un paseo por los numeros - actatitle un paseo por los numeros.qxp created date 8/1/2008 1:36:42 pm

8
Un paseo por los números E l suizo Leonhard Euler ha sido reconocido como el maestro de los matemáticos. Nacido en Basilea en 1707, como hijo y nieto de pastores calvinistas fue un hombre de honda religiosidad que parecía predestinado a servir en la carrera eclesiástica. Mas su talento para el cálculo y los razonamientos abstractos le desvió de aquel primer cami- no y encauzó su vida hacia las matemáticas, su gran dedicación. Hoy se le distingue como el mayor representante de estas ciencias del siglo XVIII y uno de los más ilustres de la historia. Al decir de los entendidos, en el Olimpo particular de su especialidad comparte trono con Arquí- medes, sir Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss, el príncipe matemá- tico que viera la luz en una miserable casucha de Brunswick. Antonio Rincón Córcoles AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS 33 La amistad con la familia Bernoulli tuvo un efecto trascendental en la vida de Euler. El patriarca, el también suizo Johann Bernoulli, des- cubrió los talentos del joven Leonhard y le instruyó en los secretos de su conocimiento. Los hijos de aquél, Daniel y Nicolas, impulsaron a Euler decisivamente en su carrera. Estando ambos destacados en la prestigiosa Academia Imperial Rusa de las Ciencias, la muerte repen- tina de Nicolas llevó a Daniel a recomendar a su compatriota para ocupar el puesto vacante. Con sólo veinte años, Euler se trasladó así a San Petersburgo e inició una próspera relación con la corona rusa. Fundada bajo el mecenazgo de Pedro I el Grande, la Academia de San Petersburgo había prometido a Euler amplios poderes de cátedra y recursos financieros para cumplir la ambición del monarca: acercar la educación y el saber científico en Rusia a los niveles de la Europa occidental. Pero Pedro el Grande había fallecido dos años antes y su esposa y sucesora, Catalina I, perdió la vida el día de la llegada del Dios hizo los números naturales. Los demás son obra del hombre. Leopold Kronecker

Upload: others

Post on 11-Aug-2020

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

���������������������

������������ ��������� ������������������������� ����������� ������������ �������� ��� ���������������������������

� ������� � ����� ��!��������"�������� ����#����� ��$��� ��% ������� ��� ��� ������ �� ��� ���������� ��& ������ ������ � ����������������� ��� ������� "��� ��������� �'��� $���������� ��(������� ��'���� �� �� �� �� ��� ������ ������#� ������ ��'���)������������#���������� ���������� ������� ������� �������#��*+,,, ��������������������������� �������� ��-��������������������������.������� ������ ����������� ��� ������ �������������-�$�%(���������,� ���/������0 ���1��������2 ����������%������ ���(������$�� �� �� ��������� ����� "��� ���� ��������/��3�

������������������ �

����������������������������������

��

� ���� ������� �! ���� ������������ �����!������ ������ ���� � �� ������������� ��� �� ����� �"�4��������5�� ���������������(��"��'������ ����������� ����� ��������������'������������������������������������������ $�4���6 ����������� ��� ������ ���� ���������� ���������� ��� ����� ���� �"������ � ������ � �����#��� �-� ��� �,���� ��7�� ���� ��0���� ���� ���������(��� �������� �� �� '� �6 ���� � ������ �� � ��� ���� ����� � � � ���� ���������� � ����0����'��� ���� 8������������� �� �'� �% �9 ��:���"��#��������'��� ���'��� ��� ��'������� ������ ���� �

1��� � �" �������� �#����:����, ��2� ����� �-� ��� ��9 ��:���"��#��� "% ���������� ������ �������������������� ����������!�� �������� � ���������� � �"���'�������� �� ;� ��� �� ���� ��'������� "������%!������7��� � ������� ������ ������ ������� ���:���:������2� ���� "% �! ����������� 8��� ������������ ��������� ��0 � ��� � ,������'� � � �� ����% ��� � � ��# � ���

���������������� ������ ��������������������� ���������� ��

������<����3�

Page 2: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

������ �� ����� �������������:����,,� � � �� �������� ���������� 8������� � ������� �� �$��������(� " ��������'������ �����������%!�����=�� ������6 �������������������������������!������������(� "�������������# �� ��� ��$����� � ��������� "������������ ���# ��� �

:��������������!���� �=���%��� ��� ��'�������������"����������� ���������'���� �� ���#������% ������� �� �������% �� ��#���% ���� ����� !�� ������ ���� ����������������%!������� �������� ��� � ����������� �� 8����� ���������� ������#�� ��� �� � � ��� ��� �� #������������ ��'�� � �� � � � !����� ��� ��� �� �$��� �-� ��� ���9 ��:���("��#�� �#���% � ��"��� ���� ���� � ���������� ��4�������� ��� �� ���4� � ������4������������

��������!���� �!��� � �� ������ ���������6���� ��� ���� < �� ��� � 2����� �� � ���� ����� ��#� � �������������� �� �� ������������� ����$��'�����������"� � ����� �� ���! ��� ����������������������� � 8������� ������������'�� � ���'�������������� � ��������� ����� � !�"�� � ��� �� ��� 9� ��� � ��!��'� ����4�� ��� �������� ����� �� ���#��� �$�� �� �����% � �� � � �#�� � �� � � ! �� !�� �� �� �� �� �

>��������������� ���'��������8������%!���������?��������������� ����������� �������� ���"�(� ���� �� ���'������������� ����������������� (����1������,, ��2� ��������#��������� ���������(���� �� � �� ����� ��� � �� ���� �� � � !�����!% � � "% ������ ��� � �-� ��� ������%��� � � �$�� �� ��� �#�� ���� � �����������"���� ����������� �� �� ��� �"����� ���������������# � ���� ��� ��(�������� 8���� �����'� � �� !� �� ����� � � ��� ;� @A�� ��%������������������ ��"�������������������� ��"�!�������� �� �������� ��!���� ��� > �"�4�� ��� �'� � $������ 8��� ����� �������� � �:����� ���-�� ��(6�� ��� ��"��� � ��� ��� �� �� ���� � � $�� � ��� ��� � ������������ � �������� � $�� ��"�'� ! � � ���� ������ �

9����" �#������ � ������������# ������������� � �% � ������ �� �� � �� �!��"� �� �� � � �����1������ ,, ��� " ���� �������������������� �������� � " ����� � ���� �� �� �"� ������+��� ����������!��'��!����� �" ���� ���������� � ��0��� ��(��������!� $� " ���� �� ������� �4���� ������ ���������"������"��� ��������� �� ��� �!�% � �� ��������������������� ��� �����������������%�������� ����'������� �����!����'�������0� ����� ����� ��'������������������"���������#��'� �9 ��:���"��(#��� ��� �������� ���� �#����0 � ��� �,, � �2� ���

:������ ������#������� �� ����� �� � � � ��������"��������� ���'�������� " ����: ��������!������ " �� �� ���� ��� � �� �������� ��� � ������ $�$�� ���� �#���� � �� �� �� ����� ���� ��%������� ���

�� ������"������� �� ����� � � � ����� � ������������� "����7 �������'�� ���� ��'��� ���(��� �� �� �����'� �� �������� �� !����'��� ����'� � �!����� ����� ����#������% ��������������� ���������� #����% �� � � ���% � �� #� !���� � �� ����� �� !%��� �� ������� ���9��� ������ "��� � �� !'���� ����� ���(���� ������� �� �� ���� �� $�� �� �� ��� ���"��B� � �� �� ��� � � ������ �� �� ������ ���#� �� �� C��� ��������� �!'���� ������C������������ "����� ��� ��'��� ������ ��0���� ������������ ���������"�����#������% ��� ������� ��!�� � ������� ���� (��'������"�� ������ � �%;

��π D���E��

��� ������ �%��� ���� � ��� �� ���"���#% ����%!�� ����������� ���������������������������C����� ���#�� ��;�π�� � �'������ � � ���#������� � ������!���� �������������F����� �" ����������# ���(����� ��� ��������� ����� ���� #�� �� ��������� �� (������#� �� �G����������C������� ������� �#���(��� �� �� ������� ��� ������ ��%������ ��� 4�� � ������ ������ ��� ������ ����#��!�� ������������(������ ����������� ��'������ � �� ����� � ������ ������� ��� �������'�������������!%����������� �������������H������π������I������ ����������������� �$�� ���� ��� ��� ������ ��������� ���� ����� ������� ��������� ���

����������������

��� �C����� ��������% �� �� � ��!%���� "��� ���'�� � �$������������ �� �#������0� ��� �� ���% ������% ���� ������ ���������;��C����������������� �����'�� �� �����#��� F� ���� ������� ����� J�� �!K� "% ������ � �����������! �� " ����������� ��(���'�����"����������� ���9'��� ��% �$����� ���� � ����� ��������������% �� �������� ������������������� ��������:����� �� � �� ������� ����� ����������� �� � ��� L���M� =�#% � ��� �!����� $��������������% ����#� ���

����!� #�������������������������� � ��������"��� �"��� �������: ���%�����$��� ������4=�������� ���� �� ����������� ��������������� ������(�'#������ ��� ��������������� ������" �����,���(��� �� 1������ �� �� ������ ��# ���� ���� ��� 7������ �

�����������������������������

��

� 5 ��&��-������������������������ � ����>� �����'���������>� � �

Page 3: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

�!���'� �� ����� ������'��������� �#��������(� ��;��6"�� "���$������������������ � ����$�� �� � ���� � �� ! �� ��� �� ��� � �� �� �% �� � �� �"������������ �������C����N��� �����������(�����4������������� " ���� ���� �� �$����#C���� �������'����������� �� ������ ����� ����"������� � ������"��������� ���� ����$���� ���� #(� ���������������-C��������#���**� �#������������"���(��� ����� �� � ���������� ���������� �� ����� " �������������� �����������������������������������������>�� �� ���� ���������� �� ���� � �����!���% ������ "����������� "��$����"��� " � �� � ��� �������������������������� �

)������% ���� ������������ ���� ����#�� ��� �� � �� ������ �� =��� �� �� ��� ���� �� �4���������4��������������� �!��������������� � 8 ����!�(���� ���� 0� �$���� ��8�� ����� ������� � ���� �� �� ���������� ������ ���� �=������������� ����� �� � � ! ���� � �� � � ���� �� � � � �� �� �� �� � ������� � � ���� ��� ������� �� " �� "��� � � � � ��������� �

> ��! ����� ����� ������� ����� % ������� ����� � �� �������� ������%��� ���� � "��� ���'������C��������� � �� �� �� �� $�� ���� �� �� ��� ���� ���!�����6�������������� ��� �������'#����������������� �$���� � �� 4����" ����� � ��#% �� � �� �����������������H��C��������������I���" �� ����������( �� :��� ���� ���� � �� �� � ��!� � �� ���� ��������������!����� ��� �$�� ���� � ��� �;������������ �� ���

������������ ���������!��=���� �� ���� �� ��� ��� ���� ����� �� ���� ��� $�� �� ��� �� �� �������� > �"�4�� � � ���� � �� �#�� �� � �� �� ����#� �� ��� ���� ��� ��� ��"���� �4�������� �� ��� �'�������� �� " �� ���� ����� �� ���� ���� � � � ���� �� � ��� ��������� �#���� � ��������!� ��4�� ��� ��������� ������������ �� �� ������������� ���� �� ;����� ������ H��� ���� ��� ����F���������� ���� � ���� �� ����I� �� ���� ���������� H��� ���� ������������������� ����I�

6��� � � ���#O� ��� #� ���� ������ �� �� �� ���� (������ � �� �� ��� ����� �� ���� ��� � � � ���� �N��=����� ���#����������'�����������$����������� �#��� �'����� �� ������� � ����������������������� #�� ���� ������ ��� ����� ����� �� ����� ���� ���#��������� ����� ��� �������������������������(�� ���������������������������% ��������� 8��

���������������� ��#��!����������������������� ��� � ���#�;� �� � ���� � ���� �� H��� �� ����I� � � ���� �� � � � �� � �� � �� ���� ��F� �� � �������� �� ������� � ������� � ���$���� �� � ���� ���������������������� �� ��������� ��'�������������!���(� ����������� �� �����������������4 ������������ �� ���� �C����� � ��� ���� $�4����� $����� ������������ �� ������� ���������� ��� �� � ��%������ �� ���� ��� #�� ��'��

������ ��� ���� ���� ����������'��� ��� �������� ��������� ����� ���9�� "�$������� � ����� " ��� �" ��N������� ������"����������������� ���(#���������� �������"�� " ��������= #��� ����" ��P���-��$��=����� �� �����% �� ����������� ���� ��� � ���������$���� �����'���� ������( ��������� ��;� �� ����"��# ���� ��� � ��������("���� ������ $�� � �� " �� ���������� ����� �� ����� ��'������������������ �����������= #��� ������������ �������C����������� �$�������% !������ ��� ������� � ������ ���� ����@�� 9 � ����!����������� ��= #��� ���� � ������������ � �� ������� � ������� ����� ���������#�������� �� ���'������% ���N?���� ���P������������P���#��(�����-�" ������������������ "��������� �����(�� ���� ���� ����������������� �� � � #����% � �� � �"�� ��'�������� ������

��� ����� ����� �� � ����� ���"���� ��������#� �������$���� �� �� ������ � � ,��� ������������������$�������� "������� ��������!��������������=� ���'��#�#��!�� ��B� ���� ��� ����� ��(��������������� �������������'������������ �;�� ������� � ��C���������������"�� ��'���� (�� ������������ � ��������F� �%����N� � � ����� ���������� � ���� ���� ���� ���� �� �� � ��� ����# ��� �� �� ���$���� �$�� �� � �����������4� ��������������������� �� �%� ����� �������� �C����� ��� ��� $�� ������ � �� ���� ���� ������ � �� ��!�(����� ��=�#�'����������� �� ��� ���'��������������#����� "��� ���'��� ���������������� ���������������� ���!������������ ��

���� ����������������

0��� ���� �� ��� ������ � �"��� �� ������� �=����'� ��� �" ��� ��� � ���� ��4����� ��� � ���������= ������� ���� � ������#���**,;�Q�����(

���������������������

��

N 0����� ��������� ����� � ����!�������" ��������� ��'��������� �;���������������������.�� �������������������������� ���(� �������#�����������;��� ����������������� " �������� �����������#�� ���@ &���� ����� ��������� �#������� ����������������� �C��� ����� �������� ������ � ��� �=�� # ����$�� ���� ������ �� ���#� ������ ��� ���� ���

Page 4: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

�����% � � � ���N���� ���������@���������"����RRR�����N���S� ����� ������ ������� �� �'��(� � �� ���������"�� HN���� �� �� ������ 8�� ��� ����������I�����#��� �� ������ ����� � ��� ��'�� �� ��� ����������������#��!�� ���C�������������

: � ������� ���������� ��� ���������� ����� �����(������ ����������������"�"������=����'��� 8����F����� C��� � � �� � ��$������ ���� ���� � ��#� ������������ " ��������$�� ��������� ����������> �"�4���#��� ��������������#� ����!��'��(!��� �� #'��� �� #��#���� ����� ���� ��� ���� ���� ���������� ����� � �� ���� ��'��� �� ���� ��������"�� ������� �� "��" ����� ) �� � $��� �� � � � � � �� �&�� �� �#��������������� ��# � �������������������� ���� ��'�� ����( ��"�# �� �� ����� � �'��� �#���� � ���� ��� ����� �� �� �� " �� ��� =������ �:���� ��������'������������ ������ ������ ��� ����!���� ����� ������ �� �����������$���������� ������ ��� ������ ������#��������������������4������� ������ ���� �������#% ��� "�% ����������(� "������������� ����4�������� ����������� "��

��� ������� ��������� �� ���� �� � � �� �� ��� ��� ������ �������� ���� ���� ��� ���6������� ������'� ���� ��� ����� ������� ��� $�� ���� ���#���" "���������� �� ��� 8��N���� �0���� �% ��������������� � �� ���� ��'�� �������� ��� -���'������ �����" ���!�� " ������ ������� �� ����������%�"�(�������4�������#C�����������'���������� " �����%��(��� �� ���� �� ��� �%�"���� ���%!���� � � � ���� �� ��������������� ���$���!��% ��� �������'����� ��������������������#��!�� ��� "�������$����������# ��� ������-���!���� ������ ������ ������ �(���������������� ��������� �#����% ������ "� �����'������ $��� ������������ �����������'������� ����#���������#��#���$�����#������� ����#�������� ���� ��'��

��� ���� " "������� �� ����'� �� � � ����� �� �����#����������� �"�4����$���� �� ��������� � ��������������������������������������� ��� � ������(� � ���� � �� ��� ��"��� ������'� ���� ���� 8��T�����RNT������ � �������� " ���������������#��!�� ���#�� ��� �� � ����� �� ����� � � ���� �� ����� � ��� ���� ���!�� �����#C������#������������(� ����������"���������� ����������������(���� � ������������ � ���� ��'���������� �����������(� � ���4������ > �"�4�� �� ���"�% �� �� ��� ��� �%��������#��� ;��"�� ������!� ��������� ����(���!������������!����$���� �� ���� ��� ����� #� (�����%�"������� ������ ������� ��������� ����� ����(��� �� � �����'������ � ��� �

1��� ��#��� ��� ���'�� ������ ��������� �$�� ������ ����-��$��� ������ ����" �����������

������������� �,��� �� � ������#���+������ ���#���������� �� �������� �� ��� 8��N��� �0��-���!��(�� ����" "�������������������������������'�������(����'������������������ ��� � ����������� ������C������������ ������� ������������������ ���(�� � �� � ���� ��� � ���� 8 " � � �"�4�� ��� �� �%���� ;���� ���� ������!��� �#��!�� � ��� ��������$�� �% � � ��� ������� ��� �%������ ����� %��� � �� � ���������� ������������'��!���� ��0����� �� ���% � ���� �������� �������� ��� � ���������=������

1�� ��� ���� �� $�� ��� ���� ���� �������� �� �$�������� �=� ���'���� "��� " �# �% �� �� ����������� ���� �� ���� ���� ���� ������� ��� ����� � ����� ��'���� � ���� �����( ��"�#���:���% ���������"�� ������$����������"���������������������� ������� ���� �� #���� ��� ��� ������ ����(��� �� �������� -����� ��� ��� ��#����� � � !�����!% ��� � �� � � ��������� � � ��� � �� � "% �� ��������� �� #�� �� � � � � � ����� �� � !��� � �� � ��� ��� ��� �"������� ������� �����C�������� ���!�� ��(�� ����"�"��� � ���#�'�� "� ������ � ������� � � =������ ����������������������������������������#�� �������� ����������"�������������������� ��� ������� ��� ����� : � � ���� !����� ��� �� �� � � � ����������� ��������������������������������� ��� ������ ���#�� � � �����'�� ������� ����� �%�� � �� ���� ��� ������������ � ��� � �� �$�� ���� �� �� ��� �� �������� ������ � "% � =������6���� �����=�� 8��$������������������� ���(� �� � ���� � �� � ��� "������ ���������� � � � �� ����������#� �������-��� �$����� ��������������#� ��'��� ���� ;��������������$������C�������%�"������� �%���� ���������!��������� ����#�� (��� �����'��� ������ �$���� � �"�� �� ������ ����������� ��������"�� ����� ������ �

��������������������������������ππ

��� #��#��� !���������� #'��� �� =�� ����� (������ 6� ����� ���� ����� ���%������ ��������������"��� ��!��� ���#�� ��;��%� ������ ������!� ����%�������� ������ �� �����#������ ��� "�� � ���� �� ����������'����������� ����� ��"� �!��� ��� ���� � "�� ���#��;� ���� �������� �� ��������� ��� ���� "��#��!����� ��"�� ��� ����� �� ���� �� ����!� #��� ����� � �������� ����� ����������� -�#�������������� ��# �� � ���"���� ��� �"� � � ��� ������ �� � ��� ���� ��� ���� �� ������ �������� �� $�� $�������������� �� � ���� ������9 ������ !���� ����4�"��������������� ����$���������� "% ������� ��� ����� �������� �������� ������ �� �$���

�����������������������������

��

Page 5: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

�4�������� ������������������� �������"�������� ��� � � ��� �� �� �%������ �� �� � � �� ��� �� �� � =������'��

������ ��������������� ������������ "�� � ����� � ������� ��� ������ �������� ����� �(����� ���� ��� ��!����'!�� �����������"���$������������ � ��� ���=������������������������� ����������� � � �"�� �������"�� ���'#������!%��������� !%������� ��� � � ���� ��� #����� �� ���� ���#���#��#����� �����������4������9�� ����� ������� (��'������ "% � �� �� ��� � �!�� �� ������� �� �������( ��"�#���-������ ���������% � �� ������� ������������������������ ����=����'�����4��� ����� ��� ������������� � �#����% ���� �#� ��� ���(��������!��� " ��� �" ����� �� ������ ���� �0����� ������ ��'������������������������� ��(���#��#��� ���������������������=����� �������("�� �� $�� �� � �� ��� ������ �� ��������� �� �� !��� ���#����% ;�� ������� ��'�������"���� ������(��'�������#������� ��� �� ��� �����%������

��� ������� �� ����� ���������� ��� ������ �� ������ � ���� � ������ ��� ��'�� �� ��#� �������������� 7!��� � � ���� � $�� � �� � �� 8�� ?@� �0�� � � -�� �� �� :������ ������ " � �� � ����� � �� ��� �$���� '� �� ������ ��������� �������� � � ���� ��� ��� ������� �������� ���"�� ��� ���������������6������"��� �������������4�����!���'�$��� �������% � ���� ��� �����������(� � ��� �� ���C"��������� ����-��������� �$��������� ����� ���� � � ��� �� � �� �"� �� :��� � � ����� ������'��$�� ���� ������ ��������������"� ��� ���#�������� � ���� ������"�����������������!���� C������ �������� ������ ����������'������������� #'��� �� ����"������ �� ���#�� ��� ����;� ������� ��� � ���� ���� ��������������������� �� ���� "% ���������� �����������������������������=�(#�� �����������������#�� ������ �����$�������"�(� ���� ������� ��'�������"���������������'������������������ �#����% ����#� �����������)����� ���� ����� ����4������ �#"� ������ � �����( ���� �� ���� �� ���� ����� �� � � ����� � �� $�����#��#��� ! ������

����#��������������"�� �������������� ��� � (� ��������'�������#�����������������"�� ���'���������#�������!�� �����#� �������� �C��� � ��� ���������������� ��#� ����#� �� � ��> �"�4������� ������"�� ��������4����������"�� ����� � ���������������������"�� �������������� ������ ��� �� ��(

� �����%���������$��� ��������� ���� ����'�������������� � ��� � �#�� �� � � ������� �� 9� ����� � ��� �� �� ������;�� �������%������������� ����(��� � �� Q�� ����"�� �"���� ��� �� �� ��� ���� ������ � ����!������� ��� �#� ��� ������S� ���!�(���� �������8����� ����'� ����������� ���(������������ �0��� � ��������!���������������9��� ����'� �%������ ����������������� �������� ��� ������� ������������ �������� ���������(�� ���U���� ��'��� ��� ���� ���� ����� �������� �! �� ����#������������ �� ����" �� �������! �� (�������������� �#���� ��9����������� �!��� ��$���������������������� ����� �7�� ��9�������������(�� ����� � � -� ��� � �� : �%�� ������ ���� �!��� �(���� � = ��� ������ ����" �� ���!�� "���� �� � �� �� ��� �����%������

����������$�� � ��� ���������� " ������� (���� ��!� � ����0� �� �����%��������"����#��4���� (���� ��� �� �� ��� �� �� � $�� ����� ������'�������"��� �=���� ��'���������� �� ��� �� ����(#�� ������C����π���!������������ ��� ��'��=����(������� ����#�������� �������!���� ����������������%������$��4�� �������?�������C�������� �(�� ������������������������� �����%�������$����������������π ������� ������� �������!���� ��( ��� ���� �� ����:��� ���� � ���������C������ �(��������������"�������� ������ ����� �#"� �� ���6 ���$��� ��� ����� �����������#� ������������"������������������� ������ ����� �#"� �� ��� � � � � ������ �������� ������C����� ������������π ����� ���� ��� "��

� ���� �������C���� ����� �#����� ������(�� ��� �� ���������� �� ��U ���������������#������ ���� ! � ���� H�� � ����� ��-���� �� ���"����� ���� ���=�� �����@��P����� 8���PT�� �0�I��=��(������������ � ����'�� ����������������������"%"��(�������� ��%������;N@�����������"���������7��� �� ����� �� �� >����� �� 9 ���'�� �� 5��� �4������ �%;��)����!������ ������������ ������������������� ��� ����������!�� ����������F���� ���� � ����������������������8% � ��������������'�������� � �������� ����� ���� � ��� ���� #������ �� ���� ��� �@��$������ "� ������� ! ����� � ������� ������ �������� ��%!�����"����

>���� ���#��������� ���� ���� ����������� ��������������#������ ��������C����π ��������'������� ����� �� ��!� �� ���� ��;� @��?�TRNPT���� 0���"���� "���������������������� ������������

���������������������

��

? �=������ � ��� ��� ��'�������� ���� ������π;���� ����� ��� ���� ��$���������� ���� ��������������� ���� ����� ��� � ��(� ������� ���"���%����� ���������� ���� ��� � ������$���� ��!�����'���� ���� �� ����������� ��������%������ ���������������������#����% ���π �"������������������������ ������ ���� ������ �

Page 6: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

�����C�������� ���� ����������� ����������=��� ("�� �� !��� � �� !� ���'��� -�������� �� ��� �C����� �������� ���� ��� �� �� ��� �� ���� ������������ ��� ��� ������ �#"� �� ��� 0��������������� ������������� ������������ ��� �� ��� ��� � ��� ��������8 ���4���������������������(������������$�� !�� ��� �������'������������������π�� 9�� �������� �� � � ��� ������ �� ���" � �� !�#�� � ��� � �� � ������� ��� � ������� �������� (��� �;� � �� C���� �� � �� ��#� ������� �����"���'������� ���

-�����C����=�� 8��������������������������!������� �������������� ���� ��#� ����������(����� ��� "�� ������ �� � � !%��� ��0��� ����� ��� ��� ������ ������ �� ��� �� �������������� �� �# �������'���� � � ����� ���� � � �������� �%���9���" �#��� � ��� �� !��� � ����� �� � �� ��� "���C���� �� �� ������ $�� �����"�� ���� ����������!%������ !��� ��� ��;� � � ���������"�� ������� �� � ��� ������ �� � � �� �� �� �� #�� ��� � �� ���� �� � !��� ��4����� �������!�'������ #�4��������� ������ ������ ���������'#�� ���

����� ������� � ��"����� ����π ������������������� �"������������ �������������� ����� ��� �� � �� ������ � �� ���� ��� �� :� ��3T�> �"�4���� �������� ����� ��'������� ������� ���%��������������� � ���!4��� ����� ���������'�������!�'������-� ���� �����'������� ��#��(��% ���� �� �% �� �������� ���π ��� ��!'���� ��-��$�� � ������� �������C������ �������������� � � !%��� � �������� �� �� ���� �� ���� $�� ���� ���%��������� ��!����� ������������������%���� ����� ���� ��;� �� � ������ �%������ �� ������ � ��� �����������������������!�'���������� �����������π��#� �� � �%�� ����� �����%��������������������� ����(��������

�������������������

����C����� ���� �������π �#������ �#������(#�� ��;� �� ��� ���� ��� �� ������� �� � � ����� ��� �����������������"�������������%������� ��%�� �������� ������������ ����� 8���P�A���� ������ ���������� ����'�� � �����4��5����� ������"��(�'��� ������ �� "� �����# �������� ��� ��������(�� ������B����# ���������� ��������� ���� ��'�

�� �� ���� �=������ �P��&��������������������# (������� � ��� ��� �� ���� ���� ���� ���� $�� ���������" �����C����� E�N���ANA�ANA?TR���

��� ��������������!��� ��������C������ ���("��� �5 ��"�������������� ������ 5�� ������("� ��� �� ���������� ��%������9��" ������� ������ ��"�'�� ��#��!�� �� ����� � ������ -��$�� �#�� ������� ������ �� ���� �������� �� ���� � � ����� ������������ ����������" "��$��� ���� �!�� ����(#�� �������� � "� � ��� ����=������ ���

> ����������# �������� ��� ��������� ��!�������=������ ��� ���� �� ����� " �� ����� ������ "�� ���� ��������� ��� ������ ����� ��������� ��� � ��������������������%!����� �!����'���=�� � ����=��"��� ������ ��� � ������ �� �� #� �� �� ����(� ��� � ��� �� � � ��������'�� �� ��������� !�'(�����$��=������ �����������������������(�������� =������ ��� �� � ������ �� ���� �������� ���������� ��'�� "���'#�� �� 9��� ����� �� =������ �����������������������" �� ������� ��������� ���(��������� �� ���� � �������� �� ��������#� ��'��� ������������ �� ��� ���� � ������'���� � � ������(� �������������������� ����� ���% �������� "��

7���� ��� � �� ����#�� ������ ��� ��'����� ��� � �� ��# �%���� �� �� =������ ��� ���� ������������ �������'����� � ��:����� � % ��������� � ����C����� ��� �# � ����������������������������%!�������!������#% ����������#% ��> ���� ��'����� �� ����������� ����� ������ ���� � � ���V"�(1������$�� ����� �� ��� #�������!%��� ���������(�%����������� �������� ������"�� ������������������������� ����9#C������ " ����������2��� �1��(��� ������� ���������� ��� �������#�� ����V"��4���� "% ���#� �������"����������������!��� ��� ���� ����� ���'����������������� ����;�������(������"�������%�������� ���� "������F�� ��#��� ��������"��#C���� ��� � ���# �%���� �

�����$���������$���� ���������%����� �% �����#���'��#��4���� ����������� ���������� ����!����� ���� ��'��$��������"�������!�� ��'��������(#���'�� ����4��� ���� !��� � ���� ��:���������� �������� ���� �������������� �# ����������"�C��� (���� ��� ������ ��� ��"�� �� � � ��� ��'�� ��� ���F������ �� � �������� ��������H���$�������(���� ��������� ������#�� �I������������ �����(��'��������'#�� ���$��� � ���� ����'������� ������������� ������������������������� �������#� ���(

�����������������������������

��

T ��� ������ �������� ���� ���� �� ��������� ����� ������������ ����!��� ��� ������ �!%��� ;� ����� ����� ��������� �%������� �����#� �� ��'����� �� �������� ��������� ���:� ��3������� ������ �!��� ���0�����"�������� ����������� ���P :������������������ ���� �� ���H��NI����#� �� ����������# ��������������H" ����I���������NF�����������C������� ���� � �$�� ��� ��� �" ��H��I� ��������C������������� ��������������� ���

Page 7: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

��� � �� � ���'���=���� �$��� ��� � ���� #��������� ���� �� � � �� �� 8�� �T�� �0�� ���� �� #��#�)�� ����� � � �� � ������ ��# �%������� 9���� ����� ����� � �� �������� �����������F���������� ����� �� "��� ����$���������� �������� ��������"������� �"�4����# �%���� �

��� �� �� ��� ������'#���� �� � � $������ ���� �� ����������������� �� �������'������ ������������������� � �������8���� �� �� ����� � ����� ��� �������� �� ������� � �� ��� ���� ���� 8����������% ��� ���� ��'�� ��# �%���� ����� ������������������!��� ������ ��� ��;�� � ������8�$��� ���������� ������������ 8������������ ����W������ �� F�� � ������ ����N������������ (������������ ����������������� 8������ �%����(�� �����9#C���� � ��� ���������� 8�������8�$�� ���% ���� �4������������ ��'��������'#�� �� ���������� ��� ���������� �� � �������������(� ��'���� ��� � �� ������V"�(1�������"��� ������'���� ���� ��%������ =������� :��� ����� ������� ��% � = #� ��� !��� �� $�� �� �C���� � �� ������#4����$�� ��C ����" ������� � ����# �%���(� �������� �����������$���������� �������("�����������

������������������������������������

������ #'�������� � � ���#� �2��� ����% ���� ���!��� � ���'�� � �� � ���� �C����� � ���� ��� ���������'�� �%�����(� ������ � ��� ������� � "% �����# ��� ������C���������������� #� ���������� �����#�������� ������������������#�������#��������������� �������N��� ��� � ������ �������������$� ��� � ����������� �������'�������� ������������!����������@��� ���� � ��� �� ��!�� ��'���������� (������ �=������ ;����������� ����!���������?�������(������H ���� #� ��!�#�������� I�$��� � �� �����( ���� �� ��� ����������� ��� ��� ���� ��� � �� ��� ��������� � � ��� ������� �� �C���� ��!����� �%�"������ ���� ��� ������ �������$���8 � ����#���� � ��!������ �� �� %����� �� ��� �� �

���� ���:���#�� �� ��8'�"�� �����!�� ���# (� �� � � �������� ����>�������C������ �� " ����� ���������� �"C�$�� ���� ���!���'��������������� �=������ ������ �"��� �� ������ �� �� ���(��'���������������������������'�"�� �������� � ����� ��������� ���4��� �� ���� � � ��C��� � �� � ��!� ������� �� �������� � � ����% ���� �� ���:�� �� ��� ����� ���� ��"��� ��� ���� � � �� ���# ��'�����C������������������ ����� �������� ���� #'(

��� �����"��'�� � �� � ��������� ���� ���������'���� ������� �� �� � ����� �����'�� ����� � $�� � �"����'��!����� ����

:��$����� ���� ������" ��� ����% �������� ����� �� � ���� �� � � � ����'�����C����� ��� " �� ("���� ����� � � � %�� �� �� � � �� N�� $�� ��� ����=��� ��� ����� ������ ��� ����� !� �������� ������C��������#��������� �� ��� ��� ���������������(���#��4���� �������� �;������ �� ������ ������� ����� �� � �� #�� �� $�� ����� ����� ����� � � � %��� �� � ���N��-�#����� ���������������C���π�� ���� ��������$������������� ����� ��� ���� ��$��������� ���� ��������������� �� ��� ���� � ��(� ���"���%����� ���� �������"������ � �������"�� ;���� �C����� ��!����� �� ���� ��� #'������ � ��% ��#��� ������� ���� ����� �� ��%���� ������#� �

9����� �$������� ���������#�����������������������������������"�����6 ������ ���������(�4����� �� � � ��� �� ��� �"��# ���� � #� �� �� �������"����� ���������� ���� ��� ���-��� �%���!���������������������������$�"� ��'��� ����� ����(� � ���"��� �� ��� #'����� )�� ��� �� &� ������ ������"��������� �� ���� �C����� ��� ���� ���� > �("�4��������� ������������������#���;�����'� ��# (���������� ��������� �� ����������������%������� ����� ����

-�� !�������� #� �������� ��������� � ������ ����� �� �� ���� #��#���� �� ! ���� �� �� �C����� ��% ������� ���������������%�������������#��� � � �� ���� ��� ��� � ��� ���� ���� $�� ��� �� � � ���� ��� �� ���$������� ���� �����# �� ��� �� �� ���� � ����!��� ��������������� �����C����������� �� ������������ ���� ������ ������ � ��� � ����C������ ���� ����$��� ���� � ���������#��������:���#�� ��� ���� ���� ��� ����� %����N���������� '� � "���� �� � �� � � � �� $�� �#��" " � � ��� �������;� �� ��������� �� ���� �C����� � ���� -�%$��'���������������� ����� ��'��� ��� ����C���� ��� � " �� ��� "�����"�������������������� ���� ������ ������������������ ��� #�������!%��(� �;� ������ � �� �� � �� #� ���� �� ��% ��� �� ���"������ ����� ��������C������

9��� �" �#��� � ���8� ���� ������ �� ���� ���(������� ���4������ ��� �� " � ����� � �� > �� ����=��������> �� #�� ��0 �� ����������� �������� ���(��� �������*+,������#������������ �� ������ ��,� �� ��� ����� �����������C������ ���������% ��� �� ������ ����� ���� ����� � ��� � ��� �� �� :��������� �� � �� ��'�� �#"� �� � � �� ������ � �����N D���E����������������'�������������������(���� Q�=���� � ��� �#C���C���� � �� $�� � ��� ��� �� ����4�G���� ���������=�#��% S

���������������������

��

Page 8: un paseo por los numeros - ACTATitle un paseo por los numeros.qxp Created Date 8/1/2008 1:36:42 PM

������"�� ���������������������$����"���������� �� ������� #'������� �� ������ ���������'��� ������'���� �� ����;�" �� " ������!����������C�(����������� �� ���!�� �G���X��4������������� "�% ��� �����"�� �������4����# ��;� ��� � ����� ��������C������� #�� ������-�%���N E�G������������������������ �� %���� �� � ���G����������!��������#���$�� �� %���� �� � ���G?���N�F�� ���GR��@����� �%������( ���� � � � ������ �� �� � ������'�� �� �C������ #�� ������$�� ����� ������ ���������������� (����������

��� �� �� ��#��� ��� ���� �� ����� ��������������'� ���� ������ ��� �� #� �� ������ ��� ���"�� ��'�� �� ��� �C���� � �� �� ���� �� #�� ���H�����������N�D�@�I����"�'������"�������������� �� ��������� �� ���� �C����� ��������� � ���'��� ������� �� �� ��'��� �������������� � �����(��'����� � ������ ��� ����� ������ �#"� �� ���� �������'���������������������� ���� " ������� (���������������������������������������������� ���� ��������� �� #�� ����� 9� ������'� ��������� � !��� � ������ � �� ��� ��� ��'�;� ��� ���� �C����� �������������� ������� ���� �����������(��������� ��������� ����������� ��������%��B��C���� � �� ������������� � � ��� F����� ����������� ������������������������ ������ ����(�������������� �������� ������ ���� � � ���� ����� ������� #�� �������� � ���'�� "��'�������!%������( ������"���� ������������ ��'������������������ ������ �;� ��� �#��� � �� �� �#��� � �� ������������'�� �� =�������� �#"� �� ��� ��������'������� ����������# ��������

6�� ���������@��� 8���������C�������������� ������ ������ ��������������# ������� ��� (� �����%!�����������������������$�����!���!���(� ��������'�� ����������������#"� ��-��� �%��������(������ ��� � � " � �� ������� ��� ��� �� �������� ��������� ) �� � $��� �� � �� ����� �� �4� � �� ����#���**�������#������� ������ ��� '� ���#��� ������� ��� ��� � �� ����������� "��� �� �� ����"�� �� ���� � ������� � �������������������#���� ����������� C����� $�� ��� � � � � ��� �� � � � ����� �� ����� ������������������� � ����� �������� ���� ����'(������ ������ ������� ��������� �������'�������� ����� �������������!%����� ��$�� ���� ���

6������� !��� ������� �� � ������� �������� �� ������ ���� �����% ����� ���������� ����� ������(������������ � � !%��� ��� � �C���� ������� �$��� �

� ������� ���� ������� ����% ������ #�� "�������� �� ����C�������������������� � ��������!��(� �������� ���������� ��� �� ����� ���������� !��(���� �������� ������������������� �����#� !% � � �� �4��� �� !����4����� ���� �������� ����� ������(�����U� �� �� ��� �'���������� � � ���% � � ��� ����������� � ��� ��� ������C�����(��� ���'������(�"�"�������� ��!���� � ������C��������������

��� ����� ��� ��� ���������$������ ��� (� �������� ����� �� ��%��� �� ��� ������� ��� ���� ���� � ��� ���� ���� ����� ��#�������� �� ��%(��� ��:����������� ����� ��������� ������� ��� � ��� ����� �� ����� ��� !�'���� ����� ������ ����������������������C������������ � ����� �# �$��������� ��!��������������������������� �������� ��� ��%��� ����� �# ��# �� ����#� � ����� ����� ��������������������� ��������#��� �� �������� �����������:���� �"�4������ ����� ����� � ������'�� ������� �� ����� ���� $�� ��� �� �����!���� ������������ ��������� ��� �����������!����������� ����� ����� �����!������� #� �

����� �������� ��������� �������������������(���=��� ���� ������ ������� ���!'���� �$�� �������� � �� ������C����� � ���� � ���"�� (��'������ ��!'���� ������������������� ���! �(������� � �=���� ��!������������������ ��!�=�'��� � �!� ���'��� � � ��!� ���'�� �� � �� ����!���� ��� 9���" �#�����������C������(��� ��$��� ��������� �� ��������'��������� ������� ���������������� (������� ������ �� !��� ��� ��� � �������� � �!������������� ���� �� �� ��# ����������"��� ����� ��'��!%��� ����� �� ��%��� ������������� ��� ��%��� ��� � !����'������� ������"� ��������"���� ������������ ������� ��������'�����" "��%���(� � �� ������ ������ ��� ��������� �� ���� �C�������������� ��� ��� �%���� ���=�� ���� �� �� ������������������� �� ��%��� �����% � ��� ��� ��������� ������� �Y��� ������� Y����� ������� � ������'��

-�%������������$����������% � ������ ���(���������� � ���������C��������������� ����"� ������ �� ��#��� ** �������� �� � �#�"��� ��� ���� � �� �� ���$�� �� ��� ���� ������������ ���������� � ��� ����� ��� ������ ��U ���� ������� ��������������������� ����������������� ������� �����(��� ��� ����� � " � ���� �����% ����$����� ���� (����������� ���� � ���������������!%�����$�� �� ���� ��������

�����������������������������

��