un acercamiento a la mecánica por componentes fundamentales

Un acercamiento a la mecánica por

componentes fundamentales.

Tres ingredientes de la mecánica tres:

LA MASA

M

La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento actual. Resistividad a la fuerza. La energía cinética escalea con la masa manifestando el hecho de que la fuerza necesaria para modificar la cantidad de movimiento es proporcional a la masa.

La masa también es el factor de escala de la fuerza de gravedad y por lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias este es también un factor de escala de la energía potencial.


EL AMORTIGUADOR

El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio externo. Se opone sistemáticamente a la dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un potencial acumulado.

La amortiguación resulta de las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un medio, correspondientes a un “resumen estadistico” de numerosas interacciones moleculares. La energia que pierde el amortiguador es absorvida por el medio en formas no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor.

Tres ingredientes de la mecánica tres:EL RESORTE

El resorte: Fuerza elastica, resistencia al desplazamiento de manera independiente de la velocidad con la que se llega a esa posición. Resistencia al cambio de forma. Un objeto que ejerce una fuerza

proporcional a la posición. Tiende por lo tanto a restituir el movimiento hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio de forma. Su estiramiento resulta en una “acumulación de fuerza” o “carga de energía potencial”.


LA MASA

La masa: Inercia, tendencia a permanecer

en el estado de movimiento actual.

Resistividad a la fuerza. También es el factor de escala de la fuerza de

gravedad.

El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio

externo. Se opone sistemáticamente a la

dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética

sin transferir esa energía a un potencial acumulado.

El resorte: Un objeto que ejerce una fuerza

proporcional a la posicion. Tiende por lo

tanto a restituir el movimiento hacia el

punto de equilibrio. Su estiramiento resulta en una “acumulacion de fuerza” o “carga de energia potencial”.

Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: LA MASA

Ft

m

Fv

2

2m

Ftx

0

Notar que la aceleración no es independiente de la masa

Una masa responde a una fuerza modificando su velocidad en esa dirección. Esta modificación es menor a medida que crece la masa.

Un problema conocido, con alguna sutileza.

Dinámica de los tres ingredientes en una F constante: AMORTIGUADOR

El amortiguador esta postulado por ahora como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la velocidad. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” dada la ausencia de la masa. A medida que la velocidad aumenta, el medio ejerce una fuerza creciente que alcanza un equilibrio cuandoA esta velocidad las dos fuerzas se cancelan, con lo que no hay fuerzas resultantes y la velocidad se mantiene constante. Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en permanencia (inyectando energia) para mantener esta velocidad constante.

F

vF

F

v

Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: EL RESORTE

El RESORTE esta postulado como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la distancia. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” hasta el “infinito” dada la ausencia de la masa. Esto resulta en un desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza ejercida por el resorte, que aumenta con la distancia, igual a la fuerza externa, lo cual sucede para la posición: Notar que este es un punto de equilibrio “estatico” y por lo tanto la fuerza no inyecta energia al sistema. El resorte no disipa. La energia entregada por la fuerza externa durante el desplazamiento esacumulada en forma de energía potencial (mecánica) y será nuevamente transformada en cinética una vez que la fuerza externa desaparezca.

F

xF

k

Fx


“La Fuerza” ejercida sobre cada uno.

Tres ingredientes de la mecánica tres:POSICION en fuerza constante.

La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la

resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente.

Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante)

x

t


Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin

resistencia (masa) y satura a una velocidad critica.




x

t


Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin

resistencia (masa) y satura a una velocidad critica.




Abruptamente cambia la posición, lo cual implica que la velocidad aumenta

repentinamente a infinito. Esto sucede porque no hay masa que resista la fuerza ni viscosidad que

acote el crecimiento de la velocidad que, en este instante, vale infinito.

x

t

Tres ingredientes de la mecánica tres:VELOCIDAD en fuerza constante.

En ausencia de masa la velocidad crece hasta llegar al punto en que la fuerza de

resistencia compensa la fuerza ejercida donde se alcanza una posición de

equilibrio.

La velocidad comienza a crecer abruptamente (continua, pero con derivada discontinua, dada por la

aceleración) En general, en presencia de masa, la posición es continua y derivable y la velocidad continua

(pero no necesariamente derivable)

La velocidad es infinita durante un instante infinitamente corto, hasta que

la posición es tal que la fuerza elástica compensa la fuerza ejercida.

La integral de la velocidad es la posición y por lo tanto el área bajo

esta curva es igual a x de equilibrio.

Área = F/kv

t

Tres ingredientes de la mecánica tres:ACELERACION en fuerza constante.

La velocidad aumenta con rapidez infinita hasta llegar al

valor de equilibrio. El área bajo la curva de aceleración corresponde al cambio de

velocidad.

La aceleración es proporcional a la fuera, según la ley de Newton

(siempre y cuando haya masa). La aparición súbita de la fuerza genera

una discontinuidad en la aceleración.

Esta derivada queda libre de imagen

F

Area a

t

Combinando ingredientes fundamentales, hacia una

variedad de mundos posibles.

Un objeto mecánico resultara de una combinación de uno o varios de estos elementos fundamentales. Los resortes contribuyen a la deformabilidad o elasticidad, los amortiguadores a la viscosidad o disipación y la masa a la inercia.

¿Cómo medir fuerzas, desplazamientos, velocidades,

viscosidades y la física en un mundo microscópico?

Steven Chu, un prócer experimental

(Premio Nobel 1997)

La herramienta basica: Optical Tweezers. Un pozo de potencial altamente focalizado

Steven Block. Ideas de Berg y tecnologia de

Chu.

Howard Berg, uno de los padres de la biofísica

moderna. ¿Cómo y porque se mueven las bacterias?

Una primera aplicación de esta tecnología: Jugando

con E.Coli cual el gato con el ratón.

Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C. "Compliance of bacterial flagella measured with optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989)

¿Qué motor impulsa a una bacteria?

Bacterias ancladas

Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o

de una placa.

¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria?

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido

viscoso)

La combinación de una masa y un amortiguador modela el movimiento de un objeto rígido (que no se

deforma) en un medio viscoso. Los tiempos característicos de este movimiento quedan

determinados por la relación entre la masa y la viscosidad.

=


viscoso)

=

dt

dvmvF

F

v

La ecuación diferencial de Newton

¿Cuál es la solución mas sencilla a esta ecuación diferencial?

¿v=0 es solución? ¿Como se traduce esto en palabras?

¿v=cte es solución?

¿Cualquier constante? ¿Es la única?


viscoso)

=

vmvF

F

v


Intentemos el caso mas sencillo: v = 0 00 vv

0F

Solo en ausencia de fuerza neta, el objeto (el cuerpo) se queda quieto.


viscoso)

=

vmvF

F

v


Intentemos el segundo caso sencillo: v = cte 0 vctev

FvvF

Con fuerza F, el movimiento con velocidad constante es una solución de la física.¿Es la única?


viscoso)

=

vmvF

F

v

Consideremos otro caso simplificado, F=0

vm

v

¿Que función, derivada resulta en la misma función multiplicada por una

constante?

tev tev

m

Al proponer una solución, pasamos de una ecuación diferencial a una

ecuación algebraica.


viscoso)

=F

v

vm

v

m

t

ev

Caso simplificado, F=0

vmvF

¿Es la única?

m

t

eCv

m

t

eCm

v

v

m

v


viscoso)

=F

vvmvF vvmF

m

t

H eCv

Una familia de funciones que forman un espacio

lineal tal que

HH vvm 0

FvP

Una única función tal que

PP vvmF Nótese que la suma de estas funciones ya no satisface la

ecuación.


viscoso)

=F

vvmvF vvmF

m

t

H eCv

HH vvm 0

FvP

PP vvmF

FeCtv m

t

)(

Observaciones y preguntas.

C es una constante libre, F/γ NO.¿Qué determina C?

¿Que distingue a los dos terminos?


viscoso)

=F

v

FeCtv m

t

)(

FeCvv m

0

0 )0(

CFv 0¿Y si justo vo es F/g?

¿Cómo se interpreta el signo?

FC

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10005

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

FeCtv m

t

)(FvC 0

10F

15ov

5ov

fF v

fvvC 0


viscoso) : La solución Formal

t

fof evvvv

)( mv F

f :

Tranistorio en el que pasa de la condicion incial a la estacinoaria. El

tiempo tipico del transitorio es proporcional a la masa (mas memoria

de la condicion inicial) en inversamente proporcional a la viscosidad (borra la

memoria de la CI).

La solucion estacinoaria (asintotica) en este caso es

muy sencilla. Velocidad constante, proporcional a la

fuerza.


viscoso)

F=[2:2:20]

v

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Velocidad Posicion

γ=1M=1

mv F

f :


viscoso)

F=1

v

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M=1[2:2:20]γ=1

Velocidad Posicion

mv Ff :


viscoso)

F=1

v

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M=1[2:2:20]γ=1

Velocidad Posicion

Salto abrupto de velocidad para masa pequeña

Tiempo critico aumenta con masa

Regimen Inercial

Régimen viscoso


viscoso)

M=1v

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

γ=[0.25:0.25:5]

F=1

Velocidad Posicion

mv F

f :


viscoso)

M=1v

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

γ=[0.25:0.25:5]

F=1

Velocidad Posicion

Comportamiento Inercial

Comportamiento Viscoso

Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o

de una placa.

¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria?

Deformación de un material (tela, proteína) en un

medio

¿Cómo modelar con los cambios conformacionales de una proteína.?

Un resorte amortiguado

F

v

La ecuación diferencial de Newtondt

dvmkxvF

xk

0 kxvF


F

v

La ecuación diferencial de Newtondt

dvmkxvF

xk

0 kxvF

dt

dxkxF

Expresar la ecuación en función de x y sus derivadas


F

v

dt

dvmkxvF

xk

0 kxvF

dt

dxkxF ¿Una ecuación conocida?

Una “curiosa” coincidencia. Ecuaciones iguales…

Fdt

dxkxF

dt

dvmvF

Resorte es resistencia al desplazamiento, la viscosidad al cambio del desplazamiento (velocidad) y la masa al cambio al cambio del desplazamiento (aceleración). Que este cuento de la buena pipa

termine ahí es un hecho empírico, establecido por la ecuación de Newton. Las ecuaciones diferenciales (ordinarias) de primer orden tienen siempre las mismas soluciones que estudiamos anteriormente (exponenciales) y describen la relación entre una variable cuya tasa de cambio es

proporcional a ella misma (o a menos ella misma).

m

k

xv

La solución Formal de dos problemas exponeciales de la mecanica.

F

Ft

fof evvvv

)(

mv F

f :

t

fof exxxx

)(

kx kF

f :

Exponenciales… exponenciales… 1) Decaimiento

El ritmo de crecimiento de X es proporcional a X.

Bacterias en un plato de Cultivo Patentes de Software Venta de musica en Itunes

Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios: Cambio de x es proporcional a x

Exponenciales… exponenciales… exponenciales…

El ritmo de crecimiento de X es proporcional a -X.

Memoria Icónica Decaimiento Radioactivo Reacción enzimática.

Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios: Cambio de x es proporcional a -x

x

¿De qué objeto físico se trata?

F

Bustamante et al Nature Reviews 2000

ESTIRANDO RESORTES COMPLEJOS

EL JARDIN DE RESORTES QUE BIFURCAN

EL JARDIN DE RESORTES QUE BIFURCAN

Enroscandouna gomita

Bustamante et al Nature 2003

MIDIENDO EL TRABAJO DE UNA UNICA RNA POLYMERASA

Forde N R et al. PNAS 2002;99:11682-11687

Forde N R et al. PNAS 2002;99:11682-11687


Bustamante 2000

Vibraciones en un medio no viscoso

¿Cómo modelar un péndulo?


viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

F



viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

Simplemente reordenando términos

F

xkdt

xdmF

2

2


viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

NOVEDAD: Esta ecuación relaciona una variable con su derivada segunda. ¿Será la solución a esta ecuación tambien una exponencial?

F

xkdt

xdmF

2

2


viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

Fijando la fuerza a 0 (por simplicidad)

F

xkdt

xdmF

2

2

texxkdt

xdm

2

2

0

Proponemos una solución exponencial y a ver que pasa…


viscoso)

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

xkdt

xdm

2

2

0Matemática Física

La derivada segunda de una exponencial es proporcional a ella misma, hasta aquí todo bien. Sigamos …


viscoso)

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

xkdt

xdm

2

2


Reemplazamos

)(0 22 kmxxkxm

Siendo x una funcion generica, no queda otra que este termino sea 0


viscoso)

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

xkdt

xdm

2

2


Reemplazamos

)(0 22 kmxxkxm

m

ki

m

kkm

22 )(0


viscoso)

ti

ex

xkdt

xdm

2

2


Reemplazamos

m

ki

m

kkm

22 )(0

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

NOVEDAD: La constante de la exponencial es imaginaria.

Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y

decaimientos.

Mecánica básica de la función: t

ex

t

0 2 3 4 5

10

e

ee

11

La mecánica de la exponencial es simple, cada vez que pasa un tiempo T multiplico por 1/e. Así se entiende que a medida que pasa el tiempo

uno se va aproximando arbitrariamente al cero.

Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y

decaimientos.

Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.

1-1

i

-i

2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)2-4-8-16-32 … 2N … infinito

(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0

¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??

Conocido 1:

Conocido 2:

Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las

oscilaciones son exponenciales imaginarias.


1-1

i

-i

2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)2-4-8-16-32 … 2N … infinito

(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0

¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??

i : -1 : -i : 1 : i -1 : -i : 1 : : i -1 : -i : 1 : i

Conocido 1:

Conocido 2:




1-1

i

-i

En general, una exponencial tiene una componente real (contracción o dilatación) y una parte imaginaria (rotación).

ibtattbiaCt eeee )(

Cambio en la amplitud o modulo.Amortiguación, disipación (o

amplificación) Perdida del movimiento

Rotaciones, oscilaciones.Movimiento periódico.




1-1

i

-i

Hasta ahora hemos visto una u otra proyección, ya sea movimiento

exponencial u oscilatorio. En general, como veremos en el oscilador amortiguado, el movimiento se

descompone en estas dos componentes, resultando en un

movimiento “espiralado”. Según el ritmo (la velocidad) de rotación y el

ritmo de decaimiento se dan distintos tipos de regimenes donde las

oscilaciones llegan o no a hacerse evidentes..

ibtattbiaCt eeee )(

un acercamiento a la mecánica por componentes fundamentales

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