un radical es una expresión de la forma , en la que n y a...
TRANSCRIPT
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
RADICALES
Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
Radicales equivalentes Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:
Si se mult ipl ican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural , se obtiene otro radical equivalente.
Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplif icado.
Reducción de radicales a índice común 1Hallamos el mínimo común múlt iplo de los índices , que será el común índice 2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se mult ipl ica por sus exponentes correspondientes.
ROSA 1
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores . Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando . Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando . Un exponente es mayor que el índice , se divide dicho exponente por el índice . El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical .
Operaciones con radicales Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
ROSA 2
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Multiplicación de radicales Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se mult ipl ican los radicandos y se deja el mismo índice .
Cuando terminemos de real izar una operación extraeremos factores del radical , si es posible. Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se mult ipl ican.
División de radicales Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
ROSA 3
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Cuando terminemos de real izar una operación simplif icaremos el radical , si es posible.
Potencia de radicales Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Racionalizar Consiste en quitar los radicales del denominador , lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos.
ROSA 4
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
1Del tipo
Se mult ipl ica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se mult ipl ica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical . Se mult ipl ica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
ROSA 5
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
ROSA 6
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Un radical es una ex pres ión de la forma , e n la q ue n y
a ; con ta l q ue cuand o a sea neg at iv o, n h a de se r impar .
Potenc i as y radic ales
Se puede expre sar un radical en f orma de potenc i a:
Radiales equivalentes
Ut i l i zand o l a not ac ión de exponente f ra cc i onar io y la p r op iedad
de la s f ra cc i one s que d ice que s i se mu lt ip l ica numerad or y
ROSA 7
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
denom inado r por un mi smo número la f rac c i ón es eq u iv a le nte ,
ob tenemos que :
S i se mu lt ip l ic an o d iv iden e l ín dic e y e l expon ent e de un
radic al por un m i smo número nat ural , se ob t iene ot ro radic al
equ ival ent e .
Simpli ficación de radicales
S i ex is te un número natural q ue d iv i da a l ín dice y a l
expon ent e (o l os exp onentes) de l ra d i cand o, se ob t ie ne un radica l
s impl i f icado .
1Hal lamos e l míni mo común múl t ip lo de l os índic es , que se rá
e l común índ ice
2Div idi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y
cada resu l tad o ob ten id o se mult i pl ic a po r sus expon ent es
cor re spond ientes .
ROSA 8
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone e l r ad i cando en f acto res . S i:
1 Un expon ent e es menor que e l índ ice , e l fac t or
cor re spond iente s e de ja en el radic an do .
2Un expon ente es igual a l índ ic e , e l fa c tor c or resp ond ie nte
sale f uera del radic ando .
3Un exponente es mayor que el ín dic e , se div i de d icho
exponente por el í ndic e . E l coc ient e ob te n id o es e l exponen te del
fac tor fuera de l ra d i cand o y e l resto es e l exponen te del fac to r
den tro de l r ad i cando.
ROSA 9
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introducen lo s fac to res e lev ados a l í n dice cor re spond iente
de l radic al .
Solamen te p ueden s umars e (o restarse) dos rad ical es
cuando son radical es semejan tes , e s dec i r , s i son radica les con e l
mismo ín dice e i gu al radic an do .
ROSA 10
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Radic ales del mis mo í nd ice
Para mult i pl icar rad ical es con el mismo ín dice se
mult i pl ican los radic an dos y s e de ja el m ismo ín dic e .
Cuando te rm inemos d e rea l iz a r una oper ac i ón e xtraeremos
factores del radical , s i e s p os ib le .
Radic ales de dis t int o ín dice
Pr imero se reducen a í ndic e común y lueg o se mult i pl ic an .
ROSA 11
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Radicales del mismo índice
Para d iv id i r r ad i ca les con e l mi smo índ i ce se div iden los
radic an dos y s e deja e l mis mo í ndic e.
Radicales de distinto índice
Pr imero se reducen a í ndic e común y lueg o se div i den.
ROSA 12
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Cuando te rm inemos de re a l i za r una oper ac i ón s i mpl i f icaremos
el radical , s i e s p os ib le .
Para e levar un radic al a una potenc i a , se e leva a d ic ha
pot enc i a e l radic an do y s e de j a e l mismo í ndice .
ROSA 13
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
La raíz de un radic al es ot r o radic al de igual radican do y
cuyo ín dice es e l producto de l os dos ín di ces .
ROSA 14
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
La rac ion al iz ac ión de radic al es cons i s te en qui t a r lo s
radic ales del denominador , l o que perm i te fac i l i t a r e l cá lc u l o de
operac i one s como la suma de f ra cc iones.
Podemos d is t ing u ir t res c asos.
1Rac ion al iz ac ión de l t ip o
Se mu lt i pl ica e l n umerador y e l denomin ador po r .
2Rac ion al iz ac ión de l t ip o
Se mu lt i pl ica numerador y den omi nador po r .
ROSA 15
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
3Rac ion al iz ac ión de l t ipo , y en g enera l cuando e l
denom inado r s ea un bi nomi o con al men os un radical .
Se mult i pl ic a e l nu merador y denomi nador po r e l conju gado
del denomin ador.
E l con jug ado de un b inom io e s igua l a l b i nom io c on e l s i gno
cent ra l camb iado:
Tamb ién te nemos q ue te ner e n cuenta que: "s uma por
di fe renc ia es i gu al a d i fe renc i a de cu adrados " .
ROSA 16
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
RESUMEN
Un radica l es un a expres ión de la f orma , en la que n
y a ; con t al que cu an do a s ea negat ivo, n h a de s er
impar.
Se puede expresar u n radical en f orma de potenc ia:
Radiales equivalentes
Simpli ficación de radicales
ROSA 17
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Si exis t e un nú mero nat ural qu e div i da al ín dice y al
expon ent e (o los exponentes ) del rad ican do, se obt ien e un
radic al s impl i f ic ado.
Reducción de radicales a índice común
1Hal lamos e l míni mo común múl t ip lo de l os índic es , que se rá
e l común índ ice
2Div idi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y
cada resu l tad o ob ten id o se mult i pl ic a po r sus expon ent es
cor re spond ientes .
Extracción de factores fuera del s igno radical
Se descompone e l r ad i cando en f acto res . S i:
Un expon ente es menor que e l índ i ce , e l fa c tor
cor re spond iente s e de ja en el radic an do .
Un exponente es igual a l índ ic e , e l fa c tor cor re spond iente s al e
fuera del radican do .
Un exponente es mayor qu e el í ndic e , se div i de d icho
exponente por el í ndic e . E l coc ient e ob te n id o es e l exponen te del
fac tor fuera de l ra d i cand o y e l resto es e l exponen te del fac to r
den tro de l r ad i cando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introducen los fac t ores el ev ados al ín dice
corres pon di ente del radic al .
ROSA 18
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Operaciones con radicales
Suma de radicales
Solamen te pueden sumarse ( o restarse) dos radical es
cuan do son radica les s emejant ess , es dec ir , s i son rad ical es con
el mis mo í ndic e e igual radic an do.
Producto de radicales
Radic ales del mis mo í nd ice
Radic ales de dis t int o ín dice
Primero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e mu lt i pl ican.
Cociente de radicales
Radic ales del mis mo í nd ice
Radic ales de dis t int o ín dice
Primero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e div i den.
Potencia de radicales
ROSA 19
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
Raíz de un radical
Racionalizar
Cons is t e en qui t ar l os radical es del denomin ador , lo que
permite fac i l i t a r e l c á l cu lo de op erac i ones c omo la suma de
f rac c i one s.
Podemos d is t ing u ir t res c asos.
1De l t ipo
Se mu lt i pl ica e l n umerador y e l denomin ador po r .
2De l t ipo
Se mu lt i pl ica numerador y den omi nador po r .
ROSA 20
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
3De l t ip o , y en genera l cuando e l denominador sea
un bin omi o con al menos un radic al .
Se mult i pl ic a e l nu merador y denomi nador po r e l conju gado
del denomin ador.
ROSA 21
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
EJERCICIOS RADICALES
1Calcula los valores de las siguientes potencias:
1
2
3
4
2Extraer factores:
1
2
3Introducir factores:
1
2
4Poner a común índice:
5Real iza las sumas:
1
ROSA 22
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
2
3
4
6Hal la las sumas:
1
2
3
4
7Efectúa las sumas:
1
2
8Real izar los productos:
1
2
3
9Efectúa las divisones de radicales:
ROSA 23
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
1
2
3
10Calcula:
11Opera:
12Real iza las operaciones con potencias:
1
2
13Rea l i z a l as op e r ac i on es :
ROSA 24
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
1
2
3
4
14Ca lcu la:
1
2
15Efe ctuar :
1
2
3
16Rac iona l i zar l os rad ica le s:
ROSA 25
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
1
2
3
4
5
17Rac iona l i zar
1
2
3
4
5 ROSA
26
ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14
ROSA 27