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DISEÑO MECÁNICO I

M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS Página 1

4.1. ANÁLISIS POR RESISTENCIA.

UNIDAD IVEJES

Un eje de transmisión es un elemento de sección circular cuya función es la de transmitir movimiento y potencia. La transmisión del movimiento se realiza a través de otros elementos talescomo engranes, poleas, cadenas, etc.

Diseñar un eje consiste básicamente en la determinación del diámetro correcto del eje paraasegurar una rigidez y una resistencia satisfactorias, cuando el eje transmite potencia bajodiferentes condiciones de carga.

l diseño de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes puntos devista!

".# $nálisis por resistencia.

%ajo cargas estáticas.

%ajo cargas dinámicas.

&.# $nálisis por rigidez.

'álculo de deformaciones.

(elocidades cr)ticas.

4.1.1. BAJO CARGAS

ESTÁTICAS.

n un eje redondo macizo de diámetro d , *ue se somete a cargas de fle+ión, a+iales y de torsiónse desarrollan los siguientes esfuerzos!

32 M  x

d  3

 4 F  

d  2

a- esfuerzo por fle+ión y carga a+ial-

16T  xy

d  

3

b- esfuerzo por torsión-

ara ejes /uecos

  3 2 M  d  o4 F

c-

 x(d  

4d  

4 ) (d  

2d  

2 )

  16Tdo d-

 xy(d  

4d  

4 )

Los esfuerzos principales no nulos son!  x

1,2 2

  

 x   2

   2   xy 0."-

l esfuerzo cortante má+imo es!

  1 2    

 x 2

20.&-

máx 2   2  

 xy

o i

o i

o i

2

    

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l esfuerzo de (on 1ises energ)a de distorsión má+ima- es!

2 2 1/ 2 2 2 1/ 2(1 1 2 2

) (  x 3  xy ) 0.2-

3ustituyendo las ecuaciones a- y b- en 2.&- y 2.2- se tiene!

máx  2

d  3

(8 M  Fd  )

2(8T  )

2 0.0-

  4

d  3

(8 M   Fd  ) 2

48T2 0.4-

3i el análisis o diseño /a de ser con base a la teor)a del esfuerzo cortante má+imo, entonces el

valor admisible de máx es

S   y

max 2 n s

0.5-

en donde S y 6 resistencia a la fluencia del material

n s 6 factor de seguridad

'on base a la teor)a de la energ)a de distorsión se tiene *ue

S   y

n s,0.7-

n la mayor)a de los casos la componente a+ial F es nula, o es tan pe*ueña *ue su efecto puededespreciarse. 'on F 6 8 las ecuaciones 0.0- y 0.4- se transforman en

máx  1 6  M

2T

2

d3

0.9-

  1 6

d3 4 M

23T

2 0.:-

3i utilizamos el esfuerzo cortante admisible, a partir de la ecuación 0.9- tenemos *ue

   n 1/ 3

3 2d

  

( M  T2

)1/ 2

0."8-

   S   y

3i se conoce d entonces

  1n

  3 2 ( M2

3T

2)1/ 2 2.""-

 s d S   y

3i utilizamos la teor)a de la energ)a de distorsión má+ima, entonces

 s 2

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4.2. RESTRICCIONES GEOMÉTRICAS se incluye en 0.0-

4.3. EJES HUECOS se incluye en 0."-

4.4. ANÁLISIS POR RIGIDEZ.

4.4.1. Deformación en los ejes.

l problema de la defle+ión en un eje es de suma importancia cuando este efecto es una limitanteen el diseño del mismo.

ara determinar la defle+ión de un eje en cual*uier punto, podemos utilizar los siguientes criterios!

a-.# Método de la doble integración.b-.# Método del área de momentos.

l @método de la doble integración” recomendado para ejes de sección uniforme, se basaprincipalmente en determinar la ecuación de la curva elástica, a partir de la ecuación de momentos

 EIy  M ( x)

0."7-

;esolviendo la ecuación 0."7- y aplicando las condiciones iniciales, se obtiene una ecuación de laforma

 y 1  F  ( x) EI 

0."9-

 $ partir de la ecuación 0."9- , se obtienen las defle+iones en los puntos deseados.

l @método del área de momentos” recomendado para ejes de sección variable, estáfundamentado en dos teoremas básicos!

l primer teorema dice! l ángulo de las tangentes $ y % es igual al área del diagrama demomentos flectores entre esos dos puntos divididos por el producto EI . (er figura 0."-.

  1∫ B

Aigura 0."-.

 EI  A Md  x 0.":-

l segundo teorema dice! La distancia vertical entre el punto % de la elástica y la tangente trazadaa la curva por $ es igual al momento respecto a la vertical por % del área del diagrama demomentos flectores entre $ y % divididas por EI . (er figura 0."-.

  1

∫

 B

 EI  A

 M  xd  x 0.&8-

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4.5. VELOCIDAD CRÍTICA.

Bodos los ejes, a?n sin la presencia de cargas e+ternas, se deforman durante la rotación. Lamagnitud de la deformación depende de!

La rigidez del eje y de sus soportes.

De la masa total del eje y de las partes *ue se adicionan.

Del dese*uilibrio de la masa con respecto al eje de rotación.

Del amortiguamiento presente en el sistema.

La deformación, considerada como una función de la velocidad, presenta sus valores má+imos enlas llamadas velocidades cr)ticas, pero solo la más baja primera- y ocasionalmente la segundatienen importancia en el diseño. Las otras son generalmente tan altas *ue están muy alejadas delas velocidades de operación. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura!

a-.# rimera velocidad cr)tica. b-.# 3egunda velocidad cr)tica.

Aigura 0.&-. ;epresentación de la primera y segunda velocidad cr)tica en un eje.

La frecuencia natural de un eje en fle+ión es prácticamente igual a la velocidad cr)tica. +iste unape*ueña diferencia debida a la acción giroscópica de las masas.

ara un eje con una sola masa, en donde la masa del eje es pe*ueña en comparación a la masa*ue lleva unida, la primera velocidad cr)tica se puede calcular de manera apro+imada por 

 k  c m

radCseg 0.&"-

en donde k 6 constante de resorte del eje

m 6 masa soportada por el eje

La primera velocidad cr)tica puede calcularse también por 

 g c radCseg 0.&&-

en donde g 6 aceleración de la gravedad

6 defle+ión del eje en el punto de ubicación de la masa

La siguiente figura muestra un eje fle+ionado *ue gira a una velocidad .

Aigura 0.2-.# Defle+ión en un eje de una sola masa con peso W .

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ara un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a el, la primeravelocidad cr)tica se determina por!

a-.# La ecuación de ;ayleig/#;itz.b-.# La ecuación de Dunerley.

ara el primer caso se tiene lo siguiente!

De acuerdo con la figura, la energ)a cinética má+ima es!

 EC 1 m v 2 1 m v 

2 .... 1 m v 2 a-

máx 2 1 1 2 2 2 2 n n

Debido a *ue el movimiento de las masas es senoidal se tiene *ue

 EC 1 m (  x ) 2 1 m (  x ) 

2 .... 1 m (  x ) 2

máx 2 1 1 2 2 2 2 n n

 EC máx1 2

∑ m  x 2

2

0.&2-

La energ)a potencial má+ima es!

 EP 1 k  x 2 1 k  x 

2 .... 1 k  x 2 1 ∑ k  x 

2 0.&0-

máx 2 1 1 2 2 2 2 n n 2 n n

De acuerdo con ;ayleig/

1 2 2 1 2 EC  máx  EP máx 2∑ mn xn   ∑ k  n xn b-

3i  xnn , mn W 

 gy k  n

W entonces en b- se obtiene lo siguiente!

nn

nn

2

n

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n g ∑W k k   k 1

radCseg 0.&4- cuación de ;ayleig/#;itz-c n∑ W k

2

k 1

en donde W k 6 peso de la masa E ésima

k 6 deformación estática de la masa # ésima

n 6 n?mero total de masas

ara el segundo caso la primera velocidad cr)tica se determina por 

  12c

  121

  122

....   12n

∑  12n

0.&5-

en donde 1 6 velocidad cr)tica *ue e+istir)a si solo se aplicara la masa m1 .

2 6 velocidad cr)tica *ue e+istir)a si solo se aplicara la masa m2 .

n 6 velocidad cr)tica *ue e+istir)a si solo se aplicara la masa mn .

 g n

nn

s importante tomar en cuenta *ue la ecuación de ;ayleig/#;itz y Dunerley son apro+imacionesa la primera frecuencia natural de vibración o velocidad cr)tica de rotación, ya *ue laprimera sobrestima la frecuencia natural, mientras *ue la segunda la subestima.

n un sistema de masas m?ltiples, para velocidades cr)ticas más altas se re*uiere de cálculos máse+tensos para la determinación de estas velocidadesF sin embargo, para un sistema con dosmasas la primera y la segunda velocidad cr)tica se obtienen a partir de la siguiente figura!

n la figura  F cm(  y 2 ) es la fuerza centr)fuga.

Utilizando los coeficientes de influencia se determinan las defle+iones como sigue!

 y a m y2

a m y 2 y1    a  m

  y1 a m  2

#1

#,c-

11 1 1 12 2 2  y211 1 

  

 y2 12 2

 y a m y2

a m y2    

a  m  y1 a m

 2--

2

,d-

21 1 1 22 2 2 1 21 1   

 y2 22 2

Despejando en cual*uiera de las dos ecuaciones a

ecuación de frecuencias! 

 

 y1

  

 y2

y sustituyendo en la otra se obtiene la

k 

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  14 (a11m1 a22m2 )

  12

(a11a22 a12a21 )m1m2 00.&7-

'on ésta ecuación obtenemos las ra)ces positivas   1 y1

, en donde 1 y 2 son la primera y1 2segunda velocidad cr)tica o frecuencias naturales de vibración-. Las dos masas son m" y m&

. Las constantes a se conocen como coeficientes de influencia, en donde!

a11 6 deformación en el punto de localización de la masa m" , producida por una

carga unitaria localizada en el punto de la masa m" .

a22 6 deformación en el punto de localización de la masa m& , producida por una

carga unitaria localizada en el punto de la masa m&.

a12 6 deformación en el punto de localización de la masa m& , producida por una

carga unitaria localizada en el punto de la masa m".

a21 6 deformación en el punto de localización de la masa m" , producida por una

carga unitaria localizada en el punto de la masa m&.

a12 a21n la ecuación de ;ayleig/#;itz las deformaciones en las masas m" y m& se pueden determinar por 

1 W 1a11

2 W 2a21

W 2a12

W 2a22 

0.&9-

n la ecuación de Dunerley la deformación producida por la aplicación aislada de las masas m1 ,

m2 , mn es!

11 W 1a11

22 W 2 a22

nn W n ann

0.&:-

Los coeficientes de influencia se determinan como sigue!

a-.# je simplemente apoyado en sus e+tremos con dos masas concentradas.

b-.# je simplemente apoyado en un e+tremo y un voladizo.

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n la figura anterior se puede observas *ue la carga unitaria "- se aplica /acia arriba para *ue lacurvatura coincida con la *ue se tiene al aplicar la carga &-.

ara un sistema de masas m?ltiples, la ecuación de frecuencias se obtiene resolviendo elsiguiente determinante!

(a11m1   1 )2 (a12 m2 )

  1

........... (a1n mn )

(a21m1 )

...........

(a22 m2 2 )

............

...........

............

(a2n mn0

...........

  1

0.28-

(an1m1 ) (an2 m2 ) ............ (ann mn 2)

4.. MATERIALES PARA

EJES.

ste tema se estudió en PROPIEDADES DE LOSMATERIALES.

4.!. "LECHAS "LE#IBLES4.$. CIG%EÑALES.

P&'()*+, 4.1.- n la figura siguiente, la polea de &8 pul para banda plana recibe &4 /p a 488 rpm.La potencia es transmitida al engrane recto de ángulo de presión de &8

o*ue tiene un diámetro de

paso de "8 pul. La polea pesa &48 lb y el engrane "48 lb. 3i las cargas son estables, determinar eldiámetro de la flec/a basado en las teor)as de fallas de corte má+imo y de energ)a de distorsiónmá+ima. La flec/a es de acero $=3= "828 rolado en caliente. Usar un factor de seguridad de &.

l par de torsión es

T 6300 0 H n

63000 ( 2 5 )

500

3150 lb.pul

315 0T (T 1 T 2 )  2T 2 (10) T 2 20

T 2 157.5 lb

T 1 472.5 lb

La carga /orizontal en el engrane es

315 0T F  H   E  F  H  5630 lb

La carga vertical es!

 F !  F  H tan 20 o

229.3 lb

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'omponente en y en el punto D!

 F  "  y(472.5 157.5) c! 30 

o

250 295.6 lb

'omponente en z en el punto D!

 F  " #  (472.5 157.5) sen30 o315 lb

'omponente en y en el punto %!

 F  B  y 229.3 150 379.3 lb

'omponente en z en %!

 F  B #  630 lb

Bomando momentos respecto a  A se tiene!

∑  M A 0 8i" ( 379.3 

" $

630k "

)

26i" ( C   y

" $

C   # k ")

32i" (295.6" $

315k ")

3034.4k 

"5040

" $

26C y

k "

26C   #" $

9459.2k "

10080 " $ 0

C y 247.1 lb

C # 581.5 lb

or suma de fuerzas se tiene!

∑  F  

 A y" $

0

 A #

k "247.1 

" $

581.5k 

"379.3 

" $

630k 

"295.6

" $315k " 0

 A y 330.8 lb

 A # 363.5 lb

Diagrama de momentos lano +#y-.

1 lb.pul-y

&505.0

"772.4

% '+

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Diagrama de momentos lano +#z-.

1 lb.pul-z

&:89

% ' +

"9:8

l momento total de fle+ión en los puntos % y ' son!

 M B 1000 (2.6464 

2

2.908

2

)

3932 lb.pul

 M  C 1000 (1.7735 2

1.89 2

)2591.8 lb.pul

l má+imo momento flector es entonces de 2:2& lb.pul.

ara el acero $=3= "828 rolado en caliente S y 6 27.4

psi. sfuerzo cortante má+imo!

 3 2n s 2 2 1/ 2 1/ 3  32 ( 2 ) (1000 )

2 2 1/ 3

dS y

( M T ) (37500) (3.932 3.15 )

d 6 ".2:99 pul

nerg)a de distorsión má+ima!

 1 6n s 2 2 1/ 2 1/ 3  16 ( 2) (1000 ) 2

2 1/ 3

dS y

(4 M  3T ) (37500) 4(3.932 ) 3(3.15 )

d 6 ".274 pul

3e puede utilizar un valor comercial de d 6 ""

C

pul.

P& '()*+, 4.2.- Un eje de acero $=3= "808 estirado en fr)o y ma*uinado, con dimensiones d 2pul y D 6 2 pul , está sometido a una torsión constante de 988 lb.pul y a un momento flector alternante. Determinar el factor de seguridad con base a la

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ara un acero $=3= "808 estirado en fr)o S u3olución!

*uilibrio del eje!

85 psi , S y 71 psi.

∑ 

 M A 0 50 % B 500(30) 0  % B 300 lb∑  F  y 0  % A  % B 500 0  % A 200 lb

Ma 6 &88+28 6 5888 lb.pulTm 6 988 lb.pul

S  e 0.5S  

u

0.5(85) 42.5 psi

k  a aS  b

2.7(85) 0.265 0.83

ara 0.3  &u' d 10  &u' k b 0.869d0.112

k b 0.869(2)0.112 0.804

k  ck  d k   

1 para cargas de fle+ión

1 para temperatura normal de trabajo

1 factor de confiabilidad-

S  e 0.83(0.804)(42.5) 28.36 psi

ara r/d 6 8."&4 y D/d 6 ".4,  t 6 ".5 Aigura $#"4#: del 3/igley-.

 K ( 1

)  1

)( K * 1) ####a-

1a

 ara S  u

85 psi , a 0.075 )   1

10 .07 5

0.87

0.5

n a- se tiene!  K (  1 0.87(1.6 1) 1.522

l factor de seguridad es!

  d3 ( 2 )

3

n  s  K ( M a

2 3  T m 2

321.52 2 x600 0

2 3 80 0 2

32          

    4     28360 4 71000

    S e  

 

S y

n s 2.438

u

 

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P&'()*+, 4.3.- Determinar la velocidad cr)tica del eje de acero *ue se muestra en la siguientefigura. E 6 28+"8

5psi-

3olución!

*uilibrio del eje!

∑  M A 0 18 % B 320(8) 0  % B 142.22 lb,  % A 177.78 lb.

Diagrama de momentos!

1

"0&&.&0 lb.pul

+

 EI 1

7.455 x10 6

6

  M   EI 

8.:55+"8#2

 EI  2 1.4726  x10

8.":+"8#2

" &

+"+&

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15/18

 EIy 0.375 x 2 1 (

 x2

10) 2

C 1

 EIy0.125 x 

3 1 ( x6

10) 3

C 1  x C 2

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16/18

 y(0) 0 C 2 0

 y(40) 0 C 1 87.5

 y 1 06

0.125 x 3

119.28

6

1 ( x6

10) 3 87.5 x

a11 6.2877 10

6

pul

a12 6.68 10 pul

3egunda condición!

 EIy

 EIy

0.375 x ( x

0.1875 x 2

25)

1 (  x2

25) 2

C 1

 EIy 0.0625 x 3 1 ( x6

25)3 C 1  x C 2

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17/18

 y(0) 0 C 2 0

 y(40) 0 C 1 85.9375

 y 1 06

0.0625 x 3

119.28

6

1 ( x6

25) 3 85.9375 x

a21 6.68 10 pul

6a22 9.8248 10 pul

3olución a-!

1 W 1a11

2 W 1a21

W 2 a12

W 2 a22

(500

(500

6.2877

6.68

800

800

6.68)

9.8248)

106

106

0.008488 pul

0.0112 pul

n g ∑W k k   k 1 386(500 0 .00848 8 80 0 0 .0112)

c n∑ W k

2 500(0.008488)2

800(0.0112)2 193.32 radCseg

k 1

nc 1846 #$m

k 

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18/18

3olución b-!

11 W 1a11

22 W 2 a22

500(6.2877

800(9.8248

106

)

106

)

0.0031438 pul

0.0078598 pul

2   g 38 6 122.78134 103

2 22

0.0078598 49.1106610

3

  12c

  121

  122

  1 1 03

122.78134  1 1 0

3

49.11066

0.028506710

3

  1 03

c 0.0285067

187.285 radCseg

nc 1788.5 #$m

3olución c-!

  14 (a11m1 a22m2 )

  12

(a11a22 a12a21 )m1m2 0

  12

28.50710

6 1 46.05 1012

0

 1 2 8 .50 7 81 2. 64 9 18 4 .2 1 06 

2

28 .50 7 2 5 .06 9 2

 1

126.788

106 1 0.03733 10 

6 1 1000 0.03733

1

nc1

193.2 radCseg

1845 #$m

  1

21.719

106 2 0.5817335 10 

6 2 1000 0.5817335

2

nc2

762.7145 radCseg

7883.4 #$m

1 11 0.0031438

2   g 38 6