una potencia
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Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.
Exponente Se puede leer:
tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta
3 . 3 . 3 . 3 = 34
Base
El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).
Ejemplos:
2 5 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.
3 2 = 3 • 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.
5 4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.
Una potencia puede representarse en forma general como:
an = a • a • a • ........
Donde: a = base n = exponente “ n” factores iguales
Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.
Potencia de base entera y exponente natural
Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).
Potencia de base entera positiva:
Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.
(+a) n = +a n
Ejemplos:
(+4) 3 = 43 = 4 • 4 • 4 = 64 = + 64 Exponente impar
(+3) 4 = 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 = +81 Exponente par
Potencia de base entera negativa:
Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.
a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.
(_ a) n (par) = +a n
Ejemplos:
(_5) 2 = _5 • _5 = +25 = 25 _ · _ = +
(_2) 8 = _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 = +256 = 256
b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.
(_a) n (impar) = _a n
Ejemplos:
(_2) 3 = _2 • _2 • _2 = _8
(_3) 3 = _3 • _3 • _3 = _27
En resumen:
Base Exponente Potencia
Positiva Par Positiva
Positiva Impar Positiva
Negativa Par Positiva
Negativa Impar Negativa
Multiplicación de potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 01_2005
División de potencias de igual base
Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Multiplicación de potencias de igual exponente
Se multiplican las bases y se conserva el exponente.
Ejemplo:
División de potencias de igual exponente
Se dividen las bases y se conserva el exponente
Ejemplo:
Potencia elevada a potencia
Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
1)
2)
Potencia de base racional y exponente entero:
Sea la base (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Q ), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Z). Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Potencia de exponente negativo:
Si es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,
Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.
Ejemplos:
1)
2)
3)
Potencia de exponente entero positivo
Si a es un n�mero real y n un entero positivo, se define:
El n�mero a se llama base de la potencia, n se llama exponente y an es la potencia en�sima de a .
Observemos que la aplicaci�n sucesiva de la definici�n anterior conduce a:
Potencia de exponente cero
Si a es un n�mero real distinto de cero, se define:
a0 = 1
Observemos que con esta definici�n se puede extender la segunda parte de la definici�n 1 cuando n=1 :
( 1 )
Potencia de exponente entero negativo
Si a es un n�mero real y n un entero positivo, el n�mero a -n designa al n�mero . Es decir:
( 2 )
Propiedades de las potencias
1. Multiplicaci�n de potencias de base igual
2. Divisi�n de potencias de base igual
3. Potencia de una potencia
4. Comparaci�n de potencias de base igual
a) Si 0 a 1 y m n, entonces
b) Si a 1 y m n, entonces .
5. Multiplicaci�n de potencias de exponente igual
6. Divisi�n de potencias de exponente igual
7. Comparaci�n de potencias de exponente igual
Si , entonces .
Ejemplo 1
¿Qué son las potencias?
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos por sí mismo se llama base y, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.
Ejemplo:
a1= aa2= a*a a3= a*a*a
Si tomamos un ejemplo numérico tenemos: 24; el número dos es la base y el cuatro su exponente
Esta operación también podría representarse de la siguiente forma: 2*2*2*2 = 24=16
Potencia de exponente cero "0"
Cualquier número elevado a cero, da como resultado 1. A excepción de que ese número sea el cero.
20= 1
50 = 1
1020 = 1
Potencia de exponente 1
Todo número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo. Es así porque el exponente nos indica el número de veces que multiplicamos el número de la base, y al ser 1, nos está diciendo que ese número sólo debemos considerarlo una vez.
21 = 2
41 = 4
¿Qué son las potencias?
Las potencias están formadas por una base y un exponente. El exponente nos indicará cuántas veces debemos multiplicar la base por sí misma.
Segundo Ciclo Autor: Icarito Última actualización: 08/09/2010 Imprimir
Índice de Temas:
1. Tipos de potencias según su base2. Propiedades de las potencias 3. Multiplicación y división de potencias 4. Decimales: producto de un número natural y una potencia de 10
Tipos de potencias según su base
1) Potencias de base natural y exponente natural
En este caso multiplicaremos la base por sí misma las veces que nos indique el exponente.
2) Potencias cuya base es una fracción y su exponente un número natural
El exponente nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí mismos tanto el numerador como el denominador de la fracción.
3) Potencias de base decimal y exponente natural
Multiplicaremos el decimal por sí mismo cuantas veces nos indique el exponente.
Otra manera de resolver una potencia de base decimal, es transformando el decimal a fracción y luego multiplicando la fracción por sí misma las veces que nos indique el exponente.
4) Potencias de base entera y exponente natural
Para resolver estas potencias multiplicaremos el entero por sí mismo las veces que nos indique el exponente.
En el caso de los enteros positivos, se resolverán de la misma manera en que lo hacemos con los números naturales. Pero, ¿que pasará si el entero es negativo?
Como te habrás dado cuenta, cuando estemos frente a potencias cuya base entera sea negativa, el resultado será positivo si el exponente es par y negativo si el exponente es impar.
5) Potencias de base 10
a) Con exponente natural
Como verás, es muy simple resolver potencias de base 10 y exponente natural. El resultado
siempre será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente. Así si tenemos
, entonces el resultado será un 1 acompañado de 3 ceros, es decir, 1 000.
b) Con exponente entero
Para resolver potencias de base 10 con exponente entero positivo, el procedimiento será el mismo que utilizamos para resolver potencias de base 10 y exponente natural.
Pero, ¿cómo resolvemos aquellas potencias de base 10 y exponente negativo?
Observando la figura, podemos ver que una forma de resolver potencias de base 10 y exponente negativo es transformar la potencia en una fracción donde el numerador siempre es 1 y el denominador será la misma potencia pero con exponente positivo. Luego al dividir la fracción obtenemos el resultado de la potencia.
Una forma más fácil de resolverlas es la siguiente:
- El resultado siempre será un decimal sin enteros- El exponente negativo nos indicará en que posición debemos ubicar el 1 en la parte decimal. Así, el -1, nos indicará que debemos ubicar el 1 en la primera posición, es decir, los décimos; el -2, nos indica que debemos ubicarlo en la segunda posición, es decir, los centésimos, y así sucesivamente- Y por último, todos los espacios que queden vacíos a la izquierda del 1 en la parte decimal debemos rellenarlos con ceros
Veamos el siguiente ejemplo:
Importante:
Todas las potencias con base distinta de 0 cuyo exponente sea 0, su resultado será siempre 1.
1. Concepto de potencia.
Observando el dibujo nos preguntamos: ¿cuántos remeros participan en las regatas? Son 4 remeros en cada una de las 4 traineras, luego en total hay 4 x 4 = 16 remeros. Esto también se puede escribir así: 42 y se lee "cuatro elevado al cuadrado".
Potencias son los productos que tienen todos los factores iguales. Ejemplo: 5 x 5 = 52; 6 x 6 x 6 = 63; 7 x 7 x 7 x 7 = 74.
2.- Elementos de la potencia.
En la potencia 53 distinguimos la base, que es el 5 y el exponente, que es el 3. En este caso 53 = 5 x 5 x 5. La base (5) es el número que se repite en la multiplicación. El exponente (3) es el número de veces que se multiplica.
Cuadrados perfectos.
Las potencias con exponente 2 se llaman cuadrados o cuadrados perfectos. En el dibujo vemos que el cuadrado de 2 ( 22 ) es 4; el cuadrado de 3 ( 32 ) es 9; y el cuadrado de 4 (42) es 16. Puedes comprobarlo contando los cuadros pequeños. Cuando aprendimos las tablas de multiplicar aprendimos que 7 x 7 = 49. Ahora lo podemos expresar en forma de potencia: 72.
Realiza estos ejercicios:
Cuadrados y cubos.
En el dibujo de la izquierda vemos un cuadrado de 2 cm de largo y 2 cm de ancho. En total hay 4 cuadros pequeños de 1 cm de lado. 2 cm x 2 cm = 4 cm2
El dibujo de la derecha representa un cubo que mide 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de alto. En total, ¿cuántos cubitos pequeños hay? Cuéntalos y comprobarás que hay 8 cubitos. 2 x 2 x 2 = 23 = 8.
Potencias de base 10.
En el cuadro superior vemos que las potencias que tienen la base 10, poseen una característica común: en todos los casos el resultado es la unidad (1) seguida de tantos ceros como unidades tiene el exponente.
Potencias de exponente 1 y 0.
La potencia 41 = 4; también 121 = 1. En general, un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número.
La potencia 40 = 1 y 120 = 1. La potencia elevada a exponente 0 es igual a 1.
Multiplicación y división de potencias.
Las potencias de la misma base se pueden multiplicar: 34 x 32 = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3) = 36. 73 x 72 = (7 x 7 x 7) x (7 x 7) = 75. Para multiplicar potencias de la misma base se deja la esta base y se suman los exponentes.
También se pueden dividir las potencias de la misma base: 55 : 52 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5) = 53. 64 : 62 = (6 x 6 x 6 x 6) : (6 x 6) = 62.
Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.