Introduccin a la Teora de GrficasBernardo Llano

Departamento de MatemticasUniversidad Autnoma Metropolitana

Iztapalapa

Mxico D. F.

IV ESCUELA DE MATEMTICAS DEL CARIBE

Universidad de Cartagena de Indias19 al 21 de octubre de 2015

2

Los puentes de Knigsberg Knigsberg (actualmente Kaliningrado) es una

ciudad de Rusia a orillas del ro Pragel.

(Mapa de 1613, Google)

3

Los puentes de Knigsberg Knigsberg (actualmente Kaliningrado) es una

ciudad de Rusia a orillas del ro Pragel. Dos islas en el ro forman parte de la ciudad. Problema:

Puede un habitante salir de su casa, cruzar cada puente exactamente una vez y regresar a su casa?

Z

X

YW

4

Un modelo del problema

Un vrtice : una regin

Una arista : un camino (puente) entre dos regiones

a1a2

a3a4

a6

a5

a7

Z

Y

X

W

X

Y

Z

W

5

Un modelo general

Un vrtice : un objeto

Una arista : una relacin entre dos objetos

Rectngulo Rombo

Cuadriltero

6

Qu es una grfica?

Una grfica G es una terna: un conjunto de vrtices V(G), un conjunto de aristas E(G) y una relacin entre una arista y un par de

vrtices.

Y

a1a2

a3a4

a6

a5

a7

Z

X

W

7

Lazos y aristas mltiples

Lazo: Una arista que comienza y termina en el mismo vrtice.

Aristas mltiples: Varias aristas entre el mismo par de vrtices.

lazo

aristasmltiples

8

Grficas simples

Grfica simple: Es una grfica sin lazos ni aristas mltiples.

No es una grfica simple

aristasmltiples

lazo

Una grfica simple

9

Vrtices adyacentes (vecinos) Dos vrtices son adyacentes (o vecinos) si

son los vrtices que definen una arista. Ejemplo:

u v

w x y

z

u y v son adyacentes,x y z no son adyacentes.

10

Grficas finitas y grficas nulas

Grfica finita: Una grfica con conjuntos finitos de vrtices y aristas.

Grfica nula: Una grfica con el conjunto de aristas igual al conjunto vaco.

11

Complemento de una grfica

Complemento of G: El complemento G de una grfica simple G se define como:

una grfica simple tal que V(G) = V(G) E(G) = { uv | uv E(G) }

G

u

wx

Gvy

u

y v

x w

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Clanes

Un clan en G : Un conjunto maximal de vrtices en el cual todos los pares de vrtices son adyacentes.

Ejemplos:

Gu v

w x y

z

- {u,v,w,x} y {v,y,z} sonclanes de G,- {u,w,x} no es clan deG (no es maximal).

13

Conjuntos independientes

Un conjunto independiente en G : Un conjunto de vrtices en el cual todos los pares de vrtices no son adyacentes.

Ejemplos:

Gu v

w x y

z

- {u,z} y {w,y} son conj.indep. de G,- {u,y,z} no lo es.

14

Grficas bipartitas

Una grfica G es bipartita si V(G) es la unin dos conjuntos independientes llamados las partes de G.

Equivalentemente, V(G) se puede particionar en dos conjuntos independientes.

Ejemplo:

15

Grficas bipartitas

Ejemplos:

Hombres

Mujeres

Problema deacoplamiento

Trabajadores

Tareas

Problema de asignacin(acoplamientos perfectos)

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Nmero cromtico

El nmero cromtico de una grfica G, denotado por X(G) es el mnimo nmero de colores necesarios para etiquetar los vrtices tal que vrtices adyacentes reciben colores distintos.

Gu v

w x y

z

X(G) = 4

17

Mapas y coloraciones

Un mapa es una particin del plano en regiones conexas.

Podemos colorear las regiones de cualquier mapa usando a lo ms cuatro colores tal que regiones vecinas reciben distinto color?

Colorear un mapa colorear una grfica Una regin Un vrtice Adyacencia Una arista

18

Mapas y coloraciones

19

Mapas y coloraciones

20

Mapas y coloraciones

5

3 8

4 7

6

1

2

9

10

21

Horarios y coloraciones de grficas

Ejemplo. Salones de clase y asignacin de materias para las clases: dos materias no pueden asignarse al mismo saln de clases en el mismo horario.

Geometralgebra

Saln 1

22

Horarios y coloraciones de grficas Modelo:

Cada materia se representa con un vrtice.

Una arista entre dos vrtices si las materias comparten saln de clase.

Dos vrtices adyacentes no pueden recibir el mismo color (distingue horarios).

Geometralgebra

Saln 1

23

Horarios y coloraciones de grficas

El problema de asignar salones de clases es equivalente al problema de colorear una grfica.

lgebra

Geometra

Anlisis

Saln 1 Saln 1

Saln 1

24

Trayectorias y ciclos Trayectoria : Una sucesin de vrtices

distintos tal que dos vrtices consecutivos son adyacentes.

Ciclo: Una trayectoria cerrada. Ejemplo:

- (u,v,x,y,z,w) y (z,v,w,x,y) son trayectorias de G.- (u,v,x,y,z,w,u) y (z,v,w,x,y,z) son ciclos de G.- (u,v,x,u) y (v,y,z,v) son tringulos de G.

u v

w x y

z

G

25

Subgrficas

Una subgrfica de una grfica G es una grfica H tal que:

V(H) V(G) y E(H) E(G), adems la asignacin de los vrtices terminales a

las aristas de H es la misma que la asignacin en G.

26

Subgrficas Ejemplos: H1, H2 y H3 son subgrficas de G.

u v

w x y

z

G

v

w

H1

u v

w x y

z

H2

v

x y

z

u

w

H3

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Conexidad Una grfica G es conexa si existe una

trayectoria entre cualquier par de vrtices. Se dice que G es disconexa en otro caso.

Ejemplos:

v

w

u v

w x y

z

v

x y

z

u

w

conexa

conexadisconexa

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Adyacencia, incidencia y grado

Supongamos que e = {u,v } es una arista con vrtices terminales u y v en una grfica G.

Los vrtices u y v son adyacentes. La arista e es incidente a los vrtices u y v. El grado de un vrtice u es el nmero de

vrtices adyacentes a u. Se denota por d(u).

u ve

u v

w x y

z

Gd(v) = 5

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Primer teorema de la Teora de Grficas

Teorema (Euler, 1736). La suma de todos los grados de los vrtices de una grfica G = (V,E) es igual al doble del nmero de aristas.

Demostracin. Al sumar los grados de los vrtices de G, contamos dos veces cada arista, una vez por cada uno de los dos vrtices incidentes a cada arista. #

Corolario. Toda grfica tiene un nmero par de vrtices de grado impar.

30

Matriz de adyacencia

Sean G = (V, E), |V| = n y |E| = m.

La matriz de adyacencia de G, denotada por A(G), es una matriz de n x n, donde la entrada ai,j es el nmero de aristas en G con vrtices terminales {vi, vj}.

w x y z 0 1 1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 0 0 1 1

wxyz

w

y

zx

A(G)G

31

Matriz de incidencia

Sean G = (V, E), |V| = n y |E| = m.

La matriz de incidencia M(G) de G es la matriz de n x m, donde la entrada mi,j es 1 si ei es incidente al vrtice vj y 0 en otro caso.

a b c d e 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1

wxyz

w

y z

x

ab

c

de

GM(G)

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Isomorfismo de grficas Un isomorfismo entre grfica simples G y H

es una biyeccin f : V(G) V(H) such that {u,v} E(G) ssi {f(u),f(v)} E(H).

Se dice que G es isomorfo a H y se denota por G H. Ejemplo:

1

2

3

45

a

b c

d

e

6 7

8

910

f

gh

i

j

33

La grfica completa

Grfica completa: Una grfica simple tal que todos sus pares de vrtices son adyacentes.

K 1 K 2K 4

K 5

K 3

K 6

34

Grficas bipartitas completas (biclanes) Una grfica bipartita completa (biclan) es una

grfica bipartita simple tal que cualquier par de vrtices son adyacentes si y solo si estn en partes distintas.

Ejemplos:

K 1,4 K 2,3 K 3,3

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La grfica de Petersen La grfica de Petersen es la grfica simple

cuyos vrtices son todos los subconjuntos de cardinalidad 2 de un conjunto de cardinalidad 5 y existe una arista entre dos subconjuntos A y B de cardinalidad 2 si A y B son disjuntos.

S = {1,2,3,4,5}

{1,2}

{3,4}

{1,5}{2,3}

{4,5}{3,5}

{2,5}

{2,4}

{1,4}

{1,3}

36

Dibujos de la grfica de Petersen

(tomado de Wolgram MathWorld)

37

Cuello y circuferencia de una grfica Cuello g (G ) de G : la longitud del ciclo ms

corto. Circunferencia c (G ) de G : la longitud del

ciclo ms largo. Si G acclica, g (G ) y c (G ) son infinitos. Ejemplos:

- El cuello y la circunferencia de la grfica de Petersen es igual a 5.

- El cuello de la grfica completa con n vrtices es igual a 3 y la circuferencia es igual a n.

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Caminos y paseos

Un camino en G : Es una sucesin alternate de vrtices y aristas v0, e1, v1, ., ek, vk tales que para i = 1,2,k, la arista ei tiene como vrtices terminales vi-1 y vi (vrtices y aristas pueden repetirse).

Un paseo de G : Es un camino sin aristas repetidas (los vrtices s pueden repetirse).

39

Caminos y paseos Ejemplos:

G

Caminos: (u,a,v,d,w,e,z,f,v,a,u,c,x,l,y,j,s) (t,n,z,n,t,h,v,k,s,j,y,l,x,g,v,k,s,j,y,m,z)Paseos: (u,a,v,d,w,b,u,c,x,l,y,j,s,k,v,g,x) (z,e,w,d,v,a,u,c,x,g,v,k,s,j,y)Trayectorias: (u,a,v,k,s,j,y,m,z,n,t) (v,g,x,l,y,m,z,e,w)

u v

w x y

zt

sa

bc

d

ef

g h i j

k

l

m

n

40

Trayectorias Un {u,v}-camino o un {u,v}-paseo tiene como

vrtice inicial u y vrtice final v (los que llamamos vrtices terminales).

Una {u,v}-trayectoria es un {u,v}-paseo sin vrtices repetidos.

La longitud de un camino, paseo, trayectoria o ciclo es su nmero de sus aristas.

La distancia d(u,v) entre u y v de G es la longitud de la {u,v}-trayectoria ms corta.

Un camino o paseo es cerrado si sus vrtices inicial y final coinciden.

41

Teorema. Todo {u,v}-camino contiene una {u,v}-trayectoria.

Demostracin. Induccin por la longitud l de un {u,v}-camino,

denotado por W. Paso base: l = 0. Como no hay aristas, W

consiste de un solo vrtice (u=v). Este vrtice es una {u,v}-trayectoria de longitud 0.

Paso inductivo : l 1. Supongamos que el teorema es vlido para camino de longitud menor que l. Si W no tiene vrtices ni aristas repetidos, entonces W es una {u,v}-trayectoria.

42

Teorema. Todo {u,v}-camino contiene una {u,v}-trayectoria.

Demostracin (continuacin). (Paso inductivo : l 1.) Si W tiene un vrtice

repetido w, entonces borramos las aristas y vrtices (distintos de w) entre w y su siguiente aparicin en la sucesin de W. As obtenemos un {u,v}-camino W ms corto y contenido W.

Por hiptesis de induccin, W contiene una {u,v}-trayectoria P que adems est contenida en W. #

Corolario. Todo {u,v}-camino cerrado contiene un ciclo.

43

Grficas bipartitas y ciclos paresTeorema. Una grfica simple conexa G es bipartita si y

solo si todos los ciclos de G son de longitud par.

1 2

1

2

3

3

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

44

Grficas bipartitas y ciclos pares

Teorema. Una grfica simple conexa G es bipartita si y solo si todos los ciclos de G son de longitud par.

Demostracin. Si todos los ciclos de G son pares, entonces G

es bipartita. Es inmediato (los ciclos alternan entre las partes de G).

Supongamos s.p.g. que G es conexa y todos los ciclos de G son pares. Sea v un vrtice de G. Sean X el conjunto de vrtices que estn a distancia par de v e Y el conjunto de vrtices que estn a distancia impar de v.

45

Teorema. Una grfica simple conexa G es bipartita si y solo si todos los ciclos de G son de longitud par.

Demostracin (continuacin). Si dos vrtices w y z de X (o de Y) son

adyacentes, entonces d(v,w) + d(v,z) + 1 es la longitud impar de un camino cerrado que va de v a w arista a z y regresa a v. Probamos que todo camino cerrado impar contiene un ciclo impar y as llegamos a una contradiccin (todos los ciclos son pares!).

Sea un camino cerrado impar de longitud l > 2. Induccin sobre l. Base: l = 3, trivial. Hiptesis: la afirmacin se cumple para toda l. Probamos para l + 2 impar. Buscamos el primero repetido. Partimos e hiptesis de induccin. #

46

Componentes conexas Las componentes conexas de una grfica G

son sus subgrficas conexas maximales.

Una componente conexa es trivial si es isomorfa a la grfica nula, en otro caso es no trivial.

Un vrtice est aislado si su grado es 0.

G

47

Componentes conexas Rec. Una grfica G es conexa si existe una

trayectoria entre cualquier par de vrtices.

Definimos una relacin binaria en V(G) : decimos que u ~ v si y solo si existe una {u,v}-trayectoria. Entonces la relacin ~ es de equivalencia. Las clases de equivalencia del cociente V(G) / ~ corresponden a las componentes conexas de G.

G

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