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Una introduccion a

la mecanica cuantica

Luis Rincon

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias UNAM

XXI Semana de las MatematicasUniversidad Autonoma Metropolitana Iztapalapa

1 de marzo de 2013

Luis Rincon Mecanica cuantica

El termino cuantico

El termino cuantico proviene del latın quanta, que significa“que tan grande” o “cuanto”, y se refiere al hecho de que algunascantidades fısicas fundamentales varıan unicamente en cantidadesdiscretas y no de manera continua como uno podrıa inicialmentesuponer. Por ejemplo, la medicion de la energıa de un atomo enreposo arroja cantidades discretas de posibles valores. Otrasvariables o mediciones que presentan esta cualidad se dice queestan cuantizadas.

Ası, la mecanica cuantica se refiere a una teorıa fısica creada paramodelar los fenomenos de la naturaleza a escala microscopica, endonde el fenomeno de cuantizacion se presenta.


Antecedentes

Al final del siglo XIX se demostro a traves de ciertos experimentos,tanto a nivel macroscopico como a nivel molecular, que la fısicaclasica conducıa a predicciones erroneas o por lo menos que nopodıa explicar plenamente. Se encontro que la mecanica deNewton y las teorıa fısicas clasicas no eran adecuadas paradescribir ciertos fenomenos de la naturaleza.

Durante la primera mitad del siglo XX se construyo una nuevateorıa, llamada mecanica cuantica, la cual describe consorprendente exactitud los fenomenos del mundo microscopico.Esta teorıa represento toda una revolucion en el mundo de la fısica,aun continua en desarrollo, sus aplicaciones son numerosas y sususos con cada vez mas cotidianos conforme el avance de latecnologıa requiere de la manipulacion controlada de objetos cadavez mas pequenos.


Experimento de Stern-Gerlach

Un haz de atomos, cuyo momento magnetico es µ, atraviesan uncampo magnetico B dirigido en la direccion z . Los atomos serefractan al atravesar el campo magnetico y llegan a una pantallaS . Si se mide la refraccion sobre esta pantalla se puede encontrarla componente µz del momento magnetico µ de los atomos.

z

x

S

µz

Campomagnetico

B

Atomos conmomentomagnetico µ



De acuerdo a la mecanica clasica todos los valores reales entre−|µ| y |µ| son posibles para µz . De modo que todo un continuo devalores en este intervalo debe observarse para µz . Si embargo estono sucede en los experimentos:

Solo un conjunto finito de valores se observan para µz ,igualmente espaciados entre −|µ| y |µ|.

Para cierto tipo de atomos, solo hay dos posibles valores para µz ,−|µ| y |µ|. Resulta que los electrones poseen momento angular,conocido como spin, y que el momento magnetico del atomo esproporcional a su momento angular. Y para algunos atomos, elmomento angular es igual al spin del electron en la orbita externa.



Experimentalmente se ha encontrado que los valores del momentoangular son:

Sz = +1

2~ (spin arriba),

Sz = −1

2~ (spin abajo),

en donde h = 2π~ es la constante de Planck. De esta forma se diceque el electron es una partıcula spin-12 . Tomaremos este como uncaso particular de interes. Denotaremos a estos dos valores como

|+〉z y |−〉z .


Aparatos de Stern-Gerlach en serie

Sz |−〉z

|+〉z

Sz

|+〉z

Sz |−〉z

|+〉z

Sy

|+〉y

|−〉y

Uno tenderıa a pensar, en el segundo caso, que la mitad de losatomos que ingresan en el segundo aparato tienen componentes

|+〉z y |+〉y , y la otra mitad |+〉z y |−〉y . Esto no es ası.


Aparatos de Stern-Gerlach en serie

Sz |−〉z

|+〉z

Sy |−〉y

|+〉y

Sz |−〉z

|+〉z

Observaciones inesperadas:

1. Las componentes |+〉z y |−〉z aparecen nuevamente del terceraparato!!! Sucede que el segundo aparato filtra el estado |+〉yy al hacerlo destruye la informacion del valor de Sz .

2. Si en el segundo aparato los atomos con valor |−〉y no sonbloqueados, entonces solo el componente |+〉z sale del teceraparato.


Experimento de la doble ranura de Young

¿Es la luz un haz de partıculas o una onda?

1. Newton: son partıculas.

2. Maxwell: son ondas electromagneticas.

3. Einstein: es un haz de partıculas elementales llamadas fotones.

El experimento de la doble ranura de Young establece que paratener una descripcion completa del comportamiento experimentalde la luz se debe aceptar que esta es tanto una haz de partıculascomo una onda.



Se emite un haz de luz y se hace pasar este a traves de dos ranurasiluminando despues una pantalla (placa fotografica).

Si unicamente una de las ranuras se encuentra abierta entonces seobtiene una intensidad sobre la pantalla con valor maximo a laaltura de la ranura y decayendo suavemente hacia los lados. Siambas ranuras se encuentran abiertas se obtienen franjasalternantes de intensidades altas y bajas.



Observaciones:

1. Si la intensidad de la luz se reduce de tal forma que la fuenteemite fotones uno por uno, entonces estos fotones se registranen la pantalla de manera puntual. No se produceninterferencias pero la posicion de estos puntos no son comolos predice la mecanica clasica sino que siguen un patronprobabilıstico dado por las interferencias que disminuyen perono desaparecen. (Comportamiento de partıcula pero no clasicasino probabilıstica).

2. Si el tiempo de exposicion de la placa fotografica aumenta, seregistraran cada vez mas fotones y la franjas de intensidadesaltas y bajas aparecen nuevamente. (Comportamiento deonda).



Observaciones:

3. Ası, los conceptos de onda y partıcula no son mutuamenteexcluyentes sino ambos necesarios y coexisten formando elconcepto de dualidad onda-partıcula.

4. Si se coloca un contador de fotones en cada una de lasranuras de tal forma que se conozca la ranura a traves de lacual paso un foton, las interferencias se destruyen. Esto lleva aabandonar el concepto de trayectoria y a aceptar que no sepuede conocer la evolucion en el tiempo de una partıcula apesar de conocer sus condiciones iniciales y su ley demovimiento.

5. La naturaleza es intrınsecamente probabilıstica.


Preliminares

Una manera rapida de presentar a la mecanica cuantica es a travesde sus postulados matematicos. Estos axiomas podrıan parecer nonaturales pero han resultado corresponder bastante bien con losfenomenos fısicos que se quieren representar.

De manera clasica, el estado de un sistema a un tiempo t0esta determinado por la posicion x(t0) y la velocidad x(t0).


Preliminares

Si tomamos estas posiciones y velocidades como condicionesiniciales, entonces la evolucion de este sistema esta regido por lasleyes de Newton de la mecanica clasica. Estas leyes determinan elestado del sistema en cualquier otro tiempo t:

1. Primera ley (ley de la inercia).

2. Segunda ley (ley de fuerza).

3. Tercera ley (ley de accion y reaccion).

Para la mecanica cuantica se requiere un esquema matematicodiferente:


Espacios de Hilbert

Sea H un espacio vectorial. Un producto interior definido sobreeste espacio es una funcion 〈·, ·〉 : H × H en un campo escalar Ktal que cumple

1. 〈x + y , z〉 = 〈x , z〉+ 〈y , z〉2. 〈αx , y〉 = α〈x , y〉3. 〈x , y〉 = 〈y , x〉4. 〈x , x〉 ≥ 0

5. 〈x , x〉 = 0 ⇔ x = 0

De este producto interior puede definirse una norma en H de lasiguiente forma

‖x‖ =√

〈x , x〉


Espacios de Hilbert

Y tambien puede definirse una metrica sobre H de la siguienteforma

d(x , y) = ‖x − y‖ =√

〈x − y , x − y〉

Un espacio de Hilbert es entonces un espacio vectorial con unproducto interior definido y que es completo bajo la metrica dadapor el producto interior.

En un espacio de Hilbert se tiene el concepto de ortogonalidad: sedice que dos vectores x y y son ortogonales si 〈x , y〉 = 0. Paradenotar el producto interior de dos vectores usaremos tambien lanotacion 〈x |y〉.


Ejemplos de espacios de Hilbert

1. Rn con producto interior el producto Euclideano

〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn.

2. L2[a, b], el espacio de todas las funciones continuas x(t)cuadrado integrables, definidas sobre [a, b] con valorescomplejos. El producto interior es

〈x , y〉 =∫ b

a

x(t)y(t) dt.

3. Cn con producto interior

〈x , y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn

En particular, C2.


Postulado I de la mecanica cuantica

¥ El estado de un sistema cuantico esta dado por un vec-tor unitario |ψ〉 en un espacio de Hilbert H . La evolucionen el tiempo del vector de estado |ψ〉 esta dada por laecuacion de Schrodinger

i~∂

∂t|ψt〉 = H |ψt〉

en donde H es un operador diferencial autoadjunto cono-cido como el Hamiltoniano del sistema, ~ = h/2π con h

la constante de Planck.

El uso del sımbolo |ψt〉 para denotar a un vector se debe a Dirac.La norma al cuadrado de la funcion de onda |ψt〉 se interpretacomo una distribucion de probabilidad.


Qubits: ejemplo de un sistema cuantico

Un qubit o bit cuantico (quantum bit) es un vector de normaunitaria en el espacio de Hilbert C2, es decir, es un vector de laforma

|ψ〉 =(

α

β

)

en donde α, β ∈ C son tales que |α|2 + |β|2 = 1. Se pueden definirlos siguientes vectores, los cuales constituyen una base ortonormalde C2:

|0〉 =

(

1

0

)

|1〉 =

(

0

1

)


Qubits

Un qubit puede escribirse entonces en la forma

|ψ〉 =(

α

β

)

= α|0〉+ β|1〉.

En esta situacion se dice que el vector |ψ〉 se encuentra en unestado de superposicion de los estados base |0〉 y |1〉, los dosestados a un mismo tiempo. Esto contrasta con los valores 0 o 1que un bit clasico puede tomar en cualquier momento.


Representacion estandar de un qubit

Sin perdida de generalidad (haciendo un cambio de fase) unopuede considerar que el coeficiente α es real y positivo (exceptopara el vector base |1〉), y por lo tanto un qubit puede tambienrepresentarse de la siguiente forma

|ψ〉 = cosθ

2|0〉+ e iφ sen

θ

2|1〉 =

(

cos θ2

e iφ sen θ2

)

en donde 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ < 2π. Observe que

a) cuando θ = 0, |ψ〉 = |0〉.b) cuando θ = π, |ψ〉 = e iφ|1〉.

Haciendo variar los angulos θ y φ se obtiene el espacio en el quevive un qubit:


Esfera de Bloch

Un punto sobre la esfera de Bloch tiene coordenadas (x , y , z) endonde con x2 + y2 + z2 = 1. Entonces, dados θ y φ,

x = sin θ cosφ

y = sin θ sinφ

z = cos θ

Recıprocamente, dados x , y y z en R con x2 + y2 + z2 = 1, sepuede demostrar que

|ψ〉 =√

1 + z

2|0〉+ x + iy

√

2(1 + z)|1〉


Esfera de Bloch

x

y

z

cosθ

sin θ

sin θ

sinθ cosφ

sin θ sinφ

φ

θ


Preliminares para el segundo postulado:

operadores lineales

Un operador en un espacio de Hilbert H es un mapeoA : H → H el cual se dice que es lineal si cumple la identidad

A(ax + y) = aAx + Ay .

En el caso de C2, respecto de una cierta base de vectores para esteespacio, un operador lineal A tiene una representacion matricial

A =

(

a b

c d

)

.


Ejemplos de operadores lineales: Proyecciones

Sea |α〉 un vector unitario. La proyeccion Pα = |α〉〈α| es eloperador

Pα|γ〉 = |α〉〈α| (|γ〉) = |α〉〈α|γ〉 = 〈α|γ〉 |α〉.

Observe que Pα efectivamente proyecta cualquier vector en ladireccion del vector |α〉, es decir, se cumple que:

a) Pα|α〉 = |α〉〈α|( |α〉) = |α〉〈α|α〉 = |α〉.

b) Pα|γ〉 = 〈α|γ〉 |α〉 = 0, cuando 〈α|γ〉 = 0.

c) P2α|γ〉 = Pα(〈α|γ〉 |α〉) = 〈α|γ〉Pα|α〉 = 〈α|γ〉 |α〉 = Pα|γ〉.


Operadores de Pauli

Otros ejemplos de operadores lineales, en particular sobre elespacio de Hilbert C2, son los operadores de Pauli:

σ0 =

(

1 00 1

)

, σx =

(

0 11 0

)

, σy =

(

0 −i

i 0

)

, σz =

(

1 00 −1

)

que cumplen las relaciones:

a) σ2x = σ2

y = σ2z = I .

b) σxσy = iσz .

c) σyσz = iσx .

d) σzσx = iσy .


Operador adjunto

Para cualquier operador lineal A sobre un espacio de Hilbert, existeun unico operador lineal A† sobre el mismo espacio, llamado eloperador adjunto de A tal que

〈x |Ay〉 = 〈A†x |y〉.

Este nuevo operador A† es tal que se cumplen las siguientesidentidades:

a) 〈Ax |y〉 = 〈x |A†y〉, es decir, A = (A†)† .

b) (A+ B)† = A† + B† .

c) (AB)† = B†A†


Operador autoadjunto

Un operador A es autoadjunto (o Hermitiano) si A† = A.Propiedades:

1. Un operador autoadjunto tiene todos sus eigenvalores reales.En efecto, si Ax = ax , entonces en particular,

〈x |Ax〉 = 〈A†x |x〉⇒ 〈x |Ax〉 = 〈Ax |x〉⇒ 〈x |ax〉 = 〈ax |x〉⇒ a〈x |x〉 = a〈x |x〉⇒ a = a

Por ejemplo, los operadores de Pauli σx , σy y σz sonautoadjuntos.

2. Los eigenvectores de un operador autoadjunto forman unconjunto ortonormal en el espacio de Hilbert.


Otro tipos de operadores

Operador inverso:Si B es tal que AB = BA = I entonces B = A−1

Operador normal: AA† = A†A

Operador unitario: AA† = A†A = I , es decir, A† = A−1

Por ejemplo, los operadores de Pauli σx , σy y σz son autoadjuntosy unitarios. Una caracterıstica importante de los operadoresunitarios es que preservan el producto interior, es decir,

〈Ax |Ay〉 = 〈x |y〉.

Por lo tanto estos operadores no cambian la norma de un vector.


Postulado II de la mecanica cuantica

¥ A cada observable A del sistema se le asocia un oper-ador autoadjunto definido sobre H . Los unicos posiblesresultados de una medicion de una observable A son suseigenvalores. Si A|x〉 = ax |x〉, entonces la probabilidad deque una medicion de la observable tenga como resultadoel valor ax esta dada por

P(A = ax) = |〈x |ψ〉|2 = |cx |2

en donde |ψ〉 = ∑

x cx |x〉, con |x〉 una base ortonormal deeigenvectores del operador A.


Ejemplo: Operador σz

Por ejemplo, el operador σz es autoadjunto y tiene comoeigenvectores |0〉 y |1〉, en efecto,

σz |0〉 =

(

1 00 −1

)(

1

0

)

= (+1)

(

1

0

)

= (+1) |0〉

σz |1〉 =

(

1 00 −1

)(

0

1

)

= (−1)

(

0

1

)

= (−1) |1〉

Si |ψ〉 = cos θ2 |0〉+ e iφ sen θ

2 |1〉, como resultado de la medicion ysegun el postulado II, uno obtiene el valor +1 o −1 conprobabilidades

|〈0|ψ〉|2 = cos2θ

2= p0,

|〈1|ψ〉|2 = sen2θ

2= p1 .


Postulado III de la mecanica cuantica

¥ Si el estado de un sistema es el vector |ψ〉 y si serealiza una medicion de la observable A, obteniendose elvalor (eigenvalor) a, entonces inmediatamente despues dela medicion, el estado del sistema es

Pa|ψ〉√

〈ψ|Pa|ψ〉

en donde Pa es el operador proyeccion sobre el subespaciocorrespondiente al eigenvalor a.


Ejemplo: un volado cuantico

Considere un qubit en el estado general

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉.

Una aplicacion de la observable σz produce el resultado +1 o −1con probabilidades

|〈0|ψ〉|2 = |α|2,|〈1|ψ〉|2 = |β|2,

y colapsa al qubit a alguno de los estados base |0〉 o |1〉.

Ası, un volado cuantico equilibrado es una aplicacion de σz de unqubit en el estado

|ψ〉 = 1√2(|0〉+ |1〉).


Valores esperados

Si el observable A tiene eigenvectores |x〉 con eigenvalores ax ,como en el segundo postulado, entonces el valor esperado deloperador A es

〈A〉 =∑

x

ax P(A = ax)

=∑

x

ax |〈x |ψ〉|2

=∑

x

ax 〈x |ψ〉∗〈ψ|x〉

=∑

x

ax 〈ψ|x〉〈ψ|x〉

= 〈ψ|∑

x

ax |x〉〈x | |ψ〉

= 〈ψ|A|ψ〉.


Medicion del estado de un qubit

El estado de un qubit puede ser medido si es que se tiene adisposicion un numero grande de qubits preparados identicamente.Usando los operadores de Pauli σx , σy y σz , para un qubit en elestado |ψ〉 = cos θ

2 |0〉+ e iφ sen θ2 |1〉 se tiene los siguientes calculos

(valores esperados)

〈ψ|σx |ψ〉 = 〈ψ|(

0 11 0

)

|ψ〉 = sen θ cosφ = x

〈ψ|σy |ψ〉 = 〈ψ|(

0 −i

i 0

)

|ψ〉 = sen θ senφ = y

〈ψ|σz |ψ〉 = 〈ψ|(

1 00 −1

)

|ψ〉 = cos θ = z



De lo anterior,

p0 − p1 = cos2θ

2− sen2

θ

2= cos θ = z

Por lo tanto, la coordenada z es la diferencia de las probabilidadesde obtener +1 y −1 de una medicion de σz , es decir,

z ≈ N0

N− N1

N

en donde N es el numero de sistemas identicamente preparados enel estado indicado.



La coordenada x se puede obtener de manera similar, aplicandopreviamente una transformacion unitaria. Defina

U1 =1√2

(

1 1−1 1

)

y sea |ψ(1)〉 = U1|ψ〉. Una medicion de este estado a lo largo del ejez (i.e. usando σz), da los resultados +1 o −1 con probabilidades

p(1)0 := |〈0|ψ(1)〉|2

p(1)1 := |〈1|ψ(1)〉|2

Despues de algunos calculos se encuentra que

p(1)0 − p

(1)1 = cosφ sen θ = x



La coordenada y se puede obtener de la misma manera. Se define

U2 =1√2

(

1 −i

−i 1

)

y sea |ψ(2)〉 = U2|ψ〉. Nuevamente una medicion de este estado alo largo del eje z (i.e. usando σz), da los resultados +1 o −1 conprobabilidades

p(2)0 := |〈0|ψ(2)〉|2

p(2)1 := |〈1|ψ(2)〉|2

Despues de algunos calculos se encuentra que

p(2)0 − p

(2)1 = senφ sen θ = y


Bibliografıa

Temas interesantes de estudio:

1. Principio de incertidumbre de Heisenberg.

2. Sistemas compuestos y entrelazamiento.

3. La paradoja EPR y las desigualdades de Bell.

4. Computacion cuantica.

5. Criptografıa.


Bibliografıa

[1] A. Peres.Quantum theory: concepts and methods.Kluwer Academic, 1993.

[2] G. Benenti, G. Casali, G. Strini.Principles of quantum computation and information.Volumenes 1 y 2. World Scientific, 2007.


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