un estudio histórico sobre la aproximación a las raíces
TRANSCRIPT
mn
Un estudio histórico sobre la aproximación a las raíces reales de una ecuación
polinómica a través del método de Horner como recurso para la enseñanza de
ecuaciones en grado 10° de la Educación Media
Cristian Johany Restrepo García
Código: 1428767
Universidad del Valle
Instituto de Educación y Pedagogía
Licenciatura en Matemáticas y Física
Santiago de Cali, junio de 2019
Un estudio histórico sobre la aproximación a las raíces reales de una ecuación
polinómica a través del método de Horner como recurso para la enseñanza de
ecuaciones en grado 10° de la Educación Media
Cristian Johany Restrepo García
Código: 1428767
Directora:
Ligia Amparo Torres Rengifo, Mg.
Universidad del Valle
Instituto de Educación y Pedagogía
Licenciatura en Matemáticas y Física
Santiago de Cali, junio de 2019
Dedicatoria
A mi madre, Nury García Orrego por
su constante esfuerzo y dedicación
para sacarme adelante, este triunfo
también es tuyo
Agradecimientos
Primero que todo, quiero agradecerle a Dios por haberme permitido culminar esta etapa de mi
vida.
A mi madre y familia por su apoyo incondicional en el transcurso de mi carrera y su motivación
constante para seguir adelante con mis estudios.
A mi directora, la profesora Ligia Amparo Torres Rengifo por ser participe en la construcción de
este trabajo, por su tiempo, revisiones, sugerencias y enseñanzas. No me quedan más que
palabras de agradecimiento y admiración por su disciplina y entrega en el campo de la educación
matemática.
A mis evaluadores, Wilde brando Miranda y Víctor Hugo Gil, porque con sus comentarios,
sugerencias y correcciones enriquecieron el trabajo. En particular, mi más sincero
agradecimiento al profesor Víctor, por el tiempo que dedico para resolver algunas dudas que me
aquejaban para la culminación del trabajo.
A mis amigos, por la amistad que me brindaron, por el tiempo y los momentos que compartimos
juntos.
Gracias a todos.
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
RESUMEN ......................................................................................................................................1
INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................................2
CAPÍTULO 1. ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACIÓN ..................................4
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................................................................... 4
1.2 OBJETIVOS ................................................................................................................................................... 11
1.2.1 Objetivo general .............................................................................................................11
1.2.2 Objetivos específicos ......................................................................................................11
1.3 JUSTIFICACIÓN ......................................................................................................................11
1.4 ANTECEDENTES ....................................................................................................................14
1.4.1 Algunos resultados de investigación sobre la relación historia y didáctica ...................14
1.4.2 Algunos resultados de investigación relacionados con la solución de ecuaciones ........20
CAPÍTULO 2. MARCO DE REFERENCIA TEÓRICO ........................................................25
2.1 EL PAPEL DE LOS ESTUDIOS HISTÓRICOS EPISTEMOLÓGICOS DE LAS MATEMÁTICAS EN
LOS ESTUDIOS EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS ........................................................................... 26
2.1.1 Los estudios históricos en la enseñanza matemática .....................................................27
2.1.2 Los estudios históricos en el aprendizaje matemático ...................................................30
2.2 PERSPECTIVA HISTÓRICO – EPISTEMOLÓGICA DE LAS SOLUCIONES APROXIMADAS DE
ECUACIONES POLINÓMICAS .......................................................................................................33
2.3 PERSPECTIVA CURRICULAR .................................................................................................35
CAPÍTULO 3. EL MÉTODO DE HORNER EN LA HISTORIA MATEMÁTICA ............42
3.1 LOS PRIMEROS INDICIOS DE APROXIMACIONES NUMÉRICAS ....................................................... 43
3.1.1 Civilizaciones egipcias y babilónicas .............................................................................43
3.1.2 Métodos generales para aproximar raíces cuadradas y cúbicas por los griegos ............46
3.1.3 Las aproximaciones de Arquímedes ..............................................................................47
3.1.4 Las aproximaciones de Herón de Alejandría .................................................................48
3.2 UMBRALES DEL MÉTODO DE HORNER Y LA CIVILIZACIÓN CHINA ......................................52
3.3 EL MÉTODO DE AGOTAMIENTO HINDÚ .................................................................................67
3.4 EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE APROXIMACIÓN CHINO ..........................................................71
3.5 PROCESOS NUMÉRICOS EN LA EDAD MEDIA ........................................................................76
3.6 MÉTODOS DE APROXIMACIÓN EN EL RENACIMIENTO .........................................................80
3.7 PROCESOS DE APROXIMACIÓN MODERNOS ..........................................................................85
3.8 MÉTODO DE HORNER ............................................................................................................92
CAPÍTULO 4. EL MÉTODO DE HORNER EN LA ESCUELA .........................................104
4.1 SOBRE LA PROPUESTA DE AULA .........................................................................................104
4.1.1 Diseño ...........................................................................................................................107
4.1.2 La Propuesta de Aula ...................................................................................................110
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES ...........................................................................................118
REFERENCIAS .........................................................................................................................124
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Estándares básicos de competencias en matemáticas ................................................................. 39
Figura 2. Método realizado por Cardano ................................................................................................... 83
Figura 3. Proceso realizado por Vieta ........................................................................................................ 86
Figura 4. Arreglo realizado por Newton .................................................................................................... 88
Figura 5. Referentes de la propuesta de aula ............................................................................................ 105
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Rejilla de análisis para el estudio histórico.................................................................................. 42
Tabla 2. Método hindú ................................................................................................................................ 69
Tabla 3. Estructura general de la propuesta de aula................................................................................ 106
Tabla 4. Contenidos matemáticos y desempeños asociados a cada tarea de la propuesta ...................... 109
1
RESUMEN
Este trabajo se realiza de acuerdo a una problemática general, que presentan los estudiantes en la
resolución de ecuaciones polinómicas. Estas dificultades son exhibidas en diferentes
investigaciones que se toman en cuenta para la construcción de este trabajo. A partir de lo
anterior, se reconoce la necesidad de incorporar nuevas estrategias para la enseñanza de este
concepto, tomándose las aproximaciones numéricas como un buen camino para esto. Por lo
tanto, se hace un estudio histórico epistemológico de los diferentes métodos de aproximación
numérica de las raíces de una ecuación, que surgieron desde el inicio de los tiempos hasta el año
de 1819, que fue la fecha en que se publicó el método de Horner, en el cuál se pone en juego una
serie de razonamientos lógicos que pueden ser provechosos para los estudiantes. A raíz de este
estudio histórico se realiza una propuesta de aula para estudiantes de grado décimo de la
educación media, que da cuenta de elementos de tipo didáctico que salieron a flote sobre la
solución de ecuaciones numéricas mediante el algoritmo de Horner.
Finalmente se presentan algunas conclusiones generales de los aportes que realiza el estudio
histórico epistemológico del método de Horner en el diseño de la propuesta de aula, donde sobre
salen aspectos como, una forma distinta de trabajar este concepto matemático en la escuela,
movilización de la dificultad de los estudiantes frente a la naturaleza de los números,
favorecimiento para la creación de nociones intuitivas de algunos conceptos matemáticos, mayor
interacción con las expresiones algebraicas, la puesta en juego de procesos infinitos, entre otros.
Palabras clave: Historia de las matemáticas, Método de Horner, Aproximaciones numéricas de
ecuaciones polinómicas, Didáctica del álgebra y Propuesta de aula.
2
INTRODUCCIÓN
En la enseñanza y aprendizaje del concepto de ecuación se encuentran múltiples dificultades
(Filloy & Kieran, 1989; Kieran, 1992, Gallardo & Rojano, 1988; Filloy & Rojano, 1985), que
ponen de relieve una necesidad de abarcar este concepto matemático de una forma diferente, en
donde se empleen estrategias que les permita a los estudiantes reforzar sus conocimientos sobre
este tema. En este sentido, este trabajo tiene como propósito dar a conocer algunos elementos
didácticos que aporta un estudio histórico del método de Horner en la solución de algunas
ecuaciones polinómicas para el diseño de una propuesta de aula, que le ayude al estudiante a
darle un sentido a su forma de proceder. Por otro lado, entender la secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas que deben realizar los estudiantes para la implementación de este método
de aproximación, resultaría muy beneficioso, ya que les permitiría un desarrollo del pensamiento
matemático y ampliaría su pericia para enfrentar determinados problemas matemáticos.
El presente trabajo se desarrolla de la siguiente manera:
En el primer capítulo se aborda aspectos generales de la investigación que corresponde a todo
lo relacionado con la formulación del problema, sus propósitos, la justificación y algunos
antecedentes que están relacionados con la problemática planteada. La presentación del problema
parte de algunas investigaciones realizadas en didáctica del álgebra (Filloy & Rojano, 1985;
Gallardo & Rojano, 1988; Kieran & Filloy, 1989; Kieran, 1992; Ursini, 1996; Ursini, Escareño,
Montes & Trigueros 2005; Castro, 2012) y que giran alrededor de la enseñanza y aprendizaje del
concepto de ecuación, como contenido matemático particular. Además, se exhiben dificultades y
errores que los estudiantes presentan a la hora de trabajar este concepto y que se pueden
movilizar con la propuesta de aula. De esta manera, se da respuesta a las preguntas ¿del por qué?
y el ¿para qué? de este trabajo y se enuncian los objetivos que se pretenden alcanzar. Por otro
lado, se presentan algunos referentes, como trabajos de grado, tanto de pregrado como de
maestría, que se han desarrollado en el área de Educación Matemática a nivel local como
nacional, los cuales retoman dos aspectos: i) relación historia de las matemáticas – didáctica de
las matemáticas, ii) resolución de ecuaciones polinómicas.
3
En el segundo capítulo se aluden algunos referentes teóricos que permiten fundamentar el
trabajo y que están organizados en tres apartados. En el primero encontramos ciertas reflexiones
que han surgido en algunas investigaciones y que dan cuenta del papel que se le asigna a la
Historia de las matemáticas en los estudios Didácticos de las matemáticas, desde dos
perspectivas, una referida a la enseñanza de las matemáticas y otra al aprendizaje matemático,
teniendo en cuenta que los aportes de la historia en cada uno, incide de alguna manera en el otro.
En el segundo apartado se presenta información relevante para la realización del estudio
histórico, los periodos o momentos que se abordan, por qué se escogieron esos periodos, como se
hace este estudio histórico, que referentes se han tomado y de donde, cual fue el documento
fundamental para su realización y por qué. En el tercero se muestra el panorama curricular en el
cual se apoya el trabajo propuesto, ya que en nuestro país el currículo de matemáticas esta
direccionado con tres documentos que actualmente rigen el Sistema educativo colombiano, como
lo son los Lineamientos Curriculares de matemáticas (MEN, 1998), los Estándares básicos de
competencias matemáticas, (MEN, 2006) y los Derechos Básicos de Aprendizaje (MEN, 2016).
El tercer capítulo contiene el estudio histórico de los diferentes métodos de aproximación
numérica de las raíces de una ecuación polinómica, iniciando desde el 2.000 a.C., hasta el año de
1819, que fue la fecha en que se publicó el método de Horner; de esta manera se observa los
comienzos de este proceso y su crecimiento hasta el punto de obtenerse métodos mucho más
generales desarrollados sistemáticamente para la solución de las raíces de una ecuación.
En el cuarto capítulo se presenta todo lo referente al diseño de una propuesta de aula, en la
que se pone en juego la utilización del método de Horner para la aproximación de las raíces
reales de una ecuación polinómica; articulando en ella, los aportes de lo histórico, curricular y
didáctico.
Finalmente, en el capítulo 5 se presentan algunas conclusiones respecto a los aportes del
estudio histórico de los métodos de aproximación para la realización de una propuesta de aula
sobre el método de Horner en donde se pone en juego procesos de aproximación a las raíces
reales de una ecuación polinómica.
4
CAPÍTULO 1
ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACIÓN
En este capítulo se presentan elementos que permiten ubicar el problema en un contexto
específico de trabajo, los propósitos que la enmarcan, la justificación y algunos antecedentes que
están relacionados con la problemática planteada.
Primero, se inicia con la presentación del problema, el cuál parte de algunas investigaciones
realizadas en didáctica del álgebra y que giran alrededor de la enseñanza y aprendizaje del
concepto de ecuación. Además, se exhiben dificultades y errores que los estudiantes presentan a
la hora de trabajar este concepto y que se pueden movilizar con la propuesta de aula a realizar.
Con base en lo anterior, se le da respuesta a las preguntas ¿del por qué? y el ¿para qué? de este
trabajo y su pertinencia en la Educación Matemática. Igualmente, se enuncian los objetivos que
se pretenden alcanzar. Por último, se presentan algunos referentes, como trabajos de grado, tanto
de pregrado como de maestría, que se han desarrollado en el área de Educación Matemática a
nivel local como nacional, los cuales retoman dos aspectos: i) relación historia de las
matemáticas – didáctica de las matemáticas, ii) resolución de ecuaciones.
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Desde una perspectiva cultural, se considera que el aprendizaje de las matemáticas es difícil,
lo que logra de cierta forma, generar miedo y rechazo hacia ellas; algunos estudiantes llegan
incluso a odiarlas por no entender muchas de las nociones que se ponen en juego. Se ignora pues,
que esta es una herramienta muy útil y poderosa que les podrá ayudar más adelante en su vida
profesional y cotidiana.
5
Una de las grandes dificultades en el aprendizaje de las matemáticas se presenta cuando los
estudiantes se enfrentan al álgebra, pues parecen no comprender muchas de las estructuras que
están detrás de los conceptos que se estudian en ella. Así se exponen en algunas investigaciones
en Didáctica del álgebra (Filloy & Rojano, 1985; Gallardo & Rojano, 1988; Kieran & Filloy,
1989; Kieran, 1992; Ursini, 1996; Ursini, Escareño, Montes & Trigueros 2005; Castro, 2012).
Estas investigaciones revelan las múltiples dificultades a las que se enfrentan los estudiantes al
pasar de un pensamiento aritmético a uno algebraico, entre ellas, la más fuerte a resaltar en esta
transición, es considerar al álgebra como una extensión de la aritmética. Sin embargo, el álgebra
no es una simple generalización de la aritmética, pues ella trae consigo un cambio en el
pensamiento del estudiante de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales
sobre números y operaciones (Kieran & Filloy, 1989). Algunos didactas están de acuerdo con
que este problema se debe a que trabajar en álgebra involucra un modo de pensamiento propio,
sin olvidar que tiene rasgos característicos y diferentes a modos de pensamiento que se generan
en la geometría y la aritmética (Fernández, 1997).
Por otro lado, las formas tradicionales de ser enseñada el álgebra hace pensar a los estudiantes
que las matemáticas son principalmente memorización, considerando que esta es la esencia del
álgebra, de este modo se disponen a memorizar reglas y procedimientos que les ayuden a cubrir
su falta de comprensión por esta rama de las matemáticas, llegando quizás, hacer uno de los
obstáculos para un óptimo aprendizaje de este campo. Debido a lo anterior, cuando se mira con
detenimiento el concepto de ecuación, "es frecuente encontrar alumnos que han logrado
consolidar muy poco de este objeto matemático, simplificando su conocimiento a tal punto de
usar simples procedimientos mecánicos, rutinarios y memorísticos para resolver ecuaciones, esto
es, pasando de un lado al otro letras y números" (Hurtado, 2014, p. 7).
En este orden de ideas, se decide centrar como objeto de estudio, el concepto de ecuación
polinómica, y presentar algunas de las dificultades que se pueden evidenciar en el tratamiento de
este concepto matemático, que podrán ser atenuadas con algunas propuestas que surgen de este
trabajo de investigación.
6
En primer lugar, se encuentran dificultades con la comprensión y apropiación del objeto
matemático, derivados de procesos algorítmicos desprovistos de significado con un lenguaje
poco riguroso y que sin embargo algunas veces conduce a una respuesta correcta. Un ejemplo de
esto, se puede encontrar cuando los estudiantes se dedican a pasar de un lado a otro, números y
letras con la regla de transposición, “Si un número está restando pasa a sumar y si está
multiplicando pasa a dividir” (Abrate, Pochulu & Vargas; 2006). "A los estudiantes se les
dificulta generar y mantener una visión global de las características de una ecuación"(Kieran,
1992, p. 7).
Igualmente, que con la estructura de la ecuación, se reportan en investigaciones como
(Gallardo y Rojano, 1988; Filloy, 1999; Kieran, 1981, 2006; Filloy & Rojano, 1989; Castro &
Molina, 2007), dificultades con la falta de compresión de lo que es la solución de la ecuación, así
como sus raíces.
Ahora bien, es claro que la introducción de las letras a las matemáticas, representa un
problema para los alumnos, debido a las diferentes formas de utilizarlas, lo cual va ligado de
alguna forma a lo anterior; Kieran C. (1992) presenta una escala en donde los estudiantes pueden
tener un grado de asimilación hacia las letras de la siguiente manera: evaluar la letra, ignorar la
letra, considerar la letra como un objeto concreto, considerar la letra como incógnita, considerar
la letra como número generalizado y considerar la letra como variable. Pero la mayoría de
estudiantes trabajan las letras en expresiones y ecuaciones como incógnitas específicas más que
como números generalizados o como variables (Booth, 1983; Kücheman, 1978).
Cabe considerar, por otra parte las dificultades con la naturaleza de los números; los
estudiantes manifiestan una preferencia por los enteros positivos hasta el punto de llegar al
extremo de alterar la estructura de la ecuación pues no conciben una solución negativa, ni
aceptan como respuesta una expresión fraccionaria, mucho menos decimal; por otro lado, cuando
la solución es cero, hay estudiantes que no aceptan este valor como una respuesta y continúan
buscando una solución que satisfaga la ecuación (Gallardo & Rojano, 1988). Cabe resaltar que la
dificultad que representa aceptar como una solución de la ecuación a los números negativos,
viene desde tiempos atrás, cuando apenas se estaba construyendo una teoría de ecuaciones.
7
A partir de las dificultades anteriores, surgen algunos errores que se registran en
investigaciones en Didáctica de las Matemáticas, acerca de la resolución de ecuaciones.
Wagner, Rachlin & Jensen; (1984) encontraron que los estudiantes tienen ciertas falencias en
la estructura de las ecuaciones y su resolución, debido a la dificultad que les presupone tratar
expresiones con varios términos y no entender por ejemplo que [6(𝑥 + 3) + 9] y [6𝑥 + 9] tienen
la misma estructura superficial. Además en esta misma investigación sale a colación la
inhabilidad para distinguir los rasgos estructurales de las ecuaciones que tienen que ver con la
conciencia de los estudiantes de que la solución de una ecuación depende de su estructura y no
de las letras que involucra, ya que a la pregunta:
En las ecuaciones 7𝑊 + 22 = 109 y 7𝑁 + 22 = 109, ¿Cuál es mayor, W o N?
Algunos estudiantes respondieron que primero tenían que realizar las operaciones y otros
opinaron que W era superior debido a su posición en el alfabeto.
Greeno 1982, señala que hay estudiantes que para verificar que una solución a una ecuación
es incorrecta, tienen que resolver la ecuación, no reconocen pues, que al reemplazar dicha
solución en los lados de la ecuación original o en algunos de los pasos de la cadena de solución,
se tendrán dos resultados diferentes.
En cuanto a la resolución de ecuaciones, Kieran C. (1992) señala 7 formas diferentes de
resolver las ecuaciones polinómicas de primer grado por estudiantes:
Usar hechos numéricos
Usar técnicas de conteo
"Cover up"
Resolución hacia atrás
Sustituciones por prueba y error
Transposición (cambiar de lado y de cambiar signo)
Efectuar la misma operación a ambos lados
8
Donde los primeros cinco métodos se les llama "intuitivos" y los dos últimos son los métodos
formales. Petitto (1979), afirma que los estudiantes tienen más éxito cuando se apropian de
ambos métodos, que cuando únicamente dominan las dos técnicas formales. Es necesario pues,
que las instituciones les provean a los estudiantes otros modelos alternativos de resolución de
ecuaciones para que estos no tiendan a fijarse únicamente en un modelo, lo cual no les permite
descubrir las relaciones con las expresiones algebraicas, y por ende tiendan a depender más del
modelo, a tal punto que lo utilicen cuando no les sirve o cuando era más viable utilizar un
método intuitivo (Filloy & Rojano, 1984,1985).
Sobre la base de las consideraciones anteriores, se hace necesaria una forma diferente de
abarcar las ecuaciones, en donde se empleen estrategias que le permitan al estudiante reforzar sus
ideas sobre este concepto. En este sentido, la introducción del método de Horner en la escuela, le
proporcionaría al estudiante una mirada diferente de este objeto matemático, que posiblemente le
ayude a darle sentido a su forma de proceder. Además, por medio de este método los estudiantes
pueden hallar las raíces aproximadas de ecuaciones polinómicas muy complejas solo utilizando
las operaciones más simples de la aritmética. Por otro lado, sería muy beneficioso para los
estudiantes, entender la secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que se deben realizar para
su implementación, lo cual les permitiría un desarrollo del pensamiento matemático y ampliaría
su pericia para enfrentar determinados problemas matemáticos.
Cabe mencionar, que la forma de utilizar el método de Horner para aproximar las soluciones
de las ecuaciones, es muy intuitiva, pues se puede decir, que está ligada al modo de razonar de
los estudiantes, cuando se enfrentan por primera vez a la resolución de ecuaciones, en donde
recurren al tanteo para tal fin. Lo cual resulta oportuno de aprovechar, para generar nociones de
este objeto matemático a partir de los métodos o habilidades que los estudiantes ya poseen.
Al respeto, en los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998) se reconoce la importancia de las
aproximaciones numéricas debido a la potencialidad que tienen para la introducción al lenguaje
algebraico, así como para el desarrollo del pensamiento variacional. Igualmente en los
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) se resalta su valor,
entendiendo su aprendizaje como actividades propias de los procesos infinitos y que caracterizan
9
el campo conceptual del análisis matemático. Sin embargo, en el transcurso de la educación
matemática del estudiante son escasas las situaciones en donde se realicen reflexiones sobre las
estimaciones o aproximaciones numéricas y su importancia en las matemáticas.
Es notorio, que los profesores dedican mucho más tiempo a la enseñanza de métodos exactos
en comparación con el dedicado a los métodos numéricos, motivo por el cual, los estudiantes
tienden a menospreciar los procesos que conducen a la solución aproximada de algún problema.
Esta valoración errada se tiene, porque los estudiantes no saben que en realidad los métodos
exactos solo pueden resolver algunos casos particulares de problemas. Por ejemplo, solo pueden
resolver no más del 5% de las ecuaciones diferenciales en general y encontrar las soluciones de
las ecuaciones polinómicas hasta el grado cuatro, pero las ecuaciones de grado superior aparecen
con frecuencia en problemas técnicos y científicos (Ruiz, 2002).
A causa de esto último, el trabajo con ecuaciones que normalmente se presenta en la escuela,
hace referencia a ecuaciones hasta el grado dos, que se resuelven por radicales, a las ecuaciones
bicuadradas, que se reducen a cuadráticas mediante un cambio de variable, y a las de grado
superior a dos que se resuelven descomponiéndolas en factores de grado máximo dos (Herrero,
Linero & Mellado; 2017). De esta manera, solo se les enseña a los estudiantes las ecuaciones
polinómicas que se ajustan a los tipos antes mencionados. Lo cual produce que los estudiantes
tengan una visión de una matemática descontextualizada de la realidad y una perspectiva
simplificada de este objeto matemático.
En este sentido, es necesaria la introducción de los métodos de aproximación numérica para el
trabajo con ecuaciones polinómicas que no se puedan resolver mediante los métodos clásicos
enseñados en los colegios.
Por otro lado, vale la pena mencionar que en realidad no es correcto hablar de métodos
exactos, sino más bien de métodos analíticos, ya que exacto hay muy poco en la vida (Ruiz,
2002). Por ejemplo, cuando se dice que el largo de una tabla es de cinco metros, esa medida no
es exacta, ya que incluye el error que introduce los ojos como órganos de la visión, más el error
del propio instrumento de medición que se use; igualmente, cuando se resuelve una ecuación por
10
medio de radicales se puede obtener la respuesta √2 , que no es un valor exacto. De este modo,
inclusive en estos procesos llamados exactos se requiere finalmente encontrar un valor
aproximado de este tipo de representaciones numéricas.
Sobre la base de las consideraciones expuestas hasta el momento, se puede pensar en el
método de Horner como un proceso muy útil para explorarlo a nivel de trabajo en el aula con los
estudiantes. Para ello, la historia de las matemáticas puede rescatar nociones importantes para su
construcción conceptual. Al respecto investigadores como Palarea (1999) y Anacona (2003)
reconocen la necesidad de incorporar la historia de las matemáticas en la enseñanza y
aprendizaje de esta ciencia como una herramienta didáctica, debido a que aporta elementos
lógicos y epistemológicos claves en su proceso de construcción teórica, nos da cuenta de la
complejidad que rodea a los conceptos y de los múltiples aspectos que incidieron en su
construcción social; sin olvidar que brinda un rico manantial de problemas que pueden ser objeto
de un tratamiento lúdico por parte del profesor, de esta manera provee de elementos
conceptuales, metodológicos y epistemológicos al docente los cuales puede emplear en sus
propuestas educativas.
Murcia (2009), en un estudio histórico epistemológico que hizo sobre la transición del algebra
clásica al álgebra moderna, llega a concluir que el estudio y análisis de la historia de las
matemáticas provee de reflexiones que pueden y deben ser tenidas en cuenta por los maestros al
iniciar a los estudiantes en sus estudios algebraicos en la escuela. La historia del álgebra nos
brinda elementos para apreciar mejor la complejidad de los conceptos algebraicos y de las
rupturas que ocurren durante su construcción, proporcionándonos tanto los avances, como
oposiciones y retrocesos que han ocurrido en este campo de las matemáticas.
De acuerdo con todo lo anterior surge la siguiente pregunta de investigación:
¿Qué tipo de elementos didácticos puede aportar un estudio histórico epistemológico del
método de Horner en la solución de algunas ecuaciones polinómicas para el diseño de una
propuesta de aula dirigida a estudiantes de grado 10° de la Educación Media?
11
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo general
Determinar algunos elementos didácticos (desde las perspectivas de enseñanza y aprendizaje)
que puede aportar un estudio histórico epistemológico del método de Horner en la solución de
algunas ecuaciones polinómicas para el diseño de una propuesta de aula dirigida a estudiantes de
grado 10° de la Educación Media.
1.2.2 Objetivos específicos
Caracterizar la solución de ecuaciones polinómicas a través del método de aproximación
numérica de Horner, según su estudio histórico epistemológico.
Determinar los aportes (a nivel de una propuesta de aula) a los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las ecuaciones polinómicas según la caracterización anterior.
Conjugar en una propuesta de aula, la solución de ecuaciones polinómicas y los aportes
de la historia de los métodos de aproximación numérica para la solución de ecuaciones.
1.3 JUSTIFICACIÓN
Son muy pocos los trabajos que se pueden encontrar sobre la importancia de los métodos
numéricos en la educación matemática, aclarando que solo se pudo encontrar un solo documento
que se refería a esto. Lo cual se puede ver reflejado en el hecho de que los estudiantes tienden a
menospreciar los métodos que llevan a una solución aproximada de algún problema, ya que en el
transcurso de su educación matemática, tomando en cuenta la universitaria, se hace más hincapié
en las soluciones por métodos exactos, también llamados métodos analíticos (Ruiz, 2002).
12
En efecto, los profesores dedican mucho más tiempo a la enseñanza de una gran cantidad de
los métodos analíticos, sin mencionarles a los estudiantes que estos, solo pueden resolver
algunos casos particulares de problemas, como es el caso de la búsqueda de las soluciones de
ecuaciones polinómicas, las cuales no se pueden resolver por un método exacto, cuando el grado
de la ecuación es igual o mayor a cinco. Esto fue demostrado por Évariste Galois (1811-1832) en
su teoría, basándose en resultados pertinentes a las estructuras algebraicas. Sin embargo las
ecuaciones de grado superior al cuatro aparecen con frecuencia en problemas técnicos y
científicos, y la única forma de tratarlos es por medio de los métodos numéricos (Ruiz, 2002).
Cabe mencionar que en este trabajo, no se pone en tela de juicio la utilidad de los métodos
analíticos. Sin embargo, ignorar los métodos de aproximación podría privar a los alumnos de
adquirir nuevas formas de pensamiento matemático.
En este sentido, este trabajo es de gran importancia porque invita a los educadores y
estudiantes a tomar conciencia sobre lo relevante que son estos métodos numéricos para el
aprendizaje matemático, no solo porque nos ayudan a resolver de forma general variados
problemas, sino también por la riqueza matemática que pueden obtener los estudiantes al trabajar
estos procedimientos, en los cuales se ponen en juego muchos pasos lógicos que pueden servir
para una buena base del contenido matemático a tratar, en este caso, las ecuaciones polinómicas
y sus raíces.
Es preciso señalar además, que este contenido matemático que trata este trabajo, es importante
para la formación de los estudiantes debido a que contribuye al desarrollo del razonamiento
lógico o causal, tan importante en el ser humano; asimismo podría ayudar al desarrollo de la
capacidad creativa del intelecto y a resolver problemas de la vida cotidiana con rapidez.
De hecho, este contenido matemático es pertinente, pues lo podemos encontrar en los
currículos colombianos debido a la potencialidad que tiene para la introducción al lenguaje
algebraico, así como para el desarrollo del pensamiento variacional y los sistemas algebraicos.
En los Estándares básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) se habla sobre el papel
tan importante que cumple este pensamiento en la resolución de problemas sustentados en la
variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales,
13
sociales y las matemáticas mismas, así como otras disciplinas. Sin olvidar además, que
actividades que ayudan al desarrollo de este pensamiento matemático pueden proporcionar una
infinidad de oportunidades para que los estudiantes formulen conjeturas, las pongan a prueba y
las generalicen, lo cual está relacionado con el pensamiento lógico y el pensamiento científico.
Ahora bien, la selección de las ecuaciones polinómicas como el foco de nuestro estudio se
debe a las múltiples dificultades y errores, mencionados anteriormente, que aparecen en el
tratamiento de este objeto matemático y que se ven reflejados en una conceptualización pobre y
deficiente del concepto en cuestión. Esta situación tal vez se deba a que en la mayoría de casos el
estudio de este objeto matemático en el salón de clases se limita a simples procedimientos
mecánicos y rutinarios, que a menudo tienen poco sentido para los estudiantes.
Debido a estas dificultades, se hace necesario cambiar la forma de introducir este concepto
matemático en el aula de clases, para esto se propone la articulación del método numérico de
Horner que se trabaja desde el siglo XIX, aunque hay indicios de que esté surgió mucho antes,
para la resolución de las ecuaciones, en el sentido en que pone en juego toda una clase de
procesos lógicos y aritméticos que pueden potenciar la conceptualización de este tema tan
complejo para los estudiantes.
Una de las ventajas, que tiene la aplicación de estos métodos numéricos, es que los
estudiantes podrían obtener muy buenas bases para la construcción de la noción de continuidad
de la recta numérica, que es una de las grandes dificultades que subyacen en el campo de las
matemáticas.
Debe señalarse que en los Estándares básicos de Competencias en Matemáticas (MEN, 2006)
se reconoce la importancia de estos métodos, entendiendo su aprendizaje como actividades
matemáticas propias de los procesos infinitos y que caracterizan el campo conceptual del análisis
matemático; lo cual es muy provechoso para el desarrollo del pensamiento numérico en el
estudiante. Todo esto se logra cuando se trabaja la búsqueda de soluciones no exactas, algo que
se ha dejado de lado, en las aulas de clase.
14
De igual manera, tener en cuenta estos métodos numéricos que nos proporciona la historia de
las matemáticas permiten conocer nociones esenciales que han sido significativas en el proceso
de construcción de las soluciones de las ecuaciones polinómicas, así como la complejidad que
hay alrededor de este tema que encierra muchos obstáculos para el aprendizaje de los
estudiantes. Por este motivo, este trabajo es importante, en el sentido en que se va a conjugar un
estudio histórico con una problemática didáctica; y tal como lo señala Anacona (2003) la historia
de las matemáticas se puede utilizar como un indicador de dificultades de comprensión para el
diseño de contenidos y de actividades didácticas; de esta forma se brinda un panorama más real
que permita comprender las eventuales dificultades que pueden tener los estudiantes y ofrecerles
una vista más amplia en cuanto a la resolución de ecuaciones, lo cual puede resultar atractivo
para el alumno.
Por último y no menos importante, este trabajo aporta a la formación investigativa del autor
del presente documento, en el sentido en que este, exige la realización de actividades
intelectuales y ayuda al desarrollo de la capacidad de buscar posibles soluciones a problemas
hallados, poniendo en práctica los conocimientos adquiridos durante toda su formación
universitaria.
1.4 ANTECEDENTES
En este apartado se exponen algunos trabajos de grado, tanto de Pregrado como de Maestría,
que se han desarrollado en el Área de Educación Matemática a nivel local como nacional; y que
aportan a los intereses del presente trabajo. En este orden de ideas, se retoman dos aspectos: i)
relación historia de las matemáticas – didáctica de las matemáticas, ii) resolución de ecuaciones.
1.4.1 Algunos resultados de investigación sobre la relación historia de las matemáticas y
didáctica de las matemáticas
En las últimas décadas vienen surgiendo muchas investigaciones donde se pone en evidencia
a la historia de las matemáticas como recurso didáctico que provee herramientas conceptuales y
metodológicas para comprender o agenciar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
15
matemáticas (Orietta, 2016). Debido a que este trabajo va enfocado a vislumbrar los aportes que
hace un estudio histórico de los métodos numéricos de solución de ecuaciones para la realización
de una propuesta de aula, se presentan a continuación algunos trabajos enmarcados en la relación
historia de las matemáticas - didáctica de las matemáticas, los cuales brindan algunos aspectos
importantes a tener en cuenta para la realización del actual estudio.
Torres (2010). Fenomenología histórica del concepto de ecuación y potencialidades de su uso
en la escuela. Debido a la problemática que hay en la escuela, entorno al paso del pensamiento
aritmético al pensamiento algebraico, se hace un análisis fenomenológico en el concepto de
ecuación, como un concepto esencial de las matemáticas que trata fenómenos y problemas
importantes a tener en cuenta en la enseñanza y aprendizaje de esta ciencia, articulando el papel
que juega los estudios históricos epistemológicos del álgebra en propuestas diseñadas para el
aula. Este estudio fenomenológico es realizado en tres periodos de la historia del álgebra,
considerados fundamentales para la autora en el desarrollo de la teoría de ecuaciones: el álgebra
árabe (al-Khwarizmi), el álgebra del renacimiento (Cardano) y el álgebra del Siglo XVII
(Descartes).
A partir del análisis fenomenológico de este concepto, surgen reflexiones que son importantes
de señalar para el trabajo actual, tales como:
Se reconoce que gracias al estudio epistemológico, es evidenciado que el campo numérico ha
determinado las técnicas de solución de ecuaciones, la caracterización de los objetos mismos del
algebra, los niveles de generalidad de estos, entre otros aspectos, y al mismo tiempo, el álgebra
ha incorporado los objetos numéricos a un campo teórico. Por otro lado, se señala que es el
ámbito de lo numérico, como espacio conocido por los estudiantes, el que propicia un contexto
de ecuaciones numéricas, en donde se puede ir complejizando la operatividad ya conocida por el
alumno. Además, se llama la atención sobre la importancia en reconocer que en la introducción
de los conceptos matemáticos en el colegio, se debe priorizar la construcción de campos amplios
de significación fenomenológica, desde la perspectiva didáctica, y esto lo aporta en gran parte los
estudios históricos de la matemática. Mediante el estudio del concepto de ecuación durante los
tres periodos mencionados antes, sobresalen elementos importantes para la enseñanza y
16
aprendizaje de este objeto matemático, como la relación entre magnitudes geométricas, números
y álgebra que se expresan de distinta manera en estos tres periodos y que pueden ser fuente de
contextualización de las ecuaciones en la iniciación de su estudio. Cabe mencionar, que este
trabajo de investigación muestra que la pareja contenido-expresión debe de ir a la par de la
construcción conceptual, pues de esta manera emergieron las formas de representación de las
ecuaciones cada vez más abstractas y esto desde el punto de vista didáctico es fundamental para
que el estudiante construya el concepto; ya que en el aula de clase primero se ve el concepto y
luego los fenómenos.
Murcia (2009). La transición del álgebra clásica al álgebra moderna: algunos aspectos
históricos epistemológicos en el desarrollo de la noción de estructura a través de la teoría de
ecuaciones. Se realiza un estudio histórico – epistemológico de la noción de estructura
algebraica, debido a la problemática que hay alrededor del paso del álgebra clásica al álgebra
moderna. El autor centra su interés en la naturaleza de las raíces de las ecuaciones y el método de
solución por radicales, ya que estas temáticas permiten identificar algunas ideas y nociones que
se ponen en juego en el desarrollo del concepto de estructura algebraica. Para ello, se estudian las
obras de Al-Khwarizmi, Cardano, Descartes, Gauss y Lagrange, en relación con las dos
temáticas antes mencionadas.
A partir de este estudio histórico se llega a concluir, entre varias cuestiones, que:
La historia de las matemáticas nos permite ver la relación tan estrecha que hay entre el
álgebra y la geometría, viendo como esta última, es utilizada como un proceso para validar
soluciones de ecuaciones. Relación que hoy día los estudiantes desconocen, pensando que se
trata de dos ramas completamente diferentes, por lo cual una propuesta de aula que involucre
procesos algebraicos y geométricos en ambos sentidos, seria provechosa para el trabajo con los
estudiantes, para lo cual la historia nos da luces sobre cómo abordar estas relaciones. También
nos proporciona una visión más global en los procesos de enseñanza y aprendizaje en cuanto a
los problemas que surgen entorno a la designación de objetos, la noción de número, las
relaciones entre cantidades, la existencia y métodos de solución de las raíces de una ecuación, la
generación y abstracción de ideas simples a conceptos más complejos.
17
Indaburo, Jiménez & Sarmiento (2016). Aportes de la historia de las matemáticas al
conocimiento didáctico del contenido del profesor de matemáticas en formación avanzada sobre
las ecuaciones trigonométricas. Discuten como la historia de las matemáticas aporta al
Conocimiento Didáctico del Contenido que posee el profesor de matemáticas sobre las
ecuaciones trigonométricas y, por tanto, reflexionar sobre la calidad y pertinencia de los
contenidos que se desarrollan en los programas de formación docente y sobre la práctica
profesional de los mismos, de esta manera, se pretende identificar cómo y de qué formas influye
la historia de las matemáticas en el conocimiento del profesor, ya sea que lo amplíe, refute,
soporte o complemente. Para ello, los autores diseñaron unas unidades de análisis que fueron
tomadas durante el seminario de Historia y Epistemología de las Matemáticas ofertado en la
Universidad Pedagógica Nacional, que contó con 7 participantes de la investigación inscritos en
este seminario, todos profesores de matemáticas de la Educación Básica, Media o Superior.
Cabe resaltar, que en esta investigación, al hacer un barrido por la historia de las ecuaciones
trigonométricas aparecen algunos métodos numéricos para solucionar dichas ecuaciones, lo cual
parece importante de mencionar, debido a lo que aporta al trabajo actual: i) se encuentra el
método propuesto por Al-Kashi para solucionar la ecuación sin(1°) = 𝑥. El cual consistió en
resolver de forma iterativa la expresión sin(3°) = 3𝑥 − 0; 0,4𝑥3 escrita en base 60, para el cual
se establece una sucesión de cocientes en la que se desprecian cantidades pequeñas de los
residuos; y ii) aparece el método propuesto por Ulugh-Beg para solucionar la ecuación
sin(3°) = 3𝑥 − 4𝑥3, donde 𝑥 = sin(1°). El cual consistió en encontrar divisiones entre
polinomios con cociente Q y residuo R, de forma reiterativa; de lo que resulta expresiones como
𝑄 + 𝑌 = 𝑄 +𝑅
3+
4(𝑄+𝑌)3
3 y se desprecia las potencias de “𝑌” por ser cantidades pequeñas. Estos
métodos surgieron de la necesidad del cálculo de distancias astronómicas, la elaboración de
mapas celestes como mecanismo para el diseño de rutas marítimas y la resolución de triángulos
esféricos para conocer la dirección de la Meca. Además, la cultura árabe estaba muy interesada
en mejorar la precisión de las tablas trigonométricas propuestas por los griegos, por lo que
usaron las Ecuaciones Trigonométricas para tal fin. Lo cual da luz sobre cómo los avances de
tipo matemático obedecen a diferentes necesidades políticas, sociales, económicas y culturales
de los pueblos y las civilizaciones que han existido a lo largo de los años.
18
Triana & Manrique (2013). El papel de la historia del álgebra en un curso de didáctica para
la formación inicial de profesores de matemáticas. A raíz de las recientes preocupaciones que
han surgido en la educación por identificar las implicaciones y las posibles relaciones entre la
Historia de las Matemáticas y el conocimiento profesional del profesor; emerge este trabajo de
grado cuyo interés se centra en responder a la siguiente inquietud: ¿Cuál es el papel asignado a la
Historia de las Matemáticas en un espacio académico de formación de profesores, cuando
construyen ideas en torno al álgebra? Para lo cual, se realiza un estudio cualitativo en el que se
analizan sesiones de clase del curso “Enseñanza y Aprendizaje de la Aritmética y del Algebra”
impartido en la Universidad Pedagógica Nacional a estudiantes de la licenciatura en Matemática,
poniendo especial interés en los episodios donde se evidencie el uso de la historia del algebra.
Cabe mencionar que este curso no tenía como fin hacer un estudio histórico del álgebra, sino más
bien, presentar a la historia como un medio para discutir sobre algunos asuntos didácticos.
En el marco del análisis realizado, se reconoce a la historia del álgebra como un elemento
integrador de diferentes momentos históricos en los que pueden aparecer distintos objetos de
estudio o diferentes procesos de construcción conceptual, mostrando a mayor detalle la relación
que puede tener el desarrollo de estos objetos matemáticos con la consolidación de sus procesos.
En relación con lo dicho anteriormente, en este estudio se puedo observar que desde la historia
del álgebra clásica se puede ampliar los desarrollos relacionados con el álgebra moderna. De
igual manera la historia permitió identificar asuntos que en la literatura no habían sido reportados
en la práctica o documentados y que pueden tener una implicación importante en la formación de
un profesor de matemáticas, se ve pues a la historia matemática como una herramienta analítica.
Por otro lado, en la observación de estas sesiones de clases se pudo evidenciar a la historia
matemática como: i) herramienta que brinda elementos curriculares, y ii) medio por el cual se
evidencia la matemática como una construcción humana. Cabe agregar que se reconocieron
episodios en la Historia del Álgebra que podrían servir para configurar unidades didácticas, que
permitirían desarrollar el pensamiento matemático del estudiante; por lo que es claro el potencial
de la Historia matemática en el desarrollo del conocimiento didáctico del contenido.
19
Bocanegra, Galeano & Huérfano (2013). Diseño de una herramienta didáctica para la
formación del profesor de matemáticas utilizando elementos históricos de lo logarítmico y lo
exponencial. Los autores desarrollan un estudio entorno al concepto de función exponencial, con
el fin de brindar elementos que faciliten la comprensión y el reconocimiento de aspectos
contenidos en la historia matemática que deben ser del dominio y conocimiento del docente, para
un adecuado fortalecimiento de su conocimiento didáctico sobre este contenido en particular; ya
que, pese al reconocimiento de su importancia en la educación, no se le da mucha relevancia
dentro del currículo de matemáticas, y por ende no se goza del suficiente tiempo para su
apropiación en el aula de clases; sumado a esto, es poco lo que se conoce en cuanto a su génesis,
trayendo consigo un desconocimiento por parte de los profesores de herramientas didácticas que
permitan un acercamiento óptimo a este concepto desde elementos constitutivos que favorezcan
su enseñanza.
Este estudio consistió primeramente en la organización y clasificación documental sobre la
historia de la función exponencial, que permitiera identificar etapas de su desarrollo histórico,
para lo cual se recurrió a diferentes fuentes de información como artículos de revistas, tesis,
cartas y libros. Luego se describe las características de cada una de las herramientas didácticas
que son de uso común en la formación de los futuros profesores de matemáticas; y por último se
culmina con la elaboración de tres herramientas didácticas que surgen como el producto de lo
anterior.
A partir de dicho estudio los autores señalan, entre muchas cosas, que la apropiación del
desarrollo histórico de los conceptos logarítmico y exponencial: i) transforma la visión que se
tiene de estos conceptos, fortaleciendo al mismo tiempo el conocimiento didáctico del contenido
del profesor de matemáticas; ii) permite al docente legitimar otros tipos de prácticas como parte
de la actividad matemática, reconociendo posibles errores y dificultades comunes que se dan en
la construcción de un concepto; iii) evidencia que los conceptos matemáticos no son
independientes en su desarrollo, pues en un principio se pretendía encontrar con una historia de
la función exponencial más pura, sin embargo la historia misma muestra que tiene su origen en
otras ideas que dieron lugar a su consolidación; iv) admite que el conocimiento matemático
nunca ha sido estático, sino que ha sido promovido y construido constantemente; y v) aporta al
20
conocimiento en el diseño curricular. Cabe mencionar que los autores llaman la atención sobre la
importancia que tienen los estudios históricos para acceder a situaciones contextuales propias de
la evolución de un concepto matemático, como por ejemplo: el uso de diversas representaciones,
la conexión de los conceptos con otros dominios numéricos a los convencionales, la relación
entre diversos conceptos al interior de las matemáticas, entre otros.
Sobre la base de los trabajos expuestos anteriormente se puede afirmar que existe una
producción intelectual a nivel nacional, que está interesada en el papel que juega la Historia de
las Matemáticas en la Educación Matemática, donde se reconoce su importancia para la
formación de los docentes, la realización de propuestas de aula, la construcción de campos
amplios de significación fenomenológica, el diseño curricular, el conocimiento didáctico del
contenido del profesor, la integración de diferentes disciplinas de las matemáticas, entre muchos
otros aspectos y usos que se le puede dar a la Historia de las Matemáticas.
1.4.2 Algunos resultados de investigación relacionados con la solución de ecuaciones
polinómicas.
Como el objeto de estudio matemático en este trabajo son las Ecuaciones polinómicas, se
realiza una mirada a diferentes trabajos de grado (pregrado o postgrado) que giran en torno a este
objeto matemático, más específicamente a su tratamiento o resolución; para tener un amplio
panorama sobre este tema en particular, señalando los trabajos más representativos de acuerdo a
las necesidades del estudio que se está realizando.
Galeano & Váquiro (2015). Una propuesta didáctica para la resolución de ecuaciones de
primer grado como relación de equivalencia utilizando el modelo virtual de la balanza. Debido
a las múltiples dificultades que se presentan con respecto a las ecuaciones y su resolución, en
este proyecto los autores presentan una propuesta didáctica, basada en un modelo virtual de
balanza, para la resolución de ecuaciones de primer grado, cuyo proceso privilegia la relación de
equivalencia que hay en ambos lados de la igualdad de una ecuación y que muchas veces es
ignorada por los estudiantes. Esto con el fin de proponer estrategias que potencien este proceso y
aportar a la construcción del concepto de ecuación en la escuela. Dicha propuesta es aplicada a
21
un grupo de diez estudiantes de grado octavo pertenecientes al colegio Santa Isabel de Hungría
sede compartir. Del análisis de resultados se obtiene que esta propuesta didáctica logra que los
estudiantes tomen conciencia sobre la necesidad de mantener la equivalencia de las ecuaciones,
al cerciorarse de mantener en equilibrio la balanza, realizando el mismo proceso en ambos lados
de está. Además, por medio de esta propuesta se logra introducir a los alumnos de una manera
más amena al proceso de resolución de ecuaciones de primer grado por métodos formales,
dejando atrás los métodos intuitivos que muchas veces se convierten en una piedra en el zapato
de los estudiantes para el tratamiento de las ecuaciones algebraicas.
Por otro lado, se llama la atención a los siguientes problemas que fueron evidenciados durante
la aplicación de la propuesta didáctica: estudiantes que cancelan figuras que no representan el
mismo peso, por ejemplo eliminar una figura de peso (𝑥) con una figura de peso (1); la
dificultad que tienen para evocar la propiedad uniforme de la igualdad con respecto a la
división; lo complejo que representa aceptar que la incógnita quede en el lado derecho de la
igualdad, así mismo es difícil para algunos aceptar raíces negativas, fraccionarias o nulas. De ahí,
surge la reflexión de proponer trabajos en donde los estudiantes se enfrente a ecuaciones que no
tengan soluciones, ecuaciones cuyos coeficientes sean racionales, ecuaciones en donde uno de
sus miembros se haga nulo durante el tratamiento. De esta forma se esperaría que los estudiantes
acepten este tipo de soluciones.
Echeverri & Sombredero (2014). Dificultades en el aprendizaje de los métodos de solución de
sistemas de ecuaciones lineales enseñados en grado noveno. Con el fin de indagar sobre la
manera como los colegios abordan el aprendizaje de los métodos de solución de los sistemas de
ecuaciones lineales, se escogieron seis colegios teniendo en cuenta la clasificación que el ICFES
les da al respecto de sus resultados en las pruebas saber 11, para realizarle una encuesta a sus
profesores de matemáticas y un examen diagnóstico a 20 de sus estudiantes, escogidos de
manera aleatoria. Esto debido a que la mayoría de colegios de Cali al introducir esta temática,
pretenden enseñar solo los algoritmos de un par de métodos de solución dejando de lado una
buena parte conceptual y teórica, creando posibles vacíos y dificultades en esta temática que
hace parte del álgebra, detonando así, futuros obstáculos en el aprendizaje de temas relacionados
con este; una prueba de lo dicho, se puede ver con la alta mortalidad académica que hay en los
22
cursos de álgebra lineal que se da en las universidades. De este modo, se pretende percibir y
analizar las dificultades que surgen en la comprensión de los diferentes métodos de solución de
los sistemas de ecuaciones lineales.
A partir de los resultados obtenidos, salen a flote algunas consideraciones que merecen ser
tenidas en cuenta: i) la metodología utilizada por el profesor incide en el proceso de aprendizaje
del alumno; ii) es importante que a los estudiantes se les provea las diferentes formas de resolver
un problema y que para su solución pongan en juego diferentes pensamientos matemáticos; iii) el
pensamiento espacial y geométrico es fundamental para que los estudiantes interpreten y
analicen los problemas desde otra perspectiva, pero los docentes muchas veces lo dejan de lado
por razones de tiempo o de gustos; iv) es importante que los profesores no les den siempre el
mismo ejemplo a sus estudiantes y que estos no utilicen siempre el mismo método para resolver
un problema, pues esto generaría un desarrollo de su pensamiento lógico-matemático que los
puede llevar a formar pensamientos inductivos.
Pongutá (2014). Existencia y unicidad de soluciones: dos elementos importantes en el estudio
de las ecuaciones algebraicas sobre los números reales. Dado que, aparentemente en las aulas
de clase no se problematiza ni se estudia el concepto de ecuación dentro del contexto mismo de
las matemáticas y tampoco fuera de él; la autora considera necesario estudiar con detenimiento
si todas las ecuaciones algebraicas propuestas tienen solución y si es así, identificar si es única o
tiene infinitas soluciones, tratando de esta forma a la ecuación como un objeto matemático y no
solo como una herramienta. Para esto, se realiza un rastreo del estudio y evolución en la
concepción de la ecuación a través de las evidencias encontradas de civilizaciones antiguas
(egipcia, babilónica, china y griega) y tres representantes de la matemática del siglo XVII (Viète,
Descartes y Fermat), pero no solo se tuvo en cuenta esta mirada global de la historia, sino que
también entro en juego la perspectiva curricular, así como el estudio de algunas condiciones que
garantizan la existencia y la unicidad de las soluciones. De este modo, se puede conocer el
tratamiento que se le daba a las ecuaciones, así como sus elementos de existencia y unicidad a
través de la historia; lo que daría pie para poder comparar e identificar si en las aulas de clase se
presenta este contenido matemático desde una perspectiva algorítmica o una perspectiva
analítica.
23
De acuerdo a este estudio, sale a relucir la necesidad de buscar, conocer, estudiar y
comprender la historia matemática, tanto por docentes como por estudiantes, para lograr un
mejor entendimiento y conocimiento de la función social y de desarrollo de pensamiento que las
matemáticas tienen con la sociedad. Por otro lado, de esta revisión histórica se desprende: i) que
el desarrollo de la Teoría de ecuaciones permitió avances en la escritura y simbología de la
época, que posteriormente se convirtió en el lenguaje aritmético y algebraico que hoy día se
maneja, y ii) las ecuaciones tuvieron participación en el descubrimiento de nuevos conjuntos
numéricos.
Cáceres & Tocarruncho (2014). Solución de ecuaciones por métodos numéricos. Los autores
diseñan una aplicación, mediante la calculadora HP48GX, para resolver ecuaciones algebraicas
por medio de métodos numéricos en donde los estudiantes pueden interactuar con este software
para ir aproximándose a sus raíces de una manera más dinámica, este diseño se logra una vez se
realiza un estudio de los mecanismos de solución de ecuaciones polinómicas por medio de
métodos algebraicos y métodos numéricos; haciéndose una revisión de libros, revistas y
estándares curriculares que permitieron una caracterización de estos métodos.
En este estudio se presenta un recorrido sobre distintas formas de solucionar ecuaciones
polinómicas a través de la historia, ya sea por métodos analíticos o numéricos, identificando de
este modo diferencias o similitudes que pueden ser aprovechadas por el profesor en el aula.
Después se hace una contextualización de los métodos numéricos usados en la resolución de
ecuaciones, prestando especial interés en la definición, las clases de métodos y su aplicación.
Todo lo anterior, para llamar la atención sobre la pertinencia del uso de los métodos numéricos
como una herramienta que permite ampliar el rango del conjunto de soluciones de las
ecuaciones.
Una vez culminado este estudio, los autores señalan que: i) En la escuela se desconocen los
métodos de aproximación numérica como una forma de solucionar ecuaciones algebraicas, ii) Se
pudo observar que en los estándares curriculares se espera que los estudiantes utilicen técnicas de
aproximación en procesos numéricos infinitos, notándose la pertinencia de la incursión de los
métodos numéricos en el aula de clase, iii) Existe una familiaridad entre los métodos numéricos
24
y los casos de factorización que se enseñan en los colegios, lo cual se puede aprovechar para la
introducción de estas formas de aproximación numérica, iv) Se pudo determinar que este tema se
puede abarcar desde diferentes campos como el teórico, curricular, procedimental y aplicativo,
debido a su flexibilidad conceptual.
Con relación a estos trabajos expuestos, es claro que existe una problemática entorno al
concepto de ecuación, así lo demuestran los estudios anteriores donde salen a relucir dificultades
con la estructura de las ecuaciones, sus métodos de tratamiento, sus soluciones, entre muchas
otras dificultades que aparecen a la hora de trabajar con este concepto matemático;
convirtiéndose muchas veces en un dolor de cabeza para los alumnos que inician sus estudios
algebraicos. Cabe mencionar que nuestro tema de interés principal es la aproximación de las
raíces de una ecuación polinómica por medio de métodos numéricos, pero a nivel local no
encontramos ningún trabajo de pregrado o posgrado (maestría o doctorado) relacionado con este
tema en particular; sin embargo a nivel nacional se logra dar con el trabajo de Cáceres &
Tocarruncho (2014), en donde se presentan algunos métodos numéricos para la resolución de
ecuaciones pero con otro enfoque muy diferente al tratado en el actual trabajo, pues no solo se
desea dar a conocer la parte matemática de estos métodos, sino también su historia y los aportes
que ella puede hacer para una propuesta de aula. De esta manera es preciso señalar la
originalidad y la innovación que lleva realizar un trabajo de estos, en donde no se encuentran
muchos referentes que propongan una silueta de lo que se está estudiando.
Teniendo en cuenta los dos ítems anteriores se puede apreciar la pertinencia del trabajo que se
propone, debido a que es un tema poco tratado en la educación colombiana, pero muy importante
para estimular el pensamiento matemático, tal cual como lo dicen los estándares básicos de
competencias en matemáticas. Por otro lado, es un trabajo que involucra a la historia de las
matemáticas, reconociéndose esta como una fuente inagotable de material didáctico (González,
2004) que puede proporcionar importantes elementos para el aprendizaje del tema en cuestión.
Por lo tanto, este estudio haría contribuciones significantes en el campo de la educación
matemática para la enseñanza y aprendizaje del concepto de ecuación desde otro punto de vista
(numérico), algunas veces olvidado por los docentes.
25
CAPÍTULO 2
MARCO DE REFERENCIA TEÓRICO
En este apartado se presentan algunos referentes conceptuales en los cuales se sustenta el
estudio histórico del método de Horner y el diseño de una Propuesta de aula relativa a la
enseñanza y aprendizaje de procesos de aproximación a las raíces reales de una ecuación
polinómica, los cuales forman parte de los objetivos principales de este trabajo. Estos referentes
son: i) el papel de los estudios históricos epistemológicos de las matemáticas en los estudios en
didáctica de las matemáticas, en donde se da a conocer múltiples formas en las que se puede
utilizar la historia de las matemáticas como un instrumento didáctico en la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas; ii) perspectiva histórico epistemológica de las soluciones
aproximadas de ecuaciones polinómicas, en donde se presenta información relevante para la
realización del estudio histórico, los periodos o momentos que se abordan, por qué se escogieron
esos periodos, como se hace este estudio histórico, que referentes se han tomado y de donde, cual
fue el documento fundamental para su realización y por qué; y iii) perspectiva curricular, en
donde se presta atención a los documentos que actualmente rigen el sistema educativo
colombiano emanados por el Ministerio de Educación Nacional, de los cuales se toman algunas
posiciones conceptuales centrales para el diseño de la Propuesta de aula.
26
2.1 EL PAPEL DE LOS ESTUDIOS HISTÓRICOS EPISTEMOLÓGICOS DE LAS MATEMÁTICAS EN
LOS ESTUDIOS EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
“Ningún tema pierde tanto cuando se le divorcia de
su historia como las Matemáticas.” (Bell, 1985, p. 5)
Durante las últimas décadas vienen surgiendo muchas investigaciones que señalan al uso de la
historia de las matemáticas como un instrumento pedagógico que favorece en gran manera los
procesos de enseñanza y aprendizaje, debido a los elementos que se aportan a la tarea de enseñar,
cuando se toman en cuenta aspectos del desarrollo histórico de las matemáticas (Orietta, 2016).
Además, es preciso señalar que la historia de las matemáticas pone en manifiesto la dimensión
cultural de las matemáticas y su papel integral en el desarrollo social de la humanidad, pues no se
puede olvidar que esta ciencia es primero que nada, una actividad humana, que ha sido producto
de muchos procesos de interrelación cultural, y que conocer estos desarrollos históricos de las
matemáticas permiten verla como uno de los grandes logros culturales de la humanidad
(González, 2004). Lo que significa que las matemáticas se encuentran indistinguiblemente
ligadas a su historia, lo cual no se puede negar e ignorar, pues esta historia da a conocer los
procesos de desarrollo de determinado concepto, teniendo en cuenta que estos procesos se dieron
en complejas dinámicas sociales y culturales (Anacona, 2003). Rescatando así, a las matemáticas
del pensamiento tradicional que se tiene de ella, como una ciencia estática, cerrada y acabada;
que fue producto de unos genios que por medio de unos principios y utilización de la lógica
llegaban a los conceptos y sus demostraciones. Lo cual esconde fracasos, errores y
contribuciones de muchos matemáticos para llegar a un concepto sólido.
Según se ha visto, se puede decir entonces que la implementación de la historia del desarrollo
del pensamiento matemático en el aula de clase, puede darse de diversas formas y con diferentes
objetivos (Orietta, 2016). Al respecto González señala que:
La Historia de la Matemática permite conocer las cuestiones que dieron lugar a los
diversos conceptos, las intuiciones e ideas de donde surgieron, el origen de los términos,
lenguajes y notaciones singulares en que se expresaban, las dificultades que
27
involucraban, los problemas que resolvían, el ámbito en que se aplicaban, los métodos y
técnicas que desarrollaban, cómo fraguaban definiciones, teoremas y demostraciones, la
ilación entre ellos para forjar teorías, los fenómenos físicos o sociales que explicaban, el
marco espacial y temporal en qué aparecían, cómo fueron evolucionando hasta su estado
actual, con qué temas culturales se vinculaban, las necesidades cotidianas que
solventaban (2004, p.18).
Siguiendo con este orden de ideas, son muchas las razones que se pueden mencionar para
justificar que la Historia de las Matemáticas es un elemento significativo que debe tenerse en
cuenta en la Didáctica de las Matemáticas. A partir de esto, se presenta el papel que se le asigna
a la Historia de las matemáticas en los estudios Didácticos, desde al menos dos perspectivas: una
referida a la enseñanza de las matemáticas y otra al aprendizaje matemático, teniendo en cuenta
que los aportes de la historia en cada uno, incide de alguna manera en el otro.
2.1.1 Los estudios históricos en la enseñanza matemática
Los estudios históricos de la matemática aportan elementos conceptuales, metodológicos y
epistemológicos, que pueden ser utilizados por el profesor en el diseño de diversas actividades de
tipo didáctico, las cuales ayudarían grandemente en los procesos de enseñanza de determinado
concepto (Anacona, 2003). Veamos algunos de esos elementos que favorecen este escenario del
proceso educativo.
Para empezar, basta con mencionar que la historia de las matemáticas proporciona una guía
para seleccionar los diferentes temas a enseñar y relacionarlos con las líneas centrales de
pensamiento (Kline, 1992), teniendo en cuenta los problemas de los que han surgido los
conceptos significativos referentes al tema en cuestión, mostrando que detrás de un concepto
matemático se encuentran nociones que han sido primordiales en su proceso de construcción. De
esta manera podemos ver a la historia de las matemáticas como una herramienta curricular
(Anacona, 2003).
Asimismo la historia de las matemáticas da cuenta de la complejidad epistemológica de
algunos saberes matemáticos, ofreciéndoles a los profesores una visión más general de estos,
advirtiéndoles sobre las posibles dificultades, obstáculos y errores a los que pueden llegar sus
28
alumnos, cuando se enfrenten a este nuevo saber. A partir de lo dicho, se puede recurrir entonces
a la historia para el diseño de actividades didácticas de carácter histórico que logren disminuir o
atenuar estas posibles dificultades; en estos diseños se pueden tener en cuenta las técnicas que
antiguamente se usaban para resolver los problemas que aquejaban a determinada cultura, lo cual
resulta interesante para los estudiantes. Incluso esto, puede servir para revelar el carácter
dinámico de la matemática, al mostrarles a los estudiantes como las maneras de demostrar o
probar cierto concepto han ido evolucionando, de acuerdo con la época y la cultura en que
emergían estas ideas matemáticas (Anacona, 2003).
Como se ha afirmado antes, da a conocer a esta ciencia como el producto de una construcción
humana, en la cual se han ido integrando un conjunto de saberes científicos, artísticos y
humanísticos que constituyen la cultura, viéndose la interdisciplinariedad de las matemáticas
(González, 2004). Y es en este sentido, en el que se desea que el profesor reflexione sobre la
forma en como presenta el contenido matemático, pues se sabe que su forma de enseñar estos
nuevos saberes, influirá en la concepción de sus estudiantes frente a la matemática (Anacona,
2003). De este modo, es oportuno romper con los paradigmas tradicionales que señalan a las
matemáticas como una disciplina estática, abstracta y formal, generando como consecuencia un
temor y cierto rechazo de los estudiantes hacia esta hermosa disciplina.
También podemos ver a la historia de las matemáticas como elemento de autoformación para
los profesores, la cual les permite tener en cuenta muchos elementos que fueron importantes a la
hora de su desarrollo, esto favorecerá un nivel adecuado a las exigencias curriculares y al
desarrollo de capacidades de renovación y actualización pedagógicas; ya que esta corriente le
permite enriquecer su actividad docente, pues al conocer los diferentes obstáculos y dificultades
que una vez a quejaron a los matemáticos para la construcción de determinado concepto, él
podría adelantarse a estos problemas epistemológicos y buscar nuevas alternativas que faciliten
el proceso de enseñanza (González, 2004). Por tanto, el estudio de estas dificultades le brindan al
docente herramientas de análisis, que al conjugarlas de una manera óptima con las provenientes
del estudio de las Matemáticas y de la Didáctica de las Matemáticas, le permiten ampliar su
panorama frente a la actividad matemática (Torres, L., Guacaneme, E. & Arboleda, L., 2014).
29
Ahora bien, en el proyecto titulado “Caracterización de las estrategias curriculares de
formación en Historia de las Matemáticas en programas de formación inicial de profesores de
Matemáticas” reportado en Torres, L., Guacaneme, E. & Arboleda, L. (2014); se llega a la
existencia de un cierto consenso sobre la pertinencia de la historia de las matemáticas en la
educación de profesores y su potencialidad para ofrecer otros puntos de vista a los usuales,
respecto de las matemáticas y de sus objetos mismos. En otras palabras, en este documento ven a
la historia de las matemáticas como un recurso para suplir o encarar las necesidades formativas
del profesor.
Sin embargo, a pesar de reconocer a esta disciplina como una herramienta eficaz en la
formación del docente, es preciso señalar que hay escases de educadores que en realidad estén
capacitados para asumir cursos especializados en historia de las matemáticas y que de esta forma
se pueda compartir estos saberes de una manera óptima con futuros profesores. Debido a lo
anterior, es necesario que se siga presentando una autoformación gradual en esta área de estudio
de las matemáticas, así como lo han hecho algunos historiadores autodidactas que han asumido
el reto de adentrarse y explorar esta rama de las matemáticas tan poco trabajada (Vasco, 2002).
Por último, resulta importante mencionar la tesis doctoral del profesor Guacaneme (2016) en
donde realiza un estado del arte en torno a la relación historia de las matemáticas – conocimiento
del profesor de matemáticas, desprendiéndose las siguientes reflexiones que merecen la pena
tenerse en cuenta. La historia de las matemáticas le permite al profesor: ampliar su conocimiento
sobre aquello que enseña a aspectos matemáticos, históricos y culturales; cambiar su manera de
ver las matemáticas y a sus alumnos; aumentar su repertorio didáctico, proporcionando insumos
para el diseño de propuestas de aula; promover entusiasmo por las matemáticas, presentándolas
de una forma más dinámica y vívidas en la clase; generar reflexión sobre el significado de los
objetos matemáticos; tener un punto de partida para llegar a pensar las matemáticas y su
enseñanza; mejorar la comprensión de los contenidos a impartir, dotándolos de métodos y
técnicas que se utilizaban antiguamente; comprender cuestiones sobre el currículo en
matemáticas, por ejemplo que su organización se debe a las obras matemáticas históricas;
proporcionar nuevas maneras de organización y articulación temática; revelar asuntos ocultos de
ideas matemáticas; humanizar las matemáticas; entender las dificultades cognitivas
30
experimentadas por los estudiantes e interpretar los esquemas inadecuados que salen a flote
cuando estos aprenden un tema específico; responder a problemas de orden epistemológico que
surgen en el quehacer docente; entre otras.
2.1.2 Los estudios históricos en el aprendizaje matemático
Como se dijo al inicio de este apartado, las diferentes contribuciones de la historia de las
matemáticas en la enseñanza, también inciden de alguna forma en los procesos de aprendizaje.
De hecho, este tipo de estudios le permiten al estudiante conocer los diferentes procesos lógicos
a los que llegaron los grandes matemáticos para la constitución de esta ciencia, lo cual favorece
una mejor comprensión de cualquier concepto que se trabaje (Anacona, 2003). Pero este es tan
solo, un caso particular en donde se puede observar los beneficios que traen los estudios
históricos al aprendizaje matemático, veamos a continuación, la presentación de forma general
de estos.
Cuando se introduce un concepto, presentándolo como el producto de una actividad humana
inmersa en un contexto socio cultural, se le provee al estudiante una mirada más amplia de las
matemáticas, como una ciencia integral que guarda algunas relaciones con disciplinas
humanísticas como lo son: la Filosofía, el Arte, la Religión, la Educación, la Política, la
Literatura y la Poesía. Por ejemplo, con la filosofía se puede encontrar raíces históricas comunes
en el horizonte pitagórico que se conocen a través de la filosofía Platónica y la metafísica de
Aristóteles, así como cuestiones propiamente filosóficas como el concepto de verdad en
Matemáticas, la naturaleza del rigor y la idea de la demostración; con el arte se puede encontrar
el fundamento matemático de la armonía musical, por mencionar solo una; con la religión se
tiene la simbología religiosa geométrica; con la educación se tiene a Pitágoras y su acuñación del
termino Mathema con el significado de lo que se enseña y se aprende; con la política , el ejemplo
más elemental, es Platón cuando dice que la matemática es una herramienta básica para la
formación del hombre de estado; con la literatura se tiene infinidad de escritos realizados por
muchos matemáticos; y en cuanto a la poesía, ambas disciplinas investigan el dilema del infinito,
de lo no mesurable dentro y fuera de nosotros los humanos (González, 2004). Disciplinas en las
que las matemáticas han intervenido durante algún momento y que muchas veces es ignorada por
31
los estudiantes; para nadie es un secreto que las matemáticas son para algunos, un gran enemigo
a vencer y que a estos les puede llamar mucho más la atención estas disciplinas; lo cual hay que
aprovechar, para despertar el interés y la curiosidad por esta ciencia dinámica y cambiante; que
muchas veces se presenta como todo lo opuesto.
Siguiendo con la idea anterior, las matemáticas han estado en interrelación con muchos tipos
de experiencia y esto lo podemos ver gracias a la historia de las matemáticas, lo que le
proporciona al alumno una visión distinta de ellas, generando en él una participación analítica,
crítica y creativa en los procesos de aprendizaje (Anacona, 2003).
Por otro lado, hay momentos históricos que proporcionan información llamativa, curiosa y de
interés; que merecen la pena ser compartidas con los estudiantes a modo de anécdotas, utilizando
a la historia de las matemáticas como un recurso motivador y de esta manera lograr llamar la
atención de los alumnos al presentar las matemáticas de una forma más placentera y amena,
viendo el lado humano de esta ciencia que muchas veces es enseñada como algo abstracto y
complejo desligado del hombre (Orietta, 2016). Pero no es el único elemento motivador que
ofrece la Historia, pues ella provee de una visión panorámica de múltiples problemas curiosos
que han tenido cierto interés a lo largo de un periodo, los cuales se pueden transformar en
situaciones lúdicas como actividades al margen de la clase y en el marco de las actividades
complementarias (González, 2004). Vemos entonces a la historia de las matemáticas una vez
más como una herramienta didáctica, en donde se puede poner en juego una serie de actividades
en las cuales el recreo, el disfrute y todos los componentes pedagógicos ocupen un lugar
privilegiado en estas (Anacona, 2003).
No obstante, debe ser claro para cualquier docente que el uso de la historia de las
matemáticas como recurso de motivación, deja de lado otros aspectos importantes del devenir
histórico de un concepto en donde puede que no se exija ir más allá del relato histórico (Torres et
al., 2014). Al respecto Vasco (2002) señala que aunque a los estudiantes les llame más la
atención los aspectos anecdóticos y ligeros de algunos sucesos de la historia, con estos no hay un
aprendizaje significativo; es en este sentido que el profesor de matemáticas debe valerse también
de los otros usos que se le puede dar a la historia y que se han mencionado anteriormente.
32
Uno de estos usos, que hasta ahora no se ha mencionado, es ver a los estudios históricos
epistemológicos como vehículos de conocimiento. Pues al hacer un barrido histórico que dé
cuenta del origen, desarrollo y consolidación de un concepto de las matemáticas teniendo en
cuenta el contexto social y cultural que se viene presentando, se puede reproducir el proceso de
aprendizaje que se dio en el pasado para su construcción dejando de lado el aprendizaje
mecánico de los algoritmos que se utilizaron para dicho fin, obteniendo una noción mucho más
fuerte, fundamentada y sólida sobre cualquier tema en cuestión (Anacona, 2003).
Además, estos estudios históricos nos ayudan a comprender más a fondo, algo tan complejo
como lo es el razonamiento humano, ya que al mirar el origen del concepto se puede comprender
la forma en que fue surgiendo de acuerdo al contexto que se presentaba, y si ahora se mira su
recorrido en el transcurso de un tema, se pueden identificar métodos que fueron cruciales para
comprender elementos que lo fueron armando hasta llegar a ser dominado tanto conceptual como
operativamente; es por este motivo, que en este documento, se desea hacer un barrido histórico
de los métodos numéricos de aproximación que surgieron antes de la publicación oficial del
método de Horner y que de alguna manera, aportaron a su construcción conceptual. En algunos
casos estos métodos han quedado en el pasado, siendo reemplazados por métodos muchos más
generales y prácticos, olvidando la riqueza matemática que puede generar el estudio de estos
métodos por parte de los estudiantes para obtener unos cimientos mucho más fuertes de este
concepto.
Por último, no se puede echar de menos la estrecha relación que existe entre las matemáticas y
los grandes hitos del conocimiento y la cultura; para lo cual la historia matemática puede
funcionar como un excelente recurso que da cuenta de la dimensión cultural de esta ciencia, pues
está pone en evidencia como la actividad matemática ha participado de alguna manera en saberes
científicos, artísticos y humanísticos, mostrando la interdisciplinariedad de las matemáticas
(González, 2004). Es frecuente encontrarse con estudiantes que dicen no entender esta disciplina
y que de algún modo reflejan cierta fobia o pereza hacia ella, resguardándose en las ciencias
humanísticas debido al fracaso con esta disciplina; pero es aquí donde el profesor puede
aprovechar estos vínculos que pone en manifiesto la Historia y despertar el interés del estudiante
33
por una ciencia integradora que sale a flote en cualquier contexto de la vida real, así lo demuestra
su historia.
Dentro de este orden de ideas, es claro que los estudios históricos pueden dar algunas pistas
sobre la manera de afrontar algunas dificultades que fueron superadas en el pasado, al proponer
situaciones conflictivas que le permitan al alumno darle sentido y solución a determinado
problema que conlleva a la superación del estancamiento conceptual que se ha generado.
2.2 PERSPECTIVA HISTÓRICO – EPISTEMOLÓGICA DE LAS SOLUCIONES NUMÉRICAS DE
ECUACIONES POLINÓMICAS
En este trabajo se realiza un estudio histórico-epistemológico de los diferentes métodos de
aproximación numérica de las raíces de una ecuación, que surgieron desde el inicio de los
tiempos hasta el año de 1819, que fue la fecha en que se publicó el método de Horner, en otras
palabras, se presenta el devenir histórico de los métodos de aproximación, iniciando desde el
2.000 a.C., hasta el año de 1819; de esta manera se observa los comienzos de este proceso y su
crecimiento hasta el punto de obtenerse métodos generales desarrollados sistemáticamente para
la solución de las raíces de una ecuación; además se exponen algoritmos muy similares al
método de Horner que ya habían sido introducidos en culturas matemáticas como China, Japón e
Italia, antes de su publicación.
Con referencia a lo anterior, este devenir histórico aborda los siguientes momentos del
desarrollo de las soluciones aproximadas de ecuaciones polinómicas: i) los primeros indicios de
aproximaciones numéricas, en donde salen a relucir resultados aproximados de raíces de
números efectuados por civilizaciones antiguas como la egipcia, babilónica y la griega, entre el
periodo comprendido por el 2000 a.C., y el 200 d.C.; ii) umbrales del método de Horner, en
donde se mira con detenimiento lo que sucedió en la civilización china alrededor del 250 a.C.,
saliendo a flote un proceso muy similar al de Horner que utilizaron los chinos para aproximar
raíces cuadradas y cúbicas, el cual fue extendido para solucionar ecuaciones cuadráticas; iii) el
método de agotamiento hindú, en donde se presenta un método innovador utilizado por la
civilización hindú, alrededor del 476 a.C., para aproximar raíces cuadradas y cúbicas al igual que
34
las civilizaciones anteriores; iv) extensión del método de aproximación chino, se presenta toda
una serie de elementos teóricos que se dieron en china desde el año 623 d.C., hasta 1400 que
permitieron un crecimiento conceptual del proceso de aproximación chino hasta el punto de ser
utilizado en la resolución de ecuaciones polinómicas de grado diez; v) procesos numéricos en la
edad media, se da a conocer varias fórmulas de aproximación de raíces números que fueron
utilizadas durante la etapa comprendida entre el siglo v y el siglo xv, además de un método
árabe para aproximar la solución de ecuaciones polinómicas de grado tres originado en el año
1080; vi) métodos de aproximación en el renacimiento, durante esta etapa se estudian tres
procesos de aproximación a la solución de ecuaciones polinómicas inventados por matemáticos
como Chuquet, Cardano y Stevin; vii) procesos de aproximación modernos, se centra la atención
en dos métodos mucho más estructuralizados que los anteriores, y que son descendientes lineales
del método de horner, estos son respectivamente el método de Vieta y el método de Newton;
viii) método de Horner, se da a conocer diferentes teorías sobre su origen que giran alrededor de
los años 1800 y 1820, y se muestra como es presentado actualmente, en los libros de
matemáticas.
Por otra parte, en cuanto a la búsqueda de información para la realización de este estudio
histórico, se consultaron diversos artículos de revistas y libros de historia de las matemáticas
relacionados con el método de Horner. Aunque inicialmente lo que se encuentra es muy vago
para las ambiciones de este trabajo, pues son pocos los documentos que se refieren a la historia
de los métodos de aproximación numérica, y los pocos que hay, ofrecen una información muy
básica y sencilla. Por lo tanto, se tuvo que recurrir a las referencias bibliográficas de los artículos
de revistas enfocados en el método de Horner, todos escritos en inglés. A partir de esto se
encuentran referencias como, Horner's Method of Approximation Anticipated by Ruffini (Cajori,
1911); Horner's Method in Chinese Mathematics: Its Origins in the Root-Extraction Procedures
of the Han Dynasty (Wang & Needham, 1955); The History of Mathematics: A Brief Course
(Cooke, 2012); Horner versus Holdred: an episode in the history of root computation (Fuller,
1999); The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (George, 2011); History
of Mathematics a Supplement (Smorynski, 2007), etc.; obteniendo entre ellos el siguiente
documento que fue fundamental para la realización del estudio histórico, A Historical Survey of
Algebraic Methods of Approximating the Roots of Numerical Higher Equations up to the Year
35
1819 (Nordgaard, 1922); ya que en él, se realiza un barrido histórico de los métodos de
aproximación numérica, en particular del método de Horner, a mayor detalle, con datos
importantes y más precisos que otros documentos, pues el autor realiza un rastreo de la historia
de estos métodos a partir de las fuentes originales. Cabe mencionar, que este libro fue el que
permitió establecer los momentos o periodos que se iban a estudiar en este trabajo y que se
mencionaron al principio de este apartado.
Resulta oportuno, aclarar ahora qué se entiende por métodos numéricos. Los métodos
numéricos son procedimientos que se realizan, casi siempre de manera aproximada, para darle
solución algunos problemas utilizando únicamente cálculos aritméticos y lógicos. Este
procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones que llevan una secuencia de
operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), llegando así, a una aproximación de la solución
del problema (solución numérica) o a un mensaje sobre la respuesta. Se emplean normalmente
cuando no es posible obtener una respuesta analítica del problema, o cuando hay que realizar una
variedad de cálculos extensos para el tratamiento manual de este; donde la eficacia de estas
aproximaciones dependen de la facilidad para aplicar el algoritmo y de las características
especiales y limitaciones que pueden tener las herramientas de cálculo, pues la mayoría de veces
estos procedimientos se llevan a cabo en ordenadores debido a la facilidad que implica esto
(Seminario R., 2012).
Teniendo en cuenta estos elementos teóricos en el siguiente capítulo, se desarrolla todo el
proceso histórico atendiendo a lo expuesto anteriormente.
2.3 PERSPECTIVA CURRICULAR
Prestando atención a los documentos que actualmente rigen el Sistema educativo colombiano,
como lo son los Lineamientos curriculares para matemáticas (MEN, 1998), y los Estándares
básicos de competencias en matemáticas, (MEN, 2006), se muestra el panorama curricular en el
cual se apoya el trabajo presentado, ya que en nuestro país el currículo de matemáticas esta
direccionado con estas propuestas. Se retoman estos lineamientos de política sobre lo curricular
debido a que permiten tomar algunas posiciones de orden conceptual para la realización de la
36
propuesta de aula, siendo este uno de los objetivos principales que se quiere alcanzar. Pues estos
documentos se pueden considerar como una orientación institucional en donde se encuentra un
plan de formación del conocimiento matemático del estudiante.
Los Lineamientos Curriculares para matemáticas (MEN, 1998) son puntos de apoyo y de
orientación general para que las comunidades educativas diseñen sus propios planes de estudios
que respondan a sus necesidades dependiendo del contexto cultural en el que se encuentren
inmersos; generando así en ellos, procesos de reflexión, análisis crítico y ajustes progresivos del
currículo; de esta manera se pretende que este documento oficial sea un posibilitador, promotor y
orientador de los procesos curriculares que se dan en las instituciones educativas colombianas,
sin reemplazar el papel que juegan los docentes en la toma de decisiones sobre contenidos,
metodologías y estrategias para la participación que deben emplear en los procesos de enseñanza
y aprendizaje.
Con el propósito mencionado anteriormente, se presentan en los Lineamientos Curriculares
(MEN, 1998) tres aspectos para organizar el currículo de una manera funcional: los procesos
generales, los conocimientos básicos y el contexto.
En primer lugar, los procesos generales están relacionados con el aprendizaje, estos son el
razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación, y la
elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
En segundo lugar, se encuentran los conocimientos básicos en los que se propone el desarrollo
de cinco tipos de pensamiento matemático: pensamiento numérico, pensamiento espacial,
pensamiento métrico, pensamiento aleatorio y el pensamiento variacional. Los cuales están
ligados a un sistema propio de las matemáticas que les permite un óptimo desarrollo, estos son:
los sistemas numéricos, los sistemas geométricos, los sistemas de medida, los sistemas de datos y
los sistemas algebraicos y analíticos.
Y por último, se tiene el contexto, en donde es vital tener en cuenta el entorno en el que está
inmerso el alumno, ya que este, de algún modo, le da sentido a las matemáticas que aprende, por
37
este motivo es importante tener presente en los procesos de enseñanza y aprendizaje las variables
como las condiciones sociales y culturales del alumnado (MEN, 1998).
En referencia a la clasificación anterior, es pertinente mencionar que elementos expuestos en
los Lineamientos se tomaron en cuenta para la realización del trabajo actual.
En este sentido, se desarrollaron algunos componentes del pensamiento variacional en la
propuesta de aula, entendiendo a este, como conocimiento básico reconocido por el MEN. Es
claro, que las aproximaciones numéricas están ligadas a fenómenos de variación y cambio,
debido a que estos procesos se realizan a través de algoritmos iterativos, los cuales promueven en
el estudiante actitudes de observación, registro y uso del lenguaje matemático. Además en los
Lineamientos curriculares se reconoce que la utilización de este tipo de procedimientos, que
ponen de manifiesto un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender la sintaxis de
las expresiones algebraicas; por otro lado, llaman la atención sobre lo necesario que es, ir
construyendo la variación numérica continua en los estudiantes, pues recordemos que esta es una
de las dificultades que a quejan a los alumnos en su introducción al álgebra. Es preciso
mencionar, que no se deja de lado otros tipos de pensamiento matemático que se involucran en el
trabajo en cuestión, pues como sabemos, en una sola tarea matemática, se puede favorecer más
de un pensamiento; y los métodos de aproximación no son la excepción, ya que la aplicación de
algoritmos hace énfasis en aspectos del pensamiento numérico tales como la descomposición y la
recomposición, y la comprensión de propiedades numéricas.
En cuanto a los procesos generales, esta propuesta se enfoca en la elaboración, comparación y
ejercitación de procedimientos. Debido a que la utilización de los mismos, también es importante
para la construcción del conocimiento matemático y esto no se puede ignorar. Pues no se trata
simplemente de que el estudiante razone sobre objetos matemáticos, sino que también, este
pueda hacer cálculos correctos, tomando conciencia de las propiedades que le permiten
transformar expresiones, en otras más simples; que pueda seguir instrucciones y utilizar de una
manera óptima la calculadora para realizar operaciones; ya que cuando la aplicación de
algoritmos se realiza conscientemente, la mente aprende a funcionar más rápido, logrando de
este modo automatizaciones, antes del uso de calculadoras. Todo lo anterior, le facilitará al
38
estudiante la aplicación de la matemática en su vida diaria. No se puede dejar de lado otros
procesos generales que pueden surgir de este trabajo en cuestión, por ejemplo el razonamiento
matemático, el cual puede ser aprovechado, debido a los pasos lógicos que conllevan los
métodos de aproximación.
Es claro que aunque los métodos numéricos no son mencionados en los Lineamientos
Curriculares de matemáticas, en este referente nacional se reconoce la importancia de trabajar
con los estudiantes el continuo numérico, procesos infinitos y aproximaciones sucesivas.
Para continuar con los tres aspectos que se tienen en cuenta de forma primordial en este
trabajo, resulta oportuno mencionar que esta propuesta será introducida desde un contexto
histórico matemático, en donde se pueden generar intervenciones interesantes por parte del
docente, que pueden dar lugar a preguntas y situaciones llamativas, a las cuales el profesor les
puede dar un sentido gracias a la historia matemática. De esta forma, un contexto histórico
genera una imagen más dinámica de las matemáticas permitiendo recordar como su desarrollo
ha estado relacionado con procesos sociales y culturales; mostrando así, que el conocimiento
matemático representa experiencias de personas que han interactuado en periodos históricos
particulares. De este modo se finaliza con los tres aspectos que se tienen en cuenta en la
realización de esta propuesta.
Por otra parte, en los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (2006), los cuales
han tenido como referente a los Lineamientos, se establecen unos parámetros de lo que todo
estudiante debe saber y saber hacer al finalizar su paso por el sistema educativo. En su estructura
podemos encontrar la puesta en juego de procesos generales, conceptos y procedimientos
matemáticos, y contextos; algo similar a los Lineamientos Curriculares. También vale la pena
mencionar que estos estándares se desarrollan gradual e integradamente, con el fin de ir
superando niveles de complejidad creciente en el desarrollo de competencias matemáticas, por lo
cual debe haber tanto una coherencia vertical como horizontal en su estructura, la primera tiene
que ver con la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los
otros grados, mientras que la segunda tiene que ver con la relación de un estándar determinado
con los demás estándares de los pensamientos dentro del mismo conjunto de grados.
39
De acuerdo a lo anterior y teniendo en cuenta el propósito del trabajo en cuestión, se presenta
a continuación un esquema que pone en relieve los estándares que se implementan en la
propuesta de aula que se dará a conocer más adelante.
Figura 1. Estándares básicos de competencias en matemáticas (tomado del MEN, 2006, P.79)
Como puede observarse en el esquema anterior, es claro que los procesos de aproximación
están presentes en diferentes pensamientos, reafirmando de esta manera lo que dice el MEN
(2006) en cuanto a los elementos conceptuales comunes que guardan los cinco tipos de
pensamiento matemático y que pueden ser aprovechados para el diseño de situaciones de
aprendizaje. Además la coherencia vertical presentada, da cuenta de la complejidad que presenta
este concepto matemático que se tiene que ir construyendo de forma progresiva desde los
primeros grados de la educación.
40
En relación con la selección del estándar para el diseño de la propuesta, se hace en virtud del
estudio histórico epistemológico del método numérico de aproximación denominado método de
Horner, que se realizó con el fin de encontrar elementos que aporten al diseño de dicha
propuesta.
Para alcanzar este estándar íntegramente, se pone de manifiesto la necesidad de que el
estudiante desarrollé otras competencias, tales como: conocer distintas situaciones de cambio y
variación desde diferentes representaciones semióticas, pues como lo señala Duval (2004), las
distintas representaciones de un concepto matemático, proveen de bases muy sólidas para la
cimentación de un buen conocimiento; construir igualdades y desigualdades numéricas, ya que
en la solución de ecuaciones es necesario el uso de propiedades y relaciones entre números
reales, lo cual da lugar al reconocimiento de estas igualdades y desigualdades numéricas; hacer
uso de métodos informales para la solución de ecuaciones, debido a que en el método de Horner
se propone al inicio dar valores arbitrarios a la variable independiente para estimar dos números
enteros, entre los cuales se encuentra la raíz de la ecuación, y de esta manera ir aproximándose al
valor que se busca, algo similar al método de tanteo; y por último construir expresiones
algebraicas equivalentes, porque en el método de aproximación que se trabaja, es necesario
realizar una factorización especial que permite realizar transformaciones algebraicas
equivalentes a la expresión inicial, obteniéndose formas más simples de operar para encontrar las
soluciones buscadas.
De acuerdo con las consideraciones anteriores, es claro que el conocimiento matemático que
se favorece en la propuesta de aula es el conocimiento procedimental, el cual está relacionado
con técnicas y estrategias para representar conceptos, llevando al uso apropiado de algoritmos
dependiendo del problema planteado. Este conocimiento está más relacionado a la acción
matemática y su uso ayuda a la construcción del conocimiento conceptual (MEN, 2006). Por este
motivo en este trabajo se propone una mirada centrada desde la riqueza que ofrecen los pasos
lógico-matemáticos que desprende la utilización del método de Horner, provocando en los
estudiantes posibles razonamientos y conjeturas a las cuales se puede llegar con su empleo en el
aula.
41
Cabe mencionar, que al revisar los Derechos Básicos de Aprendizaje en matemáticas (MEN,
2016) en los cuales se presenta una serie de actividades que le proporcionan a los estudiantes un
conjunto de aprendizajes estructurantes, es claro que no se realiza una alusión específica a los
métodos numéricos y a su importancia en la matemática, relegándolos a un segundo plano como
simples evidencias que proporcionan indicios que permiten conocer si el estudiante está
alcanzando determinado aprendizaje. Por lo que queda un sin sabor, el saber que en un referente
como este, no se llama la atención sobre las potencialidades que estos procesos de aproximación
numérica pueden traer para los alumnos. Es por este motivo, que el elemento guía de este trabajo
son los Lineamientos Curriculares para matemáticas y los Estándares Básicos de Competencias
en matemáticas.
De acuerdo con el panorama curricular que se ha presentado, es necesario pues, que el MEN
preste atención a los métodos de aproximación numérica a los cuales se les ha dado un papel
secundario en la enseñanza matemática, poniendo más énfasis en métodos analíticos que hacen
ver a la matemática, algunas veces, como una disciplina estática y memorística. Como se ha
mencionado anteriormente, el uso de estos procesos numéricos favorece en gran medida el
desarrollo del pensamiento variacional, debido a los fenómenos de variación y cambio que están
involucrados en cada uno de los pasos lógicos que se siguen, y que se pueden observar a través
de los diferentes algoritmos iterativos que se usan para llegar a una solución, proporcionándole al
alumno comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas. Además es claro que estos
métodos potencian el desarrollo de los procesos de pensamiento como el procedimental y el uso
de conceptos, ya que a medida que los estudiantes se van familiarizando con estos procesos,
comienzan a tomar conciencia de las propiedades que le permiten transformar expresiones, en
otras más simples; desarrollan mejores habilidades y estrategias para realizar cálculos
correctamente; mejoran su capacidad para seguir instrucciones y utilizar de una manera óptima y
eficaz la calculadora; entre otros. Todo lo anterior le facilitará al estudiante la aplicación de la
matemática en su vida diaria.
Para finalizar, vale la pena mencionar que en el capítulo cuatro se articula lo histórico y lo
curricular con la propuesta de aula.
42
CAPÍTULO 3
EL MÉTODO DE HORNER EN LA HISTORIA MATEMÁTICA
En este apartado se presenta un estudio histórico de los diferentes métodos de aproximación
numérica de las raíces de una ecuación, que surgieron desde el inicio de los tiempos (2000 a.C.)
hasta el año de 1819, que fue la fecha en que se publicó el método de Horner.
Para la presentación de este desarrollo histórico se ha diseñado una rejilla de análisis como
forma de lectura de la historia donde sobresalen consideraciones del campo numérico, el método
utilizado, los problemas relacionados con un contexto y el tipo de ecuaciones que se movilizan.
Estas cuatro categorías se aplican al final que cada periodo o momento histórico que se toma en
cuenta, siendo esto un aporte propio al trabajo, por las reflexiones que se generan durante su
puesta en práctica. A continuación en la tabla 1, se presenta una descripción de cada una de estas
categorías de análisis.
Tabla 1. Rejilla de análisis para el estudio histórico
Categorías Descripción Justificación de la categoría
Campo Numérico
Se presenta la idea de número que se tiene en cierto periodo, así como el Sistema de Numeración que se utilizó y los símbolos que representaban los entes matemáticos, lo cual da pistas del porque llegaron a determinadas soluciones o porque no se pudo avanzar a determinadas generalizaciones.
El trabajo con las ecuaciones no se puede hacer por fuera de un campo numérico, ya que sus soluciones o raíces siempre pertenecen a un campo numérico específico y es importante reconocerlo. La idea de número ha contribuido al desarrollo de la teoría de ecuaciones
Método utilizado
Se caracteriza el método, mirando las implicaciones que tiene la utilización de los procedimientos que se ponen en juego; observando de este modo las formas de razonamiento que se presentan.
En este proceso constructivo era fundamental mirar cómo se iban articulando los diferentes algoritmos para llegar al método de Horner.
Problemas relacionados
con un contexto
Se presenta la relación que hubo entre los desarrollos matemáticos y el contexto socio cultural que llevo a la creación de estos procesos.
Es necesario que en los estudios históricos se conjuguen las posturas internalistas y externalistas de la historia que den cuenta de lo que ha sucedido realmente. De este modo, es importante conocer a raíz de que situaciones culturales surgen estas aproximaciones.
Tipo de ecuaciones
Se presenta la idea de ecuación que se tuvo en determinado momento o periodo de la historia.
Para conocer los razonamientos que llevaron al desarrollo de la teoría de ecuaciones, es importante tener presente la idea de ecuación que se iba formando en determinado momento.
43
Las categorías de esta rejilla de análisis surgen a medida que se va desarrollando el estudio
histórico y se pueden ver como criterios construidos para armar un hilo conductor de la historia
del método de horner.
3.1 LOS PRIMEROS INDICIOS DE APROXIMACIONES NUMÉRICAS
3.1.1 Civilizaciones egipcias y babilónicas
Del uso de métodos de aproximación se encuentran evidencias que datan alrededor del año
2000 a.C., en los primeros tiempos de las civilizaciones egipcias y babilónicas. Por este tiempo
se ha descubierto el hallazgo de raíces de números y la solución de ecuaciones cuadráticas por
parte de estas civilizaciones.
Son muy pocos los documentos de la civilización egipcia que han sobrevivido con el tiempo,
por ejemplo el papiro de Rhind es una de las fuentes primarias que aún se conservan, fue escrito
por Ahmes hacia 1650 a.C., y contiene diferentes problemas relacionados con la vida práctica
como: repartir pan, cervezas y calcular áreas de terrenos. En este documento egipcio, así como
en otros, se puede encontrar problemas resueltos que involucran una cantidad desconocida, que
son equivalentes a la solución de ecuaciones lineales actuales. Pero en ese tiempo, se utilizaban
técnicas previamente establecidas y procesos puramente aritméticos.
A continuación se presenta un ejemplo de un problema que se tiene en el papiro de Rhind:
Una cantidad y sus 1
7 sumadas se hacen 19. ¿Cuál es la cantidad?
Lo cual se puede escribir en notación moderna como:
𝑥 +𝑥
7= 19
Para resolver este problema, procedían a escoger apropiadamente un valor para la cantidad
desconocida, a la que denominaban aha que traduce montón, y se sustituye éste en la ecuación
obteniendo un cierto resultado.
44
Si se supone 𝑥 = 7 entonces:
7 +7
7= 8
De donde concluían que 𝑥 es a 19, como 7 es a 8. Es decir:
𝑥
19=
7
8 ⇒ 𝑥 =
7 × 19
8 ⇒ 𝑥 =
133
8
La solución a la ecuación tiene la misma relación con el valor escogido que el número dado
tiene con el resultado que se calcula. Este procedimiento egipcio se conoce como método de
posición falsa el cual tiene que ver con el razonamiento proporcional. Se puede notar entonces
manifestaciones del pensamiento algebraico en estas civilizaciones, debido a la puesta en juego
de sencillas abstracciones de tipo algorítmico.
Se sabe que en este período se estudiaron tres ecuaciones cuadráticas. El primero se dio a
conocer cuando Griffith (1897) publicó el papiro matemático encontrado por Petrie en Kahun.
Trata de las áreas y requiere la solución de las ecuaciones 𝑥𝑦 = 12 y 𝑥: 𝑦 = 1: 3
4, (en forma
retórica). En 1900, Schach descubrió en un papiro de Berlín un segundo problema en ecuaciones
cuadráticas, que requería la solución de las ecuaciones 𝑥2 + 𝑦2 = 100 y 𝑥: 𝑦 = 1: 3
4. La tercera
ecuación fue encontrada en el papiro Kahun por Schach en 1903. Requiere la solución de las
ecuaciones 𝑥2 + 𝑦2 = 400 y 𝑥 ∶ 𝑦 = 2 ∶ 1 1
2 . El matemático antiguo lo resolvió dejando
𝑥 = 2, 𝑦 = 1 1
2 ; esto da 𝑥2 + 𝑦2 = 61
4; ya que √61
4= 21
2 y 21
2= 1
8 de 20, encontró que
𝑥 = 2 ∙ 8 = 16 ∧ 𝑦 = 11
2 ∙ 8 = 12.
No hay raíces irracionales en estas ecuaciones. Pero hay indicios de que los egipcios tenían
una forma definida de acercarse a la raíz cuadrada de números no cuadrados. Sin embargo,
parecen haber ignorado su cualidad irracional.
Al igual que los egipcios, los babilonios también dejaron documentos que demuestran su
desarrollo y actividad matemática. Sin embargo, los babilonios trabajaron en tablas de arcilla,
por lo que se ha podido rescatar más información sobre ellos. En estas tablas aparecen marcas
45
hechas por un instrumento con forma de cuña que se hunde en la arcilla fresca. De ahí que se
describa la escritura babilónica como cuneiforme.
Por otro lado, los babilonios manejaban un sistema sexagesimal o de base 60, utilizado
principalmente en la construcción de tablas para pesos y medidas. Su desarrollo está ligado al
avance de los números enteros y fracciones, revelando un alto grado de conocimiento
matemático en ese tiempo. Además ha sido de gran importancia en la humanidad, como por
ejemplo, para medir el tiempo y trabajar con ángulos. En las tabletas de Senkereh (hacia 2000
a.C.) se exhiben su uso, en éstas hay tablas de cuadrados y cubos, que muestran que los
babilonios tenían al menos una noción indirecta de raíces cuadradas y cúbicas.
En 1945, los historiadores de la matemática, Neugebauer y Sachs publicaron una tablilla de
arcilla babilónica, que data del periodo 1900-1600 a.C., la cual recibe el nombre de Plimpton
322. Al analizar su contenido, es claro que mucho antes de que viviera Pitágoras, se conocía el
teorema que lleva su nombre y se había hecho una investigación completa de las llamadas triplas
pitagóricas, las cuales son una solución en números enteros a la ecuación cuadrática,
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 (Acevedo & Falk, 1997).
Los babilonios también dejaron evidencia en una tablilla de su estudio del problema de hallar
la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 1, es decir la solución a la ecuación
12 + 12 = 𝑥2. Dando una aproximación a lo que se denota hoy día por √2 expresada como
fracción sexagesimal así:
1; 24, 51, 10 = 1 × 600 + 24 × 60−1 + 51 × 60−2 + 10 × 60−3
Elevando al cuadrado, se tiene:
(1; 24, 51, 10)2 = 1; 59, 59, 59, 38, 1, 40
Este sistema de fracciones sexagesimales permaneció hasta el siglo XVI en la aproximación
racional de números irracionales.
46
Para obtener esta aproximación los babilonios inventaron un algoritmo para aproximar raíces
cuadradas, el cual se le ha atribuido a diversos matemáticos como Herón de Alejandría (ca. 200
d.C.) y Newton (1642-1727).
Veamos una descripción de este método:
Sea 𝑥 = √𝑎 la raíz que se trata de calcular y sea 𝑎1 una primera aproximación a esta
raíz; a partir de ella calcúlese una segunda aproximación 𝑏1 tal que verifique la ecuación
𝑏1 =𝑎
𝑎1 . Si 𝑎1 era demasiado pequeña, entonces 𝑏1 será demasiado grande y viceversa, y
por tanto la media aritmética 𝑎2 =𝑎1+𝑏1
2 será sin duda una aproximación mejor.
Suponiendo que 𝑎2 es aún demasiado grande, la siguiente aproximación 𝑏2 =𝑎
𝑎2 será
demasiado pequeña, y en cualquier caso la media aritmética 𝑎3 =𝑎2+𝑏2
2 será un resultado
mejor; es evidente que el proceso puede continuarse indefinidamente (Boyer, 1999, p.
52).
3.1.2 Métodos generales para aproximar raíces cuadradas y cúbicas por los griegos
Los griegos reconocieron por primera vez que algunas raíces son irracionales, al medir las
áreas de cuadrados y rectángulos en términos de cuadrados unitarios. Descubrieron que no existe
una longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, porque alguna de las dos
cantidades es inconmensurable (irracional). Ellos utilizaban técnicas para encontrar el área de
figuras irregulares y no rectangulares, como el triángulo y el círculo, a través de la construcción
de un cuadrado de igual área (cuadratura). Como no poseían símbolos algebraicos ni usaban la
forma de enunciado ecuacional, encontraron el lado desconocido por construcción geométrica,
llegando a la conclusión de que algunos lados eran cantidades inconmensurables.
Fue el gran matemático griego Pitágoras (hacia 570-511 a.C.) quien reconoció y demostró
que la longitud de la diagonal del cuadrado unitario era un número irracional, es decir, que el
número √2 no puede expresarse como razón entre números enteros. Por otra parte, Teodoro de
Cirene (hacia el 410 a.C.) y Platón (hacia el 380 a.C.) discutieron la naturaleza irracional de las
expresiones √3 , √5 , √7 , … √17 y lo demostraron a base del método tradicional pitagórico de
usar la reducción al absurdo y llegar a una inconsistencia relacionada con pares e impares. Ya
47
Euclides, hacia el 300 a.C., en su libro X de los elementos, dio una exposición profunda de la
teoría de los números irracionales.
Debe señalarse que los griegos parecen haber sido los primeros en concebir directamente la
noción de raíz cubica, la cual surgió también de problemas geométricos y su solución también se
enfocó geométricamente. Los orígenes de esta, se dieron cuando surgió uno de los tres problemas
clásicos de la antigüedad griega, conocido como la duplicación del cubo, cuya historia familiar
dice, que debido a la exigencia de un Dios de construir un altar dos veces más grande que el
anterior, se requirió la solución de la ecuación 𝑥 = 2𝑎3, la cual fue resuelta por Menecmo (hacia
el 365 a.C.) utilizando las secciones cónicas, solución geométrica que de todas maneras no
equivale a una solución por regla y compás, que era la que se buscaba en ese tiempo.
3.1.3 Las aproximaciones de Arquímedes
Hasta el momento de Arquímedes (287-212 a.C.), las raíces cuadradas eran casi
universalmente encontradas por construcciones geométricas, pero este matemático utilizó el
siguiente procedimiento de aproximación de la raíz cuadrada de un número 𝐴.
Sea "𝑎" la primera aproximación de √𝐴, es decir, la parte entera. Para hallar 𝑥 el
próximo término de la aproximación usando la identidad 𝐴 = (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑥 + 𝑥2,
observamos que 2𝑎𝑥 + 𝑥2 = (2𝑎 + 𝑥)𝑥 debe ser menor que, pero próximo a, 𝐴 − 𝑎2.
Entonces, dividimos 𝐴 − 𝑎2 por 2𝑎, teniendo en cuenta que no sólo 2𝑎𝑥 sino (2𝑎 + 𝑥)𝑥
ha de ser menor que 𝐴 − 𝑎2. De esta manera se encuentra, por ensayo y error, el mayor
valor de 𝑥 que sirve. Se encuentra un tercer término de la aproximación de la misma
manera y así sucesivamente (Acevedo & Falk, 1997, p.156).
Por ejemplo, en las escrituras de Theon de Alejandría (hacia el 365 d.C.), él da una
descripción muy completa de este método, para evaluar las raíces irracionales en fracciones
sexagesimales, presentando el proceso usado como sigue. Supongamos que se quiere hallar
√4500. Como la parte entera es 𝑎 = 67 y 672 = 4489, entonces 𝐴 − 𝑎2 = 4500 − 4489 = 11.
Ahora bien, suponiendo que la raíz cuadrada está expresada en fracciones sexagesimales, se tiene
√4500 = 67 +𝑥
60+
𝑦
602 .
48
Donde todavía han de hallarse 𝑥, 𝑦. Luego 𝑥 ha de ser tal que 2 ∙67𝑥
60 sea menor que 11, es
decir que, 𝑥 debe ser menor que 11 ∙60
2 ∙67=
330
67> 4. Dando lugar a la aproximación (67 +
4
60), y
así sucesivamente. Theon llega a que √4500 ≃ 67 +4
60+
45
602 .
Lo anterior, es un proceso geométrico referido a una figura, conocido como método de
exhaución, en el cual se aplica un proceso de agotamiento.
Por otro lado, en su medición del círculo, Arquímedes da entre otras las siguientes
aproximaciones:
1351
780> √3 >
265
153; √349450 > 591
1
8; √5472132
1
16 > 2339
1
4 .
No se puede olvidar además, que Arquímedes produjo una excelente aproximación para el
valor del número irracional denotado como 𝜋, utilizando el método de exhaución. Logrando
entonces la siguiente desigualdad:
310
71< 𝜋 < 3
10
70 , es decir 3.140845 … < 𝜋 < 3.142857 …
En cuanto a la resolución de ecuaciones, es preciso mencionar el aporte que hizo este
matemático griego al resolver por intersección de cónicas (enfoque geométrico) la ecuación
𝑥3 − 𝑎𝑥2 + 𝑏 = 0 mientras se enfrentaba al problema de cortar la esfera por un plano de modo
que los segmentos estuvieran en una proporción dada.
3.1.4 Las aproximaciones de Herón de Alejandría
Herón de Alejandría (hacia el 200 d.C.) fue el primero en practicar numéricamente la
evaluación de raíces cúbicas; esto lo hizo en el curso de su trabajo práctico mediante un proceso
de aproximación. Eutocius, quien vivió cuatro siglos después, afirma que Herón encontró raíces
cuadradas y cubicas por el mismo método que Arquímedes. De acuerdo a ciertas fórmulas de
reconstrucción que se han descubierto, se piensa que este matemático a veces utilizó métodos de
49
doble posición falsa, como en el cálculo de la expresión √2 y en otras ocasiones usó la formula
√𝑁 = 1
2 (𝑎 +
𝑁
𝑎), como en el cálculo de la expresión √3.
1
Herón describe su proceso para encontrar la raíz cuadrada de 720, el área de un cierto
triangulo, de la siguiente manera: Como 720 no tiene raíz cuadrada racional, se tiene que la raíz
difiere de ella por un error muy pequeño. Dado que el siguiente cuadrado más grande a 720 es
729 y su lado es 27, dividimos 720 por 27, teniendo como resultado 262
3 . A esto se le suma 27,
lo cual da 53 2
3 . Luego se le saca la mitad a este resultado, obteniendo 26
1
2+
1
3 . Por lo tanto, la
raíz siguiente de 720 es 26 1
2+
1
3 , valor que al multiplicarlo por sí mismo, se tiene 720
1
36, es
decir un error que equivale al 1
36 de la unidad. Sin embargo, si se desea obtener un error más
pequeño, se puede poner en lugar de 729, el valor que se encontró, de esta manera se obtendría
un error menor que 1
36 .
Si 𝑎 es una raíz racional de 𝑁, entonces 𝑁 ÷ 𝑎 = 𝑎. Pero si se trata de una aproximación, y un
poco demasiado grande, como en el ejemplo de Herón, entonces 𝑁 ÷ 𝑎 = 𝑎1, un poco más
pequeño que la raíz exacta. Herón toma como aproximación final 1
2(𝑎 + 𝑎1) =
1
2(𝑎 +
𝑁
𝑎). Se le
puede conocer a este proceso como el método de promedios.
En cuanto al método de doble posición falsa, Herón lo explica de la siguiente manera: Si se
desea encontrar la raíz cubica de 100. Se toma los dos cubos más cercanos a 100, uno más
grande y el otro más pequeño. En este caso, se trata de 125 y 64 respectivamente. Luego se le
resta el cubo más pequeño al cubo que se busca, 100 – 64, obteniendo así 36. Después se
multiplica 36 por 5; el resultado es 180. A este valor se le suma 100, que da 280. Ahora se divide
180 por 280, cuyo resultado es 9
14 . Al agregar este valor a la raíz del cubo más pequeño, que es 4, se
obtiene 49
14, el cual es el valor de la raíz cubica de 100, lo más exacto posible.
1 𝑎 es la primera aproximación entera de la raíz.
50
Cabe mencionar, que aunque difieren en principio y operación, el método de promedios de
Herón y el método de exhaución de Arquímedes dan los mismos resultados en cada paso.
Porque, si 𝑁 = 𝑎2 + 𝑏, entonces será √𝑁 = √𝑎2 + 𝑏 =1
2(𝑎 +
𝑁
𝑎) =
1
2(𝑎 +
𝑎2+𝑏
𝑎) = 𝑎 +
𝑏
2𝑎 .
Hasta aquí vemos que las civilizaciones egipcias y babilónicas se preocuparon por resolver
problemas relacionados con la vida práctica, mientras que los griegos se preocuparon por la
naturaleza de los objetos matemáticos, de ahí, el gran avance de las matemáticas en esta
civilización, sin olvidar claro está, que los griegos tomaron elementos de las matemáticas de
estas otras dos culturas. Un ejemplo claro, se pone aquí en evidencia, ya que si observamos con
mayor detalle los métodos de aproximación realizados por Arquímedes y Herón, tienen
elementos matemáticos muy similares a el método de la media aritmética de los babilonios.
Por un lado, los babilonios tenían un sistema sexagesimal sumamente práctico, que les
permitió trabajar con números enteros y fracciones a partir de medias aritméticas, lo cual les
proporcionaba mejores aproximaciones a sus resultados. En sus documentos se destacan la
solución de ecuaciones de segundo grado y tercer grado por métodos aritméticos, así como el
dominio que tenían de raíces cuadradas y cúbicas, obteniendo la primera aproximación del valor
de √2 en fracción, que difiere del verdadero valor en menos de 0,000008. Para esta civilización
era fácil conseguir aproximaciones muy precisas en sus cálculos debido a su sistema de notación
fraccionaria y al algoritmo de aproximación que se inventaron. Este método iterativo pudo haber
puesto a los babilonios en contacto con los procesos infinitos, sin embargo, ellos no se
detuvieron a razonar sobre las implicaciones de tales problemas.
Los egipcios por su lado, tenían un sistema de numeración decimal un poco limitado, parecido
al romano, en donde no se encuentran nociones de valor posicional. Al igual que los babilonios
trabajaron con números naturales y fracciones, aunque ellos tenían una conceptualización poco
ágil de estos últimos. En sus escritos se pueden ver problemas que involucran cantidades
desconocidas, que llevan a ecuaciones lineales y que fueron abordadas por esta civilización a
través del método de posición falsa; además de la solución que les dieron a algunas ecuaciones
cuadráticas, saliendo a flote algunas abstracciones de tipo algorítmico, es necesario mencionar,
que no se tiene evidencias del método que utilizaron para la solución de estas.
51
Por su parte, los griegos también utilizaron un sistema de numeración sexagesimal, tal vez por
lo ágil y adecuado que es trabajar en este sistema; además de que permite mejores
aproximaciones. Ahora bien, ellos tenían un símbolo para el cero a diferencia de los egipcios y
babilonios. En sus estudios se destaca el reconocimiento de que algunas raíces son irracionales y
su aproximación a algunas de ellas por medio de procesos de agotamiento. Notándose en ellos un
gran desarrollo del pensamiento numérico, debido a la puesta en juego de estrategias para
aproximar estas raíces irracionales, sin embargo, es claro que estas estrategias siguen la misma
línea de trabajo de los egipcios y babilonios, por lo que se duda de la originalidad de sus
métodos. Por otro lado, los griegos solo trabajaron numéricamente las raíces cuadradas y cubicas
de números, ya que se dedicaron a resolver geométricamente las ecuaciones completas.
A modo de conclusión, se pudo observar que estas tres culturas matemáticas solo utilizaron
procesos de aproximación para obtener las raíces de números, sin descubrir el paralelismo que
tienen estas con las ecuaciones completas.
3.2 UMBRALES DEL MÉTODO DE HORNER Y LA CIVILIZACIÓN CHINA
Los orígenes del método de Horner pueden remontarse al tiempo del tratado chui-chang suan-
shu (los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático), escrito hacia el 250 a.C., es decir, poco
antes del comienzo de la dinastía Han, cuando las técnicas para extraer raíces cuadradas y
cubicas fueron utilizadas para resolver ecuaciones numéricas.
Sin embargo, el texto ha sido un poco oscuro para algunos matemáticos al intentar dar
explicaciones del significado de algunos procedimientos, y el tema es de gran interés porque
desde los tiempos de la dinastía Han hasta la llegada de los jesuitas la solución de ecuaciones
numéricas más altas fue desarrollado por los matemáticos chinos, practicando y mejorando los
procesos básicos descritos en el Chiu Chang suan-shu.
A continuación se presenta la forma como resolvían las raíces cuadradas y cúbicas, por medio
de aproximaciones numéricas, muy similares al método de Horner:
52
Raíz Cuadrada
Primera fase
Paso 1:
Ponga el cuadrado conocido de un cierto número desconocido, (en la segunda fila desde la parte
superior del tablero de conteo) para que sea el dividendo de Shih.
Paso 2:
Use una barra de conteo (y colóquela en la fila inferior del tablero de conteo en la columna de
números). Esta barra de conteo se llamará Chieh-suan preliminar.
Paso 3:
La barra de conteo se mueve hacia adelante (de derecha a izquierda) por pasos de dos lugares
cada uno (sin transgredir el dígito más alejado del dividendo). Esta barra de conteo, con su nuevo
valor de posición, se llamará el chieh-suan.
Paso 4:
La primera figura de la raíz se selecciona a través de prueba, tomando 1, 2, 3, una tras otra.
Discuta el 𝑺𝒐-𝒕ê (el 𝑺𝒐-𝒕ê es el producto de la primera figura raíz en prueba multiplicada por el
Chieh-suan). Lo que se entiende por "discusión" es que cuando el número seleccionado ha
multiplicado 𝑺𝒐-𝒕ê una vez, el producto no debe ser mayor que el dividendo; al mismo tiempo,
Fang
55225 Shih
I Chieh-suan
preliminar
Pon el cuadrado conocido en esta fila (paso 1)...
Pon una barra de contar en esta fila (paso 2)…….
Fang
55225 Shih
I0000 Chieh-suan
Se mueve la barra de conteo hacia la izquierda por 2 pasos de 2 lugares
(paso 3)…
…
53
se debe seleccionar la mayor cifra de raíz posible. La figura seleccionada se coloca en la fila
superior del tablero de conteo. Esta es la fila Fang que finalmente contendrá la respuesta.
El primer ensayo y discusión sobre la selección de la primera figura de la raíz.
Discusión: 2 es una posible figura de la raíz, porque 40000 no es mayor que 55225.
El segundo ensayo y discusión sobre la selección de la primera figura de la raíz.
Discusión: 3 no puede aceptarse ya que 90000 es mayor que 55225. Por lo tanto, 2 es el mayor
entero posible. Así que 2 es la primera figura de la raíz.
Paso 5:
El Chieh-suan se multiplica por la primera figura seleccionada de la raíz). El producto es el
divisor Fa (que se coloca en la tercera fila desde la parte superior).
Paso 6:
Este divisor Fa, se usa para dividir el dividendo (y el resto se coloca en la segunda fila desde la
parte superior del tablero de conteo). Esto se llamará el primer resto.
2 Fang
55225
40000 Shih
20000 Fa
(𝑆𝑜-𝑡ê1)
I0000 Chieh-suan
Intento con 2 como primer figura de la raíz ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
b. 20000 (𝑆𝑜-𝑡ê1) × 2 (fig. raíz) = 40000 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a. 10000 (Chieh-suan) × 2 (fig. raíz) = 20000(𝑆𝑜-𝑡ê1) ∙∙∙∙
3 Fang
55225
90000 Shih
30000 Fa
(𝑆𝑜-𝑡ê1)
I0000 Chieh-suan
Intento con 3 como primer figura de la raíz ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
b. 30000 (𝑆𝑜-𝑡ê1) × 3 (fig. raíz) = 90000 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a. 10000 (Chieh-suan) × 3 (fig. raíz) = 30000(𝑆𝑜-𝑡ê1) ∙∙∙∙
54
Paso 7:
a) Después de hacer la división, el divisor Fa se duplica, para formar el Ting-fa.
b) El Ting-fa, se corta (es decir, retrocede un dígito) y este es el primer divisor fijo, Ting-fa1
para la siguiente operación de división.
Paso 8:
De nuevo, la barra de conteo en la fila inferior se mueve (hacia atrás de izquierda a derecha en un
paso de dos lugares) como antes. Esta barra de conteo, con su nuevo valor de posición, se
llamará Chieh-suan1.
Segunda fase.
Paso 9:
Nuevamente, la segunda figura de la raíz se selecciona a través de prueba y discusión. La
discusión apunta a encontrar el Ting-fa2 mediante el proceso dado en el paso 10. El producto de
Ting-fa2 multiplicado por la segunda figura de la raíz en prueba no debe ser mayor que el primer
resto. Se selecciona la figura más grande que no viole esta condición.
2 Fang
15225 Shih
20000 Fa
I0000 Chieh-suan
Después de las pruebas con 2 y 3, se selecciona 2 como
figura de la raíz (paso 4) ………………………………………
55225 (Shih) ÷ 20000 (Fa) = 2 (fig. de la raíz) + I5225
(primer resto) (paso 6)…………………………………………
I0000 (Chieh-suan) × 2 (fig. de la raíz) = 20000 (Fa) (paso 5)
2 Fang
15225 1st resto
4000 Ting-fa1
I00 Chieh-suan
20000 (Fa) × 2 ÷ 10 = 4000 (Ting-fa1) (paso 7)………...
10000 (Chieh-suan) ÷ 100 = 100 (Chieh-suan1) (paso 8).
Ting-fa
55
El primer ensayo y discusión sobre la selección de la segunda figura de la raíz.
Discusión: Como 12900 no es mayor que 15225, así 3 es una posible figura raíz.
El segundo ensayo y discusión sobre la selección de la segunda figura de la raíz.
Discusión: como 17600 es mayor que 15225, no se puede aceptar a 4 para la figura de la raíz.
Por lo tanto, 3 es el mayor entero posible. Así que 3 es aceptado.
Paso 10:
El Chieh-suan1 se multiplica por la segunda figura de la raíz. El producto es el So-tê2. El So-
tê2 se agrega al Ting-fa1. El resultado se llama Ting-fa2, que se coloca en la tercera fila desde la
parte superior.
Paso 11:
El primer resto se divide por Ting-fa2. Este resultado es el segundo resto.
23 Fang
15225
12900 1st resto
4300 Ting-fa2
I00 Chieh-suan1
Intento con 3 como segunda figura de la raíz.……………………
b. 4300 (Ting-fa2) × 3 (fig. raíz) = 12900 ……………………………
a. 4000 (Ting-fa1) + 100 (Chieh-suan1) × 3 (fig. raíz) = 4300
24 Fang
15225
17600 1st resto
4400 Ting-fa2
I00 Chieh-suan1
Intento con 4 como segunda figura de la raíz.…………………….
b. 4400 (Ting-fa2) × 4 (fig. raíz) = 17600 …………………………….
a. 4000 (Ting-fa1) + 100 (Chieh-suan1) × 4 (fig. raíz) = 4400
56
Paso 12:
El 𝑆𝑜-𝑡ê se agrega a Ting-f𝑎2, y la suma (que se llamará Ts'ung Ting Fa) se reduce (es decir, se
mueve hacia atrás en un lugar), y este es Ts'ung-Ting-f𝑎1 en Preparación para la siguiente
operación de división.
Paso 13:
Proceda de manera similar a las operaciones anteriores (paso 8). El Chieh-sua𝑛1 se corta, (es
decir, retrocede dos lugares) y se convierte en el Chieh-sua𝑛1´
Tercera Fase
Pasos 14, 15 y 16. Son necesarios solo si la raíz tiene tres figuras; en cuyo caso, seguirán los
pasos 9, 10 y 11 con precisión.
23 Fang
2325 2nd resto
4300 Ting-fa2
I00 Chieh-suan1
Después de las pruebas con 3 y 4, se selecciona 3 como la
segunda figura de la raíz (paso 9) ……………………………..
15225 (1st resto) ÷ 4300 (Ting-fa2) = 3 (fig. Raíz) + 2325
(2nd resto) (paso 11)…………………………………………..
4000 (Ting-fa1) + 100 (Chieh-suan1) × 3 (fig. de la raíz) =
4300 (Ting-fa2) (paso 10)……………………………………...
23 Fang
2325 2nd resto
460 Ts'ung-ting-f𝑎1
I Chieh-suan1´
[100 (Chieh-sua𝑛1) X 3 (fig. Raíz) + 4300 (Ting-f𝑎2)] ÷ 10 =
460 (Ts'ung-ting-f𝑎1) (paso 12)…………………………………………
100 (Chieh-sua𝑛1) ÷ 100 = 1 (Chieh-sua𝑛1´) (paso 13).…….
235 Fang
0 2nd resto
465 Ts'ung-ting-f𝑎1
I Chieh-suan1´
Después de las pruebas con 4, 5 y 6 de la misma forma que en el paso
9, se selecciona 5 para la tercera figura de la raíz (paso 14)……….
2325 (2nd resto) ÷ 465 (Ts'ung-ting-f𝑎2) = 5 (fig. de la raíz) + 0 (3rd
resto) (paso 16)……………………………………………………….
460 (Ts'ung-ting-f𝑎1) + 1 (Chieh-suan1´ ) × 5 (fig. raíz) = 465 (Ts'ung-ting-f𝑎2) (paso 15)……………………………………………
57
Paso 17:
Si el último resto no es igual a cero, cuando el Chieh-sua𝑛1𝑛´ se ha movido de nuevo a la
posición del dígito de la unidad, esto significa que la operación no se puede completar (dentro de
los límites de una raíz integral), pero la operación es continuada como antes.
Raíz Cúbica
Primera Fase
Paso 1:
Coloque el cubo conocido, de un cierto número desconocido (en la segunda fila desde la parte
superior del tablero de conteo) para que sea el dividendo de Shih.
Paso 2:
Use una barra de conteo (póngala en la fila inferior del tablero). Esta única barra de conteo se
llamará Chieh-suan preliminar.
Paso 3:
La barra de conteo se mueve hacia adelante (de derecha a izquierda) por pasos de tres lugares
cada uno (hasta dónde puede llegar sin transgredir el digito más alejado del dividendo). Esta
única barra de contar, con su nuevo valor de posición, se llamará Chieh-suan.
Paso 4:
La primera figura de la raíz se selecciona a través de prueba, tomando 1, 2, 3, una tras otra.
Li-fang
1860867 Shih
Chieh-suan 1
Chieh-suan
(preliminary)
(Paso 1)
(Paso 2)
Li-fang
1860867 Shih
Chieh-suan
1000000 Chieh-suan
(Paso 3)
58
Discutir el 𝑺𝒐-𝒕ê (El 𝑺𝒐-𝒕ê es el producto de la primera figura de la raíz, multiplicada por el
Chieh-suan). Lo que se entiende por "discusión" es que cuando el número seleccionado ha
multiplicado el 𝑺𝒐-𝒕ê dos veces, el producto no debe ser mayor que el dividendo. Se debe
seleccionar la mayor cifra de raíz que cumpla esta condición. La figura seleccionada se coloca en
la fila superior del tablero de conteo. Esta es la fila Li-fang, que en última instancia contendrá la
respuesta.
La primera prueba para seleccionar la primera figura de la raíz.
Discusión: Como 1000000 no es mayor que 1860867, Entonces 1 es una posible primera figura
de la raíz.
La segunda prueba para seleccionar la primera figura de la raíz.
1 Li-fang
1860867
1000000 Shih
1000000 Fa Fa
1000000 So-tê Chieh-suan
1000000 Chieh-suan
Intento con 1 como primer figura de la raíz………………
.
c. 1000000 (Fa) × 1 (fig. Raíz) = 1000000………………...
b. 1000000 (So-tê) × 1 (fig. Raíz) = 1000000 (Fa)………...
a. 1000000 (Chieh-suan) × 1 (fig. Raíz) = 1000000 (So-tê).
2 Li-fang
1860867
8000000 Shih
4000000 Fa Fa
2000000 So-tê Chieh-suan
1000000 Chieh-suan
Intento con 2 como primer figura de la raíz………………
.
c. 4000000 (Fa) × 2 (fig. Raíz) = 8000000………………...
b. 2000000 (So-tê) × 2 (fig. Raíz) = 4000000 (Fa)………...
a. 1000000 (Chieh-suan) × 2 (fig. Raíz) = 2000000 (So-tê).
59
Discusión: Como 8000000 es mayor que 1860867, entonces el 2 no puede ser aceptado como la
primera figura de la raíz. Por lo tanto, 1 es el mayor entero posible. Así que 1 es aceptado.
Paso 5:
El Chieh-suan se multiplica dos veces por la primera figura (seleccionada) de la raíz. El producto
es el divisor Fa, (que se coloca en la tercera fila desde la parte superior).
Paso 6:
Este divisor Fa se usa para dividir el dividendo Shih (el resto se coloca en la segunda fila desde
la parte superior del tablero de conteo). Esto se llamará el primer resto.
Paso 7:
a) Una vez que se ha hecho la división, el divisor Fa, se multiplica por tres para formar el Ting-
fa.
b) El producto se corta (retrocede un dígito) y este es el primer divisor fijo, Ting-f𝑎1.
Paso 8:
El So-tê es multiplicado por tres y este producto es llamado Chung.
1 Li-fang
860867 1st remainder
1000000 Fa Fa
Chieh-suan
1000000 Chieh-suan
Después de las pruebas con 1 y 2, se selecciona 1 para la
primera figura de la raíz (paso 4)…………………………..
1860867 (Shih) ÷ 1000000 (Fa) = 1 (fig. Raíz) + 860867
(1st remainder) (paso 6)……………………………………
1000000 (Chieh-suan) × 1 (fig. Raíz) × 1 (fig. Raíz) =
1000000 (Fa) (paso 5)……………………………………..
60
Paso 9:
a) Nuevamente tenga una barra de conteo en la fila inferior, en la misma posición que el Chieh-
suan (es decir, retenga el chieh-suan). Esto se llama Hsia.
b) Mueve el Chung (a la derecha) dos lugares. Esto se llama Chun𝑔1
c) Mueve el Hsia (a la derecha) tres lugares. Esto se llamará Hsi𝑎1.
Segunda fase
Paso 10:
De nuevo, se selecciona la segunda figura de la raíz a través de ensayos con 1, 2, 3, etc. y su
discusión. La discusión apunta a encontrar el Ting-f𝑎2 por el proceso dado en el paso 2. El
producto del Ting-f𝑎2 multiplicado por la segunda cifra de la raíz en prueba no debe ser mayor
que el primer resto. La cifra más grande que no viole esta condición se selecciona.
1 Li-fang
860867 1st remainder
Ting-fa
3000000 Ting-fa
Chung 3000000 Chung
Hsia
1000000 Hsia
1000000 (Fa) × 3 = 3000000 (Ting-fa) (paso 7a)……….
1000000 (Chieh-suan) × 1 (fig. Raíz) × 3 = 3000000 (Chung) (paso 8)………………………………………… Retener el Chieh-suan del paso 3 (paso 9a)……………..
1 Li-fang
860867 1st remainder
Ting-fa
300000 Ting-f𝑎1
Chung
30000 Chun𝑔1
Hsia
1000 Hsi𝑎1
3000000 (Ting-fa) ÷ 10 = 300000 (Ting-f𝑎1) (paso 7b).
3000000 (Chung) ÷ 100 = 30000 (Chun𝑔1) (paso 9b)...
1000000 (Hsia) ÷ 1000 = 1000 (Hsi𝑎1) (paso 9c)……..
61
La primera prueba para seleccionar la segunda figura de la raíz.
Discusión: como 331000 no es mayor que 860867, entonces 1 es una posible segunda figura de
la raíz.
La segunda prueba para seleccionar la segunda figura de la raíz.
Discusión: Como 728000 no es mayor que 860867, entonces 2 también es una posible segunda
figura de la raíz.
11 Li-fang
860867
331000 1st remainder
331000 Ting-f𝑎2 Ting-fa
300000 Ting-f𝑎1
30000 Chun𝑔2 Chung
30000 Chun𝑔1
1000 Hsi𝑎2 Hsia
1000 Hsi𝑎1
Intento con 1 como segunda figura de la raíz………………… d. 331000 (Ting-f𝑎2) × 1 (fig. Raíz) = 331000………………..
c. 300000 (Ting-f𝑎1) + 30000 (Chun𝑔2) + 1000 (Hsi𝑎2) = 331000 (Ting-f𝑎2)…………………………………………….. a. 30000 (Chun𝑔1) × 1 (fig. Raíz) = 30000 (Chun𝑔2)………..
b. 1000 (Hsi𝑎1) × 1 (fig. Raíz) × 1 (fig. Raíz) =1000 (Hsi𝑎2).
12 Li-fang
860867
728000 1st remainder
364000 Ting-f𝑎2 Ting-fa
300000 Ting-f𝑎1
60000 Chun𝑔2 Chung
30000 Chun𝑔1
4000 Hsi𝑎2 Hsia
1000 Hsi𝑎1
Intento con 2 como segunda figura de la raíz………………… d. 364000 (Ting-f𝑎2) × 2 (fig. Raíz) = 728000………………..
c. 300000 (Ting-f𝑎1) + 60000 (Chun𝑔2) + 4000 (Hsi𝑎2) = 364000 (Ting-f𝑎2)……………………………………………..
a. 30000 (Chun𝑔1) × 2 (fig. Raíz) = 60000 (Chun𝑔2)………..
b. 1000 (Hsi𝑎1) × 2 (fig. Raíz) × 2 (fig. Raíz) =4000 (Hsi𝑎2).
62
La tercera prueba para seleccionar la segunda figura de la raíz.
Discusión: Como 1197000 es mayor que 860867, entonces 3 no puede ser aceptado como la
segunda figura de la raíz. Por lo tanto, 2 es el mayor entero posible. Así que 2 es aceptado.
Paso 11:
a) El Chun𝑔1 se multiplica por la segunda figura de la raíz. El producto se llamará Chun𝑔2.
b) El Hsi𝑎1 se multiplica dos veces por la segunda cifra de la raíz. El producto se llamará Hsi𝑎2.
c) Ambos productos se agregan al Ting-f𝑎1. La suma debe llamarse Ting-f𝑎2.
Paso 12:
El primer resto se divide por el Ting-f𝑎2 (y lo que sobra se coloca en la segunda fila desde la
parte superior). Esto se llamará el segundo resto.
13 Li-fang
860867
1197000 1st remainder
399000 Ting-f𝑎2 Ting-fa
300000 Ting-f𝑎1
90000 Chun𝑔2 Chung
30000 Chun𝑔1
9000 Hsi𝑎2 Hsia
1000 Hsi𝑎1
Intento con 3 como segunda figura de la raíz………………………. d. 399000 (Ting-f𝑎2) × 3 (fig. Raíz) = 1197000…………….............
c. 300000 (Ting-f𝑎1) + 90000 (Chun𝑔2) + 9000 (Hsi𝑎2) = 399000 (Ting-f𝑎2)…………………………………………………………….
a. 30000 (Chun𝑔1) × 3 (fig. Raíz) = 90000 (Chun𝑔2)……………….
b. 1000 (Hsi𝑎1) × 3 (fig. Raíz) × 3 (fig. Raíz) = 9000 (Hsi𝑎2)……..
12 Li-fang
132867 2nd remainder
364000 Ting-f𝑎2 Ting-fa
300000 Ting-f𝑎1
60000 Chun𝑔2 Chung
30000 Chun𝑔1
4000 Hsi𝑎2 Hsia
1000 Hsi𝑎1
Después de las pruebas con 1, 2 y 3, se selecciona 2 para la segunda figura de la raíz (paso 10)……………………………………………….
860867 (1st remainder) ÷ 364000 (Ting-f𝑎2) = 2 (fig. Raíz) + I32867 (2nd remainder) (paso 12)………………………………………………
300000 (Ting-f𝑎1) + 60000 (Chun𝑔2) + 4000 (Hsi𝑎2) = 364000 (Ting-f𝑎2) (paso 11c)…………………………………………………………..
30000 (Chun𝑔1) × 2 (fig. Raíz) = 60000 (Chun𝑔2) (paso 11a)………...
1000 (Hsi𝑎1) × 2 (fig. Raíz) × 2 (fig. Raíz) = 4000 (Hsi𝑎2) (paso 11b)……………………………………………………………….
63
Paso 13:
a) Una vez hecha la división, se duplica Hsi𝑎2.
b) El producto que se llamará Hsi𝑎3 se agrega a Chun𝑔2.
c) La suma se llamará Chun𝑔3, y se agrega al Ting-f𝑎2. Esta suma se llamará Ts'ung-ting-fa.
d) El Ts'ung-ting-fa se corta (es decir, se mueve hacia atrás, un lugar). Esto se llamará Ts'ung-
ting-f𝑎1′ .
Paso 14:
a) Continúe el proceso en la segunda fila desde la parte inferior de manera similar (al paso 8). El
Hsi𝑎1 es multiplicado una vez por la segunda cifra de la raíz y se obtiene el So-tê2. El So-tê2 se
multiplica por tres. El producto se agrega a Chun𝑔3, la suma (que se llamará Chun𝑔4) se coloca
en la fila central, es decir, segunda fila desde la parte inferior.
b) El Chun𝑔4 se mueve a la derecha por dos lugares. Esto se llamará Chun𝑔1´.
Paso 15:
a) Continúe el proceso en la fila inferior de manera similar al paso 9. Haga que una barra de
conteo esté en la fila inferior en la misma posición que Hsi𝑎1.
b) Mueva la barra de conteo a los tres lugares correctos. El número resultante se llamará Hsi𝑎1´
12 Li-fang
132867 2nd remainder
364000 Ting-f𝑎2 from Ting-fa
to Ts’ung-
ting- fa 432000 Ts’ung-
ting-fa
68000 Chun𝑔3 Chung
30000 Chun𝑔1
8000 Hsi𝑎3 Hsia
1000 Hsi𝑎1
364000 (Ting-f𝑎2) + 68000 (Chun𝑔2) = 432000
(Ts'ung-ting-fa) (paso 13C)……………………………………
8000 (Hsi𝑎2) + 60000 (Chun𝑔2) = 68000 (Chun𝑔3) (paso 13b)
4000 (Hsi𝑎2) × 2 = 8000 (Hsi𝑎3) (paso 13a)…………………
64
Paso 16:
De nuevo, la tercera figura de la raíz se selecciona a través de ensayos con 1, 2, 3, etc. y
discusión, como en el paso 10). La discusión lleva a encontrar el Ts'ung-ting-f𝑎2´, con el proceso
dado en el paso 17. El producto del Ts'ung-ting-f𝑎2´, multiplicado por la tercera figura de la raíz
no deberá ser mayor que el segundo resto. Se selecciona la cifra más grande que no viole esta
condición.
Paso 17:
a) El Chun𝑔1´ se multiplica por la tercera figura de la raíz. El producto se llamará Chun𝑔2´.
b) El Hsi𝑎1´, se multiplica dos veces por la tercera cifra de la raíz. El producto se llamará Hsi𝑎2´.
c) Ambos productos se agregan a Ts'ung-ting-f𝑎1´. La suma se llamará Ts'ung-ting-f𝑎2´.
12 Li-fang
132867 2nd remainder
Ts’ung-
ting- fa 432000 Ts’ung-
ting-fa
Chung 36000 Chun𝑔4
Hsia
1000 Hsi𝑎1
1000 (Hsi𝑎1) × 2 (fig. Raíz) × 3 + 30000 (Chun𝑔1) =
36000 (Chun𝑔4) (paso 14a)…………………………...
Retener el Hsi𝑎1, del paso 9c (paso 15a)……………...
12 Li-fang
132867 2nd remainder
Ts’ung-
ting- fa 43200 Ts’ung-
ting-f𝑎1´
Chung
360 Chun𝑔1´
Hsia
1 Hsi𝑎1´
432000 (Ts'ung-ting-fa) ÷ 10 = 43200 (Ts'ung-ting-f𝑎1´ ) (paso 13d)………………………………………………….
36000 (Chun𝑔4) ÷ 100 = 360 (Chun𝑔1´) (paso l4b)………
1000 (Hsi𝑎1) ÷ 1000 = 1 (Hsi𝑎1´ ) (paso 15b)……………
65
Paso 18:
El segundo resto se divide por el Ting-f𝑎2´, y el resto se coloca en la segunda fila desde la parte
superior. Esto se llamará el tercer resto. Si este tercer resto es cero, toda la operación de
extracción de raíz se completa.
Paso 19:
Si el último resto no está terminado, (igual a cero) cuando el Hsi𝑎1𝑛´ se ha movido de nuevo a la
posición del dígito de la unidad, esto significa que la operación no se puede completar dentro de
los límites de una raíz integral, pero la operación se continúa como antes.
Es preciso mencionar, que existe evidencia de que, al menos hacia el 250 a.C. (Chui-chang
suan-shu), los chinos aplicaron este proceso tan similar al de Horner para resolver una ecuación
cuadrática del tipo 𝑥2 + 𝑎𝑥 = 𝑏, aunque en ese tiempo no se tenía el lenguaje moderno para
expresar tal ecuación. Durante este periodo no se generalizó este método a todos los tipos de
123 Li-fang
132867 2nd remainder
44289 Ts’ung-
ting-f𝑎2´ Ts’ung-
ting- fa 43200
Ts’ung-
ting-f𝑎1´
1080 Chun𝑔2´ Chung
360 Chun𝑔1´
9 Hsi𝑎2´ Hsia
1 Hsi𝑎1´
Después de las pruebas con 2, 3 y 4, se selecciona 3 para la tercera figura de la raíz (paso 16)………………………………………….. 43200 (Ts'ung-ting-f𝑎1´ ) + 1080 (Chun𝑔2´ ) + 9 (Hsi𝑎2´ ) = 44289 (Ts'ung-ting-f𝑎2´ ) (paso 17c)………………………........................ 360 (Chun𝑔1´) × 3 (fig. Raíz) = 1080 (Chun𝑔2´ ) (paso 17a)……...
1 (Hsi𝑎1´ ) × 3 (fig. Raíz) × 3 (fig. Raíz) = 9 (Hsi𝑎2´ ) (paso 17b).
123 Li-fang
0 3rd remainder
44289 Ts’ung-
ting-f𝑎2´ Ts’ung-
ting- fa 43200
Ts’ung-
ting-f𝑎1´
1080 Chun𝑔2´ Chung
360 Chun𝑔1´
9 Hsi𝑎2´ Hsia
1 Hsi𝑎1´
132867 (2nd
remainder) ÷ 44289 (Ts'ung-ting-f𝑎2´ ) = 3 (fig. Raíz) + 0 (3rd remainder) (paso 18)…………………
66
ecuaciones, probablemente porque no surgieron problemas que involucraran su solución. Sin
embargo la extensión de este proceso, proporciono un patrón que llamo la atención de otros
matemáticos chinos que utilizaron este mismo proceso para resolver ecuaciones de grados más
altos, como se verá más adelante.
Por una parte, este tratado es quizás la obra que ejerció una mayor influencia de entre todos
los libros matemáticos chinos; en él están incluidos 246 problemas sobre agrimensura,
agricultura, compañía, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de
los triángulos rectángulos. Se puede ver entonces que los chinos también tuvieron la costumbre
de los babilonios y de los egipcios de recopilar conjuntos de problemas concretos, a diferencia de
los griegos de esta misma época que escribían tratados expositivos sistemáticos, y ordenados de
una manera lógica. Pero este texto también trae recuerdos de la matemática egipcia por su uso
del método de la “falsa posición”, sin embargo lo cierto es que tanto este procedimiento como el
origen de la matemática china en general, no parece haber tenido ninguna influencia occidental.
Se pueden encontrar pues, en las obras chinas, al igual que sucede con las egipcias, diversos
resultados exactos e inexactos, primitivos y sofisticados que no guardan un orden o conexión
entre ellos; por ejemplo se dan a conocer reglas correctas para calcular las áreas de triángulos,
rectángulos y trapecios, así como, métodos de aproximación para calcular el área del círculo. En
la obra del chui-chang suan-shu hay algunos problemas que están resueltos por medio de reglas
de tres, y en otros se encuentran raíces cuadradas y cubicas. El capítulo ocho, de los nueve que
hay en esta obra, toma importancia por la resolución de problemas que conducen a sistemas de
ecuaciones lineales, utilizando números positivos y negativos; y en el último aparece la
resolución de un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas, quedando el tema de las
ecuaciones indeterminadas como uno de los favoritos de los pueblos orientales (Boyer C, 1999).
Como se puede observar los chinos también se dedicaron a coleccionar conjuntos de
problemas concretos sobre agrimensura, agricultura, compañía, ingeniería e impuestos, algo
similar a lo que sucedió con los egipcios y babilonios. En cuanto al sistema de numeración chino,
que se utilizaba para la época en que aparece el método que es muy similar al de Horner, hay que
mencionar que se trataba de un sistema esencialmente decimal con forma de notación posicional;
67
sus símbolos eran numerales a base de varillas, en donde representaban los dígitos del 1 al 9 y
los primeros nueve múltiplos del 10; el cero se representaba con una posición vacía. Este sistema
resultó conveniente para los chinos al permitirles realizar con más facilidad determinados
procedimientos con varillas y una tabla de calcular con columnas verticales sin marcar. Los
chinos en ese tiempo trabajaron con números enteros y fracciones, a tal punto que tenían un
dominio indiscutible de estas últimas, ya que hallaron el mínimo común denominador de varias
fracciones; la idea de número negativo parece no haber ocasionado muchas dificultades a los
chinos, aunque no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser una solución de una
ecuación.
Por otro lado, se puede observar que este sistema decimal que utilizaban los chinos, les
permitió llegar a abstracciones muy importantes para el cálculo de raíces; como por ejemplo,
saber el número de cifras del cubo o cuadrado desconocido, a partir del número al cual se le iba a
sacar la raíz cúbica o cuadrada.
Cabe agregar que el método aquí expuesto es un algoritmo simple en el que se pone en juego
unos pasos lógicos que dan cuenta del significativo desarrollo de la matemática china; se trabaja
en gran medida con el sistema de numeración posicional, para ir aproximando uno a uno los
dígitos de las raíces de números; debe señalarse que las soluciones a las que llegaban eran
números enteros positivos, sin embargo este proceso también funciona tanto para raíces de
números como ecuaciones, cuyas soluciones sean números reales. A diferencia de los egipcios,
babilonios y los griegos, estos usaron este método para solucionar una ecuación de segundo
grado, tal vez no lo extendieron a ecuaciones de grados más altos, porque no surgieron en ese
momento problemas que lo ameritara. Se observa pues, que esta matemática china es distinta de
la que se realizaba en la misma época en otros lugares, por lo que parece haber sido
independiente de toda influencia occidental.
3.3 EL MÉTODO DE AGOTAMIENTO HINDÚ
Los hindúes tenían una visión distinta de los números irracionales a la de los griegos, pues
estos últimos se enfocaron en verlos geométricamente como magnitudes inconmensurables,
68
mientras que los primeros los evaluaron aritméticamente, lo cual les permitió avanzar en la
noción de número y en la extracción de raíces. Para los hindúes, un número irracional era “uno,
cuya raíz se requiere, pero no se puede hallar sin residuo”. Un ejemplo de lo dicho, se puede
encontrar en el año 200 d.C. en los 𝑆𝑢𝑙𝑣𝑎𝑠�̅�𝑡𝑟𝑎𝑠, una obra hindú en la que aparecen los
conocimientos geométricos primitivos que fueron sobresaliendo de la planificación de templos y
de la medición y construcción de altares; allí aparecen aproximaciones notablemente cercanas
para √2 y √3, así como otros números irracionales. También se tiene a 𝐵𝑎𝑢𝑑ℎ�̅�𝑦𝑎𝑛𝑎 quien
expresa que √2 = 1 +1
3+
1
3 ∙ 4−
1
3 ∙4 ∙34 .Su método no se conoce.
En la historia de las matemáticas los sucesores de los griegos son los hindúes. Sin embargo al
igual que en china, hay una falta de continuidad de la tradición matemática hindú, pues se
pueden observar importantes contribuciones que están separadas por largos intervalos de tiempo,
en los cuales no hubo ningún progreso. Entre estas contribuciones se tiene el “método hindú,”
(como se le conoció a menudo en la edad media) que fue utilizado para aproximar raíces
cuadradas y cúbicas, ya que gracias a el simbolismo superior y la notación conveniente de los
hindúes, les fue posible inventar y usar con facilidad formulas basadas en el principio de
inversión, que consiste en partir del resultado y realizar las operaciones inversas a como se da en
el enunciado. Aryabhata (hacia el 476 d.C.) usó este método de agotamiento, basado en la
inversión de las expresiones 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 y 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3
y en la notación decimal con sus valores de posición, para obtener raíces cuadradas y cúbicas a
partir de estos algoritmos. Este método lo describe Bhaskara (1114-1185 d.C.), el matemático
más importante del siglo XII, cuya obra representa la culminación de las contribuciones hindúes
anteriores a su época. La siguiente es una traducción libre de Bhaskara, por Taylor:
El primer lugar a la derecha se llama ghana o cubo; los dos siguientes lugares son aghana
o no-cubo. Restar el cubo contenido en el período final de dicho período; colocar la raíz
del cubo en una línea separada, y después de multiplicar su cuadrado por tres, divida la
cifra antecedente por el resultado, y anote el cociente en la línea separada: luego
multiplique el cuadrado del cociente por el número precedente en esa línea y por tres, y
después de restar el producto de la siguiente cifra antecedente del cubo de dicho cociente,
y restar el resultado de la siguiente cifra antecedente. Así se repite el proceso a través de
todas las cifras. La línea separada contiene la Raíz del Cubo (Nordgaard, 1922, p.8).
69
A continuación en la Tabla 2, se presenta un ejemplo de la utilización de este método en notación
moderna.
El método de agotamiento hindú fue adoptado por los árabes, así mismo Omar Khayyam
(hacia 1050-1123 d.C.) quien fue un poeta, matemático, filósofo y astrónomo, escribió una
exposición sobre este proceso en una obra que se ha perdido. De los árabes llego a Europa a
Tabla 2. Método hindú
La Raíz Cúbica de 34328125
Procesos Raíz Pasos
3 4 ⋮ 3 2 8 ⋮ 1 2 5
2 7
7 3
3 1) Como un número de una cifra al elevarlo al cubo puede tener no más de tres cifras
(93 = 729). Entonces dividimos al número en periodos, de tal forma que un periodo es un
número de tres cifras.
2) Se busca el primer digito de la raíz. Este es un número que al elevarlo al cubo este muy
cerca del último periodo.
33 = 27
3) Se le resta el cubo a último periodo y se baja la cifra antecedente
3 4 ⋮ 3 2 8 ⋮ 1 2 5
2 7
7 3
5 4
1 9 2
3 6
1 5 6 8
8
1 5 6 0
32 4) El número obtenido se divide por el resultado de multiplicar el cuadrado de la raíz por
tres. Obteniéndose así la segunda raíz. 73
3(32)≈ 2
5) Al número obtenido en 3) se le resta el resultado de multiplicar tres por la primera raíz
al cuadrado por la segunda raíz.
3 ∙ (32) ∙ 2 = 54
6) Se baja la cifra antecedente y al nuevo número se le resta el resultado de multiplicar tres
por la primera raíz por el cuadrado de la segunda raíz.
3 ∙ (3) ∙ (22) = 36
7) Se baja la cifra antecedente y al nuevo número se le resta el cubo de la segunda raíz.
23 = 8
3 4 ⋮ 3 2 8 ⋮ 1 2 5
2 7
7 3
5 4
1 9 2
3 6
1 5 6 8
8
1 5 6 0 1
1 5 3 6 0
2 4 1 2
2 4 0 0
1 2 5
1 2 5
0
325 8) Se baja la cifra antecedente y el nuevo número se divide por el resultado de multiplicar
tres, por el cuadrado del número compuesto de las dos raíces. Obteniéndose la tercera raíz.
15601
3(32)2 ≈ 5
9) Al número que se tenía antes, se le resta el resultado de multiplicar tres, por la última
raíz, por el cuadrado del número compuesto de las dos primeras raíces.
3 ∙ (5) ∙ (32)2 = 15360
10) Se baja la cifra antecedente y al nuevo número se le resta el resultado de multiplicar
tres, por el cuadrado de la última raíz, por el número compuesto de las dos primeras raíces.
3 ∙ (52) ∙ (32) = 2400
11) Se baja la cifra antecedente y al nuevo número se le resta el cubo de la tercera raíz.
53 = 125
Luego 325 es la raíz exacta de 34328125
Esquema 2. Método hindú
70
través de los escritos de Leonardo de Pisa (Fibonacci, s. XIII), cuya obra que fue registrada del
𝑆𝑎𝑐𝑟𝑜𝑏𝑜𝑠𝑐𝑜′𝑠 𝐴𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑠𝑚𝑢𝑠 (hacia 1240 d.C.) se mantuvo en uso hasta que fue reemplazada por
la de Peurbach en el siglo XV. El 𝑆𝑎𝑐𝑟𝑜𝑏𝑜𝑠𝑐𝑜′𝑠 𝐴𝑙𝑔𝑜𝑟𝑖𝑠𝑚𝑢𝑠 es una obra en la que se escribió
sobre los números hindú-árabes y sus operaciones, incluida la extracción de raíces. Ahora
Peurbach (1423-14619) comienza con la disposición moderna de este método hindú, cuyo
prestigio como matemático y astrónomo hizo que se adoptara en toda Europa (Nordgaard, 1922).
Hasta aquí se observa que los hindúes trabajaron al igual que los egipcios, problemas
primitivos que surgieron de la planificación de templos y de la medición y construcción de
altares, llevándolos al uso de números enteros y fracciones decimales en sus cálculos. Tenían un
sistema en base decimal y una notación posicional, por lo que se podría decir que se trataba del
sistema de numeración que más se asemeja al moderno. Aun así, no se tenía un símbolo para el
cero, lo que pasaba similarmente con los egipcios, babilonios, y chinos. Al igual que las otras
culturas, se interesaron por aproximar las raíces cuadradas y cubicas, obteniendo digito a digito,
las cifras aproximadas de determinada raíz numérica; cabe aclarar que las soluciones eran
números positivos enteros. Por otra parte, se habla de una posible influencia de los babilonios y
los griegos hacia esta cultura, lo que se puede ver reflejado en la poca innovación que se tuvo en
el álgebra. Para este periodo los hindúes trabajaron con ecuaciones de primer y segundo grado,
pero al igual que los egipcios, babilonios y griegos no extrapolaron sus métodos de aproximación
a la solución de ecuaciones completas, sino que solo utilizaron procesos de aproximación para el
hallazgo de raíces cúbicas y cuadradas.
En cuanto al campo numérico, los hindúes dieron un gran salto al ver los números irracionales
como aquellos cuya raíz se necesita pero no se puede obtener sin un residuo, a diferencia de los
griegos los cuales se enfocaron en una idea geométrica de estos números; lo cual le permitió a
los hindúes tener un gran avance en cuanto aproximaciones de expresiones como √2 y √3, entre
otras.
71
3.4 EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE APROXIMACIÓN CHINO
La contribución adicional del chui-chang suan-shu se transfirió a sus sucesores, de esta
manera se fue extendiendo el método de extracción de raíces a la resolución de un cierto tipo de
ecuación, es claro que esta transición no es simplemente una cuestión de copiar todos los pasos.
Las fases de la extracción de la raíz cúbica le permitieron a Wang Hs’iao-t’ung (623 d.C.)
resolver dos tipos de ecuaciones cúbicas: i) 𝑥3 + 𝑎𝑥2 = 𝑏 y ii) 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐. También
resolvió 𝑥4 + 𝑎𝑥2 = 𝑏 pero esta ecuación no es más que 𝑦2 + 𝑎𝑦 = 𝑏 donde 𝑦 = 𝑥2 y no hizo
ninguna contribución adicional al problema 20 del chui-chang suan-shu. Las raíces de este tipo
de ecuaciones quedaron registradas en su obra Aritmética en Nueve Secciones. Este matemático
no trabajo con ecuaciones de grado más alto que el tercero (Wang & Needham, 1955).
Este método se mantuvo único en China hasta el siglo XI d.C., cuando aparece en las obras de
los matemáticos islámicos como al-Nasawi (1025) y al-Samaw’al (1172), que lo usaron para
extraer raíces cúbicas, y más tarde al-Kashi (1450), quien lo implemento para extraer raíces de
cualquier grado. Lo cual puede hacer pensar de que los matemáticos Chinos del siglo XIII
pueden haber tomado prestado una versión del método de Horner del mundo islámico; pero
suponer esto, entra en conflicto con el hecho de que los números negativos solo eran utilizados
por los Chinos, y por otra parte, los matemáticos del mundo islámico eran más expertos con los
números en la base sexagesimal, mientras que los chinos nunca hicieron uso de las fracciones
sexagesimales, pues el sistema de numeración Chino permaneció esencialmente decimal, con
notaciones muy diferentes de las utilizadas en otros países. Así mismo, se puede inferir una
transmisión inversa, mediante la cual, una versión simple de este método puede haber
evolucionado lentamente desde la obra chui-chang suan-shu e hizo su camino desde China hasta
el mundo Islámico. Incluso pudo haber sido conocido por Fibonacci a través de los matemáticos
islámicos. Si esto fuera así, entonces este método entro en la corriente principal de las
matemáticas europeas, a través del mundo islámico, a partir del siglo XIII.
Hasta seis siglos después de Wang Hs’iao-t’ung, no se encuentra ningún trabajo en China con
ecuaciones superiores a las cubicas. Luego en el siglo XIII, aparecen otros matemáticos Chinos
72
del periodo Sung tardío, que viven casi al mismo tiempo, e hicieron uso de procedimientos
análogos.
Uno de ellos, es Yang Hui (fl.ca. 1261-1275) quien utilizó este procedimiento llamándolo
“Involución de Acumulación”, de su vida no se tiene muchos reportes y cuya obra sólo se
conserva una parte; entre sus contribuciones se encuentran los primeros cuadrados mágicos
chinos de orden mayor que tres, incluyendo dos de cada uno de los órdenes cuatro a ocho y uno
de cada uno de los órdenes nueve y diez. También se le pueden atribuir resultados acerca de la
suma de series finitas y del llamado Triángulo de Pascal (Boyer C, 1999). Según este matemático
chino, Chia Hsien (fl.ca. 1200) pudo haber desarrollado el Triángulo de Pascal hasta el sexto
grado, por lo cual se piensa que este pudo ser capaz de extraer √𝑘6
, pero Yang Hui asegura que
Chia Hsien tenía el método de resolver la ecuación 𝑥4 = 𝑘 en pasos uniformes. Incluso se
podría suponer que este alcanzó un patrón para resolver la ecuación 𝑥𝑛 = 𝑘, lo cual tiene gran
importancia para la extensión del método de Horner (Wang & Needham, 1955).
La raíz cuadrada y la raíz cúbica se conocían entre el siglo IV a.C. y antes del siglo I a.C.,
mientras que la raíz del cuarto grado no entro en escena hasta el siglo I d.C. Este retraso quizás
se debe a la imposibilidad de poder representar esta última con una figura simple y regular. De
esta manera, la invención china del triángulo de Pascal provoco de cierto modo una ruptura del
proceso aritmético y la figura geométrica. Lo que llevo a que probablemente la aritmética se
acercara al álgebra.
Evidentemente fue Chia Hsien quien abrió el camino para el algebrista chino Ch’in Chiu-
Shao (ca. 1202-1261), un ministro y gobernador sin escrúpulos que tuvo el mérito notable de
adquirir inmensas riquezas en los cien días de su mandato. Lo que más le quedo a Ch’in Chiu-
Shao fue extender la extracción de la raíz de Chia Hsien 𝑥𝑛 = 𝑘, a la ecuación 𝑥𝑛 + 𝑎𝑥𝑛−1 +
⋯ 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 = 𝑘. Esta extensión se dio gracias a que en el chiu-chang suan-shu ya habían
pasado de 𝑥2 = 𝑘, a trabajar con 𝑥2 + 𝑎𝑥 = 𝑘 y por otro lado Wang Hs’iao-t’ung siguió el
ejemplo de la obra anterior para extender 𝑥3 = 𝑘, a la ecuación 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑘. De este
modo ocurrió naturalmente la extensión del método de Horner para Ch’in Chiu-Shao, pues Chia
Hsien siguió la segunda fase para hallar las raíces cuadradas y extendió el sistema a la resolución
73
de ecuaciones como 𝑥4 = 1´336.336. Adoptando las técnicas anteriores realizadas por sus
antecesores fue más fácil para Ch’in realizar unos tratamientos más generalizados.
Cabe destacar que Ch’in Chiu-Shao en su obra Shu-Shu Chiu-Chang o “Tratado matemático
en nueve secciones” (1247) marca el punto culminante del análisis indeterminado chino, con la
invención de reglas rutinarias para resolver sistemas de congruencias simultáneas; resolvió
ecuaciones de los grados 6, 7, 8 e incluso superiores. Trabajo en tablas con varillas de madera
para representar sus coeficientes, y organizó su trabajo en columnas al igual que los hindúes para
las raíces de los números. Al escribir sus ecuaciones con el miembro de la mano derecha igual a
cero, anticipó a Harriot por más de trescientos años.
En cuanto al signo negativo de los términos de las ecuaciones este algebrista chino aplica la
idea de Liu I (ca. 1080 d.C.) quien describió varias formas alternativas de resolver las
ecuaciones: −𝑥2 + 𝑎𝑥 = 𝑏 y 𝑥2 − 𝑎𝑥 = 𝑏. Lo cual utiliza Ch’in Chiu-Shao para resolver
ecuaciones numéricas más altas como las del cuarto grado y décimo grado; el ejemplo que dio
sobre este último, correspondiente con la notación moderna fue:
𝑥10 + 0𝑥9 + 15𝑥8 + 0𝑥7 + 72𝑥6 + 0𝑥5 − 864𝑥4 + 0𝑥3 − 11664𝑥2 + 0𝑥 − 34992 = 0
La aceptación de términos negativos en ecuaciones numéricas fue un gran avance para los
chinos.
Un ejemplo de los cálculos que realiza Ch’in es la extracción de la raíz cuadrada de
71.824 por etapas, paralelamente a lo que se hace en el método de Horner: partiendo de
200 como primera aproximación de la raíz de la ecuación 𝑥2 − 71.824 = 0, reduce esta
raíz en 200 mediante el cambio de incógnita2 que conduce a 𝑦2 + 400𝑦 − 31.824 = 0.
Para esta segunda ecuación este matemático encuentra que 60 es una aproximación de la
raíz, y disminuyéndola en 60 se llega a una tercera ecuación, 𝑧2 + 520𝑧 − 4.224 = 0, de
la que 8 es una raíz, y por lo tanto tenemos que 𝑥 = 268 es la raíz cuadrada de 71824.
De una manera análoga resuelve las ecuaciones cúbicas y cuárticas (Boyer, 1999, p. 268).
2 El cambio de incógnita que se realiza es 𝑦 = 𝑥 − 200, de tal manera que al sustituirlo por la incógnita, se tiene la
igualdad entre las dos ecuaciones.
74
Ch’in Chiu-shao fue sin duda el primero en completar el método de Horner para resolver
cualquier ecuación numérica. Fue seguido inmediatamente por otros dos matemáticos del
periodo Sung tardío (Wang & Needham, 1955).
El primero fue Li Chih (o Li Yeh) (1192-1279), un matemático que vivió en Peking y a quien
Khublai Khan ofreció en 1260 un puesto en el gobierno, propuesta a la cual se rehusó Li Chih
con una cortes escusa. En su Ts’ê Yuan Hai Ching (1248) alcanza a trabajar con ecuaciones de
sexto grado y en su libro Espejo marino de las medidas del círculo (1259), explicó el proceso
más completamente, ya que Ch’in Chiu-Shao había dado principalmente reglas. En este libro
presenta 170 problemas que tienen que ver con círculos inscritos y circunscritos a un triángulo
rectángulo y a las relaciones entre los lados y los radios; también se pueden encontrar algunos
problemas que conducen a ecuaciones de cuarto grado. Aunque este matemático no explica su
método de resolución de ecuaciones, entre las cuales salen a relucir algunas de grado 6, todo
apunta a que era muy similar al utilizado por Horner (Boyer, 1999).
El segundo fue Chu Shih-Chieh (ca.1280-1303), se sabe muy poco de él, hasta el punto de no
conocerse la fecha exacta de su nacimiento ni la de su muerte. Vivió en Yen-Shan, cerca de
Peking, pero parece ser que estuvo viajando durante unos veinte años, sin embargo tuvo tiempo
para escribir dos tratados; el primero de ellos fue “Introducción a los estudios matemáticos”
(1299), un libro algo elemental, pero que logró una gran influencia en Corea y en Japón, aunque
en China desapareció más tarde y estuvo perdido hasta el siglo XIX, en el trabajo con una
ecuación de cuarto grado. El segundo de ellos y que mostró mayor interés histórico y matemático
fue “Espejo Precioso de los Cuatro Elementos” (1303), el cual también desapareció en China,
hasta que fue redescubierto un siglo después. Los cuatro elementos que se mencionan en el titulo
se le atribuyen al cielo, la tierra, el hombre y la materia los cuales representan las cuatro
incógnitas de una ecuación. Este libro marca el punto más alto que alcanzó el desarrollo del
álgebra china, en él se estudia tanto sistemas de ecuaciones simultáneas como ecuaciones
individuales de grados tan altos como el 14 (Boyer, 1999).
Chu Shih-Chieh explica en una de sus obras un método de transformación para
ecuaciones, que él llama el fan fa. Para resolver la ecuación 𝑥2 + 252𝑥 − 5292 = 0, por
ejemplo, el matemático obtiene en primer lugar por tanteo la aproximación 𝑥 = 19, lo
75
cual significa que la ecuación tiene una raíz entre 𝑥 = 19 y 𝑥 = 20, y a continuación
utiliza el fan fa, en este caso la transformación 𝑦 = 𝑥 − 19, para obtener la ecuación
𝑦2 + 290𝑦 − 143 = 0 con una raíz entre 𝑦 = 0 e 𝑦 = 1. El valor aproximado de la raíz
buscada de esta última es 𝑦 =143
(1+290), y por lo tanto el correspondiente valor de x es
19143
291. Para la ecuación 𝑥3 − 574 = 0 se usa la transformación 𝑦 = 𝑥 − 8, que conduce
a 𝑦3 + 24𝑦2 + 192𝑦 − 62 = 0, y la raíz buscada viene expresada como
𝑥 = 8 + 62
(1+24+192) ó 𝑥 = 8
2
7. En algunos casos Chu Shih-Chieh obtiene
aproximaciones decimales de las raíces (Boyer, 1999, p. 267).
Luego este proceso fue introducido en Japón en el siglo XVII por medio de los escritos del
matemático chino Chu Shih-Chieh. Entre los eruditos japoneses que escribieron sobre el método
chino de aproximación se encuentran 𝑆�̅�𝑡�̅� 𝑆𝑒𝑖𝑘�̅� (1666), 𝑆𝑒𝑘𝑖 𝐾�̅�𝑤𝑎 (1642-1708),
𝑆�̅�𝑡�̅� 𝑀𝑜𝑠ℎ𝑢𝑛 (1698), Sakabe (1803) y Kawai (1803).
Hasta aquí se puede notar el gran avance de los chinos al generalizar la extracción de raíces
numéricas al campo de la aproximación de las raíces de ecuaciones completas de cualquier
grado, se puede notar entonces, como este método se fue desarrollando con la ayuda de varios
matemáticos chinos que lo fueron dotando de unas bases. Es sorprendente la abstracción
matemática a la que tuvieron que llegar los chinos para utilizar dicho método, pues recordemos,
que en este periodo no se tenía ninguna concepción de la noción de continuidad de un polinomio,
ni siquiera había una definición clara de lo que era una función, dos conceptos fundamentales en
la utilización del método de Horner actualmente. Sin embargo, debe ser claro que los chinos
aproximaban uno a uno los dígitos de las raíces de las ecuaciones, llegando a soluciones enteras
y fraccionarias; solo Chu Shih-Chieh obtiene aproximaciones decimales, siendo esto un gran
avance para la generalización del método.
En cuanto al campo numérico, los matemáticos chinos trabajaban aún durante este periodo,
con números enteros y fracciones decimales, sin olvidar que fueron los primeros en trabajar con
números negativos y que tenían una notación muy diferente a la utilizada en otros países.
76
3.5 PROCESOS NUMÉRICOS EN LA EDAD MEDIA
Las cuatro principales fórmulas de aproximación creadas y utilizadas en la edad media fueron:
La primera, es la regla de Theon y fue utilizada por los siguientes matemáticos: Albategnius
(c. 920), 𝐴𝑏û𝑙-𝑊𝑒𝑓â (940-998), 𝑎𝑙-𝑁𝑎𝑠𝑎𝑣î (c. 1025), 𝑎𝑙- 𝑄𝑎𝑙𝑎𝑠â𝑑î (c.1475) y también fue
utilizada por el escritor judío Johannes Hispalensis (c. 1140).
La segunda fórmula, la cual tiene algo diferente a la primera, fue utilizada por 𝐴𝑙-𝐾𝑎𝑟𝑐ℎî
(c. 1020). No se sabe cómo llegó a ella, aunque posiblemente utilizo un método de doble
posición falsa e interpolación por partes proporcionales (Nordgaard, 1922).
Por otro lado, Leonardo de Pisa (ca. 1180-1250) más conocido como Fibonacci, escribe un
famoso libro clásico en 1202, conocido como Liber abaci, el cual es un tratado muy completo
sobre métodos y problemas algebraicos. Aunque la mayor parte de este libro es de lectura difícil
de entender y aburrida, algunos de sus problemas presentan un aspecto llamativo e interesante,
de tal manera que los utilizaron otros matemáticos posteriores. En el capítulo 14 aparecen
cálculos con raíces cuadradas y raíces cúbicas.
Para las raíces cuadradas el utiliza la fórmula de aproximación de Theon con el siguiente
correctivo:
√𝑎2 + 𝑏 ≈ 𝑎 +𝑏
2𝑎−
(𝑏
2𝑎)
2
2 (𝑎 +𝑏
2𝑎)
Un ejemplo de su uso, Leonardo lo ilustra de la siguiente manera:
√927435 = 963 +11
321−
(11
321)
2
2 (962 +11
321)
a) √𝑎2 + 𝑏 = 𝑎 +𝑏
2𝑎
b) √𝑎2 + 𝑏 = 𝑎 +𝑏
2𝑎+1
c) √𝐴 =1
𝑎√𝐴𝑎2
d) √𝑎3 + 𝑏3
= 𝑎 +𝑏
3𝑎(𝑎+1)+1
e)
77
Este método se utilizó hasta el siglo XVII en el 𝐾ℎ𝑜𝑙𝑎𝑠𝑎𝑡-𝑎𝑙-𝐻𝑖𝑠â𝑏 de 𝐵𝑒ℎâ 𝐸𝑑𝑑î𝑛 (c.1600)
(Nordgaard, 1922).
Leonardo también hace uso de la formula c) para encontrar aproximaciones de la raíz
cuadrada de grandes números, la cual se mencionó anteriormente, fue la más utilizada en la Edad
Media. Veamos como la ilustra este matemático:
√7234 ≈1
100√72340000 =
1
100 ∙ 8505
1
4= 85
1
20
1
400
Este método se hizo popular cuando en 1539 un hombre del prestigio de Cardano lo adoptó
sistemáticamente en su aritmética, acompañándolo de reglas claras y concisas, convirtiéndose en
el método estándar en Europa.
Mientras que para las raíces cúbicas Leonardo inventa un modo de encontrar las raíces
irracionales, que es la fórmula d) que se presentó anteriormente. Para su obtención el utilizó la
doble falsa posición y la interpolación por partes proporcionales. Él dice que sean 𝑎3 y (𝑎 + 1)3
los cubos más cercanos a 𝑎3 + 𝑏. Entonces, como 𝑎3 < 𝑎3 + 𝑏 < (𝑎 + 1)3 tenemos que
0 < 𝑏 < 3𝑎(𝑎 + 1) + 1 . De ahí que:
√𝑎3 + 𝑏3
= 𝑎 +𝑏
3𝑎(𝑎 + 1) + 1
El da los siguientes ejemplos de su fórmula:
√9003
≈ 9 +171
271= 9
2
3 y √2345
3≈ 13 +
148
547= 13
1
4
Además durante este periodo Leonardo en 1225, da una solución algorítmica por
aproximación, cuando en un torneo científico en Pisa, el emperador Federico II le pide que
resuelva la ecuación cúbica 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 = 20 mediante el método de regla y compas de
Euclides (Nordgaard, 1922). Después de varios intentos, este matemático demuestra que es
imposible obtener una raíz en el sentido euclídeo tal como una razón de enteros o un número de
la forma 𝑎 + √𝑏 , donde 𝑎 y 𝑏 son racionales, lo cual significaba que la ecuación no podía
solucionarse de forma exacta por métodos algebraicos (Boyer, 1999). Entonces presenta una
solución aproximada como una fracción sexagesimal: 1; 22,7,42,33,4,40 . Esta solución tiene 6
78
cifras exactas, lo cual es admirable por su precisión, pero aún no se sabe cómo lo logró. Si él
hubiera aplicado su método de doble falsa posición y de interpolación lineal que utilizó para
resolver las raíces cúbicas irracionales, hubiera obtenido una aproximación más pequeña. Se han
hecho muchos intentos para explicar el método que uso Leonardo. Es posible que conociera de
los árabes el ahora llamado método de Horner, el cual ya era conocido en china antes de esa
época. Hay evidencia en sus escritos de que estaba familiarizado con el método chino de
aproximación de raíces de ecuaciones indeterminadas.
Por otra parte, en este mismo periodo se encuentra otra solución algorítmica por aproximación
en la civilización árabe, se trata de un método para resolver las ecuaciones 𝑃𝑥 = 𝑥3 + 𝑄, donde
P y Q son positivos y 𝑥3 es pequeño en comparación con Q. Este proceso aparece en las
anotaciones de 𝑀î𝑟𝑎𝑚 𝐶ℎ𝑒𝑙𝑒𝑏î de las tablas astronómicas de Ulugh Beg (1498), este matemático
explica que esta ecuación fue utilizada para encontrar el seno de 1°. La solución se suele atribuir
a 𝐺𝑖𝑦â𝑡 𝐸𝑑𝑑î𝑛 𝑎𝑙-𝐾â𝑠𝑐ℎ𝑖. Sin embargo, 𝐵𝑟𝑎𝑢𝑛𝑚üℎ𝑙 piensa que se debe a 𝑎𝑙-𝑍𝑎𝑟𝑘â𝑙𝑖 (c. 1080).
Veamos el tratamiento que se le da a esta ecuación:
Primero se tiene que 𝑥 =𝑄+𝑥3
𝑃 ; pero para una 𝑥 relativamente pequeña se puede decir que 𝑥 ≈
𝑄
𝑃 .
Entonces 𝑥 = 𝑎 + 𝑟 ; luego 𝑎 + 𝑟 =𝑄+(𝑎+𝑟)3
𝑃= 𝑎 +
𝑅+(𝑎+𝑟)3
𝑃= 𝑎 +
𝑅+𝑎3
𝑃 .
Suponga que 𝑅+(𝑎+𝑟)3
𝑃= 𝑏, y el resto sea S.
Entonces 𝑅 = 𝑏𝑃 + 𝑆 − 𝑎3. Por lo que 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑠 . De ahí se tiene que:
𝑎 + 𝑏 + 𝑠 = 𝑄+(𝑎+𝑏+𝑠)3
𝑃= 𝑎 +
𝑅+(𝑎+𝑏+𝑠)3
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 +
𝑆−𝑎3+(𝑎+𝑏+𝑠)3
𝑃= 𝑎 + 𝑏 +
𝑆+(𝑎+𝑏+𝑠)3−𝑎3
𝑃
Supongamos que la última fracción es igual a 𝑐, con un resto 𝑇.
Entonces 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑠, y así sucesivamente.
Este método es el primero que involucra sucesivas aproximaciones numéricas, aunque tuvo
algunas limitaciones por tratarse de un proceso laborioso, en donde P y Q tenían que ser
positivos y 𝑥 relativamente pequeño. Aun así, matemáticos como Harriot, Raphson y Halley le
hicieron refinamientos y modificaciones, reduciendo estas limitaciones.
79
Cabe resaltar, que por esta época los árabes agregaron poco originalidad a la ciencia del
álgebra. Pero lo vitalizaron aplicando la nueva ciencia a los problemas de geometría, astronomía
y trigonometría. Esto dio lugar a ecuaciones numéricas más altas, muchas de las cuales se
resolvieron mediante la intersección de curvas. El éxito de este método sin duda retrasó el trabajo
de resolverlos algebraicamente por aproximación (Nordgaard, 1922).
Como se puede notar, durante esta época salen a flote diferentes fórmulas de aproximación
que siguen la misma línea de las fórmulas utilizadas anteriormente por los griegos, algunas son
modificadas utilizando los métodos de doble falsa posición e interpolación lineal de tal forma
que se llega a mejores aproximaciones de raíces numéricas, se observa pues, una permanencia en
la búsqueda de estas soluciones; además por primera vez, aparece el uso de métodos
aproximativos para ecuaciones completas, por matemáticos que no son chinos, tal vez esto se
deba a la influencia occidental, de la que se habló anteriormente. Durante esta época se nota una
hegemonía árabe, pues la mayoría de matemáticos que trabajan sobre estas fórmulas pertenecen a
esta cultura. Vale la pena mencionar que en esta civilización había una influencia tanto hindú
como griega, por lo que tenían conocimiento del sistema decimal de los hindúes como del
sistema sexagesimal griego, adoptando el primero.
Por otra parte, se tiene a Leonardo de pisa, un matemático italiano, que logra aproximar la raíz
de una ecuación cubica completa, siendo el primer matemático que no es chino y que logra
extrapolar los procesos aproximativos a la resolución de ecuaciones completas, sin embargo no
se conoce el método que utilizo para ello, sospechándose que se trata del método chino, del cual
se había enterado por medio de los árabes. Leonardo llegó a dar soluciones tanto en el sistema
sexagesimal como decimal, aprovechando las ventajas de trabajar en cada uno de estos sistemas
de numeración.
También por esta época, se da a conocer un método árabe, simple e innovador, diferente a los
que se habían trabajado en otras culturas, de tal forma que al partir de una ecuación
trigonométrica se llegaba a una ecuación cubica completa, que se iba aproximando a través de
unos residuos que se obtenían durante el proceso, aunque es un método laborioso, fue un gran
aporte de los árabes en el campo numérico, hasta el punto de despertar el interés de otros
80
matemáticos por cubrir las limitaciones que tenía. Se puede notar entonces, que se inicia una
extrapolación de los métodos de aproximación numérica a la solución de ecuaciones completas.
3.6 MÉTODOS DE APROXIMACIÓN EN EL RENACIMIENTO
Los primeros métodos exitosos para aproximar las raíces de ecuaciones completas fueron
aquellos que implican una doble falsa posición. El problema principal de estos procedimientos
tenía que ver con descubrir una forma práctica de encontrar valores intermedios que convergerán
a sus raíces. Durante el renacimiento surgen tres procesos que seguían esta línea.
La regla de los números medios de Chuquet
En 1484 apareció una obra titulada Triparty, escrita por Nicolás Chuquet, del cual no se sabe
mucho, solo que nació en París, se hizo bachiller en medicina y ejerció en Lyon. El Triparty era
poco conocido fuera de Francia. Sin embargo, un examen de los libros de texto de La Roche,
Petro Sánchez Ciruelo y otros escritores revela que tuvo una influencia considerable en Francia.
Fue una publicación muy importante debido a su nivel y a las ideas que se presentan, aunque no
se imprimió hasta 1880. No se parece a ninguna obra anterior sobre aritmética o álgebra, su
simbolismo y arreglo de trabajo estaban muy adelantados a su tiempo. En la teoría de ecuaciones
Chuquet tenía puntos de vista avanzados; reconoció las soluciones negativas e insinuó raíces
imaginarias, y dio una declaración definitiva para la ley de los signos. Se observa una evidente
influencia italiana, que se debe posiblemente a que este autor conocía bien el Liber abaci de
Leonardo.
En su Règle des nombres moyens declara, sin pruebas, que 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 se encuentra entre
𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑 ,
siendo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, números positivos. Además, si b y d tienen los mismos signos, las siguientes
diferencias tendrán el mismo signo:
𝑎
𝑏−
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑎𝑑+𝑐𝑏
𝑏(𝑏+𝑑) 𝑦
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑−
𝑐
𝑑=
𝑎𝑑+𝑐𝑏
𝑑(𝑏+𝑑)
81
El método es general, y es aplicado a ecuaciones completas e incompletas por igual. Un
entero 𝑎 se pone en forma fraccionaria 𝑎
1. Para las raíces racionales, la aproximación termina por
sí misma; para las raíces irracionales, el denominador que aumenta rápidamente asegura una
convergencia más rápida que la media aritmética que otros habían utilizado.
Un ejemplo de este proceso es el siguiente: para la solución de la ecuación 𝑥2 + 𝑥 = 3913
81 se
tiene que 𝑥 =5
1 es demasiado pequeño, mientras que 𝑥 =
6
1 es demasiado grande. Por lo tanto, el
primer significado es 5+6
1+1=
11
2 . Por sustitución esto resulta demasiado pequeño. Por lo tanto, los
nuevos límites son 11
2 y
6
1 , el nuevo significado medio
11+6
2+1=
17
3 . Este segundo significado es
demasiado pequeño. Los límites 17
3 y
6
1 dan el tercer significado
17+6
3+1=
23
4 . Esto también es
demasiado pequeño. Los límites 23
4 y
6
1 dan
23+6
4+1=
29
5 lo que también prueba que es grande.
Los límites 23
4 y
29
5 dan la media
23+29
4+5=
52
9 , y esto demuestra ser la raíz exacta (Nordgaard,
1922).
La Regla de oro de Cardano
En 1545 Jerónimo Cardano (1501-1576) publicó su obra Ars Magna, el primer tratado en
latín dedicado únicamente al álgebra. En este aparecen los métodos de resolución de las
ecuaciones cúbicas y cuárticas, se realizan cálculos con números complejos y se presenta un
método para la solución aproximada de ecuaciones de cualquier grado. Siendo este último, el
primer algoritmo para aproximar las raíces de ecuaciones de grados superiores que se imprimió y
se conoció públicamente. Dicho método aparece en el capítulo XXX de su Ars Magna, como
Regula aurea (regla de oro). Está construido sobre la base de dos posiciones falsas y un modo
particular de interpolación. Aunque en primera instancia, Cardano aplica la regla solo a las
ecuaciones de tercer y cuarto grado, como 𝑥4 + 3𝑥3 = 100, 𝑥2 + 20 = 10𝑥 , 𝑥3 = 6𝑥 + 20 y
𝑥4 + 6𝑥2 + 200 = 10𝑥3 + 12𝑥, se puede utilizar en ecuaciones de todos los grados.
82
A continuación se presenta la regla que usa Cardano de forma analítica moderna.
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑚, donde 𝑓(𝑥) es un polinomio ordenado en forma descendente. Y sea 𝑎 y
(𝑎 + 1) dos enteros positivos tales que 𝑓(𝑎) = 𝑚 − 𝑐 y 𝑓(𝑎 + 1) = 𝑚 + 𝑐′. Entonces la raíz 𝑥
se encuentra entre 𝑎 y 𝑎 + 1.
Como 𝑓(𝑎 + 1) > 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎), se tiene que 𝑓(𝑎 + 1) − 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) > 0 y en
consecuencia
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑎 + 1) − 𝑓(𝑎)=
𝑚 − (𝑚 − 𝑐)
(𝑚 + 𝑐′) − (𝑚 − 𝑐)=
𝑐
𝑐 + 𝑐′< 1
Escójase 𝑐
𝑐+𝑐′ como un valor aproximado de 𝑡. Entonces 𝑥 = 𝑎 +
𝑐
𝑐+𝑐′ .
La siguiente forma aditiva será 𝑓 (𝑎 +𝑐
𝑐+𝑐′) = 𝑚 − 𝑐′′. Colocando este nuevo valor aditivo en la
forma sustractiva se tiene que
𝑥 = (𝑎 + 1) − 𝑒 {(𝑎 + 1) − (𝑎 +𝑐
𝑐 + 𝑐′)} = 𝑎 + 1 −
𝑐′𝑒
𝑐 + 𝑐′
En la forma sustractiva 𝑒 es menor que la unidad. Para un valor aproximado, establezca
𝑒 = 𝑓(𝑎 + 1) − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑎 + 1) − 𝑓 (𝑎 +𝑐
𝑐 + 𝑐′)=
(𝑚 + 𝑐′) − 𝑚
(𝑚 + 𝑐) − (𝑚 − 𝑐′′)=
𝑐′
𝑐′ + 𝑐′′
Esto da la tercera aproximación 𝑥 = 𝑎 + 1 −𝑐′
𝑐+𝑐′ ∙
𝑐′
𝑐′+𝑐′′= 𝑦, por ejemplo. Según 𝑚 se
encuentra entre 𝑓(𝑦) y 𝑓(𝑎) o entre 𝑓(𝑦) y 𝑓(𝑎 + 1) uno debe, al continuar, usar el proceso
aditivo o sustractivo.
Su primer ejemplo ilustrativo es la solución de la ecuación 𝑥4 + 3𝑥3 = 100, cuya raíz encuentra
que es 22775
4697 .
83
La siguiente figura muestra su solución y arreglo:
Cardano concluye que si se repite el mismo proceso todavía se puede aproximar mejor el valor
de la incógnita.
El método de Stevin
Simon Stevin nació en Brujas en 1548. Fue un matemático que se destacó por sus estudios
sobre fracciones decimales publicados en 1585. Su método de resolución numérica de
ecuaciones apareció en un panfleto publicado en 1594 bajo el título Appendice Algébraique de
Simon Stevin, de Bruges, contenant regle générale de toutes équations. Stevin anticipó la forma
y el tratamiento analítico de Newton, así como la idea de Vieta de desarrollar los dígitos de la
raíz de una ecuación completa orden por orden.
Veamos como resuelve la ecuación 𝑥3 = 300𝑥 + 33915024.
Si 𝑥 = 1 , entonces 13 < 300 ∙ 1 + 33915024;
Si 𝑥 = 10 , entonces 103 < 300 ∙ 10 + 33925024;
Si 𝑥 = 100 , entonces 1003 < 300 ∙ 100 + 33915024;
Si 𝑥 = 1000 , entonces 10003 > 300 ∙ 1000 + 33915024.
Figura 2. Método realizado por Cardano (tomado de Nordgaard, 1922, p.21)
84
Stevin escribe la ecuación mediante términos proporcionales y trabaja con estas proporciones
para encontrar, una a una, las cifras de la solución (Herrero, Linero & Mellado; 2017). Este
matemático encuentra el número de cifras de la solución, calculando 𝑥 = 10𝑛, para 𝑛 = 0,1,2 …
De esta forma, llega a que 𝑥 se encuentra entre 100 y 1000, por lo tanto la solución tiene tres
cifras. Al intentar 𝑥 = 200, 𝑥 = 300, 𝑥 = 400, encuentra que la raíz esta entre 300 y 400. De
manera similar, al intentar 310, luego 320 y luego 330, deduce que 𝑥 se encuentra entre 320 y
330. Un procedimiento similar para las unidades da 324 como el valor exacto de la raíz.
Es preciso mencionar, que se puede utilizar este procedimiento para aproximar una raíz
irracional dentro de cualquier grado de precisión que se desee.
Por otro lado, a manera de resumen, durante esta época Pacioli y Bürgi extendieron el método
de Leonardo de encontrar raíces cúbicas, para hallar la solución de ecuaciones completas de
mayor grado.
Hasta este momento, se puede notar que la mayoría de los métodos que van surgiendo con el
transcurso del tiempo han seguido una misma línea, o una misma dirección de resolución, la cual
consiste en ir acercándose a la solución por dos lados, hasta ir acotando de cierto modo el
intervalo en el que se encuentra la raíz; cada uno con ciertas diferencias y similitudes en los
procesos lógicos que se llevan a cabo y que son de admirar por las implicaciones matemáticas a
las que pudieron llegar los creadores de estos procedimientos. La puesta en juego de estos
métodos podría haber llevado a la noción de continuidad de las ecuaciones polinómicas, al
teorema del valor medio o a la noción de densidad de los reales. Sin embargo, como se ha visto
hasta ahora, todos los métodos de aproximación hasta este momento, se han dado aproximando
digito a digito las raíces, teniendo como solución números enteros y fracciones o números
racionales, sin llegar a trabajar propiamente con números decimales, de tal manera que al
continuar con estos procedimientos se tendrían soluciones cada vez más precisas. Se continúa
entonces en el campo numérico de los racionales.
Recordemos que para esta época ya se realizaban cálculos de números según el sistema de
numeración posicional, gracias a las obras publicadas por Leonardo de Pisa. Algunos
85
matemáticos utilizaban tanto el sistema decimal como el sexagesimal, dependiendo de las
ventajas que le proporcionaba trabajar en determinado sistema, sin embargo el sistema decimal
predomino sobre el sexagesimal. Además al observar los métodos que surgieron para esta época,
se nota de nuevo, la insistencia en trabajar con números enteros y números racionales. También,
se empezó a desarrollar toda una teoría de ecuaciones, que enriqueció en gran parte el concepto
de número, ya que se introdujo los radicales y las operaciones entre ellos, ampliándose así las
posibilidades de resolución de ecuaciones.
Vale la pena mencionar, que en los procedimientos anteriores se puede apreciar el uso del
concepto de continuidad de la función polinómica y del Teorema del valor Medio, cuando para
este tiempo ni siquiera se contaba con una adecuada noción de función, mucho menos se conocía
este teorema.
3.7 PROCESOS DE APROXIMACIÓN MODERNOS
Durante esta época salen a relucir dos métodos de aproximación Numérica que tuvieron cierto
impacto en la comunidad matemática.
Franciscus Vieta
En el año 1600, Vieta (1540-1603) publicó su obra “De Numerosa Potestatum Purarum
atque Adfectarum ad Exegesin Resolutione Tractatus” dando paso a una nueva época en la
historia de la solución aproximada de ecuaciones. En ella se mostraba una forma sistemática y
concisa para obtener la solución, o una aproximación a ella, de cualquier ecuación polinómica,
encontrando por medio de un algoritmo, uno a uno, los dígitos sucesivos de la raíz. Este proceso
era una extensión del método hindú de encontrar raíces de grandes números, visto anteriormente,
el cual había sido utilizado durante mil años, aparecido en formas definidas durante cuatrocientos
años y había sido perfeccionado antes de que Vieta pensara en extenderlo para resolver
ecuaciones (Nordgaard, 1922).
86
Para el desarrollo de su método Vieta utiliza ecuaciones que tienen raíces racionales a su
conveniencia, sin embargo las raíces irracionales también se pueden aproximar después de
transformar la ecuación en una cuyas raíces son múltiplos decimales de las raíces de la ecuación
dada.
Veamos una ilustración del arreglo que hacia Vieta para la solución de la ecuación
𝑥3 + 30𝑥 = 14356197, el cual iba acompañado de unas tablas que facilitaban el seguimiento
del proceso.
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑘 para 𝑥3 + 30𝑥 = 14356197 ; donde 𝑥 = 243
Si 𝑥 = 𝑎 + 𝑏, entonces (𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3) + 30(𝑎 + 𝑏) = 14356197
Figura 3. Proceso realizado por Vieta (tomado de Nordgaard, 1922, p.26)
Este método se convirtió en la base del modo general de resolver ecuaciones durante gran
parte del siglo XVII. Matemáticos como Thomas Harriot (1560-1621), William Oughtred (1575-
1660), John Wallis (1616-1703), James Hume (fl. 1636), Pierre Hérigone (1580-1643), John
Pell (1611–1685) y François Dechales (1621–1678), entre otros, lo difundieron y mejoraron de
una forma u otra. Por su parte Harriot lo utiliza por primera vez en Inglaterra, modificándolo
Proponantur 1 C + 30 N, aequari 14356197
87
mediante el uso de ecuaciones canónicas en las que el segundo término es eliminado. Oughtred
(1631) y Wallis (1685) mejoraron el arreglo, pero por lo demás usaron el método de Vieta sin
modificar. Hume (1636), en Francia, utilizó solo la mayor parte del dividendo y de los divisores
necesarios para encontrar el siguiente digito de la raíz y el álgebra de Hérigone (1642) fue el
primer libro de texto francés en popularizar el método de Vieta en Francia (Nordgaard, 1922).
Por otro lado, también en su obra “De Numerosa Potestatum Purarum atque Adfectarum ad
Exegesin Resolutione Tractatus” Vieta da a conocer un método que es muy similar a lo que hoy
día se conoce como método de Horner, para la solución aproximada de ecuaciones.
Para resolver la ecuación 𝑥2 + 7𝑥 = 60750, por ejemplo, Vieta parte de una primera
aproximación inferior para 𝑥 dada por 𝑥1 = 200. Sustituyendo entonces 𝑥 = 200 + 𝑥2 en
la ecuación original se obtiene 𝑥22 + 407𝑥2 = 19350. Esta ecuación nos conduce a una
segunda aproximación 𝑥2 = 40, y sustituyendo ahora 𝑥2 = 40 + 𝑥3 se obtiene la
ecuación 𝑥32 + 487𝑥3 = 1470, de la que su raíz positiva es 3, luego 𝑥2 = 43 y 𝑥 = 243
(Boyer, 1999, p. 390).
Vieta también aplico este método a otras ecuaciones de grados más altos como
𝑥6 + 6000𝑥 = 191246976.
Tiempo después, Newton conocería su método a través del matemático holandés Frans van
Schooten quien realizo una edición de las obras de Vieta en 1664. Lo cual genera en Newton un
interés en la obtención de las raíces de una ecuación polinómica por aproximación, usando
procesos iterativos.
Isaac Newton
En el siglo XVII hubo un notable avance en la teoría de ecuaciones, en gran parte, debido a la
notación simbólica introducida por Vieta y que se fue mejorando con ayuda de otros
matemáticos. Harriot por ejemplo, permitió que la mente reconociera las relaciones que se ponen
en juego en una ecuación al expresarla en la forma 𝑎0𝑥𝑛−1 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝐾 = 0. Descartes
por su parte enuncio la ley de signos, la cual utilizo Harriot y fue mejorada por Newton, dando
un criterio efectivo para el número y la naturaleza de las raíces de una ecuación, sin dejar de lado
88
su invención de las coordenadas geométricas en 1637. Unos años más tarde Newton y Leibniz
hicieron importantes descubrimientos del cálculo diferencial que dio un gran impulso para
trabajar en la teoría de ecuaciones y en el cálculo numérico.
Isaac Newton (1642-1727) descubre una nueva aplicación de series, cuando busca encontrar
el área bajo las curvas por su método de fluxiones. De este modo, da origen a uno de los métodos
más famosos de resolver ecuaciones polinómicas de mayor grado mediante sucesivas
sustituciones de ecuaciones transformadas equivalentes. No es correcto decir que este proceso
fue una adaptación del método de Vieta, pues aunque el método de Newton incluye las ideas de
Vieta sobre el límite, la sustitución y el agotamiento, estos parecen inherentes a cualquier método
que no use la falsa doble posición. Aunque este tiene características similares al proceso de
aproximación que dio a conocer Chelebî en sus anotaciones y a la regla de Stevin.
Newton ilustra su método resolviendo la ecuación cúbica 𝑦3 − 2𝑦 − 5 = 0.
Figura 4. Arreglo realizado por Newton (tomado de Newton, 1711, p.24)
89
En primer lugar, comprueba que la solución está cerca de 𝑦 = 2 y que difiere en no más de
una décima de la raíz verdadera. Entonces sustituye 𝑦 = 2 + 𝑝, en la ecuación original,
obteniendo 𝑝3 + 6𝑝2 + 10𝑝 − 1 = 0. Como p es pequeño, elimina los términos 𝑝3 + 6𝑝2 de la
ecuación, menos los lineales, para llegar a 10𝑝 − 1 = 0. Eso es 𝑝 = 0.1, siendo 𝑦 = 2.1 la
primera aproximación de la raíz. Después toma 𝑝 = 0.1 + 𝑞, y sustituye el valor de p en la
ecuación anterior, obteniendo 𝑞3 + 6.3𝑞2 + 11.23𝑞 + 0.061 = 0. Elimina otra vez los términos
no lineales para llegar a 11.23𝑞 + 0.061 = 0. Obteniendo aproximadamente 𝑞 = −0.0054.
Luego 𝑦 = 2.0946 y así al continuar con este proceso se obtendrán varios valores 𝑞, 𝑟, 𝑠 etc.
Tales que 𝑦 = 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 + ⋯ ⋯. También se puede usar la parte cuadrática de la ecuación si
se duda de la precisión de los términos lineales, en tal caso se usa la raíz menor de la cuadrática.
Newton también aplicó este tipo de aproximación con ecuaciones literales, es decir con
ecuaciones cuyos coeficientes son letras.
La descripción de este proceso aparece en un manuscrito titulado De Analysi per aequationes
numero terminorum infinitas que Newton entrego a su mentor Isaac Barrow y a Collins en 1669.
Su método fue dado por primera vez al público en las ediciones de 1685 y 1693 del álgebra de
Wallis. El apelativo de Método de Newton llego aplicarse a todo este tipo de aproximaciones a
través de los escritos de Lagrange y Fourier.
El primer matemático en ampliar el nuevo método de aproximación de raíces por sustitución
en ecuaciones de series infinitas fue Joseph Raphson. Incluso podemos decir que él fue el
primero en expandirlo a un sistema. Fue él quien hizo del método de Newton una parte
integrante del álgebra moderna; porque con Newton era un accesorio para el cálculo. Raphson
(1690) sigue el ejemplo de Harriot y deriva formas canónicas para simplificar el cálculo. En su
procedimiento, solo se necesita una transformación y un divisor para cada ecuación.
Otro matemático que realizó una adaptación especial del método de newton fue Thomas
Fantet DeLagny (1660-1734) quien obtuvo aproximaciones notables en la solución de
ecuaciones numéricas y elaboró un complejo conjunto de tablas para la solución de estas.
Edmund Halley en 1664 generaliza esta adaptación hecha por DeLagny extendiéndola a la
solución de toda clase de ecuaciones. Halley realiza una tabla en donde da una formula general
90
para los coeficientes de las ecuaciones transformadas, lo que hace obsoletas las formas canónicas
de Raphson y las tablas de DeLagny.
Por otra parte, Taylor en 1717 descubre que los coeficientes de Halley son los mismos que los
coeficientes de la serie de Taylor, lo cual hace posible el uso directo del cálculo para encontrar
raíces.
Luego en 1740, Thomas Simpson utiliza por primera vez la formula diferencial lineal
𝑥 = 𝑎 −𝑓(𝑎)
𝑓′(𝑎) , en su ensayo A new method for the solution of equations in numbers. En 1798
recibe su forma convencional a través de los escritos de Lagrange. Es preciso recordar, que en
textos modernos el método newtoniano se encuentra establecido así: si 𝑓(𝑥) = 0 y 𝑎 es una
primera aproximación, entonces 𝑥 = 𝑎 −𝑓(𝑎)
𝑓′(𝑎) es una segunda aproximación.
Cabe agregar que entre 1685 y 1819 surgieron tres rivales potenciales del método de Newton:
i) el método de cascadas de Rolle en 1690; ii) el método de series recurrentes utilizado por
Daniel Bernoulli en 1728 y Euler en 1748 y 1770; y iii) el método de fracciones continuas de
Lagrange en 1767. Ninguno de estos métodos, aunque científicos y efectivos, se adoptaron
generalmente. Sin embargo, dieron lugar a subproductos que fueron incorporados por los
algebraicos en el método de Newton, entre estos se encuentran el teorema de Rolle para localizar
raíces y el método de Lagrange para encontrar las partes integrales de la raíz, así como su regla
para separar las raíces. El método de Newton fue supremo desde aproximadamente 1694 hasta
1819 (Nordgaard, 1922).
Hasta aquí se puede observar un gran avance en la teoría de ecuaciones debido en gran parte a
la notación simbólica introducida por Vieta, además de los aportes de matemáticos como
Cardano, Descartes y otros. Por otro lado, se observa un surgimiento de muchas técnicas y
métodos relacionados con la aparición del cálculo, el cual aportó en gran parte al hallazgo de las
raíces de las ecuaciones, siendo estos métodos muy bien estructurados, con un contenido
matemático muy riguroso. Para esta época, gracias a la obra de Descartes se empieza a
desarrollar investigaciones sobre las curvas y sus características, lo que trae consigo la aparición
91
del concepto de función y de variable; encontrándose una relación entre la física y la
matemática, pues los adelantos matemáticos provenían de los requerimientos de la física.
Como se ha podido observar, durante el devenir histórico han surgido diferentes métodos de
aproximación que han evolucionado, gracias a la ayuda de otros matemáticos que ya cuentan con
unas nociones más sólidas, lo que permite unas bases más fuertes de estos procesos, logrando
una generalización que le da potencia a su utilización. Un ejemplo claro de esto, es el método de
Vieta, el cual ya había sido utilizado siglos antes por los hindúes, pero solamente para la
aproximación de raíces cúbicas y cuadráticas de números racionales positivos. Vieta por su parte
lo generaliza a la resolución de ecuaciones de cualquier grado. Sin embargo, entre mayor sea el
grado de la ecuación, más complejo seria los procesos a realizar. También se puede observar
como Vieta se queda en una posición cómoda al trabajar solo con ecuaciones cuyas soluciones
son números racionales.
En cuanto a Newton, es el primero en trabajar con números decimales, de tal manera que deja
ver en su proceso una suma infinita de residuos, los cuales ayudan aproximar la raíz irracional
que se busca, entre más términos tenga la serie asociada a los residuos que se encuentran en este
proceso, más precisa será la respuesta. Es importante mencionar, que para esta época se puso en
auge el trabajo con sumas infinitas, por lo que Newton no fue ni el primero, ni el único en poner
en juego este concepto3. Este modo de trabajar, da cuenta del notable desarrollo del pensamiento
numérico por parte de estos matemáticos, al realizar procesos infinitesimales. Recordemos que
todos los matemáticos anteriores a Newton trabajaron con números enteros o racionales para el
cálculo de raíces, pero Newton por su parte realiza los cálculos con números decimales, lo que le
da un plus diferente a los demás, al haber un cambio de mentalidad con el trabajo de números,
por algo es el método que más ha predominado desde su invención. En este método, también se
puede observar como diferentes matemáticos intervienen en su arreglo, de tal manera que lo van
dotando cada vez más de nociones y artilugios matemáticos, que lo hace actualmente un método
muy eficaz para la aproximación de raíces de ecuaciones.
3 Newton se preocupó por la convergencia de las series pero no realizó un tratado sistemático de ellas.
92
3.8 MÉTODO DE HORNER
Llamado así en honor del maestro de escuela británico William George Horner (1786-1837),
quien lo describió en 1819. Se trata de un método que es utilizado para aproximar una raíz real
de una ecuación polinómica. Al igual que los métodos de Vieta y Newton, se trata de un proceso
de agotamiento. El algoritmo de Horner es muy similar a los métodos actuales para encontrar las
raíces cuadradas y cubicas. Esto no era nuevo, pues había sido el principio principal en el método
de Vieta. Pero la manera de Horner hacer esto, mediante la disminución gradual de las raíces en
una sucesión de ecuaciones transformadas, era nueva en Europa. Sin embargo, para el mundo
esto era viejo, pues se había conocido y utilizado en al menos tres centros matemáticos antes de
1819, en China, Japón e Italia. Cabe recordar, que en este documento ya se habló sobre su
aparición en los dos primeros centros; por lo tanto, solo resta por conocer sus orígenes en Italia.
En 1804 Paolo Ruffini (1765-1822), un matemático italiano, da a conocer una solución muy
similar al proceso de aproximación de los chinos, recibiendo una medalla de oro de la Sociedad
Científica Italiana para el mejor método de determinar las raíces de una ecuación numérica de
cualquier grado. Cinco disertaciones fueron presentadas en competencia y en 1804 la medalla fue
otorgada a este matemático (Cajori, 1911). Mediante el cálculo diferencial desarrolló una teoría
para transformar una ecuación en otra con raíces disminuidas por una cierta constante. En este
artículo, Ruffini hace una presentación clara del uso de la división sintética iterada para efectuar
una sustitución. El documento inicial de Budan de 1807 mostraba cómo encontrar los
coeficientes del polinomio 𝑃(𝑦 + 1) de los de 𝑃(𝑥) utilizando solo las adiciones. En 1813,
publicó el resultado general con un algoritmo equivalente al de Ruffini. El artículo de Horner de
1819 fue escrito en ignorancia de Ruffini, pero con conocimiento del artículo de Budan de 1807
(Smorynski, 2007).
En 1807 y 1813 escribe nuevamente sobre el tema, dando una exposición más simple del
método y explicando su aplicación a la extracción de raíces de números; esta vez utiliza procesos
algebraicos para el mismo fin; su disposición difiere de la de Horner en que los coeficientes de la
ecuación transformada aparecen en la columna de la extrema derecha, mientras que en la
disposición de Horner aparecen en una línea diagonal. Una solución única podría mostrar la
93
similitud del trabajo de Ruffini con el proceso de Horner y con el de los chinos. Sin embargo,
ambos alegan no conocer el trabajo del otro, ni el antiguo método chino.
A pesar de que Ruffini publicó primero este proceso que Horner, que aunque no era el mismo,
si era muy similar. El proceso de Ruffini paso desapercibido por su propia gente, pues se pensó
que se trataba del mismo método de Vieta repetido, y no hubo nadie para llevar el mensaje a
Inglaterra como había sucedió antes.
Más tarde, el artículo inicial de Horner, titulado A new method of solving numerical equations
of all orders, by continuous approximation, apareció en Philosophical Transactions de la Royal
Society of London, presentado por Davies Gilbert en 1819. Para el desarrollo de su teoría utiliza
el Teorema de Taylor y los derivados de Arbogast; y arregla sus resultados en una "Sinopsis
General" de forma muy similar a como Halley construyó su Espéculo analítico general. Así
mismo, su esquema se asemeja a la disposición de Wallis del proceso de Vieta y a la disposición
actual para encontrar la raíz cúbica; incluso divide la resolución en períodos. Las
Transformaciones que hace Horner, las obtiene por medio del cálculo, sin embargo señala, que
también se pueden usar procesos algebraicos para este propósito.
Por otro lado, el trabajo que realiza Horner en su artículo de 1819, es sustancialmente
diferente del algoritmo básico que se describe en los libros de texto sobre álgebra. Inclusive,
escribe este artículo en un estilo muy oscuro, pues para explicar su enfoque requería de
argumentos que no suministró. Igualmente, presentó argumentos de forma no consecutiva y su
documento tenia errores de impresión. Además, en sus ejemplos omite algunos detalles
aritméticos que lo hacen aún más complicado de entender.
En 1830 y 1845 hace revisiones de su procedimiento usando solo el álgebra, proporcionando
así una explicación más simple del proceso.
Cabe mencionar, que los artículos de 1819 y 1845 de Horner guardan ciertos paralelismos
interesantes con las publicaciones realizadas por Ruffini en 1804, 1807 y 1813, pues ambos
autores utilizan el diferencial del cálculo al exponer sus métodos en las primeras publicaciones,
94
Ruffini utiliza derivados comunes y Horner derivados de Alborgast. Mientras que, en sus
publicaciones posteriores ambos dan explicaciones simplificadas de sus métodos, dejando de
lado el cálculo y usando álgebra ordinaria.
Pero la controversia sobre el origen de este método sigue, pues se ha rastreado gracias a cartas
escritas por matemáticos contemporáneos, que en Inglaterra este método había sido publicado
antes por Theophilus Holdred, un relojero Londinense, más específicamente en 1820. Pues hay
teorías que dicen, que Horner había mencionado este procedimiento en 1819, pero solo es
descripto bien en 1830 (Fuller, 1999).
Al respecto, Peter Nicholson (1765-1844) un arquitecto, profesor de matemáticas y un gran
escritor de libros de textos, quien fuese otro rival ingles de Horner en los métodos avanzados de
aproximación, señala en un artículo publicado en 1818, que Holdred estaba trabajando en un
método original e ingenioso para extraer las raíces de las ecuaciones de una manera fácil y
precisa. Lo que confirma que Holdred estaba trabajando en el cálculo de raíces mucho antes de
que apareciera el artículo de Horner de 1819.
Luego, en 1820 Holdred y Nicholson se pelean y este último decide emitir su propia versión
de los algoritmos de Holdred y Horner, en forma de ensayo.
Otro matemático, al que le llamó la atención estos dos procesos fue John Radford Young, un
gran autodidacta, quien escribió 18 libros y más de 40 artículos. En su primer libro “An
Elementary Treatise on Algebra” proporciona el método básico de Holdred y habla sobre lo
impresionado que esta por la simplicidad de este proceso para resolver ecuaciones de altos
grados. También menciona el método de Horner de 1819 pero no intenta describirlo. Sin
embargo, en su siguiente libro, Theory and Solution of Algebraical Equations (1835) le da el
crédito por descubrir el algoritmo básico a Horner.
Así mismo, gracias Augustus De Morgan (1806-1871) el método básico de Holdred tuvo
éxito en Inglaterra. Sin embargo De Morgan se lo atribuyo a Horner, pues en 1839 el da una
historia del problema de extracción de raíces, en donde señala que una parte era publicada por
95
Holdred, con un suplemento, que era el mismo que Horner había impreso más de seis meses
antes. Luego en su artículo sobre Involución y evolución en Penny Cyclopaedia da una
explicación bastante clara de este método, adjudicándoselo nuevamente a Horner, pero esta vez
no menciona a Holdred.
A lo largo de los planteamientos hechos, es preciso mencionar que la popularización del
proceso de aproximación de Horner en Inglaterra (a diferencia del método de Ruffini y Holdred)
se debe en gran parte a sus defensores entusiastas J. R. Young y De Morgan, los cuales dieron
extractos y relatos del método en sus propias publicaciones, proporcionando de esta forma, una
amplia publicidad y extendiendo este proceso rápidamente en Inglaterra. De ahí se debe la
designación de este algoritmo como Método de Horner.
Cabe agregar, que si bien el estilo de Holdred era más claro que el de Horner, todavía tenía
algunas cuestiones que opacaban su trabajo. Mientras que Ruffini proporcionó su método con
una claridad y minuciosidad que no se superaron en la propia exposición de Horner de 1819. Por
otra parte ninguno de los tres indicó las fuentes básicas a partir de las cuales desarrollaron sus
ideas, ya que sus métodos pertenecen esencialmente a una línea de pensamiento que se remonta a
Franciscus Vieta y más allá, como se ha visto en el transcurso del documento.
Por otra parte, Thomas Fuller en su artículo Horner vs Holdred, publicado en 1999, concluye
que Horner fingió que el método básico se puede encontrar en su artículo de 1819, pero este no
es el caso, siendo capaz de hacer esta afirmación porque el documento estaba escrito de manera
tan oscura que pocas personas tuvieron la paciencia de estudiarlo a fondo.
Hoy en día este algoritmo es un fuerte rival para el método de Newton tanto en Inglaterra
como en los Estados Unidos. Es ampliamente utilizado, aunque menos que el método de
Newton, en Alemania, Austria e Italia. En Francia, el método de Newton ha tenido un dominio
indiscutible. El método de Horner, cuando se combina con los teoremas de Budan, Fourier y
Sturm, es efectivo, seguro y rápido.
96
Actualmente, este método es presentado en los libros de álgebra de la siguiente manera:
Sea 𝑝(𝑥) un polinomio cualquiera tal que.
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛
Donde 𝑎0,…., 𝑎𝑛 son los coeficientes del polinomio y pertenecen a los números reales, se
quiere evaluar el polinomio en un valor específico, sea 𝑥0 este valor.
Para este procedimiento, se define una nueva secuencia de constantes como veremos a
continuación:
𝑏𝑛 ≔ 𝑎𝑛
𝑏𝑛−1 ≔ 𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛𝑥0
⋮
𝑏0 ≔ 𝑎0 + 𝑏1𝑥0
Luego 𝑏0 es el valor de 𝑝(𝑥0)
Esto se ve mejor al escribir el polinomio de la siguiente forma
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑥(𝑎1 + 𝑥(𝑎2 + ⋯ 𝑥(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑥) ⋯ ))
Después, sustituyendo iteradamente la 𝑏𝑖 en la expresión,
𝑝(𝑥0) = 𝑎0 + 𝑥0(𝑎1 + 𝑥0(𝑎2 + ⋯ 𝑥0(𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛𝑥0) ⋯ ))
= 𝑎0 + 𝑥0(𝑎1 + 𝑥0(𝑎2 + ⋯ 𝑥0(𝑏𝑛−1) ⋯ ))
⋮
= 𝑎0 + 𝑥0(𝑏1)
= 𝑏0
Se puede ver a 𝑝(𝑥) como un polinomio en la variable (𝑥 − 𝑥0) así
𝑝(𝑥) = 𝑏𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛 + 𝑏𝑛−1(𝑥 − 𝑥0)𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏0
97
O sea, que el método evalúa el polinomio 𝑝(𝑥) en 𝑥 = 𝑥0 . Además, si resulta que
𝑝(𝑥0) = 𝑏0 = 0, se deduce que 𝑥0 es raíz de la ecuación polinómica 𝑝(𝑥) = 0 y que (𝑥 − 𝑥0)
es factor de 𝑝(𝑥).
Veamos ahora un ejemplo.
Evaluemos el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥3 − 7𝑥2 + 3𝑥 + 2 en 𝑥 = 3
Factorizamos a 𝑝(𝑥) de la siguiente manera.
𝑝(𝑥) = (((𝑥 + 5)𝑥 − 7)𝑥 + 3) 𝑥 + 2,
De esta forma podemos realizar los cálculos como se indican en la siguiente tabla
Puede verificar que 𝑝(3) = 164
Ahora, es o no, más viable que el estudiante realice estos procesos mentalmente, a que efectúe
los que comúnmente se enseñan en los colegios.
𝑝(3) = (3)4 + 5(3)3 − 7(3)2 + 3(3) + 2
Si fuera el caso, que el estudiante acudiera a la calculadora, con la factorización del método de
Horner tendría que oprimir mucho menos veces las teclas, que cuando utiliza el procedimiento
normal. Cabe aclarar, que esto funciona para la mayoría de ecuaciones, aunque en algunos casos,
no es tan útil este tipo de factorización, por ejemplo para ecuaciones de grado dos. De esta
manera el método nos sirve la mayoría de veces, para evaluar el polinomio dado en determinado
valor, de una forma más económica, permitiendo ahorrar muchos cálculos tediosos.
98
Si continuamos con el proceso se puede expresar 𝑝(𝑥) como un polinomio en la variable "𝑥 − 3"
Teniendo como resultado 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 3)4 + 17(𝑥 − 3)3 + 92(𝑥 − 3)2 + 204(𝑥 − 3) + 164
Después de ver estas dos características del Método de Horner, se puede hablar de otra aún más
importante, que permite hallar raíces de ecuaciones polinómicas por aproximación.
Se considera un intervalo [𝑎, 𝑏] donde la función 𝑝(𝑥) cambia de signo, es decir
“𝑝(𝑎) ∙ 𝑝(𝑏) < 0” y a partir de estos dos extremos del intervalo, se puede ir aproximando la
raíz de la ecuación polinómica, como se muestra a continuación:
Sea 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 9𝑥2 + 11𝑥 − 20
Al evaluar la función, realizando el menor número de operaciones posibles, se tiene que nuestra
posible raíz se encuentra entre el intervalo [1,2]4.
𝑝(𝑥) = (((𝑥 + 3)𝑥 − 9)𝑥 + 11) 𝑥 − 20
4 Ver la propuesta de aula, en donde se pone en juego la forma en que los estudiantes pueden encontrar este
intervalo, aprovechando el ámbito de lo numérico como espacio ya conocido por los estudiantes.
99
Ahora utilicemos el algoritmo de Horner para aproximarnos más a la raíz.
Esto permite escribir 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)4 + 7(𝑥 − 1)3 + 6(𝑥 − 1)2 + 6(𝑥 − 1) − 14
Haciendo 𝑡 = 𝑥 − 1, se tiene.
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑡) = 𝑡4 + 7𝑡3 + 6𝑡2 + 6𝑡 − 14
Se vuelve a aplicar el algoritmo de Horner a este polinomio evaluándolo en 0.8 y 0.9
Haciendo 𝑢 = 𝑡 − 0.8 se tiene.
𝑞(𝑡) = 𝑟(𝑢) = 𝑢4 + 10.2𝑢3 + 26.64𝑢2 + 31.088𝑢 − 1.3664
A este tercer polinomio lo evaluamos en 0.04 y en 0.05
100
De las figuras anteriores se tienen los siguientes datos:
𝑡 = 𝑥 − 1 , 𝑢 = 𝑡 − 0.8 , 𝑢 = 0.04
De donde se puede inferir que
𝑥 = 𝑡 + 1 y 𝑡 = 𝑢 + 0.8
Luego
𝑥 = 𝑢 + 0.8 + 1 → 𝑥 = 0.04 + 0.8 + 1 → 𝑥 = 1.845
Esto es central en este trabajo, ya que probablemente el estudiante comprenda el significado
de la solución de una ecuación; de lo que representa la raíz de esa ecuación; de cómo está
estructurada estas relaciones de equivalencia; el significado de variable, incógnita, constante;
entre otros aspectos relativos a la solución de ecuaciones. Todo esto, gracias a los pasos lógicos
que conlleva este método. Es evidente que si el profesor consigue que los estudiantes reflexionen
sobre esta secuencia de procedimientos, habrá un adelanto formidable en el concepto de ecuación
para los alumnos.
Analizando las dos últimas figuras, se puede establecer qué 𝑞(𝑡) tiene una raíz entre 0.8 y 0.9;
asimismo se puede afirmar que 𝑟(𝑢) tiene una raíz entre 0.04 y 0.05, de donde se tiene que 𝑝(𝑥)
tiene una raíz entre 1.84 y 1.85. Así se podría continuar, para acercarse cada vez más a la raíz de
la ecuación en cuestión.
Realización del ejemplo dado en el chiu chang con el método de horner actual:
Para resolver por el método de Horner el ejemplo que se presentó en el Chiu Chang, se tiene la
ecuación 𝑥3 = 1860867.
5 La ecuación polinómica tiene 4 raíces, de las cuales dos son números complejos y las otras dos son 𝑥1 = 1.843 y
𝑥2 = −5.25. Se elige la primera como ejemplo, porque normalmente los estudiantes tienden a probar los números naturales como posibles soluciones de las ecuaciones. Sin embargo con el método de Horner se pueden hallar estas dos raíces reales.
101
Primera Fase
Sea 𝑥 = 100𝑥1, entonces 1000000𝑥13 = 1860867
Si 𝑓(𝑥1) representa 1000000𝑥13 = 1860867, entonces:
𝑓(1) = −860867
𝑓(2) = 6139133
Por lo tanto, hay un valor de 𝑥1 entre 1 y 2 que satisface la ecuación 𝑓(𝑥1) = 0 .
Ahora se debe encontrar una ecuación transformada 𝑓(𝑥𝑎) = 0, cuyas raíces son menores que las
de la ecuación anterior.
El proceso es el siguiente:
La nueva ecuación es:
1000000𝑥𝑎3 + 3000000𝑥𝑎
2 + 3000000𝑥𝑎 = 860867
Se busca ahora una segunda ecuación transformada 𝑓(𝑥2) = 0, cuyas raíces sean una décima
parte que las de la ecuación anterior.
1000000 (𝑥𝑎
10)
3
+ 3000000 (𝑥𝑎
10)
2
+ 3000000 (𝑥𝑎
10) = 860867
Luego la ecuación es:
1000𝑥23 + 30000𝑥2
2 + 3000000𝑥2 = 860867
Segunda Fase
Para encontrar 𝑥2 se deben realizar los siguientes ensayos:
𝑓(1) = −529867
𝑓(2) = −132867
102
Así se tiene que 𝑥2 se encuentra entre 2 y 3. Entonces hay un valor 𝑥1 entre 1.2 y 1.3 que
satisface la ecuación 𝑓(𝑥1) = 0.
Ahora se debe encontrar una tercera ecuación transformada 𝑓(𝑥𝑏) = 0, cuyas raíces sean 2
menos que las de la ecuación anterior.
El proceso es el siguiente:
La nueva ecuación es:
1000𝑥𝑏3 + 36000𝑥𝑏
2 + 432000𝑥𝑏 = 132867
Se busca ahora una cuarta ecuación transformada 𝑓(𝑥3) = 0, cuyas raíces sean una décima parte
que las de la ecuación anterior.
1000 (𝑥𝑏
10)
3
+ 36000 (𝑥𝑏
10)
2
+ 432000 (𝑥𝑏
10) = 132867
Luego la ecuación es:
𝑥33 + 360𝑥3
2 + 43200𝑥3 = 132867
Tercer Fase
Los ensayos ahora deben realizarse en esta última ecuación, de manera similar a los realizados
anteriormente.
Al intentar con 3 se tiene que:
𝑓(3) = 336133
103
Así se obtiene 𝑥3 = 3. De esta manera se encuentra que la raíz 𝑥1 que satisface la ecuación
1000000𝑥13 = 1860867 es 1.23
Como 𝑥 = 100𝑥1, entonces 𝑥 = 123
En efecto, se pueden observar similitudes entre el método antiguo Chino y el método de
Horner actual, a pesar de que se llevan muchos siglos de diferencia.
Como se ha podido observar en el desarrollo de este documento, existen diferentes métodos
que han evolucionado con la ayuda de diferentes matemáticos que se han esforzado por dotarlos
de unas basas más sólidas. Otro ejemplo claro de esto, es el método de Horner, el cual fue
utilizado por: matemáticos chinos, Leonardo de pisa, Vieta, entre otros. Sin embargo, continúa la
controversia sobre su origen, al no saber a ciencia cierta, si Ruffini, Horner y Holdred conocían
el antiguo método chino.
Para este tiempo había un gran desarrollo del cálculo, saliendo a flote muchas teorías de las
matemáticas modernas, lo que les permitió a Ruffini, Horner y Holdred llegar a un mayor grado
de generalización que los demás, hasta el punto de formular procesos rigurosos y complejos que
tuvieron que ser estudiados con mayor detenimiento por otros matemáticos. Hoy en día este
método, es un proceso simple, adecuado y fácil de entender, gracias a los diferentes aportes de
otros matemáticos que han influido en su estructuración. Recordemos que para este tiempo, ya
Bolzano y Cauchy habían presentado una formulación rigurosa del concepto de función
continua. Por otro lado, Bolzano en 1817 demostró su teorema, presentando unos resultados que
permitían conocer si en determinado intervalo se encontraba una raíz de la ecuación polinómica.
104
CAPÍTULO 4
EL MÉTODO DE HORNER EN LA ESCUELA
Como ya se ha mencionado en este trabajo, una de las dificultades que tienen los estudiantes en
el álgebra, está relacionada con la resolución de ecuaciones, debido a que los estudiantes no
tienen una idea clara de lo que es la ecuación, su estructura y lo que significa su solución, por lo
que al enfrentarse a estos objetos matemáticos realizan una serie de procesos algebraicos,
mecánicos, rutinarios y memorísticos, desprovistos de todo sentido. Es por este motivo, que se
hace necesario una forma diferente de abarcar este concepto, en donde se empleen estrategias
que le permitan al estudiante reforzar sus ideas sobre este concepto.
Sobre la base de las consideraciones anteriores, la introducción del método de Horner en la
escuela, le proporcionaría al estudiante una mirada diferente de este objeto matemático, que
posiblemente le ayude a darle sentido a su forma de proceder. Además, por medio de este
método los estudiantes pueden hallar las raíces aproximadas de ecuaciones polinómicas muy
complejas solo utilizando las operaciones más simples de la aritmética. Por otro lado, sería muy
beneficioso para los estudiantes, entender la secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que
se deben realizar para su implementación, lo cual le permitiría un desarrollo del pensamiento
matemático y ampliaría su pericia para enfrentar determinados problemas matemáticos. De
acuerdo a lo expuesto, en este apartado se presenta todo lo referente al diseño de una propuesta
de aula, en la que se pone en juego la utilización del método de Horner para la aproximación de
las raíces reales de una ecuación polinómica.
4.1 SOBRE LA PROPUESTA DE AULA
La propuesta de aula que aquí se propone para la enseñanza y aprendizaje de procesos de
aproximación a las raíces reales de una ecuación polinómica, surge como resultado de la puesta
en juego de tres referentes teóricos para su construcción: una perspectiva histórica, curricular, y
didáctica. A continuación se presenta un esquema que permite conocer algunos elementos que se
tomaron en cuenta para su realización.
105
Figura 5. Referentes de la propuesta de aula
PROPUESTA DE AULA
HISTÓRICO
• Trabajo con ecuaciones desde una perspectiva numérica.
• Las raíces enésimas de un número para la introdución de ecuaciones.
• La solución de problemas especificos como escenarios para el uso de aproximaciones.
• El continuo numérico a traves de las aproximaciones de las raíces de una ecuación.
• Otras estrategías para la aprehensión del concepto de ecuación y sus soluciones.
• El privilegio de tres estructuras: ecuaciones numéricas ( 𝑥𝑛 = 𝑘 ), ecuaciones incompletas ( 𝑥3 + 𝑎𝑥 = 𝑏 ) y ecuaciones completas.
CURRRICULAR
• Desarrollo del pensamiento variacional y el pensamiento numérico, reconocidos por el MEN como conocimientos bàsicos.
• Los sistemas algebraicos y analíticos son importantes para el desarrollo del pensamiento variacional.
• Las aproximaciones numéricas estan ligadas a fenomenos de variación y cambio, debido a que estos procesos se realizan a través de algoritmos iterativos, los cuales promueven en el aprendiz actitudes de observación, registro y uso del lenguaje matemático
• Las aproximaciones numéricas ayudan a comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas.
• Es importante ir construyendo la variación numérica continua en los estudiantes.
• Los métodos de aproximación hacen énfasis en aspectos del pensamiento numérico, tales como la descomposición y la recomposición, y la comprensión de propiedades numéricas.
• La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos es uno de los procesos generales que se deben poner en juego en el aprendizaje del estudiante.
• Es importante que los estudiantes puedan seguir instrucciones.
• Es importante que los estudiantes tomen conciencia de las propiedades que les permiten transformar expresiones en otras más simples.
• Es importante trabajar con los estudiantes el continuo numérico, procesos infinitos y aproximaciones sucesivas.
• La inserción de un problema en un contexto, le da sentido a las matemáticas que el estudiante aprende.
• El desarrollo de competencias matemáticas superando niveles de complejidad creciente, propuestas por el MEN.
DIDÁCTICO
• Determinación de un contexto.
• Determinación de diferentes dificultades en la resolución de ecuaciones.
• Errores comunes en el tratamiento de las ecuaciones.
• Uso de la historia para la implementación de actividades de aprendizaje en el aula
106
Estos elementos surgen a raíz de un estudio que se realiza a estos tres referentes teóricos para
encontrar insumos para la propuesta de aula. En primer lugar se tuvieron en cuenta diferentes
investigaciones sobre didáctica del álgebra, reportadas en la problemática, que dan a conocer
múltiples dificultades que tienen los estudiantes cuando tratan con ecuaciones polinómicas.
Igualmente, se hizo un análisis de los tres documentos que actualmente rigen el sistema
educativo colombiano (Lineamientos curriculares para matemáticas, Estándares básicos de
competencias en matemáticas y los Derechos básicos de aprendizaje en matemáticas) con el fin
de que nos brindaran un panorama curricular para su construcción. Además, se realiza un estudio
histórico-epistemológico sobre el método de Horner y algunos métodos de aproximación
numérica que surgieron antes de su publicación. Al conjugar los elementos aportados por cada
referente se pudo realizar la propuesta de aula.
Por otro lado, la propuesta se compone de tres situaciones problema, que surgen a partir del
estudio histórico del método de horner y en el sentido de contemplar los contextos de menor a
mayor medida, tal cual como lo dice el MEN (1998), en donde cada situación cuenta con tres
tareas específicas con un propósito en particular, las cuales a su vez se configuran por un número
de consignas que deben ir desarrollando los estudiantes. En la Tabla 3 se muestran estas
especificidades de la propuesta de aula.
Tabla 3. Estructura general de la propuesta de aula
Situación Tarea Propósito # de preguntas
Situación 1:
Introducción a las
aproximaciones
numéricas
Tarea 1 Comprender la situación 5
Tarea 2 Reconocer aproximaciones numéricas 6
Tarea 3 Desarrollar más aproximaciones 3
Situación 2:
Aplicación de
aproximaciones a
ecuaciones
incompletas
Tarea 1 Comprender la situación 3
Tarea 2 Extender el uso de aproximaciones 5
Tarea 3 Generalizar los métodos de aproximación 7
Situación 3:
Aplicación de
aproximaciones a
ecuaciones
completas por
medio del Método
de Horner
Tarea 1 Comprender el método de Horner 10
Tarea 2 Aplicar todo lo desarrollado anteriormente 6
Tarea 3 Encontrar relaciones y generalidades 5
107
4.1.1 Diseño
En cuanto al diseño de la propuesta, como se dijo anteriormente, está dividida en tres
situaciones problema, las cuales surgen a raíz del estudio histórico sobre los métodos de
aproximación numérica. Gracias a este estudio, se pudo notar que las raíces enésimas de números
se pueden introducir como formas simples de ver las diferentes ecuaciones polinómicas, es por
este motivo que en la primer situación de la propuesta, los estudiantes empiezan adentrarse a la
resolución de ecuaciones a través de estas expresiones algebraicas, pues según la historia, el
trabajo con raíces de números fue lo que desencadeno las primeras aproximaciones, que con el
tiempo se fueron extendiendo al trabajo con ecuaciones incompletas, es decir ecuaciones que
carecen de algún termino en su estructura formal, para finalmente ser utilizadas en la resolución
de ecuaciones completas. De esta forma se privilegian tres estructuras algebraicas (raíces de
números, ecuaciones incompletas, ecuaciones completas) para que los estudiantes se adentren en
la resolución de ecuaciones mediante aproximaciones, cada una trabajada como una situación
específica en la propuesta, en donde el nivel de complejidad va aumentando a medida que el
estudiante va pasando por las tres situaciones, es preciso mencionar que las dos primeras le
proveen al estudiante de nociones que le ayudaran a enfrentarse satisfactoriamente a la situación
que le sigue. Es decir, que cada situación se propone dentro de un contexto que va de menor a
mayor grado de complejidad, como lo aconseja el MEN (1998).
En este mismo orden de ideas, el estudio histórico permitió observar que los conjuntos
numéricos trabajados en la mayoría de los periodos o de las épocas son los números enteros y
racionales, que en ningún momento se aproximan las raíces de ecuaciones a través de otra
representación numérica hasta finales del siglo XVII, en donde Newton da a conocer su método
de aproximación, utilizando números decimales, lo cual pudo generar un crecimiento notario en
el trabajo con aproximaciones numéricas, pues a partir de este matemático se empiezan a
presentar toda una gama de métodos mucho más estructuralizados con mucho contenido
matemático, entre ellos, el método de Horner. Lo cual se ha utilizado en la propuesta de aula, en
el sentido en que los estudiantes inician aproximando las raíces de las ecuaciones en las dos
primeras situaciones a partir de números enteros y números racionales, para llegar finalmente a
la tercera situación en donde por medio del método de Horner, los estudiantes van obteniendo
108
dígito a dígito las soluciones de las ecuaciones a partir de su trabajo con números enteros y
decimales, esperándose que de esta forma los estudiantes puedan obtener una noción intuitiva de
los números irracionales, esto se quiere lograr con las preguntas 2, 3 y 6 de la tercer tarea de esta
situación. Además la historia muestra que esta forma de proceder propicio el arraigo de nociones
importantes para la aproximación de las raíces de las ecuaciones polinómicas.
Por otro lado, en las tres situaciones se le pide al estudiante construir igualdades numéricas y
algebraicas como representación de relaciones entre distintos datos, siendo esta una de las
competencias que deben desarrollar los estudiantes en su trabajo con ecuaciones polinómicas
(MEN, 1998). También en la situación 3, se lleva al estudiante a construir expresiones
algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada, en este caso, que el estudiante genere
una ecuación equivalente a otra ecuación, de tal forma que le permita seguir aproximándose a la
solución de la ecuación original. Esto obedece a la coherencia vertical planteada por el MEN
(1998) y que se presentó anteriormente (ver figura 1).
Cabe agregar, que a partir del trabajo con procesos de aproximación se pueden ir tejiendo
nociones intuitivas de la densidad de los números racionales y reales, y la continuidad de la recta
numérica, conceptos que aportaron enormemente al desarrollo de la teoría de ecuaciones.
Recordando que una de las dificultades que tienen los estudiantes en la resolución de ecuaciones,
está arraigada a la naturaleza del número. De acuerdo a esto, las preguntas 5 (situación 2, tarea
2), 5 y 7 (situación 2, tarea 3), 2 y 6 (situación 3, tarea 3) se realizan con el fin de generar
razonamientos que giren en torno a estas nociones.
A continuación se presenta en la tabla 4 las expectativas de desempeños asociados a cada una
de las tareas que se espera que los estudiantes logren desarrollar, asimismo se detalla el
contenido matemático de cada una de estas tareas que componen la propuesta.
109
Tabla 4. Contenidos matemáticos y desempeños asociados a cada tarea de la propuesta
Propuesta de Aula Contenidos Matemáticos Desempeños
Situación 1
Tarea
1 Relación de dependencia, Raíces de
números.
Usar información: recoger, organizar, mostrar o usar información cuantitativa para responder a las
preguntas y resolver los problemas.
Verificar: determinar lo correcto de un resultado de un proceso de solución de un problema.
Justificar y probar: proveer evidencia de la validez de una acción o una verdad de una oración
apelando a resultados y propiedades matemáticas o apelando a la lógica.
Tarea
2
Aproximaciones numéricas, Relación
de dependencia, Magnitudes, Patrones
de variación
Justificar y probar: identificar la información relevante para verificar o desaprobar una conjetura.
Calcular sin la ayuda de un dispositivo computacional usando un algoritmo o un procedimiento
conocido.
Estimar: llegar a una respuesta aproximada o estimada de una pregunta, o realizar uno o más pasos
para ayudar en el proceso.
Resolver: ejecutar una estrategia de solución.
Tarea
3
Naturaleza de los números,
Aproximaciones numéricas, Patrones de
variación.
Estimar: llegar a una respuesta aproximada o estimada de una pregunta.
Resolver: ejecutar una estrategia de solución.
Comparar: comparar y contrastar dos elementos matemáticos incluyendo los objetos matemáticos,
cantidades, modelos, representaciones, etc.
Situación 2
Tarea
1 Ecuaciones simples, Aproximaciones.
Usar información: recoger, organizar, mostrar o usar información cuantitativa.
Relacionar representaciones: Expresar una relación entre cantidades utilizando una oración
abierta, una ecuación, etc.
Tarea
2
Ecuación simple, Aproximaciones,
Relación de dependencia, Tabla de
datos, Magnitudes, Patrones de
variación,
Resolver: ejecutar una estrategia de solución.
Estimar: llegar a una respuesta aproximada o estimada de una pregunta.
Desarrollar algoritmos: Identificar una clase de problemas para la cual un procedimiento formal de
solución es apropiado.
Tarea
3
Ecuación simple, Ecuación equivalente,
Aproximaciones, Densidad de los
números, Métodos intuitivos,
Magnitudes, Relación de dependencia,
Patrones de variación.
Estimar: llegar a una respuesta aproximada o estimada de una pregunta.
Desarrollar estrategias: seleccionar o desarrollar una estrategia para solucionar problemas,
informando los resultados.
Generalizar: extender el dominio hacia el cual un resultado matemático es aplicable,
restableciendo aspectos del resultado en forma más general.
Situación 3
Tarea
1
Ecuaciones polinómicas, Factorización,
Aproximaciones, Ecuación equivalente,
Variables, Cambio de variable,
Verificar: verificar lo correcto de una solución.
Transformar: transformar por manipulación algébrica.
Reconocer equivalentes: Seleccionar o construir objetos matemáticamente equivalentes.
Tarea
2
Ecuaciones polinómicas,
Aproximaciones, Factorización,
Ecuación equivalente, Variables,
Cambio de variable, Sustitución.
Justificar y probar: identificar la información relevante para verificar o desaprobar una conjetura.
Estimar: llegar a una respuesta aproximada o estimada de una pregunta.
Transformar: transformar por manipulación algébrica.
Reconocer equivalentes: Seleccionar o construir objetos matemáticamente equivalentes.
Tarea
3
Densidad de los números reales,
Aproximaciones sucesivas, Procesos
infinitos.
Estimar: llegar a una respuesta aproximada o estimada de una pregunta.
Desarrollar algoritmos: Describir las características de un algoritmo formal.
Generalizar: extender el dominio hacia el cual un resultado matemático es aplicable.
110
4.1.2 La Propuesta de Aula
El propósito de la propuesta de aula es movilizar algunos aspectos relacionados con el concepto
de ecuaciones polinómicas desde la aproximación de sus soluciones, en estudiantes de décimo
grado de la educación media. Para su desarrollo se requiere de dos secciones de trabajo de dos
horas con los estudiantes.
Situación 1: Aproximaciones numéricas.
Tarea 1: Comprendiendo la situación
1. Escribe la forma de calcular el volumen de una caja.
2. Es posible que la longitud de uno de los lados de la caja fuerte, sea un número entero.
Explica tu respuesta.
3. Un estudiante dice que la longitud de uno de los lados de la caja fuerte, debe estar entre 6dm y
7dm para tener un volumen de 416 𝑑𝑚3. Comprueba la validez o no de esta afirmación.
4. Cuál es la Fórmula que representa este problema.
5. Escribe dos posibles longitudes, cuyas cantidades sean números enteros, de tal forma que la
longitud de uno de los lados de la caja fuerte, se encuentre entre estas dos longitudes.
Tarea 2: Reconozco aproximaciones
1. David afirma que si tengo dos números enteros 𝑎 y 𝑏, su media aritmética 𝑎+𝑏
2, será un
número racional que se encuentra entre 𝑎 y 𝑏 ¿Esto es cierto? Explica tu respuesta.
2. Teniendo en cuenta los dos números hallados en el punto 5 de la tarea 1, encuentra un número
racional que esté entre estos dos números.
Construcción de una caja fuerte
Un banco le encarga la construcción de una caja fuerte a un
ingeniero, de tal forma que tenga un volumen de 416 𝑑𝑚3,
con la condición de que todos los lados de la caja fuerte
sean iguales.
¿Cuál debe ser la longitud de uno de los lados de la caja?
111
3. ¿Es cierto que el número racional hallado anteriormente está más cercano al número que
representa la longitud de uno de los lados de la caja fuerte? Justifica tu respuesta.
4. Encuentra la media aritmética entre el número racional hallado y el siete; y luego la media
aritmética entre el número racional y el ocho ¿Cuál de los valores hallados se acerca más a la
longitud de uno de los lados de la caja fuerte? Explica tu respuesta.
5. Según lo anterior, explica cómo nos podemos ir aproximando a la longitud deseada.
6. Laura obtiene una aproximación de 416.6235046𝑑𝑚3 para el volumen de la caja fuerte con
cierta longitud, realiza los cálculos que tuvo que hacer Laura para llegar a este valor y
menciona el número que representa dicha longitud. (Sugerencia: efectúa los cálculos de la
media aritmética con números racionales).
Tarea 3: Desarrollo más aproximaciones
1. Andrea dice conocer otro método por el cual aproximar el lado de la caja fuerte. Ella dice que
si se tienen dos números racionales 𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑, siendo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, números enteros positivos, el
número de la forma 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 se encuentra entre ellos dos ¿Es cierto esto? Explica tu respuesta.
2. Un estudiante dice que no se podría empezar la aproximación con los números 7 y 8 ya que
ellos no son racionales, lo cual es falso. Explica con tus palabras porque lo es, y pon estos
números en la forma 𝑝
𝑞.
3. Encuentra por este método una aproximación más precisa que la encontrada anteriormente por
el método de la media aritmética. Anota los procedimientos y menciona por cual método se
aproxima más fácilmente la solución que se desea.
Sabías que este método fue utilizado por la civilización babilónica (alrededor del 2000 a.C.), para
aproximar el valor de √2. Se le conoce como el método de la media aritmética.
Sabías que este último método de aproximación fue inventado por el matemático Nicolás Chuquet
en 1484 para aproximar las soluciones de ecuaciones polinómicas. Se le conoce como la Regla de
los números medios.
112
Situación 2: Aproximaciones a ecuaciones simples.
El banco quedo contento con el trabajo realizado por el ingeniero, por lo que le encarga la
construcción de otra caja fuerte, pero esta vez, debe tener una base cuadrada y la altura debe ser
igual a uno de los lados de la base aumentado en 1 𝑑𝑚. Con un volumen de 4046 𝑑𝑚3. ¿Cuál es
la dimensión de uno de los lados de la base de la caja fuerte?
Tarea 1: Comprendiendo la situación
1. Realiza un dibujo de la caja fuerte con sus dimensiones.
2. Cuál es la ecuación que modela este problema.
3. Se puede utilizar cualquiera de los dos métodos anteriores para aproximar la solución de esta
ecuación. Explica tu respuesta.
Tarea 2: Extensión de las aproximaciones
1. Escribe dos números enteros consecutivos entre los cuales se encuentre la solución de la
ecuación anterior.
2. Elige uno de los métodos anteriores para empezar a aproximar la solución de la ecuación y
menciona porque lo escogiste.
3. Con el método que escogiste, halla dos números racionales que estén entre los dos números
enteros iniciales y cuya solución de la ecuación se encuentre entre ellos. Anota el proceso y
explica porque la solución de la ecuación se encuentra entre estos dos números racionales.
4. Maira encuentra una aproximación de la longitud de uno de los lados de la base de la caja
fuerte, de tal manera que se obtiene un volumen de 4046,399441 𝑑𝑚3. Con el método que
usaste, llega a una mejor aproximación de la longitud que se busca, de tal manera que el
volumen que se obtenga sea más preciso que el encontrado por Maira.
5. Realiza una tabla donde presentes los posibles valores de la longitud buscada y el volumen
que se forma para cada valor (escribe todos los valores en números decimales), explica que
puedes observar de estos datos y del método que elegiste.
113
Tarea 3: Generalizando
2. Un estudiante se le ha olvidado la formula cuadrática para resolver la ecuación anterior, por lo
que decide realizar aproximaciones para llegar a la solución. Él dice que ha encontrado dos
números tales que al reemplazarlos en la ecuación, obtiene un número positivo y otro
negativo. Por lo que afirma que entre estos dos números se encuentre la solución ¿Es esto
válido? Explica tu respuesta.
3. Escriba dos números enteros entre los cuales se encuentra la solución de la ecuación y explica
como los hallaste.
4. Utiliza el método de aproximación de Nicolás Chuquet para llegar a la longitud que hace que
el rectángulo tenga un área de 3913
81 𝑐𝑚2.
5. Halla una solución positiva de la ecuación 5𝑥2 − 47𝑥 − 186 = 0, evaluando en distintos
valores de 𝑥.
6. ¿Se puede resolver cualquier ecuación polinómica por los métodos de aproximación? Explica
tu respuesta.
7. ¿Es posible que utilizando algunos de los métodos anteriores, llegue a un punto en el cuál no
pueda encontrar ningún número racional que se encuentre entre dos números racionales?
Explica tu respuesta.
Situación 3: Método de Horner
Un economista tiene la siguiente función de utilidad 𝑓(𝑥) = 523𝑥2 − 2285𝑥 + 3740, la cual
muestra los gastos anuales de la empresa, el dinero recibido por sus accionistas, las compras
realizadas, los gastos de la empresa y el incremento sobre el capital, donde 𝑥 representa el
número de productos vendidos en el mes. A partir de esta función desea conocer para cuantos
artículos hay una ganancia neta para la empresa, para lo cual necesita resolver la ecuación
1. Se desea conocer uno de los lados de un rectángulo cuya área es
de 3913
81 𝑐𝑚2. Laura afirma que ella puede conocer el valor de
este lado al resolver la ecuación 𝑥2 + 𝑥 − 3913
81= 0 ¿Es
posible esto? Explica tu respuesta.
114
polinómica de cuarto grado 2𝑥4 − 53𝑥3 + 523𝑥2 − 2285𝑥 + 3740 = 0. Ayúdalo a encontrar
una raíz aproximada con dos cifras decimales.
Tarea 1: Comprendiendo el método
1. Daniela quiere conocer dos números enteros entre los cuales se encuentre una de las
soluciones de la ecuación. Sin embargo ella menciona que le lleva mucho tiempo hacer los
cálculos. Su profesor le dice que Factorice la ecuación de la siguiente manera
(((2𝑥 − 53)𝑥 + 523)𝑥 − 2285) 𝑥 + 3740 = 0, para evaluar de una forma más sencilla en la
ecuación. Realiza los cálculos para 𝑥 = 3, con la factorización anterior y luego evalúa como
normalmente lo haces. Explica cual forma es más simple para evaluar el polinomio.
2. Un estudiante presenta el siguiente Diagrama para mostrar el proceso de evaluar 𝑥 = 3, en el
polinomio.
Diagrama 1
3. Laura desea aproximar digito a digito las raíces de la siguiente ecuación cuadrática 50𝑥2 −
441𝑥 + 913 = 0. Ella sabe que una de las raíces se encuentra entre los números 3 y 4. Por lo
que afirma que tres es el primer digito de una de las raíces de la ecuación. Explica como supo
Laura entre que números se encontraba una de las soluciones y menciona si estás de acuerdo
con la afirmación de que tres es el primer digito de la raíz buscada, justifica tu respuesta.
Compara este procedimiento y el resultado
con el que realizaste anteriormente.
Menciona las ventajas de trabajar de esta
forma.
115
4. Laura realiza el siguiente proceso para transformar la ecuación en otra, de tal forma que le
permita encontrar el próximo digito.
Diagrama 2
5. Laura dice que si 𝑦 = 𝑥 − 3, entonces la ecuación anterior se puede expresar de la siguiente
manera: 50𝑦2 − 141𝑦 + 40 = 0. La cual tiene una raíz entre los números decimales 0,3 y
0,4. Verifica y explica la veracidad de esta afirmación.
6. Laura afirma que como (𝑦 = 0,3) es una raíz de la ecuación anterior y 𝑦 = 𝑥 − 3, entonces
0,3 = 𝑥 − 3. Por lo que 𝑥 = 3,3 sería una aproximación de la raíz de la ecuación original.
¿Estás de acuerdo? Verifica esta afirmación y explica.
7. Laura ya tiene dos dígitos de la ecuación original (3,3). Ahora con ayuda de la siguiente
figura, transforma la última ecuación en otra, que te permita encontrar el tercer digito de la
raíz.
8. Realiza un cambio de variable en la ecuación anterior, como lo hizo Laura en el punto 5, y
Halla el tercer digito de la raíz de la ecuación original.
9. Cuál es la raíz exacta de la ecuación original. Explica tu respuesta.
10. Repite los mismos pasos que seguiste desde el punto 3, para encontrar la segunda raíz exacta
de la ecuación cuadrática original.
La Ecuación transformada es la siguiente:
50(𝑥 − 3)2 − 141(𝑥 − 3) + 40 = 0 .
Prueba que esta ecuación es equivalente a la
ecuación inicial.
116
Tarea 2: Aplicando lo aprendido.
1. Ayuda al economista a encontrar dos números enteros consecutivos entre los cuales se
encuentre una de las raíces de la ecuación polinómica de grado cuatro. Realiza el diagrama 1
para los dos números y específica cual es el primer digito de la raíz buscada.
2. Teniendo en cuenta el número que es el primer digito de la raíz buscada, señala cual es la
ecuación transformada que te permite encontrar el próximo digito. Justifica tu respuesta
realizando el Diagrama 2 para obtener los coeficientes de la nueva ecuación.
a. 𝑦4 − 47𝑦3 + 387𝑦2 − 1139𝑦 − 323 = 0
b. 2𝑦4 + 3𝑦3 − 2𝑦2 − 10𝑦 − 5 = 0
c. 2𝑦4 − 5𝑦3 + 𝑦2 − 5𝑦 + 2 = 0
d. 2𝑦4 − 41𝑦3 + 277𝑦2 − 623𝑦 + 2 = 0
3. Teniendo en cuenta la ecuación transformada que se halló anteriormente, menciona cual es el
segundo digito de la raíz buscada. Justifica tu respuesta.
4. Señala cual es la ecuación transformada de la ecuación hallada en el punto 2, que permite
encontrar el tercer digito de la raíz buscada. Justifica tu respuesta.
a. 2𝑧4 − 2.6𝑧3 − 2.42𝑧2 − 5.534𝑧 + 0.4712 = 0
b. 3.8𝑧4 − 0.6𝑧3 − 1.14𝑧2 − 5.096𝑧 + 0.36 = 0
c. 2𝑧4 − 4.4𝑧3 − 0.32𝑧2 − 5.096𝑧 + 0.4712 = 0
d. 2𝑧4 − 1.8𝑧3 − 3.08𝑧2 − 6.088𝑧 − 0.1088 = 0
5. ¿Cuál es el tercer digito de la raíz buscada? Muestra el procedimiento para hallarlo y justifica.
6. De acuerdo a todo lo anterior, cual raíz aproximada con dos cifras decimales, puede utilizar el
economista en su problema.
Tarea 3: Encontrando relaciones y generalidades.
1. ¿Se puede seguir utilizando el método de Horner para continuar hallando uno a uno los otros
dígitos de la raíz que faltan? Explica tu respuesta.
2. Explica con tus propias palabras, cuando se obtiene una raíz exacta utilizando el método de
Horner.
3. Explica en qué momento se termina el método de Horner.
4. Ayúdale al economista a encontrar otra raíz aproximada de la ecuación de cuarto grado con
dos cifras decimales.
117
5. De acuerdo con todo lo trabajado hasta el momento, ¿Es posible encontrar siempre entre dos
números reales, por más cerca que ellos estén, otro número real? Justifica tu respuesta.
118
CAPÍTULO 5
CONCLUSIONES
En este último apartado se presentan algunas conclusiones sobre el trabajo desarrollado, las
cuales parten de confrontar lo realizado con la pregunta de investigación y con los objetivos
planteados al inicio del trabajo, para identificar los aportes que brinda un estudio histórico
epistemológico del método de Horner para el diseño de una propuesta de aula.
En relación con el primer objetivo específico, que consistía en caracterizar la solución de
ecuaciones polinómicas, según su estudio histórico epistemológico sobre el método de Horner, se
puede concluir que:
Las raíces enésimas de números, como formas simples de ver las diferentes ecuaciones
polinómicas.
Una nueva forma de introducir el concepto de ecuación, iniciando con la solución de
raíces de números, continuando con la solución de ecuaciones simples o ecuaciones
incompletas, para culminar finalmente con el trabajo de ecuaciones completas. De esta
forma se le da un plus a la resolución de ecuaciones, presentando una forma distinta de
encaminar a los estudiantes a este concepto matemático, y que según el estudio histórico
epistemológico revela que de esta manera se llega a ideas matemáticas que ayudan a su
proceso de construcción.
A partir de estos métodos se pueden generar acercamientos sobre los números
irracionales.
119
La solución de ecuaciones polinómicas en determinados conjuntos numéricos que
ayudan a la comprensión de la naturaleza de los números, ya que en el desarrollo de este
método, se parte de que la solución se encuentra entre dos números enteros, después se
continúa el trabajo con números racionales (números decimales), para finalmente
proporcionar una idea de número irracional. Es preciso mencionar, que los tres conjuntos
numéricos se presentan en la solución de un solo problema matemático diferenciándose
de la forma típica en que se presentan estos conjuntos de números, en donde cada uno
tiene cierto problema asociado.
Por medio de este método sobresale una noción muy intuitiva de la densidad de los
números reales y la continuidad de las funciones polinómicas. Teniendo en cuenta que
estos dos temas de las matemáticas surgen después de que se dio a conocer el método de
Horner en 1819.
La solución de ecuaciones por medio del método de Horner puede proveer al estudiante
de una noción de la recta numérica y la completitud de los reales.
Con la puesta en juego del método de Horner se hace más explícito el trabajo con objetos
matemáticos equivalentes, lo que les permite a los estudiantes darle un sentido a su forma
de proceder, es decir que pueden estar seguros del porque se pueden realizar ciertos
procedimientos. Además esto les ayuda a trabajar sobre las propiedades simétricas y
transitivas de la igualdad.
El sistema de numeración y la notación simbólica proporcionaron un gran avance en el
trabajo con aproximaciones numéricas.
De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta el segundo objetivo específico, relacionado
con los aportes a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones polinómicas a través
del método de Horner, se puede afirmar que el estudio histórico permitió rescatar una forma
distinta de presentar este concepto matemático, trabajándose en primer lugar las raíces de
números, luego ecuaciones incompletas y finalmente ecuaciones completas. De este modo se le
120
da un plus a la resolución de ecuaciones y se va construyendo el concepto de una forma gradual,
en donde el nivel de complejidad va aumentando a medida que el estudiante logra afianzar las
distintas formas en que se puede expresar una ecuación polinómica y de esta manera abstraer
ideas matemáticas que le permiten tener unos buenos cimientos de lo que es una ecuación y su
solución.
Además, una de las dificultades que tienen los estudiantes en la resolución de ecuaciones tiene
que ver con la naturaleza de los números, como se ha venido mencionando, pues estos no
conciben que la solución de una ecuación sea cero o un número fraccionario, hasta el punto de
forzar el valor de 𝑥 para que la ecuación no contenga estos valores. (Rojano & Gallardo; 1988).
Con el método de Horner se trabaja sobre esta dificultad, pues se va aproximando las raíces de la
ecuación a partir de números enteros, continuando el trabajo con números decimales y al seguir
sucesivamente el proceso, se puede generar en los estudiantes nociones intuitivas de los números
irracionales, tal cual como se vio reflejado en la humanidad y que hoy día la historia no lo da a
conocer. De esta manera los estudiantes se enfrentan en un solo problema a los tres conjuntos
numéricos (enteros, racionales e irracionales), lo cual puede ser muy provechoso en sus procesos
de aprendizaje, para que no estén atados a los números enteros, como único medio de respuestas
correctas, en donde ven a los otros sistemas numéricos como cosas inferiores.
Igualmente, la puesta en juego de estos tres sistemas numéricos en el método de aproximación
de Horner, les ayuda a los estudiantes a generar nociones intuitivas de la densidad de los
números reales, lo que les permite generar ideas o abstracciones sobre la continuidad de la recta
numérica y la completitud de dicho conjunto. Temas que suelen presentarse en los colegios, sin
resaltar y analizar el trasfondo que tiene el hecho de ubicar los números racionales e irracionales
en la recta numérica. Cabe mencionar que esta forma de resolver las ecuaciones por medio del
método de Horner, es muy intuitiva, casi que está ligada a nuestra forma de razonar cuando nos
enfrentamos inicialmente al álgebra, pues la mayoría de personas, incluyéndome, hicimos uso
del tanteo para resolver las primeras ecuaciones que se nos presentó; por lo que resulta más fácil
para el estudiante comprender el proceso lógico que con lleva esta forma de proceder y de esta
manera generar en ellos, intuiciones de los números reales a partir de preguntas, que se les puede
generar para que interioricen lo que están realizando en su modo de aproximar las soluciones de
121
las ecuaciones, tal cual, como se intentó en la propuesta de aula que se realizó una vez terminado
el estudio histórico.
También, al actuar con estos procedimientos de tanteo, el estudiante puede captar una noción
intuitiva del concepto de continuidad de las funciones polinómicas, al asegurar que siempre va a
encontrar una imagen (valor de 𝑓(𝑥)) para cualquier valor de 𝑥, lo cual le servirá más adelante
para cuando se enfrente a la rama del cálculo. Recordemos que la mayoría de los métodos de
aproximación numérica se pueden utilizar, por tratarse de funciones continuas, sin embargo este
concepto surgió después de que muchos de estos algoritmos estaban establecidos. Lo que revela
la historia es que la utilización de estos procedimientos dio herramientas para fundamentar lo que
hoy día se conoce como cálculo.
Por otro lado, otra dificultad que se pudo identificar en la problemática de este trabajo, tiene
que ver con la manipulación de las expresiones algebraicas, ya que los estudiantes tienden a
realizar procesos mecánicos, desprovistos de algún sentido, para solucionar una ecuación, sin
caer en cuanta, que en realidad están hallando ecuaciones equivalentes a la original y que esto es
lo que les permite hallar la solución buscada. En la propuesta de aula que se realizó sobre el
método de Horner, es más explícito el trabajo con ecuaciones equivalentes, para poder seguir
aproximando digito a digito la raíz de la ecuación; lo que les permite a los estudiantes entender el
porqué de sus procedimientos, asimismo pueden comprender que en realidad están trabajando
con el mismo objeto matemático pero visto desde otra perspectiva, que de cierta forma le sirve
para avanzar en su proceso de resolución.
Otro aspecto, que puede ser muy favorable en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
ecuaciones polinómicas mediante el método de Horner es que los estudiantes pueden llegar a
estar en contacto con procesos infinitos, en donde van a tener mucha más interacción con el
objeto matemático, en este caso la ecuación, pues el estudiante constantemente le está dando
valores a la incógnita para acercarse cada vez más a su raíz, esta manipulación continua le
permite al estudiante comprender más a fondo la ecuación, su estructura; y abstraer ideas para
llegar más rápido a su solución. Con este método de resolución de ecuaciones el estudiante puede
desarrollar en gran medida el pensamiento variacional, pues a medida que se enfrenta a los
122
ejercicios, puede desarrollar estrategias que le permitan llegar al resultado más fácilmente,
trabajándose el concepto de variable, que más adelante le será de gran utilidad en el cálculo.
De otro lado, y en términos del tercer objetivo específico, el cual atendía al diseño de una
propuesta de aula, en la que se conjugara la solución de ecuaciones polinómicas y los aportes de
la historia de los métodos de aproximación numérica, se pudo consolidar una propuesta de aula,
que tiene tres situaciones problema, basadas en la forma en que se fueron dando las primeras
aproximaciones en la humanidad hasta el punto de ser utilizadas en ecuaciones de orden superior
al cuatro. Dicho esto, la primera situación consiste en el trabajo con raíces de números,
atendiendo a la expresión algebraica 𝑥𝑛 = 𝑘; en donde se utilizan procesos de aproximación muy
básicos y sencillos, siendo los primeros en utilizarse según la historia, los cuales guardan cierta
familiaridad con los métodos intuitivos, aritméticos que utilizan los estudiantes cuando se
enfrentan al álgebra, tales como el tanteo y el ensayo y error, lo cual es provechoso para trabajar
sobre lo conocido. En la segunda situación el estudiante traslapa estos procesos para resolver
ecuaciones incompletas, es decir, ecuaciones simples en donde faltan algunos términos
algebraicos. Para finalmente utilizar el método de Horner en la situación tres para la resolución
de ecuaciones completas, que gracias a las situaciones anteriores, en donde ya se han trabajado
nociones básicas para entender el actuar en el método de Horner, logra haber una articulación
para el aprendizaje de este proceso de resolución de ecuaciones.
Cada situación está compuesta por tres tareas, que a su vez cuentan con un número
determinado de preguntas, que permiten que el estudiante vaya avanzando cada vez más en la
construcción del método de Horner. De esta manera a través de la propuesta de aula, también se
ponen en juego nociones intuitivas de la densidad de los números reales, la continuidad de la
recta numérica y los polinomios; y se trabaja implícitamente sobre la variación y el cambio.
Por otro lado, se puede observar en el estudio histórico una serie de procesos matemáticos que
traen consigo un razonamiento lógico que le puede brindar al estudiante un desarrollo del
pensamiento variacional, cambiar su forma de ver el objeto matemático al que se enfrenta
(ecuación), proporcionarle otra mirada, otro punto vista. Algunos métodos parten de lo básico y
lo sencillo, que es el tanteo y el ensayo, lo cual es algo que la mayoría hemos hecho por
123
intuición, pero no solo importa quedarse con estos dos elementos, sino que cada método viene
con una nueva estrategia para indagar cuales son esos posibles números con los cuales puedo
ensayar y llegar a la respuesta. Este documento puede ser indagado por profesores que quieren
presentarles a los estudiantes formas distintas de llegar a una misma solución; aprovechar los
razonamientos que desencadenan estos procesos, que normalmente vienen de propiedades
numéricas que no asimilábamos, o que en algún momento se nos dio, pero no nos detuvimos a
analizar su trasfondo.
Un ejemplo de estos procesos que traen consigo un contenido matemático interesante de
analizar, por tener una estructura básica y sencilla en su forma de proceder, son los métodos de la
media aritmética y el método de los números medios de Chuquet, los cuales fueron utilizados en
la propuesta de aula para adentrar a los estudiantes en las aproximaciones. Así como estos dos,
hay otros procesos que guardan ideas matemáticas que podrían ser aprovechadas por los
estudiantes. Sin olvidar, claro está, el método de Horner que ya es un método mucho más
elaborado, con una serie de pasos lógicos y nociones que pueden brindarle a los estudiantes
nuevas destrezas en sus razonamientos.
De acuerdo con los razonamientos que se han venido realizando sobre el logro de los
objetivos específicos, se concluye con la obtención del objetivo general, pues como se pudo
observar en lo expuesto anteriormente, han salido a flote algunos elementos didácticos (desde las
perspectivas de enseñanza y aprendizaje) que aportó el estudio histórico-epistemológico del
método de Horner para el diseño de la propuesta de aula; sobresaliendo aspectos como, una
forma distinta de trabajar el concepto de ecuación polinómica en la escuela, movilización de la
dificultad de los estudiantes frente a la naturaleza de los números, favorecimiento para la
creación de nociones intuitivas de algunos conceptos matemáticos, mayor interacción con las
expresiones algebraicas, la puesta en juego de procesos infinitos, entre otros.
Para finalizar, es necesario hacer una reflexión sobre la importancia de los métodos de
aproximación en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, pues como se ha observado en
el diseño de la propuesta de aula que se realizó, a partir de estos procesos se favorece el
desarrollo del pensamiento variacional, al poder brindar una solución aproximada a problemas
124
sustentados en la variación y el cambio; por lo que se llama la atención sobre las potencialidades
que tienen estos, para la introducción al lenguaje algebraico. Por otro lado, resulta beneficioso
para los estudiantes entender la secuencia de operaciones lógicas y algebraicas que conlleva la
implementación de estos métodos, por la pericia que pueden ganar los estudiantes para enfrentar
determinados problemas. Sin olvidar además, que estos procesos nos ayudan a resolver de forma
general variados problemas matemáticos a diferencia de los métodos analíticos. Por todo lo
anterior, ignorar los procesos de aproximación numérica podría privar a los alumnos de adquirir
nuevas formas de pensamiento matemático.
125
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Abrate, R., Pochulu, M. & Vargas, J. (2006). Errores y Dificultades en Matemática, Análisis de
causas y Sugerencias de Trabajo. Buenos Aires: Universidad Nacional de Villa María.
Acevedo, M. & Falk, M. (1997). Recorriendo el álgebra. De la solución de ecuaciones al
álgebra abstracta. Santafé de Bogotá. Editorial Universidad Nacional.
Anacona, M. (2003). La Historia de las Matemáticas en la Educación Matemática. EMA, 8(1), 30
– 46.
Bell, E.T. (1985): Historia de las Matemáticas. Fondo de Cultura Económica. México.
Bocanegra, I., Galeano, O., & Huérfano, H. (2013). Diseño de una herramienta didáctica
utilizando elementos de lo logarítmico y lo exponencial. (Tesis de Maestría en Docencia
de la matemática), Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá.
Booth, L. (1983). A diagnostic teaching programme in elementary algebra: Results and
implications. In R. Hershkowitz (Ed.), Proceedings of the Seventh International
Conference for the Psychology of Mathematics Education (pp. 307-312). Rehovot, Israel:
Weizmann Institute of Science.
Boyer, C. (1999). Historia de la matemática [A History of Mathematics] (Martinez M.). España:
Alianza Editorial.
Cáceres, L., & Tocarruncho, D. (2014). Solución de ecuaciones por métodos numéricos.
(Trabajo de grado para optar el título de Especialista en Educación Matemática),
Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá.
Cajori, F. (1911). Horner's Method of Approximation Anticipated by Ruffini. Bull. Amer. Math.
Soc. (17), no. 8, 409-414.
126
Castro, E. & Molina, M. (2007). Desarrollo del Pensamiento Relacional Mediante Trabajo con
igualdades Numéricas en Aritmética Básica. En Red de Revistas Científicas de América
Latina y el Caribe, España y Portugal. Educación Matemática, 19(2), 67-94.
Castro, E. (2012). Dificultades en el aprendizaje del álgebra escolar. En A. Estepa, Á. Contreras,
J. Deulofeu, M. C. Penalva, F. J. García y L. Ordóñez (Eds.), Investigación en Educación
Matemática XVI (pp. 75 - 94). Jaén: SEIEM.
Cooke, R. (2012). The History of Mathematics: A Brief Course. 3 ed. Burlington: Wiley.
Echeverri, G. & Sombredero, N. (2014). Dificultades en el aprendizaje de los métodos de
solución de sistemas de ecuaciones lineales enseñados en grado noveno (Trabajo de
pregrado). Universidad del Valle, Cali, Colombia.
Eduardo, C., & Julio, S. (2016). La historia de la matemática como recurso metodológico en los
procesos de enseñanza-aprendizaje: una experiencia en secundaria (ING). Uniciencia,
Vol. 20, Iss 2, Pp. 259-266 (2016), (2), 259.
Fernández, F. (1997). Aspectos históricos del paso de la aritmética al álgebra: Implicaciones para
la enseñanza del lenguaje algebraico. UNO: Revista de didáctica de la matemática, (14),
75-98.
Filloy, E. & Rojano, T. (1984). La aparición del lenguaje aritmético-
algebraico. L’Educazione Matematica, 3, 278-306.
Filloy, E. & Rojano, T. (1985). Obstructions to the acquisition of elementary algebraic concept
and teaching strategies. En L. Streefland (ed.), Proceedings of the Ninth Annual
Conference for the Psychology of Mathematics Education, (pp.154-158). Utrecht,
Holanda.
Filloy, E. & Rojano, T. (1989). Solving Equations: The transitions from arithmetic to algebra.
For the learning of mathematics, 9 (2), 19 – 25.
127
Filloy, E. (1999). Los modelos de enseñanza. En E. Filloy, Aspectos teóricos del álgebra
educativa (pp. 23-35). México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Fuller, A. (1999). Horner versus Holdred: an episode in the history of root computation. Historia
Math. 26(1), 29-51.
Galeano, O. & Váquiro, L. (2015). Una propuesta didáctica para la resolución de ecuaciones de
primer grado como relación de equivalencia utilizando el modelo virtual de la balanza
(Trabajo de pregrado). Universidad del Valle, Cali, Colombia.
Gallardo, A., & Rojano, T. (1988). Áreas de dificultades en la adquisición del lenguaje
aritmético-algebraico. Researchs in Didactique dec Mathématiques, 9, 155- 188.
George, J. (2011). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3 ed. New Jersey:
Princeton University Press.
González, P. (2004, Febrero). La historia de las matemáticas como recurso didáctico e
instrumento para enriquecer culturalmente su enseñanza. Revista SUMA, (45), Pp. 17-28.
Greeno, J. (1982). A cognitive learning analysis of algebra. Paper presented at the annual
meeting of the American Educational Research Association, Boston, MA.
Guacaneme, E. (2016). Potencial formativo de la historia de la teoría euclidiana de la
proporción en la constitución del conocimiento del profesor de matemáticas.
(Tesis Doctorado en Educación), Universidad del valle, Cali.
Herrero, P., Linero, A. & Mellado, A. (2017). Algunos métodos de resolución numérica de
ecuaciones del siglo XVI y su aplicación al aula de secundaria. Actes de la XV Jornada
sobre la història de la ciència i l’Ensenyament. Pp.41-48, doi: 10.2436/10.2006.03.6
128
Hurtado, C. (2014). Análisis didáctico de las ecuaciones de primer grado con
una incógnita real y su impacto en la educación básica. (Tesis Maestría en Educación),
Universidad del Valle, Cali.
Indaburo, C. Jiménez, J. & Sarmiento C. (2016). Aportes de la historia de las matemáticas al
conocimiento didáctico del contenido del profesor de matemáticas en formación
avanzada sobre las ecuaciones trigonométricas. (Tesis Maestría en Docencia de la
matemática), Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá D.C.
Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studes in
Mathematics, 12, 317-326.
Kieran, C. (1992). The learning and Teaching of school algebra. In A. D. Grouws (Ed.),
Handbook of research on mathematics teaching and learning, (pp. 390-419). New York.
Kieran, C. (2006). Research on the learning and teaching of algebra, en A. Gutiérrez y P. Boero
(Eds.), Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past,
Present and Future, (pp.11-49). Sense Publishers: UK
Kieran, C &. Filloy, E. (1989). El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva
psicológica. Enseñanza de las ciencias, 7(3), 229-240.
Kline, M. (1992): El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Vol.1. Alianza
Universidad, 715, Madrid.
Küchemann, D. (1978). Children’s understanding of numerical variables. Mathematics in school,
7(4), 23-26.
Ministerio de Educación Nacional [MEN] (1998). Lineamientos curriculares para matemáticas.
Bogotá, Colombia.
129
Ministerio de Educación Nacional [MEN] (2006). Estándares básicos de competencias en
matemáticas. Bogotá, Colombia.
Murcia, L. (2009). La transición del álgebra clásica al álgebra moderna: algunos aspectos
históricos-epistemológicos en el desarrollo de la noción de estructura a través de la
teoría de ecuaciones (Trabajo de pregrado). Universidad del Valle, Cali, Colombia.
Newton, I. (1711). De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas. Recuperado de
http://dibinst.mit.edu/BURNDY/Collections/Babson/ OnlineNewton/Analysis.htm
Nordgaard, M. (1922). A Historical Survey of Algebraic Methods of Approximating the Roots of
Numerical Higher Equations up to the Year 1819. Recuperado de
http://www.archive.org/details/cu31924001166788
Orietta, P. (2016). La historia de las matemáticas como instrumento pedagógico. Uniciencia, Vol.
20, Iss 2, Pp 251-257 (2016), (2), 251.
Palarea, M. (1999). La adquisición del lenguaje algebraico y la detección de errores comunes
cometidos en álgebra por alumnos de 12 a 14 años (Tesis doctoral). Universidad de la
Laguna, Tenerife: Departamento de Análisis Didáctico.
Petitto, A. (1979). The role of formal and non-formal thinking in doing algebra. Journal of
children’s Mathematical Behavior, 2(2), 69-82.
Pongutá, E. (2014). Existencia y unicidad de soluciones: dos elementos importantes en el estudio
de las ecuaciones algebraicas sobre los números reales. (Trabajo de grado para optar el
título de Especialista en Educación Matemática), Universidad Pedagógica Nacional,
Bogotá.
Ruiz, J. (2002, Marzo). Importancia de los métodos aproximados de solución. Revista Axioma:
La Revista de los profesores y estudiantes de Matemática. (18), 14-15.
130
Seminario, R. (2012). Métodos Numéricos para la Ingeniería.[Página web].Recuperado de
http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf.
Smorynski, C. (2007). History of Mathematics a Supplement. Recuperado de
https://books.google.com.co/books/about/History_of_Mathematics.html?id=qY657eFq7
UgC&redir_esc=y
Torres, L. (2010). Fenomenología histórica del concepto de ecuación y potencialidades de su
uso en la escuela (Tesis de maestría). Universidad del Valle, Cali, Colombia.
Torres, L., Guacaneme, E. & Arboleda, L. (2014). La historia de las matemáticas en la formación
de profesores de matemáticas. Revista Quipu, (16), Pp. 203-224.
Triana, J., & Manrique, J. (2013). El papel de la historia del álgebra en un curso de didáctica
para la formación inicial de profesores de matemáticas. (Tesis Maestría en Docencia de
la matemática), Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá.
Ursini, S., Escareño, F., Montes, D. & Trigueros, M. (2005). Enseñanza del álgebra elemental.
Una propuesta alternativa. México: Trillas.
Vasco, C. (2002). Siete tensiones irresolubles en la articulación de la historia de las
matemáticas con la enseñanza de las matemáticas. Conferencia presentada en la Primera
Escuela Latinoamericana de Historia y Epistemología de las matemáticas – ELHEM 1,
Colombia.
Wagner, S., Rachlin, S., & Jensen, R. (1984). Algebra learning Project: Final report. Athens:
University of Georgia. Department of Mathematics Education.
Wang, L., & Needham, J. (1955). Horner's Method in Chinese Mathematics: Its Origins in the
Root-Extraction Procedures of the Han Dynasty. T’oung Pao, (43), 345-401.