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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE MONTERREY
UNIVERSIDAD VIRTUAL
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA INTRODUCIR LOS
CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA FRACTAL EN NIVELES
DE PREPARATORIA
TESIS PRESENTADA
COMO REQUISISTO PARA OBTENER EL TÍTULO
DE MAESTRO EN EDUCACIÓN CON
ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS
AUTOR: LIC. MAT. WILLIAM ESTRADA GARCÍA
ASESOR: DR. JAVIER PULIDO CEJUDO
MÉXICO D. F. MAYO DE 1999
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
UNIVERSIDAD VIRTUAL
CAMPUS CIUDAD DE MEXICO
ACTA DE EXAMEN Y AUTORIZACION DE LA EXPEDICION
DE GRADO ACADEMICO
020
Los suscritos, miembros del jurado calificador del examen de grado sustentado hoy
por WILLIAM FERNANDO ESTRADA GARCÍA
en opción al grado académico de
MAESTRO EN EDUCACIÓN, ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS
hacemos constar que el sustentante resultó apro do con Menci6n Honorifica ,,f P/7.0e,APO f"g_ vµ4µ ¡- ~ i°OJ,.!).
Hago constar que el sustentante, de acuerdo con documentos c ntenidos en su
expediente, ha cumplido con los requisitos de graduación, establecidos en el
Reglamento Académico. de los programas de graduados de la Universidad Virtual.
Expídase el grado académico mencionado, con fecha septiembre 24 de 1999 ·
~ Ing. Carlos E~ue Cruz Limón
Rector de la Universidad Virtual
México, D. F., a 8 de junio de 1999.
UNA PROPUESTA PARA INTRODUCIR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA FRACTAL EN NIVELES DE
PREPARATORIA
WILLIAM FERNANDO ESTRADA GARCÍA
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD MATEMÁTICAS
Abril de 1999
UNA PROPUESTA PARA INTRODUCIR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA FRACTAL EN NIVELES DE
PREPARATORIA
WILLIAM FERNANDO ESTRADA GARCÍA
Trabajo presentado como requisito parcial para optar por el título de Maestro en Educación
con Especialidad en Matemáticas
Director: JAVIER PULIDO CEJUDO
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MOTERREY CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO
MAESTRíA EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS
Abril de 1999
DEDICATORIA
A los que creen en un mundo mejor y se esfuerzan por hacerlo realidad.
Especialmente quiero dedicar este trabajo a mis padres, porque el esfuerzo de toda su vida ha sido la manifestación más grande del amor
hacia sus hijos.
A Nidia López, porque a pesar de la distancia, mi corazón ha sentido la presencia cautivante de su amor.
A Carolina Estrada, porque la ternura y alegría de su carácter es la imagen bella de su espíritu soñador y fuerte.
También dedico este trabajo a quienes creen que a través de la amistad nos hacemos mejores seres humanos.
Entre ellos:
Angeles Main, Graciela Alatorre, Elsa Cecilia Ramírez, Elizabeth González, Javier Pulido, Juan Carlos Olmedo, Fernando Valle, Guillermo Vilchis,
Armando Osorio, Galo Moneada, Osear Jimenez, Patricia Duque y la familia Mogollán Mendoza.
Con ellos he compartido mis momentos difíciles y mis momentos de alegría; en su compañía he encontrado una fortaleza espiritual inmensa.
Ellos hacen que el verdadero sentido de la amistad sea una realidad.
AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores Monterrey, campus Ciudad de México, la beca a través de la cual pude cursar mis estudios de maestría en esta institución.
Así mismo, quiero manifestar mi agradecimiento al Gimnasio Moderno (Santa fé de Bogotá Colombia), institución a la que actualmente pertenezco, por haberme apoyado economicamente para financiar mi estadía en México.
También extiendo mi sentimiento de gratitud al Cologio Madrid (en la Ciudad de México), por haberme dado la oportunidad de llevar a cabo la parte experimental de este proyecto en sus instalaciones y con la participación de dos de sus grupos de estudiantes.
Finalmente, agradezco al Dr. Javier Pulido su ayuda y valiosas sugerencias. Con su asesoría este trabajo adquirió una dimensión más amplia.
RESUMEN ANALÍTICO
Título. Una propuesta didáctica para introducir los conceptos básicos de la Geometría Fractal en niveles de preparatoria
Autor. ESTRADA GARCIA, William Fernando
Publicación. México DF, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey .1999
Unidad Patrocinante. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. MEE, Dirección de Maestrías en Educación con Especialidad
Palabras Claves. estrategias y actividades, transposición didáctica,desintetización didáctica, contrato didáctico, constructivismo, asimilación y acomodación, equilibrio y desequilibrio, zona de desarrollo proximal, andamiaje, aprendizaje asistido, autosimilaridad, teorema de Barnsley, teorema del Collage, dimensión fractal, fractales clásicos, movimientos en el plano, transformación de similitud, diseño experimental pretest-postest con grupo de control, refuerzo conceptos, identificación de patrones y comprensión y utilización de conceptos nuevos.
Fuentes. la elaboración de este trabajo se ha basado en las referencias bibliográfica que aparecen al final de la presente investigación.
Contenido. se diseña un conjunto de estrategias y actividades para introducir los conceptos fundamentales de geometría fractal en niveles de preparatoria. Al mismo tiempo se lleva a cabo un experimento de tipo pretest-postest con grupo de control a fin de poner a prueba una parte del material diseñado, y así determinar si favorece o no el refuerzo de conceptos previos en matemáticas, la identificación de patrones y la comprensión y utilización de nuevos conceptos.
Descripción. el conjunto de estrategias y actividades está constituido por un material escrito compuesto por seis capítulos. En el primer capítulo se hace una construción de los fractales clásicos: el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski, curva de Koch y la caja fractal; lo cual permite introducir el concepto de autosimilaridad. En el segundo capítulo, se aborda el concepto de dimensión fractal; en este capítulo se construye el concepto de dimensión de homotecia a partir del concepto de autosimilaridad , y posteriormente, se estudian dos métodos generales para calcular la dimensión fractal de figuras irregulares: el método del compás y el método de recubrimiento. En el tercer capítulo se estudia de manera individual, los movimientos básicos del plano y su representación matricial; estos movimientos son: rotación, homotecia, reflexión y traslación. En el cuarto capítulo se estudia la combinación de los movimientos anteriores y su representación como un producto matricial. En el quinto capitulo se aborda el teorema fundamental de Barnsley subdividiendo su estudio en tres etapas: sistema iterado de funciones, transformación fundamental de Barnsley y finalmente la iteración de dicha transformación. En el capítulo sexto se estudia algunas aplicaciones en las áreas de biología, economía e ingeniería.
Es importante mencionar que las estrategias y actividades fueron diseñadas con la intención de promover una participación activa del estudiante en su proceso de aprendizaje y así lograr un aprendizaje significativo en un ambiente colaborativo.
Por otra parte, el diseño experimental se llevó a cabo en el colegio Madrid de la ciudad de México con estudiantes de tercer nivel de preparatoria. Se hizo una crónica de las sesiones realizadas; así como un análisis del proceso experimental llevado a cabo.
De la crónica realizada se puede ver que los temas planteados despertaron el interés de los estudiantes debido a su naturaleza paradójica, novedosa, interesante y útil. También se encontró que las estrategias y actividades constituye una propuesta flexible que sólo podrá ser mejorada a
través de su puesta en práctica; así mismo se requiere que el maestro tenga conocimiento del tema para que pueda orientar mejor el trabajo de los estudiantes y ayudarlos a lograr su aprendizaje.
El análisis del proceso experimental se hizo en varias etapas. Primero se describieron los grupos, luego se categorizaron las preguntas y establecieron los criterios de validez de las respuestas. Después se realizó una descripción de las respuestas dadas por cada grupo, para cada una de las preguntas establecidas. Posteriormente, se hizo un análisis comparativo de los resultados obtenidos por los dos grupos en ambos cuestionarios: primero comparando el desempeño individual de cada grupo de un cuestionario al otro y luego, comparando el desempeño de ambos grupos en un mismo cuestionario. Finalmente, se llevó a cabo un análisis para determinar el desempeño por rendimiento académico en el grupo experimental.
Conclusiones. Los resultados principales de este proyecto son
1. Se establece una posible forma de introducir los conceptos y procedimientos fundamentales de la geometría fractal en niveles de preparatoria, a través del diseño de un conjunto de estrategias y actividades basadas en un enfoque constructivista. Este diseño constituye una propuesta flexible y por lo tanto susceptible de ser mejorada. El grado de beneficio que pueda tener este material depende también de la manera como el profesor administre la clase y el material, así como de la preparación que tenga sobre el tema. Es importante que el alumno no sólo interactúe con el material, sino con el maestro y con sus propios compañeros.
2. Como consecuencia de este diseño experimental se llega a las siguientes conclusiones:
i)EI desarrollo de las estrategias y actividades llevadas a cabo por los alumnos no tiene una incidencia notable en el refuerzo de conceptos. Los alumnos pueden reforzar los conceptos, particularmente de área y perímetro, en el transcurso de sus cursos normales de matemáticas y como consecuencia de su proceso normal de aprendizaje.
ii) El desarrollo de las estrategias y actividades para la enseñanza de la Geometría Fractal, permite que los alumnos mejoren su capacidad para identificar un patrón aritmético y algebraico a partir de una secuencia geométrica.
iii) El desarrollo de las estrategias y actividades es altamente efectivo para la comprensión de nuevos conceptos tales como autosimilaridad y dimensión fractal.
iv) La aplicación del material diseñado en grupos de rendimiento alto, medio y bajo, en cuanto a las categorías establecidas de refuerzo de conceptos, identificación de patrones y comprensión y utilización de nuevos conceptos, favorece más a los estudiantes de rendimiento bajo y medio que a los estudiantes de alto rendimiento.
INDICE
PARTEI
INTRODUCCIÓN 1
Sección
ACLARACIÓN.ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN 5
ACLARACIÓN DEL PROBLEMA 5 ANTECEDENTES 7 JUSTIFICACIÓN 9
11 PROBLEMA, OBJETIVOS E HIPÓTESIS 11
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 11 OBJETIVOS 16 HIPÓTESIS 18
111 MARCO TEÓRICO 23
PANORAMA GENERAL 23 MARCO CONCEPTUAL 25
Constructivismo 25 Transposición Didáctica 28 Conceptos matemáticos 33
IV METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN 38
CLASIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN 38 FASES DE LA INVESTIGACIÓN 39
V INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS 42
INSTRUMENTOS 42 TIPO DE OBSERVACIÓN 44
VI INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DE RESULTADOS 45
PARTE 11
Sección
FRACTALES CLÁSICOS Y AUTOSIMILARIDAD 50
CONJUNTO DE CANTOR 51 TRIANGULO DE SIERPINSKI 57 CURVA DE KOCH 64 CAJA FRACTAL 72 AUTOSIMILARIDAD 78
11 DIMENSIÓN FRACTAL 82
DIMENSIÓN DE HOMOTECIA 83 DIMENSIÓN POR COMPÁS 87 DIMENSIÓN POR RECUBRIMIENTO 94
111 MOVIMIENTOS Y MATRICES 103
ROTACIÓN 104 DILATACIONES Y CONTRACCIONES 110 REFLEXIÓN 114 TRASLACIÓN 125
IV COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS 134
ROTACIÓN Y HOMOTECIA 135 ROTACIÓN Y REFLEXIÓN 141 HOMOTECIA Y REFLEXIÓN 148 COMPOSICIÓN CON OTROS MOVIMIENTOS 154 TRANSFORMACIÓN DE SIMILITUD 157
V UN MÉTODO DE CONSTRUCIÓN DE FRACTALES 165
SISTEMA DE TRANSFORMACIONES DE SIMILITUD 166 TRANSFORNACIÓN FUNDAMENTAL DE BARNSLEY 169 PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DE BARNSLEY 172
VI APLICACIONES 178
PARTE 111
Sección
CRÓNICA DEL PROCESO 183
UNA PROPUESTA AL COLEGIO MADRID 183 SESIONES 184 COMENTARIOS GENERALES 204
11 ANÁLISIS DEL PROCESO EXPERIMENTAL 207
DESCRIPCIÓN DE LOS GRUPOS 207 CATEGORIZACIÓN DE LAS PREGUNTAS 210 CRITERIOS DE VALIDEZ DE LAS RESPUESTAS 215 DESCRIPCIÓN DE RESPUESTAS 218 ANÁLISIS COMPARATIVO 236 ANÁLISIS POR RENDIMIENTO ACADÉMICO 246
111 INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS 255
LAS ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES 255 EL PROCESO EXPERIMENTAL 256 ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES 257 ANÁLISIS DEL PROCESO EXPERIMENTAL 259
IV CONCLUSIONES 262
V BIBLIOGRAFÍA 265
PARTE 1
1 INTRODUCCIÓN
Este trabajo tiene un doble propósito: por un lado elaborar una propuesta para introducir los conceptos y procedimientos básicos de la Geometría Fractal, preferiblemente en los niveles de preparatoria. Por otra, hacer una prueba experimental con una parte del material elaborado.
La propuesta será dada a conocer en forma de texto en el que se presenta una secuencia de estrategias para la enseñanza de los conceptos y procedimientos más relevantes de la Geometría Fractal. Hay que señalar que esta disciplina constituye una muy reciente rama de la matemática cuyo desarrollo se ha visto acelerado gracias a sus inmensas aplicaciones en diferentes campos de la ciencia y la tecnología y al desarrollo de los computadores.
La prueba experimental estará basada en un modelo pretest- postest con grupo de control. Los cuestionarios que se aplicarán incluyen preguntas de distintos estilos: tipo test, completación y abiertas. Un grupo será expuesto a una parte de las estrategias y actividades propuestas, mientras el de control no. A ambos se les aplicará los mismos cuestionarios.
Este experimento estará destinado a vislumbrar si el desarrollo de esta propuesta contribuye a reforzar conceptos y procedimientos matemáticos anteriormente vistos por los estudiantes; así como también a comprender y utilizar nuevos conceptos y a desarrollar su capacidad para descubrir patrones numéricos y/o geométricos.
Este trabajo ha sido motivado por el interés que despierta el estudio de éstas dos ramas de la matemática. Fue precedido por un estudio puramente teórico enmarcado en el ámbito de la matemática 1; y luego por una experiencia con estudiantes de secundaria con quienes tuve la oportunidad de compartir algunos conocimientos muy elementales referentes a geometría fractal2
. Ahora encuentro, al hacer la tesis de Maestría, una oportunidad para desarrollar amplia y profundamente algunas ideas adquiridas durante este trayecto.
La elaboración del material didáctico así como la realización del experimento son muy importantes por las razones que a continuación se expresan:
En primer lugar, la propuesta didáctica enriquece los cursos normales de matemáticas aportando nuevos contextos. En éstos, los estudiantes tienen la oportunidad de reforzar sus conocimientos en el área; lo cual favorece un
1 La investigación teorica a la que se hace referencia, consistió en hacer un análisis topológico del espacio en cual habitan los fractales y realizar un estudio de la evolución conceptual de la dimensión fractal. Para profundizar más en este trabajo buscar en la bibliografía de la presente tesis, la referencia bibliográfica correspondiente a Estrada, W.F ( 1995). 2Esta es una experiencia de carácter pragmático que se realizó en el colegio Gimnasio Moderno en Santafé de Bogotá Colombia, con estudiantes de segundo de secundaria y primer nivel de preparatoria. De este trabajo solo quedó un material diseiiado, pero no se hizo una descripción formal del proceso.
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mejoramiento de su rendimiento. Espero así reducir la dificultad que una buena parte de los estudiantes tiene con el aprendizaje de las matemáticas.
Al mismo tiempo esta propuesta le brinda a los estudiantes la oportunidad de familiarizarse, desde muy temprana edad, con temas científicos muy recientes que amplían la probabilidad de hacer avanzar la ciencia y la tecnología. A la vez, le da al maestro la posibilidad para que, poniéndose al tanto de los avances de su propia disciplina, pueda encontrar más elementos para enriquecer su actividad.
Es importante decir que el proceso experimental a desarrollar constituye no sólo un medio para poner en claro la bondad de este material sino que a la vez es un modelo de investigación en educación que podría ser adoptado por cualquier docente.
Como consecuencia de este proyecto se espera tener una propuesta para la enseñanza de la Geometría Fractal que sea susceptible de ser ampliada, mejorada y ajustada a las condiciones particulares del contexto de enseñanza en el que se quiera emplear.
Se espera que los resultados del experimento reafirmen la hipótesis planteada [ pag. 18 ] mediante el análisis estadístico correspondiente. Los alumnos se beneficiarán al encontrar una oportunidad para mejorar su nivel matemático; los profesores, en cuanto que encuentran un modelo para hacer investigación educativa. Sin embargo, el impacto mayor será sobre los estudiantes de preparatoria a quienes finalmente va dirigido este proyecto.
Por otra parte este trabajo se encuentra dividido en tres partes:
La primera parte se divide en seis secciones. En la sección I se aclara el tema, se describen los antecedentes y se hace una justificación del tema. En la sección 11 se plantea el problema, los objetivos y la hipótesis. En la sección 111 se expone el marco teórico el cual está fundamentado sobre tres teorías básicas: el constructivismo, transposición didáctica y los conceptos matemáticos de Geométría Fractal. En la sección IV se describe la metodología de la investigación, explicándose su clasificación y fases. En la sección V se describe los instrumentos de recolección de datos y se clasifica el tipo de observación. En la sección VI se describen los instrumentos para el análisis de datos.
La segunda parte se divide en 6 capítulos.
En el capítulo I se aborda las construcciones de los fractales y el de autosimilaridad. Los fractales clásicos que construyen son: Conjunto de Cantor, Triángulo de Sierpinski; Curva de Koch y Caja Fractal. La construcción de estos fractales se hace por medio de un método estático y otro dinámico. El primero no usa movimientos en el plano mientras que el segundo sí. Sin embargo ambos se fundamentan en un proceso recursivo.
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En el capítulo 11 se aborda el tema de dimensión fractal y se describen y desarrollan los tres métodos para calcular: la dimensión por homotecia, el método del compás y el método de recubrimiento. La primera sirve para calcular la dimensión de figuras estrictamente autosimilares; las dos últimas permiten calcular la dimensión de curvas y superficies irregulares respectivamente.
En los capítulos 111 y IV se diseñaron con el fin de que el alumno construya el concepto de transformación afín, sobre el cual descansa, en la práctica la construcción de fractales.
En el primero de estos dos capítulos se aborda, de modo individual, los movimientos de rotación, dilataciones y contracciones, reflexión y traslación. Se trata de que el alumno establezca una relación indisoluble entre movimientos en el plano y matrices. La idea es que el alumno constate a través de diversas actividades y ejercicios, que a cada movimiento se le puede asociar una matriz y que el efecto que produce el movimiento sobre un punto de una figura plana es el mismo que el resultado de multiplicar dicho punto por la matriz correspondiente.
En el segundo de estos capítulos se estudia la combinación o composición de movimientos en el plano. La idea es que el alumno, a través de una realización de actividades y ejercicios, se de cuenta que la composición de movimientos es equivalente a la multiplicación de las matrices correspondientes. Sobre esta base se construye el concepto de autosimilitud o transformación afín.
En el capítulo V se explica el proceso de Barnsley para la construcción de Fractales. Con este propósito los conceptos de sistemas de transformaciones de similitud, transformación fundamental de Barnsley y el proceso de construcción de Barnsley.
En el capítulo VI se describe brevemente algunas de las aplicaciones de la teoría Fractal. Estas son: estructuras biológicas, economía (bolsa de valores), estructuras en ingeniería y compresión de imágenes. Este capítulo es más de carácter informativo para el alumno que de carácter activo. Es decir, pretende que el alumno se informe acerca de algunas aplicaciones de los fractales y no que realice, - como en los anteriores capítulos -, actividades con algún propósito.
La tercera parte del trabajo se compone de cuatro capítulos. El primero de estos capítulos tiene por objeto que el lector tenga una idea más o menos amplia de las condiciones generales en las cuales se desarrolló el proceso experimental, para que así pueda evaluar con un criterio más amplio los resultados en el análisis cuantitativo. En consecuencia, se describe la forma como el proyecto ingresa al Colegio Madrid; se elabora la crónica del proceso y se hace, finalmente, unos comentarios generales sobre dicho proceso.
En el segundo capítulo, se hace un análisis de los datos obtenidos en la aplicación de los dos cuestionarios. En este análisis se describen los grupos, se establecen las categorías y criterios de validez de las preguntas y respuestas; se
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describen las respuestas dadas por cada grupo en cada uno de los cuestionarios y finalmente, se hace un análisis comparativo de los resultados. Este análisis de resultados consiste en lo siguiente: en primer lugar, se fija el primer cuestionario y se compara el desempeño de los dos grupos en éste. Luego se fija el segundo cuestionario y se compara el desempeño de ambos grupos en éste. En segundo lugar, se fija el grupo experimental y se compara su desempeño en ambos cuestionarios. Luego se fija el grupo de control y se compara su desempeño en ambos cuestionarios. Posteriormente, se considera el grupo experimental y se particiona en grupos de rendimiento alto, medio y bajo. Esto permite analizar el desempeño del grupo experimental por grupos de rendimiento.
En el tercer capítulo se hace un análisis interpretativo de los principales resultados de este trabajo. Este análisis consiste en describir los resultados importantes y luego anlizarlos a la luz de los conceptos del marco teórico.
En el cuarto capítulo se establecen las conclusiones. En estas se describen los resultados obtenidos y las posibles líneas de investigación que surgen como consecuencia de la realización de éste trabajo.
ACLARACIÓN, ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN
ACLARACIÓN DEL PROBLEMA
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La pregunta que se ha planteado como apertura a la investigación es ¿Qué estrategias diseñar para enseñar los conceptos básicos de Geometría Fractal en los dos últimos niveles de preparatoria?. Para entender mejor el problema que sugiere esta pregunta, se precisará cada uno de los términos que la componen.
Por estrategias se entenderá un conjunto de actividades cada una de las cuales tiene una finalidad, necesita de unos recursos para llevarse a cabo, y explicita una manera de usar estos recursos. Al elaborar estas actividades se tendrá en cuenta que exista una secuencia lógica de una actividad a otra; que cada actividad tenga una organización interna y dé un tratamiento adecuado al contenido específico del cual versa.
Además, puesto que la elaboración de estrategias depende del contexto de enseñanza, es necesario aclarar que las actividades serán aplicadas a estudiantes de los dos últimos niveles de preparatoria que no necesariamente tengan un alto rendimiento en matemáticas pero que si estén interesados en aprender un nuevo tema matemático sobre la base de conocimientos básicos que ya poseen y otros nuevos que estén dispuestos a aprender. No se pretende que las actividades aquí planteadas sean aplicadas estrictamente a cualquier contexto, sino que estas sean ajustadas o sirvan de sugerencias para diseñar otras nuevas que correspondan a determinadas circunstancias escolares.
Por otra parte, se entenderá el diseño tal como lo entiende Stenhouse: como un proceso dinámico por el cual se experimentan ciertas hipótesis en la práctica con el fin de obtener información que permita reformularlas para orientar de manera conveniente la acción educativa.
En este sentido las estrategias se entenderán como hipótesis, pues serían actividades que no están planteadas definitivamente, sino que deben ser modificadas de acuerdo a los resultados observados como consecuencia de su aplicación. Es decir, las estrategias constituirían un material escrito tentativo que podría ser adaptado y mejorado de acuerdo a las características, necesidades de los grupos y a las condiciones escolares en las cuales se desenvuelve la acción educativa.
El material diseñado para la enseñanza de las nociones fundamentales de Geometría Fractal responde a una cierta concepción de enseñanza. Existen varias alternativas de concebir la enseñanza; pero las que se han elegido en este caso para orientar la elaboración e implementación de éste trabajo son las siguientes: la enseñanza como transmisión cultural, la enseñanza como entrenamiento de habilidades y finalmente la enseñanza como productora de cambios conceptuales.
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Si " enseñar es la práctica por medio de la cual se transmite a las nuevas generaciones los cuerpos de conocimientos disciplinar que constituyen nuestra cultura"(Gimeno, 1996); y la labor docente es enseñar, entonces es nuestro deber participar responsablemente en la selección de éstos contenidos culturales que promueven el desarrollo del alumno/na dotándolo de esquemas conceptuales útiles para comprender el mundo y afrontar los problemas que se le presentan. La enseñanza de la Geometría Fractal en preparatoria constituye un intento de responder a esta perspectiva.
Por otro lado, si la enseñanza es la práctica por la cual se desarrollan y entrenan las habilidades y capacidades formales de los estudiantes desde las más simples hasta las más complejas, entonces creemos que la Geometría Fractal favorece este principio ya que sus contenidos constituyen un buen contexto para el desarrollo y fortalecimiento de habilidades tales como: lectura, escritura, cálculo, solución de problemas, planificación, etc.
De otro lado puesto que los estudiantes deben hacer uso en nuevos contextos de conocimientos adquiridos en los cursos tradicionales de matemáticas, entonces se fomenta el aprendizaje significativo, el cual promueve la transformación del pensamiento y las creencias del estudiante. Por esta razón, la enseñanza de la Geometría Fractal también responde al enfoque de enseñanza como producción de cambios conceptuales.
No obstante, debido a que la movilización de esquemas de pensamiento en el estudiante está muy ligado a sus preocupaciones, intereses y posibilidades, es importante aclarar que la enseñanza de estos dos temas será más efectiva si se aplica a estudiantes que desean participar voluntariamente en un curso de éste tipo.
En lo que refiere a conceptos básicos, se puede decir que, (según Maria luisa martín), los conceptos son relaciones significativas entre hechos y datos que nos permiten comprender la realidad. Entre más entretejida esté la red conceptual de una persona, mejor es su comprensión del mundo. Por ésta razón, más que hechos y datos aislados se pretende que el alumno/na adquiera los conceptos más generales que subyacen en la organización conceptual de la Geometría Fractal. Sin embargo, no todos los conceptos importantes que hacen parte de estas dos ramas son susceptibles de ser enseñados en preparatoria, dado que el alto nivel de abstracción que poseen supera el nivel conceptual que tienen los estudiantes. Entre los conceptos básicos que pueden ser tratados en preparatoria están: autosimilaridad, Dimensión fractal y el proceso de Barnsley para construir fractales.
Para que el material de aprendizaje fomente la incorporación estructurada de conceptos es importante que contemplen los siguientes aspectos:
• Organización interna y conexión lógica entre todas las actividades.
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• Estimule el uso de las estructuras de conocimiento que posee el alumno. • La presentación de los contenidos esté basada en situaciones y contextos
próximos a la vida de los estudiantes con el fin de que el conocimiento científico no sólo sea verdadero sino también útil.
De otro lado conviene dar aquí alguna justificación sobre la elección de los dos últimos niveles de preparatoria para enseñar Geometría Fractal. La razón es porque los estudiantes de éste nivel cuentan con un bagaje matemático que les permite encarar con cierta formalidad los tópicos que se abordan. Por ejemplo, los estudiantes disponen de conocimientos de matrices, de la noción de semejanza; han estudiado funciones lineales, logarítmica y exponenciales, cuentan con una teoría básica de complejos y poseen cierta facilidad para encontrar patrones geométricos y numéricos, entre otros temas importantes para abordar el estudio de los Sistemas Dinámicos y la Geometría Fractal.
¿Qué estudia la Geometría Fractal y los Sistemas Dinámicos ?
La Geometría Fractal estudia figuras altamente irregulares, las cuales se generan a través de procesos sencillos de construcción y poseen dos características básicas: autosimilaridad y dimensión no entera. Lo primero significa poseen alguna propiedad invariante bajo el cambio de escala. Por ejemplo, a veces la rama de un árbol está compuesta por pequeñas ramas que tienen una forma muy parecida a la totalidad de la rama. Lo segundo significa que no posee las dimensiones usuales: uno, la de la línea; dos la del plano y tres la del espacio. Es decir son figuras que pueden habitar en espacios intermedios. Por ejemplo, encontrarse entre el plano y el espacio. Por este motivo dos temas básicos serían: autosimilaridad y dimensión fractal.
Los Sistemas Dinámicos estudian, en forma cualitativa, procesos que evolucionan temporalmente. Es importante afirmar que los fractales se pueden generar a través de procesos dinámicos y en consecuencia existe una relación muy estrecha entre Sistemas Dinámicos y Geometría Fractal.
Finalmente, debido a la importancia práctica de la geometría Fractal y los Sistemas Dinámicos, es importante incluir algunas de su aplicaciones en diferentes áreas como biología, economía e ingeniería
ANTECEDENTES
Historia de la Geometría Fractal.
La Geometría Fractal e una rama muy reciente de la matemática. Se inicia a partir de 1970 con el trabajo de divulgación realizado por Benoit Mandelbrot quien mostró desde una perspectiva intuicionista la aplicación inmensa que podrían tener las estructuras fractales. No obstante, a comienzos de siglo, Hausdorff y Besicovich habían estudiado las propiedades geométricas, aritméticas y analíticas de conjuntos muy raros, que más tarde resultaron ser muy interesantes por su
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belleza interna, diversidad y analogía con ciertos procesos de la naturaleza. Hoy en día su trabajo ha dado origen a la teoría geométrica de la dimensión, la cual ha sido base para el estudio actual de los conjuntos fractales.
En la década de los 80, Huchitson y Barnsley lograron demostrar la íntima relación entre fractales y los Sistemas Dinámicos, al mostrar que los fractales se podían obtener por medio de procesos dinámicos.
De ésta breve descripción histórica, puede deducirse que el trabajo de investigación teórica en esta área se ha hecho más nivel internacional que nacional.
Antecedentes Históricos sobre Propuestas de Enseñanza de Sistemas Dinámicos y Geometría Fractal
A nivel internacional existen varios trabajos destinados a la enseñanza de la Geometría Fractal en el nivel superior. Entre estos se encuentran: Fractals Every where (Michael Barnsley) ; The Geomety of Fractals Sets (Falconer, J.) y Chaos, Fractals and Dynamics (Robert Devaney).
A nivel de bachillerato existen muy pocos trabajos enfocados hacia la enseñanza de estos temas. Sólo un trabajo realizado por un grupo de investigadores alemanes es relativamente conocido. Se titula: Fractals for de Class Room. Este trabajo contempla tres tópicos centrales: la autosimilaridad relacionada con los patrones numéricos y geométricos; algunos procesos aleatorios y su importancia en la generación de estructuras fractales. Finalmente hace un tratamiento de la dimensión fractal en cuanto a los métodos para calcularla y su relación con la complejidad de las figuras a las que se asocia. En este trabajo también se hace una propuesta didáctica para la enseñanza de los conceptos y tópicos más importantes de los sistemas Dinámicos.
A nivel nacional conozco dos propuestas3. La primera es una propuesta didáctica
para los grados 1 O y 11 de educación media. En este trabajo se construyen matrices de orden 2x2 asociadas a los movimientos de rotación, reflexión y traslación aplicados en el plano. Luego, haciendo uso de lo visto, se introduce el concepto de similitud y autosimilitud. Posteriormente se elaboran las nociones de semilla y producción, las cuales permiten construir fractales clásicos. El método utilizado para el desarrollo de los talleres es inductivo y constructivista, ya que a partir de un conjunto de instrucciones precisas y coherentemente organizadas sobre diversos casos, se busca que el estudiante llegue a unas conclusiones deseadas. La segunda, aborda también el concepto similitud y autosimilitud pero desde una perspectiva deductiva, diferenciando las similitudes de la recta de las
3 Las dos propuestas mencionadas antes se encuentran en Colombia, por lo que fue imposible localizar sus referencias bibliográficas.Estas dos propuestas corresponden a dos trabajos de tesis a los cuales tuve la oportunidad de acceder cuando realizaba las primeras experiencias relacionadas con la enseñanza de algunos conceptos de Geometría Fractal, en el primer nivel de preparatoria y en el segundo nivel de secundaria.
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del plano. Es decir, se da la definición y se propone una serie rica de ejemplos y ejercicios en los que el estudiante puede visualizar la fortaleza de los conceptos. Aborda la construcción de fractales clásicos de un modo más formal, pero aun así accesible al nivel de los estudiantes. Hace un tratamiento muy breve del concepto de dimensión fractal y además utiliza el lenguaje Lago para construir estructuras fractales con la ayuda del computador.
A nivel del Colegio Madrid Asociación Civil no se ha realizado ningún trabajo de este tipo.
JUSTIFICACIÓN
El tema de investigación que he planteado, resulta ser de alguna manera una parte complementaria del trabajo final de grado que realicé en mi licenciatura. Mientras ese trabajo se enfocó hacia cuestiones puramente matemáticas, este trabajo que se propone realizar, tiene una aplicación didáctica. Además de esto, en los dos últimos años he realizado algunas experiencias tentativas referidas a la enseñanza de estos dos temas en los niveles de 7° y 9º grado, cuyos resultados he tenido la oportunidad de compartir con otros colegas. La geometría fractal y los Sistemas Dinámicos son temas que me entusiasman y en los cuales quiero continuar profundizando, tanto desde la perspectiva de la enseñanza como desde el punto de vista puramente matemático.
De otra parte es un tema que resulta ser muy importante por las siguientes razones: favorece un aprendizaje significativo, ya que los estudiantes tienen que utilizar los conocimientos previos de matemáticas en nuevos contextos. Promueve el cambio de pensamiento que tienen los estudiantes en torno a la matemática, la cual conciben como un cuerpo estático de conocimientos y no como una ciencia en permanente evolución. Además contribuye al avance de la ciencia por medio de la divulgación de trabajos científicos relevantes entre los jóvenes, entre quienes pueden existir talentos que se interesen seriamente por estos tópicos. También constituye un factor importante para mejorar el rendimiento en matemáticas de los estudiantes a través del fortalecimiento de conceptos. Por otra parte, la realización de este trabajo también ofrece una oportunidad para probar la utilidad de instrumentos de recolección de datos destinados a proveer información sobre la calidad del material elaborado.
Este trabajo impactaría directamente a estudiantes de los últimos niveles de preparatoria a quienes va dirigido el proyecto. Específicamente a estudiantes de tercer semestre de preparatoria del Colegio Madrid.
Es un trabajo útil en varios sentidos: en primer lugar, el material escrito que se elabore podrá ser utilizado por cualquier maestro que desee conocer los aspectos esenciales de la Geometría Fractal desde una perspectiva intuitiva. Lo cual le ayuda a ponerse al tanto de los avances de su disciplina. En segundo lugar, es un material que enriquece la temática de los cursos normales de matemáticas y que posibilita el refuerzo de ciertos conceptos matemáticos. En
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tercer lugar, la metodología de investigación, - basada fundamentalmente en una proceso diseño y experimentación -, constituye un modelo de investigación para cualquier maestro que quiera poner en marcha alguna idea didáctica.
Este trabajo es novedoso desde que pretende ahondar en una muy reciente rama de la matemática: la Geometría Fractal. Además porque se propone integrar lo mejor de las propuestas de enseñanza conocidas al respecto. A diferencia de los trabajos anteriores, este trabajo realizará un análisis sobre datos obtenidos de la aplicación de una parte del material a un grupo de estudiantes. Además pretende incluir nuevos tópicos, no tratados en los trabajos anteriores. En realidad, este es un trabajo que, aunque se basa en ideas de trabajos precedentes, aspira ser una propuesta distinta tanto en la organización de las actividades, como en el diseño de las mismas.
La originalidad de este trabajo no consiste en la selección de un tema que se le ha escapado a los investigadores, sino en remitirse a fuentes primarias. Este trabajo no se limita a la consulta y estudio de las tres propuestas conocidas sino que va a los textos que abordan en forma pura los contenidos teóricos existentes sobre Geometría Fractal.
Finalmente, considero que después de discutir el problema de investigación; presentar los antecedentes de la investigación y precisar los factores que lo justifican, el tema ha quedado claramente expuesto.
11 PROBLEMA, OBJETIVOS E HIPOTESIS
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
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El problema que llama mi atención y sobre el cual deseo trabajar es en su mayor parte de carácter procedimental y en menor grado experimental .
Es de procedimiento porque se trata de conseguir información sobre un tema general con el fin de entender los problemas esenciales que aborda y poder reorganizarlos de modo que sea posible presentarlos a estudiantes de preparatoria a través de un conjunto de estrategias lógicamente organizadas y con coherencia interna.
Es experimental porque una parte del material será aplicado sobre una muestra de estudiantes en el nivel de preparatoria y con la ayuda de un grupo de control.
El problema que se pretende resolver es el siguiente: ¿Qué estrategias diseñar para introducir la enseñanza de la Geometría Fractal en estudiantes del colegio Madrid de tercer semestre de preparatoria?
En esta pregunta se identifican dos variables: una independiente y otra dependiente, relacionadas entre si. Recordemos que una variable es un tipo de concepto que cambia al ser aplicado a diferentes sujetos o situaciones. Una variable independiente no depende de otra variable; mientras que una variable dependiente depende de otra según cierta relación establecida.
Para el caso en consideración, la variable independiente es: diseño de estrategias, y la variable dependiente es : enseñanza de la Geometría Fractal con estudiantes del nivel de preparatoria .Dichas variables están relacionadas por un vínculo de "introducción ". La efectividad de la enseñanza de estos temas; es decir , de la enseñanza de la Geometría Fractal, depende de la calidad con la que se ha diseñado las estrategias y actividades.
Para entender mejor cada una de las variables es necesario ahondar en los conceptos que las constituyen; pero estos términos ya han sido tratados con sus debida profundidad en el planteamiento del tema. Así que por ahora me referiré, en forma detallada a describir el contexto en el que se aplicará las estrategias y actividades diseñadas, ya que su diseño será influenciado por la institución y el nivel en el que se encuentren los estudiantes, en este caso en preparatoria.
Institución: Colegio Madrid
A continuación se describirá lo que es el Colegio Madrid; su estructura organizacional y su misión.
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¿Qué es?
" El colegio Madrid A. C. es una asoc1ac1on civil que tiene a cargo un conjunto escolar formado por cuatro escuelas: jardín de niños; primaria, secundaria y preparatoria." Las tres primeras están incorporadas a la Secretaría de Educación Pública (SEP); mientras que la última está adscrita a los programas de la Universidad Autónoma de México (UNAM).
El colegio Madrid brinda a sus alumnos un ambiente de respeto y apoyo para su desarrollo integral, enfatizando en su formación intelectual y académica. Para esto cuenta con programas ajustados a las características y necesidades de los estudiantes en cada uno de los ciclos escolares. Es una institución que reconoce la importancia del profesorado en el proceso educativo, por lo que cuenta con un programa de desarrollo académico.
En su parte administrativa cuenta con tres organismos básicos: Junta de gobierno, dirección general y secretaría administrativa.
Junta de gobierno: Toma las decisiones trascendentales de la institución
Dirección general : Tiene bajo su orientación a las direcciones de las cuatro escuelas (preescolar, primaria, secundaria y preparatoria); supervisa a la secretaría administrativa y está al tanto de las coordinaciones correspondientes a: actualización docente, actividades académicas, y proyectos especiales.
Secretaría administrativa: su propósito es " darle absoluta confiabilidad a los datos e informes estadísticos y financieros; tener al día la información contable; mejorar las relaciones laborales y el equipo para modernizar los servicios administrativos.
En cuanto a sus instalaciones están diseñadas de tal manera que ofrezcan espacios cómodos y funcionales que faciliten las actividades de los alumnos. Entre éstas están:
Unidad cultural "Lázaro Cárdenas" : formada por un auditorio y sala de exposiciones.
La Biblioteca General : facilita a los alumnos el estudio y la investigación con los servicios de consulta interna y préstamo a domicilio. Posee 18000 títulos clasificados. Tiene convenios de préstamo interbibliotecario con reconocidas instituciones tales como el Colegio de México, UNAM y el Archivo general de la Nación, entre otras. Además, tiene suscripciones con revistas nacionales e internacionales.
Gimnasio: Posee una concha reglamentaria, un foro y salones de danza y expresión corporal.
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La casita: "Es un salón especial de juegos proyectivos que permiten al niño de preescolar interactuar sobre el mundo que le rodea expresando sus deseos."
La casa del árbol: es una construcción que simula la copa de un árbol donde los niños de primaria pueden disfrutar de la sensación de trepar y aislarse durante el desarrollo del taller de integración.
Huerto e invernadero: es un lugar donde el nmo siembra, cuida y cosecha hortalizas donde puede ver el desarrollo de las plantas.
¿Qué programas ofrece?
Los programas ofrecidos por el Colegio Madrid son los correspondientes a los ciclos de preescolar, primaria, secundaria y preparatoria. Los conceptos que orientan cada ciclo son los mismos. Estos ciclos deben articularse armónicamente con el fin de hacer reales los propósitos institucionales. A continuación se escriben brevemente estos conceptos: • Desarrollar el pensamiento crítico; evitar el predominio del memorismo y
fomentar la participación del estudiante en el proceso de enseñanza aprendizaje.
• Relacionar diversas áreas de conocimiento entre sí con su vida cotidiana. • Desarrollar una actitud crítica fundada en la investigación científica. • Desarrollar la capacidad física de los estudiantes y fomentar hábitos
esenciales para mantener la salud física y mental.
¿Cómo se financia?
La institución se inició en 1941 con los fondos de apoyo a la inmigración española a México. Desde su fundación hasta 1946 el Colegio Madrid se financió de este modo y mantuvo un carácter educativo y social, otorgando a sus colegiales todo en forma gratuita. Esto se debió a que los alumnos provenían de familias exiliadas recién llegadas a México que no contaban en su comienzo con ninguna estabilidad económica y social. En 1949, el gobierno republicano español constituyó un fideicomiso de los bienes de la institución; mismo que cedió a título gratuito a la asociación civil en 1974. No obstante, desde 1946 hasta el momento, se financia con base en las colegiaturas. El 75 por ciento de este ingreso se distribuye entre los sueldos de los trabajadores y el resto se destina al mantenimiento de las instalaciones y a la compra de material escolar.
¿Cuál es su origen?
El colegio Madrid fue fundado el 21 de junio de 1941. Constituye una de las varias instituciones educativas que creó la comunidad española que inmigró a México, como consecuencia de la guerra civil desatada en su país.
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Quienes llegaron a México eran españoles con convicciones republicanas que se oponían al régimen fascista que quiso establecer el general Franco en España. Por lo tanto sus ideas pedagógicas se orientan hacia una educación laica, liberal y mixta, imprescindible para formar un espíritu crítico y una marcada conciencia de los problemas sociales.
La institución comenzó a funcionar con el jardín de niños y primaria , teniendo un carácter mixto. En 1950 se inició la secundaria y hasta 1953 se crea la preparatoria. Sus instalaciones estuvieron originalmente es Mixcoac (México D.F), en la Delegación Benito Juarez; posteriormente se trasladaron a la delegación Tlalpan en la colonia Ejidos de Huipulco (México D.F) donde actualmente se ubica.
¿Cuál es su misión?
El colegio Madrid " tiene como propósito fundamental la reverencia al mno; pretende despertar el interés de sus alumnos hacia una cultura general con la asimilación de los conocimientos que exige cada época, pero su meta es formar hombres y mujeres capaces de concebir un ideal y de gobernar sus vidas mediante el desarrollo de todas sus facultades." (Colegio Madrid A.C., 1991)
Pero también busca la realización de unos objetivos específicos considerados de vital importancia para los alumnos; los cuales están implícitos en las actividades que se llevan a cabo. Estos objetivos, son básicamente desarrollar en los alumnos • La capacidad de cooperación, disciplina y tolerancia ante diferentes puntos
de vista que los prepare para el ejercicio de una vida democrática. • El sentido de compromiso y responsabilidad. • El sentido de solidaridad para contribuir al bienestar social de las
comunidades. • El gusto por la lectura y el arte de escribir. • La sensibilidad artística. • El sentido de independencia y autonomía. Al mismo tiempo se busca • Fomentar las bases para una genuina comprensión del entorno artístico. • Introducir a los alumnos en el vasto mundo de la computación y la informática. • Preparar a los estudiantes en el buen manejo del idioma inglés. • Fomentar el desarrollo sicomotriz del niño y su capacidad para establecer
relaciones sociales.
Estos propósitos se logran a través de las siguientes actividades: asambleas de grupos estudiantiles; programas de alfabetización; trabajo social; prácticas de campo, visitas y excursiones; campamentos, taller de lectura y redacción; teatro, danza y expresión corporal; talleres de música; computación e inglés; selección y escuelita de futbol.
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Preparatoria
En realidad, es imposible hablar de unos lineamientos de la sección preparatoria que difiera de los otros ciclos escolares (preescolar, primaria y secundaria); pues el Colegio Madrid aunque esté formado por cuatro escuelas, es una sola institución y por lo tanto, los propósitos cobran la misma vigencia en cada ciclo escolar.
En este sentido se puede decir que los principios directrices de la preparatoria son los mismos que se escribieron en el apartado correspondiente a los programas ofrecidos por el Colegio Madrid.
No obstante, es importante mencionar que desde el año pasado (1997), se empezó a proyectar unos cambios en la sección de preparatoria con el fin de ajustar el proceso de enseñanza aprendizaje a las nuevas exigencias sociales, sin renunciar a los principios de la institución. Estos cambios están organizados en un proyecto denominado CCH del Colegio Madrid, el cual comenzará a funcionar en los dos primeros semestres de preparatoria y avanzará progresivamente en los dos siguientes niveles cada año.
No profundizaré en la descripción de dicho proyecto, ya que no tocará al curso con el cual se va a trabajar en la experimentación de una parte del material diseñado. Sin embargo, mencionaré su aspecto esencial.
El CCH (Colegios de Ciencias y humanidades) es un proyecto educativo nacional que surgió en 1971 y que el colegio incorporó ese mismo año. Sus principios básicos son: • Realización de un bachillerato estilo universitario que no exija opciones
vocacionales prematuras e irreversibles. • La opción por un bachillerato de cultura básica. • Que el alumno se reconozca a sí mismo como sujeto de la cultura y de su
propia educación. • La orientación de un plan de estudios y de las actividades mismas, que le
faciliten al estudiante aprender como se aprende
El Colegio Madrid es consciente de que hoy en día el mundo cambia rápidamente y los conocimientos aprendidos se vuelven cada vez más obsoletos; la información sobrepasa la capacidad de asimilación; la competencia laboral y académica es más fuerte y los principios éticos no son tan claros. Por esto encuentra en el CCH el punto de partida para su proyecto en preparatoria. El objetivo fundamental será orientar el proceso educativo hacia la formación de alumnos capaces de aprender a aprender.
Para esto se requerirá que el proceso de enseñanza aprendizaje propenda por el desarrollo de habilidades, destrezas, saberes, pensamiento crítico, disciplina de
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trabajo y organización en las ideas. Esto implicará cambios en cuanto a metodología, tiempos de estudio y programas.
Por otra parte, el periodo sobre el cual se va a aplicar el material seleccionado será en primer semestre de 1999, específicamente en los meses de enero y febrero.
OBJETIVOS
Objetivo General
El objetivo del trabajo consiste en elaborar un conjunto organizado lógicamente de actividades destinadas a la enseñanza de los conceptos y procedimientos fundamentales de Geometría Fractal. A la vez que pretende diseñar y llevar a cabo un proceso experimental con una parte de las actividades diseñadas, en un curso de tercer semestre de preparatoria del Colegio Madrid, para validar o invalidar cierta hipótesis planteada entorno a la puesta en práctica de este material.
Las actividades o estrategias son básicamente un material escrito en el cual aparece una gama de tareas que el estudiante debe realizar para reconocer y comprender los conceptos, procedimientos y aplicaciones de la Geometría Fractal.
La idea con la que se diseñará este material es la de servir como base para promover el aprendizaje autónomo de los estudiantes. En este sentido se pretende que el material posea la doble característica de ser claro y motivador.
En cuanto a lo primero se desea que las actividades estén suficientemente especificadas y las instrucciones sean lo más precisas posibles como para que el estudiante pueda prescindir de la ayuda del profesor. En cuanto a lo segundo, se aspira hacer una presentación de los temas y un diseño de las actividades mismas que no sólo despierten el interés de los alumnos sino que pueda cautivarlos.
Hay que recordar que el material no pretende ser una estructura temática destinada a ser aplicada, - tal como ha sido constituida -, en los dos últimos niveles de preparatoria. Por el contrario, constituye una propuesta tentativa susceptible de ser ampliada, profundizada y mejorada y por lo tanto también modificada para ajustarla a las características de un curso.
Por otra parte, para entender la razón por la cual ciertos temas de la Geometría Fractal se consideran básicos y fundamentales es necesario entender cual es su objeto de estudio y mencionar los temas considerados importantes. Pero esto ya fue tratado en lo que refiere a la aclaración del tema.
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En lo referente a la elección de los niveles de preparatoria a los cuales va destinado el material elaborado se puede decir que tal decisión obedece al hecho de que los estudiantes cuentan con un bagaje matemático que los capacita para ver ciertos temas de Geometría fractal que en niveles inferiores sería prácticamente imposible. No obstante, la parte del material que someterá a experimentación puede ser aplicada a estudiantes de secundaria de séptimo grado en adelante, siempre y cuando hayan visto movimientos en el plano.
Objetivos Específicos
Los objetivos específicos que se plantean son los siguientes: a) Elaborar una propuesta para introducir los conceptos y procedimientos básicos
de la Geometría Fractal en niveles de preparatoria.
• Construcción de fractales clásicos: primero sin aludir a movimientos en el plano; luego acudiendo a movimientos en el plano; después hacer una formalización del proceso a través de la asociación de movimientos con matrices.
• Autosimilaridad: los fractales construidos anteriormente servirán como base para introducir este concepto.
• Dimensión Fractal: se abordará desde tres enfoques: por homotecia, por compás y por caja.
El cumplimiento de este objetivo beneficiará al profesor y a los estudiantes. Al primero, puesto que tendrá la oportunidad de familiarizarse con temas de gran actualidad que hacen parte de su propia disciplina. A los segundos, puesto que tendrán la posibilidad de mejorar su nivel matemático a la luz de nuevos contextos.
La propuesta finalizará con la descripción de algunas aplicaciones de estos dos grandes temas.
b) Hacer una prueba experimental de una parle del material elaborado sobre una muestra de estudiantes de preparatoria. Los temas que serán objetos de la experimentación son:
i)Construcción de los fractales clásicos: Conjunto de Cantor, Caja Fractal y Triángulo de Sierpinski. La manera de abordar su construcción será a través de la realización de una secuencia de instrucciones escritas y no se pretende, por cuestión de tiempo hacer una formalización matricial de dicho proceso.
ii)Autosimilaridad y Dimensión Fractal en su versión de dimensión de homotecia.
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El logro de éste objetivo permitirá conocer en alguna medida, si el uso de este material conlleva a los beneficios descritos en la hipótesis planteada. Al mismo tiempo, constituye un modelo de investigación que le puede servir de ejemplo al maestro para hacer de su labor un proceso de investigación.
De este modo, y para terminar, es conveniente reiterar que ha sido descrito el objetivo general y detallado los objetivos específicos. Aspectos muy importantes para clarificar lo que pretende este proyecto.
HIPÓTESIS
Considero que el desarrollo de este conjunto de estrategias y actividades por parte de los estudiantes del Colegio Madrid contribuye a que estos refuercen ciertos conceptos y procedimientos ya vistos en sus cursos tradicionales de matemáticas; además creo que posibilita que los estudiantes comprendan y apliquen nuevos conceptos y procedimientos en matemáticas; así como también les ayuda a desarrollar su capacidad de identificar patrones aritméticos y algebraicos a partir de una secuencia geométrica.
La dificultad para comprobar esta hipótesis radica en no contar con el tiempo suficiente para experimentar todo el material diseñado con estudiantes del nivel de preparatoria. El material se puede crear en el lapso de un semestre pero su aplicación llevaría como mínimo un año.
Es por esta razón, que se ha optado por un trabajo en su mayor parte de tipo procedimental. La experimentación se llevará a cabo tan sólo con una parte del material diseñado sobre el cual se validará o invalidará la hipótesis planteada al principio. Considero que el proceso de experimentación de todo el material daría pie a otro trabajo de tesis.
De todas maneras es muy interesante saber qué ocurre con la parte del material que se someterá a experimentación y a partir de allí poder intuir qué podría pasar con el resto.
Además el proceso experimental ilustraría una posible forma de trabajar la verificación de la hipótesis por medio de la puesta en práctica de todo el material didáctico.
Precisión y Justificación de la hipótesis
A continuación me remitiré a los siguientes aspectos: precisión y justificación de la hipótesis.
Variables
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Para precisar la hipótesis es indispensable identificar las variables independientes y dependientes y definirlas de modo que no sean susceptibles de interpretación ambigua. Al respecto se han identificado dos tipos de variables: independiente y dependiente.
La variable independiente en la hipótesis que se ha formulado es :desarrollo del conjunto de estrategias y actividades. Por esta variable se entenderá la lectura, realización de ejercicios y cumplimiento de las tareas estipuladas en el material escrito que se ha diseñado.
Las variables dependientes que se ha reconocido son:
a)Reforzar ciertos conceptos y procedimientos vistos en los cursos anteriores de matemáticas.
b)Comprender y utilizar nuevos conceptos de matemáticas.
c)ldentificar un patrón aritmético y/o algebraico a partir de una secuencia geométrica
Por la primera variable entenderemos que los estudiantes que habían olvidado un concepto o procedimiento, o que tenían dudas al respecto tendrán la oportunidad de recordarlo, manejarlo y aplicarlo. Pero ¿a qué conceptos y procedimientos me estoy refiriendo?
Teniendo en cuenta la parte del material que va a ser sometido a experimentación, los conceptos y procedimientos a los que estoy aludiendo son los siguientes: perímetro, área, movimientos rígidos en el plano, matrices, números racionales y propiedades de los logaritmos.
En cuanto a la segunda variable entenderemos por comprensión la capacidad del estudiante de explicar correctamente en sus propias palabras un concepto o procedimiento. Por utilización entenderemos la capacidad del estudiante de hacer uso de los nuevos conceptos y procedimientos aprendidos. Estos nuevos conceptos y/o procedimientos son: autosimilaridad geométrica y Dimensión Fractal.
Referente a la tercera variable podemos entenderla como la capacidad de descubrir una regla de formación en una secuencia de números o de figuras geométricas y con base en esta regla hacer predicciones de tipo aritmético y algebraico.
Justificación de la hipótesis
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El enfoque con el cual se pretende elaborar y aplicar el material escrito es de estilo constructivista. Recordemos que el constructivismo es un modelo de enseñanza aprendizaje centrado en el alumno. Esto significa que es a través de la participación activa del alumno en el proceso de enseñanza como se logra que el estudiante adquiera un auténtico aprendizaje. Además es un enfoque basado en una corriente subjetivista del conocimiento, la cual propone que el conocimiento surge como resultado de un consenso social entre las diferentes perspectivas que se desarrollan entorno a un mismo objeto de estudio. Es decir, plantea que el conocimiento es socialmente construido. De este modo es importante aclarar que el diseño del material así como su implementación están orientados por un enfoque constructivista. Es decir, en términos concretos, fomenta el trabajo individual autónomo de alumno como base de su propio aprendizaje y motor del trabajo colaborativo. Diremos de manera más precisa, que el diseño favorece el proceso de auto aprendizaje y el trabajo en equipo.
A la luz de estas ideas se expondrán unas breves y concisas razones que me han inducido a plantear la hipótesis expuesta al principio.
En primer lugar, el material que se ha elaborado utiliza contenidos que el alumno ha visto en cursos anteriores y los expone en un contexto diferente. Esto, por supuesto promueve el aprendizaje y por lo tanto refuerza los conceptos y procedimientos que el alumno ya ha abordado.
Por otra parte el material escrito está conformado por una secuencia de actividades lógicamente conectadas, cada una de las cuales se basa en la descripción de instrucciones que el alumno debe realizar con el fin de asimilar, - mediante un proceso inductivo -, ciertos conceptos y procedimientos. Esto evidentemente contribuye al desarrollo de la capacidad inductiva del alumno. Lo cual significa que el estudiante mejorará su destreza para descubrir reglas y poder hacer predicciones con base en estas.
De otro lado, el trabajo que se piensa llevar a cabo constituye un aporte a la transposición didáctica del tema de Geometría Fractal. Recordemos que la transposición didáctica es el proceso por el cual los temas que hacen parte de una disciplina científica se convierten en temas que pueden ser tratados en el nivel escolar. En este sentido, el material creado contempla temas muy recientes pero ajustados al nivel escolar de estudiantes del nivel de preparatoria. Por este motivo se puede suponer que las actividades y estrategias vincularán al alumno con nuevos temas.
Relaciones entre las variables
A continuación se establecen las relaciones entre las variables. 1 )La comprensión y utilización de nuevos conceptos depende del conocimiento de conceptos y procedimientos vistos con anterioridad. Por ejemplo, sólo es posible comprender el proceso de formación de una figura autosimilar por aplicación de movimientos en la medida que se tenga claro cuáles son los
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movimientos fundamentales y en qué consiste cada uno. Pero la comprensión y aplicación de nuevos conceptos no inciden en el refuerzo de conceptos y procedimientos previos. Es decir, no se puede dar el hecho de que un estudiante que no tiene claro los movimientos en el plano, comprenda la formación de una figura por traslación y homotecia y que como consecuencia de esto adquiera claridad sobre tales movimientos.
2)La utilización de un nuevo concepto depende de la identificación de patrones numéricos y geométricos. Por ejemplo, el cálculo de la Dimensión Fractal en su versión homotética, está basado en el hecho de que se pueda reconocer la relación invariante entre el número de partes que integran una figura autosimilar y la escala a la que se encuentran respecto a ésta. Lo contrario no se da; pues el estudiante no puede calcular la dimensión de homotecia de una figura y luego, reconocer que la figura es autosimilar.
3)La compresión es independiente de la identificación de patrones numéricos y geométricos ya que el estudiante puede ser capaz de describir en sus propias palabras el proceso de evolución de un fractal y aun así ser incapaz de reconocer un patrón numérico o geométrico en ese proceso de evolución. Sin embargo, la identificación de patrones numéricos y geométricos sí depende de que el estudiante comprenda el proceso de formación de un fractal. Si el estudiante es capaz de explicar en sus propias palabras el proceso de formación de un fractal es muy factible que pueda reconocer el patrón numérico subyacente en el proceso.
4)Finalmente, el alumno debe reforzar conceptos y procedimientos previos para identificar un patrón numérico o geométrico. Por ejemplo, si el estudiante tiene problemas con el cálculo de áreas entonces cometerá errores al hallar el área de un fractal en cada una de sus etapas de construcción, por lo que encontrará valores numéricos equivocados que le impedirán identificar el patrón numérico buscado. Por lo tanto, la identificación de patrones numéricos y geométricos depende del refuerzo en los conceptos y procedimientos que previamente debe conocer el estudiante. La relación recíproca no se tiene, puesto que la capacidad de identificar patrones numéricos y geométricos no implica que el estudiante refuerce ciertos conceptos.
5) Respecto a la comprensión y utilización de un nuevo concepto existe cierta independencia mutua ya que el hecho de que un estudiante pueda expresar un concepto en sus propias palabras, no significa que lo pueda aplicar. Por ejemplo, el alumno puede explicar el significado de dimensión fractal, pero no ser capaz de calcular la dimensión de un fractal. Recíprocamente, un estudiante puede ser muy hábil en el manejo de la fórmula de la dimensión fractal, pero no entender el significado del valor que obtiene.
A continuación se muestran gráficamente las relaciones anteriormente mencionadas.
00115,~
RELACION ENTRE LAS VARIABLES
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IDENTIFICACION DE PATRONES
ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
REFUERZO DE CONCEPTO PREVIOS
COMPRENSIÓN
2
UTILIZACIÓN
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El análisis de las relaciones anteriores, establecidas entre las variables, no será
realizado debido a dos razones: en primer lugar no constituye una meta
primordial de nuestro trabajo; en segundo lugar, aunque resulta interesante hacer
un proceso de tipo experimental para determinar el tipo de relaciones
establecidas, no se cuenta con el tiempo suficiente para hacer un estudio de tal
magnitud, pues para hacerlo se requeriría hacer un análisis factorial muy
complejo que implicaría hacer un estudio previo de dicha teoría antes de poder
aplicarla. Es decir, esa es una labor que desborda los límite de este trabajo, por lo
cual sería conveniente dejarlo como base para un trabajo de tesis posterior.
111 MARCO TEORICO
PANORAMA GENERAL
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La pregunta de la cual parte el trabajo de investigación que se quiere llevar a cabo es: ¿Qué estrategias diseñar para enseñar los conceptos básicos de Geometría Fractal a estudiantes de preparatoria?
Esta pregunta conduce inevitablemente a buscar bibliografía que esté relacionada con la enseñanza de la Geometría Fractal. Haciendo la búsqueda de temas relacionados con propuestas didácticas para la enseñanza de estos temas en el nivel de preparatoria, se encuentra uno con que casi toda la información se localiza en el ámbito puramente científico y tecnológico. Existen propuestas de enseñanza, pero se encuentran en un nivel avanzado y se centran fundamentalmente en los niveles superiores de licenciatura.
Hay algunos trabajos acerca de la enseñanza de la Geometría Fractal en el nivel de preparatoria, pero su proporción es mínima en comparación con toda la información que existe en el ámbito científico y de aplicaciones.
Ambito científico
En cuanto al ámbito puramente científico debemos distinguir el trabajo teórico realizado a nivel puramente matemático, de la labor desarrollada en torno a las aplicaciones en diferentes disciplinas científicas tales como biología, física, química, economía y astronomía entre otras disciplinas.
Respecto al trabajo en matemática se debe mencionar los siguientes textos como los más sobresalientes:
Fractals everywhere: hace un estudio muy formal, pero comprensible de los temas centrales de Geometría Fractal y Sistemas Dinámicos. Es el primer libro que presenta de manera sistemática y condensada las ideas que respaldan la Geometría Fractal y los Sistemas Dinámicos. Fue escrito por Michael Barnsley.(1993).
Fractals , Random and Point Fields (METHODS OF GEOMETR/CAL STATISTICS) : en este libro se utilizan métodos de análisis estadístico para el estudio de fractales y figuras formadas aleatoriamente entre otros tópicos. este libro fue escrito por H. Stoyan y D. Stoyan.(1995)
A First Course y Chaotic Diynamica/ Systems: este es el primer texto en introducir los tópicos modernos en sistemas dinámicos en el nivel de profesional. Está diseñado para presentar de manera gradual ideas matemáticas tales como caos, fractales, método de Newton, dinámica simbólica, conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot. Fue escrito por Robert Devaney (1992).
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Existen otros textos que abordan el tema de fractales en un nivel teórico, pero no superan a estos en profundidad y generalidad. Los textos mencionados antes, sobre todo los dos primeros, son considerados clásicos y de lectura obligatoria para todo aquel que quiera conocer los fundamentos matemáticos de la Geometría Fractal .
Ambito de las aplicaciones
En cuanto a las aplicaciones, mencionaré sólo algunos de los textos que se refieren precisamente a las aplicaciones de los fractales. No describiré de manera individual cada texto ya que mi interés se orienta hacia la enseñanza de la Geometría Fractal y no hacia el estudio de su aplicaciones. Estos libros ilustran objetos y fenómenos en la naturaleza que pueden ser modelados por la Geometría Fractal, correspondientes a disciplinas como geología, física , química, biología , etc. Estos son:
a) Fractals in the phisical, sciences de Hideki Takayasu(1992) b) Estructuras Fractales. Miguel de Guzmán y otros (1993) c) Caos fractales y cosas raras. Eliezer Braun(1996)
Ambito de la enseñanza
En lo que tiene que ver con la enseñanza de la Geometría Fractal, la mayor parte de los libros se enfocan hacia la enseñanza en el nivel de licenciatura. Existen algunos textos; por ejemplo, los libros de Barnsley y Robert Devaney mencionados antes, que están diseñados para un nivel de licenciatura. Estos son libros que explican los contenidos básicos y proponen simultáneamente una diversidad de ejercicios para desarrollar.
Un poco fuera de ésta tendencia se encuentra el libro Fractal for the classroom: introduction to fractales and Caos (1992), escrito por Heintz Otto Pegent, Harmut Jürgens y Dietmar Saupe(1992). En este libro, se introducen las ideas y temas esenciales de los Fractales y Sistema Dinámicos, a partir de los cuales se pueden plantear propuestas didácticas. Estos mismos autores escribieron dos textos: uno para la enseñanza de la los fractales y otro, para la enseñanza de los Sistemas Dinámicos. Los dos textos forman parte de una obra titulada Fractals for the class room: estrategic activities Vol. I (1991) y 11 (1992). Este trabajo es casi el único existente en lo que refiere a propuestas didácticas para la enseñanza de la Geometría Fractal en preparatoria; en estos dos últimos se abordan temas tales como autosimilaridad , juego del caos, dimensión fractal, iteración, caos y el conjunto de Mandelbrot.
Aunque todas las propuestas de enseñanza han sido elaboradas en E.E.U.U. , existen dos propuestas hechas en Colombia. En este momento no tengo el título preciso de dichos trabajos y sus autores, pero he tenido la oportunidad de acceder directamente a estos. Son dos trabajos de grado a nivel de Licenciatura
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realizados respectivamente en la Universidad Pedagógica Nacional en Bogotá y en la Universidad Industrial de Santander en Bucaramanga.
MARCO CONCEPTUAL
A pesar de que el material existente sobre la enseñanza de la Geometría Fractal en el nivel de preparatoria es muy escaso, se debe pensar en hacer una propuesta diferente que por lo menos enriquezca las que ya existen. Para cumplir éste propósito se establece explícitamente un marco conceptual que difiere del marco explícito o implícito del cual constan las otras propuestas.
La naturaleza del trabajo a realizar contempla tres características: por una parte hay que entender las ideas esenciales que constituyen el corazón mismo de una disciplina científica; por otra, hay que seleccionar entre estos conceptos, aquellos que sean susceptibles de llevarse del ámbito científico al ámbito escolar , sustentando de algún modo este proceso de transposición. Finalmente, es necesario fijarse en las características que debe tener el material a diseñar a fin de que sea concordante con procesos de enseñanza aprendizaje centrados en el estudiante.
En virtud de lo anterior se ha podido encontrar tres fuentes de las cuales se puede derivar el respaldo teórico requerido por el trabajo que se pretende llevar a cabo. La primera fuente es la referida a la propia disciplina Geometría Fractal; la segunda fuente, es la referida a la transposición didáctica y la tercera a la teoría constructivista.
Se empezará describendo la teoría constructivista, luego se tomará en cuenta la teoría de la transposición didáctica y finalmente se expondrán los conceptos matemáticos referentes a la Geometría Fractal.
Constructivismo
Hablar de constructivismo requiere hablar de la teoría cognitiva de Piaget y de Vigotski.
Retomando las ideas de Woolfolk (1996) entorno a los planteamientos de Piaget , es posible hacer una descripción concisa acerca de la teoría cognitiva Piagetiana, por lo menos de aquellos aspectos que nos interesan.
Ideas de Piaget
Según Piaget los cambios en el pensamiento de una persona ocurren como consecuencia de una permanente lucha por dar sentido a su mundo. En este proceso organiza sus ideas y acciones en estructuras que le permiten comprender e interactuar en el mundo. Estas estructuras reciben el nombre de esquemas. Los esquemas se van organizando en estructuras más complejas que hacen a la persona más competente.
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Tan importante como el proceso de organización es el proceso de adaptación. la adaptación es el conjunto de intercambios entre el sujeto y el entorno. A través de éste proceso la persona busca estar satisfactoriamente en su entorno. En este proceso participan dos elementos: la asimilación y acomodación. La primera ocurre cuando la persona emplea sus esquemas existentes para comprender y/o interactuar con algo. La segunda tiene lugar cuando la persona se ve forzada a cambiar sus esquemas o a crear otros nuevos para entender una situación nueva.
Lo anterior permite afirmar que, para dar significado a su mundo, la persona debe pasar por procesos de equilibrio y desequilibrio. El equilibrio se da cuando la persona es capaz de interpretar y entender su mundo con base en los esquemas que posee. Pero cuando sus esquemas no le son suficientes para explicar o manejar una nueva situación, debe modificarlos o construir otros. Es en éste último caso cuando se abre la posibilidad de adquirir nuevos aprendizajes.
Una consecuencia didáctica del planteamiento de Piaget, es que los individuos crean su propio conocimiento pues tienen que asimilar y acomodar la nueva información a sus propios esquemas. Para lograr esto, los estudiantes deben participar en forma activa en el proceso de aprendizaje; ellos deben actuar de algún modo sobre la información que se les presenta. En este sentido, vale la pena decir que la escuela debe dar la oportunidad a los alumnos de experimentar el mundo. Esta experimentación activa no debe ser sólo física sino también mental.
Constantemente se debe brindar la oportunidad a los estudiantes de aplicar los propios aprendizajes en situaciones distintas en las que originalmente fueron aprendidas. Si aplican un principio en una situación, y funciona se volverán más prácticos; sino funciona habrá desequilibrio y se abrirán nuevas oportunidades para desarrollar nuevas aptitudes del pensamiento.
Por otra parte es muy importante tener presente que la teoría de Piaget 4pasa por alto los importantes efectos del grupo cultural y social del niño. En este aspecto el planteamiento cognitivo de Vigotski se presenta vigorosamente complementario. Seguiremos a Woolfolk para sintetizar el planteamineto de Vigotski.
4 Piaget propone cuatro etapas del desarrollo cognitivo.Estas son: sensoriomotriz, preoperacional, operacional concreta y operaciones fonnales. De estas etapas la que nos interesa es la última, debido a que los estudiantes con los cuales se va a llevar cabo la experiencia se encuentran en esa etapa. En ésta, los estudiantes han desarrollado su capacidad de razonar hipotéticamente; es decir, han desarrollado un pensamiento abstracto. Igualmente, aunque admiten que los demás pueden pensar diferente, creen que los demás observan sus acciones. Una descripción más profunda de las etapas mencionadas anterionnente, se en Woolfolk ( 1996, p. 33-43).
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Ideas de Vigotski
Vigotski sugirió que el desarrollo cognoscitivo está muy influenciado por las personas en el mundo del niño. El contexto cultural determina en gran medida lo que el niño va a aprender acerca del mundo. Pero unido a la cultura, se halla el lenguaje , que juega un papel importante en el desarrollo cognitivo.
La familia, los profesores y los compañeros del niño, lo escuchan con atención y le brindan la información y la ayuda para que pueda crecer intelectualmente y su comprensión acerca del mundo avance; esto, por supuesto, está mediado por el lenguaje.
Esta idea conlleva los conceptos de zona de desarrollo proximal y de andamiaje. El primer concepto se refiere al área en la cual el niño no puede resolver un problema por si mismo; pero puede lograr la solución cuando cuenta con la ayuda suficiente. El segundo concepto, se refiere a la manera como el niño hace uso de la ayuda mientras internaliza los aspectos importantes que le permitirá resolver problemas similares por sí mismo.
Vigotski plantea que el discurso privado, es decir, el diálogo interno con uno mismo , cumple una función de guía de sí mismo en situaciones en la que se necesita más esfuerzo para resolver un problema. El desarrollo del discurso privado sólo es posible a través de las interacciones sociales.
El planteamiento de Vigotski trae consigo aportes muy importantes en el ámbito educativo.
El primer aporte tiene que ver con el aprendizaje asistido. Este "consiste en dar ayuda estratégica en los pasos iniciales del aprendizaje, disminuyéndolo en forma gradual conforme los estudiantes adquieren idependencia" (pag 49).Este aprendizaje asistido resulta exitoso si se ha tenido el cuidado de llevar al estudiante a su zona de desarrollo proximal; es decir, al momento en el que justamente requiere de ayuda para concretar su aprendizaje.
En consecuencia ," Todos los estudiantes necesitan interactuar con los profesores y compañeros para probar su pensamiento, ser desafiados, recibir retroalimentación y observar la manera en que otros solucionan los problemas" (pag.44).(la palabra resaltada es mía) La comunicación con otras personas (profesores y compañeros) hace que los estudiantes puedan encontrar la ayuda que necesitan para hallar la solución al problema que se proponen resolver. Por lo tanto, el trabajo colaborativo es un potente recurso en los procesos de enseñanza aprendizaje.
Las anteriores consecuencias didácticas derivadas de la teoría de Piaget y de Vigotski establecen un compromiso enorme en lo que tiene que ver con el diseño de estrategias y actividades didácticas así como en la puesta en práctica de una parte del material diseñado.
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En este sentido se ha pensado que las estrategias y actividades deben ser diseñadas de tal manera que permitan al estudiante hacer experimentos mentales y participar de forma activa sobre la información; misma que por ser nueva para los alumnos les exige la realización de procesos de asimilación y acomodación; al mismo tiempo que genera procesos de desequilibrio sobre todo en temas tan importantes como el tema de dimensión fractal, el cual por si mismo cuestiona la intuición de los alumnos acerca de la dimensión espacial. En consecuencia , es importante que las actividades presenten una diversidad de contextos para que los alumnos apliquen principios de una situación a otra.
Paralelo al trabajo autónomo e individual que deben hacer los alumnos sobre el material didáctico , es importante fijar la forma como se va a administrar la clase con el fin de ser coherentes con las ideas didácticas que se deducen del trabajo de Vigotski. En primer lugar, podría pensarse en el desarrollo y realización de una observación sistemática y permanente destinada a un doble propósito: por un lado, el de mirar el desempeño de los estudiantes con las actividades propuestas a fin de identificar los errores más comunes y utilizarlos como punto de partida para propiciar aprendizajes . Por otro lado, el de reconocer en que momento se encuentra cada estudiante en su zona de aprendizaje proximal con el fin de brindarle la ayuda que requiere para lograr su aprendizaje.
En segundo lugar, es muy importante pensar en la forma como se va a organizar el curso para que posibilite a los estudiantes interactuar entre si; pues es a través del trabajo colaborativo como los estudiantes encuentran una nueva oportunidad para modificar sus esquemas y por lo tanto ayudarse mutuamente para el logro de sus aprendizajes.
Transposición didáctica
Para explicar en que consiste la transposición didáctica me basaré en las ideas expuestas por el Dr. Ricardo Cantora! en el primer capítulo de su libro Historia de la Matemática; el cual fue utilizado como texto base para orientar el curso de Historia de la matemática que ofrece la Maestría en educación con especialidad en matemáticas.
La transposición didáctica es el proceso por el cual el conocimiento que se genera y mantiene en el ámbito puramente científico se lleva al ámbito escolar en el que se vuelve susceptible de ser enseñado.
Un ejemplo de transposición didáctica lo constituye, precisamente, el trabajo que intentamos hacer al diseñar un conjunto de estrategias y actividades para enseñar los conceptos y procedimientos esenciales de la Geometría Fractal. En este trabajo, subyace un principio del proceso de modificación por el cual los conocimientos prevalecientes en el ámbito científico cambian en cuanto a su
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estado de organización, importancia relativa, presentación u origen, en función de las necesidades didácticas.
Características
De lo planteado por Ricardo Cantora!, se pueden señalar varias características referentes al proceso de transposición didáctica.
a)Especificidad de las construcciones didácticas
Los objetos destinados a enseñar difieren cualitativamente de los objetos de la disciplina científica de la cual proceden. Esto se debe a la modificación, por la que deben pasar estos últimos para convertirse en objetos enseñables. No obstante, los objetos a enseñar no pueden concebirse como meras simplificaciones de los objetos científicos ,pues en el fondo lo que se busca es que los estudiantes tengan una idea global correcta del modelo científico, y no una imagen fragmentada y distorsionada de éste.
b )Acerca del objeto científico
• Para que un objeto científico sea transpuesto didácticamente debe haber un consenso en la comunidad científica sobre la firme validez de ese conocimiento que va a convertirse en objeto de enseñanza. De lo contrario , si existe incertidumbre entre los miembros de la comunidad científica, ese conocimiento no será viable de ser transpuesto didácticamente.
• El objeto de conocimiento en el ámbito científico es el punto de partida para futuras profundizaciones y ampliaciones; mientras que el objeto de enseñanza está definido y por lo tanto es susceptible de ser evaluado.
• El objeto científico a transponer didácticamente se encuentra despersonalizado en el sentido de que, al momento de su publicación se ha borrado cualquier vestigio del proceso, de los procedimientos, de los ires y venires, de los aciertos y desaciertos que se gestan en su consolidación como un conocimiento válido.
c) La desintetización didáctica
• El modelo científico, o el saber erudito a transponer, suele presentarse de manera cerrada. Esto quiere decir que el saber científico, una vez que ha sido despojado de todos aquellos procesos que le han dado origen, se presenta muy suscintamente. En el proceso de transposición didáctica no es posible tomar , de una vez por todas, todo el modelo científico, y presentarlo de una sola tanda , sino que debe ser descompuesto en partes bien diferenciadas por sus características y función dentro del modelo. Cada una de estas partes es presentada de forma independiente, mediante una secuencia didáctica que está constituida por una introducción, un cuerpo y
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un final. Esta presentación resulta ser sólo una parte de todo un proyecto didáctico cuya finalidad es lograr una comprensión de todo el proceso.
¿Cuándo se inicia un proceso de transposición didáctica?
Dos razones básicas motivan un proceso de transposición didáctica: el primero, la obsolescencia de los saberes; el segundo, la intención de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.
El primero hace referencia al hecho de que cuando los saberes de una disciplina están desfasados con respecto al estado actual de ésta; es decir, cuando ya no resultan de valor significativo para hacer avanzar la disciplina, entonces comienza a crearse un ambiente propicio para iniciar la transposición didáctica de éste conocimiento.
Esto implica , explícitamente, que solo los conocimientos de antaño son susceptibles de transponerse didácticamente. Sin embargo, en nuestro caso esto no es plausible, puesto que se ha tomado conceptos de gran vigencia y vigor dentro de la teoría de la Geometría Fractal y los Sistemas Dinámicos. Por lo tanto, en mi opinión, es posible transponer didácticamente conocimientos recientes de una disciplina, siempre y cuando éstos tenga asegurado una validez científica y a la vez den muestra de ser ventajosos en el mejoramiento de procesos de enseñanza aprendizaje.
En cuanto al segundo aspecto, es importante destacar que si bien la transposición didáctica de un conocimiento puede traer beneficios para el proceso de enseñanza aprendizaje; es conveniente no dejarse seducir por el carácter renovador que éste conlleva. Este esfuerzo renovador no conduce automáticamente al desplazamiento de las dificultades de aprendizaje. Pueda que esto sea posible, pero toda transposición didáctica trae consigo una nueva epistemología y por lo tanto, nuevos problemas de aprendizaje. Sólo hasta la puesta en práctica, desarrollo y evolución en situaciones de clase se puede determinar la naturaleza de los nuevos problemas y la posible forma de solucionarlos. Al respecto, Cantora! escribe: "la didáctica permite tomar decisiones de las dificultades a tratar , sin suponer que la sola modificación de un texto de saber podrá lograr salvar los nuevos problemas didácticos" (pag. 6).Esta última afirmación introduce el siguiente apartado.
¿Qué papel desempeña la didáctica y especialmente la didáctica de la matemática en el proceso de transposición didáctica?
La didáctica desde la perspectiva de Cantora! " consiste en describir y explicar las actividades ligadas a la comunicación de conocimientos y las transformaciones de los protagonistas de ésta comunicación, así como las transformaciones del conocimiento mismo" (pag 7)
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Desde ésta perspectiva la didáctica enfoca su atención al resultado de la transposición didáctica . Se fija por una parte en las actividades mismas mediante las cuales el nuevo objeto de enseñanza pretende darse a conocer a los estudiantes, indagando entre otras cosas , en su coherencia interna y externa; en la influencia sobre los alumnos y el mismo profesor; así como en la efectividad del aprendizaje. Por otro lado, se interesa en el proceso de comunicación inherente al proceso de enseñanza-aprendizaje, observando el desenvolvimiento social, emocional y cognitivo de quienes participan en el proceso.
Por lo tanto, queda muy claro que nuestro trabajo debe no sólo consistir en el diseño de estrategias y actividades para la enseñanza de los conceptos y procedimientos fundamentales de la Geometría Fractal, sino que también implica hacer un estudio de la puesta en práctica de por lo menos una parte del material.
Con base en lo anterior es posible afirmar que la didáctica de la matemática se interesa en los procesos por los que los alumnos pueden adquirir un saber matemático en la escuela. Poniendo énfasis sobre todo en las actividades que tienen por objeto la enseñanza, y también en la comunicación de los conocimientos. Es fundamental que la didáctica de la matemática ponga en evidencia los fenómenos específicos y sus métodos de prueba.
Contrato didáctico
El contrato didáctico es " una relación que determina explícitamente , en una pequeña parte, pero sobre todo implícitamente - lo que cada participante , el enseñante y el enseñado, tiene la responsabilidad de producir y de lo que será de una u otra manera, responsable ante el otro."( pag. 9)
Las obligaciones comprendidas por este contrato son :
• El profesor debe crear las condiciones suficientes para la apropiación de los conocimientos y reconocer esta apropiación. Puesto que el único medio de hacer matemáticas es mediante la búsqueda y solución de problemas matemáticos, el profesor debe no transmitir los conocimientos considerados sino plantear el problema correcto. En este sentido, Cantora! comenta: " a través de situaciones y problemas por resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño" (pag. 8)
• El alumno debe estar en capacidad de satisfacer las condiciones exigidas. Esto significa también que el maestro tiene la responsabilidad de activar los conocimientos previos del alumno o en etapa de aprendizaje al iniciar el proceso de apropiación de un nuevo conocimiento. En este sentido se " asegura que las adquisiciones anteriores y las condiciones nuevas dan la posibilidad de adquisición." (pag 1 O)
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• Independientemente de las dificultades y obstáculos la relación didáctica debe continuar.
Lo anteriormente mencionado es muy importante ya que para que se prop1c1e el aprendizaje de nuevos conocimientos a la luz de nuevos contextos es fundamental que el maestro y el alumno sepan explícita o implícitamente lo que cada uno debe hacer para que el aprendizaje se realice.
Este compromiso mutuo, implícito en su mayor parte, explícito en menor grado, en el que el maestro hace lo que tiene que hacer para que el estudiante aprenda, y el alumno hace lo que el maestro espera que haga, es de vital importancia en los procesos de enseñanza aprendizaje. Por esta razón es conveniente tenerlo muy en cuenta sobre todo, porque el trabajo a realizar implica experimentar una parte del material elaborado y estructurado.
Algunos problemas que surgen en el contrato didáctico
A continuación mencionaré algunos fenómenos explicitados por Ricardo Cantora! en su intento de mostrar los elementos que dan cuerpo a la teoría de la transposición didáctica .
• Efecto Topaze: el profesor termina haciendo el trabajo del alumno; pues le muestra la respuesta a través de códigos cada vez más evidentes y anula la posibilidad de que éste llegue por esfuerzo propio.
• Efecto Jourdain: para evitar la constatación del fracaso el profesor reconoce, aun sin que existan, un conocimiento erudito en las respuestas del alumno.
• El desplazamiento metacognitivo: el maestro se da cuenta que su estrategia no funciona para explicar el concepto que se quiere a los alumnos y acude a sus propias explicaciones y métodos heurísticos para hacerlo. De éste modo, sus ideas dotadas de un lenguaje específico se convierten en un nuevo objeto de estudio.
• Analogías : consiste en la presentación de un modelo similar al modelo que se pretende comprender; el uso excesivo de éste método conduce al efecto Topaze.
• El envejecimiento de situaciones: es el efecto distinto que ocurre cuando se debe presentar un tema por segunda vez. Todo profesor inquieto siente en el fondo el deseo de hacer una nueva formulación. Se sabe que los contenidos envejecen más rápido cuando se transmiten con mayor participación del profesor que cuando participan mayormente los alumnos.
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Los fe~ómenos mencionados antes son importantes como una referencia para deterr:nmar lo que se debe y no se debe hacer en el trabajo directo con los estudiantes en el proceso de aprendizaje de un nuevo contenido.
Finalmente, y habiendo explicado lo que es la transposición didáctica, sus características, el papel de la didáctica en el proceso de transposición didáctica y aclarado el concepto de contrato didáctico y sus fenómenos, pasamos a ver los elementos teóricos puramente matemáticos en el que se enmarcan el presente trabajo.
Conceptos Matemáticos Geometría Fractal 1. Espacio métrico: Es un conjunto X no vacío y una función d: X x X ~ R>0 con las siguientes propiedades: a. d(x,y) = O si y sólo si x=y b. d(x,y) = d(y,x) para todo x,y E X c. d(x,y):,; d(x,z) + d(z,y) para x,y,z EX. Ejemplo: El conjunto de los números reales con el valor absoluto.
2. Punto fijo: Sea X un conjunto y T: X ~ X una función. Un punto x1 E X se llama punto fijo de T si T(x¡) = x1
Ejemplo: X¡ -1-b es un punto fijo de T(x) = mx+b donde T: R ~ R. -m
3. Contracción: Sea (X,d) un espacio métrico y T: X ~ X una función. Se dice que T es una contracción si existe un r E [O, 1) tal que para cada x,y E X , d ( T(x),T(y)) ~ r d(x,y). Ejemplo: La función T: R ~ R definida como T(x) = mx+b.con lml<1.
4.Sucesión de Cauchy: Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Una sucesión es de Cauchy si para todo i::>0 existe un N > O tal que para todo par de naturales m,n > N se cumple d(xm,x,J < E.
Ejemplo: Cualquier sucesión convergente definida en los reales es de Cauchy.
5. Espacio métrico completo: Es un espacio métrico donde toda sucesión de Cauchy converge en un punto del espacio. Ejemplo: X = [O, 1] con la métrica del valor absoluto.
6. Bola abierta: Sea (X,d) un espacio métrico , x0 un elemento de X y r un número real positivo. Una bola de centro x0 y radio r, denotada por B(x0,r), se define como el conjunto de los puntos x en el espacio métrico cuya distancia a x0
es menor que r. Es decir, B(x0,r):{xEX: d(x, x0) <r}.
Ejemplo: un disco en el plano con centro en el origen y radio 1.
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7. Conjunto abierto: Un subconjunto A de un espacio métrico {X,d), es abierto si para cualquier punto x en A existe una bola centrada en x contenida en A. Ejemplo: un círculo en el plano sin su frontera.
8. Cubrimiento abierto: Sea (X,d) un espacio métrico, 1 un conjunto y A un subconjunto de X. Un cubrimiento abierto de A es una familia {A¡}iel de conjuntos abiertos de X cuya unión contiene a A. Es decir, Ac U A; . Si Je I y {A¡}ieJ es
ie/
todavía un cubrimiento de A, entonces se dice que es un subcubrimiento. Si además J es finito , se dice que es un subcubrimiento finito de A.
Ejemplo: Sea X=R. Entonces la familia
T = {Jk,- = (k - _1__ , k + 1-) : i e N, k = O, l , l ,
3 ,1}
4i 4i 4 2 4 es un cubrimiento abierto de (O, 1).
Si consideramos la familia finita B = {J0i, J, , J, , J 3 , J11 } , se tiene que esta es un 1 -1 1
4 2 4
subcubrimiento finito de A.
Lo que nos dice este ejemplo es que por cada uno de los puntos O, 1/4, 1/2,3/4 y 1 existe una familia de intervalos cuyos radios van variando según la sucesión {1/4, 1/8, 1/16, ... }. La colección de todos estos intervalos conforman los elementos de la familia T, misma que recubre al conjunto A=(O, 1). De esta familia, formada por una cantidad infinita enumerable de intervalos, se eligen los intervalos (-1/4, 1/4),(0, 1/2),(1/4,3/4),(1/2, 1) y ( 3/4 5/4); los cuales conforman los elementos del la familia B, misma que constituye un recubrimiento finito de A.
Por otro lado vale la pena decir que el cubrimiento { (! ,1 + ! ) LN es un
cubrimiento de A que no contiene un subcubrimiento finito de A.
9. Conjunto compacto: Sea (X,d) un espacio metrico y A un subconjunto de X. El conjunto A es compacto si y solo si para todo cubrimiento abierto {A¡}iel de A existe un subcubrimiento finito {Ai}ieJ. Ejemplo: el intervalo [0,1) es compacto.
1 O.Distancia de Hausdorff: En primer lugar definimos la distancia de un punto x a un conjunto compacto B, denotada por d'(x,B), como d'(x,B)= mín{ d(x,y): yeB}. Luego definimos la distancia de un conjunta A a un conjunto B, denotada por d*(A,B) y siendo A y B son compactos, como d*(A,B) = máx {d'(x,B): xeA}. Con estos dos conceptos previos, definimos la distancia de Haussdorff entre dos conjuntos compactos A y B, denotada por dH( A,B), como dH( A,B)= máx { d*{A,B), d*(B,A)}.
Ejemplo: sean AB y CD dos segmentos que se cortan en M
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B
e
A D
Sea X E AB . Entonces
d'(X, CD)= mín{d( X,Y): YE CD}= XP
d*( AB, CD)= máx{d'(X, CD):XE Ali }=BQ
Sea ZE CD, entonces
d'(Z, AB) = mín{d( Z,Y): Y E AB} = ZA
d*( CD, AB) = máx{d'(Z, Ali ):XE CD }=CA
Entonces
dh( AB, CD)= máx{ d*( AB, ci5 ), d*( CÍJ, AB )}= máx {BQ,CA}=CA
11. Espacio donde habitan los fractales: Sea (X,d) un espacio métrico completo. H(X) denota la colección de todos los subconjuntos no vacíos y compactos de X. Es decir,
H(x)={ A E P(X):A es compacto y no vacío}
El espacio métrico determinado por H(X) y la métrica Hausdorff, denotado por (H(X),dH), se llama espacio donde habitan los fractales.
Ejemplo: Sea X=R y d(x,y)= lx-yl para todo x,y E R. La colección de todos los subconjuntos no vacíos y compactos de R junto con la métrica de Hausdorff constituyen un espacio de fractales.
Nota: que un espacio métrico sea de fractales no significa que todos sus elementos son fractales en el sentido formal del término.
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12. Teorema 2: si (X,d) es un espacio métrico completo, entonces (H(X),dH) es un espacio métrico completo.
13. Teorema 3: Sea ( X,d) un espacio métrico completo y T1 ,T2 ,. . .Tn contracciones definidas sobre X. La transformación q, : H(X) -+ H(X) definida como
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q,(A)= UT;(A) para toda Ae H(X) i=l
es una contracción de H(X) -+ H(X).
El teorema 3, garantiza la existencia de una estructura para cada conjunto finito {T1,T2, ... ,Tn} de contracciones sobre X. Esto se puede apreciar través del siguiente análisis.
Puesto que q, es una contracción del espacio métrico (H(X), dH); el cual, según el teorema 2 , es completo; entonces por el teorema del punto fijo existe un elemento único At en H(X) tal que q,(At)= At .Es decir,
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q,(At)= YT;(AJ) i=l
Por lo tanto existe un subconjunto At de X, que se puede expresar como la unión de partes similares a sí misma. Es decir, es un conjunto formado por copias de si mismo; por lo tanto es autosimilar . Dicho conjunto cambia cada vez que se elijan nuevas transformaciones T1,T2, ... ,Tn ya que la definición de q, depende de dichas transformaciones.
El mismo teorema 1, establece la manera de obtener tal conjunto. Basta con tomar un subconjunto no vacío y compacto en X, digamos B, y fijarse en el límite de la sucesión B, q,(B), q,2(8), q,3(8), . . . , q,"(B), ... Esto sugiere, para fines prácticos, obtener el conjunto At de manera aproximada, iterando la función q, tantas veces como se quiera la exactitud de la aproximación.
14. Dimensión Fractal : Sea AeH(X) donde (X,d) es un espacio métrico. Para cada E >0 sea N(A,E) el menor número de bolas cerradas de radio E>Ü necesarias para cubrir A. Si
D= Lim &~O
lnN(A,& ) - ---- - ·-
1 In -&
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existe, entonces D es llamada la dimensión fractal de A. El número N(A,E) existe ya que A es compacto y por lo tanto, cualquiera que sea el cubrimiento que se haga sobre A, es posible encontrar un subcubrimiento finito de este conjunto.
15.Fractal : se entenderá por fractal a todo conjunto no vacío y compacto con dos propiedades básicas: autosimilaridad estricta y dimensión fractal. La primera propiedad significa que el conjunto se puede descomponer en partes que son semejantes a la totalidad de la figura; la segunda propiedad significa que tiene una dimensión no entera. Todo conjunto obtenido por el proceso de construcción de Barnsley 5constituye un fractal.
Ejemplo: La curva que aparece a continuación, denominada curva de Koch es estrictamente autosimilar y tiene dimensión 1.26 aproximadamente.
Nota: esta definición, aunque retoma dos de las características más importantes de las estructuras fractales, no es universalmente aceptada; pues de ser considerada universalmente válida muchas estructuras fractales quedarían por fuera de esta definición. Sin embargo, es una definición que conviene para los propósitos de este trabajo.
5 Los conceptos matemáticos descritos en este apartado están basados en la obra clásica de Michael Bamsley, titulada Fractals Everywhere; la cual se menciona en la bibliografía de este trabajo.
IV METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
CLASIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
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Se sabe que no existe una clasificación estándar de los diferentes tipos de investigación. Las clasificaciones que existen sirven más bien como referencia para delimitar el tipo de investigación que se quiere realizar. Por esta razón me parece conveniente exponer el tipo de investigación que se quiere llevar a cabo, sin importar que se haya mencionado en apartados anteriores.
El trabajo investigativo requiere hacer un estudio de la geometría fractal desde una perspectiva más general que exahustiva, con el fin de identificar su conceptos y procedimientos fundamentales. Luego se debe diseñar una propuesta flexible de estrategias y actividades que sirva para introducir estas ideas en niveles de preparatoria. Posteriormente se debe hacer un experimento con una parte del material construido sobre un grupo de estudiantes de tercer semestre de preparatoria del colegio Madrid.
Quiero enfatizar que cuando hago referencia a la construcción de un material didáctico para introducir las ideas esenciales de estas dos nuevas ramas de la matemática en preparatoria, no quiero dar a entender que voy a preparar un material para cada uno de los niveles; sino que más bien esta colección de actividades y estrategias constituyen una propuesta para que cada maestro la pueda modificar y ajustar a sus condiciones particulares. Incluso, parte del material puede adaptarse a estudiantes de secundaria.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente se puede decir que la investigación a desarrollar tiene un carácter procedimental, puesto que se debe hacer una búsqueda de información. A decir verdad, encontrar todo lo relacionado con Geometría Fractal, actividad que será primordial para determinar los aspectos esenciales de esta rama de la matemática.
De otro lado, tiene también un carácter "aplicativo" en el sentido de seleccionar temas que habitan en un ambiente puramente científico y llevarlos a un contexto puramente didáctico; con el propósito de que, posiblemente, contribuyan de alguna manera a reforzar ciertos conceptos y procedimientos de matemáticas. Sin embargo, no es aplicativo en el sentido estricto del término, ya que no se propone aplicar un modelo teórico dado para resolver de inmediato un problema específico; aunque se puede afirmar que, posiblemente contribuya a disminuir a largo plazo ciertas dificultades que pueden tener estudiantes con la matemática.
Tiene un carácter experimental ya que una parte del material didáctico será puesto a prueba para validar o invalidar una cierta hipótesis que se ha planteado en torno a su uso. Esta hipótesis es que " el desarrollo de este conjunto de estrategias y actividades por parte de los estudiantes de tercer semestre de preparatoria del colegio Madrid, con sede en México D.F, contribuyen a que los estudiantes refuercen ciertos conceptos y procedimientos ya vistos en sus
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cursos normales de matemáticas; posibilita que los estudiantes comprendan y utilicen nuevos conceptos en matemáticas; así como también les ayuda a identificar patrones numéricos y geométricos."
Es experimental en cuanto al diseño para validar o invalidar la hipótesis; pues como se enunció y explicó en el apartado de la operacionalización, se llevará a cabo un diseño de grupo de control pretest -postest. Sin embargo, a pesar de tener un carácter experimental su enfoque no es totalmente cuantitativo ya que los instrumentos que se utilizarán para la recolección de datos son de tipo cualitativo, tal como se mostrará más adelante. En este sentido se puede decir que no es el propósito hacer énfasis en números, medidas, etc. si no más bien centrarse en el ambiente natural en el que se va a llevar a cabo la experiencia ; en la interpretación de los datos recogidos a través de los cuestionarios y de la observación del proceso mismo, así como en la intención de hacer un diseño flexible.
FASES DE LA INVESTIGACIÓN
Primer Fase
En esta fase se hace un estudio de los temas esenciales de Geometría Fractal. Se seleccionan los conceptos y procedimientos que servirán de base para la realización de la propuesta didáctica. Esta etapa es la de más larga duración porque se trata de asimilar los contenidos esenciales de dos recientes ramas de la matemática, lo cual no resulta fácil. Sin embargo, el hecho de venir trabajando en estos temas desde hace 4 años me permite decir que los conceptos y procedimientos fundamentales de estas dos áreas susceptibles de ser tratados en preparatoria son: construcción de fractales, dimensión fractal, conceptos básicos de sistemas dinámicos y finalmente aplicaciones.
Segunda Fase
En ésta fase se diseña la propuesta didáctica. Es decir, se construye y organiza las guías de trabajo para el alumno. Los tópicos de Geometría Fractal y Sistemas Dinámicos que se van a tratar y el tiempo empleado en la elaboración del material correspondiente, aparece explicitado a continuación:
1. Geometría Fractal 1.1 Construcción de Fractales 1.1.1 conjunto de Cantor 1.1.2 Triángulo de Sierpinski 1.1.3 Copo de nieve de Von Koch 1 .1.4 Caja Fractal 1.1.5 Carpeta Fractal 1.1.6 Concepto de autosimilaridad 1.1. 7 Diseño de fractales
Tiempo: 2 semanas
2 Dimensión Fractal Tiempo: 2 semanas 2.1.1 Método del compás 2.1.2 Método de cajas 2.1.3 Dimensión de homotecia 2.1.4 Cálculo de la dimensión de fractales clásicos
3. Movimientos en el plano 3.1 Rotación 3.2 Contracciones y Dilataciones 3.3 Reflexión 3.4 Traslación
Tiempo: 2 semanas
4.Composición de Movimientos en el plano Tiempo: 2 semanas 4.1 Rotación y homotecia 4.2 Rotación y Reflexión 4.3 Reflexión y homotecia 4.4 Traslación con otros movimientos 4.5 Transformación de similitud
5. Proceso de construcción de Fractales Tiempo: 2 semanas 5.1 Sistemas de Transformaciones 5.2 Transformación de Barnsley 5.3 Iteración de la transformación de Baransley
3.Aplicaciones Tiempo: 1 semana 3.1 Estructuras biológicas raras 3.2 Economía: Bolsa de valores 3.3 Diseño de estructuras y procesos en ingeniería
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El tiempo anteriormente establecido supone un trabajo diario de por lo menos cinco horas entre semana y ocho horas los fines de semana. Se ha dispuesto así, porque existe de antemano una familiaridad con el tema que permite manejarlo con solvencia
Tercer Fase
En esta fase se diseña y realiza el experimento con el cual se pretende poner a prueba una parte del material didáctico que se ha elaborado en la segunda fase. Con este experimento se pretende validar o invalidar la hipótesis planteada. A continuación se describe el experimento.
Diseño del experimento
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Se trata de un diseño de grupo de control pretest-postest. Esto significa que se tomarán dos grupos: uno experimental y otro de control. Sobre el grupo experimental se aplicará el material seleccionado, mientras que en el grupo de control no.
De manera previa a la aplicación del material se describirán las características relevantes en ambos grupos en un momento determinado. Esta descripción se realizará con base en la información suministrada por la institución. Luego se aplicará un primer cuestionario a ambos grupos.
Luego de terminar la aplicación del material sobre el grupo experimental y de transcurrir cierto tiempo se vuelve a aplicar otro cuestionario con el objeto de determinar las características relevantes en cada uno.
Si los cambios obtenidos en el grupo experimental difieren de los obtenidos en el grupo de control entonces el material didáctico que se ha diseñado realmente tiene un efecto sobre el nivel matemático de los estudiantes.
El experimento se llevará a cabo en el colegio Madrid con estudiantes de tercer semestre de preparatoria. Los estudiantes pueden ser hombres y mujeres. Puesto que el material que se pondrá a prueba es relativamente " elemental" para los estudiantes de estos grados, se pondrá mayor énfasis en el efecto que produce su aplicación sobre los estudiantes de un nivel matemático medio y bajo interesados realmente en aprender.
Se realizarán de 6 a 7 sesiones en total. Cada sesión se desarrollará semanalmente y tendrá una duración de hora y media. El tema que se abordará en cada sesión aparece a continuación:
Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5 Semana 6
Cuarta Fase
Cuestionario 1 Conjunto de Cantor Caja Fractal Triángulo de Sierpinski Autosimilaridad y Dimensión Fractal Cuestionario 2
Se establecerán las conclusiones, alcances y limitaciones del proyecto.
V INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS Y TIPO DE OBSERVACIÓN
INSTRUMENTOS
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Los instrumentos que se piensa utilizar para la recolección de datos son los siguientes: cuestionario, diario y libreta de apuntes.
Cuestionario
Se ha elegido el cuestionario por ser un instrumento de recopilación de datos que operacionaliza la hipótesis y por tanto permite verificarla. En realidad, se piensa elaborar dos cuestionarios que se aplicarán tanto en el grupo de control como en el grupo experimental. Un cuestionario se aplicará inmediatamente antes de iniciar la experiencia; el otro será aplicado tres semanas después de haber terminado la experiencia del material.
Ambos cuestionarios tendrán esencialmente la misma estructura y se hará un esfuerzo para que sus preguntas indaguen exactamente por lo mismo y con el mismo nivel, aunque el planteamiento de las preguntas difiera de un cuestionario a otro. Al respecto se puede decir que su estructura similar es:
i)Las dos primeras preguntas son dos problemas geométricos que indagarán por hechos conocidos como el perímetro y el área. ii)Una tercera pregunta indagará por la capacidad de determinar patrones numéricos y geométricos a partir de una secuencia dada. iii) Una cuarta pregunta indagará por la capacidad que tienen los estudiantes de ver una figura como resultado de la aplicación de movimientos distintos sobre otra. iv)Sin embargo, en el segundo cuestionario se incluirán una o varias preguntas que indaguen por los nuevos conceptos vinculados con el material estudiado.
Las preguntas a las que hace referencia el apartado i) serán preguntas de selección múltiple; es decir, serán preguntas cerradas con múltiples alternativas de respuesta. Se ha elegido este estilo por su fácil tabulación y porque de alguna manera orienta al estudiante a responder.
La pregunta a la que hace referencia el apartado ii) será del estilo completar una afirmación. Su ventaja será la de facilitar el seguimiento de una secuencia dada en la obtención de la respuesta.
La pregunta del apartado iii); así como las preguntas adicionales que se vinculen al cuestionario 2, serán de estilo abierto; es decir, preguntas en las cuales el alumno tiene la posibilidad de construir la respuesta en su propio vocabulario; lo cual probablemente dará la posibilidad de recoger más información sobre lo que se está estudiando.
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Conviene mencionar que las preguntas descritas en los apartados i) y iii) intentan operacionalizar la hipótesis según la cual los estudiantes reforzarán ciertos conceptos en matemáticas como resultado de desarrollar las actividades y estrategias seleccionadas. La pregunta descrita en ii) operacionaliza la hipótesis según la cual los alumnos estarán en capacidad de identificar patrones aritméticos y algebraicos. La pregunta descrita en iv) hace operativa la hipótesis que afirma que los estudiantes conocerán y aplicarán nuevos conceptos en matemáticas.
Respecto a la validez y fiabilidad de los cuestionarios se cuenta con dos mecanismos para garantizarla .Por un lado está el grupo de control el cual actuará como otra fuente para comprobar la información obtenida. Por otro lado, está el análisis de los procedimientos matemáticos hechos por los alumnos para dar sus respuestas.
Finalmente hay que decir que los dos cuestionarios diseñados corresponden a la siguiente clasificación: respuesta directa; pre-codificadas y pos-tcodificadas.
Son de respuesta directa ya que ambos son respondidos directamente por la persona o grupo interrogado. También son de estilo pre-codificado ya que contiene preguntas formuladas de tal forma que sólo exigen elegir respuestas preestablecidas. En ambos casos se han planteado preguntas cerradas con alternativa múltiples. Igualmente, ambos cuestionarios corresponden al tipo postcodificado ya que contienen preguntas cuyas respuestas están formuladas libremente con la palabras y términos del sujeto que responde. Es decir, contempla preguntas abiertas.
Diario y Cuaderno de Notas
El diario y la libreta son instrumentos vitales en el uso de la técnica de observación como medio para recoger datos. El diario "es el relato, escrito cotidianamente, de las experiencias vividas y los hechos observados." El cuaderno de notas "adopta la forma de una libreta de apuntes que el observador lleva consigo en su bolsillo para anotar sus observaciones."
Mediante la observación se busca llevar un registro de todo lo ocurrido en cada una de las sesiones de trabajo con el grupo experimental con el fin de identificar posibles factores del proceso mismo, que puedan incidir en los resultados que arroje la experiencia realizada.
Es posible obtener un mayor provecho de la observación a realizar , si además del propósito mencionado anteriormente, se hace una observación enfocada a las estrategias de solución y desarrollo de problemas y actividades propuestas en el material seleccionado; así como en la relación anímica que pueda surgir entre el estudiante y el contenido del material sobre el cual actúa.
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De acuerdo con lo anterior, se puede decir que el diario permitirá narrar de manera reflexiva lo ocurrido en cada sesión. La libreta de apuntes recoge en vivo y en directo observaciones sobre la relación anímica del alumno con las actividades propuestas. La revisión cuidadosa del trabajo realizado por los estudiantes permitirá una mayor comprensión de sus estrategias de solución y desarrollo a los problemas y actividades planteadas.
Los motivos por los que se ha elegido una técnica de observación es la de posibilitar el estudio de los hechos dentro de una situación contextual, en vivo y en directo; lo cual permite obtener más información para entender más ampliamente los alcances y limitaciones de los resultados obtenidos.
Sin embargo se reconoce la limitación de ésta técnica en cuanto a la posibilidad de hacer generalizaciones a partir de información parcializada; ya sea por la incidencia que pueda obtener la ecuación personal del observador; como el hecho de confundir una interpretación con la información recogida. Sin embargo , creo que siendo consciente de esta situación , se puede hacer un esfuerzo por disminuir la posibilidad de que ocurra. Por otro lado, es posible contar con la colaboración del profesor del grupo experimental, para que actúe como observador no participante del proceso; lo cual ayudará a que las observaciones recogidas sean un poco más objetivas.
TIPO DE OBSERVACIÓN
Con base en lo que hasta el momento se ha dicho se puede hacer una clasificación de la observación a realizar. Al respecto, se puede decir: esta es una observación participante de tipo artificial, carácter individual y llevada a cabo en una situación local.
Es una observación participante ya que consiste en la participación directa e inmediata del observador quien asume un papel dentro de un grupo y en una situación determinada. Es artificial en cuanto que el observador no pertenece al grupo, sino que se integra con el propósito de realizar una investigación. Es individual ya que es llevada a cabo por una sola persona.
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VI INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DE RESULTADOS
Este trabajo por tener un carácter procedimental; es decir, basado en la búsqueda de información, tendrá como uno de sus resultados el reconocimiento de los tópicos centrales de la Geometría Fractal; mismos que serán estudiados en sus aspectos más generales e importantes con el fin de utilizarlo como base para el contenido de la propuesta didáctica que se pretende realizar para su enseñanza.
Para esto será necesario hacer una recopilación de la información en forma ordenada que posibilite su utilización. En este sentido será de vital importancia contar con un material básico; es decir, directamente relacionado con el tema que interesa. Sólo así será posible obtener de modo más ágil y mejor el producto principal de este trabajo: una propuesta didáctica para introducir los conceptos y procedimientos básicos de la Geometría Fractal en niveles de preparatoria.
Por tener un carácter empmco, el otro resultado importante será la comprobación - mediante un proceso experimental - de la hipótesis según la cual a través del desarrollo de las estrategias y actividades el alumno reforzará conceptos y procedimientos matemáticos vistos con anterioridad; al mismo tiempo desarrollará su capacidad para identificar patrones aritméticos y algebraicos a partir de una secuencia geométrica; a la vez que favorecerá la comprensión y utilización de nuevos conceptos.
El significado de los instrumentos estadísticos que se utilizarán para el procesamiento, análisis e intepretación de datos suministran algunos elementos claves para determinar lo que probablemente ocurrirá con respecto a la hipótesis planteada. Por esto es importante mencionar y describir brevemente los instrumentos que se utilizarán y hacer una posible descripción de lo que ocurrirá.
En primer lugar se utilizará el método de distribución de frecuencias y su representación gráfica mediante histogramas, mismo que permite una más rápida captación de la información contenida en el conjunto de datos obtenidos. Luego se utilizarán medidas de tendencia central, las cuales son imprescindibles para describir al individuo típico de una muestra. Existen tres medidas de tendencia central. Estas son la moda, media y mediana.
La moda es el valor de mayor frecuencia entre los datos recogidos. La media se define como la suma de todos los valores dividida por el número total de éstos. Esta es una medida que se ve afectada por la existencia de valores extremadamente grandes y extremadamente pequeños. Por su parte, la mediana: es el valor que divide al conjunto de datos por la mitad. Esta es la medida de tendencia central que se muestra más satisfactoria, en el sentido de que es un valor al que se aspira que se acerque la media y la moda.
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Estas medidas serán de gran importancia para determinar el grado de homogeneidad entre el grupo experimental y el grupo de control, en lo que refiere a rendimiento académico, edad y sexo. En este sentido se espera que por lo menos no haya una amplia diferencia entre los valores correspondientes a la moda , mediana y media tanto dentro de cada grupo como entre los dos.
Esto es factible dado que son grupos que están en un mismo nivel (tercer semestre de preparatoria y casi todos sus estudiantes han tenido la misma trayectoria académica al estar vinculados a la misma institución desde el ciclo de primaria. Esto garantiza de alguna manera que en caso de que exista una disparidad superior a la que se espera, haya por lo menos la posibilidad de hacer el análisis sobre dos muestras equivalentes obtenidas de los dos grupos.
También se utilizarán medidas de variación. Estas medidas permiten conocer el grado de variación en una muestra y por lo tanto permite estimar el porcentaje de variabilidad que debe esperarse cuando un proceso experimental se lleva a cabo con otra muestra similar. Los instrumentos de medida que se utilizarán son los siguientes:
El rango es la diferencia entre el mayor valor y el menor valor. Entre mayor sea esta diferencia más grande será la disparidad. Sin embargo, es conveniente e imprescindible hacer uso de medidas de variación más precisas como la desviación promedio y la desviación Standar. La primera es una buena medida de la variabilidad de una muestra pero carece de propiedades algebraicas. La segunda es la medida de la variación más óptima por sus propiedades algebraicas y se puede interpretar como la unidad de distancia respecto a la media.
Las medidas de vanac1on descritas anteriormente, constituyen instrumentos invaluables para el estudio de los cursos con los que se realizará el experimento. Se espera que como consecuencia de su utilización se tenga una información más completa de los grupos. Lo cual es prácticamente un hecho dada la naturaleza funcional de los instrumentos mismos. Pero al mismo tiempo se espera que la variabilidad sobre los grupos, mostrada por estos instrumentos no sea tan amplia. Esto es posible ya que como se dijo en el caso de las medidas de tendencia central, los grupos tienen una historia muy similar ya que han vivido en la misma institución desde edades tempranas y su trayectoria académica ha sido paralela.
Otro instrumento de análisis de datos que utilizaremos es el de comparación de razones. Una razón es el cociente entre dos cantidades. Una razón nos dice que tan grande es una cantidad con respecto a otra. Por ejemplo, se dice que dos cantidades están en razón de uno a dos ( 1 :2 ) cuando la primera cantidad es la mitad de la segunda. Al primer número se le llama antecedente y al segundo número consecuente. Una razón se puede escribir en forma decimal o fraccionaria, es decir, 0.5 o ½. Si una razón se expresa de forma que su denominador sea 100, entonces estamos hablando de porcentajes; la razón
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anterior se puede escribir como SO o 50%. Nuestro instrumento de análisis 100
consistirá eu una comparación de razones expresadas en forma de porcentajes. Cuando dos razones sean iguales diremos que forma una proporción.
Así hemos descrito los posible resultados con base en el tipo de investigación y la naturaleza de los instrumentos la investigación.
PARTE 11
49
FERN
50
CAPITULO 1: FRACTALES CLÁSICOS Y AUTOSIMILARIDAD
En este capítulo se construyen los fractales clásicos: Conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, Curva de Koch y Caja fractal. La manera de construirlos será por medio del seguimiento de instrucciones básicas. Se utilizarán dos métodos: uno de ellos es dinámico porque emplea movimientos básicos del plano; el otro es estático, ya que no hace uso de movimientos en el plano.
Una vez construidas estas estructuras se utilizan para determinar patrones de tipo numérico y geométrico. Para la identificación de estos patrones es necesario tener un buen manejo de los números racionales y el conocimiento de las áreas de figuras básicas. Del mismo modo, es conveniente para la construcción de estas estructuras por el método dinámico, que se conozcan bien los movimientos elementales del plano.
Estas estructuras fractales clásicas se utilizan como ejemplos para ilustrar e inferir el concepto de autosimilaridad. Esta es una de las más importantes nociones de la geometría fractal. Existen diferentes tipos de autosimilaridad, pero en este texto nos remitiremos a la definición determinística, la cual establece que una figura es autosimilar si está constituida por copias de si misma. El Helecho de Barnsley en la página anterior es una figura autosimilar.
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CONJUNTO DE CANTOR
OBJETIVO:
A Través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Construir mediante una secuencia de instrucciones el conjunto de Cantor y
elaborar otras formas alternativas de éste conjunto con base en la misma idea de construcción.
b) Encontrar patrones aritméticos y algebraicos en el proceso de construcción del conjunto de Cantor y sus formas alternativas.
c) Construir el conjunto de Cantor mediante la aplicación de movimientos en el plano descritos verbalmente. Los movimientos que serán sujetos a dicha descripción son la homotecia y la traslación.
INTRODUCCIÓN
Cantor ( 1845 -1918) fue un matemático alemán cuyo trabajo se orientó hacia la fundamentación rigurosa de la matemática. Actualmente su obra es conocida como teoría de conjuntos. Como parte de dicho trabajo, publicó en 1883 el famoso conjunto que lleva su nombre : " Conjunto de Cantor". Este conjunto es considerado por los matemáticos como un conjunto de propiedades paradójicas. Por ejemplo, tiene infinitos puntos y sin embargo su medida es cero. En esta guía construirás el conjunto de Cantor sólo en sus primeras etapas ya que, en la práctica, es imposible hacer procesos que contemplan infinitos pasos. También realizarás algunas formas alternas de éste conjunto; encontrarás patrones aritméticos y algebraicos presentes en el proceso de construcción; y utilizarás algunos movimientos básicos del plano en su elaboración.
ACTIVIDAD 1
A. CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE CANTOR
1.Dibuja un segmento de 13,5 cm de largo. 2.EI segmento anterior divídelo en tres parte iguales y borra la parte central. 3. A cada uno de los nuevos segmentos divídelo en tres partes iguales y borra la parte central. 4.Repite en cada uno de los nuevos segmentos obtenidos el punto 3. 5. Si se continúa con el mismo procedimiento indefinidamente,
a) Qué ocurre con la magnitud de los segmentos obtenidos? b) Qué ocurre con la cantidad de segmentos? c) Cuál sería la forma de la figura obtenida?
B. FORMAS AL TERNAS DEL CONJUNTO DE CANTOR
Cuadrado de Cantor
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La construcción básica para elaborar el conjunto de Cantor a partir de un segmento es: " dividir el segmento en tres partes iguales y suprimir la parte central". Realiza las siguientes instrucciones: 1. Dibuja un cuadrado de 13.5 cm de lado en una hoja tamaño carta cuadriculada. 2.Sobre cada uno de los lados aplica la construcción básica para el conjunto de Cantor. 3.Con cada par de segmentos que forman las esquinas construye un cuadrado. 4.En cada uno de los cuadrados esquineros realiza nuevamente el punto 1 y 2. 5. Describe la figura que se obtendría de continuar indefinidamente con este procedimiento.
Triángulo de Cantor
Dibuja un triángulo equilátero (de 13.5cm de lado) y sobre cada uno de sus lados aplica la construcción básica de Cantor. En cada vértice, con el par de segmentos formados, completa un triángulo. Repite el proceso sobre cada uno de estos triángulos generados en las esquinas. Al terminar, vuelve a aplicar la construcción básica sobre cada uno de los nuevos triángulos. ¿Si se continúa con este procedimiento un número indefinido de veces, cómo crees que sería la figura resultante?
ACTIVIDAD 2: ANÁLISIS DE PATRONES NUMÉRICOS Y GEOMÉTRICOS
Nota: Los conceptos matemáticos requeridos para el desarrollo de esta guía son: fracciones, decimales, área y perímetro de un cuadrado y un triángulo así como la noción de serie geométrica.
A. CONJUNTO CANTOR
1. A continuación se ilustran cada una de las etapas del proceso de constrcción del conjunto de Cantor. Responde las preguntas planteadas en cada etapa.
ETAPA O 1 unidad º----------------
a)¿ Cuántos segmentos hay? R: -----------b) ¿Cuál es la longitud del segmento? R: -----------
ETAPA 1
º------a)¿ Cuántos segmentos hay? R: -----------
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b)¿ Cuál es la longitud de cada segmento, si el segmento original mide una unidad? R: -----------
ETAPA2
º- -a)¿ Cuántos segmentos hay? R: -----------
- -b) ¿Cuáles la longitud de cada segmento, si el segmento original es unitario? R: -----------
ETAPA3 0-- - -
a)¿ Cuántos segmentos hay? R: -----------
- - - -b) ¿Cuáles la longitud de cada segmento, si el segmento inicial mide una unidad? R: -----------
ETAPA4
a) ¿Cuántos segmentos forman el conjunto de Cantor en su etapa 4? R: -----------b) ¿ Cuál es la longitud de cada segmento? R: -----------2.Recopila la información anterior en la siguiente tabla y complétala.
ETAPA No DE SEGMENTOS LONGITUD DEL SEGMENTO FRACCION DECIMAL
1 2 3 4 5 6
N
3. En éste punto encontrarás algunas sumas. Para el caso en el que la suma contenga un número muy grande de sumandos, es recomendable que trates de convertirla en una suma geométrica. a) ¿Cuánto suman las longitudes de los segmentos formados en las etapas O y
1? R: --------
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b) ¿Cuánto suman las longitudes de los segmentos formados en las etapas O, 1 y 2 ?
R: --------c) ¿ Cuánto suman los segmentos generados en las 1 O primeras etapas? R: --------d) ¿ Cuánto suman los segmentos formados en las n primeras etapas? R: --------
B. CUADRADO DE CANTOR
1. En seguida se representa la versión del conjunto de Cantor en el plano, mostrando cada una de sus etapas de evolución. Coloca los datos que se te piden. El cuadrado inicial tiene de lado una unidad.
ETAPA O ETAPA 1
No cuadrados No Cuadrados
Area Area de e/cuadrado
Perímetro Perímetro de e/cuadrado
ETAPA 2 ETAPA 3
•• •• •• •• •• •• •• • • •• • • •• •• •• • • •• • • No cuadrados •• •• •• •• No cuadrados
Area de e/cuadrado Area de e/cuadrado
•• • •• •• •• •• • Perímetro de e/cuadrado •• •• •• •• Perímetro de e/cuadra
•• •• •• •• •• • • •• •• •• • •
2.Completa la siguiente tabla con base en la información obtenida anteriormente,
ETAPA AREA PERI METRO FRACCIONES DECIMALES FRACCIONES DECIMALES
1 2 3 4
5 6
1
N
3. A continuación debes encontrar la suma que se te solicita a)Suma de las áreas de los cuadrados que se forman en las etapas O , 1 y 2. De igual manera para el perímetro. R: --------b) Suma de las áreas de los cuadrados que se forman en las etapas O, 1 , 2 y 3. Lo mismo para el caso del perímetro R: --------
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c) Ha II a la serie asociada a la suma de las áreas de los cuadrados que se forman en las n primeras etapas. Haz lo mismo para el caso del perímetro R: --------
A C TI VID AD 3: CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE CANTOR A TRAVÉS DE LA DESCRIPCIÓN DE MOVIMIENTOS
1. A continuación se definen dos transformaciones T1 y T2 en el plano y la construcción dinámica para construir el conjunto de Cantor.
T1 = Reducir a la tercera parte respecto al punto O. T2 = Trasladar horizontalmente a la derecha 2/3 de unidad.
Construcción dinámica
i) Aplicar T1 ii) Aplicar T 1 y T 2 de manera consecutiva
a) Aplica la construcción dinámica sobre el segmento que aparece a continuación. Dibuja la figura resultante sobre la línea de puntos que está abajo de este segmento.
º--------------------------
b) A la figura obtenida anteriormente, aplica las transformaciones T1 y T2. A lo que resulta dibújalo sobre la línea de puntos que aparece a continuación.
c) Aplica las transformaciones T1 y T2 a la figura que resultó anteriormente. Dibuja la figura obtenida sobre la línea que aparece a continuación.
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2. La representación análoga del conjunto de Cantor en el plano también puede ser construida por la aplicación de movimientos en el plano descritos verbalmente. Las transformaciones que se definen son las siguientes. T1= reducir a la tercera parte respecto al punto O T2 = trasladar horizontalmente a la derecha 2/3 de unidad. T3 = trasladar verticalmente hacia arriba 2/3 de unidad.
ETAPA 1 a) Sobre el cuadrado que aparece dibujado en la figura realiza la instrucción indicada y dibuja la figura resultante sobre la malla que aparece a la derecha de éste.
Aplica la transformación T 1 Aplica la transformación T 1 y T 2
i) ii) iii) iv)
Aplica consecutivamente las transformaciones T1 y T3
Aplica consecutivamente las transformaciones T1, T2 y T3
o ETAPA2
o
Esta etapa consiste en aplicar las instrucciones descritas en la etapa 1 sobre la propia figura resultante. Aplica la figura obtenida en la siguiente malla y luego píntala de verde.
o
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TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Construir el triángulo de Sierpinski mediante la realización de una secuencia de
intrucciones b) Reconocer patrones numéricos y geométricos subyacentes en el triángulo de
Sierpinski c) Construir el triángulo de Sierpinski mediante la descripción de movimientos
geométricos en el plano.
INTRODUCCIÓN
El triángulo de Sierpinski fue introducido en 1916 por el gran matemático polaco Maclaw Sierpinski (1882-1969). Éste científico fue uno de los matemáticos polacos más influyente es en su época , siendo reconocido a nivel mundial. En su honor, uno de los cráteres de la luna fue bautizado con su nombre. El triángulo de Sierpinski es otro de los fractales clásicos. Al igual que con el conjunto de Cantor, los matemáticos han realizado estudios acerca de sus propiedades. En ésta guía construirás el triángulo de Sierpinski en sus primeras etapas y en sus formas alternativas. Encontrarás también patrones numéricos y geométricos que subyacen en su proceso de construcción y utilizarás movimientos en el plano para construir éste fractal.
ACTIVIDAD 1
A. CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE CANTOR
1. Dibuja un triángulo equilátero cuyo lado mida 16 cm en una hoja cuadriculada. 2. Señala el punto medio de cada lado y conecta estos puntos mediante segmentos. 3. De los cuatro pequeños triángulos que se han formado , colorea de negro el triángulo central. 4.Sobre cada uno de los triángulos que no fueron coloreados realiza nuevamente los puntos 2 y 3. 5.Nuevamente, sobre cada uno de los triángulos que no fueron coloreados ,realiza los puntos 2 y 3. 6. A los triángulos que no fueron coloreados de negro, píntalos de amarillo. La región formada por los triángulos coloreados de amarillo se llama triángulo de Sierpinski de orden 3. 7.Si este proceso se continúa indefinidamente, ¿Qué características crees que tendría la figura o triángulo de Sierpinski que iría resultando?
B. RECONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
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Malla de Puntos
Sobre la siguiente malla de puntos construye el triángulo de Sierpinski de orden 4.
Diseño hoja bond base 28
Para esta actividad necesitarás los siguientes materiales: Una hoja bond base 28, un octavo de papel silueta de cualquier color, una cuchilla, regla, borrador y un lápiz. 1.Dibuja sobre la hoja bond un triángulo equilátero de lado 16 cm. 2.Determina los puntos medios de cada lado y conecta estos puntos mediante segmentos. 3.De los cuatro triángulos que se han formado recortas el triángulo central. 4.Sobre cada uno de los triángulos no recortados repites el punto 2 y 3. 5.Nuevamente, sobre los triángulos no recortados repites el punto 2 Debes tener cuidado de que al hacer los cortes los triángulos no se desprendan. 6.Una vez más repite el numeral 5.
ACTIVIDAD 2: ANALISIS DE PATRONES NUMÉRICOS Y GEOMÉTRICOS
A continuación se ilustran cada una de las etapas del proceso de evolución del triángulo de Sierpinski. Se supone que cada figura se genera de la anterior y que el triángulo rectángulo es isoscéles y sus lados iguales miden una unidad. Para cada una de las etapas escribe los datos que se te piden
ETAPA O
ETAPA 1
ETAPA2
¿Cuántos triángulos hay? R: -------¿Cuánto mide la base? R: -------¿Cuánto mide la altura? R: -------¿ Cuánto mide la hipotenusa? R -------¿ Cuánto mide el peri metro? R: --------¿Cuánto mide el área? R: --------
¿ Cuántos triángulos hay? R: -------¿Cuánto mide la base de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide la altura de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide la hipotenusa de cada triángulo? R -------¿ Cuánto mide el perímetro de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide el área de cada triángulo? R: -------
¿Cuántos triángulos hay? R: -------¿Cuánto mide la base de cada triángulo? R: -------¿ Cuánto mide la altura de cada triángulo? R: -------¿ Cuánto mide la hipotenusa de cada triángulo? R -------¿Cuánto mide el perímetro de cada triángulo? R: -------¿ Cuánto mide el área de cada triángulo? R: _____ _
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ETAPA 3
ETAPA4
¿Cuántos triángulos hay? R: -------¿ Cuánto mide la base de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide la altura de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide la hipotenusa de cada triángulo? R --------¿Cuánto mide el perímetro de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide el área de cada triángulo? R: --------
¿Cuántos triángulos hay? R: -------¿Cuánto mide la base de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide la altura de cada triángulo? R: -------¿ Cuánto mide la hipotenusa de cada triángulo? R --------¿Cuánto mide el perímetro de cada triángulo? R: -------¿Cuánto mide el área de cada triángulo?
R: -------
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2. Con base en los datos recogidos anteriormente completa la siguiente tabla
Etapa No triángulos Base Altura Perímetro Area 1 2 3 4 5 6 7
N
ACTIVIDAD 3: CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI MEDIANTE LA DESCRIPCIÓN DE MOVIMIENTOS DEL PLANO.
A continuación se definen las transformaciones rígidas del plano a partir de las cuales se construye el triángulos de Sierpinski. T1: Reducir a la tercera parte respecto al punto O T2::Trasladar horizontalmente a la derecha 1/2 de unidad .
T3: Trasladar horizontalmente a la derecha l/4 de unidad.
T4: Trasladar verticalmente hacia arriba ""'};- de unidad.
En seguida se da el conjunto de instrucciones básicas para construir el triángulo de Sierpinski. i)Aplica la transformación T 1 ii) Aplica la transformación T1 y T2 iii)Aplica la transformación T1,T3 y T4_
1 )Sobre la figura que aparece a continuación aplica el conjunto de instrucciones básicas. El resultado dibújalo en la malla que aparece en el lado derecho.
2. Aplica nuevamente el conjunto de instrucciones básicas sobre la figura obtenida en la malla dibujada en el punto 1
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3. Aplica nuevamente el conjunto de instrucciones básicas sobre la figura obtenida en la malla dibujada en el punto 2
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3.Definir las transformaciones que dan origen a la siguiente versión del triángulo de Sierpinski
T1: ------------
T2: ___________ _
T3: ___________ _
4. Para el anterior Triángulo de Sierpinski describe el conjunto de instrucciones básicas a partir de las cuales se puede construir. i) _________________________ _ ii) _________________________ _ iii) _________________________ _
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CURVA DE KOCH
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Construir la curva de Van Koch mediante el seguimiento de una secuencia
de instrucciones. b) Determinar la longitud de la curva de Koch a través del seguimiento de una
serie de patrones geométricos y numéricos. c) Construir la curva de Van Koch, mediante la aplicación de movimientos en el
plano descritos verbalmente. Los movimientos sujetos a dicha descripción son la homotecia, rotación y traslación.
INTRODUCCIÓN
La curva que estudiaremos en ésta guía fue creada en 1904 por el matemático sueco Helge Van Koch. Sus contribuciones en matemáticas no fueron tan notables como las realizadas por Cantor y Sierpinski. Sin embargo, la curva que inventó tiene propiedades tan interesantes que han motivado generalizaciones en matemáticas muy immayo mayo portantes.
Como ejemplos de éstas propiedades se puede decir que es una curva que tiene longitud infinita pero que encierra un área finita. También se puede decir que no es una curva constituida por segmentos de recta, a pesar de que en sus primeras etapas de construcción lo está. Ésta curva la estudiaremos en esta guía construyéndola primero, mediante una secuencia de instrucciones que no aluden a movimientos en el plano; y posteriormente, acudiendo a movimientos en el plano. En este fractal, como en los anteriores, determinarás patrones numéricos y geométricos a lo largo de su proceso de construcción.
ACTIVIDAD 1
A. CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA DE KOCH
1. Dibuja un segmento de 27 cm de longitud. 2. Divide el segmento en tres partes congruentes. 3. Sobre el segmento central construye un triángulo equilátero cuya base sea
precisamente el segmento medio. 4. Suprime la base del triángulo construido. La figura obtenida hasta el momento
se llama curva de Koch de primer orden. 5. Sobre cada uno de los segmentos obtenidos aplica las instrucciones 2,3 y 4.La
figura resultante se llama curva de koch de segundo orden. 6. En la misma figura y sobre cada uno de los segmentos obtenidos aplica
nuevamente los puntos 2, 3 y 4. La figura obtenida se llama curva de Koch de orden tres.
7. Describe la figura que obtendríamos si continuaramos el proceso.
B. RECONSTRUCCIÓN DE LA CURVA DE KOCH
Malla de puntos
1.Sobre cada uno de los lados del triángulo construido en la siguiente malla de puntos, realiza las instrucciones 2,3,4 y 5 del punto anterior. La región determinada por esta curva se llama copo de nieve de Von Koch de orden 1.
. . . ........ . o
2.Para ilustrar la evolución de la curva de Koch sería importante visualizar claramente cada uno de de los pasos. En esta actividad utilizarás cuatro hojas calcantes.
a) En la primera hoja dibujas un segmento de 27 cm de largo.
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b) En la segunda hoja dibujas una curva de Koch de primer orden que pueda ser obtenida a partir de un segmento de la misma longitud del que dibujaste antes.
c) En la tercera hoja dibujas una curva de Koch de segundo orden que dibujaste en la hoja anterior.
d) En la cuarta hoja dibujas una curva de Koch de tercer orden que se derive de la de segundo orden que dibujaste en la hoja anterior.
e) Luego juntas las hojas, una sobre otra, de tal manera que las figuras queden superpuestas. Así, al pasar cada hoja, se podrá observar a través de sus etapas como se genera la curva de Koch.
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Copo de nieve de Von Koch
La construcción básica de la curva de Koch es:" divida el segmento en tres partes congruentes. Sobre el segmento central construya un triángulo equilátero cuya base sea precisamente este segmento central. Luego suprima la base" a) Sobre una hoja bond base 28 dibuja un triángulo equilátero de lado 13.5 cm. b) Sobre cada uno de los lados del triángulo anterior aplica la construcción
básica de la curva de la curva de Koch. c) Aplica nuevamente la construción básica de la curva de Koch sobre cada
lado de cada uno de los nuevos triángulos equiláteros que se han formado. d) En cada uno de los nuevos triángulos formados, aplica la construcción básica
de la curva de Koch en cada uno de sus lados. e)Pinta de color azul la figura resultante f)Qué figura se obtendría de continuar indefinidamente con este proceso?
ACTIVIDAD 2: ANÁLISIS DE PATRONES NUMÉRICOS Y GEOMÉTRICOS
A CURVA DE KOCH
a) A continuación se ilustra cada una de las etapas del proceso de evolución de la curva de Koch. En frente de cada etapa debes colocar el número de segmentos y la longitud de cada uno de los segmentos. Se supone que el segmento original mide un unidad y todas las demás figuras se generan a partir de este.
ETAPA O Número de segmentos: R: ---------Longitud de cada segmento R: ---------
ETAPA 1
Número de segmentos: R: ---------Longitud de cada segmento R: --------
ETAPA 2
Número de segmentos: R: ---------
_/\_ Longitud de cada segmento R: --------
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ETAPA 3
Número de segmentos: R: --------Longitud de cada segmento R: --------
ETAPA4
Número de segmentos: R: --------Longitud de cada segmento R: --------
b)Con base en la información anterior llenar la siguiente tabla:
ETAPA LONGITUD No SEGMENTOS PERI METROS Fracción Potencia Número Potencia Número Potencia
o 1 2 3 4 5 6 7
N
B. AREA DEL COPO DE NIEVE DE VON KOCH
Preliminares
a) Halla la altura de un triángulo equilátero de lado L.(Recuerda que la altura h de un triángulo equilátero es perpendicular al lado opuesto y además lo biseca. Con base en estas ideas y aplicando el teorema de Pitágoras encuentra el valor de h.
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L h L
L b)Aplicando la fórmula que obtuviste en el punto 1 calcula la altura para cada uno de los casos que aparecen a continuación i)Triángulo equilátero de lado 2 ii)Triángulo equilátero de lado 7 iii)Triángulo equilátero de lado x2
iv)Triángulo equilátero de lado 2y
3.A continuación aparece el copo de nieve de Von Koch para las cuatro primeras etapas de su proceso de evolución. Responde los datos que se te piden a en cada una de estas etapas.
ETAPA O
ETAPA 1
No de triángulos R: ----------Altura del triángulo R: ----------Área del triángulo R: ----------Perímetro del triángulo R: ---------
No de triángulos R: ----------Altura de cada nuevo triángulo R: ----------Área de cada nuevo triángulo R: ----------Perímetro de cada nuevo triángulo R: ----------
ETAPA2
ETAPA 3
No de triángulos R:
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----------Altura de cada nuevo triángulo R: ----------Área de cada nuevo triángulo R: ----------Perímetro de cada nuevo triángulo R: ----------
No de triángulos R: ----------Altura de cada nuevo triángulo R: ----------Área de cada nuevo triángulo R: ----------Perímetro de cada nuevo triángulo R: ----------
4. con base en la información anterior completar la siguiente tabla
Etapa No triángulos Base de cada Altura de Area para Area de todos nuevo triángulo cada nuevo cada nuevo los triángulos
triángulo triángulo No Ptcia No Ptcia. No Ptcia No Ptcia No Ptcia
1 2
3 4 5 6 7
.N
ACTIVIDAD 3: CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA DE KOCH MEDIANTE LA DESCRIPCIÓN DE MOVIMIENTOS EN EL PLANO
1. A continuación se definen las siguientes transformaciones T( Reducir a la tercera parte respecto al punto O T2: Rotar 60º en sentido positivo respecto al punto O T3:Trasladar horizontalmente a la derecha 1/3 de unidad T4:Reflejar respecto al eje horizontal que pasa por el punto O
a) Realiza la instrucción indicada sobre el segmento unidad que aparece dibujado en la malla, dibuja el resultado con color rojo.
i)Aplica la transformación T1 ii)Aplica consecutivamente las transformaciones T1,T2 y T3. iii)Aplica consecutivamente las transformaciones T1,T4,T2,T2,,T3,T3 iv)Aplica consecutivamente las transformaciones T1,T3, T3
º· . . . . . .
70
71
b) Sobre la figura obtenida en el literal a) aplica nuevamente las transformaciones básicas, pero el resultado dibújalo sobre la siguiente malla
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Aplica nuevamente las instrucciones básicas sobre la figura resultante en el literal b).EI resultado obtenido dibújalo en la siguiente malla
. . . . . . . ........... . º· . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . .
CAJA FRACTAL
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de
a) Construir la caja fractal mediante la realización de una secuencia de intrucciones
b) Determinar una serie de patrones numéricos y geométricos acerca del área y perímetro de la Caja Fractal.
c) Construir la caja fractal mediante la descripción de movimientos geométricos en el plano.
INTRODUCCIÓN
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La caja fractal es considerada como otro de los fractales clásicos. Fue inventado por Thamas Viscek, un matemático dedicado en la actualidad a la investigación en el área de la geometría fractal y los sistemas dinámicos. Este fractal, tal como lo comprobarás tu mismo, se basa en un proceso de construcción muy sencillo cuyo resultado conlleva a una figura realmente bella.
Por otro lado, es una figura sorprendente por el carácter paradójico que posee; pues su superficie tiene un área cero, mientras que por otro, su perímetro es infinito. Una figura de longitud infinita y perímetro cero no es usual encontrar, sobre todo cuando ésta se forma a partir de una superficie.
De otra parte, es una figura tal que, cada vez que se mira con una lupa alguna de sus partes, se observa una replica de la figura total. Esta misma propiedad la comparten los fractales que abordamos en este capítulo: el conjunto de Cantor, la curva de Koch y el triángulo de Sierpinski.
Anímate a construir este fractal clásico y a estudiar alguna de sus propiedades.
ACTIVIDAD 1
A. CONSTRUCCIÓN LA CAJA FRACTAL
1 .Sobre una hoja cuadriculada (de cuadrado pequeño) dibuja un cuadrado de 13.5 cm de lado. 2.Dividelo en nueve cuadrados del mismo tamaño. 3.Colorea de amarillo los cuadrados que no están en las esquinas ni en el centro. 4.Sobre cada uno de los cuadrados que no fue coloreado repite el punto 2 y 3 5.Repite nuevamente el punto 4. 6.A la región que no ha sido coloreada puedes pintarla de negro. La región pintada de negro se llama Caja Fractal de orden 3. ?.Describe la figura que obtendríamos de continuar el proceso.
B. RECONSTRUCCIÓN DE LA CAJA FRACTAL
73 Malla de puntos
1. La regla básica para construir la Caja Fractal es: "divida el cuadrado en nueve cuadrados del mismo tamaño y suprima todos los cuadrados menos el del centro ni los de las esquinas". Sobre cada uno de los cuadrados que quedan se repite la misma construcción básica y se continúa de este modo indefinidamente.
Cuando sobre un cuadrado aplicas una sola vez la construcción básica, obtienes la Caja Fractal de orden uno. Cuando vuelves a aplicar la construcción básica sobre cada uno de los cuadrados que han quedado, obtienes la Caja Fractal de segundo orden. Continuando de este modo puedes obtener la Caja Fractal de tercer orden, cuarto orden, etc.
i)Sobre el cuadrado que aparece en la siguiente malla, dibuja la caja fractal de orden dos.
Evolución hoja calcante
ii) En la siguiente malla dibuja la caja fractal de orden tres con base en el cuadrado anterior.
Utilizando hojas calcantes, como en el caso de la curva de koch, vas a representar la evolución de la Caja Fractal
a)En la primera hoja dibuja un cuadrado de 27cm de lado. Coloréalo de azuL b)En la segunda hoja dibuja la Caja Fractal de primer orden que se obtendría a partir de un cuadrado de igual tamaño del que dibujaste anteriormente. Coloréalo de azul. c)En la tercera hoja dibuja la Caja Fractal de segundo orden que se obtendría a partir de la Caja Fractal que dibujaste anteriormente. Coloréalo de azul. d) En la cuarta hoja dibuja la Caja Fractal de tercer orden que se obtendría a
partir de la Caja Fractal de segundo orden que dibujaste anteriormente.
Nota: Al juntar las hojas calcantes, las figuras deben quedar superpuetas para que al pasar una hoja tras otra se pueda evidenciar la evolución de la Caja Fractal.
ACTIVIDAD 2: ANALISIS DE PATRONES NUMERICOS Y GEOMETRICOS
1. A continuación se ilustra el proceso de evolución de la Caja Fractal. Responde las preguntas que se te plantean en cada una de las etapas. Se supone que el cuadrado inicial tiene de lado una unidad.
ETAPA O
ETAPA 1
No de cuadrados R: -----Longitud del lado R: -----Perímetro del cuadrado R: -----Area de cuadrado R: -----
No de cuadrados R: -----Longitud del lado de cada cuadrado R: -----Perímetro de cada cuadrado R: -----Area de cada cuadrado R: -----
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ETAPA2
11 11 11 11 11 11 . .. .. .
11 . .. .. . 11 11
11 11 11 11
ETAPA 3
ETAPA4
No de cuadrados R: -----
75
Longitud del lado de cada cuadrado R: -----Perímetro de cada cuadrado R: -----Area de cada cuadrado R: -----
No de cuadrados R: -----Longitud del lado de cada cuadrado R: -----Perímetro de cada cuadrado R: -----Area de cada cuadrado R: -----
No de cuadrados R: -----Longitud del lado de cada cuadrado R: -----Perímetro de cada cuadrado R: -----Area de cada cuadrado R: -----
2.Utiliza los datos anteriores para completar la siguiente tabla
Etapa No de cuadrados Longitud de cada Perímetro de Area de cada cuadrado cada cuadrado cuadrado
1 2 3 4 5 6 7
N
ACTIVIDAD 3: CONSTRUCCIÓN DE LA CAJA FRACTAL MEDIANTE MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Objetivo: construir la Caja Fractal mediante movimientos de traslación y homotecia.
1 .A continuación se describe verbalmente las transformaciones o movimientos en el plano que dan origen a la Caja Fractal. T1: contraer en la escala de 1/3 respecto al punto O T 2: trasladar horizontalmente a la derecha 1 /3 de unidad T3: trasladar verticalmente hacia arriba 1/3 de unidad.
Las siguientes instrucciones, aplicadas de manera sucesiva sobre un conjunto, permite construir la Caja Fractal. Estas instrucciones se denominan conjunto de instrucciones básicas:
i)Aplica la transformación T1 sobre la figura ii)Aplica consecutivamente las transformaciones T1 ,T2 yT2. iii)Aplica consecutivamente las transformaciones T1 ,T3 y T3 iv)Aplica consecutivamente las transformaciones T1,T2 y T3 v)Aplica las transformaciones T1 ,T2,T2,T3 y T3
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a) Aplica el conjunto de instrucciones básicas sobre el cuadrado de lado una unidad que aparece en la parte izquierda; el resultado de aplicar cada instrucción lo puedes dibujar en la malla que aparece justo enfrente de esta figura.
\ ..... . ...................... :
b)Aplica nuevamente el conjunto de instrucciones básicas sobre la figura obtenida en la malla anterior. El resultado dibújalo sobre la siguiente malla
o
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:o:::::::: : ::: '. ::'.::::::::: : ..
c)Aplica nuevamente el conjunto de instrucciones básicas sobre la figura obtenida en la malla anterior. El resultado dibújalo sobre la siguiente malla
:o .. . ... :::::::::::: : .: : .
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AUTOSIMILARIDAD
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de definir, identificar y construir un conjunto autosimilar.
INTRODUCCIÓN
El concepto de autosimilaridad es uno de los conceptos más importantes en Geometría Fractal. Existen varios tipos de autosimilaridad; sin embargo, nosotros nos referiremos a aquella que establece que un conjunto autosimilar es aquel que está constituído por copias de sí mismo. En este sentido, se puede decir que un segmento de recta es autosimilar ya que si se divide en un número específico de partes congruentes, cada una de esas partes es nuevamente un segmento y su unión da el segmento original. Para entender mejor el concepto de autosimilaridad, a lo largo de la presente guía se ilustrarán algunos ejemplos y se utilizarán los fractales clásicos que se han estudiado anteriormente.
Conjunto Autosimilar: Un conjunto S es autosimilar si puede ser subdividido en N subconjuntos congruentes cada uno de los cuales al ser multiplicados por un factor r da como resultado el conjunto S. A continuación se dan varios ejemplos de conjuntos autosimilares.
a) Segmento : Un segmento pude ser descompuesto, por ejemplo, en tres segmentos congruentes , cada uno de los cuales puede ser multiplicado por un factor 3 para obtener el segmento original.
b) Cuadrado: Un cuadrado puede ser descompuesto en 4 cuadrados del mismo tamaño cada uno de los cuales se puede multiplicar por un factor 2 para obtener el cuadrado original.
c) Triángulo de Sierpinski : El triángulo de Sierpinski es autosimilar porque puede subdividirse en tres partes congruentes, cada una de las cuales puede ser amplificada en un factor escala 2 para producir la figura total.
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Ejercicios
1. Explica por qué cada una de las siguientes conjuntos son autosimilares
a) Conjunto de Cantor
R: ---------------------•• • • • •••
b) Caja Fractal
R: --------------------
b) Curva de Koch
R: --------------------
d) Cubo
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R: ---------------------
2. Dibuja una figura que consideres autosimilar y explica porque crees que lo es.
R: ____________ _
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CONJUNTO DE MANDELBROT
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CAPITULO 11 : DIMENSIÓN FRACTAL
Antes de que surgiera la geometría fractal se pensaba que todos los objetos existentes en la naturaleza tenían una, dos o tres dimensiones. Es decir, se podían representar dentro de una línea, en un plano o en el espacio. De hecho las magnitudes existentes refuerzan esto: longitud para figuras unidimensionales; el área para figuras bidimensionales o el volumen para figuras tridimensionales.
No obstante a partir del surgimiento de la geometría fractal se reconoció la existencia de figuras con dimensiones distintas de uno, dos o tres. Es decir, objetos geométricos que podían habitar entre la línea y el plano; o entre el plano y el espacio. Este resultado fue muy sorprendente ya que casi todas las figuras que conocemos están en uno de los espacios mencionados antes. ( la línea, el plano y el espacio).
La dimensión en general ha sido entendida como un número que nos indica en que espacio habita un objeto geométrico y por lo tanto se considera como un número asociado a figuras en el espacio, o en el plano o en una línea. La dimensión fractal, es la dimensión asociada a aquellas figuras que habitan en espacios intermedios. Por lo tanto es un número que puede estar entre cero y uno; o uno y dos,o dos y tres.
En este capítulo se definirá la dimensión fractal desde su perspectiva matemática y apoyándonos en el concepto de autosimilaridad. De hecho las figuras autosimilares tiene dimesión fractal; es decir, una dimensión que no es un número entero.
Una vez definido la dimensión fractal ilustraremos dos métodos que en la práctica se utilizan para calcular la dimensión fractal de figuras no autosimilares pero con un alto grado de irregularidad. Estos son: el método del compás y el método de recubrimiento por cajas. Además de estos estaremos interesados en el significado geométrico de este valor numérico. A lo largo de este capítulo se mostrará que existe una relación entre la dimensión fractal y el nivel de irregularidad y densidad de un objeto en el espacio.
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DIMENSIÓN DE HOMOTECIA
OBJETIVO:
Al terminar el desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de definir la dimensión de autosimlaridad y utilizarla para calcular la dimensión fractal de figuras autosimilares.
INTRODUCCIÓN
La dimensión está relacionada con la posibilidad de movilizarse en el espacio. Por ejemplo, una recta euclidiana tiene dimensión uno, por que sólo es posible desplazarse en una sola dirección, ya sea hacia un lado o hacia su opuesto, pero al fin y al cabo en una sola dirección. Un plano euclidiano tiene dimensión dos ya que es posible movilizarse a lo largo y ancho. Cualquier movimiento que se realice en el plano puede expresarse como combinación de estos dos desplazamientos. De otro lado, el espacio euclidiano tiene dimensión tres ya que es posible moverse a lo largo, ancho y alto. Cualquier movimiento que se realice en el espacio puede ser obtenido como combinación de estos tres movimientos básicos.
Debido a las razones planteadas en el párrafo anterior se dice que un segmento tiene dimensión uno (1 ); un cuadrado tiene dimensión dos(2) y un cubo tiene dimensión tres(3). Estas tres figuras, como representantes de figuras autosimilares, tienen la propiedad de que, el número (N) de partes en las que se puede descomponer; la escala a la que se encuentra cada una de estas partes y su dimensión están relacionados mediante ecuaciones. Esa relación se hará notar luego del siguiente análisis.
a) Segmento A ____________ B El segmento AB se puede descomponer en cuatro segmentos congruentes (N=4), cada uno de los cuales se encuentra a una escala de un cuarto ( S= 1/4), la dimensión del segmento AB es uno ( D=1).Entre los valores N,S y D se satisface la siguiente relación:
4= 1
1
4
es decir, N=CJ"
b) Cuadrado
c)Cubo
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Un cuadrado se puede descomponer en 9 cuadrados del mismo tamaño, cada uno de los cuales se encuentra a la escala de 1/3. Como se sabe, la dimensión del cuadrado es 2. Tomando N = 9, S=1/3 y D =2 vemos que también, se cumple que
9= 1 1
3
2
.es decir, N= CJ
Con base en el cubo que aparece dibujado, escribe el valor de cada una de las variables y luego verifica si se cumple la misma relación que en el caso del segmento y cuadrado. N= ____ S= ____ D= ___ _
Relación:
La relación N = (; J se muestra bastante útil para calcular la dimensión de
estructuras fractales que son autosimilares en un sentido estricto. Para tal fin, basta con hacer el despeje de la variable D. Veamos:
N =C)D =>LnN =Ln(})D-=>LnN =Din[} )~D=~ri Esta última relación indica que para calcular dimensión de un objeto es suficiente con conocer el número de partes en las cuales se pude descomponer y la escala a la que se encuentran cada una de éstas con respecto a la figura total. Aprovechemos pues esta relación para calcular , por ejemplo, la dimensión del triángulo de Sierpinski.
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Dimensión del triángulo de Sierpinski: el triángulo de Sierpinski puede subdividirse en tres partes congruentes , cada una de las cuales se encuentra a la escala de un medio. Es decir, N=3 y 8=1/2. por lo tanto:
Pero, ¿Cómo es posible que una figura con carácter de superficie que está en el plano, tenga una dimensión menor que 2 ? La explicación es sencilla: por una parte, se está quitando, mediante un proceso infinito, pedazos de área. Lo que significa que en el infinito el triángulo de Sierpinski ya no posee área y se convierte más bien en una estructura rígida de ramas interconectadas.
Por otra parte, si bien es cierto que su estructura se aproxima más a una curva intrincada , su dimensión no es uno ya que es posible movilizarse en ella en más de una dirección.
EJERCICIO
1. Calcula la dimensión de autosimilaridad de las siguientes estructuras fractales: a)Conjunto de Cantor b)Curva de Koch c)Caja Fractal
2. Observa el patrón que aparece en la parte superior derecha. Sobre el segmento dibujado en la malla aplica dicho patrón. Sobre cada uno de los segmentos que resultan de la nueva figura vuelve a aplicar el mismo patrón. Repite una vez más dicha construcción. Realizando esta construcción infinitas veces se va obteniendo una figura llamada curva de Peano.
a)¿La curva de Peano llena la región del plano en la que se construye? R:
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-----------------------------
b)Calcula la dimensión fractal de la curva de Peano.
3.Con base en los puntos 1 y 2 ¿ Qué relación existe entre una curva y su dimensión? R: ----------------------------
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APROXIMACIÓN POR EL MÉTODO DEL COMPÁS
OBJETIVO
Al finalizar el desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de calcular la dimensión fractal de líneas irregulares como la frontera de un país o líneas costeras, mediante el método del compás.
INTRODUCCIÓN
¿Es posible determinar la longitud de toda la línea fronteriza de México? Existe al respecto una manera de calcular aproximadamente dicha longitud. El método se llama método del compás. Consiste en tomar un mapa de México del cual se conozca la escala. Luego se toma un compás y se abre una determinada longitud. Con éste instrumento se recorre la línea fronteriza del mapa de México sin modificar la abertura a lo largo de todo el recorrido. Luego, todos los puntos determinados por el compás sobre la línea fronteriza del mapa de México se conectan por medio de segmentos. De este modo toda la línea fronteriza del mapa de México queda aproximada mediante una línea poligonal cuyos vértices están en la frontera del mapa. El perímetro de la línea poligonal será una aproximación de la longitud de la línea fronteriza mexicana. Para obtener la medida aproximada en el ámbito real, será suficiente con hacer un cambio de escala.
La medida que se obtiene es aproximada debido a que cada vez que se mire la curva con más detalle, se observará que es más irregular; por lo que, no importa que tan pequeños sean los segmentos que se tomen para recubrirla, siempre habrán partes de la curva que se salen del segmento.
ACTIVIDAD1: EJECUTANDO EL MÉTODO
A continuación aparece el mapa de México en una escala de 1 /13000000 . Completar la tabla en la que, para cada amplitud del compás, se pide hallar el número de pasos necesarios para recorrer toda la línea frontera de México, así como su longitud. La aproximación al perímetro de la línea fronteriza en el mapa se puede obtener multiplicando el número de pasos por la amplitud de cada paso.
AMPLITUD (S) (cm) 4cm 3.5cm 3.0cm 2.5 cm 2.0 cm 1.5cm 1.0cm
NUMERO (N)
LONGITUD DE FRONTERA(L)
2. Con base en los datos obtenidos en la tabla anterior , responde cada uno de las siguientes preguntas.
a)¿Qué ocurre con el número de pasos cuando la amplitud del compás disminuye? R:
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--------------------------------
b)¿Aumenta o disminuye la longitud de la frontera en el mapa de México cuando la amplitud del compás se reduce ? R: --------------------------------
c)¿Es posible determinar de un modo preciso o exacto la longitud de la línea fronteriza en el mapa? Justifica tu respuesta
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R: -------------------------------
d)Da una estimación de la longitud de la línea fronteriza en el mapa de México R: -------------------------------
e)Con base en la respuesta dada en el punto d) y sabiendo que la escala del mapa de México es 1/13000000 encuentra la medida real aproximada de la línea fronteriza de México. R: --------------3 .Trazar la grafica en un sistema de coordenadas cartesianas x-y los datos obtenidos anteriormente. En el eje horizontal localiza los valores correspondientes a la amplitud del compás y en el eje vertical el número de pasos. Utiliza una hoja en papel milimétrico. 4.Una vez realizada tu gráfica responde la siguiente pregunta:¿ La gráfica refleja una relación inversa entre la amplitud del paso y el número de pasos para recorrer toda la línea de frontera ? Justifica tu respuesta. R: -------------------------------
5.Completa la siguiente tabla con base en los datos de la tabla anterior.considera sólo cuatro cifras decimales.
1/S
LnN
Ln(1/S)
El significado de S y N, en la tabla anterior, es: S: Amplitud del compás N: Número de pasos 6. Grafica en un sistema de coordenadas x-y los valores de las dos últimas filas de la tabla anterior. En el eje horizontal coloca los valores de la variable Ln(1/S) y en el eje vertical coloca los valores de la variable Ln N. Utiliza papel milimetrado. 7. En la gráfica anterior ¿es posible encontrar una recta tal que todos los puntos estén muy cerca de ésta? En caso afirmativo trázala y calcula su pendiente.
ACTIVIDAD 2: ESTABLECIENDO UNA ECUACIÓN
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1.AI encontrar una línea recta que pase muy cerca de los puntos que se han graficado , es posible obtener su ecuación. Ésta ecuación permite establecer una relación entre los valores del Ln(1/S) y lnN. Así que para descubrir ésta ecuación será necesario responder a las siguientes preguntas. a)¿Cuál es la ecuación de una recta que corta al eje y en el punto (O,b) y tiene pendiente m? R: -------------b) Con base en la gráfica realizada en el numeral 5, responde. l)EI valor de la pendiente m es _________ _ ii)En el punto (O,b), el valor de bes ________ _ iii)La ecuación de ésta recta es _________ _ iv) Marca con una x, según sea cierto o no
* Los valores en el eje horizontal x son de la forma Ln(1/S) __ LnN * Los valores en el eje vertical y, son de la forma Ln(1/S) __ LnN
c)Si la gráfica de los valores de Ln N contra lo valores de Ln(1/S), se puede aproximar mediante una línea recta de pendiente m que corta al eje vertical en el punto (O,b),entonces la ecuación que relaciona los valores de LnN con los valores de Ln(1/S) es:
Nota al profesor: La actividad 3 no podrá ser vista por los estudiantes sólo hasta después de haberse discutido, bajo la orientación del profesor, los resultados obtenidos en las actividades 1 y 2.
ACTIVIDAD 3: OTORGANDO UN SIGNIFICADO A LA ECUACIÓN
En la actividad 1 se estableció que la gráfica de Ln N - Ln(1/S) puede ser aproximada mediante una recta . Por lo tanto, las magnitudes LnN y Ln(1/S) están relacionadas mediante la ecuación de recta. Es decir, LnN = m Ln (1/S) + b donde mes la pendiente de la línea recta y (O,b) es el punto donde la recta lo corta al eje y. a)Si la línea recta cuya ecuación es LnN= m Ln(1/S) + b se desplaza verticalmente b unidades hacia abajo ¿Cuál sería la ecuación de la nueva recta?
b)En la ecuación obtenida anteriormente, despeja la variable m. De acuerdo con el resultado hallado, ¿Qué interpretación le das a la pendiente m? R:
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-------------------------------
c)Describe un método para calcular la dimensión fractal de una línea fronteriza. R: -------------------------------
d)¿Cuál es el valor de la dimensión fractal de la línea fronteriza de México? R: ------------e)¿ Deduce una fórmula que permita hallar la longitud de una línea fronteriza para una amplitud de paso determinada, si se conoce su dimensión?
AFIANZAMIENTO
1.Calcula por el método del compás la dimensión fractal para cada una de las siguientes líneas curvas que aparecen a continuación. a) Línea costera de Cuba i) mapa
ii) Recopila la información en la siguiente tabla
s 4cm 3.5cm 3.0cm 2.5cm 2.0cm 1.5cm 1.0cm
N
LnN
Ln(1/S)
iii) En una hoja papel milimétrico, traza un sistema de coordenadas cartesianas para graficar los valores de las dos última filas. En el eje vertical estarán ubicados los valores de la primera fila y en el je horizontal los valores de la última. iv) Traza una línea recta de tal manera que los puntos graficados anteriormente estén muy cerca de ésta.v) Calcula la pendiente de la línea anterior. Este valor, tal como se vio en el análisis del caso del mapa de México, corresponde a la dimensión fractal de la curva.
2. Curva de Von Koch Calcula la dimensión fractal de la curva de Koch mediante el método expuesto en el punto inmediatamente anterior. Puedes utilizar la tabla y la curva que aparece a continuación.
s 4cm 3.5cm 3.0cm 2.5cm 2.0cm 1.5cm 1.0cm
N
LnN
Ln(1/S)
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TAREA
Curvas suaves y curvas irregulares
a)¿ Cuál de estas dos curvas consideras que tiene mayor dimensión fractal? R:
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--------------------------------
Curva irregular Curva Suave
b) Calcula por el método del compás la dimensión fractal de cada una de las anteriores curvas. Realiza el procedimiento en hojas papel milimetrado. c)¿Qué diferencias existe entre tu estimación inicial y el resultado obtenido después de hacer el cálculo ? R _______________________________ _
d)¿Qué puedes concluir? R: --------------------------------
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DIMENSIÓN POR RECUBRIMIENTO
OBJETIVO:
Utilizar el método de cajas para calcular dimensión fractal de figuras irregulares.
INTRODUCCIÓN
A continuación se ilustra otra forma de abordar la dimensión fractal. El método consiste en hacer un recubrimiento del conjunto en consideración mediante una secuencia de cuadrículas llamadas mallas, de modo que lo único que cambia de una malla a otra es la escala del lado de cualquiera de los pequeños cuadrados que la conforman .En cada malla los cuadrados que la constituyen tienen el mismo tamaño. Por ejemplo, en la figura a) la malla tiene una escala 1 mientras que en la figura b) la malla tiene una escala de 1/2.
a) b)
El procedimiento para calcular la dimensión fractal consiste en contar el número de cuadrados de la malla que intesectan la figura. Esto se hace con cada una de las mallas utilizadas para cubrirla. Luego se hace una tabla en la cual se establece la relación entre el número de cuadraditos que intersectan la figura y la escala correspondiente de la malla. Se puede hacer la gráfica que resulta de ésta tabulación para observar de un modo más claro la relación inversa en la cual se encuentran estos valores.
Posteriormente se construye una nueva tabla en la cual se tabula el logaritmo del número de cuadraditos que cubren la figura y el logaritmo del recíproco de la escala correspondiente ; al hacer la gráfica con base en estos datos se puede observar cierta relación lineal entre estos. Es decir, que su gráfica puede ser
95
aproximada mediante una línea recta. La pendiente de ésta línea recta representa la dimensión fractal del objeto.
Este procedimiento es válido tanto para líneas curvas como para regiones del plano altamente irregulares. En seguida se plantea una actividad que ilustra el procedimiento anteriormente descrito. La actividad consiste en hallar la dimensión fractal del mapa que aparece dibujado. La medida no será exacta sino simplemente una aproximación.
ACTIVIDAD 1: APLICANDO EL PROCEDIMIENTO Gráfica : número de cuadrados - escala
1. Cuenta el número de cuadrados de la malla que intersectan el mapa. Llama éste número el número N y a la escala del lado de cualquiera de los cuadrados que forman la malla correspondiente, llámala S. Completa la siguiente tabla.
s 1 1/2 1/4 1/8 1/16 N
¡/
:l\l,;:!' ....... ···········\
,.r ( ..
/¡ -- -,, ·-----·-t-t-+--;----+ -+++-+--+--f-.;...¼-,-l·---
"\ ' - . ---e ~ 1'----
( ¡' ..... i
2. Realiza una gráfica de los datos obtenidos en la tabla anterior en el siguiente espacio milimetrado.
Gráfica doble logaritmo natural, LN(N)- LN (1/5)
,fl ~o -
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1. Con base en los datos de la tabla anterior completa la siguiente tabla:
11/S LN(1/S) LN(N)
2. Elabora la gráfica de acuerdo con los datos de la tabla anterior en el siguiente espacio milimetrado
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3. Aproxima los puntos graficados anteriormente mediante una gráfica. Si observas cuidadosamente puedes darte cuenta que los puntos están más o menos alineados y por lo tanto pueden ser aproximados mediante una línea recta. Calcula la pendiente de dicha línea recta.
ACTIVIDAD 2: COMPARANDO DIMENSIONES, SIGNIFICADO DE LA PENDIENTE
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Ya se mencionó anteriormente que la gráfica de los puntos de Ln (N)- Ln(1/S) se pueden aproximar mediante una recta y que dicha pendiente es la dimensión fractal de estos objetos. Ahora indagaremos en lo que realmente está midiendo dicha dimensión
Dimensión del circulo
1. A continuación aparece un secuencia de mallas, de diferentes escalas, que se sobreponen a un círculo del mismo tamaño y en la misma posición en todos los casos.
1-~- ! -
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2. Para cada una de las mallas anteriores, cuenta el número de cuadraditos que intersectan la figura . Con base en los datos obtenidos anteriormente, completa la siguiente tabla en la que S representa la escala y N el correspondiente número de cuadrados que intersectan la figura.
LN (N)
3. En una hoja papel milimétrico , dibuja un sistema de coordenadas cartesianas en donde el eje horizontal represente los valores de LN(1/S) y el vertical los valores de LN (N).
4. Puesto que los puntos obtenidos anteriormente se pueden aproximar mediante una recta entonces , trázala y calcula la pendiente
Dimensión del conjunto de Mandelbrot
1. En seguida aparece una secuencia de mallas, de diferentes escalas, cada una de las cuales cubre el conjunto de Mandelbrot. Este es un conjunto clásico de la Geometría Fractal, que más adelante será estudiado independientemente.
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101
2. Del mismo modo que se ha procedido en los casos anteriores, cuenta la cantidad de cuadrados de la malla que intersectan al conjunto. Con este dato y la escala, completa la siguiente tabla.
LN (N)
3. En una hoja papel milimétrico, realiza la gráfica que corresponde a los valores de las dos últimas filas. Debes tener en cuenta que en el eje horizontal deben ir representados los puntos de LN(1/S) y en el eje vertical , los valores de LN(N).
4. Puesto que los puntos anteriores pueden ser aproximados mediante una línea recta, trázala y calcula la pendiente de ésta.
Breve análisis
1. De los dos conjuntos anteriores el círculo y el de Mandelbrot: a) ¿Cuál tiene mayor dimensión fractal? R: -----------------------------
b)¿Cuál es más irregular? R: -----------------------------
c)¿Qué relación existe entre el nivel de irregularidad de una figura y su dimensión fractal? R: -----------------------------
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FRACTINT
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CAPITULO 111: MOVIMIENTOS Y MATRICES
Los movimientos básicos del plano son: rotación, ampliación o contracción, reflexión y traslación. Estos movimientos se han estudiado desde el punto de vista geométrico en cursos anteriores.
En el presente trabajo se establecerá la relación que existe entre estos movimientos del plano y la matrices de orden 2x2. Se mostrará, que para cada movimiento existe una matriz de orden 2x2 . Esto ocurre para todos los movimientos, salvo para el caso de la traslación, la cual es representada por una matriz de orden 2x 1.
Para facilitar el reconocimiento de esta estrecha relación se estudiarán estos movimientos en el plano cartesiano. A través de la generalización de ejemplos o por medio de un razonamiento sencillo se construye la matriz asociada a cada movimiento. Después de haber construido esta matriz, se aplica a una figura dada para obtener una imagen. De un modo complementario, dada una figura y su imagen, se determina la matriz que produce el efecto de convertir dicha figura en la imagen dada.
Se hace énfasis sobre todo en el significado geométrico de la matrices. Es decir, al finalizar el capítulo, cada estudiante estará en capacidad de reconocer el efecto dinámico de cada una de éstas matrices y a la vez, de construir una matriz según el movimiento que se quiera realizar.
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ROTACIÓN
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Reconocer una matriz de rotación respecto al origen y el efecto que produce sobre un vector. b) Aplicar una matriz de rotación a los puntos claves de una figura y obtener la imagen resultante. c) Dada una figura y su imagen bajo una rotación construir la matriz de rotación correspondiente.
INTRODUCCIÓN
La rotación en el plano es uno de los movimientos que más presencia tiene en nuestra realidad inmediata y lejana. Desde las manecillas del reloj hasta el movimiento de rotación de un satélite alrededor de la tierra.
Este movimiento lo has estudiado en tus cursos anteriores ya sea en el plano euclidiano o en el plano cartesiano. En ambos casos, se ha estudiado su concepto y propiedades. Sin embargo, se ha dejado a un lado el estudio de la relación íntima entre este movimiento y las matrices.
En ésta guía te darás cuenta que a un movimiento de rotación se le puede asociar una matriz. Es decir, una rotación sobre un punto es equivalente al resultado que se obtiene multiplicando la matriz por el par ordenado que representa al punto dado.
Anímate, por ti mismo, a descubrir esta maravillosa idea a través del desarrollo de la presente guía.
ACTIVIDAD 1: MATRIZ DE ROTACIÓN
En la figura aparece un plano cartesiano de ejes coordenados rectangulares de origen O. En este plano aparece un vector OP que forma un ángulo 0 con respecto al eje horizontal x. La magnitud de este vector es r. Al rotar el vector OP un ángulo cp en sentido positivo con respecto al origen se obtiene el vector OP'. Las coordenadas del vector OP son (x,y) y las coordenadas del vector OP' son (x',y').
I I P (x ,v)
IO Q R ¡ . ,_ .. -· ,_, ... .... ......... ..... ¡
~---~.--L _J_ -
1. En el triángulo OP'Q se tiene que cos (8 + cp) = x' /r entonces x' = r cos (8 + cp) (1) sen (8 + cp) = y' /r entonces y' = r sen (8 + cp) (2) 2. Por trigonometría se sabe que cos (8 + cp) = cose cos cp - sene sen cp sen (8 + cp) = sene coscp + cose sencp 3. Por (1) y (2) se tiene que x' = r [cose cos cp - sene sen cp]= r cose cos cp - rsen8 sen cp (3) y'= r [ sene coscp + cose sencp] = r sene coscp + rcos8 sencp (4) 4. En el triángulo OPR se tiene que cose = OR/OP = x/r entonces x= rcos8 (5) sene = PR/OP = y/r entonces y= rsen8 (6) 5. Sustituyendo (5) y (6) en (1) y (4), respectivamente, se tiene que: x' = x cos cp - y sencp y'= y coscp + xsen cp 6. Expresando en forma vectorial las coordenadas de P' se tiene que
(::) (:::::::::]
105
7. Aplicando la definición de multiplicación de matrices sobre la expresión de la izquierda se tiene que
(;.)-(:::: -:.n: )G) Lo anterior significa que las coordenadas del vector OP' se pueden obtener multiplicando las coordenadas del vector OP por una matriz de orden 2x2 que se llamara Rq, .Puesto que el vector OP' se obtiene rotando el vector OP un ángulo cp respecto al origen, entonces la matriz Rq, es una matriz de rotación de respecto al origen de ángulo cp.
ACTIVIDADES DE AFIANZAMIENTO
1. De acuerdo con la tabla ( ) hallar las matrices indicadas:
o 30 45 60 90 180 270 360 Sencp o ½ FYz 131i 1 o -1 o
Coscp 1 ,3/i FYz ½ o -1 o 1
106
2. Hallar las matrices
a) R120 = (= =) e) R210 =(= =) e) R,oo = (= =)
b. R,,, = (= =) d) R2<0 = (= =) f) RJJo = (= =) 0 ~I-cos0 0 /l+ cos0
3. Recuerda que sen - = ± y cos = ±1 .1
2 2 2 ~ 2 y con base en estas
fórmulas , halla la matriz de rotación que se te indica:
a) R,, =(= =) e) Rrns =(= =) b) R73=(= =) d) Rus=(= =) 4) Encuentra el vector que se obtiene al aplicar cada una de las matrices R30, R4s, Rso ,Rgo, R1eo y R270 sobre cada uno de los vectores aparecen a continuación.
a) (0,1) b) (1, O) c) (O, -1) d)(-1,0)
5. Para cada uno de los ejercicios del punto anterior dibuja un plano cartesiano en el que aparezca dibujado el vector con su respectiva imagen. Para diferenciarlos puedes dibujar el vector de color azul y su imagen de color rojo. 6. Escribe la matriz de rotación que debe ser aplicada al vector OP para producir el vector indicado
a) OP1 c) OP4 e) OP9 g) OP5
(= =) (= =) (= =) (= =) b) OP3 d) OP7 f) OP11 h) OP2
(= =) (= =) (= =) (= =)
P9(-l,O)
1 JJ PI 1(- -· - )
2' 2
Pl(O,l)
P7(0,-1)
JJ 1 P3(~ - )
2 '2
107
7. Aplica sobre cada una de las siguientes figuras, las matrices que aparecen a su derecha. Dibuja la figura resultante en el plano que aparece a continuación
..... ...... ' : -
ª'
!
'
;..
- ,__
' '
/ :\" '\ /
I \ , \
. -··
,__
b) ( ~¡ ~1]
e) ( ~I ~J
NOTA:
Para obtener la imagen de una figura bajo una matriz debes:
108
.. ~ ·--· ---· '-..-,--,-
/ i/ ' / í'\
a>(° ~J -1 / ' V
r\. 1/ b)(~I ~IJ
e>(° ~J i) Identificas los puntos
claves de la figura, -1 como por ejemplo:
vértices, extremos de segmentos o puntos de encuentro entre varias líneas.
ii) Sobre cada uno de -~ - ,.------ ·--·· -·· ...... - - los puntos
/ " i/ ' / I" ,,,, .... l'o.. a)(~ ~IJ
reconocidos como claves, aplicas la matriz , para obtener su imagen.
~ ,, ' b) ( ~I ~J
iii) Unes los puntos obtenidos o imágenes en analogla con la figura original
e)(~ ~J ---
8. Encuentra la matriz que transforma a la figura de la izquierda en la figura de la derecha
~~~·-······r········r········"······"•···"·····
/ /
109
" '
I \
110
DILATACIONES Y CONTRACCIONES
OBJETIVO:
Reconocer la dilatación y contracción como una transformación en el plano que agranda o achica una figura. Al mismo tempo, se pretende que el estudiante establezca una relación directa entre las transformaciones de dilatación y contracción y la multiplicación de un vector por un escalar.
INTRODUCCIÓN
La dilatación y contracción son movimientos que agrandan o achican figuras sin alterar su forma. Estos movimientos ya los has vistos en tus cursos anteriores de geometría. Ahora tendrás la posibilidad de estudiarlos nuevamente pero relacionándolos con las matrices. Como en el caso de las rotaciones podrás cerciorarte por tu propia cuenta que cada movimiento de contracción o dilatación se le puede asociar una matriz.
Para éste propósito será conveniente que recordemos que la multiplicación de un escalar k por un vector v=(x , y) se define como k (x ,y) =( kx , ky ). Es decir, por ejemplo, si k= 3 y (x ,y )=(-1,4) entonces k ( x, y)= 3 (-1,4)=( 3(-1 ), 3(4))=(-3, 12).
Después de ésta breve introducción, comencemos con el desarrollo de esta guía fortaleciendo el concepto de contracción y dilatación, y estableciendo la forma de realizar la importante asociación e matricial.
ACTIVIDAD 1
Considera el vector v = (4,6) que a continuación aparece dibujado y realiza con base en éste cada uno de los siguientes ejercicios.
111
1. Halla el vector kv para cada valor de k y dibújalo en el plano cartesiano anterior a) k=1/2 b) k=3 c) k=-1 d) k=1 e) k=1/3 f) k=2 g) k= -3 k=-1/3 2 .Compara cada vector obtenido con el vector V inicialmente dado .Escribe tus observaciones en cada caso. 3. Si v es un vector cualquiera del plano y kv es un múltiplo escalar del vector v, es decir, otro vector del plano que se obtiene a partir de v multiplicándolo por el número k, qué características tiene el vector kv en cada uno de los siguientes casos: i) 0<k<1 ii) k=1 iii) k>1 iv)-1<k<0 v) k= -1 vi) k< -1.
ACTIVIDAD2
Recordemos que un punto en el plano se puede representar por una pareja ordenada y a la vez, cada pareja ordenada representa un punto en el plano.
Dado un conjunto S del plano, el conjunto kS donde k es un número real , es el conjunto que se obtiene multiplicando cada punto de S por el número k. Por ejemplo, si se tiene un segmento A8, el segmento kA8 , se obtiene multiplicando cada punto de A8 por el valor de k. Este proceso es imposible desde el punto de vista práctico, no desde la perspectiva matemática, en el caso en el que el conjunto S tenga infinitos puntos, como ocurre con el segmento. Por esta razón es conveniente tomar los puntos más notables del conjunto S y multiplicarlos por k. En el caso del segmento se tomarán sus extremos. Así, por ejemplo si el segmento A8 tiene por extremos a A=(-1,2) y 8=(3, 1) el segmento A'8' = 2A8 tendrá por extremos a A'= 2A = 2 (-1,2) = (-2,4) y 8'=28= 2 (3, 1)= (6,2). Gráficamente es:
!
!
112
1.Dibuja un triángulo ABC de vértices A=(2, 1 ), B=(-3,2) y C=(-1,-2) con color negro.
2. En el mismo plano cartesiano dibuja la figura indicada. a)(3) ABC con color rojo b)(1/2)ABC con color azul c)(-2)ABC con color verde d)(-(1/ 2)ABC con color naranja e) (-1 )ABC con color amarillo 3. Dibuja un rectángulo ABCD de vértices A=(-2,-2), B=(-2,2), C=(-4,2) y D=(-4,-2) con color negro en el siguiente plano cartesiano.
113
4.En el mismo plano cartesiano en el que dibujaste el rectángulo anterior, dibuja la figura indicada. a) (3)ABCD con color rojo b) (1/2)ABCD con color azul c) (-2)ABCD con color verde d) (-1/2)ABCD con color naranja e) (-1)ABCD con color amarillo 5. La figura con forma de casa que aparece a continuación se llama S.
En cada uno de los planos cartesianos que aparecen a continuación dibuja la figura indicada.
a) 2S
114
b) (1/4)S
r ·r ' r···r····· ....... r· ·······¡ , i ··········r·····r·· ····r·· r·. T T r 1 1 - •
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1
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e) (-1 )S
... , ..... . ¡,, , ....... .
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-- =:1_-~-~-··,-tl---1-1-.L 11 ·-J~· : J ~··· : · ¡ l ····· l 1 J ••••••••
115
d) (-3)S
f----+--+--1--+--+--1----+--+--1----+--+--+--+-+-~--I-+-- '--- ·-· ---.. ~-· ...... 1---·
~ ........ ,, ........................... ; ................... , ... .__._______,___,
... ·-•-- .............. --~ .... ,
+---+--+--1--+--+-----l--+--+--l----+--~---l-------+--+-+--I-+------+--·· --- ···- -------·~---·-·· ,, .•••••.. 1 ........... - .L-L--'---'-----'---'-- L.,...._, .. 1- L--.. L--L---'----L---' ............... L.. ..... ,
d) (-1/2)S
, ........ , ..... , ........ , ......... , ................ , .............. ~·-~~-·~~~ ... -..... ___ ,, ... _ .,., __ ., ....... _ ..... -...... .
-- --·-·"-- -·+-----'--+-+---"-----1--1--+--l---l----+--+--+-l-+--4--+--+---l
.
~--···--·+·····-·- ,........ . -- ,¡ ______ '---- ··- ___ .............. _..¡..._.........,___........_.__._..¡..._._____,__.........,__
..... , .... ,, ..... 1 ... ,.,.
' .....
¡.... • ....... , .... , .......... .
. ···- - ... ... ..--·•··---+--+-l--+--l---l----+--+---1---1--1--1--+-+-+·--+--~
6. Si Tes una figura del plano, ¿qué se puede a firmar de kT en cada uno de los siguientes casos?
a) O< k< 1
116
R: --------------------------
b}1<k
R: --------------------------
c)-1 <k< O
R: --------------------------
d)k< -1
R: -------------------------
117
ACTIVIDAD 3: REPRESENTACIÓN MATRICIAL
Lee con atención el siguiente análisis y utilízalo para contestar lo ejercicios de afianzamiento que se proponen a continuación.
Sea ( x·, y') la imagen de un punto ( x ', y') bajo la homotecia H de razón. Es decir H(x, y) =k (x, y) =(x', y'). Por lo tanto, al escribir los vectores en forma de columna se tiene:
Pero el vector columna de la derecha se puede escribir en forma matricial. De modo que se tiene que
(;:)=[~ :J;J=k[~ ~J;J Lo cual quiere decir que el vector (x', y') se puede expresar como multiplicación de una matriz de orden 2x2 por un vector columna (x,y). Llamemos esta matriz H. Puesto que el vector ( x', y') es el resultado de aplicar una homotecia de razón k sobre el vector (x,y), entonces la matriz correspondiente la llamaremos matriz de homotecia de razón k.
EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO
1.Describa el efecto que produce una matriz de la forma [ ~ : J aplicada
sobre un vector, para cada uno de los siguientes casos
a) 1<k
R: ----------------------------
b) k<-1
R: ----------------------------
c) O<k<1
R: -----------------------------
d)-1 < k<O
118
R: ---------------------------
2.Aplica cada una de las matrices dadas, a la figura que aparece a continuación, y grafica la figura resultante sobre el plano cartesiano que aparece en abajo
(-1
S,= O H,=[~
! i f-+-+----+--+---4-------+--+--+--+--+---t-----+--+--+--+--+-+---"~-+--+--+--+-l -+--t---1---,
¡ .,___,..; -+-+----+----+--1---+--+--+--+--+-+--,1----+--+--+--+--+-+--t--+--+---+--+-+----+---<
¡ ' !
---- J. -~- --1---->---+---+--+---------1---+--+---+---+---+--+--<--+--+--+! i
~ -- - -f --- - • -+--~--+--+--+--+-+--t--+--+--+--+--+--t--t--+--+---t·- ·-+---+---1-+----J
i 1
: \ V ' V
i -+--+---+--+---i-+-+---+--+-+-t--+-+--+--+---+--t--1-+-+--t---+--+--t---1
~-l-!- --+---+--+---<---+---+--+--+---+--1---+--+--+---+---+--+---+---+····· .... ---- -· ... , ... --····· ·---
__ ,_ __ ·---- -•-···--- --- ·--+---+--1--4-->---+-+---+---+---+--+---<--+--+--+---+---+-t-- ., .. .. ··--·· ····· ,. ·--·· ----
-- ··-·-··· f····· ..... --+---+--+---l-+--+---+--+-+-t--t--+-+--+--+--t--1-+--+-
-+--+--+---t--t--+--+--+--+-+--,-+--+---+--+---+--t--t--+---+--+ -- ... ~- -
-- -··- --- ,.,_+-_.__..__..___--+-_--+--+--+---<>---+---+---+---+--+-->--+-+---+--+·-··-- .__ __ - -·-
3. Encuentre la matriz que transforma la figura que aparece a continuación en la figura que aparece en cada literal
119
¿__ '" \ }
\ I
a)
< · I) '
b)
/ \ / \
--
~ V
120
e)
~11~ \ l 1 ........-------+ l - ~~L- 1 -
\ 1 11 ----r \ 1 1 ' T ~-- ¡-'' 1 1 l I i 1 1
1 1
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1 i : i + F 1 1 1 1 1 1 1 r 1-rrI] 1-~I TI
121
REFLEXIÓN
OBJETIVO:
Al finalizar el desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Deducir la matriz de reflexión respecto al eje x y la matriz de reflexión
respecto al eje y. b) Aplicar la matriz de reflexión a los puntos de una figura.
INTRODUCCIÓN
En tu curso de geometría has estudiado la simetría axial. Sabes que A' es simétrico respecto a una recta I si y sólo si la recta I es mediatriz del segmento AA'. Es decir, si I corta al segmento AA' en su punto medio y además es perpendicular a éste. La figura que aparece a continuación ilustra lo dicho anteriormente.
-"~'f
' 1
-·-·-· -
/ A l( ~ v.
X / ~.
1/ A' -·-----·- -·--·-·- A'
Para hallar la imagen por una simetría axial se requiere hallar el simétrico de cada uno de los puntos que la conforman. En el caso de una figura poligonal es suficiente con obtener el simétrico de cada uno de sus vértices y unir las imágenes de manera correspondiente a como aparecen en la figura original. Siguiendo este procedimiento se tiene que el triángulo A'B'C' es la imagen del triángulo ABC respecto a la recta p.
En esta guía abordarás el estudio de la simetría axial en el plano cartesiano, pero considerando sólo el caso en el que tanto el eje x como el eje y son ejes de simetría axial.
ACTIVIDAD 1
1.Considera al eje y como eje de una simetría axial. Halla la imagen simétrica respecto al eje y de cada uno de los siguientes puntos. Escribe las coordenadas de la imagen al lado derecho de cada punto.
122
a) A(1,3) A'(_,_) b) 8(-2,5) B'( _, _) c) C(-3,2) C'( _, _) d) 0(4,-3) D'( _, _) 2. Apoyado en los resultados del punto anterior, completa la siguiente afirmación: Si P' es la imagen por una simetría axial de P con respecto al eje y y el par ordenado que representa a Pes (x,y) entonces P'=( __ , __ )
ACTIVIDAD 2 : SIMETRIA RESPECTO AL EJE X
1. Considera al eje x como eje de una simetría axial. Halla la imagen simétrica respecto al eje x de cada uno de los siguientes puntos. Escribe las coordenadas de la imagen en el lado derecho de cada punto. a)E(2,4) E'(_,_) b) F(-3,5) F'( _, _) c) G (-2,-4) G'( _, _) d) H(3,-1) H' (_, _) 2. Apoyado en los resultados del punto anterior, completa la siguiente afirmación: Si P' es la imagen por una simetría axial de P con respecto al eje y y el par ordenado que representa a Pes (x,y) entonces P'=( __ , __ )
NOTA: la actividad 3 sólo podrá realizarse una vez que hayan sido corregidas y aclaradas las actividades 1 y 2.
ACTIVIDAD3
1.Lee con atención el siguiente razonamiento. En la actividad 1 pudiste darte cuenta que una reflexión respecto al eje y le asigna a cada punto P(x,y) otro punto P'(-x, y). Nos preguntamos si este
movimiento de reflexión puede ser representado por una matriz R, =(: : ) , tal
como se ha hecho en el caso de la rotación y la homotecia. Si es así, entonces debe ocurrir que
Desarrollando la multiplicación indicada en el lado izquierdo se tiene que
(ax + by) = (- X] ex+ dy y
Y en consecuencia, por la forma como está definida la igualdad entre vectores se tiene que
(1) ax+by=-x y (2) ex+ dy = y
Para que las ecuaciones (1) y (2) se cumplan debe ocurrir que a=-1, b=O, c=O y d = 1. Y por lo tanto
R =(-1 º) y O 1
Esto quiere decir que si un punto es multiplicado por la matriz Ry entonces el resultado es su simétrico respecto al eje y. 1. Haciendo un razonamiento análogo al indicado en el punto 1, encuentre la matriz de reflexión respecto al eje x. Llámala Rx .
2. Ahora vas a verificar que realmente cada una de las matrices Rx y Ry representa una reflexión respecto a los ejes x y y respectivamente.
123
a) Multiplica cada uno de los vértices de la figura por la matriz Rx . Luego grafica los puntos obtenidos en el mismo plano cartesiano y conéctalos de la misma forma como van unidos en la figura original. ¿Qué característica tiene la figura resultante con relación a la figura original?
b) Realiza lo que indica el punto a) pero utiliza la matriz Ry en lugar de la matriz Rx. Dibuja la figura resultante en el mismo plano cartesiano y píntala de color amarillo. ¿Qué característica tiene la figura resultante con relación a la figura original?
3. Escribe la matriz que transforma la figura A en la figura B.
124
8
125
TRASLACIÓN
OBJETIVOS:
Al terminar el desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Representar una traslación por medio de un par ordenado. b) Obtener la imagen de un punto por una traslación; primero a través de un método geométrico y luego a través de un método analítico. c) Dado un punto y su imagen, o una figura y su imagen, encontrar la traslación correspondiente; primero por un razonamiento geométrico y luego por un razonamiento analítico.
INTRODUCCIÓN
En tus cursos anteriores estudiaste la traslación como un movimiento del plano por el cual un objeto se mueve de un lugar a otro según una dirección y distancia prefijadas. Quizás también hayas visto que una traslación puede obtenerse como la combinación sucesiva de un movimiento horizontal y otro vertical. Si no lo sabes, ésta será tu oportunidad de aprenderlo y de reconocer como esto permite representar una traslación mediante un par ordenado. Veamos:
A
8
Para trasladar el punto A hasta el punto B se puede realizar primero una traslación horizontal a la derecha de cuatro unidades y luego hacer una traslación vertical hacia abajo de dos unidades. Esto permite representar la traslación como T(4,-2), donde la primer componente de la pareja ordenada representa la magnitud del desplazamiento horizontal y la segunda componente el
movimiento vertical. El signo de cada componente depende del sentido del desplazamiento. Si el desplazamiento horizontal es hacia la derecha entonces será positivo; si es hacia la izquierda, será negativo. En el caso del desplazamiento vertical: será positivo hacia arriba, y negativo hacia abajo.
ACTIVIDAD 1
Con base en lo explicado en la lectura anterior , realiza cada uno de los ejercicios siguientes: 1. Describe en tus propias palabras en términos de desplazamiento y en forma precisa, lo que hace cada una de las siguientes traslaciones.
a) T1 (2,s)
126
R. -----------------------------
b)T2 (-3.4)
R. ____________________________ _
c)T3 (-1,-2¡
R. ____________________________ _
d)T4 (2,-1¡ R. ____________________________ _
2. Escribe en forma de pareja ordenada cada una de las traslaciones descritas a continuación
a) T1 : 2 unidades horizontalmente a la derecha 6 unidades verticalmente hacia arriba
T1 ( __ , __ ¡ b) T2: 7 unidades horizontalmente a la izquierda
5 unidades verticalmente hacia abajo T2c __ , __ ¡
c) T3 : 3 unidades horizontalmente a la derecha 2 verticalmente hacia arriba.
T3( __ , __ ¡ d) T4: O unidades horizontalmente
4 unidades verticalmente hacia arriba T4( __ , __ ¡
3. Aplica cada una de las siguientes traslaciones a cada uno de los siguientes puntos, y grafica su imagen en la cuadricula que aparece en seguida. A las imágenes de los puntos A, By C bajo la transformación T1 llámalos A1, B1 y C1 respectivamente; bajo T 2 llámalas A2 , B2 y C2 y bajo T 3 llámalas A3, 83 y C3
a) T1 (-3.4) b) T2 (-6,2¡ c) T3 (5,-3) d) T4 (0,-1¡
127
1-
B r:
4. Aplica la transformación T c-s,3) sobre la figura que aparece dibujada y dibuja la imagen resultante
V "'
128
5. Encuentra la traslación que lleva a cada punto en cada uno de los otros. Por ejemplo, la traslación que lleva a A hasta B es T AB (s. -2)
P..
R
r. L...-""
r-...._..
6. Encuentra la traslación que lleva la figura A en la figura B.
~----·
J 1\ \ I
[\ -· -- -----·
B I \ / J \ / V ·-· --- _____ ._,_.,
~. - _ _. ___
A I /
/
ACTIVIDAD 2: MÉTODO ANALÍTICO PARA OBTENER UN TRASLACIÓN
¿Cómo obtener la traslación que lleva el punto A=(-2,3) al punto B =(7,-1) sin tener que graficarlos en un plano cartesiano y percatarse visualmente de como actúa la traslación?. Para esta pregunta será conveniente poner mucha atención en el siguiente análisis.
129
Supongamos que A= (a, b) es un punto y que T( h, k) es una traslación. Esta traslación nos dice que para obtener la imagen de A bajo la transformación T, es preciso un desplazamiento horizontal de h unidades y un desplazamiento vertical de k unidades. Para facilitar el razonamiento , supondremos que esos desplazamientos son hacia la derecha y hacia arriba. Si observas cuidadosamente la gráfica que aparece a continuación te darás cuenta cuales son las coordenadas de la imagen de A bajo T.
1
Al i 1
¿Cuales son las coordenadas de A'?
A'=(_,_)
De acuerdo con lo anterior se tiene que si al punto (a,b) se le aplica la transformación T= ( h , k ) entonces la imagen tendrá por representación a la pareja (a+ h, b+k).
Ahora bien, volviendo al problema que interesa resolver, tenemos que si T( h. k) es la traslación por la cual A se lleva hacia B, entonces B es la imagen de A bajo T. Por consiguiente, si se aplica el resultado del análisis anterior , se tendrá que B = ( 7,-1) = ( -2+h, 3+k) Por lo tanto, 7= -2 + h y -1= 3 + k}
7+2 = h y -1 +3= k 9=h y 2=k
Esto significa que la posible traslación es T( h, k )= T( 9, 2)
Para ver si esto es realmente cierto, es conveniente utilizar el procedimiento gráfico. Así que, dibuja un plano cartesiano, grafica los puntos A y B y verifica que , realmente , este procedimiento funciona.
AFIANZAMIENTO
1. A continuación aparece un punto y su imagen correspondiente mediante unatraslación T(h,k)· Hallar T(h.k) en cada caso.
a) A= (-5,8) y A'=(3,2) b) B=(-7, 1) y B'= (-5,-3)
130
c) C=(-2,3) y C'=(-4,4) d) D=0,-1) y D'= (-6,-5) e) E= (x, y) y E'=( x', y') 2. En cada caso halla la traslación que lleva a la figura A hasta la firgura B.
Verifica la traslación obtenida con cada uno de los puntos más notables de figura A. Es decir, con los puntos extremos o vértices.
(1 .4)
(-3 .1) (3.1)
(-1 .-2)
1
(-4,-1t7 (-2 ,-1
A
(-4 ,-4)
(2,3)
B
(2,0)
(4,3)
3.¿ Qué traslación debes aplicar para obtener el cuadrado de vértices (3,2), (5,2), (5,4) y (3,4) a partir del cuadrado de vértices (1,1), (-1,1),(-1,-1) y (1,-1) ?. Verifica tu respuesta con cada uno de los puntos. 4. A continuación aparece un punto y una traslación. Halla la imagen del punto bajo la traslación sin hacer gráficas . a) A = ( 1 , 6 ) T= ( 4, 3 ) b) B=(-3 , 2) y T= ( 7,-6) c) C=(-1 , -1) y T = ( -2,-13) d) D=( 5,-2) y T=( -1,0) e) E=( 0,3) y T=( -2,2) 5. A continuación aparece un triángulo ABC y un triángulo A'B'C'. Este último se ha obtenido a partir del primero mediante la aplicación de una traslación. ¿Cuales son las coordenadas de los puntos A y C '?
A (_,_)
e (-2,2)
B (1,-3)
A' (-2, 2)
e(_,_)
B' (4,2)
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRASLACIÓN
OBJETIVO:
a) Reconocer que la aplicación de una traslación a un punto consiste en adicionar el vector traslación al punto dado. b) Representar mediante un modelo matricial el movimiento de traslación.
INTRODUCCIÓN
Tu sabes también que la pareja (x,y) puede representarse también como (;).
Si (::J es la imagen de (;) por la aplicación de T¡h,kl entonces se tiene que
(;:) se obtiene adicionando (;) a la pareja (;) . Es decir,
(:)= T¡h,kl (;) = (;)+(:) (1)
De acuerdo con la multiplicación de matrices se tiene que ( ~ ~X:) = (;)
( verifica esta afirmación). Por lo tanto, sustituyendo en la igualdad (1) se obtiene que
(;} Tt•.,{;)= (~ ~)(;)+(:)
131
De manera que lo que se ha encontrado es un modelo matricial para representar una traslación.
ACTIVIDAD 1
132
1. El punto (x',y') es la imagen bajo la traslación T(h,k) del par ordenado (x,y).Halla el modelo matricial de cada una de las siguientes traslaciones.
a) T( 2,sJ b) T(-3,1) c) T(1,0J d) T(s,-2) e) T(-2,2) f) T(o,-3)
2. Representa mediante un modelo matricial la traslación que transforma el punto A en el punto B en cada uno de los caso que aparecen a continuación. a) A= (-2,3) ; B= (1,5) b) A= (1,-4) ; B= (-2,-2) c) A= (O, 1) ; B= (-3,4) d) A= (- 8,9) ; C = (-5,- 4)
133
INJECTOR
134
CAPITULO IV : COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
En este capítulo se aborda la combinación de movimientos en el plano. Se tienen en cuenta todas la posibilidades de combinación entre los movimientos estudiados en el capítulo anterior, pero se presenta una sola vez aquellos casos en los que la combinación es conmutativa.
La aplicación sucesiva de dos o más movimientos en el plano se denomina composición. La idea fundamental de este capitulo es que si los movimientos en el plano se pueden operar mediante la composición, y cada movimiento está representado por una matriz, entonces debe existir alguna operación entre estas matrices que sea equivalente con esta operación de composición. Es decir, que el resultado de dicha operación, - una matriz -, surta el mismo efecto sobre una figura que cuando se aplica sucesivamente dichos movimientos.
Es natural pensar que la composición de movimientos en el plano esté representada por la multiplicación de las matrices que representan dichos movimientos. En este capitulo se analizará la posibilidad de que realmente la multiplicación de matrices sea equivalente con la composición de movimientos.
El estudio de la composición es de gran importancia para introducir de un modo natural uno de los conceptos importantes en geometría fractal: el de transformación de similitud.
Así como en el capitulo anterior , en este capitulo seguiremos apoyandonos,- para claridad de nuestro análisis -, en el plano cartesiano.
135
ROTACIÓN Y HOMOTECIA
OBJETIVO:
Al finalizar el desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de reconocer el efecto de la multiplicación de una matriz de homotecia con una matriz de rotación.
INTRODUCCIÓN
Hasta el momento se ha estudiado los movimientos del plano de manera individual. Desde ahora tendrás la oportunidad de combinarlos. En esta guía de trabajo comenzaremos por combinar la homotecia y la rotación. La composición de dos movimientos se entenderá como la aplicación sucesiva de estos movimientos . Por ejemplo, cuando un cuadrado se contrae y luego se rota , se ha realizado la composición de dos movimientos: una homotecia y una rotación. ¿Cuál será la manera de representar matricialmente la composición de dos movimientos, sabiendo que cada uno de estos está representado por medio de una matriz ? . En esta guía tendrás la oportunidad de encontrar la respuesta.
ACTIVIDAD1: MATRIZ DE HOMOTECIA
1 l
~--f ¡ ¡ 1 í ¡ ' í ¡ _, 1 )' l
V /1
1) Sean H=(~ ~J a)Describe el efecto que produce la aplicación de la matriz H sobre el vector v . R: -----------------------------
136
b)Dibuja en el mismo plano cartesiano con color verde el vector que resulta de aplicar la matriz H sobre el vector v. c) Denota al vector resultante por v· y escribe las coordenadas en los espacios.
v'=( __ , ) d) A continuación efectuarás la multiplicación de la matriz H por el vector v . Es decir realizarás la operación
Hv= (~ ~)(!) =
e)Compara las coordenadas del vector v· con las del vector obtenido en el punto anterior. ¿Cómo son éstas coordenadas? ¿Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ACTIVIDAD 2 : MATRIZ DE ROTACIÓN
Sea R90=(~ ~1)
a)Describe el efecto que produce la aplicación de la matriz R90 sobre el vector v R. -----------------------------
b)Dibuja en el mismo plano cartesiano con un color rojo el vector que resulta de aplicar la matriz R90 sobre el vector v. c)Denota el vector resultante por v" y escribe las coordenadas sobre los espacios siguientes
v" = ( --'-~) d)A continuación efectúa la multiplicación de la matriz Rgo por el vector v.
(~ ~11!)= e) Compara las coordenadas del vector v" con las coordenadas del vector obtenido anteriormente. ¿Cómo son estas coordenadas?¿ Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ACTIVIDAD 3: PRODUCTO DE MATRIZ DE HOMOTECIA POR UNA MATRIZ DE ROTACIÓN
a) Describe el efecto que se produce en el vector v, cuando se aplica de manera consecutiva las matrices H y R9o
R. -----------------------------
137
b) Dibuja el vector obtenido por el proceso descrito en el punto anterior, en el plano cartesiano que aparece en la actividad 1.
c) Al vector resultante, llámalo v·. Escribe a continuación las coordenadas del vector v· = ( ).
d) Efectúa la multiplicación de las matrices H y R90 .
H R = (2 º)(º -lJ-(- -) 90 021 0- ___ _
e) Multiplica el vector v por la matriz obtenida anteriormente. f) ¿Cómo son las coordenadas del vector v· con relación a las coordenadas del
vector obtenido en el punto anterior? ¿Qué puedes concluir? R. ____________________________ _
ACTIVIDAD 4 : GENERALIZACIÓN
a) ¿Cuál es el efecto de la matriz HK =(~ ~) sobre una figura cuando cada uno
de sus puntos es multiplicado por ésta? R. ____________________________ _
b) ¿Cuál es el efecto de la matriz R0= con Oº ~ 8 ~ 360º , sobre . (cose -sene) sene cose
una figura cuando cada uno de sus puntos es multiplicado por ésta? R. ____________________________ _
c) Efectúa la multiplicación de matrices indicada a continuación.
HkRa=(k º)(cose -sene)=(- -J=k(- -) o k sene cose -- -- -- --
d) ¿ Qué efecto produce la matriz resultante sobre una figura cuando se multiplica cada uno de sus puntos?
R. ____________________________ _
ACTIVIDADES DE AFIANZAMIENTO
1. Describe el efecto que producen las siguientes formas matriciales
a)(2 º)(cos35º -sen35º) O 2 sen 35º cos 35º b)(cos147º -sen147ºJ[- j O] sen 147º cos 147º 0 _ 1
3
R: ·-----------
c)H~l ~J R. -----------
e) 2(cos45º -sen45º) sen45º cos45º
R. -----------
R. -----------
(
-1 d)-3 O
R. __________ _
[-l O
] t f) 1 Jj o -- -
4 2
Jj
2 1
2
R.-------------
138
2. Escribe la representación matricial para cada una de las afirmaciones siguientes a)Ampliar en una escala de 3 y rotar 45 grados en sentido positivo.
(= =l= =J b)Contraer a la mitad y rotar un ángulo de 60 grados en sentido positivo
(= =l= =J c) Ampliar en una escala de dos unidades, luego invertir y finalmente rotar 60 grados en sentido positivo
-(==J 4
d) Contraer en un factor de - y rotar 90 grados 5
-(==J 3. A continuación aparece dibujada una figura A y una lista de varias formas matriciales. En el plano cartesiano que aparece en frente de cada forma matricial dibuja la figura que resultaría luego de aplicar la forma matricial correspondiente a la figura A.
a).!(º -lJ 2 1 O
b)(2 ºJ(-1 O) O 2 O -1
c)-3( o 1) -1 O
139
r T f----+--+-+--1-+--+--+--+-+---+-t--+-+--+--- ··-. 1
f--+---+-+-+-+--+-1--+--+-+-+-+--+··· +·· .. , .... f--+-+-+--1--+---+--+--+-+---+-t--+-+-+-+· -
! l-+-+-+-+-f-+-+-+--+-----t···· ..... , ......... '
1--+-+-+-+---+-+-+---+---+-t--+---t··· -........... l·--···"·· ...... .
1--+-+-+-+-t-+-+---+---+-t--+-~········· ................ .
~-1---+-+--+-+--+-----+--+-l---+--+-t·· ............ , ....... .
.. . .... , ... , .... ,. ., ............ ·t--+----+-+--+--+---+--1----···· .......... . ...... ¡, ... .
~-l---+-+--+-+--+-----+--+-1---+----+-+----+··+--¡ .... , ····•··· ..... , , ..... t--t--t--+--t-----0---t--l·""" ........... ······- ..
1--+-+-·+-+-+--+-+--+--+--+-+-+-+---+--· ·-
,-=,·.· .. =.~ ·····~~+··¡ , . ,_ .. I
140
CONMUTATIVIDAD
1. Efectúa
a) Hd~a = (~ º)(cos0 - sen0) = (- -) k sen0 cos0 -- --
b) RyHk =(cos0 -sen0)(k º) = (- -) sen0 cos0 O k -- --
c) ¿ Son iguales los resultados obtenidos en a) y b)? ¿Qué puedes concluir? R. -----------------------------
2. Efectúa
a) H.R,= (~ a::: -e:~:)=(- =) b) Re Hk = (cos0 -sen0)(k º) = (- -)
sen0 cos0 O k -- --c) ¿ Son iguales los resultados obtenidos en a) y b)? ¿Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ROTACIÓN Y REFLEXIÓN
OBJETIVO:
Al finalizar el desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad a) Reconocer el efecto de la multiplicación de una matriz de rotación por una
matriz de reflexión. b) Mostrar que la combinación de estos movimientos no es conmutativa.
INTRODUCCIÓN
141
En esta guía podrás estudiar el efecto que produce la combinación sucesiva de los movimientos de rotación y reflexión respecto a cualquiera de los ejes coordenados. Al mismo tiempo, tendrás la oportunidad de representar matricialmente esta combinación como el producto de las matrices asociadas a cada uno de estos movimientos. Así mismo, podrás comprobar que el efecto de dicha combinación cambia cuando se altera el orden en el que se aplican los movimientos. En esta guía trabajarás básicamente con la simetría respecto al eje y, pero el razonamiento y los resultados obtenidos son validos para el caso de la reflexión respecto al eje x.
Anímate a recorrer el camino que te llevará al convencimiento de los hechos que aquí se han comentado.
ACTIVIDAD 1: MATRIZ DE REFLEXIÓN
1
1
1. Sean Rv=( ~¡ ~J a)Describe el efecto que produce la aplicación de la matriz Ry sobre el vector v. R: -----------------------------
b)Dibuja en el mismo plano cartesiano con color verde el vector que resulta de aplicar la matriz Ry sobre el vector v.
142
c) Denota al vector resultante por v· y escribe las coordenadas en los espacios. v'=( __ , )
d) A continuación efectuarás la multiplicación de la matriz Ry por el vector v . Es decir, realizarás la operación
Hv= ( ~¡ ~JGJ =
e)Compara las coordenadas del vector v· con las del vector obtenido en el punto anterior. ¿Cómo son éstas coordenadas? ¿Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ACTIVIDAD 2: MATRIZ DE ROTACIÓN
Sea R,o=(~ ~IJ a)Describe el efecto que produce la aplicación de la matriz R9o sobre el vector v R. -----------------------------
b )Dibuja en el mismo plano cartesiano con un color rojo el vector que resulta de aplicar la matriz R90 sobre el vector v. c)Denota el vector resultante por v" y escribe las coordenadas sobre los espacios siguientes
v" = ( __ , ) d)A continuación efectúa la multiplicación de la matriz Rgo por el vector v.
R,ov=(~ ~1J(~J =
e) Compara las coordenadas del vector v" con las coordenadas del vector obtenido anteriormente. ¿Cómo son estas coordenadas?¿ Qué puedes concluir? R. ____________________________ _
ACTIVIDAD 3: PRODUCTO DE MATRIZ DE REFLEXIÓN RESPECTO AL EJE Y POR UNA MATRIZ DE ROTACIÓN.
a) Describe el efecto que se produce en el vector v, cuando se aplica de manera consecutiva las matrices Ry y Rgo
143
R. -----------------------------
b) Dibuja el vector obtenido por el proceso descrito en el punto anterior, en el plano cartesiano que aparece en la actividad 1.
c) Al vector resultante, llámalo v·. Escribe a continuación las coordenadas del vector v· = ( ).
d) Efectúa la multiplicación de las matrices Ry y R90 .
R,R,o= (~¡ ~)(~ ~l(= =) e) Multiplica el vector v por la matriz obtenida anteriormente. f) ¿Cómo son las coordenadas del vector v· con relación a las coordenadas del
vector obtenido en el punto anterior? ¿Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ACTIVIDAD 4: GENERALIZACIÓN
a) ¿Cuál es el efecto de la matriz R, =( ~¡ ~) sobre una figura cuando cada uno
de sus puntos es multiplicado por ésta? R. -----------------------------
. (cos0 -sen0) b) ¿Cuál es el efecto de la matriz Ra= con Oº ~ 0 ~ 360º , sobre sen0 cos0
una figura cuando cada uno de sus puntos es multiplicado por ésta? R. ____________________________ _
c) Efectúa la multiplicación de matrices indicada a continuación.
RyRa=(-1 º)(cos0 -sen0)=(- -) O 1 sen0 cos0 -- --d) ¿ Qué efecto produce la matriz resultante sobre una figura cuando se
multiplica cada uno de sus puntos? R. -----------------------------
ACTIVIDADES DE AFIANZAMIENTO
1.Describe el efecto que producen las siguientes formas matriciales
)(-1 ºJ(cos35º -sen35ºJ a O 1 sen 35º cos 35º
R: -----------
e) 2(cos45º -sen45ºJ(l O J sen45º cos45º O -1
R. -----------
d{~ ~J R.
{ 01 I] R.
1 fj
2 2 J3 1
2 2
2. Escribe la representación matricial para cada una de las afirmaciones siguientes a)Reflejar respecto al eje y y rotar 45 grados en sentido positivo.
(= =X= =J b)Reflejar respecto al eje x y rotar un ángulo de 60 grados en sentido positivo
(= =X= =J c) Invertir, luego reflejar respecto al eje y, y finalmente rotar 60 grados en
sentido positivo
-(= =l= =] d)Contraer en un factor de ~ , reflejar respecto al eje x y finalmente rotar 90
5 grados
144
3. A continuación aparece dibujada una figura A y una lista de varias formas matriciales. En el plano cartesiano que aparece enfrente de cada forma matricial dibuja la figura que resultaría luego de aplicar la forma matricial correspondiente a la figura A.
145
-···-·
···-·
A
1*
.. . ..... ... ·····- ----+--+--t---t
a)!(º -1)(-1 º) 2 1 O O 1
b (2 O )(-1 O) ) O -2 O -1
c) _ 3( O 1 y -1 º) -1 oJ_ o 1
CONMUTATIVIDAD
1. Efectúa
a) ReRy = (cose sene
-sene)(-1 º) = (- -) cose O 1 -- --
b) RyRe = (-1 º)(cose -sen e) = (- -) O 1 sene cose -- --
146
¡
, ... ,. ~--···· •········ ........ ¡ .......... ~----
i-------l--------1---"--1•··•····'·· , ......... L. L ... L. +----1-----1-----+ ,
•......... ¡,, ...... ¡ ........ ,,:,,,,, .. t··········f··········
. ; ; >-----1---+----+--+---"----+--4 ---··--~~- : : ..... t---- -······
f--+--+-----1----J--'···· ., ...... , ....... ,.. ····· ,.... .. ... , ...... [ .......... _ .... .
j : _, -- --·--· 1- ---- - -- ------ i ---+--+----1---+-I
1 1
I--J..------1----l---.l-....e ...•. 1---·-----, ~---- .•... ,.,. , .•.•
>------<---+-___,___.--'-··· .... , ...... _ ··-···-- ···-··· .. ··--
.......... 1--..--.......... ····-· .................. ; ...... ,.,,¡.,, •.............. 1 .........• ¡ ..... + ........ ¡ ........... , ....... ¡.
····························· .. ,. .... j
i-------l--------1--.J.___J'------'---·-- ··-- - ---- -+-----'-; -+---+----1
1-------l-----l---l---~ . ......... ... ····· ········.··• ····,.··········· t····I :· i-------l--------1--J..-J.___¡_----' ........ '-----·L.... - ... , .......
;
c) ¿ Son iguales los resultados obtenidos en a) y b)? ¿Qué puedes concluir? R. ----------------------------
2. Efectúa
a) Re Rx = (cose -sene)(l º) = (- -) sene cose O -1 -- --
b) RxRe = (1 O J(cos0 -sen0J = (- -J O -1 sen0 cos0 -- --
c) ¿ Son iguales los resultados obtenidos en a) y b)? ¿Qué puedes concluir? R.
147
-----------------------------
148
HOMOTECIA Y REFLEXIÓN
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de: a) Reconocer el efecto que produce el producto de una matriz de homotecia por
una matriz de reflexión. b) Demostrar que la combinación de estos movimientos es conmutativo.
INTRODUCCIÓN
En la guía anterior combinaste los movimientos de homotecia y rotación. A esa combinación la representaste por medio de un producto de matrices: una de homotecia y otra de rotación. Además te diste cuenta que no importa el orden en el que se realicen dichos movimientos el efecto será el mismo. Es decir, el producto de tales matrices es conmutativo. Ahora realizarás la combinación de una homotecia y una reflexión y asociarás a dicha combinación un producto de matrices: una de homotecia y una de reflexión. Además te darás cuenta que la multiplicación de tales matrices satisface la propiedad conmutativa. es decir, que el efecto de los dos movimientos sobre una figura es el mismo no importa el orden en el que se lleve a cabo.
ACTIVIDAD 1: MATRIZ DE HOMOTECIA
}v !
~-·--·.~--- '·N-
-+---t-----l-----
1. Sean H=(~ ~J a)Describe el efecto que produce la aplicación de la matriz H sobre el vector v . R: -----------------------------
b)Dibuja en el mismo plano cartesiano con color verde el vector que resulta de aplicar la matriz H sobre el vector v.
149
c) Denota al vector resultante por v· y escribe las coordenadas en los espacios. v'=( __ , )
d) A continuación efectuarás la multiplicación de la matriz H por el vector v . Es decir realizarás la operación
Hv= (~ a~)= e. Compara las coordenadas del vector v· con las del vector obtenido en el punto anterior. ¿Cómo son estas coordenadas? ¿Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ACTIVIDAD 2 : MATRIZ DE REFLEXIÓN
Sea R,{01
~)
a)Describe el efecto que produce la aplicación de la matriz Ry sobre el vector v R. -----------------------------
b)Dibuja en el mismo plano cartesiano con un color rojo el vector que resulta de aplicar la matriz Ry sobre el vector v. c)Denota el vector resultante por v" y escribe las coordenadas sobre los espacios siguientes
v" = ( __ , ) d)A continuación efectúa la multiplicación de la matriz Ry por el vector v.
(~¡ a~J= e) Compara las coordenadas del vector v" con las coordenadas del vector obtenido anteriormente. ¿Cómo son estas coordenadas?¿ Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ACTIVIDAD 3: PRODUCTO DE MATRIZ DE HOMOTECIA POR UNA MATRIZ DE REFLEXIÓN.
a) Describe el efecto que se produce en el vector v, cuando se aplica de manera consecutiva las matrices H y Ry
R. -----------------------------
150
b) Dibuja el vector obtenido por el proceso descrito en el punto anterior, en el plano cartesiano que aparece en la actividad 1.
c) Al vector resultante, llámalo v •. Escribe a continuación las coordenadas del vector v· = ( ).
d) Efectúa la multiplicación de las matrices H y Ry.
HR,=(~ a~¡ ~)=(= =) e) Multiplica el vector v por la matriz obtenida anteriormente. f) ¿Cómo son las coordenadas del vector v· con relación a las coordenadas del
vector obtenido en el punto anterior? ¿Qué puedes concluir? R. -----------------------------
ACTIVIDAD 4 : GENERALIZACIÓN
a) ¿Cuál es el efecto de la matriz HK =(~ ~) sobre una figura cuando cada uno
de sus puntos es multiplicado por ésta? R. ____________________________ _
b) ¿Cuál es el efecto de la matriz R,=( ~¡ ~), sobre una figura cuando cada uno
de sus puntos es multiplicado por ésta? R. -----------------------------
c) Efectúa la multiplicación de matrices indicada a continuación.
H,R,=(~ a~¡ ~)=(= =)-k(= =) d) ¿ Qué efecto produce la matriz resultante sobre una figura cuando se
multiplica cada uno de sus puntos? R. ____________________________ _
ACTIVIDADES DE AFIANZAMIENTO
1. Describe el efecto que producen las siguientes formas matriciales
a>(~ ~J-01 ~) b>(~l ~t} _ºJ R: R.
c)-2(1 3 O ~1) (-] d)-3 O ~)
R. R.
e) 2(~ ~1) {} _ºJ~ ~1) R. R.
2. Escribe la representación matricial para cada una de las afirmaciones siguientes a)Ampliar en una escala de 3 y reflejar respecto al eje y.
(= =l= =) b)Contraer a la mitad y reflejar respecto al eje x
(= =X= =J c)Ampliar en una escala de dos unidades, luego invertir y finalmente reflejar respecto al eje x
d)Contraer en un factor de 4
y reflejar respecto al eje y 5
-(==)
151
2. A continuación aparece dibujada una figura A y una lista de varias formas matriciales. En el plano cartesiano que aparece en frente de cada forma matricial dibuja la figura que resultaría luego de aplicar la forma matricial correspondiente a la figura A
a)!(-1 ºJ 2 O 1
b)(2 ºJ(l O J O 2 O -1
c)-3(1 o J O -1
152
A
~ i
' f----+-----+--+-~' ----------+--+----+--+-+-----+----+--4
,__ -- ·- -·- -· ·--~ ····¡--¡ --,--t--+---+--t--+-+--+--+--t--+--+-+--+--i
f--+--+--+-f···· ............. · ...... I·········" ····· ·i-+---+----+--+--+-+--+ 1-·· ····+---t---+-+----i----i
f--+--+---+--+--+--t···· ·····+· ¡ ...... , , ... ,., ........... f--+--+-+---1--- 1----- ...... i···-· ·+--+---+----+--+--1
i--+--+--+--+--+---t· ., , ... ,. ·-····· ........ ...... f--+--+--+-+-+--+--+---+--+-+--+-~
.
........... , ..... , [ ..... , ........ , ... .
·-- .. ,... .. -··+---+--+---+-+----,>---+-- -=I ~ --~ ~ -~- : ~
CONMUTATIVIDAD
1. Efectúa
a) H,R,=(~ a~l ~)=(= =) b) R,H,=(~l ~)(~ ~)=(= =) c) ¿ Son iguales los resultados obtenidos en a) y b)? ¿Qué puedes concluir?
153
R. __________________________ _
2. Efectúa
a) H,R,= (~ a~ ~1)=(= =) b) Rx H, = (~ ~1)(~ ~) =(= =) c) ¿ Son iguales los resultados obtenidos en a) y b)? ¿Qué puedes concluir? R. __________________________ _
COMPOSICIÓN DE LA TRASLACIÓN CON OTROS MOVIMIENTOS
OBJETIVO:
154
Al terminar el desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de reconocer que la combinación de la traslación con cada uno de los movimientos vistos anteriormente (rotación, homotecia y reflexión) no es conmutativa.
INTRODUCCIÓN
A través de unos ejemplos muy sencillos podrás darte cuenta que la composIcIon de la traslación con cualquier otro movimiento no es conmutativa. En adelante, -y para los propósitos del trabajo que queremos realizar -, consideraremos la traslación como un movimiento que se aplica posteriormente a la aplicación de cualquier otro movimiento visto anteriormente. Comencemos, pues, con nuestro trabajo. Recuerda que la aplicación de una traslación sobre un punto es equivalente a sumar un vector al punto.
ACTIVIDAD 1: REFLEXIÓN TRASLACIÓN
/ V
1. Aplica la matriz R, = ( ~ 1 ~ J al vector v. Llama al vector resultante v· y
dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece anteriormente. 2.Aplica la traslación T(.3,2, al vector v·. Llama al vector resultante v" y dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece al inicio de esta actividad. Píntalo de color rojo.
Ahora invertiremos el orden en el que se aplican las transformaciones.
3.Aplica la traslación T (-3,2, al vector v. Llama al vector resultante v·. Dibújalo en el plano cartesiano.
155
4. Aplica la matriz R, = ( ~l ~) al vector v·. Llama al vector resultante v·· y
dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece en esta actividad. Píntalo de color rojo. 5. ¿ Son iguales los vectores obtenidos en los numerales 2 y 4 ? ¿ Es conmutativa la composición de una traslación y una reflexión? R. ____________________________ _
ACTIVIDAD 2: ROTACIÓN Y TRASLACIÓN
1 / V
1. Aplica la matriz R90 = ( ~ -0
1) al vector v. Llama al vector resultante v· y
dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece anteriormente. 2. Aplica la traslación T<.3,2> al vector v·. Llama al vector resultante v" y dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece al inicio de esta actividad. Píntalo de color rojo.
Ahora invertiremos el orden en el que se aplican las transformaciones.
3.Aplica la traslación T <-J,2> al vector v. Llama al vector resultante v·. Dibújalo en el plano cartesiano.
4. Aplica la matriz R90 = ( ~ -0
1) al vector v·. Llama al vectorresultante v .. y
dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece en esta actividad. Píntalo de color rojo.
5. ¿ Son iguales los vectores obtenidos en los numerales 2 y 4 ? ¿ Es conmutativa la composición de una rotación y una traslación? R. ____ _,;_, _________________ ___,;_ _____ _
ACTIVIDAD 3: HOMOTECIA TRASLACIÓN
. ...... . . . .... . t----+--t--1--+--+--+---!
1. Aplica la matriz H, = ( ~ ~) al vector v. Llama al vectorresultante v· y
dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece anteriormente.
156
2. Aplica la traslación T(.3,2> al vector v·. Llama al vector resultante v" y dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece al inicio de esta actividad. Píntalo de color rojo.
Ahora invertiremos el orden en el que se aplican las transformaciones.
3.Aplica la traslación T (-3,2) al vector v. Llama al vector resultante v·. Dibújalo en el plano cartesiano.
4. Aplica la matriz H2 = ( ~ ~) a I vector v ·. Llama al vector resultante v·· y
dibújalo sobre el plano cartesiano que aparece en esta actividad. Píntalo de color rojo. 5. ¿ Son iguales los vectores obtenidos en los numerales 2 y 4 ? ¿ Es conmutativa la composición de una homotecia y una traslación ? R. ------------------------------
TRANSFORMACION DE SIMILITUD
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Definir e interpretar una transformación de similitud
b) Hallar la imagen de una figura mediante una transformación de similitud.
c)ldentificar la transformación de similitud que convierte una figura en otra.
157
c) Reconocer las transformaciones de similitud que dan origen a los fractales clásicos vistos con anterioridad: Conjunto de Cantor, Triángulo de Sierpinski, Curva de Koch y Caja Fractal
INTRODUCCIÓN
En este momento sabes que todo movimiento en el plano: rotación, homotecia y reflexión; puede ser representado mediante una matriz. También sabes que la combinación de dos de estos movimientos puede representarse mediante un producto matricial. La pregunta que ahora se pretende responder es: ¿Qué modelo matricial está asociado a un movimiento que contrae (o amplía) una figura, luego la rota (o refleja) y finalmente, la traslada? Por medio del desarrollo de esta guía podrás encontrar la respuesta a este interrogante.
ACTIVIDAD 1
1.Lee con atención el siguiente razonamiento ya que te servirá para responder la pregunta planteada en la introducción y también como base para el desarrollo de las siguientes actividades.
Si una figura se contrae (o dilata), luego se rota o refleja, y finalmente se traslada, se dice que dicha figura ha sido transformada por la acción de una transformación de similitud.
Una transformación de similitud es la composición de tres movimientos: primero, una homotecia; segundo, una rotación o reflexión; y tercero, una traslación.
Puesto que la composición de movimientos puede representarse como el producto de matrices, -cada una de las cuales está asociada a un movimiento-, entonces la similitud se puede expresar como el producto de matrices.
Específicamente, una transformación de similitud se puede ver como el producto T R H donde H es una matriz de homotecia , R es una matriz de rotación o
158
reflexión axial y T es una traslación. Por lo tanto, si T= T¡e,ij, R=(: :J , H =H,=
(~ ~J y X= (;J entonces :T R H1,.,¡ = (T¡e.ij R H, )1,.,i=(: :J (~ ~J(;J
+(;J=(: ~:J(;J + (;J = k(: :J(;J + (;J (1)
Lo anterior significa que si ( xy',J es un punto que resulta de aplicar una
transformación de similitud sobre el punto X= (; J. este debe ser de forma (1 ). Es
decir,
Toda transformación T, que a cada punto X=(; J lo convierte en el punto T(X)=
1(; J =(;:] , mediante el mecanismo descrito anteriormente, se le denomina
transformación de similitud. Más precisamente,
tJ=(;:J = k(: :J(;J + (;J es una transformación de similitud.
Antes de iniciar la actividad 2 recordemos el movimiento del plano que representan algunas matrices:
(01 º1] rotación de O grados.
(
0
1 -01] rotación de 90° respecto al origen en sentido positivo.
( -l O J reflexión respecto al origen. O -1
( 1
o J reflexión respecto al eje X. O -1
(-ol 01] reflexión respecto al eje Y.
159
( O 1] rotación de 270º respecto al origen en sentido positivo.
-1 O
ACTIVIDAD 2
1. Dibuja en el plano cartesiano el vector v=(2,2)
2. Describe el efecto que produce la similitud T sobre el vector v.
1 GJ=H~ ~1J GH~J R. -----------------------------
3. Calcula la imagen de los extremos del vector v mediante la similitud T. Dibuja el vector que éstos determinan sobre el plano cartesiano anterior. ¿coincide este
vector con el que se obtendría siguiendo las instrucciones del numeral 2? R. ____________________________ _
ACTIVIDAD 3
1. Dibuja en el plano cartesiano el triángulo cuyos vértices son A(0,0), 8(-1,0) y C(-1,1).
160
2. Describe el efecto geométrico de la similitud T cuando se aplica sobre el triángulo ABC.
R: -----------------------------
3. Calcula la imagen de los vértices del triángulo ABC obtenidos por la aplicación de la similitud T. Dibuja el triángulo formado por estas imágenes. ¿Coincide este con el triángulo que se obtendría siguiendo las indicaciones del numeral 2?
ACTIVIDAD 3
1. Escribe en forma matricial la similitud T que convierte la figura A en la figura B.
. tJ __
CONJUNTO DE CANTOR 1
e:::::::- - ->
161
e:.
El conjunto de Cantor de la derecha de orden tres se puede descomponer en partes 11 e '2, cada una de las cuales es semejante a l. Hallar las transformaciones T1 y T2 tales que
T1 transforma a I en 11
r,(;) = -(= =X: H=) T 2 transforma a I en '2
r,(:)=-(= =tH=) TRIANGULO DE SIERPINSKI
Observa que el triángulo de Sierpinski de la derecha se puede descomponer en tres triángulos S1, S2 y $3 cada uno de los cuales es semejante a S. Halla las transformaciones T 1, T 2 y T J tal que:
T 1 transforma a S en S1
r,C)=-(= =tH=) T 2 transforma a S en 5 2
r,G)=-(= =tH=)
162
T 3 transforma a S en 53
r,(;)=-(= =tH=) CURVA DE VON KOCH
La curva de Koch de la derecha se puede descomponer en cuatro partes K1,
K2 K3
K
K2, K3 y Kt, cada una de las cuales es semejante a K. Halla las transformaciones T1,T2, T3 y T4, tal que T1 transforma a K en K1
r,(;)=-(= =tH=) T 2 transforma a K en K2
T2G)=-(= =tH=) T 3 transforma a K en K3
r,(;)=-(= =tH=) T 4 transforma a K en Kt
r,G)=-(= =tH=) CAJA FRACTAL
Observa que la caja fractal C se puede descomponer en cuatro partes C1 , C2 ,
163
e
C3 , C4 y C5 cada uno de las cuales es semejante a C. Halla lastransformaciones T1,T2, T3, T4 y Ts tal que: T1 transforma a C en C1
r,(;) = -(= =Je H=J T 2 transforma a C en C2
r,(;J=-(= =JCH=) T 3 transforma a C en C3
r,(;J=-(= =tH=l T 4 transforma a C en C4
r,GJ=-(= =JCH=J T s transforma a C en Cs
r.(;J=-(= =JCH=J
164
CARACOL METÁLICO
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CAPÍTULO V: UN MÉTODO DE CONSTRUCCIÓN DE FRACTALES
La relación que existe entre movimientos en el plano y matrices; así como la equivalencia entre composición de movimientos y multiplicación de matrices permitieron construir la noción de transformación de similitud. Este último concepto será a su vez la base sobre la cual se puede diseñar un proceso para construir fractales.
En este capítulo se aborda un método para construir fractales inventado por el matemático norteamericano Michael Barnsley. Para este proceso es necesario contar con una colección de transformaciones de similitud y una figura cualquiera. Sobre este conjunto se aplica cada una de las transformaciones de similitud que hacen parte de la colección. Las imágenes obtenidas por aplicación de cada una de estas transformaciones de similitud se unen y se forma así una nueva figura. Sobre esta nueva figura se vuelve a aplicar cada una de las transformaciones de similitud, y las imagenes obtenidas se vuelven a unir. Con la nueva figura se repite el procedimiento. Se sigue infinitamente este proceso y lo que se va obteniendo es una figura de estructura fractal.
En el presente capitulo este proceso se ha dividido en tres partes: En la primera, se construyen figuras mediante la unión de imágenes obtenidas por aplicación de las transformaciones de similitud a una cierta figura. Posteriormente se aborda la transformación de Barnsley, la cual asocia a una figura la unión de sus imágenes por al acción de un conjunto de transformaciones de similitud. La tercera y última parte del capitulo, ilustra la iteración de la transformación de Barnsley. Para nuestro caso, solamente se hará una iteración de una, dos o tres veces.
Esta parte es esencial en lo que refiere a la teoría de geometría fractal y por lo tanto, es importante para nuestro propósito: introducir algunos de los conceptos de Geometría Fractal.
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SISTEMA DE TRANSFORMACIONES DE SIMILITUD
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de a) Definir un sistema de transformaciones como una colección finita de transformaciones. b) Dado un sistema de transformaciones y una figura obtener la imagen. c) Dada una figura y su imagen obtener un sistema de transformaciones
INTRODUCCIÓN
Si se tiene un conjunto finito de transformaciones; por ejemplo ST={T1,T2,T3 } donde T1, T2 y T3 son transformaciones similitud y A es un conjunto del plano, entonces es posible aplicar cada transformación a la figura A y obtener imágenes correspondientes T1(A),T2(A) y T3(A). Al unir éstas imágenes se obtiene una nueva figura.
Este es un proceso de construcción muy sencillo, basado fundamentalmente en el conocimiento de una colección finita de transformaciones de similitud y un conjunto del plano cualquiera. Esta colección finita de transformaciones se llama un sistema de transformaciones y se denota ST
A través de la siguiente actividad podrás visualizar este proceso
ACTIVIDAD 1
Sea A la figura que aparece dibujada en el plano cartesiano y ST={ T1, T2, T3 } un sistema de transformaciones de simillitud definidas por:
I A / /
I J
/ L
,_,_ /
.. --V
____ ,_
----
_._, __
Dibuja en el mismo plano cartesiano y pinta de color rojo a) La figura que resulta de aplicar la transformación T1 al conjunto A Llama a esta imagen T 1 (A) b) La figura que resulta de aplicar la transformación T2 al conjunto A. Llama a esta imagen T 2(A) c) La figura que resulta de aplicar la transformación T 3 al conjunto A_ Llama a esta imagen T 3(A)
La figura que se obtiene uniendo la imagenes anteriores,- es decir, la figura pintada de rojo -, se llama la imagen bajo la aplicación del sistema de transformaciones ST ={T1 , T2, T3}
AFIANZAMIENTO
167
Aplica el sistema de transformaciones que se define a la izquierda, sobre la figura que aparece en el plano cartesiano de la derecha. La imagen resultante dibújala sobre el mismo plano y píntala de dolor rojo.
T.(:)=(~ ~)(;)
T2(;)=(~ ~)(;)+(~)
T,(;) = 2(~ ~)(;)+( ~)
Tt)= 2( ~¡ ~tH~) Ti(;) =2( ~¡ ~i)(;)+(~)
/ 1/
----------- ·--- ------+-~+--------+--+----+---<
r,G)= (~ ~!;) T,G)= (~ ~)(;)+(:)
T,G)= (~ ~X;H~) T, (;)= (~ ~tH=:)
r,(;)~(~ ~1)(;) r,(;)~(~1 ~1!;] r,(;)~(~1 ~)G)
r.(;)~ ~(~1 ~tH~) r,(;)~{~1 ~1)(;)+(~)
r,GJ~ H~ ~1tHU
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TRANSFORMACIÓN FUNDAMENTAL DE BARNSLEY
OBJETIVO:
Reconocer y aplicar la transformación de Barnsley
INTRODUCCIÓN
169
En la guía pasada trabajaste con base en una idea según la cual dado un sistema de transformaciones {T1, ... , Tn} y una figura A del plano podrás formar una nueva figura uniendo las imágenes de A bajo la aplicación de cada una de las transformaciones del sistema dado. Es decir, si T 1 (A) es la imagen de A bajo T1; T2(A) es la imagen bajo T2; y en general Tn(A) es la imagen de A bajo Tn,, entonces la nueva figura resultante se puede expresar como
Esa figura resultante puede considerarse como la imagen de A bajo una transformación T.
Esta transformación T queda plenamente definida por el sistema de transformaciones {T1, T2, ... Tn} ya que a cada conjunto le asocia otra figura del plano T(A), que puede ser expresada como la unión de las imagenes de A bajo las transformaciones T1, T2, ... y Tn. Es decir:
Esta transformación es básica para la construcción de fractales y se llamara Transformación fundamental. Por ahora nos familiarizaremos con ésta transformación y en la próxima guía mostraremos como puede ser utilizada para construir fractales.
ACTIVIDAD 1
1. Sea A la figura que aparece representada en el plano cartesiano. En este mismo plano grafica T(A) si T está definida por el sistema de transformaciones {T1 , T2, T3}
T,G) = (~ ~1)(;)
T2(;) = ¾(: ~)(; )+(~)
T,GJ=H~ ~tHU A
2. Sea A la figura que aparece en el plano cartesiano de la derecha. En este mismo plano grafica T(A), si T(A) está determinado por el sistema de transformaciones {T 1, T 2}
T, =2(~ ~)(;)
T2={; ~)(;)
ACTIVIDAD2
170
A continuación aparece un conjunto A y T(A). encontrar el sistema de transformaciones que determinan la transformación T.
171
' / ' 0,)
A
T,G)=-(= =tH=) T,G)=-(= =tH=) T,G)=-(= =tH=)
' ' A
T,(;)=-(= =tH=) T,(;)=-(= =tH=) T,(;)=-(= =tH=) T,(;)=-(= =tH=)
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PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DE BARNSLEY
OBJETIVO:
A través del desarrollo de la presente guía el estudiante estará en capacidad de
a) Explicar el proceso de construcción de Barnsley como la aplicación sucesiva de su transformación fundamental.
b) Aplicar el proceso de construcción de Barnsley para construir estructuras fractales.
INTRODUCCIÓN
En la guía anterior se dijo que un conjunto de transformaciones de similitud contractivas ff1, ... ,Tn} determinaban una cierta transformación T que a cada figura A del plano le asocia otra figura T(A); la cual se obtiene uniendo las imagenes de la figura A bajo las transformaciones T1, ... ,Tn. Es decir,
T(A)=T1(A)UT2(A)U ... Tn(A)
Ahora estamos interesados en averiguar que ocurre cuando la transformación Tes aplicada de manera sucesiva sobre una figura A. Es decir, estaremos muy atentos a la figura que se obtiene cuando se aplica el siguiente proceso:
" A la figura A se le aplica la transformación T. A la figura resultante le llamamos T(A). Sobre ésta nueva figura le aplicamos la transformación T, y llamamos a la figura resultante T2(A). De nuevo, a la figura T2(A), le aplicamos la transformación T, a la figura que resulta llamaremos T3(A). Este procedimiento se sigue infinitamente; a la figura que se va obteniendo al aplicar un gran número de veces la aplicación T se le denomina fractal ya que está constituída por partes que son similares así misma.
Desde el punto de vista práctico este proceso es difícil de hacer cuando el número de veces es infinito; sin embargo, gracias al desarrollo de los computadoras hoy en día existen programas que permiten realizar el proceso un gran numero de veces, brindando la posibilidad de ver el fractal con un buen nivel de exactitud.
En esta guía, realizaremos el proceso unas pocas veces y a partir de lo que se obtiene se realizará una descripción del a posible figura resultante.
ACTIVIDAD 1
1. Sea A la figura que aparece en el plano Cartesiano, y Tuna transformación de Barnsley definida por ff1 ,T2} donde
173
A
o 9
Dibujar en cada plano cartesiano la figura que se te indica.
T(A)
2. Sea A la figura que aparece en el plano cartesiano y T la transformación de Barnsley definida por fT1 ,T2 ,T3} donde
Dibujar la imagen que se te indica en cada plano cartesiano.
8 8 f-----1--+--+---+--+---+--+--+---+---+-··- --
o .O 8
174
8 8
o 8 L_ o 8
T3(A)
ACTIVIDAD2
Indique la transformación de Barnsley que convierte a la figura A en la figura B y el número de veces en que ésta se ha iterado
'""' A t .A
f I . .....
'i .,1 \, r~ A A 1 : a .. o 9 [O 9
A B=-¡í-..}(A)
Número de iteraciones: ------
2. Indique la transformación de Barnsley que convierte la figura A en la figura By el número de veces que ésta se ha iterado.
Número de iteraciones: --
• • • • • • . .. .. . • . •• .. .
• • • • • •
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176
NODULO DE MANDELBROT
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CAPÍTULO VI : APLICACIONES
En este capítulo se describen algunos ejemplos de estructuras fractales presentes en campos como la biología, economía e ingeniería.
En biología se describen estructuras como el cerebro, los pulmones, el sistema circulatorio y el ADN. Las tres primeras son ejemplos de estructuras de gran tamaño, - masa, área y longitud respectivamente-, las cuales ocupan espacios muy limitados debido a su carácter relativamente autosimilar. La última es un ejemplo de cómo una estructura muy sencilla puede dar origen a estructuras complejas.
En economía se describe la variación de los precios de un artículo en la bolsa de valores, como un fenómeno que tiende a repetirse en forma similar bajo distintos cambios de escala de tiempo.
En ingeniería se dan dos ejemplos. En ingeniería civil se describe un tipo de estructura la cual, - debido a su forma fractal -, es muy liviana y capaz de aguantar una gran cantidad de peso. Así mismo, en ingeniería de sistemas se describe un método para almacenar y enviar imágenes, utilizando una información mínima.
Este capítulo es esencialmente informativo. Con éste se busca que el alumno se informe acerca de la presencia de las ideas de la geometría fractal en algunos campos, y que esto sirva para que el alumno le de una mayor importancia al estudio de esta rama de la matemática.
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APLICACIONES
ESTRUCTURAS BIOLÓGICAS
El cerebro
El cerebro es un ejemplo de una estructura fractal presente en la naturaleza. Como se sabe, el cerebro está formado por pliegues y arrugas. Al estudiar el cerebro de manera detallada, se observa que hay nuevas arrugas o pliegues cuya forma es parecida a los pliegues y arrugas más grandes. Es decir, la estructura cerebral tiende a repetirse bajo distintos cambios de escala. Por lo tanto, el cerebro se comporta como una estructura con una propiedad de autosimilaridad.
Por otra parte, una inquietud interesante es saber por qué el cerebro está conformado por muchos pliegues y arrugas que tienden a aparecer nuevamente en la misma estructura cuando se mira a diferentes escalas. La razón de esto es que la cantidad de masa cerebral es bastante grande y requiere acomodarse en una cavidad limitada como el cráneo. La única forma de que esta masa tan grande quepa en un espacio limitado, es comportándose como una estructura fractal.
El sistema circulatorio
Las arterias humanas tienen una estructura fractal. "Los vasos sanguíneos desde la aorta hasta los capilares se ramifican y dividen. Cada división se vuelve a ramificar y dividir. Esto continúa hasta que los conductos se vuelven tan pequeños que las células de la sangre sólo pueden circular, por decirlo así, en fila una después de otra."
El sistema circulatorio debe tener una estructura ramificada por dos razones: por un lado, es necesario que una estructura tan larga, como lo es el sistema circulatorio, quepa en un espacio limitado como es el cuerpo humano. Por otra, se requiere que el sistema circulatorio nutra cada una de las células de los distintos órganos y tejidos, para lo cual es necesario garantizar una irrigación a todas las células.
Los pulmones
Los pulmones tienen una estructura fractal. Se sabe que la capacidad de cualquier ser vivo de absorver oxígeno depende del área de la superficie de los pulmones. Mientras más grande sea esta área mayor será su capacidad de absorver oxígeno. Los pulmones en el ser humano tienen un área promedio de aproximadamente 100 m2 y sin embargo ocupa un pequeño espacio.
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Esto sólo es posible en la medida en que ese órgano tenga una estructura fractal; es decir, que sea una estructura conformada por partes que conservan una forma parecida a la totalidad de la estructura, o que sea una estructura que a pesar de su apariencia compleja pueda ser construido a partir de un proceso simple de construcción, como es la iteración de una instrucción básica.
EIADN
El ADN es una molécula en la que se encuentra la información genética de cada se vivo . En particular , se encuentra la información a partir de la cual se genera cada órgano o sistema biológico de un ser vivo. Si el ADN contuviera todas las especificaciones para construir una red tan compleja como el sistema circulatorio, tendría que tener una forma más compleja; sin embargo, esta molécula tiene una forma muy sencilla, como la de una escalera.
¿ Cómo es posible que una molécula tan sencilla como el ADN sea capaz de formar una red tan compleja como el sistema circulatorio o el sistema nervioso, por ejemplo?
Este problema es aparentemente complicado, pero si se piensa en términos de Geometría Fractal resulta muy fácil dar una explicación al mismo. Recordemos que para construir un fractal se requiere tener unas instrucciones sencillas y aplicarlas reiterativamente. Como cuando se construía el conjunto de Cantor, se daba un segmento y una instrucción básica que se aplicaba de manera iterativa sobre éste.
Desde esta perspectiva es posible pensar que en la formación de un órgano interviene un proceso similar. Esto es, el ADN contiene una información básica para la formación de cada órgano; misma que después se itera para reproducir el órgano o sistema determinado.
BOLSA DE VALORES
Para los inversionistas de la bolsa es importante saber como cambian los precios de las acciones. Si un inversionista sabe en que momento el valor de una acción bajará y en que momento aumentará , entonces tendrá muy claro cuando le conviene comprar y vender esta misma acción.
Para los economistas y financieros no es fácil diseñar un modelo que permita predecir con exactitud el comportamiento de una acción ; esto se debe a que la variación del precio de las acciones está sujeta a causas que no son posibles de determinar con anticipación; pues estas ocurren debido a circunstancias momentáneas e inesperadas. Por ejemplo,. un terremoto, una inundación o un accidente de transporte puede alterar el precio de una acción.
Los modelos matemáticos que se habían creado para conocer el comportamiento de una acción suponían una variación continua del costo de la
180
misma. De esto deducían que era posible encontrar, para cada articulo, una cierta ley que regulaba el precio del articulo en el tiempo. Sin embargo estos modelos no funcionaban bien, tenían algunas inconsistencias.
Benoit Mandelbrot se preocupó por este problema y tomó como base los precios del algodón de los últimos 50 años en Estados Unidos. Él supuso, a diferencia de los demás, que la variación de tales precios no era continua sino discreta. Esto le permitió hacer las gráficas de la variación de los precios de algodón por horas, semanas, meses y años. Lo que encontró era que en todos los casos la variación de los precios seguía una misma tendencia; es decir, tenía el mismo comportamiento.
Realmente lo que Benoit Mandelbrot había descubierto era que el patrón de variación de los precios del algodón era el mismo independientemente de la escala de tiempo en el que se midiera. Es decir, el fenómeno de variación del costo del algodón tenía una propiedad que es invariante respecto a la escala de tiempo. Es decir, en este sentido, es un fenómeno autosimilar.
Otros economistas han seguido una perspectiva similar a la de Mandelbrot para estudiar la variación de otras acciones y han llegado a modelos que permiten predecir con grandes probabilidades de éxitolos valores futuros de las acciones. De hecho existe en Estados Unidos una compañía que se dedica a producir dichos modelos y a venderlos. Estos modelos no tienen una larga duración, pero en el breve tiempo que funcionan son muy precisos.
INGENIERIA
En Ingeniería Civil es cada vez más importante contar con estructuras que sean muy livianas y que a la vez tengan la capacidad soportar grandes pesos. Hoy en día esto se puede lograr mucho mejor por medio del diseño de estructuras con característica de fractales.
El tetraedro de Sierpinski es un ejemplo típico de estas estructuras. Esta habita en el espacio tridimensional y se caracteriza porque en su proceso de evolución su masa se va haciendo mínima; mientras que su red de conexiones se va volviendo más compleja. Esta doble característica la hace una estructura liviana pero con una gran capacidad para resistir pesos muy grandes.
Esta idea ha existido con anterioridad, pero de un modo inconsciente. Con el surgimiento de los fractales se ha hecho una idea evidente. De hecho la torre Eiffel fue construida sobre esta idea. Al observarla es posible darse cuenta de que es una compleja estructura de poca masa pero conformada por una compleja red estructural, que a su vez se compone por pequeñas_ estructuras parecidas al tetraedro de Sierpinski.
De otro lado en arquitectura ya empieza a hablarse del diseño de planes de vivienda urbanos basados en estructuras fractales . Se trata de complejos
181
urbanos inspirados en el concepto de autosimilaridad. Es decir, donde cada unidad residencial tiene la misma forma que todo el complejo urbano; pero a su vez, cada una de las viviendas que conforman cada unidad , tiene la misma forma que toda la unidad.
COMPRESIÓN DE IMAGENES
Con el desarrollo de los sistemas de comunicación, en particular de los sistemas de computo, el almacenamiento y transmisión de imágenes se ha vuelto un tema de actualidad.
Antes de que surgiera la Geometría Fractal, la manera de guardar y enviar una imagen a través del computador era la siguiente: la imagen se partía en un número finito de rectángulos muy pequeños, llamados bytes, cada uno de los cuales contenía la información de un área particular de la imagen. La información contenida en estos pequeños , se enviaba de un lugar a otro. En el sitio destino, la información recibida se reestructuraba de la misma forma, lo cual permitía recomponer la imagen.
Este procedimiento implicaba tres cosas: trasladar un volumen muy grande de información ; ocupar mucho espacio de almacenamiento y emplear bastante tiempo de envío.
A partir de la Geometría Fractal, en particular de la invención del teorema del Collage, se encontró una forma muy sencilla de almacenar y enviar imágenes. Esta forma consiste básicamente en determinar un conjunto de transformaciones afines contractivas en R2 .Con estas transformaciones se puede reconstruir la imagen total . Solo basta aplicar dichas transformaciones a una figura muy simple y unir las imágenes obtenidas por cada transformación. Este proceso se repite sobre la figura inmediatamente anterior un número suficientemente grande de veces. De este modo se reconstruye la imagen a enviar.
Esto es bastante útil ya que permite guardar una gran cantidad de información enviarla y reproducida por medio de un algoritmo muy simple. Este mismo procedimiento se emplea para enviar una imagen de un lugar a otro por medio de un algoritmo muy simple
PARTE 111
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1 CRÓNICA DEL PROCESO
UNA PROPUESTA AL COLEGIO MADRID
A continuación se describe brevemente el proceso por el cual el proyecto llegó al Colegio Madrid.
El proyecto inicialmente se había pensado para ITESM. Sin embargo fue imposible desarrollarlo allí ya que no habían estudiantes disponibles y además existía de por medio toda una serie de actividades programadas por parte de la sección de preparatoria que impedían en ese momento llevar a cabo el proyecto.
Debido a esta circunstancia se propone el proyecto al Colegio Madrid. Por las actividades de la institución, se prolonga paulatinamente la fecha de inicio. En vista de esto me dispongo a presionar un poco, pues es indispensable iniciar lo más pronto posible. Esto trae como consecuencia dificultades en las relaciones con la coordinación del área de matemáticas.
Dichas dificultades conllevan a que por orden de coordinación al profesor titular no pueda entregarme las calificaciones de matemáticas correspondientes a los dos últimos periodos académicos; el argumento que se expone para ello es que dicha solicitud no se hizo desde el mismo momento en el que se propone el proyecto.
En virtud de lo anterior, decido pedirle las calificaciones a los estudiantes mismos, pues esta información es valiosa para hacer un análisis estadístico más completo. Esta propuesta es avalada por la coordinación.
Durante el proceso las relaciones con el profesor fueron muy buenas. Su actitud colaboradora y amable fueron elementos permanentes a lo largo del proceso. Sus sugerencias fueron acertadas y tenidas en cuenta.
El proceso inicia con 17 estudiantes de los cuales asisten 11 de manera más o menos constante durante todo el proceso, pues de estos 11 alumnos sólo 6 asisten a todas las sesiones. Sin embargo, estos 11 alumnos serán tenidos en cuenta para el análisis de datos.
Puesto que en el grupo control hay 29 estudiantes, se requiere descartar varios alumnos de este grupo con el fin de conformar dos grupos homogéneos, uno experimental y otro de control. Estos dos grupos deben tener la misma cantidad de alumnos, y en lo posible, tener igual el promedio de edad, de rendimiento académico y la misma proporción de hombres y mujeres.
En estas condiciones, se empieza y se desarrolla el proyecto en el Madrid. En el próximo apartado se describe lo ocurrido en cada una de las sesiones.
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SESIONES
sesión 1: aplicación del primer cuestionario 27 de enero de 1999
Este día se aplicó la prueba tanto en el grupo de control como en el grupo de experimental. A continuación se relata lo ocurrido en cada uno de los grupos.
Grupo de Control
Los estudiantes tardaron en llegar al salón por lo que la prueba se inició a las 11 :40. Una vez que los estudiantes estuvieron organizados en sus puestos, el profesor titular me indicó que podía hablarle a los estudiantes.
Me presenté y le expliqué a los alumnos que el motivo de mi presencia era realizar una prueba que hace parte de un proyecto de investigación en matemática educativa. La prueba por lo tanto no era objeto de calificación sino que tenía un carácter exclusivamente informativo.
También les comenté que el cuestionario constaba de cuatro preguntas: las dos primeras de selección múltiple; la tercera de completación y la última era una pregunta abierta. También les informe que para resolver el cuestionario no se requería conocimientos especiales sino aquellos ya vistos en cursos anteriores.
Antes de comenzar a resolver el cuestionario les dije a los alumnos que leyeran primero todo el cuestionario y si tenían alguna duda alzaran la mano para formularla. Así lo hicieron,- leyeron primero todo el cuestionario -, las inquietudes sólo fueron surgiendo a medida que iban resolviendo cada una de las preguntas.
Las inquietudes que tuvieron los alumnos en aquella ocasión se comentan a continuación:
En primera estancia un estudiante preguntó si podía utilizar calculadora; lo cual me tomo de sorpresa porque yo no había concebido dicha posibilidad. Sin embargo, no vi ningún inconveniente en que la usaran.
Respecto a la primera pregunta (ver anexo 2), 4 estudiantes aproximadamente plantearon que si se trataba de toda la figura o simplemente de la región pintada de negro. Es decir, no habían entendido que se trataba de un triángulo equilátero partido en cuatro triángulos congruentes al que se le había suprimido el triángulo central.
En la segunda pregunta, solo un estudiante preguntó qué cual era el perímetro que se le estaba pidiendo. Esta inquietud surgió más por desatención que por
185
dificultad de la pregunta misma ya que, cuando otro estudiante le hizo la corrección, se dió cuenta de su error.
En el tercer punto varios estudiantes preguntaron a qué se refería con n- ésima etapa. Se les explicó que era una forma más general de decir por ejemplo, octava etapa; décima etapa; centésima etapa y que, en dicha pregunta se trataba de encontrar el número de segmentos y la longitud de cada segmento correspondiente a esa etapa. Esta inquietud es propia de aquellos estudiantes a los que se les ha dificultado pasar de un nivel de pensamiento aritmético a un nivel de pensamiento algebraico.
En cuanto a la última pregunta, el profesor titular me manifestó en voz baja que era muy factible que los alumnos no conocieran con la formalidad necesaria los conceptos que se le mencionaban en la pregunta (ampliación, reducción y traslación); por lo cual era muy probable que no la respondieran bien. Esto se evidenció cuando los estudiantes llegaron a este punto, pues manifestaron abiertamente que no estaban seguros de haber visto los conceptos. Por sugerencia del profesor titular, les dije que intentaran responder la pregunta con las bases que tuvieran, pero que era necesario escribir que dichos conceptos no se habían visto. A medida que los alumnos terminaban de contestar el cuestionario se les dio permiso de salir del aula. A las 12: 25pm ya todos los estudiantes habían entregado el cuestionario. Le solicite al maestro titular, el favor de facilitarme una copia de las calificaciones de los dos periodos anteriores del curso, quien muy gentilmente accedió a entregármelas en la sesión siguiente.
Grupo Experimental
El plan de trabajo con el grupo experimental tuvo una duración de dos horas. Se había planeado para esta sesión hacer en la primera hora, una charla introductoria y en la segunda hora, se aplicaría el cuestionario: Sin embargo, como resultado de una plática sostenida con el maestro titular antes de la sesión, el orden se alteró. Primero se aplicó el cuestionario y luego se hizo la charla introductoria. El motivo era que algunos estudiantes tenían que irse después de la primer hora.
Tuve cuidado de hacer las mismas observaciones que había hecho en el grupo de control con el fin de aumentar la homogeneidad de las situaciones. Les describí las preguntas, les dije que leyeran cuidadosamente y estuve atento a responder las preguntas que harían los estudiantes a medida que fueran contestando el cuestionario.
En este grupo se hicieron las mismas preguntas que en el grupo de control, excepto que en referente a la segundo punto, no hubo duda alguna.
186
Al igual que en el grupo de control, los estudiantes que terminaban de responder el cuestionario podían salir del aula. La prueba inició a las 12:45 pm y terminó a la 1:30pm.
Después de haber resuelto el cuestionario todos los estudiantes regresaron al salón. Una vez que estaban organizados en sus puestos, se inició la charla introductoria. El contenido de dicha charla aparece en el anexo 1.
En general se trataba de exponer las ideas centrales del contenido del curso que se empezaba a abordar y a la vez presentar los objetivos que se buscaban con éste.
En esencia, mi intención era que esta charla motivara a los estudiantes. Era muy importante que los estudiantes estuvieran animados, para que el trabajo que nos esperaba fuera más placentero y diera resultados más satisfactorios.
Para lograr este fin, les plantee la información a manera de problemas que fuesen por una parte desafiantes y por otra, significativos. Esto resultó gracias al carácter paradójico de los objetos de estudio de la Geometría Fractal; sus novedosos e interesantes conceptos y a la amplitud de sus aplicaciones.
Los estudiantes plantearon preguntas e ideas a lo largo de la charla. Entre las inquietudes que formularon se encuentra: ¿ En que consiste el caos? ¿ Qué herramientas matemáticas existen para dominar el azar? Algunos manifestaron su admiración por el hecho de que las nubes también tuvieran estructura fractal. También realizaron actividades como: interpretar y explicar el problema que plantea el juego del caos; estimar la dimensión fractal de la esponja de Menger; encontrar un patrón del número de segmentos que se generan en cada etapa de construcción de la curva de Koch.
La presentación de algunas ideas generaron admiración y polémica entre los estudiantes. La autosimilaridad, la dimensión fractal y el Caos fueron conceptos que encendieron la discusión que surgió en algunos momentos. Incluso el maestro titular presente en la sesión , hizo aportaciones a los estudiantes retomando algunas ideas del tema que estaban tratando con sus alumnos en el curso de matemáticas.
Personalmente siento que se logró el objetivo.
sesión 2: conjunto de Cantor 3 de febrero de 1999
La sesión inició a las 12:40 pm. Les planteo a los alumnos los objetivos de la sesión. Estos fueron: - Construir el conjunto de Cantor por un método estático y otro dinámico.
187
Reconocer patrones de tipo Geométrico y numérico a través del proceso de evolución del conjunto de Cantor.
Llamé lista, para asegurar que todos los estudiantes a partir de los cuales se iban a tomar los datos hubieran asistido a todas las sesiones. Les indiqué a los alumnos que su asistencia a todas las sesiones era de vital importancia para que el proyecto resultara bien.
Les entregué el material a los estudiantes. Primero la guía que hacía referencia a la construcción del conjunto de Cantor y sus formas alternas por medio del método estático.
Una estudiante leyó la guía de manera completa. Los demás la siguieron en silencio. Al final ningún estudiante tenía duda y comenzaron a trabajar.
Con respecto a la actividad 1 en la parte A los estudiantes en general no tuvieron grandes dificultades para llevar a cabo las instrucciones que constituyen el proceso por el cual se construye el conjunto de Cantor. No obstante, tenían dificultades ya que las hojas cuadriculadas que habían traído variaban, en algunos casos, en cuanto al tamaño de los cuadritos. Esto dificultó que las medidas de las figuras que se habían establecido en la actividad misma, cumplieran la labor de facilitar la construcción. Algún par de alumnos preguntaron si había alguna razón especial para que el segmento midiera 13.5 cm; se le explicó que ninguna razón había en ese sentido, lo único que se buscaba era facilitar la construcción.
También vale la pena decir que los estudiantes tuvieron dificultades cuando iban por la cuarta etapa de construcción del Conjunto de Cantor, sobre todo porque la longitud de los segmentos era muy pequeña.
Igualmente, resulta curioso que cuando los estudiantes se enfrentaron a las preguntas del punto 5 en la parte A, empezaron a buscar razones de tipo cuantitativo en lugar de descripciones cualitativas que, era lo que se les pedía. Sus primeros intentos pretendían encontrar una regularidad de tipo aritmético, por lo que comenzaron a operar aritméticamente.
Para avanzar, les dije que se requería hacer una descripción ya que los patrones numéricos que estaban buscando sería algo que habría que hacer en la próxima actividad.
A medida que los estudiantes terminaban la parte A de la actividad 1 siguieron con la parte B. En esta parte algunos 2 o 3 alumnos no leyeron las instrucciones o la leyeron de mane·ra rápida por lo que no comprendieron con claridad lo que había que hacer y tuvieron dificultades para construir con solvencia el cuadrado de Cantor. Estos alumnos construyeron en cada lado del cuadrado, todo el