen de forma naturalen la consideración de numerosos problemas tanto algebraicos como topológicos(véase [2, 8, 5, 22]). Más en concreto, la utilidad e importancia de los gruposcategóricos en teoría de Homotopía procede de que ellos proporcionan nuevosmodelos algebraicos para los 2-tipos conexos, hecho probado por la alumna deA. Grothendieck, H. Shin, en su tesis doctoral [22]. Alternativamente este hechopuede ser deducido (véase [5]) haciendo uso de la construcción de nervio de ungrupo categórico que a continuación describiremos.

Definición 11 Un grupo categórico es un grupoide monoidal (es decir una cate-goría monoidal pequeña en la que todo morfismo es un isomorfismo)

G = ( G, ⊗, a, I, l, r)

con:a = aA,B,C : (A⊗B)⊗ C → A⊗ (B ⊗ C);l = lA : I ⊗ A → A; r = rA : A⊗ I → A;

en el que todo objeto es invertible, esto es, los funtores B 7→ A⊗B y B 7→ B⊗A

son equivalencias para cualquier A ∈ Obj(G). En este caso es posible elegir, paracada A ∈ Obj(G), un objeto A∗ (llamado un inverso para A) e isomorfismosγA : A⊗ A∗ → I y θA : A∗ ⊗ A → I tales que lA(γA ⊗ 1) = rA(1⊗ θA)aA,A∗,A.

Grupos categóricos y funtores monoidales entre ellos forman una categoría quedenotaremos CG

Definición 12 Si G = ( G, ⊗, a, I, l, r) es un un grupo categórico, su nerviogeométrico NG es el conjunto simplicial NG : ∆op → Sets definido como sigue:

N(G)0 = {I}N(G)1 = Obj(G)


N(G)2 = {(x; A0, A1, A2) ∈ Morf(G)×Obj(G)3) donde x : A0 ⊗ A2 → A1}N(G)3 = {α = (x0, x1, x2, x3, A,B,C, D, E, F ) ∈ Morf(G)4 × Obj(G)6 donde

x0 : A⊗B → D; x1 : A⊗ E → F ; x2 : D ⊗ C → E y x3 : B ⊗ C → E} y talesque el siguiente diagrama es conmutativo:

(A⊗B)⊗ C

x0⊗1vvmmmmmmmm

a // A⊗ (B ⊗ C)1⊗x3

((QQQQQQQQ

D ⊗ Cx2

++XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX A⊗ E

x1ssfffffffffffffffffffff

F

Omitiendo el isomorfismo de asociatividad escribiremos

α = A⊗B ⊗ C1⊗x3 //

x0⊗1

��

A⊗ E

x1

��D ⊗ C

x2 // F

Los operadores cara y degeneración hasta esta dimensión están dados como sigue:

Si A ∈ Ner(G)2 = Obj(G), entonces di(A) = 1 para i = 0, 1; si x : A0 ⊗A2 → A1 es un 2-símplice, entonces di(x) = Ai para i = 0, 1, 2; y si α =

(x0, x1, x2, x3, A,B,C, D, E, F ) es un 3-símplice entonces di(α) = xi para i =

0, 1, 2, 3.

Si A ∈ Ner(G)1 = Obj(G) entoncess0(A) = (rA; A, A, I) rA : A⊗ I → A

s1(A) = (lA; I, A, A) lA : I ⊗ A → A

Si (x : A0 ⊗ A2 → A1) ∈ Ner(G)2 entoncess0(x) = (x, x, r, r) =

A0 ⊗ A2 ⊗ I1⊗r //

x⊗1��

A0 ⊗ A2

x

��A1 ⊗ I

r // A1

s1(x) = (r, x, x, l) =


A0 ⊗ I ⊗ A21⊗l //

r⊗1��

A0 ⊗ A2

x

��A0 ⊗ A2

x // A1

s2(x) = (l, l, x, x) =

I ⊗ A0 ⊗ A21⊗x //

l⊗1��

I ⊗ A1

l��

A0 ⊗ A2x // A1

Hasta aquí se tiene definido un conjunto simplicial truncado a nivel 3. Algunasidentidades simpliciales son comprobadas a continuación:

Si α = (x0, x1, x2, x3, A,B,C, D, E, F ) un 3-símplice, entonces d0d1 = d0d0, puesd0d1(α) = d0(x1) = A; d0d0(α) = d0(x0) = A

Si x : A0 ⊗ A2 → A1 es un 2-símplice, entonces d0s0 = d1s0, puesd0s0(x) = d0(x, x, r, r, A0, A2, I, A1, A2, A1) = x

d1s0(x) = d1(x, x, r, r, A0, A2, I, A1, A2, A1) = x

d2s0 = s0d1, puesd2s0(x) = d2(x, x, r, r, A0, A2, I, A1, A2, A1) = r; s0d1(x) = s0(A1) = r

y d3s0 = s0d2, puesd3s0(x) = d3(x, x, r, r, A0, A2, I, A1, A2, A1) = r; s0d2(x) = s0(A2) = r

En general, NG : ∆op → Sets es definido entonces como el 3-coesqueleto de esteconjunto simplicial truncado a nivel 3. Esto significa que en dimensiones p ≥ 4,NGp consiste de núcleos simpliciales (recuérdese que el n + 1 núcleo simplicialde un conjunto simplicial truncado a nivel n está formado por las (n + 2)-uplas(x0, . . . , xn+1) ∈ Xn+2

n tales que dixj = dj−1xi para 0 ≤ i < j ≤ n + 1 ) donde losoperadores cara son las restricciones de las proyecciones.

Así, por ejemplo, omitiendo los ismorfismos de asociatividad, un 4-símplice deNG (α0, α1, α2, α3, α4, ) puede ser representado por un cubo de caras conmutati-vas:


A⊗B ⊗ C ⊗D1⊗u⊗1 //

1⊗1⊗k

��

f⊗1⊗1

uullllllllllllllA⊗G⊗D

1⊗v

��

x⊗1

wwooooooooooo

E ⊗ C ⊗Dg⊗1 //

1⊗k

��

M ⊗D

h

��

A⊗B ⊗ F1⊗s

f⊗1

uullllllllllllllA⊗K

mwwooooooooooooo

E ⊗ Fj

// J

donde α0⊗ 1 es la cara superior, α1 la inferior, α3 la frontal, 1⊗α4 la de atrásy α2 la lateral derecha.

Con esta construcción se tiene ( [5, Proposition 2.3]) que NG es un conjuntosimplicial de Kan con solo dos grupos de homotopía no nulos, a saber,

Π1NG ∼= Π0G, Π2NG ∼= AutG(I), y ΠiNG = 0, ∀i 6= 1, 2.

Este hecho sugiere, como ya se comentó anteriormente, el resultado de que gruposcategóricos son modelos algebraicos para los 2-tipos conexos.

6. El nervio geométrico de una 2-categoría

Las nociones de categoría, funtor y transformación natural junto con las dosformas de componer éstas, la composición vertical y la composición horizontal,sugieren la definición general de 2-categoría como una estructura consistente enobjetos (0 − celdas), morfismos entre los objetos (1 − celdas) y deformaciones(2− celdas) entre los morfismos, donde las 2− celdas pueden componerse de dosformas, la vertical y la horizontal. De esta forma se concibe a Cat como un ejem-plo fundamental de la noción de 2-categoría que precisamos a continuación:

Definición 13 Una 2-categoría C es una estructura consistiendo de:i) Una clase de objetos Obj(C) (llamados también 0-celdas).ii) Una categoría C(x, y), ∀ x, y ∈ Obj(C). Los objetos de C(x, y) se llaman

morfismos (o 1 − celdas) y son denotados u : x → y; y los morfismos de C(x, y)


son llamados deformaciones (o 2− celdas) y son denotados f : u ⇒ v.

La composición en cada categoría C(x, y) se llama composición vertical y se de-nota por yuxtaposición.

iii) Un bifuntor

C(x, y) × C(y, z) ◦ // C(x, z)

xu

))

u′

55⇓ f yv

))

v′

55⇓ g z // xv◦u

))

v′◦u′55⇓ g ◦ f z

∀x, y, z ∈ Obj(C), llamado composición horizontal, que es asociativo y tiene iden-tidades, esto es, h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f y, ∀u : x → y, existen morfismos identidad1x : x → x y 1y : y → y tales que 1x ◦ u = u = u ◦ 1y .

Si C es una 2-categoría y se considera la misma construcción del nervio deGrothendieck NC realizada en el caso de una categoría, se tiene una categoríasimplicial (objeto simplicial en Cat) NC : ∆op → Cat y usando la definiciónde Segal [21] de realización geométrica de un espacio topológico simplicial (objetosimplicial en Top) se tiene una definición de espacio clasificador de una 2-categoríapor BC = B([p] → BNCp) (donde BNCp es el espacio clasificador de la categoríaNCp).

Sin embargo hay otra forma convincente y equivalente (véase [3, Theorem 1.1])de asociar un espacio a una 2-categoría que pasa por la consideración del llamadonervio geométrico ∆C de la 2-categoría, que fue desarrollado entre otros por Street[25] y Duskin [11]. Este nervio geométrico de C es un conjunto simplicial que tienede nuevo, como ocurría en otras estructuras ya comentadas, la virtud de tenercifrada en su estructura (caras y degeneraciones) toda la estructura en este casode 2-categoría de C.

Antes de pasar a dar la definición explícita de ∆C recordemos que dada unacategoría I y una 2-categoría C un funtor laxo normalizado x : I → C consiste detres funciones que asocian:

a) A cada i ∈ Obj(I) un objeto xi ∈ Obj(C)

b) A cada morfismo τ en I, τ : i → j, una 1-celda en C, xτ : xi → xj

c) A cada par de morfismos componibles iτ // j σ // k en I, una 2-celda en

C, xτ,σ : xστ ⇒ xσxτ

y estos datos deben satisfacer las siguientes condiciones de normalización y co-herencia:


• Para cualquier i ∈ Obj(I), x1i= 1xi

• Para cualquier morfismo τ : i → j en I, xτ,1i= 1xτ = x1j ,τ

• Para cada terna de morfismos componibles en I iγ // j τ // k

σ // l , elsiguiente cuadrado de 2-celdas de C es conmutativo:

xστγxστ,γ +3

xσ,τγ

��

xστxγ

xσ,τ xγ

��xσxτγ

xσxτ,γ +3 xσxτxγ

Denotamos LaxFunt(I, C) al conjunto de funtores laxos de I en C.

Definición 14 [3, 11, 26] Si C es una 2-categoría, el nervio geométrico de C es elconjunto simplicial definido por:

∆ : ∆op // Sets

[p] � // ∆Cp = LaxFunt([p], C)

.

Entonces si x ∈ LaxFunt([p], C) se tiene que x consiste de una familia

x = {xi, xi,j, xi,j,k}0≤i≤j≤k≤p

donde xi ∈ Obj(C), xi,j : xi → xj son 1-celdas y xi,j,k : xi,k ⇒ xj,k ◦ xi,j son2-celdas en C tales que:

• xi,i = 1xi0 ≤ i ≤ p

• xi,j,j = 1xi,j= xi,i,j 0 ≤ i ≤ j ≤ p

• xk,l ◦ xi,j,kxi,k,l = xj,k,l ◦ xi,jxi,j,l 0 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ l ≤ p

Es claro entonces que los vértices de ∆C son los objetos de C, los 1-símplices sonlos morfismos de C, los 2-símplices pueden interpretarse como triángulos

x1x1,2

!!BBB

BBBB

B

x0

x0,1

==||||||||x0,2

//x0,1,2

KS

x2

donde x0,1,2 : x0,2 ⇒ x1,2 ◦ x0,1 es una 2-celda en Cy, para n ≥ 3, un n-símplice puede verse como un diagrama en C con la forma de


2-esqueleto de un n-símplice estándar orientado

xn xn−1xn−1,noo

x0

x0,n

==||||||||

66lllllllllllllll

((RRRRRRRRRRRRRRRR

x0,1 !!CCC

CCCC

C

x1 x1,2

//

EE

x1,n

OO

x2

x2,n−1

OOYY444444444444444

cuyos vértices x0, . . . , xn son objetos de C, cuyas aristas xi,j : xi → xj , 0 ≤ i <

j ≤ n, son morfismos en C y cuyas caras son triángulos

xj

xj,k

BBB

BBBB

B

xi

xi,j>>}}}}}}}}xi,k

//xi,j,k

KS

xk

con xi,j,k : xi,k ⇒ xj,kx◦xi,j 0 ≤ i < j < k ≤ n es una 2-celda en C satisfaciendoque cada tetraedro con vértices xi, xj, xk y xl es conmutativo, en el sentido deque el siguiente cuadrado de 2-celdas sea conmutativo:

xi,lxi,j,l +3

xi,k,l

��

xj,l ◦ xi,j

xj,k,l◦xi,j

��xk,l ◦ xi,k

xk,l◦xi,j,l +3 xk,l ◦ xj,k ◦ xi,j

Así, en concreto, un 3-símplice es un diagrama en C

x3

=⇒ x1=⇒x1,3

OO

x1,2 $$IIIIIIII

x0

x0,3

CC�� x0,1

::uuuuuuuux0,2

//

KS

x2

x2,3

[[77777777777777

con x0,1,3 : x0,3 ⇒ x1,3 ◦ x0,1, x1,2,3 : x1,3 ⇒ x2,3 ◦ x1,2, x0,2,3 : x0,3 ⇒ x2,3 ◦ x0,2 yx0,1,2 : x0,2 ⇒ x1,2 ◦ x0,1 y tal el siguiente diagrama es conmutativo :

x0,3x0,1,3 +3

x0,2,3

��

x1,3 ◦ x0,1

x1,2,3◦x0,1

��x2,3 ◦ x0,2

x2,3◦x0,1,2 +3 x2,3 ◦ x1,2 ◦ x0,1

esto es, que se tenga la siguiente igualdad:

x3 x3

⇒x0

x0,399sssssss

x0,1 ##GGG

GGGG

G ⇒ ⇒ x2

x2,3eeKKKKKKK

= x0

x0,3<<zzzzzz

x0,1 ��???

???? x0,2

// x2

x2,3bbEEEEEE

⇓x1

x1,3

OO

x1,2

;;wwwwwwwwx1

x1,2

??��


Los operadores cara y degeneración están dados como sigue. Las caras di = δ∗i :

∆Cn → ∆Cn−1 así que funcionan suprimiendo todos los elementos indizados en i,y renumerando cada índice l ≥ i como l − 1. Análogamente, las degeneracionessj : ∆Cn → ∆Cn+1 son definidas como sj = σ∗j .

As, en particular, en dimensiones bajas, las caras y degeneraciones están dadascomo sigue:Si

x3

=⇒ x1=⇒x1,3

OO

x1,2 $$IIIIIIII

x0

x0,3

CC�� x0,1

::uuuuuuuux0,2

//

KS

x2

x2,3

[[77777777777777

es un 3-símplice; tenemos que d0 = x1,2,3, d1 = x0,2,3, d2 = x0,1,3 y d3 = x0,1,2.Si x0,1,2 es un 2 símplice, d0(x0,1,2) = x1,2, d1(x0,1,2) = x0,2 y d2(x0,1,2) = x0,1.

s0(x0,1,2) = x2

x0

x0,2

==|||||||| x0,1 //

x0,0 !!BBB

BBBB

B x1

x1,2

aaBBBBBBBB

x0

x0,2

OO

x0,1

==||||||||

s1(x0,1,2) = x2

x0

x0,2

==|||||||| x0,1 //

x0,0 !!BBB

BBBB

B x1

x1,2

aaBBBBBBBB

x1

x1,2

OO

x1,1

==||||||||

s2(x0,1,2) = x2

x0

x0,2

==|||||||| x0,1 //

x0,0 !!BBB

BBBB

B x2

x2,2

aaBBBBBBBB

x1

x1,2

OO

x1,2

==||||||||

Si ( x0x0,1 // x1 ) es un 1-símplice

s0( x0x0,1 // x1 ) = x0,0,1 = 1x0,1 y

s1( x0x0,1 // x1 ) = x0,1,1 = 1x0,1 .

Destaquemos que esta noción del conjunto simplicial “nervio geométrico de una


2-categoría ” ha sido mostrada, (véase [3, Theorem 1.1]), vía la consideración desu realización geométrica, como una alternativa más manejable y elegante para ladefinición del espacio clasificador de una 2-categoría.

Finalmente, es interesante señalar, que una hipotética continuación de este trabajodebería conducir al estudio de otras diferentes nociones de nervio para estructurascategóricas más complicadas como las de bicategoría, tricategoría y, en particular,aquellas que tienen que ver con la consideración de estructuras adicionales comotrenzamientos o simetrías ( categorías monoidales trenzadas o simétricas, y, enparticular, grupos categóricos trenzados o simétricos). Alguna bibliografía sobreestos temas también está incorporada al trabajo ([1, 5, 6, 7, 11, 26]).

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una visión conjunta de la noción de nervio para distintas...

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