Unidad Didáctica 6

Curvas cónicas.

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Curvas cónicas.

Curvas cónicas.

Elipse.

Hipérbola.

Parábola.

Trazado de las tangentes en un punto de las curvas cónicas.

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Curvas cónicas.

Curvas cónicas

Se conoce como curvas cónicas el conjunto de curvas obtenidas al seccionar una superficie cónica con un plano; la inclinación de ese plano con respecto al eje de la superficie cónica determina la curva concreta obtenida.

Las curvas cónicas propiamente dichas son tres: Elipse, Parábola e Hipérbola, aunque alterando el cono o la posición del plano pueden buscarse otras figuras, entre ellas la circunferencia.

Elementos básicos de las curvas cónicas.

· Focos: Son los puntos de contacto de la sección con las esferas tangentes al plano que la produce e inscritas en el cono. Están relacionadas con el Tª de Dandelin, y la excentricidad, que es la razón de proporción constante, distancia entre un punto de una cónica y el foco , y entre aquel y la recta directriz.

· Diámetros: Rectas que pasan por el centro geométrico. Dos diámetros son conjugados cuando cada uno pasa por la polar del otro. También es el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero.

· Ejes: Mayor y menor. De todos los conjugados los ejes principales son los únicos que son perpendiculares entre sí.

· Vértice: Cualquier punto del eje mayor sobre la curva.

· Circunferencia focal: De radio igual al eje mayor, y centro en uno de los focos. En la Parábola el elemento correspondiente es la recta directriz.

· Circunferencia principal o circunscrita: Tiene como diámetro el eje ma-yor. Una recta tangente a una elipse se corta en ella con las perpendiculares que se tracen desde los focos.

· Radios vectores: Segmento que une un P de la curva con ambos focos.

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Curvas cónicas.

CD= eje menorAB= eje mayorC1 circunferencia principal con centro en O de la elipse y de diametro AB, o radio 1/2 ABC2 circunferencia focal con centro en F1 o F2 y de radio ABCtg

circunferencia con centro en O de la elipse, tangente a la focal y que pasa por F1 o F2

Elipse. Características, elementos y métodos de construcción.

La elipse es la sección de un cono de revolución con un plano que corta sólo una de sus ramas y que es oblicuo al eje y a las generatri-ces.

Características y elementos

Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos que cumple dichas caracteristicas.

Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos de un plano en el que se cumple que la suma de los radios vectores es constante e igual al eje mayor.

F1P + PF2 = d1 + d1 =AB=K= constante

Los semiejes de una elipse tambien cumplen una característica que parte del Tª de Pitagoras.

b

F 2

C

O

a

c

a2 + b2= c 2

Tambien es lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la circunferencia focal de un foco y que pasa por el otro.

La circunferencia principal cumple características importantes de relacion entre la focal y la tangente a la elipse. De tal modo que se la

puede definir como el punto medio del segmento que se traza desde los focos a la circunferencia focal o como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes . Esta definición se usará para trazar las tangentes.

QX=QF1

1

2

3

4

AB=2aCD=2bF1F2=2c

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Curvas cónicas.

Métodos constructivos de las curvas cónicas.

Existen multitud de metodos constructivos: Por puntos basandonos en la definicion y el elemento Foco. Por haces proyectivos Por envolventes Por la conjuncion de un numero de elementos conocidos.

Trazado una elipse conocidos los focos f´y f´´ y el eje mayor AB, por puntos. Basándonos en la primera definición, coloca-mos varias marcas arbitrarias (1,2,3,4) entre el centro y un de los focos. Estas divisiones permiten tomar con el compás pares de distan-cias (A1/B1, A2/B2), que suman la medida AB. Trazando arcos desde los focos con medidas parciales tomadas desde A y B, localizamos los puntos de la curva.

Trazado una elipse conocidos los focos f´y f´´ y el eje mayor AB, por puntos y envolventes.

Puede definirse también con rectas tangentes que serán perpendiculares en la circunferen-cia principal a otras trazadas desde los vérti-ces (derecha), por tangentes envolventes.

Trazado una elipse conocidos los ejes, el menor CD y el ma-yor AB, por haces proyectivos

En el tercer método se traza un rectángulo que tiene los ejes como medianas. Se divide desde el punto medio uno de los ejes en el mismo número de partes iguales que el lado paralelo al otro. Los extremos de este último, alineados con las divisiones, darán los puntos buscados.

Trazado una elipse dados los ejes conjugados.

Del mismo modo que una circunferencia vista en perspectiva es una elipse, dos diámetros perpendiculares aparecerán con un ángulo diferente, y serán diámetros conjugados. Si imaginamos que el conju-gadel menor era antes del mismo tamaño y perpendicular al mayor, podemos aplicar el supuesto desplazamiento de sus extremos (C’ =C, D’=D) al resto de los puntos de una circunferencia inicial. También podemos inscribir los diámetros conjugados en un romboide de lados pa ralelos a ellos y aplicar el método de cruce de proyecciones.

Trazado una elipse conocidos los ejes, el menor CD y el mayor AB, por proporcionalidad.

En el primer caso se utiliza el teorema de Tha-les para relacionar las dos medidas diametrales, y trasvasar las semicuerdas perpendiculares de la circunferencia correspondiente al eje menor, al eje mayor.

Trazado una elipse conocidos los ejes, el menor CD y el mayor AB, por afinidad.

En el segundo caso se colocan las circunferencias de los diámetros mayor y menor concéntricas, que son afines a la elipse. Se localizan puntos de la curva trazando primero varios radios comunes.

WEBhttp://www.educacionplastica.net/conicas.htm

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Curvas cónicas.

Hipérbola. Características, elementos y mé-todos de construcción.

La hiperbola es la sección de un cono de revolución con un plano cuando este es paralelo a dos de sus generatrices.

Características y elementos

Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos que cumple dichas cracteristicas.

Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos de un plano en el que se cumple que la diferencia de los radios vectores es constante e igual a la distancia entre sus vertices del eje real.

Los semiejes de una hiperbola también cumplen una característica que parte del Tª de Pitágoras, con una particularidad respecto de la elipse.

Tambien es lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la circunferencia focal de un foco y que pasa por el otro.

La circunferencia principal cumple caracteristicas importantes de relación entre la focal y la tangente a la hipérbola. De tal modo que se la puede definir como el punto medio del segmento que se traza desde los focos a la circunferencia focal o como el lugar geométri-co de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes . Esta definición se usara para trazar las tangentes.

1

2

3

4

P

c2

r´

d 1

d 2

A BF 1 F 2

r

AB=vertices y eje mayorr y r´= asintotasc1 circunferencia principal con centro en O y de diametro AB, o radio 1/2 ABc2 circunferencia focal con centro en F2 y F2 y de diametro 2AB, o radio ABctg circunferencia tangente con centro en en P de la hiperbola, tangente a la focal y que pada por F2 o F2

T

F´1

b

C

O a

c

a 2 + b2= c2

AB= 2aCD=2bF1F2=2c

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Curvas cónicas.

Trazado una hipérbola basandonos en los métodos constructivos básicos de la elipse: puntos, haces proyectivos y envolventes. Dependiendo de los datos, su construcción se hace por métodos esencialmente iguales a los empleados en las otras curvas cónicas.

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Curvas cónicas.

Parabola. Caracteristicas, elementos y metodos de construccion.

La parábola es la sección de un cono de revolución con un plano cuando este es paralelo a una de sus generatrices.

Caracteristicas y elementos

Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos que cumple dichas cracteristicas.

Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos de un plano en el que se cumple que equidistan de una recta llamada directriz y de su foco.

La directriz de la parábola cumple funciones muy simila-res a las de la circunferencia focal en la elipse o hiperbola. Se la puede considerar una circunferencia focal de centro impropio ya que la parabola puede ser una elipse de foco en el infinito, luego su circunferencia focal será de radio infinito.

Tambien es lugar geométrico de los centros de las circun-ferencias tangentes a la directriz, (focal de radio infinito) y que pasa por el F.

La tangente en el vértice tiene funciones similares a la circunferencia principal de la elipse o la hipérbola. La tangente en el vértice es el L.G. de los pies de las perpendi-culares trazadas desde el F hasta las tangentes.

1

2

3

4

AB=vertices y eje mayorr y r´= asintotasD1 Directriz (circunferencia focal)Tv Tangente en el vertice (circunferencia principal)ctg circunferencia tangente con centro en en P de la parábola, tangente a la directriz ( c.focal) y que pada por F

V

D1

e

Tv

PD

F

d1

d2

F´Q

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Curvas cónicas.

Trazado una parábola basandonos en los métodos constructivos básicos de la elipse: puntos, haces proyectivos y envolventes. Puede construirse cortando con arcos desde el foco rectas paralelas a la directriz, tomando como radio la distancia a ésta de cada una de las paralelas. También por cruce de proyecciones si conocemos el eje, el vértice y un punto P de la curva, o definirla uniendo el foco con distintos puntos de la tangente principal y trazando desde estos puntos rectas perpendiculares, que serán tangentes a la curva.

Trazado una una tangente en un P de la curva.

Tangente y normal en un punto P de la curva: son las bisectrices de los ángulos producidos por las rectas que pasan por P y por cada uno de los focos. Su posición en Tangentes desde un punto exterior a la curva: Trácese una circunferencia con centro en E que pase por uno de los focos, y a circunferen-cia focal con centro en el otro (recta Directriz, en la Parábola). Las rectas tangentes la Hipérbola es inversa que en la Elipse. En la Parábola se considera el segundo foco en el infinito.

Trazado de tangentes