Unidad Didáctica 5

Tangencias.

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Tangencias.

Tangencias. Características básicas y posiciones relativas de los elementos.

Tangencias propiedades fundamentales y principios básicos.

Resolución de problemas.

Trazados básicos de tangencias

Trazado de rectas tangentes a circunferencias

Trazado de circunferencias tangentes a una recta

Trazado de circunferencias tangentes a dos y tres rectas

Trazado de circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia

Trazado de circunferencias tangentes a otra

Trazado de circunferencias tangentes a otras dos

Enlaces

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Tangencias.

Las tangencias pueden darse entre circunferencias, entre circunferencias y rectas, entre polígonos y rectas, entre circunferencias y polígonos, etc. Sin embargo, las tangencias más habituales en los dibujos geométri-cos son aquellas que se generan entre rectas y circunferencias, y entre circunferencias entre sí.

Posiciones relativas entre rectas y circunferencias (Fig. 1)

Exteriores: cuando la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común.

Tangentes: cuando la recta y la circunferencia tienen ningún punto en común, el punto de tangencia.

Secantes: cuando la recta y la circunferencia tienen dos punto en co-mún, los puntos que surgen del corte o intersección.

DICCIONARIO

Tangente

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Posiciones relativas entre circunferencias (Fig. 2)

Además de las posiciones anteriores dos circunferencias pueden ser interiores y concentricas.

Interiores: cuando las circunferencias no tienen ningín punto en común, pero una está dentro de otra.

Concéntricas: cuando las circunferencias no tienen ningín punto en común, está dentro de otra, y comparten el centro, es decir, O1=O2.

Tangencias. Características básicas.

Se dice que dos figuras son tangen-tes cuando tienen un solo punto en común, al que se conoce como punto de tangencia.

La unión armónica entre curvas y rectas o de curvas entre sí se llama enlace y esta unión debe producirse por tangencia.

(Fig. 1)

(Fig. 2)

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Tangencias.

Una recta es tangente a una cir-cunferencia cuando tienen entre sí solamente un punto (M) en común.Además el punto de tangencia entre una recta y una circunferencia se encuantra en el radio perpendicular a la recta (M) .

El centro de la circunferencia tangente a dos rectas que se cortan está situado en la bisectriz.

Dos circunferencias son tangentes si tienen un punto en común (N) alineado con los centros de las cir-cunferencias, es decir, el punto de tangencia entre dos circunferencias se halla en la linea de centros.

Propiedades de las tangencias.

Para solucionar con exactitud los trazados de tangencias, han de tenerse en cuenta los siguientes propiedades y características:

El centro de la circunferencia que pasa por dos puntos está en su media-triz.

Si dos circunferencias son tangentes (exteriores o interiores), sus centros están alineados con el punto de tan-gencia y distan la suma o diferencia de sus respectivos radios.

Resolución de problemas de tangencias.

Existen multitud de casos en la resoluciónd e problemas de tangen-cias, y los podemos dividir en dos tipos diferentes:- casos de rectas tangentes a circunferencias- casos de circunferencias tangentes a rectas- circunferencias tangentes a otra circunferencia- circunferencia tangente a otra circunferencia y a una recta- circunferencia tangente a otras dos circunferencias

Para ello nos darán los datos y siempre dos o tres elementos al menos.

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Tangencias.

Trazados básicos y recordatorios para trazar tangencias.

Trazado de circunferencias que pasen por tres puntos no alineados.

Trazado de circunferencias que paren por dos puntos A y B, cono-ciendo el radio de las circinferencias solución R.

Uno de los principios básicos de tangencias dice que la linea de centros de las circunferencias que pasan por dos puntos es la mediatriz. El centro de la circunferencia dista de sus puntos la medida del radio, por tanto desde los puntos trazamos circunferencias con el radio de la solución. En la intersec-ción de la mediatriz y la circunferencia están los centros de la solución.

Trazados de rectas tangentes a circunferencias.

Trazadode una recta tangente a una circunferencia conocida por un punto P de la misma recta

PASO 0. Mediatriz de AB.PASO 1. Mediatriz de BC.PASO 2. En la intersección de las mediatrices está el centro de la circunferencia que para por A, B y C. Se basa en la definición del Lugar Geométrico de la Mediatriz y la Circunferencia.

PASO 0. Mediatriz de AB.PASO 1. con centro en A y B trazamos una circunferencia auxiliar de radio R, el radio de la solución.Tanto la mediatriz como las circunferencias auxiliares son lineas de centros.PASO 2. en la intersección de las circunferencias auxiliares y la mediatriz, están los O1 y O2 solución.

PASO 0. Se traza el radio que une los puntos O y P.PASO 1. A continuación, se dibuja por el punto P la recta perpendicular al radio, que es la recta tangente r buscada.

Trazado de una recta tangente a una circunferencia desde un P exterior a esta.

PASO 0. Se une el punto P con el centro de la circunferencia, O, y se dibuja la mediatriz del segmento OP obteniéndose así el punto H.PASO 1. Con centro en H y radio HO, se dibuja un arco que corta a la circunferencia dada en los puntos M y M’, que son los puntos de tangencia.PASO 2. Las rectas de tangencia r y s resultan de unir el punto P con M y M’

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Tangencias.

Trazado de un rectas tangentes exteriores a dos circunferencias. Descríbase desde O’ una circunferencia cuyo radio sea la diferencia de los radios de las dos circunfe-rencias dadas. Se toma el punto M, en medio de O’O. Haciendo centro en M, trácese una circunferen-cia que pase por O’ y O. Por las intersecciones de esta circunferencia con la circunferencia auxiliar O’, hágase pasar dos rectas que cortarán a la circunferencia mayor en dos puntos P y Q que son los puntos de tangencia. Desde el punto O, se trazan las rectas OB y OD respectivamente paralelas a PO’ y O’Q. Uniendo los puntos B y P, así como DQ, y prolongando las rectas se obtienen las tangentes pedidas.

Trazado de un rectas tangentes interiores a dos circunferencias.

Descríbase desde O’ una circunferencia cuyo radio sea la suma de radios de las dos circunferencias propuestas. Se toma el punto M, en medio de O’O. Haciendo centro en M, trácese una circunferencia que pase por O’ y O, que cortará a la auxiliar en P y P’. Se unen estos puntos con el centro O’. Las intersecciones de estas rectas con la circunferencia serán los puntos de tangencia. Los otros dos puntos N y N’ se hallan por medio de paralelas a O’P y O’P’.

Trazado de circunferencias a una recta.

Circunferencias tangentes a una recta conocido el radio y un punto T ( r, R, T)

Circunferencias tangentes a una recta conocido el radio y un punto M ( r, R, M)

PASO 0. Se traza la perpendicular a la recta t por el punto T y se lleva el radio r en los dos sentidos,obteniendo así los puntos S1 y S2 , centros de las dos posibles soluciones.PASO 1.Con centro en S1 y S2 y radio r se obtienen las dos circunferencias tangentes a la recta t en el punto T .

PASO 0. Dado que la circunferencia solución ha de pasar por P y ser tangente a la recta m, su centro equidistará de ambos elementos. Por ello, y para su localización, se traza la paralela a m distante la magnitud r, y con centro en P un arco de radio r; los puntos de intersección S1 y S2son los centros de las circunferencias solución.PASO 1. Se trazan las dos circunferencias y se definen los puntos de tangencia T1 y T2 con la recta.

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Tangencias.

Trazado de circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan conocido un punto T (r, r, T)

Circunferencias tangentes a una recta en un punto T de ella y que pase por un punto M (r, T, M) P=T

PASO 0. Puesto que M y P tienen que ser puntos de la circunferencia que se desea trazar, su centro tiene que encontrarse en la mediatriz de MP.PASO 1. Al ser P el punto de tangencia en la recta r, el centro O de la circunferencia se sitúa donde la perpendicular trazada desde P a r corta a la mediatriz MP.

Trazado de circunferencias tangentes a dos y tres rectas.

Trazado de circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan conocido el radio de la solución (r, r, R)

PASO 0. Se dibuja la bisectriz del ángulo quedeterminan las rectas.PASO 1. Se traza una recta t paralela a una de las rectas dadas y, separada de ella, la medida del radio r conocido. La intersección de t con la bisectriz es el centro de la circunferencia que se ha de trazar.PASO 2. Los puntos de tangencia son M y M’, que se hallan dibujando los radios perpendiculares a las rectas r y s.

Trazado de circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan dos a dos (r, r, r)

PASO 0. El problema admite dos soluciones. Los centros de ambas (S1 y S2 ) serán los puntos comu-nes de la perpendicular trazada por T a la recta q con las bisectrices de los ángulos que forman p y q.PASO 1. Como siempre, los puntos de tangencia T1 y T2 de cada solución con la recta p se obtienen trazando perpendiculares por los centros S1 y S2 de ambas soluciones.

PASO 0. Las rectas conforman el triángulo ABC, de vértices la intersección de las rectas dadas. El punto de corte de las bisectri-ces de los ángulos interiores del triángulo determinan el incentro (S1), centro de la circunferencia inscrita y primera de las solucio-nes. Análogamente, los puntos de corte de las bisectrices correspondientes a los ángulos exteriores definen los centros (S2 , S3 y S4 ) de las otras tres circunferencias exteriores al triángulo ABC.PASO 1. El radio de cada solu-ción, como siempre, viene dado por la distancia del centro a cualquiera de las rectas. En la fi-gura, se han señalado los puntos de tangencia de las soluciones con cada una de las rectas.