MatemticasUbicacin de los nmeros racionales sobre la recta

Mg. Roger Mestas Chvez

Arquitectura

Marzo, 2015

Ubicacin de los nmeros racionales sobre la recta

A continuacin, a partir de una recta donde se han fijado el cero y launidad, describiremos un procedimiento (usando una regla marcada y uncomps) para ubicar un nmero racional r = p/q con p < q y q 6= 0.Procedimiento:

Trace un segmento de recta con un extremo en el cero y el otrofuera de la recta de partida.Dividir el segmento descrito en el tem A de este procedimiento en qpartes iguales de longitud arbitraria, por ejemplo, de 1 cm.Unir el extremo del segmento con el 1 de la recta real.Con la ayuda de sus escuadras, trace paralelas al segmento anteriorpor cada una de las divisiones marcadas en el paso B: as, se habrdividido en q partes iguales el segmento de extremos 0 y 1 de larecta real.El punto que se encuentra a p divisiones del 0 es el nmero racionalp/q.

Continuacin . . .

ObservacinEl procedimiento anterior puede modificarse para ubicar cualquiernmero racional sobre la recta real. El fundamento geomtrico quejustifica la afirmacin D del procedimiento anterior se conocecomo el teorema de Thales.

Continuacin . . .

Teorema (Teorema de Thales)Tres o ms rectas paralelas cortadas por dos rectas secantescualesquiera determinan, sobre estas secantes, segmentosproporcionales.Dadas los segmentos de rectas paralelas AA BB CC DD ylas rectas L1 y L2, se cumple:

ABAB =

BCB C =

CDC D .

Continuacin . . .

DefinicinLlamaremos construccin con regla y comps al conjunto de trazoshechos con una regla no graduada (sin marcas) y un comps. Laidea es, por un lado, representar grficamente figuras geomtricasy, por otro, ver como esto nos puede ayudar a resolver problemasgeomtricos.

Las construcciones con regla y comps datan de la poca de losgriegos y han sido de inters por ms de 2 000 aos, entre otrascosas, porque es el tiempo que se necesit para poder demostrarlos tres problemas clsicos: la triseccin de un ngulo, lacuadratura del crculo y la duplicacin del cubo no podanresolverse usando regla y comps.

Continuacin . . .

Ejemplo (Divisin de un segmento en partes iguales)Haciendo uso de la regla y el comps, pero sin realizar mediciones,dividir el segmento AB en seis partes iguales.

Continuacin . . .Solucin.

1 Trace una recta LA que pase por A y por un punto exterior alsegmento AB.

2 Marque sobre LA el punto A1 y considere r la longitud delsegmento AA1.

3 Tome la abertura del comps invariable e igual a r yconstruya la circunferencia C1de centro A1 y radio r . Sea A2la interseccin de C1y LA, la longitud del segmento A1A2 esigual a r . Analogamente, construya la circunferencia C2 decentro A2 y radio r . Sea A3 la interseccin de C2 y LA, lalongitud del segmento A2A3 es igual a r . Siguiendo el mismoproceso, determine los puntos A4, A5, A6.

4 Trace el segmento BA6, y con la ayuda de las escuadras, tracesegmentos paralelos a BA6 que pasan por A1, A2, A3, A4 yA5, los cuales cortan al segmento AB en los puntos B1, B2,B3, B4 y B5.

Continuacin . . .

1 Por el teorema de Thales :

AB1B1B2

=AA1A1A2

= 1 AB1 = B1B2,

B1B2B2B3

=A1A2A2A3

= 1 B1B2 = B2B3,

B4B5B5B

=A4A5A5A6

= 1 B4B5 = B5B.

2 Del paso anterior, se obtieneAB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B, lo cual nos

indica que se ha dividido el segmento AB en seis partesiguales.