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3. Basándose en el procedimiento anterior se tiene que los ángulos a y e, b y f, c y g, d y h son iguales y que los ángulos a y h, d y e, b y g, c y f son suplementarios.

Tema 3. Simetría central y volumen (unidades de volumen, capacidad, desarrollos planos) Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de de sus caras. Los poliedros tienen caras planas, estás son polígonos y tienen la siguiente clasificación: Prisma: dos de sus caras se llaman bases, éstas son iguales y paralelas entre sí. Sus otras caras reciben el nombre de caras laterales, las cuales son cuadrados o rectángulos y lo largo de una de éstas es llamada altura del prisma, que se simboliza con la letra h.

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M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

Pirámide: tiene sólo una base que es un polígono regular. Sus caras laterales son triángulos y se unen en un punto común llamado cúspide. La recta perpendicular a la base que pasa por la cúspide recibe el nombre de altura.

Para identificar el nombre de un prisma o pirámide, basta con saber el nombre de los polígonos que forman su base, es decir, un prisma pentagonal tiene pentágonos como bases y una pirámide hexagonal tiene un hexágono como base. El volumen de un poliedro se define como el espacio que

ocupa y se expresa en metros cúbicos ( 3m ), decímetros

cúbicos ( 3dm ), centímetros cúbicos ( 3cm ) y milímetros cúbicos

( 3mm ).

Un metro cúbico es la unidad fundamental del volumen y representa el espacio que ocupa un cubo cuyas aristas miden un metro de longitud.

La representación gráfica de la equivalencia entre la unidad fundamental del volumen y el decímetro cúbico (que es un submúltiplo) es la siguiente:

En un cubo cuyas aristas miden un metro de longitud, es posible colocar 1000 cubos cuyas aristas miden un decímetro. Por lo tanto, un metro cúbico equivale a 1000 decímetros cúbicos.

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La equivalencia entre el decímetro cúbico y el centímetro cúbico es similar a la presentada en la figura anterior.

En un cubo cuyas aristas miden un decímetro de longitud, es posible colocar 1000 cubos cuyas aristas miden un centímetro.

El volumen que ocupa un poliedro está determinado por:

Para determinar el volumen del prisma hexagonal que está a la derecha, se realizan los siguientes pasos:

1. Se calcula el área de la base del prisma, el cual está dado por la longitud de su apotema y por su perímetro entre dos, es decir:

2m 4.382

8.762

242.32

)64()2.3(===

xxx.

2. Se multiplica el área de la base (que se calculó en el paso

anterior) por la altura del prisma: (38.4 2m )x(8 m)=307.2 3m

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M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

En la figura de la derecha se muestra un cubo cuyas aristas miden un decímetro, por lo que el volumen que ocupa es igual a un decímetro cúbico. Si este cubo es destapado queda un hueco en su interior, que tiene la capacidad de contener un líquido como el agua.

Este cubo de un decímetro cúbico de volumen puede contener un kilogramo de agua, como se muestra a continuación.

La relación entre el volumen y el peso de un kilogramo de agua da como resultado un litro, que es la unidad fundamental para medir la capacidad de un objeto. La capacidad de un cuerpo u objeto es la propiedad que tiene de contener a otro cuerpo, por ejemplo: Manuel compró un tambo para tener agua en su casa. Si el

tambo tiene un volumen de 2 3m , ¿cuál es la capacidad de este tambo en litros? De la equivalencia entre las medidas de volumen se tiene que 1

3m es igual a 1000 3dm , entonces 2 3m equivalen a 2000 3dm . Como un decímetro cúbico es igual a un litro, se

concluye que el tambo tiene una capacidad de 2000 litros.

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Para construir poliedros se utilizan plantillas formadas por polígonos, que se unen siguiendo algunos pasos. En la siguiente figura se presentan de izquierda a derecha las plantillas de los tres primeros prismas y pirámides de acuerdo al número de lados de los polígonos en su base: prisma triangular y pirámide triangular, cuadrangular y pentagonal.

Simetría central Una rotación o giro de centro O y ángulo α es trasladar un punto A en A´, apoyándose en un centro y girando un ánguloα .

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M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

La simetría central de una figura consiste en una rotación de centro O, donde se gira a un ángulo de 180°.