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Bloque 2. Rectas paralelas, simetría y volumen Tema 1. Clasificación de triángulos y ángulos, rectas de un triángulo y suma de los ángulos interiores de un polígono El triángulo es el polígono con el menor número de lados, cuenta con tres vértices, tres ángulos, tres lados y de acuerdo a

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las definiciones de mediatriz, bisectriz y altura, tiene tres de cada una de estas líneas rectas. Altura, bisectriz y mediatriz de un triángulo La altura de un triángulo es la línea recta que pasa por uno de sus vértices y es perpendicular a la recta que pasa por los otros dos vértices (prolongación del lado opuesto). La altura de un triángulo se denota regularmente con la letra h. El punto en el que se intersecan las alturas se denomina ortocentro y puede estar fuera o dentro del triángulo. La siguiente tabla presenta algunos de los casos del trazo de las alturas de un triángulo.

Las alturas del triángulo se intersecan en un punto y se encuentran en el interior del triángulo.

Las alturas de un triángulo isósceles que a su vez es un triángulo rectángulo se intersecan en el vértice de sus lados perpendiculares.

En este triángulo las alturas se intersecan en un punto exterior a él. En este caso es necesario trazar una prolongación de los lados del triángulo para obtener las alturas del mismo.

La bisectriz de un triángulo es la línea recta que divide a cada uno de sus ángulos en dos ángulos iguales. Las tres bisectrices de un triángulo se intersecan en un punto denominado incentro. Una de las propiedades del punto de intersección de sus tres bisectrices es que éste es el centro de un círculo, cuya circunferencia se encuentra dentro del triángulo y tiene un punto en común con cada lado del triángulo.

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El incentro siempre se encuentra dentro del círculo. La figura muestra las bisectrices de un triángulo y el punto de intersección de las mismas, denotado por la letra “I”, así como la circunferencia inscrita en cada uno de los triángulos. La mediatriz de un triángulo es la línea perpendicular trazada en el punto medio de cada uno de sus lados, que se intersecan en un punto llamado circuncentro, el cual puede estar localizado en el interior, exterior o en un lado del triángulo. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos El punto de intersección de las mediatrices de un triángulo y la circunferencia que se puede trazar, permiten deducir que todo triángulo divide a la circunferencia en tres partes determinadas por los lados adyacentes del triángulo, es decir, como los vértices del triángulo se encuentran en la circunferencia, éstos la dividen en tres partes.

Las longitudes de cada uno de las divisiones de la circunferencia de un triángulo pueden ser comparadas entre sí, para saber cuáles son algunas de las propiedades y clasificación de los triángulos. Una característica de todos los triángulos es que la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°, por ejemplo:

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La figura de la izquierda presenta un triángulo isósceles, donde los vértices A y C hacen una división de la circunferencia en dos partes iguales, ya que la recta que pasa por estos vértices es un diámetro.

Como el ángulo ABC es de 90°, entonces la suma de los otros dos debe de ser igual a éste, por lo que cada uno de los otros dos ángulos miden 45° debido a que la longitud de la circunferencia de A a B y de B a C es igual. De acuerdo con la medida de los ángulos, hay diferente tipos de triángulos: acutángulo, rectángulo y obtusángulo.

El triángulo acutángulo tiene tres ángulos menores a 90° y el circuncentro se encuentra dentro del triángulo.

En el triángulo rectángulo uno de los ángulos es igual a 90° y el circuncentro se encuentra en el punto medio de su lado no perpendicular. En el triángulo obtusángulo uno de los ángulos es mayor a 90° y el circuncentro se encuentra fuera del triángulo.

También hay que recordar que cuando los tres lados de un triángulo son iguales se llama triángulo equilátero, cuando dos lados son iguales recibe el nombre de triángulo isósceles y si no cuenta con ningún lado igual se llama triángulo escaleno.

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Suma de los ángulos interiores de un polígono Para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono (regular o irregular) se deben llevar a cabo los siguientes pasos: Paso 1. Se debe determinar el número de triángulos que se pueden formar en el polígono, sin que ninguno de sus lados se intersequen. En un polígono de cuatro lados Se pueden formar 2 triángulos.

En un polígono de cinco lados Se pueden formar 3 triángulos.

El número de triángulos que se pueden formar en un polígono es igual al número de lados que tiene, menos dos. Paso 2. Se multiplica el número de triángulos que se pueden formar en un polígono por 180°. La suma de los ángulos interiores es iguala a:

°=°× 3601802 .

La suma de los ángulos interiores es iguala a:

°=°× 4801803 .

Ángulos formados al cortarse dos rectas transversales. Cuando se cortan dos rectas oblicuas ( 1L y 2L ) se forman cuatro ángulos, los cuales tienen características y propiedades comunes.

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Se denominan ángulos opuestos por el vértice a los ángulos a y c, b y d. Los ángulos adyacentes son aquellos que tienen en común un vértice y uno de sus lados. Así, los ángulos a y b, a y d, b y c, c y d son todos adyacentes.

Cada una de las líneas que están en la figura de la derecha es un diámetro de la circunferencia que la divide en dos partes iguales de donde se obtiene que: la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180°, es decir, a+b=b+c=c+d=d+a=180°.

Por ejemplo: ¿Cuál es la medida de los cuatro ángulos formados al cortarse dos rectas oblicuas en la figura? La medida del ángulo x es igual a 60 debido a que ésta es la medida de su ángulo opuesto por el vértice. Para determinar la medida de los otros dos ángulos basta con encontrar la medida de algunos de ellos. Como el ángulo c es adyacente al ángulo de 60°, entonces 60° + c=180°, de donde se obtiene que c=120°. La medida del ángulo x + y = 120° por ser opuesto al ángulo c. Entonces, como x=60°, y = 60°. Para determinar la medida de los ángulos formados al cortarse dos rectas oblicuas, solamente es necesario conocer la medida de uno de sus ángulos debido a que: 1. La medida de su ángulo opuesto es igual a la medida del ángulo dado. 2. La medida de sus otros dos ángulos son iguales por ser opuestos por el vértices y la medida de cada uno de ellos se obtiene restando a 180° la medida del ángulo conocido.

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Sin embargo, hay ocasiones en las que no se sabe cuál es el valor de los ángulos y para determinarlos es necesario resolver un sistema de ecuaciones. Por ejemplo en la figura de la derecha se tiene que: a) los ángulo c=n y 2n=d por ser opuestos por el vértice. b) los ángulos 2n + n=180° por ser adyacentes.

Se deduce que 2n + n = 3n = 180°, es decir, n = 60° y conjuntando los incisos a) y b) se determina que c = 60° y d=180° - 60°=120°.