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UNA PROPUESTA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA

Dolores C. (2000). El futuro del cálculo infinitesimal. Capítulo V: ICME-8 Sevilla, España. Cantoral R. (coordinador). Grupo Editorial Iberoamérica. México D. F. pp. 155-181.

SINOPSIS En este artículo se exponen los aspectos más importantes del Proyecto de Investigación: Una Propuesta Didáctica para la Enseñanza de la Derivada en el Preuniversitario. Este proyecto se inscribe en la linea marcada por los Doctores E. Wenzelburger y R. Cantoral. El problema que motiva esta investigación radica en que, con los cursos tradicionales de Cálculo Diferencial en el preuniversitario, cantidades significativas de estudiantes no logran comprender sus conceptos básicos, en especial el concepto de derivada. El proyecto tiene como objetivo el de elaborar una Propuesta Didáctica que contribuya a la comprensión del concepto de derivada a través de la formación de ideas variacionales, particularmente a través de la noción de rapidez de la variación. Contiene el Planteamiento del Problema, las Causas, Estado que guarda la Enseñanza de la Derivada, Orientación de la Propuesta. En la parte experimental de este proyecto se pretende realizar un preexperimento, se elige un solo grupo de estudiantes, al principio se explora el estado de sus ideas variacionales, después se pone en práctica la propuesta y al final, se explora la influencia que las ideas variacionales desarrolladas tuvieron en la comprensión del concepto de derivada. ABSTRACT This article puts forward the most important aspects of the project of investigaction: A didactic proposal for teaching the derivative to preuniversity level studentes. This project is within the framework indicated by Doctor E. Wenzelburger and Doctor R. Cantoral. This investigaction is motivated by the fact that in tradictional courses of Diferential Calculus for preuniversity level studentes many do not achieve an understanding of the basic concepts, especially the concept of the derivative. The objective of the project is to elaborate a Didactic Proposal that contributes to the understanding of the concept of the derivative, through the formation of variational ideas, especially through the notion of velocity of the variation. Project contains: the exposition of the problem, the causes, the actual state of the teaching of derivative, general aspects of the proposal, activities and methods of investigation. The intention in the experimental part of this project is to carry out a pedagogical preexperiment in which a single group of the students is chosen in order to explore their understanding of variational ideas, followed by the implementation of the poposal and then a final diagnosis of the influence that developed variational ideas had on the understanding of derivative. 1.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Generalmente, la matemática que se imparte hasta el preuniversitario suele denominarse Matemática Elemental y la que se imparte en las carreras universitarias como Matemática Superior. Esta diferencia obedece a que en la matemática elemental se estudian principalmente los procesos finitos de cuantificación y en la matemática superior se estudian además los procesos infinitos. Se asume que la transición de la primera a la segunda deba lograrse en los dos últimos años del preuniversitario con el estudio del Cálculo Diferencial e Integral. Este, es tema de estudio obligatorio para aquellos estudiantes que pretenden realizar estudios universitarias relacionadas con las ciencias, la ingeniería, la economía o la contabilidad, porque se espera que el

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curso de cálculo del preuniversitario les permitirá apropiarse de sus elementos básicos y prepararlos para sus estudios universitarios. Sin embargo esto no suele suceder así en la mayoría de las escuelas superiores del Estado de Guerrero México, pues de acuerdo a mi experiencia y la de varios colegas, hemos observado que en el primer año de este nivel el curso de cálculo se repite, casi en los mismos términos que como se proyectó en el preuniversitario. Pese a que en la universidad se pretende ampliar y profundizar sobre este tema. Según reportes de varios investigadores son generalizados los resultados que se obtienen después de haber cursado Cálculo Diferencial (CD) en México y en varias partes del mundo. Se logra un dominio razonable de los algoritmos algebraicos para calcular límites y derivadas, existen dificultades significativas en la conceptualización de los procesos subyacentes al límite en la noción de derivada (Sierpinska 1985, Wenzelburger 1993, Artigue 1991, Vinner 1992) y existen dificultades mayores en la resolución de problemas de aplicación del concepto de derivada (Selden J./Mason A./Selden A. 1992). Los investigadores en este campo coinciden en que, cantidades significativas de estudiantes sólo pueden obtener derivadas de funciones algebraicas mediante fórmulas, pero difícilmente comprenden el para qué de esos algoritmos que realizan y el significado de los conceptos. Inclusive, difícilmente logran asociar las ideas claves del cálculo en la resolución de problemas elementales sobre la variación, a pesar de que históricamente del estudio de estos últimos se originaron las ideas claves del CD. 2.- LAS CAUSAS Las causas atribuibles a las deficiencias descritas en el párrafo anterior están relacionadas, fundamentalmente, con la planificación y ejecución del proceso de enseñanza del CD y con los procesos de asimilación, o en un sentido amplio del aprendizaje, de sus conceptos básicos. De entre las primeras causas y en el contexto geográfico regional destacan las siguientes. En un análisis realizado a los programas y textos1 de cálculo utilizados en el Estado de Guerrero (Dolores C. 1993), como parte del diagnóstico sobre el cual se diseñó este proyecto, se encontraron varios programas con escasa sistematización entre los objetivos, los contenidos y los métodos de enseñanza (incluso existen programas que solo consisten de un listado de contenidos). Se percibe en la organización de los contenidos plasmada en los programas una influencia notable de la estructura formal del Análisis Matemático, por lo que predomina en ellos un enfoque abstracto con escasa relación con los fenómenos de la variación física. Las orientaciones metodológicas son prácticamente inexistentes y escasamente aportan elementos 1Este análisis fue realizado a los Programas Oficiales de los cuatro subsistemas de Educación Media Superior existentes en el Estado de Guerrero Méx. (tres de ellos se usan a nivel nacional por indicaciones oficiales ) y a los cuatro textos de CD de uso frecuente en el medio cuyos autores son: Granville W. A., Ayres F. Jr., Santaló M./Carbonell V.y el de Anfossi A./ Flores A.

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para evaluar el rendimiento de los estudiantes. Al parecer esta situación no es exclusiva del Estado de Guerrero sino que es extendible a muchos otros países. Un estudio realizado al currículo de Matemáticas del Nivel Medio a 22 países de Iberoamérica por investigadores del Programa IBERCIMA así lo confirma:

Hemos constatado que la mayoría de los currículos están concebidos de manera restringida. Frente a la concepción amplia del currículo como proyecto que indica de modo coherente qué, cómo y cuándo enseñar y qué, cómo y cuándo evaluar, la mayoría de los currículos analizados consisten en un listado de temas precedidos por objetivos didácticos y completados, en el mejor de los casos, con sugerencias metodológicas muy puntuales. Existe una ausencia casi generalizada de los elementos que configuran un auténtico currículo: Fundamentación, Objetivos Didácticos, Contenidos de Aprendizaje, Orientaciones Didácticas y Procedimientos de Evaluación.

Análisis comparado del Currículo de Matemáticas (Nivel Medio) en Iberoamérica; pp. 162.

Los textos usuales de CD en la región introducen el concepto de derivada siguiendo una línea de corte intramatemático, de manera que lo presentan como un concepto abstracto que parece tener existencia sólo dentro de la misma matemática, si acaso lo relacionan con la realidad es para exponer ejemplos esporádicos muy puntuales que pronto son relegados u omitidos. Los textos sacrifican el desarrollo de ideas y significados de los conceptos básicos del CD imponiendo el predominio del trabajo algorítmico. Como complemento plantean la interpretación geométrica de la derivada, pero ésta es poco revela acerca de su naturaleza ligada a la cuantificación de la rapidez de la variación. En la cuantificación relativa del cambio encuentra su razón de ser el concepto de derivada. Por eso muchos matemáticos suelen caracterizar al calculus (y al Análisis Matemático en general) como la matemática del cambio. Los textos usuales en el medio están muy lejos de reflejar esta característica fundamental del cálculo. Con estos textos difícilmente los estudiantes podrán comprender la esencia del concepto de derivada. Varias causas relativas a los procesos de ejecución de la enseñanza del CD provocan escasa comprensión del concepto de derivada en estudiantes del Estado de Guerrero, México. En entrevistas realizadas por el autor a los profesores del CD del centro de este Estado, afirman que: existe deficiencia generalizada en el nivel de partida de los estudiantes al iniciar los cursos de CD, la mayoría de las veces los programas no son vistos cabalmente en el tiempo destinado para ello, usan excesivamente el método expositivo en la enseñanza, poco se utilizan los métodos participativos, prácticamente no utilizan los medios electrónicos, etc. Por medio de observaciones a sus clases pudimos corroborar que en la práctica, las introducciones a la derivada, frecuentemente priorizan sólo la regla general de derivación, minimizando su significado geométrico y prácticamente reduciendo a cero su relación con la variación física. Por otro lado, varias de las causas que obstaculizan la comprensión (o el aprendizaje en un sentido más amplio) de los conceptos básicos del CD en los estudiantes se han encontrado en

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el terreno epistemológico ligadas principalmente a las dificultades en la asimilación del conocimiento. A este respecto, desde mediados de la década de los 70’s, en la enseñanza de las ciencias mucho se ha escrito sobre las preconcepciones (Gil y De Guzmán 1993), sobre las imágenes conceptuales (Tall y Vinner 1981) y los obstáculos epistemológicos (Sierpinska A. 1985). La mayoría de los investigadores, señalan Gil y De Guzmán 1993, que las preconcepciones se forman en los estudiantes a través de su experiencia cotidiana, incluyendo, tanto sus experiencias físicas como sociales, constituyéndose como un conocimiento precientífico fuertemente arraigado. Se caracterizan básicamente porque: tienen cierta coherencia interna, son comunes a estudiantes de diferentes medios y edades, presentan cierta semejanza con concepciones que estuvieron vigentes a lo largo de la historia del pensamiento y, son persistentes, pues no se modifican mediante la enseñanza habitual, incluso reiterada. Particularmente A. Sierpinska considera que si son producto de ciertas actitudes, creencias y convicciones y además, si estuvieron presentes en varias personas o en toda una cultura en algún periodo de la historia, entonces pueden conducir a obstáculos epistemológicos. Una de las dificultades en la formación del concepto de derivada por la vía geométrica (Cantoral 1983, Dolores C. 1988) es la concepción griega de tangente formada en los estudiantes desde la escuela elemental. Esta concepción puede obstaculizar el paso de una concepción global (propia de la Geometría Euclidiana) a una concepción local (propiedad fundamental del cálculo), puede dificultar la aceptación de que la recta (además de tocar) pueda cortar a la curva y ser tangente en la zona del corte. El carácter estático de su determinación en la Geometría Euclidiana (pues es dada como un lugar geométrico) también puede dificultar el arribo a una concepción dinámica (sucesión de secantes). Más difíciles de franquear son las barreras que se desprenden de las consideraciones de la derivada como un límite, en Orton A. (1977) se han obtenido evidencias de lo difícil que es comprender para los estudiantes de que por medio de una sucesión de secantes se obtenga realmente la tangente. A partir del estudio de los obstáculos epistemológicos, en el plano histórico y con grupos pequeños de estudiantes, en Sierpinska A. (1985) se señala que los estudiantes manifiestan cierta tendencia a evadir los procesos infinitos, son proclives a rechazar el paso al límite como una nueva operación matemática, consideran el límite sólo como una aproximación, presentan serios obstáculos con el manejo de la simbología matemática, consideran que el límite se obtiene simplemente evaluando la función en el punto deseado, etc. Múltiples son las barreras que dificultan la asimilación de los conceptos del CD, sin embargo su persistencia en la mente de los estudiantes también puede ser consecuencia de una inadecuada dirección del proceso de su enseñanza, ésta no puede ignorar tales dificultades sino tomarlas en cuenta a fin de crear las condiciones didácticas que permitan a los estudiantes superarlas. 3.- ESTADO QUE GUARDA LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA

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3.1.- Tendencias En cuanto a contenidos de aprendizaje, tradicionalmente la enseñanza de la matemática ha sido notablemente influida por la forma de como se organiza el contenido matemático en la ciencia matemática. Sin embargo esta estructuración del contenido poco ha contribuido a la comprensión de los conceptos matemáticos en los escolares. Actualmente, señalan Gil y De Guzmán 1993, se sugieren enfoques menos formales en la enseñanza, se sugiere priorizar el desarrollo de procesos del pensamiento propios de la matemática por encima de la mera transferencia de contenidos En la práctica, la enseñanza de la derivada ha dependido principalmente de los textos que utilizan los profesores. Por medio de un análisis de los textos de CD (tanto los utilizados en el Estado como de algunos otros países) y de artículos de investigación especializados, he notado dos tendencias fundamentales en la enseñanza de la derivada. En una de ellas predomina la organización del contenido clásico como se estructura en el Análisis Matemático para finalmente buscarle sus aplicaciones, y en la otra, el contenido se genera a través de la necesidad de resolver problemas prácticos, de modo que los conceptos básicos se forman a partir del problema de la tangentes o de su significado físico. Ambas tendencias suelen manifestarse mediante ciertas variantes que llamo enfoques. En la primer tendencia son visibles el enfoque algebraico, el numérico, el formal, el infinitesimalista y el de la aproximación afín local, en la segunda tendencia se distinguen básicamente los enfoques geométrico y el variacional. El enfoque computacional, no necesariamente se ajusta a alguna de las tendencias anteriores, sino que está más influenciado por el uso de los medios electrónicos en la enseñanza, no obstante merece especial atención pues recientemente está cobrando mucho interés principalmente en los investigadores. 3.1.1.- Enfoques que priorizan la estructura del contenido clásico El enfoque algebraico prioriza el trabajo con los algoritmos, principalmente con la regla general de derivación y los que se utilizan para obtener derivadas mediante fórmulas. La interpretación geométrica de la derivada en este enfoque es relegada a un segundo plano y omite su significado físico. El tratamiento de la derivada bajo este enfoque sigue la secuencia: incrementos, límite del cociente incremental cuando ∆x tiende a cero, regla general de derivación, ejercitación con la regla general y por último la interpretación geométrica. Los textos que han contribuido para que este enfoque se haya difundido y

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arraigado en nuestro medio son (entre otros), el Cálculo Diferencial e Integral de Granville W. A y el de Santaló/Carbonell. Con este enfoque, se ha difundido la creencia en los estudiantes de que la derivada es simplemente una fórmula o una sucesión de algoritmos algebraicos carentes de significado y alejados de la realidad. En el enfoque numérico es característico el uso abundante de sucesiones numéricas, particularmente en el tratamiento del límite de funciones. Esta inclinación hacia las sucesiones presupone una mejor conceptualización del límite, por lo que la introducción de la derivada (siendo límite particular) mediante sucesiones también presupone mayor asequibilidad por parte de los estudiantes. Este enfoque es visible en el texto de Anfossi/Flores Meyer, aunque se notan inclinaciones en el Santaló/Carbonell. En estos textos son usuales las tablas de valores para mostrar el comportamiento del cociente ∆y/∆x a medida que ∆x se hace tender a cero. Aunque las sucesiones y las aproximaciones numéricas están más cercanas a la experiencia de los estudiantes, en este enfoque se persiste aún en darle significado geométrico a la derivada después de haber trabajado con los contenidos clásicos. La relación entre la derivada y la variación física es estudiada hasta en el tema de las aplicaciones. La introducción la Matemática Moderna en la década de los 60’s tuvo una gran influencia en la enseñanza del CD y por tanto en la enseñanza de la derivada en el preuniversitario. Con la matemática moderna predominan en la matemática escolar2 la formalización y el rigor lógico a través del lenguaje conjuntista. Con la matemática moderna el enfoque formal permea los cursos de CD. Los contenidos de estos cursos comprenden, el Conjunto de los Números Reales, el concepto de función como un caso particular de relaciones, la definición del límite en términos de ε y δ, una definición rigurosa de la continuidad por medio del límite. Los estudiantes que cursaron CD guiados por el texto de Granville W. A, pronto arribaron al concepto de derivada con un conocimiento mínimo de elementos precedentes, pero quienes lo cursaron guiándose en textos como el de Ayres F. Jr., el de Taylor/Wade o con el Mazani/Patel/Patil, la derivada llegó hasta después de haber formalizado rigurosamente los conceptos de números real, función, límite y continuidad. Los resultados no se hicieron esperar, pues detrás del formalismo matemático quedaron escondidas las ideas físicas y geométricas que generaron al concepto de derivada. Con este enfoque se exageró en darle a los contenidos del CD una estructura lógica coherente en detrimento de la comprensión de sus conceptos básicos y de su significado. Actualmente el enfoque formal en la enseñanza de la derivada sigue perdiendo adeptos tanto en los investigadores como entre los profesores de CD. 2Se entiende por Matemática Escolar la que se imparte hasta el preuniversitario, es decir hasta el 12o. grado.

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Con el fin de lograr acercamientos al CD más asequibles a los estudiantes a principios de la década de los 60’s con la publicación del libro de Robinson, Análisis no Standard, se rehabilitan los infinitesimales en la Matemática y se incorpora el enfoque infinitesimalista en la enseñanza. Uno de los primeros intentos en Estados Unidos de Norteamérica es plasmado en Keisler H. J. 1976, Hendle & Kleinberg 1979 y en México en Cordero F. 1986. En términos generales, la estructura de los contenidos básicos del cálculo en esta tendencia son organizados mediante una especie de isomorfismo respecto de los contenidos tradicionales. Primero se caracteriza el conjunto de los números Hiperreales (ℜ*), se asume que ℜ (los números reales) es un campo completo y ordenado y ℜ* como una extensión de ℜ que posee la propiedad de campo no arquimediano, los elementos de ℜ* son llamados infinitesimales y se definen como:

Un número a (a∈ ℜ*) es infinitésimo si |a| < r para todo número real r.

por lo tanto un infinitamente grande (infinito) es aquel b∈ℜ* tal que |b| > r para todo número real r. Muchas operaciones sobre límites y derivadas que en el Análisis Standard resultan altamente laboriosas, mediante los infinitesimales se facilitan considerablemente. En virtud de que con este enfoque es posible definir a las curvas monótonas como si estuvieran formadas por segmentos infinitesimales, resultan plausibles las representaciones geométricas de los triángulos característicos de Leibniz, de los cuales se desprende que la derivada es el cociente de los diferenciales dy y dx. Varios profesores e investigadores están en favor de introducir los infinitesimales en la escuela, pues por su simplicidad los conceptos del cálculo parecen ser más asequibles a los estudiantes, inclusive algunos trabajos de investigación reportan alcances significativos con este enfoque. La simplicidad de las ideas infinitesimalistas en la formación de los conceptos a través de los problemas de la variación, pudieran crear las condiciones que contribuyan a la comprensión del concepto de derivada. La derivada como una aproximación afín local es una variante a la sugerida por Levi E. 1960 y es actualmente utilizada en la secundaria francesa (Artigue M. 1991, Howson G. 1991, Antibi et al 1991). En Antibi et al 1991, pp. 139-147, para introducir el concepto de derivada se parte de la idea de coeficiente direccional (pendiente) de la recta para definir la pendiente de la secante, estas definiciones sirven de base para introducir los conceptos de velocidad media y de velocidad instantánea. Hechas estas consideraciones se introduce la idea de tangente como el límite de una sucesión de secantes y con ello se establece la noción de aproximación afín. Esta idea es introducida con el objeto de

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caracterizar a la tangente como la mejor aproximación afín local en una vecindad de a de la curva f. La definición de derivada se presenta en los siguientes términos:

Sea f una función definida en el intervalo I y a∈ I. Decir que el número real l es la derivada de f en a significa que LA PRIMERA o LA SEGUNDA de las condiciones siguientes se cumplen:

1.- La función hf a h f a

h→

+ −( ) ( ) tiene por límite l si h tiende a 0.

2.- Para todo número real h suficientemente próximo a 0, f a h f a lh h h( ) ( ) ( )+ = + + ϕ donde la función ϕ tiene por límite 0 cuando h tiende a 0.

La idea de la recta como mejor aproximación local de una curva es valiosa desde el punto de vista geométrico, sin embargo, no deja explícito el significado de la derivada asociado a la rapidez de la variación.

3.1.2.- Los enfoques que priorizan los significados Un enfoque didáctico inverso a los anteriores es el enfoque geométrico y su principal exponente es el libro de Cruse/Lehman publicado en USA en 1970. En este texto se parte de la necesidad de resolver problemas de optimización en los que los recursos del álgebra resultan insuficientes. En la solución de estos problemas aflora la necesidad de calcular pendientes de tangentes en un punto, después sigue una línea casi histórica de la formación del concepto de derivada a través del problema de las tangentes. Primero lo estudia por medio de los métodos griegos de la antigüedad clásica, luego por el método algebraico de las Raíces Iguales de Descartes, finalmente con el Método de los Límites de Fermat. Con este último de hecho se arriba al concepto de derivada (aunque a estas alturas los autores aún no utilizan este término) creando así un método general para calcular pendientes de tangentes. Con este último método se da solución a los problemas de optimización planteados inicialmente y se dan algunas reglas y fórmulas para predecir pendientes de tangentes. El tratamiento explícito de las variables, funciones, las razones instantáneas de cambio y la continuidad son tratados después. Este texto rompe con las barreras del formalismo matemático prevaleciente en los enfoques descritos antes privilegiando ahora el aspecto utilitario del cálculo y el significado geométrico de la derivada. Una de las ventajas (desde mi punto de vista) de este enfoque radica en que prioriza el significado y la utilidad práctica que la derivada tiene en la resolución de problemas, sin embargo algunas experiencias de los profesores (incluso la nuestra), han mostrado que seguir el desarrollo casi histórico del concepto de la derivada consume mucho

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más tiempo del destinado para el curso de CD. Por otro lado existen evidencias empíricas que muestran la grandes dificultades de los estudiantes en entender que el límite de una familia de secantes es la pendiente de la tangente (Orton 1977, Sierpinska 1985). Además con este acercamiento no queda explícita la conexión entre la tangente geométrica que es un fenómeno estático y la derivada como concepto dinámico que cuantifica la rapidez con que varía una variable respecto de otra en un instante. En México el enfoque variacional ha surgido en el campo de los investigadores y todavía no es de uso masivo entre los profesores. Este enfoque ha sido sugerido por los grupos de trabajo que dirige el Dr. Ricardo Cantoral y por el grupo que dirigía la Dra. Elfride Wenzelburger. En el primer caso se propone remover el discurso matemático escolar desde el fondo, cambiando el papel principal que los cursos de cálculo confieren al concepto de límite y poniendo en su lugar a la variación física. No se sugiere tratar tan exhaustivamente las funciones, sino más bien las cantidades y las magnitudes, en este sentido se expresa:

...en el terreno de la enseñanza, tendemos hacia la reconstrucción de una didáctica del cálculo basada más en las intuiciones y vivencias cotidianas de los sujetos, mediante acercamientos fenomenológicos por lo que se atiende más al fenómeno en su relación con el concepto matemático que al concepto per se.

Cantoral R.; 1991; Proyecto de investigación: formación de la noción de función analítica; Mathesis Vol. 7, núm. 2, pp. 224

Este enfoque considera como núcleo organizador del discurso la idea de predicción para conocer las cantidades por medio de las variaciones y en el plano analítico se le confiere a la Serie de Taylor el papel central, pues se asume que la noción de predicción en los fenómenos de flujo continuo de la naturaleza se ubicó como la base de significación primaria. En algunas experiencias con este enfoque (Campero/Cantoral 1991) se reportan reducciones considerables de los índices de reprobación con estudiantes de licenciatura y un ascenso creciente en el aprovechamiento según los resultados de exámenes parciales de un curso de cálculo. En el segundo caso la propuesta para la enseñanza del CD está plasmada en una publicación reciente de la Dra. Wenzelburger titulada Cálculo Diferencial, una guía para maestros y alumnos dirigida al nivel preuniversitario. En esta propuesta se sugiere presentar las ideas fundamentales en forma significativa con un empleo mínimo del formalismo matemático, se pretende que en el CD se desarrollen métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar cambios, por lo que se asume a la razón de cambio como su concepto fundamental. Al concretar estas ideas, se parte de las razones de cambio

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promedio obtenidas del estudio de fenómenos de la vida diaria y se arriba a la derivada como razón de cambio instantánea por medio de un manejo intuitivo del límite. De estas dos variantes acerca de la enseñanza del CD se pretende nutrir nuestra propuesta. 3.1.3.- El enfoque computacional A partir de la consideración de las dimensiones intuitivas y visuales de la matemática, algunos investigadores utilizan la microcomputadora y la calculadora como herramientas en la enseñanza de los conceptos del cálculo (Tall D. 1991, Balderas 1992, Galindo 1992, Hitt F. y Chávez 1992). De hecho existe una línea de investigación que explota las posibilidades que estos medios brindan en la enseñanza de la matemática, de aquí ha emergido el enfoque computacional en la enseñanza del CD. Los ordenadores han hecho realidad la posibilidad de la visualización dinámica del comportamiento gráfico de las funciones, de observar mediante simulaciones iterativas cómo la sucesión de secantes tiende a la tangente, de visualizar la disminución iterativa de los triángulos característicos en la presentación geométrica de la derivada, de ayudar a la visualización de la rectitud local de las curvas por medio de magnificaciones sucesivas, de observar curvas continuas en todas partes pero derivables en ningún punto, de racionalizar considerablemente el trabajo con los métodos numéricos, etc.. Se ha difundido en el país software para la enseñanza del CD por medio de microcomputadoras, e incluso a nivel experimental se han diseñado programas para calculadoras que logran acercamientos intuitivos al límite y la derivada. Varios investigadores han reportado éxitos importantes en la enseñanza del CD utilizando estos medios, sin embargo este tipo de acercamientos tiene el inconveniente de ser costoso y por tanto tiene pocas posibilidades de convertirse en recurso de uso masivo en nuestro medio. 3.2.- RESULTADOS DE LA ENSEÑANZA DEL CALCULO DIFERENCIAL A NIVEL REGIONAL Más allá de las declaraciones de los programas, de la estructura de los textos, de los métodos y medios de enseñanza utilizados, la eficiencia de la enseñanza se mide por lo que los estudiantes al finalizar el proceso aprendieron. En este sentido es generalizada la aceptación de que existen notables diferencias entre el curriculum planeado, el curriculum deseado, el curriculum logrado y el curriculum útil. Estos términos se utilizan para expresar lo que los estudiantes debieran aprender según los programas oficiales, lo que el profesor desea que sus

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estudiantes mínimamente aprendan sobre la materia, lo que realmente aprenden los estudiantes en los cursos y, de estos conocimientos aprendidos, cuáles les serán de utilidad para seguir sus estudios posteriores o cuáles les ayudaran a comprender y resolver situaciones de la realidad. Para explorar algunas ideas y habilidades (principalmente las relacionadas con la derivada) desarrolladas en los cursos ordinarios de CD, aplicamos un cuestionario exploratorio a 112 estudiantes del centro del Estado de Guerrero, Méx. El cuestionario fue aplicado a mediados del mes de enero de 1995 justo cuando los estudiantes terminaron su curso de CD. Los temas que fueron tratados en los cursos, según los profesores, fueron los clásicos: funciones, límite, continuidad, derivada, reglas y fórmulas de derivación y algunas aplicaciones.

El cuestionario contiene 3 situaciones (ver anexo A) de las cuales se desprenden 10 preguntas de opción múltiple. Estas fueron clasificadas en dos grupos, las del primer grupo (2A, 3A, 3B y 3C) se refieren a las funciones y la noción de velocidad media y las del segundo grupo (1A, 1B, 1C, 2B, 2C, 3D) se refieren al concepto de derivada. A las preguntas del primer grupo, particularmente la 2A y 3A en donde se pide el valor numérico de ciertas funciones a partir de sus gráficos, contestaron correctamente 73 estudiantes a la primer pregunta y 86 a la segunda, a las dos contestaron correctamente 56 (el 50% del total). En la 4B se pregunta cuánto cambia la distancia que recorre un cuerpo entre el 1o. y 2o. seg. si la trayectoria del cuerpo está dada por la función d(t) = 5t2, 64 estudiantes (57.1% ) dan respuesta correcta a esta pregunta. A la pregunta 3C, en la que se pide la velocidad media del cuerpo entre e1 1o. y 2o. segundos, 35 estudiantes (31.2%) le dan respuesta correcta. Del segundo grupo de preguntas, la 1B y 1C exploran las ideas que los estudiantes desarrollaron sobre la derivada como un límite. En la 1B se les preguntó qué sucede con el cociente ∆y/∆x cuando ∆x tiende a cero, sus respuestas fueron las siguientes:

53 (47.3%) contestaron que el cociente se anula. 23 (20.5%) optaron por que el cociente es infinitamente pequeño. 28 (25%) contestan que el cociente tiene por límite un número. 3 (2.6%) se inclinaron por la idea de que el cociente se aproxima a un número. 5 (4.4%) no contestaron la pregunta.

En la pregunta 1C se explora qué debe pasar con ∆x en el cociente ∆y/∆x para obtener la derivada en cualquier punto, a este respecto los estudiantes contestaron de la siguiente manera:

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48 (42.8%) contestaron que se obtiene si ∆x = 0 3. 15 (13.3%) contestan que se obtiene si ∆x≈ 0 4. 9 (8%) contestan que se obtiene si ∆x es un infinitamente pequeño. 35 (31.25%) contestan que ninguna de las opciones da respuesta a la pregunta. 8 (7.1%) no contestaron.

Casi el 28% de los estudiantes encuestados parecen tener ideas correctas acerca de lo que sucede con el cociente ∆y/∆x cuando ∆x tiende a cero, correctas fueron consideradas aquellas respuestas que plantean que tiene por límite un número y que se aproxima a un número, aunque a ésta última ni el 3% de los estudiantes se inclinaron por ella. En cambio cuando se les preguntó lo que debe pasar con ∆x en esa misma expresión para obtener la derivada, un poco más del 21% dan respuestas correctas, de éstos un 8% consideran que ∆x es un infinitamente pequeño y un poco más del 13% parecen considerarlo como aproximado a cero5. De una revisión conjunta nos encontramos que solamente 9 estudiantes (7.8% del total) dieron respuestas correctas a ambas preguntas. Nótese que casi la mitad de los estudiantes encuestados tienen ideas equivocadas, pues se inclinan por la idea de que cuando ∆x tiende a cero el cociente ∆y/∆x se anula o bien que la derivada en cualquier punto se obtiene cuando ∆x = 0. De las tres preguntas que exploran la interpretación geométrica de la derivada, en la primera se pide (dado el gráfico y la fórmula)6 el punto donde la fórmula da la derivada de una función y en las dos siguientes se explora la derivada como pendiente de tangentes. Al preguntar en qué punto la fórmula da la derivada (pregunta 1A), los estudiantes contestaron así:

20 (17.8%) subrayan la opción que indica el punto P. 26 (23.2%) en el punto Q. 53 (47.3%) en los puntos P y Q. 6 (5.3%) en el punto R. 7 (6.25%) no contestaron.

En la pregunta 2B se pide el valor de la derivada en x = 2 dado el gráfico, las respuestas fueron:

11 (9.8%) indican que f’(2) = 4. 3Tres estudiantes subrayaron los incisos a y b. 4Ibídem 5Consideramos como interpretación correcta de la expresión ∆x tiende a cero la opción de que ∆x ≈ 0, sin embargo en términos matemáticos es imprecisa, pues generalmente el símbolo de aproximado se usa para asignar efectivamente valores cercanos a cero pero estáticos, en cambio la frase ∆x tiende a cero tiene un significado preciso en la definición de límite y está muy cercano a la idea de acercamiento continuo a cero pero que no lo excede pues es su límite. 6 Pregunta tomada del artículo Students'Understanding of Diferentiation de Orton A. Publicado en la revista Educational Studies in Mathematics 14, Núm. 3, pp. 235-250, 1983

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10 (8.9%) se inclinan por la opción de que f’(2) = 3. 18 (16.07%) indican que f’(2) = -1. 64 (57.4%) son de la idea que f’(2) = 2. 9 (8%) no contestaron

En la pregunta 2C se pide se pide la derivada en x = 4, los estudiantes contestaron así :

58 (51.7%) indican que f’(4) = 1. 13 (11.6%) se inclinan por la opción de f’(4) = -1. 12 (10.7%) indican que f’(4) = 2. 23 (20.5%) son de la idea que f’(4) = 0. 6 (5.3%) no contestaron

Al parecer, casi la mitad de estudiantes encuestados son de la idea que la fórmula da la derivada en los puntos P y Q y solamente el 17.8% sugieren que en el punto P, esto muestra una escasa comprensión de la derivada como límite a partir del gráfico. Las respuestas a las preguntas 3B y 3C son poco consistentes pues a pesar de que en la primera hay 18 correctas y en la segunda 23, solamente 4 (el 3.5%) estudiantes contestan correctamente las dos preguntas. Estos resultados indican que en una buena parte de los estudiantes existe confusión acerca del punto de la curva en donde la fórmula da la derivada, parecen tener arraigada la idea de que son dos puntos y no uno solo. Es muy notorio que más de la mitad de los estudiantes confunden la derivada de una función en un punto con el valor de la función en ese punto, pues 64 estudiantes (57.1%) contestan que f’(2) = 2 y 58 (el 51.7%) indican que f’(4) = 1. Llama también la atención que sólo un estudiante contestó correctamente las tres preguntas de este bloque. En la pregunta 3D se pide la velocidad del cuerpo en t = 1 seg.7, las repuestas fueron las siguientes:

85 (76%) indican que la velocidad es de 5 m/s 9 (8%) subrayaron la velocidad es de 10 m/s. 10 (9%) subrayaron que la velocidad es 15 m/s 5 (4.5%) sugieren que la velocidad es de 4 m/s. 6 (5%) no contestaron

Las respuestas indican que 100 estudiantes (quienes contestaron que la velocidad es de 5 m/s, 15 m/s y 4 m/s) no logran asociar correctamente la derivada con la velocidad instantánea, pues de ser así la respuesta es inmediata. Estos resultados guardan mucho parecido con los obtenidos en el bloque anterior pues nuevamente la velocidad instantánea es confundida ahora por el 76 % de los estudiantes con el valor de la función en ese punto. 7Como indicación general se sugirió que para contestar el cuestionario los estudiantes deberían aplicar sus conocimientos adquiridos en su recién terminado curso de Cálculo Diferencial.

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De los trabajos expuestos en este epígrafe se puede resumir que, más de la mitad de los estudiantes del preuniversitario de la región parecen no tener dificultad en identificar el valor de ciertas funciones a partir de sus gráficos, aunque la noción de velocidad media parece estar presente en alrededor de la tercera parte. Numerosas deficiencias surgen acerca de las concepciones de la derivada como un límite, pues casi la mitad son de la idea de que, en el cociente ∆y/∆x cuando ∆x tiende a cero, éste último se anula o que ∆x→0 significa que ∆x = 0. Los estudiantes muestran inconsistencias sobre la interpretación geométrica de la derivada, pues a las dos preguntas planteadas en este sentido, solamente le dan respuestas correctas el 3.5%. Alrededor del 60% confunden el valor de la función en un punto con la pendiente de la tangente en ése punto, además, al presentar el dibujo comúnmente utilizado por los profesores para representar a la derivada en un punto, un poco más del 50% de los estudiantes contestan que la derivada se mide en dos puntos y no en uno solo, escasamente el 17.8% contestan correctamente. En los cursos ordinarios la derivada parece no ser relacionada con los fenómenos de la variación, pues escasamente el 8% de los encuestados la lograron asociar correctamente con la velocidad instantánea (sin considerar los aciertos debidos al azar) y un porcentaje muy elevado (el 76%) nuevamente confunde el valor de la función en el punto con el valor de la velocidad instantánea. 4.- ASPECTOS GENERALES DE LA PROPUESTA En el epígrafe anterior se han mostrado evidencias de que la mayoría de estudiantes del preuniversitario del centro del Estado de Guerrero Méx., no tienen formadas ideas correctas sobre la derivada y no la relacionan con los problemas de la variación. Por esta razón nos proponemos como objetivo de la investigación, la elaboración de una Propuesta Didáctica que contribuya a la comprensión del concepto de derivada. Asumiendo que el desarrollo de ideas variacionales, principalmente la noción de rapidez de la variación, puede contribuir al logro de este propósito. La introducción de la derivada a través de la variación se fundamenta en su origen histórico. Sus antecedentes históricos están ligados al problema de las tangentes, problema estudiado por los griegos de la antigüedad clásica (siglo VI-II A. N. E.). Sin embargo con la transición de la Matemática de las Constantes a la Matemática de las Variables (Kolmogorov A., Laurentiev A. y otros 1985) motivada por la necesidad de resolver problemas del movimiento, surge la noción de la rapidez de la variación instantánea como forma germinal del concepto de derivada. En la rapidez de la variación encuentra su esencia el concepto de derivada. La derivada es una razón de cambio como la velocidad, como la aceleración, solo que a diferencia de la velocidad o aceleración medias, la derivada permite determinar cuánto cambia una variable

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respecto de otra en un instante, en un punto. Teniendo a la mano la fórmula de la función que relaciona al distancia respecto del tiempo, se puede cuantificar la velocidad o la aceleración de un cuerpo en un instante asignando variaciones infinitesimales a la variable independiente. Estas son las ideas fundamentales del Calculus de Newton que pretendemos recuperar en la enseñanza. ¿Qué se entiende por comprender un concepto? Varios profesores de cálculo creen que sus alumnos han comprendido el concepto de derivada si reproducen fielmente la definición vista en clase, creen además que con el hecho de escribir la definición en la pizarra y exhibir algunos ejemplos el concepto matemático quedará asimilado. Estas práctica y creencias sólo atienden y estimulan la memorización la cual no garantiza la comprensión. Desde nuestra posición la comprensión implica desarrollo del pensamiento y éste puede ser desarrollado por medio de las habilidades. Por supuesto que es necesario que el estudiante sepa y evoque, por ejemplo, que la derivada es la razón de cambio de una variable respecto de otra en un instante (el saber), aunque son más importantes como lo señala Talízina N. 1993, las acciones que el individuo realice apoyándose en este saber (el poder), de ahí la importancia de las habilidades. La adquisición de conocimientos está estrechamente relacionado con las habilidades, los hábitos y las capacidades, estas son manifestaciones del poder hacer. Aunque el tema de las habilidades, hábitos y capacidades es aún controvertido, en este trabajo se adoptan las establecidas por Brito H. (1988) que siguiendo la línea de A. N. Leontiev señala que la actividad existe necesariamente a través de una serie de acciones y las acciones son procesos subordinados a objetivos y fines conscientes. Bajo estas premisas considera que las habilidades son formas de ejecución de la actividad constituidas por una sistematización de las acciones y como éstas son procesos subordinados a un objetivo o fin consciente, no pueden automatizarse, ya que su regulación es consciente. Las siguientes actividades se consideran como indicativos de la comprensión del concepto de derivada: identificar ejemplos de su medio circundante con el concepto de derivada; conocer y utilizar correctamente la simbología; conocer las propiedades invariantes del concepto; reconocer el concepto en diversos contextos; dar ejemplos y contraejemplos y fundamentar por qué estos pertenecen o no a la extensión del concepto; distinguir entre razones de cambio promedio e instantáneas; calcular razones de cambio instantáneas por medios numéricos y algebraicos; utilizar definiciones equivalentes sobre el concepto; aplicar el concepto en la solución de problemas. En el plano didáctico la propuesta se ajusta a los lineamientos generales de Metodología de la Enseñanza de la Matemática (MEM), metodología difundida en Cuba por los Doctores Werner Jungk, Wolfgang Zillmer y otros, actualmente es desarrollada en ese país por grupos importantes de profesores e investigadores. A fin de descubrir las regularidades que se dan en el proceso de enseñanza-aprendizaje bajo el enfoque sistémico, en Zillmer W. (1981) se caracterizan ciertas situaciones de enseñanza denominadas como situaciones típicas. Estas se

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definen como situaciones reales en la enseñanza de una o varias asignaturas que poseen semejanza entre sí, sobre todo con respecto a determinados parámetros esenciales, especialmente con respecto de los objetivos y a la estructura objetivo-materia, por eso, estas situaciones permiten un proceder semejante en la aplicación de una determinada estrategia de conducción y de procedimientos metodológico-organizativos. En las clases de matemáticas son situaciones típicas, el tratamiento de Conceptos y sus Definiciones, de Teoremas y sus Demostraciones, de Sucesiones de Indicaciones con Carácter Algorítmico y de Ejercicios de Aplicación y Resolución de Problemas. Todo profesor de matemáticas en algún momento de su clase tiene que ver con alguna de éstas situaciones porque son inherentes a su trabajo. Particularmente nuestra propuesta se ajusta a la situación típica Tratamiento de Conceptos y sus Definiciones. La propuesta pretende ser estructurada siguiendo el enfoque variacional, considerando al estudio de la variación como una especie de eje rector del que se desprende el contenido matemático a tratar. No se trata de enseñar a derivada porque es un concepto matemático interesante sino porque resuelve muchos problemas de la variación. Bajo estas consideraciones, el contenido matemático no se ciñe necesariamente a la estructura lógico-formal del Análisis Matemático, más bien se trata de una introducción intuitiva e informal que tiene como punto de partida las necesidades de la práctica. Siguiendo la línea indicada por Wenzelburger E. 1993, tres nociones físicas son las fundamentalmente tratadas: la variación, la rapidez promedio de la variación y la rapidez instantánea de la variación. De aquí que la propuesta está estructurada en tres fases: la fase preparatoria, la fase de formación del concepto y la fase de fijación. En la fase preparatoria se pretenden crear las condiciones mínimas del nivel de partida para acceder al proceso de formación del concepto en cuestión. En esta fase se parte de la modelación de problemas sencillos de la física de donde se abstraen las nociones de variable y función, de éstas se estudian sus propiedades básicas y se resuelven problemas. En la segunda fase la formación del concepto se inicia a través la rapidez de la variación, particularmente de la velocidad y aceleración promedio. Después se arriba a la rapidez instantánea mediante un acercamiento intuitivo al límite y mediante la utilización de los infinitesimales. En la tercera fase se amplía la extensión del concepto a funciones que no necesariamente dependen del tiempo introduciendo la definición de derivada, se introduce la noción de función derivada, se deducen (por medio de los diferenciales) y utilizan las fórmulas y reglas básicas de derivación, pero sobre todo esta etapa se resuelven problemas tendientes a la fijación del concepto. 5.- TAREAS Y METODOS DE INVESTIGACION Como tarea prioritaria en este trabajo se pretende elaborar la Propuesta Didáctica, que incluya Fundamentación, Objetivos Didácticos, Contenidos de Aprendizaje y Orientaciones Didácticas. Como segunda tarea se proyecta la elaboración de notas para las clases en donde se

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concrete la propuesta didáctica y de manera que las notas sean utilizadas por los estudiantes en la fase experimental. En la parte experimental de este proyecto se pretende realizar un preexperimento en su variante de pre-prueba y post-prueba con un solo grupo como lo plantea Hernández R./Fernández C./Baptista P. 1993. Primeramente se elige un solo grupo de estudiantes, al principio se explora mediante pruebas de diagnóstico el estado de sus ideas variacionales, después se pone en práctica la propuesta y al final, se explora mediante cuestionarios la influencia que las ideas variacionales desarrolladas tuvieron en la comprensión del concepto de derivada. Para esto último se pretende realizar un análisis cualitativo de las respuestas a las preguntas de los cuestionarios aplicados.

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ANEXO A. CUESTIONARIO DE DIAGNOSTICO APLICADO A ESTUDIANTES

DEL PREUNIVERSITARIO AL TERMINAR SU CURSO DE CALCULO DIFERENCIAL 1.- El dibujo que aparece a continuación se utiliza para representar la derivada de una función en un punto y se define como:

∆

∆ ∆

∆xlim

f x x f x xx

dydx

y f x→

+ −= =

0

0 0( ) ( )( ) donde

f(x0+∆x) Q f(x0) P R x0 x0 + ∆x

2.- En el siguiente dibujo se muestra el gráfico de cierta función f(x)

f(x)

5

4

3

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 x

3. La distancia que recorren los cuerpos en caída libre sobre la superficie terrestre está dada aproximadamente por la fórmula d(t) = 5t2. Observa la gráfica.

30 25

d(t) 20 en 15

m 10 5

0 1 2 3 Tiempo t en segundos

A) ¿En qué punto del gráfico la fórmula da la derivada de la función: a) en P b)en Q c) en P y Q d) en R B) ¿Cuándo ∆x tiende a 0 qué pasa con el cociente ∆y/∆x? a) Se anula b) Es un número infinitamente pequeño c) Tiene por límite un número d) Se aproxima a un número C) La derivada en cualquier punto se obtiene si en el cociente ∆y/∆x... a) ∆x= 0 b) ∆x≈ 0 c) ∆x es un número infinitamente pequeño d)Ninguno de los anteriores

A) ¿Cuál es la distancia que recorre un cuerpo en el 1er. seg?

a) 1 m b) 5 m c) 4.9 m d) 10 m

B) ¿Cuánto cambia la distancia que recorre el cuerpo entre el 1o. y 2o. segundo?

a) 1 m b) 5 m c) 15 m d) 10 m

C) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo entre el 1o. y 2o. segundo? a) 5 m/s b) 20 m/s c) 15 m/s d) 10.2 m/s

D) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo exactamente en el 1er. segundo? a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s d) 4 m/s

A) ¿Cuál es el valor correcto de f(2)?

a) 4 b) 3 c) -1 d) 2

B) ¿Cuál es el valor de la derivada en x = 2?

a) 4 b) 3 c) -1 d) 2

C) ¿A cuánto equivale la derivada en x = 4 ?

a) 1 b) -1 c) 2 d) 0

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6. BIBLIOGRAFIA 1.- Aleksandrov A./ Kolmogorov A./ Laurentiev M. y otros; La Matemática: su contenido, métodos y significado; Alianza Universidad, Séptima Edición. Madrid España, 1985. 2.- Artigue M.; Análisis; del libro Mathematics and Cognition: A Research Synthesis by the International Group for the Psicology of Mathematics Education, Cambridge University Press, London, pp. 167-198, 1991., 3.- Artigue M.,/ Douady R.,/ Moreno L., Gómez P. (Editor); Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas; Grupo Editorial Iberoamérica, México D. F., 1995. 4.- Ausubel D. P./ Novak, J. D./ Hanesian H.; Psicología educativa. Un punto de vista cognoscitivo; Editorial Trillas, Séptima reimpresión, México D. F., 1995. 5.- Bachelard G.; La formación del Espíritu Científico; Siglo Veintiuno Editores, 15a. Edición en Español, México D. F., 1988 6.- Balderas E.; Aprendizaje de conceptos del cálculo mediante la graficación en computadora; Memorias de la VI Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, Vol. 2, Universidad Autónoma del Estado de Morelos, Cuernavaca Mor., México. D. F., 1992. 7.- Bonilla E., Block D, Waldegg G. y otros; La Investigación Educativa en los Ochentas perspectivas para los noventas. Estados de Conocimiento; Cuaderno 10 del 2o. Congreso Nacional de Investigación Educativa titulado. Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, Editorial del Magisterio. México D. F., 1993. 8.- Boyer C.; A History of Mathematics; John Wiley and Sons, Inc., New York, USA., 1968. 9.- Bravo A. S. / Cantoral R.; Matemática en Contexto: un caso; Memorias de la Séptima Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, Panamá, Panamá, C. A., 1990. 10.- Brito F. H.; Habilidades y hábitos: Consideraciones psicológicas para su manejo pedagógico; Revista Varona, No. 20, pp. 53-60, 1988. 11.- Campero J. / Cantoral R., Acerca del rediseño del Discurso Matemático Escolar. Una experiencia didáctica en el Cálculo de varias Variables con estudiantes de humanidades, Memorias de la Quinta Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, Tegucigalpa, Honduras, 1991. 12.- Campistrous L./Rizo C.; La enseñanza de las matemáticas, reflexiones problémicas; Memorias de la Séptima Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, Universidad de Panamá, Panamá, 1993.

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26.- Dolores, C.; Algunos Obstáculos epistemológicos relativos a la noción de derivada; Memorias de la Tercera Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, San José de Costa Rica, C.A., 1989. 27.- Dolores, C.; Cómo presentan el concepto de derivada los libros de texto del bachillerato y los programas oficiales; Memorias del Quinto Simposio Internacional sobre Investigación en Matemática Educativa. Universidad Autónoma de Yucatán. Mérida, Méx. 1993. 28- Edwards C.; The Historical Development of the Calculus; Springer-Verlag, New York, USA., 1979. 29.- Farfán R. M.; Ingeniería didáctica en precálculo. Acerca de la puesta en escena de los resultados de investigación en el sistema de enseñanza; Memorias de la Octava Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, San José de Costa Rica, pp. 457-462, 1994. 30.- Galindo E.; Conjeturas y pruebas, el uso de las gráficas en la enseñanza de la Matemática; Memorias de la IV Simposio Internacional sobre Investigación en Educación Matemática celebrado en la Universidad Autónoma de Cd. Juárez Chih., Edición de Filloy/Herrera/Hitt, Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV del IPN, México D. F., pp. 1-18, 1993. 31.- Gil / De Guzmán; Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. Tendencias Innovadoras; Ministerio de Educación y Ciencia / Editorial Popular S.A., Madrid España, 1993. 32.- Gravinner J.; Who gave you the epsilon? The origins of Cauchy’s rigurous calculus; MIT, Press, Cambridge, Massachusetts, and London, England, 1981. 33.- Hendle J. M. / Kleinberg E. M.; Infinitesimal calculus; Mit Press, 1979. 34.- Hernández R./ Fernández C./ Baptista P.; Metodología de la investigación; McGraw-Hill; México D. F. 1991 35.- Hessen B.; Las Raíces Socioeconómicas de la Mecánica de Newton; Editorial Academia, La Habana Cuba, 1985. 36.- Howson G.; National Curricula in mathematics; The Mathematical Association, University of Southampton, England, 1991. 37.- IBERCIMA; Análisis comparado del Currículo de Matemáticas (Nivel Medio) en Iberoamérica; Mare Mostrum Ediciones Didácticas S.A., Madrid, España, 1992. 38.- Imaz C., González J., Salcido A.; Calculus: an infinitesimal model for teaching; The UMAP Journal , Vol. V., 1984. 39.- Jungk W.; Conferencias sobre Metodología de la Enseñanza de la Matemática I, Primera Parte; Editorial Pueblo y Educación, La Habana Cuba., 1979.

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