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Carátula de Trabajo

Una interpretación gráfica de los ceros complejos de una función

cuadrática

Título del trabajo

DSDM TEAM

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Matemáticas Área Local Categoría Investigación Experimental Modalidad

8026472 Folio de Inscripción

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Resumen

A la hora de trabajar con funciones cuadráticas, uno de los aspectos primordiales

es aprender a graficarlas utilizando algunos elementos como la concavidad, el

vértice, la ordenada al origen, el eje de simetría y claro está, las raíces o ceros de

la función, pero sabemos que muchas funciones cuadráticas no tienen raíces reales

sino complejas, esto quiere decir que la gráfica no corta al eje de las abscisas, y

entonces surge la pregunta, ¿existe alguna forma de representar estas raíces en el

plano cartesiano?

Esta pregunta nos motivó a desarrollar esta investigación con el objetivo de plantear

alguna interpretación gráfica de los ceros o raíces complejas de una función

cuadrática en el plano cartesiano, a partir del análisis de diferentes funciones

cuadráticas y sus respectivas gráficas usando el software de GeoGebra.

Introducción

Cuando abordamos el tema de función cuadrática, por lo regular nos piden

realizar el bosquejo de la gráfica utilizando algunos datos como la concavidad, el

vértice, la ordenada al origen, el eje de simetría y por supuesto, las raíces o ceros

de la función; sin embargo, cuando la función tiene ceros o raíces complejas se

presenta un problema, la parábola asociada a la función no corta al eje x, por lo que

no es posible utilizar estos puntos para realizar el bosquejo. En este caso solo se

apoya en los otros datos.

En este proyecto, analizamos una gran cantidad de funciones cuadráticas y sus

respectivas gráficas utilizando GeoGebra, para posteriormente plantear una

interpretación gráfica de los ceros o las raíces complejas en el plano cartesiano.

Nuestro planteamiento, es que al igual que los ceros reales tienen un significado en

la gráfica, los ceros o raíces complejas deben tener también una interpretación

gráfica.

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Marco teórico

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella cuya ecuación se puede expresar con un

polinomio de segundo grado, a saber,

!(#) = &#' + )# + * (1)

donde &, ) y * números reales y & ≠ 0. Esta forma de expresar la función cuadrática

se le conoce como general o estándar. Al graficar la función cuadrática en el plano

cartesiano se obtiene una curva llamada parábola.

Otras formas de representar una función cuadrática

Aparte de la forma general, existen otras formas de escribir una función cuadrática

como la factorizada y la canónica u ordinaria. La forma factorizada de una función

cuadrática se expresa en términos de sus raíces o ceros, es decir

!(#) = &(# − #/)(# − #') (1)

donde & es el coeficiente principal, #/ y #' son las raíces o ceros de la función. En

cuanto a la forma canónica u ordinaria, la ecuación se expresa en términos de &, ℎ

y 1,

!(#) = &(# − ℎ)' + 1 (3)

siendo & el coeficiente principal, ℎ y 1 son las coordenadas del vértice de la parábola

asociada a la función.

Usando un poco de álgebra, se puede pasar de una forma a otra. Por ejemplo, para

pasar de la forma general a la canónica, se sigue el método de completar cuadrados

(completar al Trinomio Cuadrado Perfecto). A continuación presentamos una

versión del método de completar cuadrados para pasar de la forma general a la

forma ordinaria o canónica.

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De la forma general a la forma canónica

Para pasar de la forma general a la forma canónica, una función cuadrática,

partimos de la función en su forma general:

!(#) = &#' + )# + * con & ≠ 0

Se factoriza &:

!(#) = & 2#' + 34#5 + *

Se completa el binomio para obtener el Trinomio Cuadrado Perfecto:

!(#) = & 6#' + 34# +

)'

4&' −)'

4&'8 + *

ahora el Trinomio Cuadrado Perfecto se escribe en forma de un binomio al cuadrado

!(#) = & 69# + 3'4:'−)'

4&'8 + *

Se multiplica & con cada término dentro del corchete:

!(#) = & 9# + 3'4:'−&)'

4&' + *

finalmente, cancelando términos queda:

!(#) = & 9# + 3'4:'−)'

4& + *

Si comparamos esta última expresión con la (3), nos damos cuenta que ℎ = − 3'4

y

1 = − 3;

<4+ *. Por lo tanto, si queremos analizar una función cuadrática en su forma

general bastaría con transformarlo a su forma canónica u ordinaria y trabajar esta

última.

Características de la parábola

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Para describir la

parábola se requieren de ciertos elementos como la concavidad, el vértice, la

ordenada al origen, la ecuación del eje de simetría y los ceros o raíces.

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Una de las formas más sencillas para realizar el bosquejo de la gráfica de una

función cuadrática es trabajando en su forma canónica, puesto que:

a) El valor de & nos indica la concavidad (si abre hacia arriba o hacia abajo)

y la abertura (si es más estrecha o más angosta que la gráfica de = = #')

de la parábola.

b) Los valores de ℎ y 1nos indican las coordenadas del vértice de la

parábola.

c) La ecuación # = ℎ, permite trazar el eje de simetría.

d) La ordenada al origen se obtiene, sustituyendo en la función # = 0. Para

saber la ordenada al origen, es más sencillo en su forma general, puesto

que lo indica el término independiente.

e) Las raíces o ceros de la función se obtienen igualando a cero la función y

despejando a #. Naturalmente, la forma factorizada permite saber de una

manera más sencilla las raíces o ceros.

Planteamiento del problema

Al graficar una función cuadrática en el plano cartesiano es bien sabido que

la parábola puede cortar al eje x en uno o en dos puntos, o bien, no cortarlo. Los

puntos donde la gráfica corta al eje x se conocen como los ceros o raíces de la

función, sin embargo, cuando la gráfica no corta al eje x, significa que las raíces son

números complejos. Ahora bien, ¿existe alguna forma de representar estas raíces

en el plano cartesiano? Esta pregunta nos llevó a desarrollar la presente

investigación.

Objetivo

El objetivo que planteamos en este trabajo es que a partir del análisis de diferentes

funciones cuadráticas y sus respectivas gráficas usando el software de GeoGebra,

determinar una posible forma de representar los ceros o raíces complejas de una

función cuadrática en el plano cartesiano.

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Hipótesis

En esta investigación planteamos dos hipótesis:

1) Al igual que los ceros o raíces reales de una función cuadrática indican el

punto de intersección con el eje x, los ceros o raíces complejas también

tienen un significado gráfico.

2) Conociendo las raices complejas de una función cuadrática es posible

construir su gráfica.

Desarrollo

Por su facilidad para graficar, empezamos analizando las propiedades de la

función cuadrática en su forma canónica, planteando las siguientes preguntas:

1) En función de los parámetros &, ℎ y 1, ¿cuándo la parábola asociada a la

función cuadrática tiene ceros o raices complejas?

2) ¿Cómo expresar los ceros o raíces en términos de &, ℎ y 1?

3) ¿Qué diferencia hay entre las raices reales y complejas en término de &, ℎ y

1?

Consideramos que respondiendo las tres preguntas anteriores es posible

determinar una interpretación gráfica de los ceros complejos de una función

cuadrática. Utilizamos el software de GeoGebra para responder la primera pregunta

y para corroborar las respuestas obtenidas en las preguntas 2 y 3, las cuales

respondimos de forma algebraica.

Para responder la primera pregunta, creamos tres deslizadores &, ℎ y 1 en la Vista

Gráfica de GeoGebra y escribimos en la Barra de Entrada la función cuadrática en

su forma canónica

!(#) = &(# − ℎ)' + 1

Los resultados obtenidos y sus respectivos análisis se muestran en los siguientes

apartados.

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Resultados

Al graficar la función cuadrática en su forma canónica en el software de

GeoGebra obtuvimos una parábola que dependía del valor asignado al deslizador

&, ℎ y 1. Por ejemplo, para & = 1, ℎ = 3 y 1 = −4 la parábola tiene vértice en

@(3,−4) y concavidad positiva, es decir, sus ramas abren hacia arriba (ver Figura

1).

Figura 1. La gráfica cuando & = 1, ℎ = 3 y 1 = −4.

Al variar los parámetros &, ℎ y 1, observamos que existen solamente dos casos

cuando la parábola no corta al eje x, a saber,

1) Cuando & y 1 son ambos positivos (ver Figura 2),

Figura 2

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2) Cuando & y 1 son ambos negativos (ver Figura 3).

Figura 3.

Lo que observamos es que ℎ no juega ningún papel para que la parábola corte o no

al eje x.

Ahora con respecto a la segunda pregunta, determinamos las raíces de la función

cuadrática en su forma canónica, para ello hacemos !(#) = 0, por lo que

&(# − ℎ)' + 1 = 0

Resolviendo la ecuación, obtenemos

# = ℎ ± C−1&

O bien que

#/ = ℎ − D−E4 o #' = ℎ + D−E

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Aquí observamos que si & y 1 son ambos positivos o ambos negativos, el radicando

es negativo, por lo que la función cuadrática !(#) = &(# − ℎ)' + 1 tiene dos raíces

complejas

#/ = ℎ − DE4F o #' = ℎ + DE

4F

Ahora bien, esto nos lleva a pensar en la pregunta 3, ¿Qué diferencia hay entre las

raices reales y complejas en términos de &, ℎ y 1?

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Para que las raíces sean reales, debemos cambiar el signo de uno de los dos

parámetros, ya sea & o 1. Esto nos lleva a cuatro posibles casos, sin embargo, aquí

solo analizaremos cuando ambos valores son positivos (cuando ambos son

negativos, el análisis es similar).

a) Caso 1. Cambiamos el signo de 1 y mantenemos & > 0.

Al realizar este cambio de signo, las raíces de la nueva función cuadrática

!/(#) = &(# − ℎ)' − 1, serían

#/ = ℎ − DE4 o #' = ℎ + DE

4

La diferencia entre !(#) = &(# − ℎ)' + 1 y !/(#) = &(# − ℎ)' − 1, es que el

signo de 1 está cambiado. Gráficamente esto significa que la parábola de

!/(#) es igual a la de !(#) pero trasladada verticalmente hacia abajo 21

unidades. La gráfica de !/(#) la denominaremos parábola sombra de !(#).

Veamos un ejemplo para que quede más claro. Sea

!(#) = 2(# − 5)' + 8

la cual tiene por raíces

#/ = 5 − DK'F o #' = 5 + DK

'F

Ahora al cambiar el signo de 1, obtenemos

!/(#) = 2(# − 5)' − 8

y esta nueva función tiene por raíces

#/ = 5 − DK'= 3 o #' = 5 + DK

'= 7

En la Figura 4, podemos observar que la parábola sombra de !(#) está a 16

unidades hacia abajo de la gráfica de !(#); y más aún, las partes imaginarias

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−DK' y DK

' indican que la abscisa del vértice (tanto de ! como !/), se encuentra

a DK' unidades de la primera y la segunda raíz de la parábola sombra.

Figura 4. La parábola sombra de !(#) es la roja.

b) Caso 2. Cambiamos el signo de & y mantenemos 1 > 0.

Al realizar este cambio de signo, las raíces de la nueva función cuadrática

!'(#) = −&(# − ℎ)' + 1, serían

#/ = ℎ − DE4 o #' = ℎ + DE

4

La diferencia entre !(#) = &(# − ℎ)' + 1 y !'(#) = −&(# − ℎ)' + 1, es que el

signo de & está cambiado. Gráficamente esto significa que la parábola de

!'(#) es igual a la de !(#) pero con concavidad negativa. La gráfica de !'(#)

la denominaremos parábola espejo de !(#).

Tomemos el mismo ejemplo que en el caso 1. Sea

!(#) = 2(# − 5)' + 8

la cual tiene por raíces

#/ = 5 − DK'F o #' = 5 + DK

'F

Al cambiar el signo de & y mantener el de 1, obtenemos

!'(#) = −2(# − 5)' + 8

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Esta nueva función tiene por raíces

#/ = 5 − DK'= 3 o #' = 5 + DK

'= 7

En la Figura 5, podemos observar que la parábola espejo de !(#) es la misma

que la de !(#) pero reflejada hacia abajo; y más aún, las partes imaginarias

−DK' y DK

' indican al igual que en el caso 1, que la abscisa del vértice de !'

como de !, se encuentra a DK' unidades de la primera y la segunda raíz de la

parábola espejo.

Figura 5. Parábola espejo de f(x) es la de color negro.

El caso cuando los valores de &y 1 son negativos, el análisis es similar. Se obtiene

tanto la parábola sombra como la parábola espejo (ver Figura 6).

Figura 6. La gráfica roja es la parábola sombra y la negra la parábola espejo de la

función !(#).

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Análisis de resultados

Al graficar la función cuadrática en su forma canónica u ordinaria en

GeoGebra, haciendo variar los parámetros &, ℎ y 1, observamos que es muy sencillo

analizar cuando la función tiene ceros o raíces complejas, basta con ver si & y 1

tienen el mismo signo. A diferencia de cuando la función está expresada en su forma

general o canónica, en ese caso es indispensable obtener el discriminante. Más

aún, podemos establecer la misma analogía con el papel del discriminante,

empleando & y 1, a saber,

a) Si 1 = 0, la parábola de la función cuadrática toca en un solo punto al eje x,

es decir, tiene una raíz real doble.

b) Si & y 1 tienen signos diferentes, la parábola de la función cuadrática corta al

eje x en dos puntos, es decir, tiene dos raices reales diferentes.

c) Si & y 1 tienen signos iguales, la parábola de la función cuadrática no corta

al eje x, por lo que tiene dos raíces complejas conjugadas.

Si la función cuadrática en su forma canónica

!(#) = &(# − ℎ)' + 1, con & ≠ 0

presenta raíces complejas, se puede emplear ya sea su parábola sombra o su

parábola espejo para obtener su gráfica, desplazando verticalmente 21 unidades ya

sea hacia arriba o hacia abajo, o bien, reflejar la parábola espejo hacia arriba o hacia

abajo dependiendo del signo de &.

El papel de las raíces complejas, no se puede observar directamente en la gráfica

de la función; sin embargo, juegan un papel importante en la parábola sombra y en

la parábola espejo, ya que la parte imaginaria nos permite determinar sus ceros o

raíces y conociendo éstas, es posible construir la parábola de la función original.

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Conclusiones

Como hemos observado, al igual que los ceros o las raíces reales de una

función cuadrática, las raíces complejas también tienen una interpretación gráfica,

obviamente no directamente con la gráfica de la función sino con sus parábolas

sombra y espejo, las cuales se pueden emplear para trazar la gráfica de la función

original, solamente desplazando verticalmente o reflejándola con respecto al vértice.

La trascendencia de este trabajo es que da pie a una reflexión más amplia, porque

ahora las preguntas que nos planteamos son ¿se podrá proporcionar alguna

interpretación gráfica de las raíces complejas de las funciones polinomiales de

grado 3 o superior? ¿existirán las gráficas sombra y espejo? Estas y otras preguntas

se pueden plantear, con el objetivo de adquirir y construir nuevos conocimientos en

el campo de la matemática que permita facilitar su aprendizaje.

Bibliografía

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