una curiosa seleccion de txts - una invitación a la lectura

Tres aventuras por el mundo del conocimiento

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Material para el Programa

Apoyo al ltimo ao de la secundaria

para la articulacin con el Nivel Superior

MECyT - SE - SPU

Ministerio de Educacin, Ciencia y Tecnologa

Secretara de Educacin

Secretara de Polticas Universitarias


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2007, Ministerio de Educacin, Ciencia y Tecnologa de la Nacin

Primera edicin: Abril de 2007

Realizacin editorial:Editorial Universitaria de Buenos AiresSociedad de Economa MixtaAv. Rivadavia 1571/73 (1033) Ciudad de Buenos AiresTel.: 4383-8025 / Fax: 4383-2202www.eudeba.com.ar

Foto de tapa: Silvina PiaggioDiseo de tapa: Estudio mtresDiseo de interior: Eudeba

Impreso en la ArgentinaHecho el depsito que establece la ley 11.723.

No se permite la reproduccin total o parcial de este libro, ni su almacenamiento en un sistemainformtico, ni su transmisin en cualquier forma o por cualquier medio, electrnico, mecnico,fotocopias u otros mtodos, sin el permiso previo del Editor.


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PRESIDENCIA DE LA NACIN

Dr. Nstor Kirchner

MINISTERIO DE EDUCACIN, CIENCIA Y TECNOLOGA

Lic. Daniel Filmus

SECRETARA DE EDUCACIN

Lic. Juan Carlos Tedesco

SECRETARA DE POLTICAS UNIVERSITARIAS

Dr. Alberto Dibbern

SUBSECRETARA DE EQUIDAD Y CALIDAD

Lic. Alejandra Birgin

SUBSECRETARA DE PLANEAMIENTO EDUCATIVO

Lic. Osvaldo Devries

SUBSECRETARA DE POLTICAS UNIVERSITARIAS

Lic. Horacio Fazio

DIRECCIN NACIONAL DE GESTIN CURRICULAR

Y FORMACIN DOCENTE

Lic. Laura Pitman

DIRECCIN NACIONAL DE INFORMACIN

Y EVALUACIN DE LA CALIDAD EDUCATIVA

Lic. Marta Kisilevsky

COORDINACIN DE REAS CURRICULARES

Lic. Cecilia Cresta

COORDINACIN DEL PROGRAMA DEAPOYO AL LTIMO AO DEL NIVEL SECUNDARIO

PARA LA ARTICULACIN CON EL NIVEL SUPERIOR

Lic. Vanesa Cristaldi

COORDINACIN DEL PLAN NACIONAL DE LECTURA

Dr. Gustavo Bombini


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MMMMMiradasiradasiradasiradasiradassobrsobrsobrsobrsobre el mundo dee el mundo dee el mundo dee el mundo dee el mundo de

la matemticala matemticala matemticala matemticala matemtica

UUUUUna curiosa seleccin de textosna curiosa seleccin de textosna curiosa seleccin de textosna curiosa seleccin de textosna curiosa seleccin de textos

Miradas sobre el mundo de la Matemtica

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Disear... qu relaciones elegir?

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Disear...Qu relaciones elegir?


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1 Richter, Jean Paul, editor. The Notebooks of Leonardo da Vinci, vol. 1, Dover Publications,1970, New York.

Este famoso dibujo de Leonardo da Vinci apareci en el libro De DivinaProportione, que ilustr para el matemtico Luca Pacioli en 1509. En uno desus cuadernos, Leonardo escribi una exten-sa seccin sobre las proporciones del cuerpohumano. All determin medidas y propor-ciones para todas las partes del cuerpo, inclu-yendo la cabeza, los ojos, las orejas, las ma-nos y los pies, basndose en numerosos estu-dios, observaciones y mediciones. Adems,hizo referencia a los trabajos de Vitruvio, elarquitecto romano (alrededor de 30 a.C.) quetambin se ocup de las proporciones del cuer-po humano. Leonardo escribe sobre la maneraen que Vitruvio ejerci influencia sobre l:

Vitruvio, el arquitecto, dice en sus trabajos sobre arquitectura que las medidas del

cuerpo humano han sido distribuidas por la naturaleza de la siguiente manera: ... Si se

abren las piernas de tal modo de disminuir la propia estatura en un cuarto y se abren y

alzan los brazo hasta que los dedos medios lleguen al nivel de la parte superior de la

cabeza, se sabe que el centro del los miembros extendidos est en el ombligo, y el espacio

entre las piernas ser un tringulo equiltero.

Y luego agrega Leonardo: La longitud de los brazos extendidos de enhombre es igual a su altura.1

Los secretos del hombre

del renacimiento

Theoni Pappas


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Matematizando el cuerpo humano

Theoni Pappas

Presin sangunea: 120/80Colesterol: 180Triglicridos: 189Glucosa: 80Temperatura: 36,7 C.

En la medicina actual, nosotros, los pacientes, nos vemos bombardeadospor nmeros y porcentajes que analizan nuestra salud y la manera en queestn funcionando nuestros cuerpos. Los mdicos han tratado de definir losespectros numricos que son normales. Los nmeros y la matemtica pare-cen estar en todas partes. En realidad, en nuestros cuerpos las redes de nues-tro sistema cardiovascular, los impulsos elctricos que nuestros cuerpos usanpara producir movimientos, las maneras en que se comunican las clulas, eldiseo de nuestros huesos, la misma estructura molecular de los genes... to-dos ellos poseen elementos matemticos. En consecuencia, en un esfuerzodestinado a cuantificar las funciones del cuerpo humano, la ciencia y la medi-cina han recurrido a los nmeros y a otros conceptos de la matemtica. Porejemplo, se han diseado instrumentos para traducir los impulsos elctricosdel cuerpo a curvas sinusoides, haciendo de este modo factible la compara-cin de resultados. Los resultados de un electrocardiograma, unelectromiograma, un ultrasonido, muestran la forma, amplitud y cambio defase de una curva. Todo esto proporciona informacin al tcnico entrenado.Nmeros, porcentajes y grficos son aspectos de la matemtica adaptados anuestros cuerpos. Consideremos ahora otros conceptos matemticos y la for-ma en que se relacionan con el cuerpo.

Si usted cree que el descifrado de cdigos, cifras y jeroglficos mayas es undesafo excitante, imagnese lo excitante que es poder develar los cdigosmoleculares que el cuerpo usa para comunicarse. La ciencia ha descubiertoahora que los glbulos blancos de la sangre estn relacionados con el cerebro.La mente y el cuerpo se comunican por medio de un vocabulario de sustan-cias bioqumicas. El descifrado de estos cdigos intercelulares ejercer unimpacto asombroso sobre la medicina, del mismo modo que nuestra creciente


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comprensin de los cdigos genticos est revelando muchsimas ramifica-ciones dentro del campo de la salud. El descubrimiento de la doble hlice delADN fue otro fenmeno matemtico. Pero la hlice no es la nica espiralpresente en el cuerpo humano. La espiral equiangular se encuentra en muchaszonas de crecimiento... posiblemente porque su forma no cambia a medidaque crece. Bsquela en la estructura de crecimiento de su cabello, en los hue-sos de su cuerpo, en la coclea del odo interno, en el cordn umbilical y tal vezhasta en sus huellas digitales.

Los aspectos fsicos y fisiolgicos del cuerpo tambin nos conducen aotras ideas matemticas. El cuerpo es simtrico, lo que le da equilibrio y uncentro de gravedad. Adems de permitir el equilibrio, las tres curvas de lacolumna vertebral son muy importantes para el buen estado fsico y paraconferir al cuerpo la capacidad fsica de sostener su propio peso y otras car-gas. Artistas como Leonardo Da Vinci y Alberto Durero trataron de ilustrarla concordancia del cuerpo con diversas proporciones y medidas, tales comola seccin urea.

Por sorprendente que pueda parecer, la teora del caos tambin tiene unlugar en el cuerpo humano. Por ejemplo, se est investigando la teora delcaos en relacin con las arritmias. El estudio de los latidos del corazn y elmotivo por el cual el corazn de algunas personas late irregularmente parecereferimos a la teora del caos.

Por sorprendente que pueda parecer, la teora del caos tambin tiene unlugar en el cuerpo humano. Por ejemplo, se est investigando la teora delcaos en relacin con las arritmias. El estudio de los latidos del corazn y elmotivo por el cual el corazn de algunas personas late irregularmente parecereferimos a la teora del caos. Por aadidura, las funciones del cerebro y de lasondas cerebrales y el tratamiento de los desrdenes cerebrales tambin estnrelacionados con la teora del caos.

Si exploramos el cuerpo a nivel molecular, tambin encontramos relacio-nes con la matemtica. Hay formas geomtricas, como poliedros y cpulasgeodsicas, presentes en las formas de varios virus invasores. En el virus delSIDA (HTLV-1) encontramos simetra icosadrica y una estructura de cpulageodsica. Los nudos que aparecen en las configuraciones del ADN han lle-vado a los cientficos a usar descubrimientos matemticos de la teora de nu-dos para el estudio de las formas adoptadas por las cadenas de los cidos nucleicos.Los hallazgos de la teora de nudos y las ideas procedentes de diversa geometrashan probado ser invalorables para el estudio de la ingeniera gentica.

La investigacin cientfica y la matemtica son una combinacin esencialpara descubrir los misterios del cuerpo humano y para analizar sus funciones.


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Definitivamente la lgica y la matemtica van de la mano. Pero la mayorade las personas no consideran matemticos a los juegos. Sin embargo, losjuegos y las recreaciones son parte integral de la matemtica. El desarrollo demuchas ideas fue resultado de la obstinacin por resolver algn acertijo. Cier-tas personas parecen empujadas por una fuerza invisible que los lleva a resol-ver pasatiempos y problemas. Esas personas forman parte del grupo quedisfruta de la matemtica y se sienten fascinadas por ella. Sin darse cuenta,pueden pasar horas, e incluso das, explorando diferentes ramificaciones dealgo que ostensiblemente empez como un sencillo pasatiempo. La historiada testimonio de que a veces los acertijos, juegos y pasatiempos han conduci-do a notables descubrimientos, e incluso a la creacin de nuevos campos de lamatemtica. En realidad, el famoso matemtico griego Arqumedes muripor estar absorto en un problema matemtico. Las pginas que siguen revela-rn algunos de los juegos, acertijos y ejercicios de calistenia mental que sonfavoritos de los matemticos.

Theodore Cook public este anlisis de El nacimiento de Venus de Sandro Boticelli.

En su libro Curvas de la vida, el autor afirma: la lnea que contiene la figura desde

el tope de la cabeza hasta la planta de los pies est dividida a la altura del ombligo en

proporciones exactas dadas por...la seccin urea (f)...Tenemos siete trminos

consecutivos de la seccin urea en la composicin completa.


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El jardn matemticamente anotado

Theoni Pappas

Buen da, da!, exclam la jardinera para saludar al sol naciente y a susplantas. Para nada se imaginaba que cosas muy extraas acechaban en lashojas y en el rico suelo. En la profundidad de las races de las plantas habafractales y redes y, desde lirios, calndulas y margaritas, la miraban nmerosde Fibonacci.

La jardinera se embarc en el diario ritual de atender su jardn. En cadalugar apareca algo inusual, pero ella no reparaba en ello, cautivada solamentepor las maravillas obvias que le ofreca la naturaleza.

Primero fue a limpiar los helechos. Quitando las hojas muertas para expo-ner los brotes nuevos, no reconoci las espirales equiangulares que la salu-daban, ni la formacin fractal de las hojas de los helechos. De repente, alcambiar el viento, la invadi la adorable fragancia de la madreselva. Al obser-varla, vio cmo estaba pasando por encima del cerco e invadiendo los guisan-tes. Decidi que ya no podra evitar podarla juiciosamente. No advirti que lashlices estaban en accin, ni que las hlices hacia la izquierda de la madreselva sehaban enredado en algunas de las hlices hacia la derecha de los guisantes. Ten-dra que tener mucho cuidado para no daar su nueva cosecha de guisantes.

Los fractales pueden aparecer como objetos simtricamente cambiantes/crecientes. En cualquiercaso, los fractales cambian de acuerdo con reglas o esquemas matemticos usados para describir y

expresar el crecimiento de un objeto inicial. Pensemos en un fractal geomtrico como en unaestructura que se genera infinitamente.., la estructura es una constante rplica de s misma, pero en

una versin ms pequea. As, cuando se magnifica una porcin de fractal geomtrico, tieneexactamente el mismo aspecto que la versin original. Como contraste, cuando se magnifica un

objeto euclideano, como por ejemplo un crculo, empieza a parecer menos curvo. Un helecho es unejemplo ideal de replicacin fractal. Si se amplifica cualquier parte del helecho fractal, aparece

como la hoja original del helecho. Se puede crear un helecho fractal con un ordenador.


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Despus se dirigi a desmalezar el terreno debajo del rbol de palma quehaba plantado para darle a su jardn un toque un poco extico. Sus ramas semovan con la brisa, y la jardinera no tena idea de que lo que le rozaba loshombros eran curvas involutas.

Mir con satisfaccin sus plantas de maz. Muy bien!, pens. Habavacilado en plantar maz, pero se senta estimulada por el buen crecimiento delas mazorcas jvenes. Sin que ella lo supiera, los granos formaran triplesjunturas dentro de sus vainas.

Las redes son diagramas matemticos que presentan un cuadro simplificado de un cierto

problema o situacin. Euler redujo un problema famoso conocido como Los Puentes de

Knigsberg (cmo recorrer las dos riberas de un ro y dos islas pasando por cada uno

de los siete puentes de la ciudad de Knigsberg y sin pasar dos veces por el mismo puente)

a un diagrama simple de red, que analiz y resolvi. En la actualidad, las redes se usan

como herramientas en la topologa.

Qu bien andaba el jardn, estallando en nuevos brotes! Admirando lasnuevas hojas verdes del rbol de arce, reconoci que haba algo absolutamen-te agradable en su forma... las lneas naturales de simetra haban hecho biensu trabajo. Y la filotaxis de la naturaleza slo resultaba evidente para el ojoentrenado en los brotes de las hojas en las ramas y los tallos de las plantas.

Echando un vistazo a su alrededor, la jardinera se concentr en el canterode las zanahorias. Estaba orgullosa de su crecimiento y advirti que debapodarlas para asegurarse de que seran uniformes y de buen tamao. No que-ra confiar a la naturaleza el teselado del espacio con zanahorias.


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Espirales y hlices:Las espirales son formas matemticas que aparecen en muchas facetas de la naturaleza,

como por ejemplo en la curva del helecho lira, las enredaderas, las conchas, los tornados, los

huracanes, las pias, la Va Lctea, los remolinos. Hay espirales planas, espirales

tridimensionales, espirales hacia la izquierda y hacia la derecha, equiangulares, logartmicas,

hiperblicas, arquimedianas y hlices. Estos son tan slo algunos tipos de espirales descritas

por los matemticos. La espiral equiangular aparece en formas de la naturaleza tales como

la concha del nautilius, las semillas del centro del girasol, las telas de las araas. Algunas de

las propiedades de las espirales equiangulares son: los ngulos formados por tangentes y

radios de la espiral son congruentes (de all el trmino equiangular); crece en proporcin

geomtrica, por lo que cualquier radio es cortado por la espiral en secciones que forman una

progresin geomtrica; y su forma no se altera a medida que crece.

No tena idea de que en el jardn abundaban las espirales equiangulares.Estas se hallaban en las semillas de las margaritas y de diversas flores. Muchascosas que crecen forman esta espiral por la manera en que conservan su for-ma mientras aumenta el tamao.

Empezaba a hacer calor, de modo que la jardinera decidi continuar consu cultivo cuando bajara un poco el sol. Mientras tanto, hizo una evaluacinfinal... admirando la combinacin de flores, vegetales y otras plantas que ha-ba elegido con tanto cuidado. Pero una vez ms, algo se le escap. Su jardnestaba lleno de esferas, conos, poliedros y otras formas geomtricas que ellano reconoci.


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Los nmeros de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... (cada nmero es lasuma de los dos anteriores). Fibonacci (Leonardo da Pisa) fue uno de los principales mate-

mticos de la Edad Media. Aunque hizo una contribucin significativa en los campos de laaritmtica, el lgebra y la geometra, es popular en la actualidad por su secuencia de nme-ros, que son la solucin de un problema intrincado que apareca en su libro Liber Abaci.En el siglo XIX, el matemtico francs Edouard Lucas edit una obra de matemticarecreativa que inclua este problema. Fue en esa poca cuando se lig el nombre de Fibonacci

a la secuencia numrica. En la naturaleza, la secuencia aparece en:

Flores que tienen un nmero de Fibonacci de ptalos

(lirio, azucena, rosa silvestre, sanguinaria, trillo, iris).

Aunque la naturaleza exhibe sus maravillas en el jardn, la mayora de laspersonas no reparan en la enorme cantidad de clculos y de trabajo matem-tico que se ha vuelto tan rutinario en la naturaleza. La naturaleza sabe muybien cmo trabajar con restricciones de materia y de espacio, y cmo produ-cir las formas ms armoniosas. Y as, durante cada da de primavera, la jardi-nera entrar a su dominio con los ojos brillantes. Buscar los nuevos pimpo-llos y brotes que produce cada da, ajena a las bellezas matemticas que tam-bin florecen en su jardn.

La disposicin de hojas, ramitos y tallos,conocida como filotaxis. Elija una hoja de un tallo y

cuente el nmero de hojas (suponiendo que ninguna ha

sido arrancada) hasta que llegue a una que est

exactamente en lnea con la elegida. El nmero total de

hojas (sin contar la primera que usted eligi) suele ser,

en muchas plantas, un nmero de Fibonacci, como

ocurre en el caso del olmo, el cerezo o el peral.


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Los nmeros de la pia: Si se cuentan las espirales a la derecha y a la izquierdade un cono de pino, los dos nmeros son con frecuencia nmeros de Fibonacci consecutivos.

Esto tambin ocurre en el caso de las semillas de girasol y de otras flores. Lo mismo

sucede con el anan o pia tropical. Si miramos la base del anan y contamos el nmero

de espirales a la izquierda y a la derecha, compuestas de escamas de forma hexagonal,

veremos que son nmeros de Fibonacci consecutivos.

La curva evolvente: a medida que unhilo se enrolla y desenrolla alrededor de una

curva (por ejemplo, la circunferencia que

limita a un crculo), el extremo libre

describe una curva, llamada evolvente de la

primera (en este caso es usual denominarla

evolvente de crculo, cuando lo correcto sera

evolvente de circunferencia; y sta la evoluta

de la otra). Evolvente de crculo es la forma

que encontramos en el pico del guila, la

aleta dorsal de un tiburn y la punta de

una hoja de palmera, cuando pende.

La triple juntura: Una triple juntura esel punto en que se encuentran tres

segmentos de lneas, y los ngulos de

interseccin son de 120. Muchos

fenmenos naturales se producen a partir

de restricciones impuestas por los lmites o

la disponibilidad de espacio. La triple

juntura es un punto de equilibrio hacia el

que tienden ciertos procesos. Entre otros

casos, se lo encuentra en los racimos de

burbujas de jabn, en la formacin de los

granos de la mazorca de maz, y en el

resquebrajamiento de la tierra seca o de

las piedras.


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La simetra: La simetra es ese equilibrio perfecto que vemos y percibimos en elcuerpo de una mariposa, en la forma de una hoja, en la forma del cuerpo humano, en la

perfeccin de un crculo. Desde un punto de vista matemtico, se considera que un objetoposee simetra axial cuando podemos encontrar una lnea que lo divide en dos partes idn-ticas, de manera que si pudiramos doblarlo siguiendo esa lnea, ambas partes coincidiran

exactamente al ser superpuestas. Un objeto tiene simetra puntual o central cuando existeninfinitas de esas lneas que pasan por un punto en particular; por ejemplo, un crculo tiene

simetra puntual con respecto a su punto central.

En el jardn aparecen muchos tipos de simetra. Por ejemplo, en esta

fotografa podemos encontrar simetra puntual en las flores del brcoli,

y simetra axial en las hojas.

El teselado: Teselar un plano signi-fica simplemente poder cubrirlo con baldo-

sas planas de modo que no dejen intersti-cios libres y que no se superpongan, comoocurre en el caso de los hexgonos regula-

res, cuadrados u otros objetos. El espacioes teselado o llenado por objetostridimensionales tales como cubos u

octaedros truncados.


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Cuando se trazan las diagonales de un polgono de 24 lados

aparecen crculos concntricos.

Diseos matemticos y arte

Theoni Pappas

Bordados matemticos

Los entusiastas de la matemtica han estado bordando curvas matem-ticas durante siglos. Siempre es fascinante descubrir una curva formada apartir de una serie de segmentos de lnea recta. Los puntos (segmentos delnea) terminan siendo tangentes de la curva que forman. Es posible bor-dar matemticamente un crculo, una elipse, una parbola, una hiprbola,una cardioide, una deltoide, etc. En el proceso de bordado de estas curvas, sepueden descubrir algunas de sus caractersticas especiales. He aqu cmo puedehacerse una astroide.


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Una manera de hacer una astroide es pensar en ella como una escalera quese desliza. Los crculos, cuyos radios son la escalera, se usan para marcar labase de cada nueva posicin.

Variaciones de parbolas

Los cuadrados anidados son el primer paso para hacer la espiral.

Espirales de lneas rectas


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Cuatro araas empiezan a avanzar desde los cuatro vrtices de un cuadrado. Cada unase desplaza hacia la que est a su derecha, avanzando a velocidad constante. As, estn

siempre situadas en los vrtices de un cuadrado. Las curvas formadas por el recorrido sonespirales equiangulares. El tamao del cuadrado inicial y la velocidad de las araas deter-mina cuanto tiempo les llevar encontrarse.

Esta espiral se forma con las races cuadradas de los nmeros,

empleando el teorema de Pitgoras.

Las espirales son objetos matemticos que parecen expresar movimiento.Abarcan una familia de curvas que va desde las espirales bdimensionales laespiral equiangular (logartmica) y la de Arqumedes hasta las espiralestridimensionales como la helicoide y la concoide. Las espirales se relacionancon muchas reas de nuestras vidas y muchos objetos vivos. Unos pocosejemplos son: las astas de ciertos ciervos, algunas semillas de flores, muchasconchas marinas, el crecimiento de ciertas enredaderas, el ADN, la arquitec-tura, el arte, el diseo grfico. Las espirales de lneas rectas se forman anidan-do polgonos regulares: cada polgono reducido se forma conectando lospuntos medios de los lados del anterior. Observando un nido de polgonosresulta difcil distinguir la espiral hasta que no se la sombrea. Arriba se ve uninteresante diseo producido por una de estas espirales de lneas rectas.

Hay muchas variantes de estas espirales. Algunas han sido relacionadascon la resolucin de problemas, como el de las cuatro araas.

Otra famosa espiral de lneas rectas es la que se forma construyendo ra-ces cuadradas mediante el teorema de Pitgoras.


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Geometra no eucldea

John Allen Paulos

En la confusin de propiedades relativas a los tringulos y paralelogramos,semejanza y congruencia, reas y permetros, se olvida a veces el carcterdeductivo de la geometra. Muchas de esas propiedades fueron descubiertaspor los egipcios y los antiguos babilonios a partir de rutinas prcticas de laagrimensura, el comercio y la arquitectura. Los griegos demostraron que to-das podan deducirse a partir de unas pocas de ellas. Es fcil formular la ideafundamental. Se escogen algunas suposiciones geomtricas evidentes quese llaman axiomas y a partir de ellas se deducen, con la nica ayuda de lalgica, toda una serie de enunciados geomtricos que se llaman teoremas. Ensu tratamiento del tema, Euclides escogi cinco axiomas (en realidad sondiez, pero slo cinco de ellos eran geomtricos) y dedujo el bello y prestigio-so cuerpo de teoremas que se conoce como geometra eucldea. (Vase laentrada acerca del Teorema de Pitgoras).

Uno de los cinco axiomas de Euclides es el conocido como postulado delas paralelas. Deca (y sigue diciendo) que por un punto exterior a una rectadada se puede trazar una recta paralela a la dada, y slo una. Una conocidaconsecuencia del postulado de las paralelas es el teorema que dice que lasuma de los ngulos interiores de un tringulo es siempre 180.

Como no pareca tan intuitivo como los otros cuatro axiomas, a lo largode la historia los matemticos han tratado espordicamente de deducirlo apartir de ellos. Se inventaron todos los mtodos que uno pueda imaginarpero nunca dieron con una demostracin. Este fracaso, unido a la naturalidadde los otros axiomas, pareca conferir a la geometra eucldea un cierto carc-ter absoluto. A lo largo de un par de milenios rein como un monumento alsentido comn y la verdad eterna. Immanuel Kant lleg a decir incluso que lagente slo poda pensar el espacio en trminos eucldeos. Por fin, en el sigloXIX los matemticos Jnos Bolyai, Nicolai Lobachevski y Karl Friedrich Gaussse dieron cuenta de que el quinto postulado de Euclides es independiente de


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los otros cuatro y no se puede deducir de ellos. Es ms, comprendieron quese puede sustituir el quinto postulado por su contrario y tener tambin unsistema geomtrico consistente.

La suma de los ngulos de un tringulo es 180. Por P pasa una recta

paralela a 1, y una sola

Para ver esto, obsrvese que es perfectamente posible interpretar los tr-minos fundamentales de la geometra de un modo completamente distintosin salirse, no obstante, de los lmites de la lgica ms estricta. Exactamenteigual que todos los A son B y C es un A, luego C es un B nos sirve dejustificacin para los argumentos ms dispares, segn sean las interpretacio-nes de A, B y C, tambin los trminos de la geometra eucldea se puedeninterpretar de un modo nada convencional sin dejar de llevarnos a teoremasvlidos. Por ejemplo, en vez de las interpretaciones habituales podemos lla-mar plano a la superficie de una esfera, punto a un punto sobre unaesfera y lnea recta a los crculos mximos de la esfera (cualquier arco decircunferencia alrededor de la esfera que la divide en dos mitades). Si adopta-mos estos significados, la lnea recta sigue siendo el camino ms corto entredos puntos (sobre la superficie de la esfera) y tenemos una interpretacin dela geometra que cumple todos los axiomas de Euclides excepto el postuladode las paralelas. Tambin se cumplen todos los teoremas deducibles a partirde estos cuatro axiomas.

Comprobando los axiomas, observamos que por dos puntos cuales-quiera pasa una lnea recta, pues dados dos puntos cualesquiera sobre lasuperficie de una esfera hay un crculo mximo que pasa por ellos. (Nteseque el crculo mximo que pasa por Los ngeles y Jerusaln cruza porGroenlandia y es la distancia ms corta entre ambas ciudades). Dado un pun-to y una distancia cualesquiera, hay un crculo sobre la superficie de laesfera con centro en ese punto y cuyo radio es esa distancia (que no es ms


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que un crculo normal sobre la superficie de la esfera). Y tambin, dos ngu-los rectos cualesquiera son iguales, y cualquier segmento de recta (un pe-dazo de crculo mximo) se puede prolongar indefinidamente.

No hay ninguna lnea recta paralela a la lnea recta 1 que pase por P.

En esta interpretacin se cumplen todos los dems axiomas de Euclides

Los segmentos de recta que unen Kenia, Ecuador y el Polo Norte forman

un tringulo cuyos ngulos suman ms de 180


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Sin embargo, el axioma de las paralelas no es vlido en esta interpretacinparticular de los trminos, pues dada una lnea recta y un punto exterior aella, no hay ninguna lnea recta paralela a la dada que pase por dicho punto.A modo de ejemplo, tomemos el ecuador como la lnea recta y la CasaBlanca en Washington como punto exterior a la misma. Cualquier lnearecta que pase por la Casa Blanca ser un crculo mximo que divida la Tie-rra en dos mitades y, por tanto, cortar necesariamente el ecuador, con lo queno podr serle paralela. Otra anomala de esta interpretacin es que la sumade los ngulos de un tringulo es siempre mayor que 180. Para demostrarlo,podemos sumar los ngulos del tringulo formado por la parte del ecuadorcomprendida entre Kenia y Ecuador y los segmentos de recta que unenpuntos de estos pases con el Polo Norte. El tringulo esfrico as formadotiene dos ngulos rectos en el ecuador.

Hay otras interpretaciones no estndar de los trminos punto, recta ydistancia en los que son vlidos los cuatro primeros axiomas de la geome-tra eucldea y el postulado de las paralelas es falso, aunque por otro motivo:por un punto exterior a una recta dada hay ms de una paralela. En estosmodelos (que podran consistir, por ejemplo, en superficies en forma de sillade montar) la suma de los ngulos de un tringulo es menor que 180. Elmatemtico alemn Bernhard Riemann concibi superficies ms generalestodava y geometras en las que el concepto de distancia vara de un punto aotro de un modo parecido a como le ocurre a un viajero que se mueve por unterreno muy irregular y accidentado.

Cualquier modelo que, por la razn que sea, no cumpla el postulado de lasparalelas se dice que es un modelo de geomera no eucldea. Cada una de lasgeometras presentadas es un conjunto consistente de proposiciones (exacta-mente igual que las constituciones de distintas naciones son diferentes con-juntos de leyes consistentes entre s). Cul de ellas es la verdadera en el mun-do real es una cuestin que depende de qu significado fsico demos a lostrminos punto y recta, y se trata de una cuestin emprica que se ha dedilucidar mediante la observacin y no por proclamas de saln. Localmente almenos, el espacio parece tan eucldeo como un campo de maz de Iowa, perocomo ya han descubierto los partidarios de la tierra plana de cualquier partedel mundo, es peligroso extrapolar demasiado lejos la propia estrechez demiras. Si tomamos la trayectoria de un rayo de luz como interpretacin delnea recta, obtenemos una geometra fsica no eucldea.


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Si en esta superficie en forma de silla de montar interpretamos lnea recta como la distancia

ms corta entre dos puntos, son vlidos todos los axiomas de la geometra eucldea excepto el

postulado de las paralelas. Por P pasa ms de una paralela a 1

Los ngulos de un tringulo sobre esta superficie suman menos de 180

Para terminar, me gusta pensar en el descubrimiento de la geometra noeucldea como una especie de chiste matemtico chiste que Kant no enten-di. Muchos acertijos y chistes son de la forma Qu tiene esta propiedad,aqulla y la de ms all?. Al orlos, la respuesta que se le ocurre a uno inme-diatamente es completamente distinta de la interpretacin inesperada de lascondiciones que constituye la esencia del chiste. As ocurre con la geometrano eucldea. En vez de Qu es negro, blanco y rojo por todas partes?tenemos Qu cumple los primeros cuatro axiomas de Euclides?. La nuevaesencia de este chiste nos la dieron Bolyai, Lobachevski y Gauss: grandeshumoristas del Club Universo.


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Argumentar... a dnde nos conduce?

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Argumentar...a dnde nos conduce?


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Metalenguajes

Martin Gardner

Las paradojas semnticas se resuelven intro-duciendo metalenguajes. Los enunciados relati-vos al mundo, tales como las manzanas sonrojas o las manzanas son azules, se formu-lan en un lenguaje objeto. Los enunciados relati-vos a valores de verdad tienen que hacerse enun metalenguaje.

En este ejemplo no puede haber paradoja,porque la frase A, que se supone escrita enmetalenguaje, habla del valor de verdad de lafrase B, que est escrita en lenguaje objeto.

Cmo hablar de valores de verdad paraenunciados de un metalenguaje? Es preciso uti-lizar un metalenguaje de nivel superior. Cadapeldao de esta escala infinita es metalenguajedel peldao inferior inmediato, y es lenguajeobjeto del peldao situado sobre l.

La nocin de metalenguaje fue ideada y de-sarrollada por el matemtico polaco AlfredTarski. En el peldao ms bajo se encuentranlos enunciados relativos a objetos, tales comoMarte tiene dos lunas. En este lenguaje nopueden aparecer calificativos como verdadero ofalso. Para hablar de la veracidad o falsedad de frases formuladas en este len-guaje tenemos que emplear un metalenguaje, situado en el peldao inmediata-mente superior de la escala. El metalenguaje engloba la totalidad del lenguajeobjeto, pero es ms rico, porque permite referirse a los valores de verdad delos enunciados del lenguaje objeto. Por citar uno de los ejemplos favoritos deTarski, La nieve es blanca es un enunciado del lenguaje objeto. En cam-bio, El enunciado La nieve es blanca es verdadero es una proposicinde un metalenguaje.


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Puede hablarse de veracidad o falsedad de enunciados de un metalenguaje?S, pero slo ascendiendo hasta el tercer peldao de la escala, y hablando enun metalenguaje an ms alto, capaz de aludir a todos los situados bajo l.

Cada peldao de la escala es un lenguaje objeto del peldao situadoinmediatamente sobre l. Cada peldao, a excepcin del ms bajo, esmetalenguaje del inmediatamente inferior. La escala contina hacia arribatanto cuanto deseemos.

Ejemplos de enunciados correspondientes a los cuatro primeros peldaos son:A. La suma de los ngulos exteriores de un tringulo es 180 grados.

B. El enunciado A es verdadero.C. El enunciado B es verdadero.D. El enunciado C es verdadero.

El lenguaje de nivel A enuncia sencillamente teoremas relativos a objetosgeomtricos. Un manual de geometra que contenga demostraciones de losteoremas est escrito en un metalenguaje de nivel B. Los libros que tratan deteora de demostracin estn escritos en metalenguaje de nivel C. Afortuna-damente, en matemticas, raras veces es necesario ir ms all del nivel C.


35

El ubicuo nmero 9

Martin Gardner

El nmero 9 tiene muchas misteriosas propiedades. Saba usted que elnmero est escondido tras el natalicio de toda persona famosa? Fijmonosen la fecha de nacimiento de George Washington, que fue el 22 de febrero de1732. Escribamos tal fecha con un solo nmero; 2221732. Ahora reordenamoslas cifras y formamos con ellas otro nmero distinto cualquiera. Restemos elmenor del mayor. Sumemos todas las cifras de la diferencia. En este caso lasuma es 36. Y 3 ms 6 son 9! Haciendo lo mismo con el natalicio de John F.Kennedy (29 de mayo de 1917), o de Charles De Gaulle (22 de noviembre de1890), o de cualquier otro hombre o mujer famoso, siempre se obtiene 9.Habr alguna curiosa relacin entre el 9 y los natalicios de las personasfamosas? Ha probado el lector con su propia fecha de nacimiento?

Al sumar todas las cifras de un nmero, y luego sumar todas las cifras dela suma, y continuar as hasta lograr un nmero de una sola cifra, lo que seobtiene es la raz digital del nmero de partida. La raz digital de un nmero esigual al resto de su divisin por 9, y por esta razn el procedimiento se llamaa veces expulsin de los nueves, y en Espaa, prueba del nueve.

La forma ms rpida de calcular la raz digital consiste en ir separando losnueves, desechndolos conforme se van sumando las cifras del nmero. Porejemplo, si las dos primeras cifras fuesen 6 y 8, que suman 14, inmediatamen-te se suman 1 y 4, y se conserva el 5. Dicho de otra forma, cada vez que unasuma parcial tenga ms de una cifra, sumaremos las cifras de la suma, y lleva-remos slo la suma. La ltima de las obtenidas ser la raz digital del nmero.Se dice tambin que la raz digital es congruente, o equivalente, mdulo 9 alnmero de partida, lo que suele abreviarse md. 9. Como al dividir 9 entre9 el resto es 0, en aritmtica de mdulo 9, el 0 y el 9 son equivalentes.

Antes de la llegada de las mquinas de clculo, los contables solan valersede esta aritmtica de mdulo 9 para verificar sumas, diferencias, productos ycocientes de nmeros grandes. Por ejemplo, si hemos de multiplicar A por B,y obtenemos C, podemos comprobar nuestro trabajo multiplicando la razdigital de A por la de B y viendo si este producto, o su raz digital, es igual a


36

la raz digital de C. Si el producto C est bien calculado, forzosamente losresultados debern coincidir. La coincidencia no basta para demostrar que elproducto est bien calculado, pero de no producirse, s podremos asegurarque hay un error. Cuando hay coincidencia es bastante probable que el resul-tado sea correcto. Las pruebas de los nueves, basadas en el clculo de lasraces digitales de los operandos y resultado de sumas, diferencias, productosy divisiones son parecidas.

Estamos ahora en condiciones de comprender por qu funciona el trucode las fechas de nacimiento. Imaginemos un nmero N formado por muchascifras. Reordenndolas obtendremos un segundo nmero, N. Como es ob-vio, N y N tendrn iguales races digitales. Por tanto, al restar una de otraestas races la diferencia ser 0 (que es gual a 9 en aritmtica md. 9). Estenmero, 009, tiene que ser la raz digital de la diferencia entre N y N. Enresumen: tomando un nmero cualquiera, reordenando sus cifras y restandoel menor del mayor, la diferencia tendr raz digital igual a 0 a 9.

A causa del procedimiento con que se calcula la raz digital, slo podrdarse la diferencia final 0 si N y N son nmeros idnticos. Por tanto, al ensa-yar el procedimiento con sus fechas de nacimiento, nuestros amigos deberncomprobar que al desordenar las cifras resulta nmero distinto. En tanto N yN no sean idnticos, su diferencia tendr raz digital 9.

Hay muchos trucos de magia basados en el ubicuo nmero 9. Pidmosle aalguien que anote el nmero de un billete, permaneciendo nosotros de espal-das para no ver lo que esta persona escribe. La persona reordena las cifras,construyendo otro nmero, y en seguida resta el nmero menor del mayor.Pdale a su amigo que tache en la diferencia una cifra cualquiera distinta decero, y que nos d a continuacin las cifras restantes, en cualquier orden. Aunqueseguimos de espaldas, no deberamos tener dificultad en decir cul era la cifratachada!

El secreto del truco debera ser evidente. La diferencia tendr raz digital 9.Conforme nuestro amigo va nombrando las cifras nosotros las sumamosmentalmente, despreciando los nueves. Al terminar de drnoslas, nosotrosrestaremos de 9 el ltimo dgito calculado, y la diferencia es la cifra tachada.(Si nuestro ltimo dgito fuese 9, la cifra tachada fue un 9.)

Los trucos del billete y de la fecha de nacimiento son excelentes introduc-ciones al estudio de las congruencias, que algunos llaman aritmtica modular.


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Por qu nos obliga esta matriz a que la suma de los nmeros elegidos seasiempre 34? Su secreto es tan sencillo como ingenioso. En el encabezamientode una matriz de 4 por 4 escribamos los nmeros 1, 2, 3, 4; a la izquierda decada hilera ponemos los nmeros 0, 4, 8, 12:

Matrices mgicas

Martin Gardner

Copie esta matiz de 4 por 4 en una hoja, y numere de 1 a 16 sus casillas.Voy a hacerle una exhibicin de fuerza psquica que le dejar atnito. Voya dirigir y controlar una seleccin de cuatro nmeros realizada por usteden la matriz!

Rodee con un crculo un nmero cualquiera, a su capricho. En el dibujose ha marcado el 7; lo mismo puede tomarse otro cualquiera. Tache con unabarra vertical la columna que lo contiene, y otro tanto con la fila.

Ahora rodee otro nmero cualquiera de los no tachados todava. Vuelva atachar la fila y columna de ste. Elija a su capricho un tercer nmero notachado, y suprima tambin su fila y columna. Finalmente, rodee el niconmero restante.

Si usted ha seguido mis indicaciones, el casillero presentar ms o menoseste aspecto. Sume ahora los cuatro nmeros seleccionados.

Preparado? Voy a decirle cunto vale la suma que usted ha calculado.Es..., es... 34! Es correcta? Cmo he podido yo saberlo? Ser que he in-fluido sobre usted en el momento de elegir?


38

Estos ocho nmeros se llaman generadores de la matriz mgica. En cadacasilla se escribe ahora el nmero suma de sus dos generadores, a saber, lasuma del situado a la cabeza de la columna con el escrito al costado de su fila.Una vez rellenado de este modo el casillero encontraremos una matriz quecontiene los nmeros de 1 a 16 en orden correlativo.

0

8

4

4321

12

4

9

8

8

76

15

54

3

3

2

2

1

1 40

1614

10 11 12

1312

4

9

8

8

76

15

54

3

3

2

2

1

1 40

1614

10 11 12

1312

Veamos ahora qu sucede al ir sealando cuatro nmeros segn el proce-dimiento indicado. Tal procedimiento garantiza que no sern elegidos dos nmerosde una misma fila o columna. Cada nmero de la matriz es suma de un nico parde generadores; por consiguiente, la suma de los cuatro nmeros sealadosser igual a la suma de los ocho generadores. Y como los generadores sumanen total 34, tambin los cuatro nmeros elegidos habrn de sumar 34.

Una vez comprendido el funcionamiento de la matriz, se pueden cons-truir matrices mayores de tamao arbitrario. Fijmonos, por ejemplo, en lamatriz de orden 6 siguiente, con sus 12 generadores. Observemos que en estecaso los generadores han sido elegidos de manera que los nmeros del casille-ro parezcan dados al azar. Queda as oculta la estructura subyacente de lamatriz, haciendo que parezca an ms misteriosa:


39

2

2

05

5

55

5

5

5

5

3

79

9

77

7 6

6

66

6

3

8

8

8

3

3

3

30

2

2

2

1 114

4 4

4

4

441 0

10

2

2

05

5

55

5

5

5

5

3

79

9

77

7 6

6

66

6

3

8

8

8

3

3

3

30

2

2

2

1 114

4 4

4

4

441 0

10

Los generadores suman 30. Elegidos seis nmeros por el procedimientoexplicado, con certeza sumarn 30. El nmero mgico (la suma) podr ser,desde luego, cualquier nmero que se desee.

Es posible construir una matriz de 10 por 10 que implique suma 100 ocualquier otro nmero curioso, como el ao en curso, o el ao de nacimientode una persona. Podrn construirse matrices mgicas que contengan en al-gunas casillas nmeros negativos? Claro que s! En realidad, los generadorespueden ser nmeros cualesquiera, positivos o negativos, racionales oirracionales.

Podrn construirse matrices donde el clculo del nmero mgico se hagamultiplicando los elegidos, en vez de sumarlos? S; y ello sugiere otro camino aexplorar. La construccin fundamental sigue siendo exactamente la misma.El nmero impuesto, en este caso, resulta ser producto del conjunto de genera-dores. Tal vez le interese averiguar qu sucede si las casillas son ocupadas pornmeros complejos. Puede encontrarse ms material sobre matrices mgicasconsultando el segundo captulo de mi Scientific American Book of MathematicalPuzzles and Diversions.


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Las curiosas alfombras de Randi

Martin Gardner

Randi, mago famoso conocido en todo el mundo, tiene una alfombra de13 por 13 decmetros, y la quiere transformar en otra de 8 por 21. Para ello,Randi llev su alfombra a Omar, un especialista.

Randi: Omar, amigo mo, quiero que cortes esta alfombra en cuatro pie-zas, y luego montes con ellas una alfombra rectangular de 8 por 21 decmetros.

Omar: Lo lamento, seor Randi, Es usted un gran mago, pero no andabien de aritmtica. 13 por 13 son 169, mientras que 8 por 21 son 168. Nopodr ser.

Randi: Querido Omar, el gran Randi jams se equivoca. Ten la bondadde cortar la alfombra en cuatro piezas como stas.

Omar hizo como se le dijo. Despus Randi reagrup las piezas, y Omarlas cosi, formando una alfombra de 8 por 21.

Omar: No puedo creerlo! El rea se ha contrado, de 169 a 168 dm2!Qu ha ocurrido con el decmetro cuadrado que falta?

Esta clsica paradoja es tan sorprendente y difcil de explicar que vale lapena tomarse la molestia de dibujar el cuadrado en papel milimetrado, recor-tar las cuatro piezas y reagruparlas en forma de rectngulo. A menos que laspiezas sean muy grandes y hayan sido recortadas y dibujadas con gran preci-sin, ser imposible observar la leve superposicin que se produce a lo largode la diagonal principal del rectngulo. Esta ligera imperfeccin del ajuste delas piezas a lo largo de la diagonal explica la desaparicin de una unidad desuperficie. Si duda usted de la existencia de traslapado tiene un mtodo sen-cillo para convencerse: calcule usted la pendiente de la diagonal del rectngu-lo, y comprela con las pendientes de las piezas.

Qu sucedera si dibujsemos el rectngulo en papel milimetrado, recor-tsemos las piezas, y construyramos el cuadrado? Tal vez le entren deseosde averiguarlo.

En esta paradoja intervienen cuatro nmeros: 5, 8, 13, 21. Seguramentehaya usted reconocido en ellos cuatro trminos de una famosa sucesin.


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Sabra usted dar la regla recursiva que va generando los trminos? La suce-sin es conocida por sucesin de Fibonacci, y en ella cada trmino resulta desumar los dos precedentes: 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, 34,...

Otras variantes de esta paradoja se basan en otros grupos de cuatro trmi-nos consecutivos de la sucesin de Fibonacci. En cada caso descubrimos queel rectngulo tiene distinta rea que el cuadrado; unas veces es una unidad dems; otras, de menos. El paso siguiente es descubrir que cuando hay prdidaal pasar del cuadrado al rectngulo es a causa de un solapamiento de formarmbica sobre la diagonal principal, a lo largo de la cual se produce la super-posicin, mientras que cuando hay ganancia es a causa de una rendija, tam-bin rmbica, que ensancha la diagonal.

Dados los cuatro trminos de la sucesin de Fibonacci en que se basaalguna de estas versiones, podremos predecir si habr prdida o ganancia?La paradoja sirve para ilustrar una de las propiedades fundamentales de lasucesin de Fibonacci. Al elevar al cuadrado uno cualquiera de los trminosde la sucesin, el cuadrado resultante es igual al producto de los trminosadyacentes por cada lado a dicho trmino, ms o menos una unidad.Algebraicamente,

t 2n = (t

n 1

. tn + 1

) 1

El primer miembro de la igualdad equivale, como es obvio, al rea del cuadra-do, mientras que el segundo da el rea del rectngulo. Los signos ms ymenos van alternndose a lo largo de toda la sucesin. Todo nmero deFibonacci que ocupe lugar impar en la sucesin (por ejemplo, 2, 5 13 en lasucesin de Fibonacci dada arriba) tiene un cuadrado una unidad mayor queel producto de los trminos de lugar par adyacentes a l. Recprocamente,todo nmero situado en lugar par (por ejemplo, 3, 8, 21, ... en la sucesin)tiene un cuadrado que es una unidad menor que el producto de los trminosadyacentes, ambos de lugar impar, que lo escoltan. Sabiendo esto, es fcilpredecir si el rectngulo asociado a un cuadrado dado ganar o perder unaunidad de superficie.

La sucesin de Fibonacci empieza 1, 1; pero una sucesin de Fibonaccigeneralizada puede comenzar con dos nmeros cualesquiera. Pueden enton-ces explorarse variantes de la paradoja basadas en otras sucesiones ms gene-rales. Por ejemplo, la sucesin 2, 4, 6, 10, 16, 26, ... da prdidas y ganancias decuatro unidades de rea. La sucesin 3, 4, 7, 11, 18, ... da prdidas y gananciasde cinco unidades.

Sean a, b, c tres trminos consecutivos cualesquiera de una sucesin deFibonacci generalizada, y sea x la prdida o ganancia. Se verifican las siguien-tes relaciones:


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a + b = c

b2 = ac x

En lugar de x podemos tomar cualquier prdida o ganancia que deseemos,y en lugar de b, la longitud que nos parezca conveniente para lado del cuadra-do. Resolviendo el sistema de ecuaciones tendremos los valores de a y c. Em-pero, puede ocurrir que las soluciones no sean nmeros racionales.

Podremos cortar el cuadrado de forma tal que al redisponer las piezas elrectngulo tenga rea exactamente igual a la del cuadrado?

Para responder a esto, pongamos x 0 en la segunda de las ecuaciones ante-riores, y despejemos b en funcin de a. La nica solucin positiva es

b = (1 + 5 ) a

2

La expresin (1 + 5)/ 2 es la famosa razn urea, ordinariamente deno-tada f (phi). Es ste un nmero irracional de valor 1,618033... Dicho de otraforma, la nica sucesin de Fibonacci en la que el cuadrado de cada trminoes exactamente igual al producto de sus dos trminos adyacentes es

1, , 2, 3, 4, ...

Con cierto trabajo de manipulacin de los radicales podramos demostrarque la sucesin anterior es una verdadera sucesin de Fibonacci, viendo quees equivalente a la sucesin

1, , + 1, 2 + 1, 3 + 2, ...Tan slo si se descompone el cuadrado en longitudes que sean nmeros

consecutivos de la sucesin anterior podremos conseguir que las reas delrectngulo y el cuadrado sean idnticas (aunque, claro, cul es ahora la para-doja?). Para saber ms acerca de la razn urea, y de su relacin con la parado-ja del cuadrado y el rectngulo, vase el captulo dedicado a en mi Second ScientificAmerican Book of Mathematical Puzzles and Diversions.


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Pocos meses despus. Randi retorn con una alfombra de 12 por 12decmetros.

Randi: Omar, viejo amigo, mi estufilla elctrica se cay sobre esta precio-sa alfombra y la ha quemado. Yo creo que cortndola y recosindola ser fcilreparar el agujero.

Aunque Omar no lo vea nada claro, sigui al pie de la letra las instruccio-nes de Randi. Despus de cosidas las piezas, la alfombra segua midiendo 12por 12 y el agujero haba desaparecido!

Omar: Se lo ruego, seor Randi, dgame cmo lo ha conseguido! Dednde ha salido el decmetro cuadrado necesario para llenar el hueco?

7

12

7 9

5

1 2

7

22

5

12

105

5

271

522

5

Cmo podrn cuadrados idnticostener reas diferentes? En la segundade estas paradojas, la prdida de reaviene en forma de agujero real y mani-fiesto. A diferencia de la paradoja ante-rior, el ajuste a lo largo de la lnea obli-cua es perfecto. Qu habr podido su-cederle a la unidad cuadrada que falta?

Para dar con la respuesta, haga us-ted dos ejemplares del cuadrado sinagujero; cuanto mayores, tanto mejor.Uno de los cuadrados debe ser recor-tado con la mxima precisin, descom-puesto, y sus piezas reagrupadas conobjeto de que aparezca el agujero. Unavez en esta disposicin, situemos so-bre ella el cuadrado no descompuesto,ajustndolo cuidadosamente por arri-ba y los costados. Se ver entonces queel cuadrado del agujero no es un ver-dadero cuadrado, sino un rectngulocuya altura es 1/12 de decmetro ma-yor que la base. Esta tira que sobresalepor la parte baja mide 12 por 1/12, ytiene la misma superficie que el aguje-ro del interior.

Tenemos as explicado dnde ha idoa parar el cuadrado unidad. Pero por


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qu aumenta la altura del cuadrado? El secreto es que el vrtice situado sobrela hipotenusa de la pieza rectangular no se encuentra en un punto reticular, esdecir, sus coordenadas no son ambas enteras. Sabiendo esto podr usted cons-truir variantes del cuadrado en las cuales la prdida o ganancia superficial seamayor de una unidad cuadrada.

Esta paradoja es conocida por paradoja de Curry, en recuerdo de suinventor, Paul Curry, mago aficionado neoyorquino. La paradoja admite nu-merosas variantes, incluidas formas triangulares. Si se quiere saber ms sobrecuadrados y tringulos de Curry, vase el captulo 8 de mi libro Mathematics, Magicand Mystery y el captulo 11 de mis New Mathematical Diversions from Scientific American(versin espaola, Nuevos pasatiempos matemticos. Alianza Editorial, 1982).


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Distintos tipos de infinito

Adrin Paenza

Contar

Un nio, desde muy pequeo, sabe contar. Pero qu quiere decir contar?En realidad, dado un conjunto de objetos cualquiera, digamos los discos quealguien tiene en su coleccin, cmo hace para saber cuntos tiene? La res-puesta parece obvia (y en realidad, parece porque lo es). Pero quiero contes-tarla. La respuesta es: para saber cuntos discos tiene uno en su coleccin, loque tiene que hacer es ir y contarlos.

De acuerdo. Es un paso que haba que dar. Pero qu quiere decir contar?Van al sitio donde tienen guardados los discos y empiezan: 1, 2, 3, etctera.

Pero:a) Para poder contar se necesita conocer los nmeros (en este caso, los

nmeros naturales).

b) Los nmeros que usamos estn ordenados, pero a nosotros el orden nonos interesa. Se entiende esto? A ustedes slo les importa saber cuntostienen y no en qu orden est cada uno. Si yo les pidiera que los ordena-ran por preferencia, entonces s importara el orden. Pero para saber cun-tos hay, el orden es irrelevante.

c) Ustedes saben que el proceso termina. Es decir, su coleccin de dis-cos, por ms grande que sea, en algn momento se termina.

Ahora supongamos que estamos dentro de un cine. Todava no ha llegadonadie para presenciar la prxima funcin. Sabemos que hay mucha gente enla calle haciendo cola y esperando que se abran

las puertas.Cmo haramos para saber si las butacas que tiene el cine alcanzarn para

poder sentar a las personas que esperan afuera? O, en todo caso, cmo ha-ramos para saber si hay ms butacas que personas, o ms personas que buta-cas, o si hay la misma cantidad? Evidentemente, la respuesta inmediataque todo el mundo est tentado a dar es: Vea. Yo cuento las butacas quehay. Despus cuento las personas. Y para terminar el proceso, comparolos nmeros.


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Pero eso requiere contar dos conjuntos. Es decir: hay que contar las butacas yluego (o antes) hay que contar las personas.

Es necesario saber contar para poder contestar si hay ms butacas que per-sonas, o personas que butacas o la misma cantidad? La respuesta que podra-mos dar es la siguiente: abramos las puertas del cine, permitamos a la genteque entre y se siente en el lugar que quiera, y cuando el proceso termine,repito, cuando el proceso termine (ya que tanto las butacas como las personas sonconjuntos finitos), nos fijamos si quedan butacas vacas; eso significa que habams butacas que personas. Si hay gente parada sin asiento (no se permite msde un asiento por persona), entonces haba ms gente que lugar. Y si no sobraninguna butaca y nadie est parado, eso quiere decir que haba el mismo nmerode butacas que de personas. Pero lo notable de esto es que uno puede dar larespuesta sin necesidad de haber contado.

Sin necesidad de saber cul es ni el nmero de personas ni el nmero debutacas.

ste no es un dato menor en este contexto: lo que uno est haciendo esaparear a los dos conjuntos. Es como si tuviramos dos bolsas: una en dondeestn las personas y otra en donde estn las butacas. Y lo que hacemos estrazar flechitas que le asignen a cada persona una butaca. Sera el equi-valente a cuando uno compra una entrada en el cine. Si sobran entradaso si faltan entradas o si hay la misma cantidad, es en realidad una manerade haber trazado las flechitas. Pero lo bueno de este proceso es que no hacefalta saber contar.

El segundo paso importante es que cuando yo quiera comparar el nmerode elementos de dos conjuntos, no necesito saber contar. Lo que tengo quehacer es aparearlos, establecer flechitas entre uno y otro.

Slo para ponernos de acuerdo con las notaciones, vamos a llamar cardinalde un conjunto A (y lo vamos a notar #(A)) al nmero de elementos de ese conjunto.

Por ejemplo,

(el cardinal del conjunto jugadores titulares de un equipo de ftbol profesional)= # {jugadores titulares de un equipo de ftbol profesional} = 11,

(el cardinal del conjunto presidentes de la nacin) = # {presidentes de lanacin} = 1,

(el cardinal del conjunto universidades nacionales en la argentina) = #{universidades nacionales en la argentina}= 36,

(el cardinal del conjunto puntos cardinales) = # {puntos cardinales} = 4.


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Como hemos visto, si queremos comparar los cardinales de dos conjuntos nohace falta saber el cardinal de cada uno para saber cul es el ms grande o si son iguales.Basta con aparear los elementos de cada uno. Debe quedar claro, entonces,que para comparar cardinales uno se libera del proceso de contar. Y estoser muy importante cuando tengamos que generalizar la nocin decontar, justamente.

Una ltima observacin antes de pasar a los conjuntos infinitos. Los n-meros naturales son los conocidos e hipermencionados en este libro:

N = {1, 2, 3 ,4, 5}

Vamos a llamar segmento de los naturales de longitud n al subconjunto {1, 2, 3,,(n-2), (n-1), n}. A este segmento lo vamos a denotar [1, n].

Por ejemplo, el segmento natural de longitud cinco,

[1, 5] = {1, 2, 3, 4, 5}

[1, 35] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,, 30, 31, 32, 33, 34, 35}

[1, 2] = {1, 2}

[1, 1] = {1}

Creo que se entiende entonces que todos estos segmentos naturales osegmentos de nmeros naturales comienzan con el nmero uno; la defini-cin entonces es:

[1, n] = {1, 2, 3, 4, 5,, (n-3), (n-2), (n-1), n}.

En realidad podemos decir que contar los elementos de un conjunto finito signi-fica aparear o coordinar o poner las flechitas entre los elementos del con-junto que nos dieron y algn segmento natural. Dependiendo del n vamos adecir que el conjunto tiene cardinal n. O, lo que es lo mismo, vamos a decir que

el conjunto tiene n elementos.Una vez entendido esto, ya sabemos entonces lo que son los conjuntos

finitos. Lo bueno es que tambin podemos aprovecharnos de esta definicinpara entender lo que significa un conjunto infinito.

Qu definicin dar? Intuitivamente, y antes de que yo escriba una defini-cin tentativa, piensen un instante: cundo diran que un conjunto es infini-to? Y por otro lado, cuando piensan en esa definicin, en qu conjunto pien-san?, qu ejemplo tienen a mano?


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La definicin que voy a dar de conjunto infinito les va a parecer sorpren-dente, pero lo curioso es que es la ms obvia: vamos

a decir que un conjunto es infinito si no es finito. Qu quiere decir esto?Que si nos dan un conjunto A y nos piden que decidamos si es finito o infini-to, lo que uno tiene que tratar de hacer es buscar un segmento natural para coor-dinarlo o aparearlo con l. Si uno encuentra algn nmero natural n, de manera talque el segmento [1, n] y el conjunto A se pueden aparear, uno tiene la res-puesta: el conjunto es finito. Pero, si por ms que uno trate, no puede encontrarel tal segmento natural, o lo que es lo mismo, cualquier segmento natural queuno busca siempre se queda corto, entonces es porque el conjunto A es infinito.

Ejemplos de conjuntos infinitos:

a) Los nmeros naturales (todos)

b) Los nmeros pares

c) Los nmeros mltiplos de cinco

d) Los puntos de un segmento

e) Los puntos de un tringulo

f) Los nmeros que no son mltiplos de 7.

Los invito a que busquen otros ejemplos.1

Hablemos ahora un poco de los conjuntos infinitos. En este mismo librohay varios ejemplos (hotel de Hilbert, cantidad y distribucin de los nmerosde primos) que atentan contra la intuicin. Y eso es maravilloso: la intuicin,como cualquier otra cosa, se desarrolla, se mejora. Uno intuye distinto cuanto msdatos tiene. Cuanto ms acostumbrado est a pensar en cosas diferentes, mejorse prepara para tener ideas nuevas.

Agrrense fuerte entonces, porque empezamos ahora un viaje por elmundo de los conjuntos infinitos. Abrchense el cinturn y preprensepara pensar distinto.

1. El conjunto vaco es el nico que tiene cardinal cero. Esto, para salvar el bachelgico que se generara, ya que como el conjunto vaco no se puede aparear conningn segmento natural, entonces, no sera finito. Luego, sera infinito. Ese obst-culo lgico se salva o bien excluyendo al vaco de la discusin o bien, como elijo hacer,diciendo que el conjunto vaco es el nico que tiene cardinal cero.


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Problema

Unos prrafos ms arriba vimos cmo hacer para decidir cul de dos con-juntos tiene ms elementos (o si tienen el mismo cardinal). Decimos, parafijar las ideas, que dos conjuntos son coordinables si tienen el mismo cardinal. Osea, si tienen el mismo nmero de elementos. Como vimos, ya no necesitamoscontar en el sentido clsico. Por ejemplo, el conjunto de todos los nmerosnaturales sabemos que es un conjunto infinito.

Qu pasar con los nmeros pares? Les propongo que hagan el ejerciciode demostrar que tambin son infinitos, o lo que es lo mismo, los nmerospares son un conjunto infinito.

Pero la pregunta cuya respuesta parece atentar contra la intuicin es lasiguiente: si N son todos los nmeros y P son los nmeros pares, en quconjunto hay ms elementos? Yo s que esto invita a una respuesta inmediata(todos los nmeros tienen que ser ms, porque los nmeros pares estn contenidos entretodos). Pero esta respuesta est basada en algo que no sabemos ms si escierto para conjuntos infinitos: es verdad que por el simple hecho de que lospares forman parte de todos los nmeros entonces son menos? Por qu no trata-mos de ver si podemos usar lo que aprendimos en el ejemplo de las buta-cas y las personas? Qu habra que hacer? Deberamos tratar de coordinaro aparear o unir con flechitas a todos

los nmeros y a los nmeros pares. Eso nos va a dar la respuesta correcta.Veamos. De un lado, en una bolsa, estn todos los nmeros naturales, los

que forman el conjunto N. Del otro lado, en otra bolsa, estn los nmerospares, los que forman el conjunto P.

Si yo hago la siguiente asignacin (teniendo en cuenta que a la izquierdaestn los nmeros del conjunto N y a la derecha, los elementos del conjunto P):

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

7 14

(Entienden lo que estoy haciendo? Estamos asignando a cada nmero de Nun nmero de P)


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Es decir, a cada nmero de la izquierda, le hacemos corresponder su doble.Si siguiramos as, al nmero n le hacemos corresponder el nmero 2n. Porejemplo, al nmero 103 le corresponde el 206. Al nmero 1.751, le corres-ponde el 3.502, etctera.

Ahora bien: est claro que a todo nmero de la izquierda le correspondeun nmero de la derecha? Y que cada nmero de la derecha es par? Y estclaro tambin que a cada nmero par (de la derecha) le corresponde un nme-ro de la izquierda (justamente la mitad)? Queda claro que hay una correspon-dencia biunvoca o una coordinacin entre ambos conjuntos? Queda claro que esteproceso muestra que hay la misma cantidad de nmeros naturales que de nmerospares? Esta afirmacin es algo que en principio atenta contra la intuicin. Peroes as. Liberados del problema de tener que contar, ya que en este caso nopodramos hacerlo porque el proceso no terminara nunca en la medida enque los conjuntos son infinitos, lo que acabamos de hacer es mostrar que N yP son coordinables. O sea, que tienen el mismo nmero de elementos.

En el camino queda destruido un argumento que slo es vlido paraconjuntos finitos: aunque un conjunto est contenido en otro, eso no significa quepor eso tenga menos elementos. Para conjuntos infinitos, eso no necesariamen-te es cierto, como acabamos de ver en el ejemplo de todos los nmeros ylos nmeros pares.2

ste es ya un juguete nuevo. Con esto podemos divertirnos un rato yempezar a preguntar: y los impares? Bueno, supongo que cualquiera quehaya seguido el argumento de los prrafos anteriores est en condiciones dedecir que tambin hay tantos impares como nmeros todos. Y por supuestoque hay tantos impares como pares.

A esta altura, conviene que diga que al cardinal de estos conjuntos infinitosque vimos hasta ac (naturales, pares, impares), se lo llama aleph cero. (Alephes la primera letra del alfabeto hebreo, y aleph cero es la notacin que se usauniversalmente para indicar el nmero de elementos de conjuntos infinitos coordinablescon el conjunto de los nmeros naturales).

Qu pasar ahora si consideramos los nmeros enteros? Recuerden quelos nmeros enteros son todos los naturales, pero a los que se les agregan el ceroy todos los nmeros negativos. A los enteros se los denomina con la letra Z (delalemn Zahl) y son:

{ -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }

2. Es ms: en algunos libros se da como definicin de conjunto infinito a un conjunto que tienesubconjuntos propios (o sea, que no son todo el conjunto) coordinables con el todo.


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Est claro, entonces, que los enteros forman un conjunto infinito. Depaso, es bueno observar que si un conjunto contiene como subconjunto a unconjunto infinito, ste tiene que ser infinito tambin (no les dan ganas depensarlo solos?).

Pero volvamos al problema original. Qu pasa con Z? Es decir, qu pasacon los enteros? Son ms que los naturales?

Para mostrar que el cardinal de ambos conjuntos es el mismo, lo que tene-mos que hacer es encontrar una correspondencia biunvoca (es decir, flechitasque salgan de un conjunto y lleguen al otro sin dejar libre ningn elementode ninguno de los dos conjuntos).

Hagamos las siguientes asignaciones:

Al 0 le asignamos el 1

Al -1 le asignamos el 2

Al +1 le asignamos el 3





Y as podremos asignarle a cada nmero entero un nmero natural. Est claroque no quedar ningn entero sin que le corresponda un natural, ni recpro-camente, ningn natural sin que tenga un entero asignado a su vez. Es decir,hemos comprobado con esto que el conjunto Z de los nmeros enteros y elconjunto N de los nmeros naturales tienen el mismo cardinal. Ambos tienencardinal aleph cero. Es decir, los enteros y naturales

tienen la misma cantidad de elementos.Como ejercicio, los invito a que prueben que tambin tienen cardinal aleph

cero (y por lo tanto tienen la misma cantidad de elementos que los enteros olos naturales) los nmeros mltiplos de cinco, las potencias de dos, de tres,etctera. Si llegaron hasta ac y todava estn interesados, no dejen de pensarlos distintos casos y cmo encontrar la correspondencia que demuestra que to-dos estos conjuntos (aunque parezca que no) tienen todos el mismo cardinal.

Ahora peguemos un pequeo salto de calidad. Consideremos los nmerosracionales, que llevan el nombre de Q (por quotient, o cociente en ingls).Un nmero se llama racional si es el cociente de dos nmeros enteros: a/b(excluyendo el caso, obviamente, en que b sea cero). Ya sabemos, como he-mos visto en otra parte del libro, que no se puede dividir por cero.


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En realidad, los nmeros racionales son los que se conocen como lasfracciones, con numerador y denominador nmeros enteros. Por ejemplo, (-7/3), (17/5), (1/2), 7, son nmeros racionales. Es interesante notar, que cual-quier nmero entero es tambin un nmero racional, porque todo nmero enteroa se puede

escribir como una fraccin o como cociente de l mismo por 1. O sea:

a = a/1

Lo interesante es tratar de ver que, aunque parezcan muchsimos ms, los racio-nales tambin tienen a aleph cero como cardinal. O sea, tambin son coordinablescon los naturales. As, en el lenguaje comn (que es el til), hay tantos racionalescomo naturales.

La demostracin es interesante porque lo que vamos a hacer es una asig-nacin que ir en espiral. Ya se va a entender.

Hacemos as:

Al 0 le asignamos el 1

Al 1/1 le asignamos el 2













Como se ve, a cada nmero racional no negativo (o sea, mayor o igual que cero)le asignamos un nmero natural. Esta asignacin es biunvoca, en el sentidode que a todo racional le corresponde un natural y viceversa. La nica obser-vacin que habra que considerar es que hice todo esto para los racionales


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positivos. Si uno quiere agregar los negativos, la asignacin debe ser diferente,pero creo que el lector sabr ingeniarse para hacerla (en todo caso, en la pgi-na de soluciones hay una propuesta para hacerlo).

Una observacin que surge es que en la columna de la izquierda yo estoypasando varias veces por el mismo nmero. Por ejemplo, el 1 en la columna dela izquierda aparece como 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, etctera; o sea, aparece muchasveces. Afecta esto la cardinalidad? Al contrario. En todo caso, si uno tieneque conjeturar algo a priori, es que el conjunto de los racionales parece tenerms elementos que los naturales y, sin embargo, la asignacin que acabo de ofre-cer muestra que tienen el mismo cardinal. En todo caso, muestra que a pesar derepetir varias veces el mismo racional, sigue habiendo naturales para todosellos. Lo cual es un hecho francamente notable y antiintuitivo.

Y ahora llegamos al punto central. La pregunta que uno tiene que hacersees la siguiente: da la sensacin de que todos los conjuntos infinitos tienen el mismocardinal. Es decir, hemos revisado los naturales, los pares, los impares, losenteros, los racionales, etctera. Todos los ejemplos que hemos visto de con-juntos infinitos resultaron ser coordinables a los naturales, o lo que es lomismo, tienen todos el mismo cardinal: aleph cero.

Con todo derecho, entonces, uno podra decir: Bueno. Ya sabemos cu-les son los conjuntos infinitos. Habr muchos o pocos, pero todos tienen elmismo cardinal. Y aqu es donde aparece un punto central en la teora deconjuntos. Hubo un seor que hace muchos aos, alrededor de 1880, se tro-pez con un problema. Tratando de demostrar que todos los conjuntos infi-nitos tenan el mismo cardinal, encontr uno que no. El seor, por ms es-fuerzos que haca por encontrar las flechitas para poder coordinar su conjun-to con los nmeros naturales, no poda. Tal era su desesperacin que en unmomento cambi de idea (e hizo algo genial, claro, porque tuvo una ideamaravillosa) y pens: y si no puedo encontrar las flechitas porque no esposible encontrarlas? No ser preferible que trate de demostrar que no se puedenencontrar las flechitas porque no existen?.

Este seor se llam Georg Cantor. Van a encontrar una breve resea bio-grfica de l en otra parte del libro, pero al margen de lo que all diga, a Cantorlo volvieron loco. La comunidad cientfica especialista en el tema lo enloque-ci, literalmente.

Cuando Cantor descubri que haba infinitos ms grandes que otros, dijo: Loveo y no lo creo.

Pero qu es lo que hizo Cantor? Para entenderlo, necesito recordar aqupor un momento qu es el desarrollo decimal de un nmero (sin entrar en


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demasiados detalles). Por ejemplo, cuando defin los nmeros racionales,digamos el nmero 1/2, qued claro que este nmero tambin se puedeescribir as:

1/2 = 0,5

Y agrego otros ejemplos:

1/3 = 0,33333

7/3 = 2,33333

15/18 = 0,8333

37/49 = 0,75510204

Es decir, cada nmero racional tiene un desarrollo decimal (que se obtie-ne, justamente, haciendo el cociente entre los dos nmeros enteros). Lo quesabemos de los nmeros racionales es que al hacer el cociente, el desarrollodecimal es, o bien finito (como en el caso de 1/2 = 0,5, porque despusvendran slo ceros a la derecha de la coma), o bien es peridico, como 1/3 =0,33333, en donde se repite un nmero (en este caso el 3), o podra ser unconjunto de nmeros (que se llama perodo), como en el caso de (17/99) =0,17171717 en donde el perodo es 17, o bien, en el caso de (1743/9900) =0,176060606 en donde

el perodo es 60.Es ms: podemos decir que todo nmero racional tiene un desarrollo de-

cimal finito o peridico. Y al revs: dado un desarrollo decimal finito o peri-dico cualquiera, eso corresponde a un nico nmero racional.

A esta altura, yo creo que puedo suponer que los lectores entienden lo que esel desarrollo decimal.

Con todo, hay nmeros que no son racionales. Son nmeros que tienen undesarrollo decimal pero que se sabe que no son racionales. El ejemplo ms fa-moso es p (pi). Se sabe (no lo voy a probar aqu) que p no es un nmeroracional. Si siguen interesados en ms ejemplos, en este mismo libro est lademostracin que enloqueci a los pitagricos de que la raz cuadrada de2 (2) no es racional. Y por otro lado, por all tambin anda el nmero e, quetampoco es racional.

Ustedes saben que el nmero p tiene un desarrollo decimal que empieza as:

p = 3,14159


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El nmero 2 tiene un desarrollo decimal que empieza as:

2 = 1,41421356

El nmero e tiene un desarrollo decimal que empieza as:

e = 2,71828183

La particularidad que tienen todos estos nmeros es que tienen un desarrollodecimal que no termina nunca (en el sentido de que no aparecen ceros a laderecha de la coma a partir de ningn momento) y tampoco son peridicos (en elsentido de que no hay un lugar del desarrollo a partir del cual se repita indefini-damente un segmento de nmeros). Estos dos hechos estn garantizados porquelos nmeros en cuestin no son racionales. Es ms: las cifras de cada nmero sonimposibles de predecir en funcin de las anteriores. No siguen ningn patrn.

Creo que se entiende entonces cules son esta clase de nmeros. Ms an:todo nmero real que no sea racional se llama irracional. Los tres ejemplos queacabo de poner son tres nmeros irracionales.

Cantor propuso entonces: voy a probar que hay un conjunto infinito queno se puede coordinar con los naturales. Y para eso, sigui diciendo: el conjuntoque voy a tomar es el de todos los nmeros reales que estn en el segmento [0,1].3

Un momento: tomen una recta, marquen un punto cualquiera y llmenlocero. Los puntos que estn a la derecha se llaman positivos y los que estn a laizquierda se llaman negativos.

3. Aqu conviene decir que los nmeros reales consisten en la unin del conjunto de losracionales y el de los irracionales (o sea, los que no son racionales).

Cada punto de la recta corresponde a una distancia del cero. Ahora marquenun punto cualquiera ms a la derecha del cero. se va a ser el nmero 1 para

Positivos

Cero

Negativos


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ustedes. A partir de all, uno puede construir los nmeros reales. Cualquierotro punto de la recta est a una distancia del cero que est medida por lalongitud del segmento que va desde el cero hasta el punto que usted eligi.Ese punto es un nmero real. Si est a la derecha del cero, es un nmero realpositivo. Si est a la izquierda, es un nmero real negativo. Por ejemplo el 1/2 es el punto que est a la mitad de la distancia de la que usted marc como 1.El (4/5) est a cuatro quintas partes del cero (es como haber partido el seg-

mento que va desde el 0 hasta el 1 en cinco partes iguales, y uno se queda conel punto que queda al elegir las primeras cuatro).

Est claro, entonces, que a cada punto del segmento que va entre el 0 y el1, le corresponde un nmero real. Ese nmero real, puede ser racional o irracio-nal. Por ejemplo, el nmero (2 - 1) = 0.41421356. es un nmero irracio-nal que est en ese segmento. El nmero (p/4), tambin. Lo mismo que elnmero (e - 2).

Cantor tom entonces el segmento [0,1]. Son todos los nmeros reales delsegmento unitario. Este conjunto es un conjunto infinito de puntos. Pinsenloas: tomen el 1, dividan al segmento por la mitad: tienen el 1/2. Divdanloahora por la mitad: tienen el nmero (1/4). Divdanlo por la mitad: tienen el(1/8). Como se advierte, dividiendo por la mitad cada vez, uno obtiene siem-pre un punto que est en la mitad de la distancia del que

tena antes. Eso va generando una sucesin infinita de puntos: (1/2n), todoslos cuales estn en el segmento [0,1].

Falta poco. Cantor dijo entonces: voy a suponer que este conjunto (seg-mento unitario) se puede coordinar con los naturales. O sea, supuso que tenan elmismo cardinal. Si esto fuera cierto, entonces debera haber una asignacin (o loque llamamos las flechitas) entre los elementos del segmento [0,1] y losnmeros naturales. Resultara posible, como en los ejemplos anteriores, quepodramos poner en una lista a todos los elementos del segmento [0,1].

cero uno1/5 2/5 3/5 4/5


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Y eso hizo:

1 0, a11

a12

a13

a14

a15

a16

2 0, a21

a22

a23

a24

a25

a26

3 0, a31

a32

a33

a34

a35

a36

4 0, a41

a42

a43

a44

a45

a46

n 0, a

n1 a

n2 a

n3 a

n4 a

n5 a

n6

En este caso, lo que representan los distintos smbolos de la forma apq

, sonlos dgitos del desarrollo de cada nmero. Por ejemplo, supongamos que s-tos son los desarrollos decimales de los primeros nmeros de la lista:

1 0,783798099937

2 0,523787123478

3 0,528734340002

4 0,001732845Es decir,

0, a11

a12

a13

a14

a15

a16

= 0,783798099937

0, a21

a22

a23

a24

a25

a26

= 0,523787123478

y as siguiendo.O sea, lo que Cantor hizo fue suponer que existe una manera de poner

flechitas, o de hacer asignaciones, de manera tal que todos los nmeros realesdel segmento [0,1] estuvieran coordinados con los naturales.

Y ahora, la genialidad de Cantor: voy a construir un nmero que est en elsegmento [0,1], pero que no est en la lista.

Y lo fabric as: se construy el nmero

A = 0, b1 b

2 b

3 b

4 b

5 b

6 b

7 b

8

Uno sabe que este nmero est en el segmento [0,1], porque empieza con 0,Pero quines son las letras b

k? Bueno, Cantor dijo:


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Tomob

1 de manera que sea un dgito diferente de a

11

b2 de manera que sea un dgito diferente de a

22

b3 de manera que sea un dgito diferente de a

33

bn de manera que sea un dgito diferente de a

nn

De esta forma, tengo garantizado que el nmero A no est en la lista. Porqu? No puede ser el primero de la lista, porque el b

1 difiere de a

11. No puede

ser el segundo, porque el b2 difiere de a

22. No puede ser el tercero, porque el b

3

difiere de a33

. No puede ser el ensimo, porque el bn difiere de a

nn.4 . Luego,

Cantor se fabric un nmero real que est en el segmento [0,1] que no est en lalista. Y esto lo pudo construir independientemente de cul fuera la lista.

Es decir, si viene cualquier otra persona y le dice yo tengouna lista dife-rente de la suya, y la ma s funciona y contiene todoslos nmeros reales del intervalo[0,1], Cantor puede aceptarle cualquier desafo, porque l puede construir un nmeroreal que debera estar en la lista, pero que no puede estar.

Y eso culmina la demostracin, porque prueba que si uno quiere haceruna correspondencia biunvoca entre los nmeros reales y los nmeros natu-rales, va a fracasar. Cualquier lista que presuma de tenerlos a todos pecar por dejaralguno afuera. Y no hay manera de arreglarlo.5

Este mtodo se conoce con el nombre de mtodo diagonal de Cantor; fue unode los saltos cualitativos ms importantes de la historia, en trminos de losconjuntos infinitos. A partir de ese momento, se supo entonces que habainfinitos ms grandes que otros.

La historia sigue y es muy profusa. Dara para escribir muchsimos librossobre el tema (que de hecho estn escritos). Pero slo para dejarnos a todoscon un sabor bien dulce en la boca, quiero proponerles pensar algunas cosas:

4. Para poder usar este argumento hay que saber que la escritura decimal de un nmero es nica,pero se requerira el uso de una herramienta un poco ms sutil.

5. El nmero 0,0999999 y el nmero 0,1 son iguales. Es decir, para que dos nmerosracionales sean iguales, no es necesario que lo sean dgito a dgito. Este problema se generacada vez que uno admite que haya infinitos nmeros nueve en el desarrollo decimal.Para que la construccin que hice del nmero que no figura en la lista sea estrictamentecorrecta, hay que elegir un nmero que sea diferente de aII y de 9 en cada paso. Eso evita, porejemplo, que si uno tiene el nmero 0,1 en la lista, y empieza poniendo un 0 en el lugar a11y luego elige siempre nmeros 9, termina por construir el mismo nmero que figuraba en elprimer lugar.


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a) Supongamos que uno tiene un dado con diez caras y no seis, como loshabituales. Cada cara tiene anotado un dgito, del 0 al 9. Supongamos que unoempieza a tirar el dado hacia arriba. Y va anotando el numerito que va salien-do. Empieza poniendo 0, de manera que el resultado termine siendo unnmero real del intervalo [0,1]. Piensen lo siguiente: para que el resultado seaun nmero racional, el dado de diez caras tiene que empezar a repetirse apartir de un determinado momento, ya sea porque da siempre cero, o bienporque repite un perodo. En cualquier caso, si no repite o no empieza a dar ceroconstantemente, es porque dio un nmero irracional. Si repite o empieza a darsiempre cero es racional. Qu les parece que es ms posible que pase? De lasdos alternativas, cul les parece ms factible? Esto sirve para que intuitivamenteadvirtamos cuntos ms son los irracionales que los racionales.

b) Si uno tuviera una recta, y pudiera excluir los racionales, no se notaranvirtualmente los agujeros. En cambio, si excluyramos a los irracionales, casino se veran los puntos que quedan. Tanto ms grande en tamao es el con-junto de los reales comparado con el de los naturales. (La palabra casi estusada adrede, porque no es que no se veran los racionales sino que la idea que quierodar es que los irracionales son muchsimos ms que los racionales.)

c) Hay muchas preguntas para hacerse, pero la ms inmediata es la siguien-te: es el conjunto de nmeros reales el que tiene infinito ms grande? Larespuesta es no. Uno puede construirse conjuntos arbitrariamente grandes ycon un cardinal infinito ms grande que el anterior. Y este proceso notermina nunca.

d) Otra direccin de pregunta podra ser la siguiente: vimos recin que losreales son ms que los naturales, pero hay algn conjunto infinito que tengacardinal ms grande que el de los naturales y ms chico que el de los reales?Este problema es un problema abierto de la matemtica, pero se supone queno hay conjuntos infinitos en el medio. Sin embargo, la hiptesis del continuo diceque la matemtica seguir siendo consistente, se pruebe que hay o no hayconjuntos con infinitos ms grandes que el de los naturales y ms chicos queel de los reales.

Segmentos de distinta longitud

Como hemos visto reiteradamente en este libro, todo lo que tenga que vercon los conjuntos infinitos es ciertamente fascinante. La intuicin es puesta aprueba y los sentidos tambin. La famosa frase de Cantor (lo veo, pero no locreo) caracteriza bien lo que nos ocurre cuando tropezamos con ellos (losconjuntos infinitos) las primeras veces.

Otro ejemplo muy ilustrativo es el de los segmentos.


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Tomemos dos segmentos de distinta longitud. Llammolos [A,B] y [C,D].Uno sabe (sabe?) que todo segmento tiene infinitos puntos. Si necesitan unaconfirmacin, marquen el punto medio del segmento. Ahora tienen dossegmentos iguales. Tomen cualquiera de ellos, marquen el punto medio ycontinen con el proceso. Como advierten, siempre hay un punto en elmedio de dos y, por lo tanto, el nmero de puntos que contiene un seg-mento es siempre infinito.6

Lo interesante es preguntarse, cmo se comparan los infinitos? Es decir,quin tiene ms puntos si dos segmentos tienen distintas longitudes como[A,B] y [C,D]? La respuesta es sorprendente tambin y es que ambos tienen elmismo nmero de puntos. Infinitos, ciertamente, pero el mismo nmero. Cmo conven-cerse de esto?

Como ya hemos visto en el captulo de los distintos tipos de infinitos, esimposible tratar de contar. Necesitamos otros mtodos de comparacin. Y laherramienta que us en otras partes, es la de las asignaciones o flechitasque unen los elementos de uno con los elementos de otro (recuerden el apa-reamiento de nmeros naturales con los enteros, o con los racionales, etcte-ra). En este caso, entonces, hago lo mismo.7

6. Este argumento ya lo utilic en el captulo sobre los diferentes infinitos de Cantor.

7. Excluyo los segmentos que contienen un solo punto, lo que podramos llamar un segmentodegenerado [A,A]. Este segmento contiene un solo punto: A.

Este hecho, naturalmente, atenta contra la intuicin, porque se desprendeque un segmento que una la parte externa de la pgina que ustedes estnleyendo con la parte interna, tiene la misma cantidad de puntos que un segmento queuna la Ciudad de Buenos Aires con la de Tucumn. O un segmento que una laTierra con la Luna.

A 1 2 3 4 B

C 1 2 3 4 D


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Un punto en un segmento

Les propongo el siguiente ejercicio para comprobar su familiaridad conlos grandes nmeros.

1) Tomen una hoja y algo con qu escribir.2) Tracen un segmento (hganlo grande, no ahorren papel justo aho-

ra, aunque el ejemplo funciona igual).3) Pongan el nmero cero en el extremo izquierdo de su segmento.4) Pongan el nmero un billn en el extremo derecho. Es decir, uste-

des van a suponer que el segmento que dibujaron mide un billn. Marquen enel mismo segmento el nmero mil millones. Dnde lo pondran?

La respuesta, en las pginas de soluciones.


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El mtodo axiomtico

Cesar A. Trejo

1. Sistemas deductivos y axiomas

1.1 Una teora cientfica no es un simple catlogo o lista de proposiciones.El conocimiento cientfico se alcanza slo cuando nuestras proposiciones seestructuran de modo sistemtico, de suerte que podamos advertir sus mutuasrelaciones.

Ahora bien, qu relaciones mutuas importa percibir?; cmo se estructuranlas proposiciones en una disciplina cientfica? En una ciencia, algunas propo-siciones se pueden deducir o demostrar a partir de otras: por ejemplo, tantolas leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas como las de Galileosobre la cada de los graves, pueden deducirse de las leyes generales de laDinmica y la ley de gravitacin de Newton; la relacin mutua entre estasleyes es una parte de la ciencia fsica.

Una disciplina matemtica (y tambin la Lgica) se estructura en un con-ju

una curiosa seleccion de txts - una invitación a la lectura

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