u5 4to cjsf 2019

Unidad No. 5: Funciones trigonométricas

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Armado y diseño de la Unidad: Prof. Andrea Gandolfi

Apuntes y videos tutoriales: http://acgandolfi.wix.com/matematica

Casa Salesiana

Juan Segundo Fernández

Unidad Nº5

Funciones

Trigonométricas

Nombre: ………………………….………………

4to. Año -2019-

CJSF 4to. Año 2019


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Unidad Nº3: Funciones Trigonométricas

1. En el siguiente gráfico se observa cómo varía la profundidad del agua de un puerto a lo largo de un día.

Marea alta o pleamar: momento en que el agua del mar alcanza su máxima altura dentro del ciclo de las mareas.

Marea baja o bajamar: momento opuesto, en que el mar alcanza su menor altura.

Responder teniendo en cuenta el gráfico:

a. ¿En qué momento/s del día se produce la pleamar?

b. ¿En qué momento/s del día se produce la bajamar?

c. ¿En qué momentos del día el nivel del agua está subiendo?

d. ¿En qué momentos del día el nivel del agua está descendiendo?

En general, muchos fenómenos y situaciones de la vida diaria se comportan de forma que las funciones que los representan se repiten periódicamente:

En las siguientes situaciones está presente el fenómeno de periodicidad:

el avance y retroceso de las mareas;

las fases de la Luna;

el movimiento de oscilación de un reloj de péndulo;

algunas magnitudes físicas: la corriente eléctrica, los campos electromagnéticos;

Estas situaciones, y en general todo fenómeno que se repite en forma periódica, se modelizan utilizando las funciones que se denominan funciones trigonométricas.

Para comenzar a trabajar recordaremos algunos conceptos:

razones trigonométricas

Se llaman razones trigonométricas de ángulo agudo de un triángulo rectángulo a los siguientes cocientes:

ˆcateto opuesto de ˆ ˆseno de

hipotenusasen

hipotenusaˆ ˆcosecante de cos

ˆcateto opuesto de ec

ˆcateto adyacente de ˆ ˆcoseno de cos

hipotenusa hipotenusaˆ ˆsecante de sec

ˆcateto adyacente de

ˆcateto opuesto de ˆ ˆtangente de ˆcateto adyacente de

tg

ˆcateto adyacente de ˆ ˆcotangente de ˆcateto opuesto de

cotg

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Uso de la calculadora

Colocamos la calculadora en modo DEG

Para calcular cos35º25 :

De igual modo obtenemos el seno o la tangente.

Para encontrar el ángulo , sabiendo su seno: ˆ 0,62sen

De igual modo obtenemos el ángulo conociendo el coseno o la tangente, pulsando y

2. En cada caso, calculen el coseno del ángulo indicado con una letra. ¿Algunos de esos ángulos serán iguales?

3. En los triángulos ABC

y GHI

, se saben que los lados miden:

Mateo y Camila no se ponen de acuerdo:

- Mateo : “Para mí, los ángulos y no son iguales porque si se calcula 14, 1

cos 0,9415

y

8,55cos 0,342

25 “

- Camila: “Lo que decís, está mal, porque como el cos 0,94 entonces ˆ 20º . Y la cuenta8,55

0,34225

es el coseno de , no de . Por lo tanto, ˆ 70º entonces ˆ 20º .Los ángulos y

miden lo mismo” ¿Cuál de los dos tienen razón? ¿Es cierto que y son iguales?

cos 3 5 5º ' " 2 º ' " =

shift sen 0 2 6 º ' "=

shift shift cos tan

14, 1cm15cm

25cm

8,55cm

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Ángulos Orientados

El ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que se intersecan en un punto 0, una de las

semirrectas se denomina lado inicial oa

y la otra lado final

ob

.

Si consideramos el ángulo situado en el plano con el sistema de coordenadas cartesianas, de modo tal que el lado inicial coincida con el semieje x positivo, el lado final puede rotar en dos direcciones, si lo hace en sentido anti- horario decimos que el ángulo es positivo y si la rotación es en sentido horario se dice que el ángulo es negativo:

Sistemas de medición de ángulos

El sistema de medición de ángulos que se utiliza con mayor frecuencia es el sistema sexagesimal.

Se denomina así porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que la siguiente unidad inferior (o superior).

La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimal es el grado (º), que representa la subdivisión en 90 partes iguales de un ángulo recto. Cada grado se divide en 60 minutos (´) y cada minuto se divide en 60 segundos (’’).

El ángulo recto mide 90º, el llano mide 180º y el ángulo de un giro mide 360º.

Otro sistema para medir ángulos

Para el estudio de las funciones trigonométricas, no resulta práctico utilizar el sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos) por este motivo, se buscó una forma de medirlos , el Sistema radial, que sea decimal: cuya unidad de medida es el radián.

El ángulo que mide 1 radian; es el

ángulo cuyo arco de circunferencia AB

es igual al radio.

Un radián es el cociente entre la longitud del

arco y el radio de la circunferencia que lo

incluye: logitud de arco

1 radian=r

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4. Realizar la siguiente actividad, (con el link: https://www.geogebra.org/classic/bcdq85tb o escaneando el código QR :

a. Desplazar el punto B de la circunferencia y observar las amplitudes de los ángulos y sus arcos de circunferencias. Recordar que la longitud de una circunferencias es: 2 r

b. Completar la siguiente tabla :

Ángulos Sistemas Sistema Sexagesimal (grados) Sistema Circular o Radial (Radian)

Angulo Nulo

Angulo Recto

Angulo Llano

Angulo de un Giro

5. ¿Cuál es el ángulo, medido en el sistema sexagesimal que en el sistema radial mide 1,7 radianes?

6. ¿Cuál es el ángulo, medido en el sistema radial que en el sistema sexagesimal mide 30º?

7. Determinar cuál es el ángulo t , medido en el sistema sexagesimal, si en el sistema radial mide3

rad

. ¿y si

mide 4

3rad

?

8. Completar la siguiente tabla:

Grados 60º 120º 135º 150º 225º 270º 300º

Radianes

9. Con la calculadora:

a. ¿A cuántos radianes equivalen los ángulos de 240º, 12º y 36º ?

b. ¿A cuántos grados equivale 1 radian?

c. Completar:

Grados 125º 15º 375º

Radianes 5

2rad

3 rad 3, 7rad

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ˆ1

ˆcos1

ˆ

pp

pp

p

p

ysen y

xx

ytg

x

Razones Trigonométricas de un ángulo

Si P= ;p px y es un punto del lado terminal de un ángulo agudo cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo

de las x, podemos construir un triangulo rectángulo y definir las razones trigonométricas de la siguiente manera:

ˆsen

ˆsen

ˆcos

ˆcos

ˆtg

ˆtg

Conclusiones:

10. Completen:

a. El coseno de 30º, es igual al seno de: ……………………

b. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo de 50º, es igual al coseno del otro ángulo agudo de dicho triángulo, ¿sería el coseno de qué ángulo? ……………….

c. “Sabiendo que cos 14º 0,9702 76º ..............sen

d. ¿Es posible que ˆ ˆcossena a ? ¿por qué?

Circunferencia Trigonométrica

Si consideramos un punto P= ;p px y sobre una circunferencia de radio 1, a la que llamamos circunferencia

trigonométrica o circunferencia unitaria, podemos visualizar gráficamente el seno, coseno y la tangente de un ángulo en un sistema cartesiano.

Como 1r :

Por lo tanto las coordenadas del punto P serian:

;P .

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El signo de cada razón trigonométrica depende de la ubicación del punto , ; p pp x y en el

plano cartesiano.

Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

11. Realizar la siguiente actividad, (con el link: https://www.geogebra.org/m/huys3s2w o escaneando el código QR :

a. Desplazar el punto de la circunferencia y relacionar las coordenadas según los cuadrantes y completar.

12. Responder;

a. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se encuentran entre 0 y 2π, cuyo seno es igual a 0,5? ¿Qué relación tienen dichos ángulos?

b. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se encuentran entre 0 y 2π, cuyo

coseno es igual a -0,5? ¿Qué relación tienen dichos ángulos?

c. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se encuentran entre 0 y 2π, cuyo

seno es igual a2

2?¿Qué relación tienen dichos ángulos?

d. ¿Qué relación podes encontrar entre los ángulos ˆ 1 .er Cuadrante y según la ubicación del punto de la circunferencia?

Signo según el cuadrante

1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante

seno

coseno

tangente

Si P está en el … 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante

Relación de los ángulos

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En cualquiera de los triángulos anteriores podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

2 2 22 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1 cos cosp pop x y sen sen

Por lo tanto:

2 2ˆ ˆcos 1sen Relación Pitagórica

Funciones Trigonométricas

Si la medida de un ángulo orientado está expresada en radianes, o sea , es un número real, a partir de cada razón trigonométrica se puede definir una función trigonométrica de ese número real t.

Estas funciones son:

cos

cos sec

f t sent f t t f t tgtf t ect f t t f t cotgt

Gráfico de las funciones seno y coseno

Para construir los gráficos de esas dos funciones, primero observemos las principales propiedades de dichas funciones.

13. A partir del link: https://www.geogebra.org/classic/fzanymza o escaneando el código QR :

a. Completar la siguiente tabla con los valores correspondientes:

b. Dominio e imagen de las dos funciones: :Dom

Im

c. Período de las funciones. ¿A partir de qué ángulo se comienzan a repetir las imágenes? d. Ángulos opuestos, calcular y completar:

e.

0 90º 180º 270º

360º

sen

cos

30º

-30º 60º -60º

sen

cos

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f. Crecimiento y decrecimiento de las funciones:

g. A partir de los datos obtenidos, graficar la función seno.

Esta curva recibe el nombre de sinusoide.

h. A partir de los datos obtenidos, graficar la función coseno.

Crece o decrece 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante

seno

coseno

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Funciones del . Cambio de escala del eje de abscisas a Radianes.

14. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones

trigonométricas cuya fórmula tienen la forma: .sen y .cosf x a x f x a x , completar la tabla y sacar conclusiones.

15. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas cuya fórmula tienen la forma:

sen y cosf x bx g x bx , completar la tabla y sacar conclusiones.

Imagen Imagen Imagen Imagen

senf x x 2.seng x x 3senh x x 1sen

2p x x

cosf x x 2.cosg x x

3cosh x x 1

cos2

p x x

Im b Período

a.

: / senf f x x

: / sen 2h h x x

b.

: / senf f x x

1: / sen2

h h x x

c.

: / cosg g x x

: / cos 3t t x x

El factor a determina la ………………..de la onda y no afecta el período, que para todas estas funciones, es 2

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16. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas, completar la tabla y sacar conclusiones.

Grafiquen un período de la siguiente función

1: / 2.sen

3f f x x :

Teniendo en cuenta el gráfico de la función seno, sabemos que:

Período C C

a.

: / senf f x x

: / senj j x x

b.

: / cos 3t t x x

: / cos 3h h x x

El valor absoluto de b indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo de longitud 2 :

En a(x) hay ……… ondas En b(x) hay ……… ondas En c(x) hay …..…ondas

Por lo tanto, el período p se puede calcular como:

2p

b

Cuanto mayor es b, ……………………….es el período.

0

Im:

::

PeriodoCPuntoMaxPuntoMin

0

Im:

::


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17. Graficar un período de la siguientes funciones y completar:

: / 0,75 sen 2a a x x

: / senb b x x

: / 2 cos 3c c x x

0

Im:

::


0

Im:

::


0

Im:

::


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18. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas de la forma

.senf x a bx h , completar la tabla y sacar conclusiones.

a. : / senj f x x

: / sen3

j j x x

: / sen3

j j x x

b. : / cos 2f f x x

: / cos 26

f f x x

: / cos 26

f f x x

.s enf x a b x h

Ejemplo 1: Dada la siguiente función : / 3sen 23

f f x x

, completar y Graficar

Imagen:

Período: Desplazamiento:

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Ejemplo3: Dada la siguiente función 3 1: / cos

2 2 6f f x x

, completar y Graficar un

período

19. Graficar un período de la siguientes funciones y completar : a. : / 2senf f x x

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b. : / 3cos3

f f x x

c. : / 2sen 3

4f f x x

,

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20. La función cuya fórmula es cos 1f x x y la función cuya fórmula es cos 1g x x .son la

misma función? ¿.Por qué?

21. Las funciones cuyas fórmulas son 2senf x x y sen 2g x x son la misma función? .¿Por qué?

La función Tangente

22. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de la función, cuya fórmula es: h x tg x : se pide:

Recordar que tg cos

sen xx

x ,

a. Completar la siguiente tabla con los valores correspondientes:

b. Dominio e imagen de las dos funciones:

:Dom Im

c. Período de las funciones. ¿A partir de qué ángulo se comienzan a repetir las imágenes?

d. Ángulos opuestos, calcular y completar:

e. Crecimiento y decrecimiento de:

0 90º 180º 270º

360º

tg

45º

-45º 60º -60º

tg

Crece o decrece 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante

Tangente

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f. A partir de los datos obtenidos, graficar la función tangente: .

Ecuaciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son periódicas y sus valores se repiten cíclicamente, es habitual que las ecuaciones que las involucran tengan infinitas soluciones que también se repiten cíclicamente.

En las siguientes ecuaciones, nos limitaremos a buscar solo las soluciones que pertenezcan al intervalo señalado.

Dada la función

f =sen2

x x

¿Cuáles son los valores de “x” entre 0 y 2 que cumplen que 1f =2

x ?

Para hallar estos valores implica plantear la siguiente ecuación:

Para resolver esta ecuación es necesario, en principio, hallar los valores de la variable t

que cumplen 1sen2

t

Nos preguntamos, ¿en qué cuadrante la función seno es positiva?

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; S

; ; ; S

Pero no todos los valores hallados se encuentran entre 0 y 2π como pedía el problema.

Es necesario encontrar los valores entre 0 y 2π que verifiquen la ecuación.

Como la función f(x) tiene un período de 2π, los valores de f(x) se repiten cada vez que

a x se le suma un período, o dos períodos o números enteros de períodos.

Por lo tanto a las soluciones encontradas se le suman o restan períodos para encontrar las soluciones el intervalo pedido:

-2periodos -1 periodo Solución +1 periodo +2 periodos

Las soluciones de la ecuación que están entre 0 y 2π son entonces

Dada la función

f =sen2

x x

¿Cuáles son los valores de “x” entre y 3 que cumplen que 1f =-

2x ?

Para hallar estos valores implica plantear la siguiente ecuación:

Para resolver esta ecuación es necesario, en principio, hallar los valores de la variable t

que cumplen 1sen2

t

¿En qué cuadrante la función seno es negativo?

Como x debe verificar, además que -π ≤ x ≤ 3π:



Las soluciones de la ecuación que están entre -π y 3π son

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; ; ; S

Hallar los valores de x que pertenezcan la intervalo ; y que cumplan el

1cos (2 )2

x

¿En qué cuadrante la función coseno es positiva?

Como x debe verificar, además que -π ≤ x ≤ π:



Las soluciones de la ecuación que están entre -π y π son

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23. Hallen el conjunto solución en 0;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a.

cos 1

3x

b. 1sen x

24. Hallen el conjunto solución en ;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a. 2cos 3 1x

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b. 2 2 1sen x

Otro tipo de ecuaciones: Hallar el conjunto solución en 0;2 de

2 3sen sen 1

2x x

,S

25. Hallar el conjunto solución en 0;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a. 2cos 1,5cos 1x x

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b. 2 5sen sen 1

2x x

26. Indiquen la opción correcta. Justifique la respuesta:

a. La función cuya fórmula es cos 2f x x tiene exactamente tres raíces en el intervalo:

i. 0;2 ii. ; iii. ; 24

iv. 0;2

b. La función cuya fórmula es 2seng x x creciente en el intervalo:

i. ; ii. ;2 2

iii. 0;2 iv. 0;

c. La cantidad de soluciones de la ecuación cos 3 0x es:

i. una ii. dos iii. infinitas iv. ninguna

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Repaso para la evaluación

1. Graficar un período de la siguientes funciones y completar la tabla:

: / 2sen4

a a x x

: / 3cos 2b b x x

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a.

2sen 1

4x

b. 3cos 2 0x


a. 2cos 1x

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b.

2 7 22

sen x senx

c. 23 cos 1,5cos 0x x

4. Indiquen la opción correcta. Justifique la respuesta:

a. El ángulo ˆ 2000º :

i. Está en el cuarto cuadrante

ii. Tiene coseno positivo

iii. Tiene el mismo lado terminal que ˆ 160º

iv. No tiene definida la tangente.

b. La función cuya fórmula es 2sen 3g x x ,entonces:

i. 2g g ii. 1 1

2 2g g

iii. 2 2

g g

iv.

1 1

2 3g g

.

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