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Carátula de Trabajo

Un modelo tridimensional para estudiar algunos elementos de la

geometría esférica

Título del trabajo

The smart ones

Pseudónimo de integrantes

Matemáticas Área Local Categoría Desarrollo Tecnológico Modalidad

8026482 Folio de Inscripción

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Resumen

No cabe duda de que la geometría euclidiana ha sido la más estudiada e importante

en el desarrollo de las matemáticas. Es más, hasta hace relativamente poco era

considerada la única. Sin embargo, en este trabajo nos enfocaremos en otro tipo de

geometría: la geometría esférica de Riemann, en donde el plano es sustituido por la

superficie de una esfera, lo que trae consigo algunos cambios tanto en las

definiciones como en las propiedades de los objetos que estamos acostumbrados

estudiar en la geometría plana.

Para facilitar la comprensión de estos cambios, en este trabajo desarrollamos un

modelo tridimensional en GeoGebra, que nos permite construir y analizar de forma

dinámica, algunos elementos de esta nueva geometría.

Introducción

En nuestro curso de matemáticas, cuando empezamos el estudio de la

geometría plana, el profesor nos explicó el significado de la palabra geometría.

Viene de dos vocablos griegos Geo que significa Tierra y metría que significa

medida, por lo que geometría significa “medida de la tierra”. Posterioremte, nos

contó que la geometría plana o Euclidiana no es única sino que existen otras como

la geometría hiperbólica y esférica. Más aún, en son de broma nos contó “Viven en

un mundo redondo y siguen usando la geometría plana, los griegos estudiaron la

geometría plana porque ellos creían que el mundo era plano”.

En parte el profesor tenía razón, en el momento en que se descubrió que la Tierra

era redonda en lugar de plana, comenzó a surgir la idea de trabajar en una nueva

geometría: la geometría esférica. Con esta nueva geometría los navegadores

podían cartografiar la tierra y los oceanos. La creencia popular considera a Cristóbal

Colón como el primero en descubrir que la Tierra era esférica; sin emabrgo, esto no

fue así, ya que por el siglo II d.C., Ptolomeo afirmó que: “Si la tierra fuera plana de

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este a oeste, las estrellas se levantarán tan pronto para los occidentales como para

los orientales, lo cual es falso. Además, si la tierra fuera plana de norte a sur y

viceversa, las estrellas, que siempre fueron visibles para cualquiera, seguirían

siéndolo donde quiera que fuera, lo cual es falso. Pero parece plano para la vista

humana porque es muy extenso" (citado en Frailey, 2014).

A pesar de lo anterior, la geometría elíptica o esférica no sería plenamente integrada

a las principales líneas del desarrollo de las matemáticas hasta el trabajo realizado

por el alemán Georg Bernhard Riemann (1826-1886) en el siglo XIX. El renacimiento

de las geometrías no euclidianas surge debido a la interrogante que había generado

el quinto postulado de Euclides.

A diferencia de la geometría plana o euclidiana donde estudiamos puntos, rectas,

triángulos, polígonos, etc. En la geometría esférica (sobre la superficie de una

esfera) tenemos puntos, pero no hay líneas “rectas”, al menos no en el sentido

habitual. La línea recta en el plano se caracteriza por el hecho de que es el camino

más corto entre dos puntos. Sin embargo, sobre la esfera ¿cuál sería la distancia

más corta entre dos puntos? Resulta que las curvas con la misma propiedad son

los llamados círculos máximos, es decir, cualquier circunferencia que divide a la

esfera por la mitad. Por lo tanto, es natural utilizar estos círculos como sustitutos de

las rectas.

Planteamiento del problema

Lo que nos había contado el profesor sobre la existencia de otras geometrías a parte

de la geometría euclidiana, nos dejó con la curiosidad. En efecto, vivimos en un

mundo redondo (ovalada o geoide, como dicen algunos) y seguimos usando la

geometría plana. Por supuesto, el profesor nos explicó que las geometrías no

euclidianas, en particular, la geometría esférica requieren de conocimientos

avanzados de matemáticas para comprenderla, por lo que siempre se enseña la

geometría plana por su facilidad, y además, si se trabaja con distancias “pequeñas”,

la tierra se puede considerar plana, tal como lo afirmaba Ptolomeo; en cambio,

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cuando se habla de distancias “grandes”, por ejemplo, determinar la distancia que

hay de la Ciudad de México a Barcelona, en este caso, hay que considerar la

curvatura de la tierra (Figura 1).

Figura 1. Para calcular la distancia de la Ciudad de México a Barcelona, hay que

considerar la curvatura de la Tierra.

Al investigar un poco más sobre las geometrías no euclidianas, observamos que no

existe un modelo dinámico que facilite su estudio. En las fuentes que revisamos,

mencionan que los elementos de la geometría esférica se pueden trabajar sobre la

superficie de una esfera, pero como tal, no hay un modelo desarrollado con algún

programa, por lo que nos preguntamos ¿cómo diseñar un modelo que permita

construir los elementos básicos de la geometría esférica y analizar sus

propiedades? En caso de que se pueda diseñar, ¿cuál sería el software que se

podría utilizar para su construcción?

En este proyecto, revisando algunos programas computacionales de geometría

dinámica como Cinderella, CaRMetal, Geometer’s Sketchpad y GeoGebra,

elegimos trabajar con GegoGebra, ya que es el que utilizamos en nuestras clases y

al tener una vista gráfica 3D, consideramos que es el mejor candidato para hacer lo

que pretendemos, además, es un software de licencia libre, permite agregar nuevas

herramientas, es multiplataforma y está en español.

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Objetivos

El objetivo del presente trabajo es construir un modelo tridimensional de la

geometría esférica que permita analizar las propiedades y relaciones de algunos

objetos de esta geometría. Tales como la negación del quinto postulado, el teorema

de la suma de los ángulos internos de un triángulo, el teorema de Pitágoras, la

construcción de las rectas y puntos notables del triángulo, entre otras. Esto nos

llevará a determinar las diferencias y similitudes con la geometría plana.

Hipótesis

Con la ayuda de la Vista Gráfica en 3D de GeoGebra y la función Crear Nueva

Herramienta, es posible diseñar un modelo tridimensional para abordar elementos

básicos de la geometría esférica y analizar sus propiedades.

Marco teórico

Desde su nacimiento, el quinto postulado planteó un interrogante, ¿era realmente

un postulado independiente o era un teorema que podía ser demostrado a partir de

los primeros cuatro postulados? La versión más conocida del quinto postulado es la

siguiente:

"Por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y

sólo una paralela a ella".

Este enunciado se debe al matemático griego Proclo; sin embargo, también se le

conoce como el Axioma de Playfair, en honor a John Playfair (1748-1819).

Durante veinte siglos se trató de “demostrar’’ el quinto postulado. Finalmente se

pensó que si de verdad era un postulado, el hecho de negarlo, aceptando los

demás, conduciría a contradicción alguna. De esta manera procedieron

Lobachevski (1793-1856) y Riemann (1826-1866). Sin embargo, con sus trabajos

dieron origen a las Geometrías no Euclidianas.

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La Geometría de Lobachevski (Geometría Hiperbólica) sustituye el quinto postulado

por el que dice: “Por un punto situado fuera de una recta pasan dos o más paralelas

a ella’’ y la de Riemann (Geometría Elíptica o esférica): “Por un punto situado fuera

de una recta no pasa ninguna paralela a ella’’.

Esta última geometría a pesar de que sus inicios data en el siglo II, no fue hasta el

siglo XIX que se retoma y se crea toda una teoría. A pesar de que la geometría

elíptica es muy general, en este trabajo vamos a trabajar algunos elementos de la

geometría esférica (un caso particular), sin embargo, al igual que la primera, esta

geometría cumple con los siguientes postulados:

1. Por dos puntos distintos pasa una única recta.

2. Hay una única circunferencia con un centro y un radio dados.

3. Todos los ángulos rectos son iguales.

4. Por un punto situado fuera de una recta no pasa ninguna paralela a ella

(negación del quinto postulado de Euclides).

A diferencia de la geometría euclidiana, en la geometría esférica no existen

paralelas (no se cumple el postulado de las paralelas) ni las “rectas” se pueden

prolongar infinitamente (segundo postulado de Euclides).

Geometría esférica

La geometría esférica es el modelo más simple de la geometría elíptica (curvatura

constante para toda dirección), en la que para una “recta” dada, no existe una

paralela que pase a través de un punto exterior a esta. Extenderemos entonces a la

geometría esférica el estudio de las propiedades de rectas, puntos, segmentos y

figuras geométricas construidas sobre la superficie de una esfera. Para comprender

los elementos de la geometría esférica, vamos a precisar y definir algunos términos.

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Esfera

Comencemos con lo básico. Una esfera es un conjunto de puntos en el espacio

tridimensional que equidistan de un punto llamado centro de la esfera. La distancia

desde el centro a cualquier punto en la esfera se llama radio de la esfera. La

superficie de una pelota de playa sería lo equivalente a una esfera, incluso, la

superficie de la tierra es una buena aproximación.

Puntos y rectas esféricas

Si tomamos un plano y una esfera, pueden pasar varias cosas. El caso no

interesante, es cuando el plano y la esfera se extrañan, es decir, no se intersectan.

Ahora bien, si se encuentran hay dos posibilidades. Primero, pueden tocarse en un

solo punto, en este caso el plano es tangente a la esfera en el punto de intersección.

En el segundo caso, la esfera y el plano se intersectan formando un círculo. Es fácil

ver que el círculo de intersección será más grande cuando el plano pase por el

centro de la esfera. Tal círculo se llama círculo máximo. Un ejemplo geográfico de

un círculo máximo es el ecuador (Barraza y Reyes, 2012).

Los círculos máximos se vuelven más importantes cuando nos damos cuenta de

que la distancia más corta entre dos puntos sobre la esfera es a lo largo del círculo

máximo que los une. En cualquier superficie, las curvas que minimizan la distancia

entre puntos se denominan geodésicas. Así, las geodésicas en el plano son las

rectas, mientras que sobre la esfera son los círculos máximos.

Ahora tenemos los inicios de una geometría en la esfera. En geometría plana los

conceptos básicos son puntos y rectas. En la esfera los puntos se conciben igual

que en plano, mientras que las rectas ahora son los círculos máximos. Estas rectas

vamos a llamarlas E-Rectas, rectas esféricas, o simplemente, geodésicas. No es

difícil ver que en esta geometría dos E-Rectas siempre se cortan. Lo cual nos lleva

a pensar que por un punto exterior a una E-Recta dada no es posible trazar ninguna

E-Recta con la cual nunca se cruzará, es decir, ninguna paralela.

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Figura 2. Las rectas ! y ", siempre se cortan. No existen paralelas.

Para que sea válido el primer postulado de Euclides, tenemos que poner una

condición sobre los puntos. Observemos en la Figura 2, en los puntos # y #’ que están

diametralmente opuestos pueden pasar una infinidad de E-Rectas, sin embargo, si

recodamos el primer Postulado de Euclides, sabemos que por dos puntos

solamente puede pasar una recta. En cambio, si tenemos un solo punto, entonces

habrá una infinidad de rectas que pasen por él. Por lo tanto, en este modelo vamos

a considerar que dos puntos diametralmente opuestos son el mismo, es decir, # =#’. Estos puntos también se conocen como antípodos.

Distancia entre dos puntos

Si A y B son dos puntos en la esfera, entonces la distancia entre ellos es la distancia

a lo largo del círculo máximo que los conecta. Sea C el centro de la esfera, si el

ángulo ACB es', y si ' se mide en radianes, entonces la distancia entre A y B viene

dada por

((#, +) = - ∙ '

donde - es el radio de la esfera.

Ángulos entre dos E-Rectas

¿Qué queremos decir con un ángulo entre dos E-Rectas? ¿Cómo lo medimos?

Después de todo, las curvas en una esfera no se encuentran en un plano. Sin

embargo, las tangentes a las dos E-Rectas en el punto de intersección están ambas

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en el plano que es tangente a la esfera en dicho punto. Definimos el ángulo entre

las dos E-Rectas como el ángulo entre las dos tangentes (Figura 3).

Figura 3. Ángulo entre dos E-Rectas.

E-Circunferencia o Circunferencia esférica

Sobre la esfera la circunferencia se concibe de la misma forma que en el plano.

Para construirse se necesita un punto que será el centro y el radio, o bien, un punto

por donde debe pasar.

Con los elementos descritos, estamos más que preparados para construir el modelo

tridimensional de la geometría esférica. Como bien sabemos, vamos a estar

trabajando sobre la superficie de una esfera, que por simplicidad será una esfera de

radio uno.

Desarrollo

Para crear el modelo tridimensional de la geometría esférica, vamos a

trabajar en GeoGebra, particularmente en la Vista Gráfica 3D. A continuación

presentamos los pasos a seguir para crear cada una de las herramientas.

Esfera

Para trazar la esfera en la vista gráfica, escribimos en la barra de entrada de

GeoGebra la ecuación:

/0 + 20 + 30 = 1

Con ello construimos una esfera de radio 1 (ver Figura 4) y se muestra en la Vista

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Algebraica la expresión ': /0 + 20 + 30 = 1. Esto significa que la esfera se denota

con la letra '.

Figura 4. Esfera de radio unidad.

Punto

El punto al igual que en la geometría euclidiana, en la geometría esférica se traza

de la misma forma. Para trazar un punto sobre la esfera solo hay que seleccionar la

herramienta Punto y colocarlo en la esfera.

Recta esférica o E-Recta

Como ya hemos visto, lo equivalente a la recta en la esfera es el círculo máximo.

Para trazarlo, realizaremos los siguientes pasos:

1) Colocar dos puntos sobre la esfera, sean A y B.

2) Escribir en la Barra de Entrada: Plano(Centro(a),A,B)

3) Seleccionar el ícono y hacer clic sobre la esfera y el plano.

4) Ocultamos el plano.

Con esto se crea un círculo máximo que pasa por A y B. Este círculo será la Recta

Esférica (ver Figura 5).

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Figura 5. Recta esférica que pasa por A y B.

E-Segmento o Segmento esférico

Un segmento esférico es una parte de la recta esférica. Para trazar un segmento

esférico cuyo extremos son los puntos A y B, realizamos lo siguiente:

1) Colocamos dos puntos A y B sobre la esfera.

2) Escribimos en la Barra de Entrada: ArcoCircunferencia(Centro(a), A, B)

Con esos dos sencillos pasos construimos el segmento esférico (ver Figura 6).

Figura 6. Segmento esférico.

Punto medio

El punto medio se define de la misma forma que en la geometría euclidiana. Para

trazarla realizaremos lo siguiente:

1) Colocamos dos puntos sobre la esfera, sean A y B.

2) Trazamos el punto medio entre A y B usando la herramienta . Llamémosle

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C.

3) Trazamos una recta que pase por el centro de la esfera y C.

4) Determinamos la intersección de esta recta con la esfera, usando la

herramienta . Este punto será el punto medio buscado. Denotémoslo con

la letra M.

Figura 7. El punto medio entre A y B es M.

Ángulo entre dos rectas esféricas

Para determinar el ángulo entre dos rectas esféricas, hay que determinar los

ángulos entre sus tangentes. Para ello realizamos lo siguiente:

1) Colocar tres puntos sobre el esfera. Sean A, B y C.

2) Trazar una recta esférica que pase por A y B.

3) Trazar un recta esférica que pase por B y C.

4) Utilizando la herramienta , trazamos la tangente a la recta esférica que

pasa por A y B, en el punto B.

5) Trazamos la proyección del punto A sobre la tangente. Para esto trazamos

una recta que pase por el centro de la esfera y el punto A. La intersección de

esta recta con la tangente será la proyección de A. Llamémosle A’.

6) Utilizando la herramienta , trazamos la tangente a la recta esférica que

pasa por B y C, en el punto B.

7) Trazamos la proyección del punto C sobre la tangente. Para esto trazamos

una recta que pase por el centro de la esfera y el punto C. La intersección de

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esta recta con la tangente será la proyección de C. Llamémosle C’.

8) Con la herramienta medimos el ángulo seleccionando los puntos A’, B y

C’.

9) Ocultamos todas las rectas que utilizamos de apoyo y los puntos A’ y C’.

Con esto hemos medido el ángulo entre las rectas esféricas AB y BC (ver Figura 8).

Figura 8. Medición del ángulo entre dos rectas esféricas.

Recta esférica perpendicular a una dada que pase por un punto

Para trazar una recta esférica perpendicular a una dada, realizaremos lo siguiente:

1) Trazar una recta esférica cualquiera que pase por A y B.

2) Colocamos un punto C sobre la esfera por donde pasará la recta esférica

perpendicular.

3) Usando la herramienta , trazamos una recta perpendicular al círculo AB

que pase por el centro de la esfera.

4) Determinamos la intersección de la recta con la esfera. Llamémosle D.

5) Trazamos la recta esférica CD. Esta es la recta perpendicular buscada.

6) Ocultamos la recta auxiliar y el punto D.

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Figura 9. Construcción de la recta esférica perpendicular a la recta esférica AB que pasa por C.

E-Circunferencia

La circunferencia se traza igual que en la geometría euclidiana.

1) Colocar un punto sobre la esfera, el cual será el centro. Llamémosle C.

2) Colocamos un punto B sobre la esfera, que es donde pasará la

circunferencia.

3) Trazamos una recta que pase por el centro de la esfera y C.

4) Usando la herramienta , trazamos la circunferencia señalando la recta

como el eje y el punto C donde debe pasar.

Figura 10. Circunferencia esférica con centro en C y pasa por B.

Mediatriz de un segmento esférico

La definición de mediatriz se sigue conservando en la geometría esférica. Para

construirlo, hacemos lo siguiente:

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1) Trazar un segmento esférico cuyos extremos sean A y B

2) Determinar el punto medio del segmento esférico AB. Denotémoslo con la

letra M.

3) Trazar una recta esférica perpendicular al segmento esférico AB que pase

por M.

Figura 11. Mediatriz de un segmento esférico.

Bisectriz de un ángulo esférico

Para determinar la bisectriz de un ángulo entre dos rectas esféricas, hay que

determinar la bisectriz del ángulo que forman sus tangentes. Para ello realizamos lo

siguiente:

1) Colocar tres puntos sobre el esfera. Sean A, B y C.

2) Trazar una recta esférica que pase por A y B.

3) Trazar un recta esférica que pase por B y C.

4) Utilizando la herramienta , trazamos la tangente a la recta esférica que

pasa por A y B, en el punto B.

5) Trazamos la proyección del punto A sobre la tangente. Para esto trazamos

una recta que pase por el centro de la esfera y el punto A. La intersección de

esta recta con la tangente será la proyección de A. Llamémosle A’.

6) Utilizando la herramienta , trazamos la tangente a la recta esférica que

pasa por B y C, en el punto B.

7) Trazamos la proyección del punto C sobre la tangente. Para esto trazamos

una recta que pase por el centro de la esfera y el punto C. La intersección de

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esta recta con la tangente será la proyección de C. Llamémosle C’.

8) Con la herramienta trazamos la bisectriz del ángulo, seleccionando los

puntos A’, B y C’.

9) Trazamos el plano que pasa por la bisectriz y el centro de la esfera. La

intersección de este plano y la esfera es la bisectriz esférica buscada.

10) Ocultamos todas las rectas, puntos y plano que utilizamos de apoyo.

Figura 12. Bisectriz de un ángulo esférico ABC.

Distancia entre dos puntos

Para medir la distancia entre dos puntos sobre la esfera basta con medir la longitud

del segmento esférico, es decir, la longitud del arco de circunferencia.

Creación de una herramienta

Algunos elementos de la geometría esférica requieren de varios pasos para su

construcción, por lo que sería tedioso construirlo cada vez que se quiera utilizar.

Para evitar este inconveniente, GeoGebra permite crear nuevas herramientas y con

ello facilita todo el proceso. Cada elemento debe construirse una sola vez y

posteriormente, solo hay que darle clic a la herramienta para realizar la

construcción.

El procedimiento es el mismo para cada herramienta, por lo que solo explicaremos

cómo crear la herramienta para construir una recta esférica. Supongamos que ya

terminamos de trazar una recta esférica, lo que haremos es lo siguiente:

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a) Hacemos clic en Herramientas y luego en Crear una nueva herramienta.

b) En la ventana que aparece seleccionamos como objeto de salida, lo que

queremos que se muestre, en este caso seleccionamos Circunferencia c,

ya que es la recta esférica que construimos.

c) En objetos de entrada aparecerá por default Esfera a, ese lo dejamos.

Seleccionamos los puntos por donde pasará la recta esférica, en nuestro

caso son los puntos A y B.

d) En Nombre e Ícono colocamos el nombre de la herramienta, el nombre del

comando se crea solo y agregamos una pequeña descripción para saber

cómo usarlo.

e) Damos clic en el botón Concluido y se agrega en el menú el ícono .

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Ahora cada vez que queramos construir una recta esférica, solo hay que seleccionar

el ícono, seleccionar la esfera y los dos puntos por donde pasará la recta esférica.

Si construimos una herramienta para cada elemento, tendremos un modelo que nos

permitirá trabajar de manera sencilla la geometría esférica.

Esta es la ventaja de crear este modelo, puesto que no será necesario realizar todos

los pasos para construir cada elemento de la geometría esférica, sino basta con dar

un clic sobre el ícono para trazar el elemento deseado; además, al ser GeoGebra

un software multiplataforma, se puede trabajar en cualquier computadora con el

modelo.

Resultados

En la Figura 13 se visualiza el modelo tridimensional construido ya con las

herramientas necesarias para realizar el estudio de algunas propiedades de la

geometría esférica.

En este modelo solo se añadieron las herramientas para la construcción de los

elementos geométricos básicos. Naturalmente, se pueden ir agregando nuevas

herramientas, como las que permitan construir polígonos con ciertas características

dadas, etc.

Figura 13. Modelo tridimensional de la geometría esférica construido en GeoGebra.

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Postulado de las paralelas

En la geometría esférica sabemos que no se cumple el quinto postulado de

Euclides, puesto que dada una recta esférica y un punto fuera de ella, no existe

ninguna recta esférica paralela a la primera que pase por dicho punto.

Figura 14. No existe recta esférica paralela a la recta

esférica AB que pase por P.

Suma de ángulos internos de un triángulo

La teoría nos dice que en la geometría esférica la suma de la ángulos internos de

un triángulo es mayor a 180º. En efecto, cuando construimos un triángulo y medimos

sus ángulos internos comprobamos que no importa donde se coloquen los vértices,

la suma de sus ángulos internos siempre es mayor a 180º.

Figura 15. La suma de los ángulos internos de un

triángulo esférico es mayor a 180°.

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Teorema de Pitágoras

Uno de los teoremas más conocidos en la geometría euclidiana es el teorema de

Pitágoras, sin embargo, en la geometría esférica no se cumple. En esta geometría

se cumple que

cos <=-> = cos <'-> cos ?

@-A

Donde = es la hipotenusa, ' y @ los catetos y - el radio de la esfera. Así, la versión

equivalente del teorema de Pitágoras en la geometría esférica se enunciaría como:

En todo triángulo rectángulo trazado sobre la superficie de una

esfera con radio R, el coseno del cociente entre la hipotenusa c y

el radio de la esfera R es igual al producto de los cosenos de los

cocientes entre los catetos y el radio de la esfera.

Figura 16. En la geometría esférica no se cumple el Teorema de Pitágoras.

Puntos, rectas y circunferencias notables del triángulo

Mediatrices, circuncentro y circunferencia circunscrita

En la geometría esférica se siguen cumpliendo las mismas propiedades en cuanto

a la mediatriz, circuncentro y circunferencia circunscrita de un triángulo.

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Figura 17. Mediatrices, circuncentro y

circunferencia circunscrita de un triángulo esférico.

Medianas y baricentro

Al igual que en la geometría plana, las medianas concurren en el baricentro; sin

embargo, en la geometría plana el baricentro divide a cada mediana en una razón

2:1, es decir, el segmento que une el baricentro con el vértice del triángulo mide el

doble que el segmento que une al baricentro con el punto medio del lado opuesto.

Esta propiedad no se conserva en la geometría esférica.

Figura 18. Medianas y baricentro de un triángulo.

Bisectrices, incentro y circunferencia inscrita

En la geometría esférica se conservan las propiedades de las bisectrices. Concurren

en el incentro, el cual es el centro de una circunferencia esférica inscrita en el

triángulo esférico.

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Figura 19. Bisectrices, incentro y circunferencia

inscrita en un triángulo.

Alturas y ortocentro

En la geometría plana se llama altura a la recta que pasa por un vértice de un

triángulo y es perpendicular al lado opuesto o a la prolongación de éste. En la

geometría esférica, las alturas y el ortocentro se construyen de la misma forma que

en la geometría plana y cumplen las mismas propiedades. Las alturas concurren en

el ortocentro.

Figura 20. Alturas del triángulo y el ortocentro.

Como hemos observado, muchas de las propiedades de los objetos que estudiamos

en la geometría plana, se siguen cumpliendo en la geometría esférica; por supuesto,

existen objetos que se redefinen porque adquieren nuevas propiedades, por

ejemplo, nos podemos preguntar ¿qué sería lo equivalente a un cuadrado en la

geometría esférica ya que no existen paralelas?, o ¿cómo se vería una parábola o

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una elipse en esta geometría? Pero esto va más allá de los objetivos planteados en

este trabajo, sin embargo, no descartamos analizarlo en un proyecto futuro.

Conclusiones

En este trabajo mostramos que utilizando la Vista Gráfica 3D y la función

Crear Nueva Herramienta de GeoGebra es posible construir un modelo

tridimensional que permita trabajar elementos de la geometría esférica. Más aún,

aunque nuestro enfoque fue meramente didáctico, el modelo construido se puede

utilizar para explorar y comprender más a fondo problemas de contexto real, y por

supuesto, crear herramientas de fácil acceso que faciliten su estudio e incluso

ayuden a formular nuevas ideas.

El descubrimiento de geometrías diferentes a la euclidiana no sólo supuso un gran

paso para las llamadas “matemáticas puras” sino que hoy en día se conocen

problemas que resultan mucho más fáciles de resolver si se observan desde la lupa

de la geometría esférica. Por ejemplo, un avión que busca viajar desde Florida a

Filipinas pasaría por Alaska. Como las Filipinas se encuentran al sur de Florida, no

parece razonable tomar esta ruta de vuelo. Sin embargo, esta es la distancia más

corta entre los dos puntos, ya que Florida, Alaska y Filipinas se encuentran

relativamente de manera "colineal" a lo largo del camino de un círculo máximo. Así

que el mejor camino para viajar desde Florida a Filipinas incluiría una ruta de vuelo

sobre Alaska.

Comprender este tipo de contextos es mucho más complicado si solo nos

enfocamos en la geometría plana. Por lo tanto, explorar otros tipos de geometrías

posiblemente se vuelva algo necesario en un futuro y que mejor si existen modelos

que nos permitan trabajarlo con una interfaz amigable y dinámica.

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Fuentes bibliográficas

Frailey, D. (2014). Spherical Geometry. The University of Georgia. Recuperado de

http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa11/Frailey/SphericalGeometryEssay_fil

es/SphericalGeometryEssay.htm

Barraza, O. & Reyes, R. (2012). Introducción al estudio de las geometrías no

euclidianas a través de la geometría esférica. Desde una perspectiva docente.

Tesis de licenciatura. Santiago, Chile. Universidad de Santiago de Chile.

Neumann, N. (2015). Geometría esférica. Recuperado de

http://www.matem.unam.mx/max/IGA/N9.pdf

Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas. Breve historia de una revolución

intelectual. Editorial de la Universidad de Costa Rica: Costa Rica.

Vittone, F. (2012). Introducción a las geometrías no euclidianas. En Encuentro de

geometría diferencial rosario 2012. Rosario, Argentina. Recuperado de

https://www.fceia.unr.edu.ar/~grosa/files/Vittone.pdf