INTEGRAL INDEFINIDA

APLICACIONES DE LOS PROBEMAS CON VALOR INICIAL

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Se ha determinado que la población P(t) de una cierta colonia de bacterias, t horas

después de iniciar la observación, tiene un razón de cambio

0.1t 0.03tdP200e 150e

dt

Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la

población 12 horas después?

Solución:

La población P(t) se encuentra antiderivando dP

dt como se muestra a continuación:

0.1t 0.03t

0.1t 0.03t

0.1t 0.03t

dPP(t) dt (200e 150e )dt

dt

200e 150ec

0.1 0.03

2000e 5000e c

Como la población es de 200000 cuando t 0 , se tiene que

0 0P(0) 200000 2000e 5000e c

200000 3000 c

c 203000

Así,

0.1t 0.03tP(t) 2000e 5000e 203000

Entonces, después de 12 horas, la población es

0.1(12) 0.03(12)P(12) 2000e 5000e 203000

206152

2) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán e un

periodo de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes. Si los costos de

almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista en costos

de almacenamiento durante los próximos 5 meses?

Solución:

Sea S(t) el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el arroz se

consume a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de kilogramos de

arroz almacenado después de t meses es de 10000 2000t . Por tanto, como los costos de

almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, la tasa de cambio del costo de

almacenamiento con respecto al tiempo es

costo mensual número dedS0.01(10000 2000t)

por kilogramo kilogramosdt

Se deduce que S(t) es una antiderivada de

0.01(10000 2000t) 100 20t

Es decir,

2

dSS(t) dt (100 20t)

dt

100t 10t c

Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega el

cargamento (cuando t 0 ) no hay costo, por lo que

20 100(0) 10(0) c c 0

De aquí,

2S(t) 100t 10t

Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será

2S(5) 100(5) 10(5) $250

3) Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el instante

en el que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los

frenos proporcionan una desaceleración constante de 22 pies/s2, ¿qué distancia recorre el

automóvil antes de detenerse por completo?

Solución:

Sea s(t) la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar los

frenos. Como el automóvil desacelera a 222pies/s , se tiene que a(t) 22 ; es decir,

dva(t) 22

dt

Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dada por

1v(t) 22dt 22t C

Para calcular 1C , observe que v 66 cuando t 0 , de modo que

1 166 v(0) 22(0) C C 66

Por lo que la velocidad en el momento t es v(t) 22t 66 .

A continuación, para encontrar la distancia s(t) , se inicia con el hecho de que

dsv(t) 22t 66

dt

E integrando se tiene que

22s(t) ( 22t 66)dt 11t 66t C

Como s(0) 0 , se deduce que 2C 0 y

2s(t) 11t 66t

Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, éste se detiene

cuando v(t) 0 , lo cual sucede cuando

v(t) 22t 66 0

Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 segundos de

desaceleración, y en ese tiempo ha recorrido

2s(3) 11(3) 66(3) 99pies

4) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que

le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea M(t) el número de aspectos que puede

memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como

2M'(t) 0.4t 0.005t

a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos?

b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del

tiempo t 10 al t 20 )?

Solución:

El número de aspectos M(t) que puede memorizar Tony, se encuentra antiderivando dM

dt

como se muestra a continuación:

2

3 2

3 2

dMM(t) dt ( 0.005t 0.4t)dt

dt

t t0.005 0.4 C

3 2

0.005t 0.2t C

3

Como M(t) es 0 cuando t 0 (pues al inicio de la prueba aún no ha memorizada ningún

aspecto de la lista dada), se tiene que

0 M(0)

3 20.005

0 0 0.2 0 C3

C 0

Así,

3 20.005M(t) t 0.2t

3

a) Después de los primeros 10 minutos, el número de aspectos que ha memorizado es

3 20.005

M(10) 10 0.2 103

18.33

b) El número de aspectos adicionales que puede memorizar en los siguientes 10 minutos

es

3 2 3 2

ΔM M(20) M(10)

0.005 0.00520 0.2 20 10 0.2 10

3 3

66.66 18.33

48.33

5) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será

1/2R '(q) 200q dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q unidades. Se

ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 0.4q dólares por unidad.

Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en nivel de producción es de 25

unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción sea de 36

unidades?

Solución:

Recuerde que

utilidad marginal ingreso marginal costo marginal

Así, si

P '(q) utilidad marginal

R '(q) ingreso marginal

C'(q) costo marginal

Entonces

1/2

P '(q) R '(q) C'(q)

200q 0.4q

Por otro lado, recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P(x) .

Entonces,

1/2dP200q 0.4q

dq

y por tanto, P(q) debe ser la antiderivada de dP

dq, así

1/2 2

1/2

1/2 2

dP q qP(q) 200q 0.4q dq 200 0.4 k

dq 1/ 2 2

400q 0.2q k

para alguna constante k .

El valor de k se determina por el hecho de que P(25) 2000 . En particular,

2000 P(25)

1/2 2

2000 400 25 0.2 25 k

C 125

De aquí, la función utilidad es

1/2 2P(x) 400q 0.2q 125 y la utilidad cuando el nivel de producción sea de 36 unidades es

1/2 2

P(36) 400 36 0.2 36 125

$2265.8

6) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el

mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la

carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a una tasa de

0.35t oT'(t) 7e C/h

a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas.

b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas?

c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10°C. ¿Cuánto

tiempo transcurre hasta que se descongela la carne?

Solución:

La temperatura T(t) de la carne en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando dT

dt

como se muestra a continuación:

0.35t

0.35t

0.35t

dTT(t) dt (7e )dt

dt

7e C

0.35

20e C

Como la temperatura de la carne es oT 4 C cuando t 0 , se tiene que

4 T(0)

0.35 04 20e C

C 16

Así,

a) La fórmula para la temperatura de la carne es

0.35tT(t) 20e 16

b) La temperatura de la carne después de 2 horas es

0.35 2T(2) 20e 16

6.068

c) Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se descongele,

resolvamos la siguiente ecuación

0.35tT(t) 20e 16 10 0.35t20e 6

0.35t 3e

10

0.35t 3ln e ln

10

30.35t ln e ln

10

30.35t ln

10

3ln

10t

0.35

t 3.4399hrs

7) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece

de tal forma que su altura h(t) después de t años cambia a una razón de

2/3h '(t) 0.2t t pies/año

Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27

años?

Solución:

La altura h(t) de un árbol en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando dh

dt como se

muestra a continuación:

2/3

5/3 3/2

5/3 3/2

dhh(t) dt (0.2t t )dt

dt

t t0.2 C

5 / 3 3 / 2

20.12t t C

3

Como la altura del árbol es h 2 cuando t 0 , se tiene que

2 h(0)

5/3 3/22

2 0.12 0 0 C3

C 2

De aquí,

5/3 3/22h(t) 0.12t t 2

3

y la altura del árbol dentro de 27 años es

5/3 3/22

h(27) 0.12 27 27 23

124.69m

8) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades

de cierto bien es 2C'(q) 3q 24q 48 dólares por unidad. Si el costo de producción de

10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de producción de 30 unidades?

Solución:

Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C(q) . Entonces,

2dC3q 24q 48

dq

y por tanto, C(q) debe ser la antiderivada de dC

dq, así

2 3 2 3 2dC 24C(q) (3q 24q 48)dq q q 48q k q 12q 48q k

dq 2

para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar

confusión con la función del costo C )

El valor de k se determina por el hecho de que C(10) 5000 . En particular,

5000 C(10)

3 2

5000 10 12 10 48 10 k

k 4720

De aquí, la función del costo total es

3 2C(q) q 12q 48q 4720

y el costo de producción de 30 unidades es

3 2

C(30) 30 12 30 48 30 4720 $22360

9) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de

cierto artículo es 2R '(q) 4q 1.2q dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la

producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción

de 40 unidades?

Solución:

Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función del ingreso R(q) . Entonces,

2dR4q 1.2q

dq

y por tanto, R(q) debe ser la antiderivada de dR

dq, así

2 3 2 3 2dR 1.2 4R(q) ( 1.2q 4q)dq q q C 0.4q 2q C

dq 3 2

para alguna constante C .

El valor de C se determina por el hecho de que R(20) 30000 . En particular,

30000 R(20)

3 2

30000 0.4 20 2 20 C

C 32400

De aquí, el ingreso total es

3 2R(q) 0.4q 2q 32400

y el ingreso por la producción de 40 unidades es

3 2

R(40) 0.4 40 2 40 32400 $10000

10) Si el ingreso marginal mensual por un producto es R '(x) 1,5x 30 , Encuentre la

función del ingreso total.

Solución:

Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso R(x) . Entonces,

dR1.5x 30

dx

y por tanto, R(x) debe ser la antiderivada de dR

dx, así

2 2dR 1.5R(x) ( 1.5x 30)dx x 30x C 0.75x 30x C

dx 2

para alguna constante C .

El valor de C se determina por el hecho de que R(0) 0 . En particular,

0 R(0)

2

0 0.75 0 30 0 C

C 0

De aquí, la función del ingreso es

2R(x) 0.75x 30x

11) Resuelve las siguientes integrales indefinidas

a) 2(2 tan θ)dθ

Solución: 2 2(2 tan θ)dθ 2dθ tan θdθ 2θ secθ C

b) 4 2

3

z 10z 25dz

z 5z

Solución:

2

2 24 2 2

3 2

2

2

z 5 z 5z 10z 25 z 5dz dz dz dz

z z zz 5z z z 5

5 5 z 1z dz zdz dz 5 dz

z z 2 z

z5ln z C

2

c) 4 2

2

20x 3x 15xdx

5x

Solución:

4 2 4 22

2 2 2 2

2

3

3

20x 3x 15x 20x 3x 15x 3 3dx dx 4x dx

5 x5x 5x 5x 5x

3 34x dx dx dx

5 x

4 3 1x x 3 dx

3 5 x

4 3x x 3ln x C

3 5

d) 2x 5

dxx 2

Solución:

2x 5 1 1dx 2 dx 2dx dx

x 2 x 2 x 2

2x ln x 2 C

e) x 1

dx2x 1

Solución:

x 1 1 3 1 3dx dx dx dx

2x 1 2 2 2x 1 2 2 2x 1

1 3 1dx dx

2 2 2x 1

1 3 1x ln 2x 1 C

2 2 2

1 3x ln 2x 1 C

2 4

f) x

dx1 x

Solución:

x 1 1dx 1 dx dx dx

1 x x 1 x 1

x ln x 1 C

g) 2/31x (x 1)dx

3

Solución:

2/3 1/3 2/3 1/3 2/3

4/3 1/3

4/3 1/3

1 1 1 1x (x 1)dx x x dx x dx x dx

3 3 3 3

1 x 1 xC

3 4 / 3 3 1/ 3

1x x C

4

h) 3xe

2sin x dx3

Solución:

3x 3x3x

3x

3x

e e 12sin x dx dx 2sin xdx e dx 2 sin xdx

3 3 3

1 e2cos x C

3 3

1e 2cos x C

9

i) 0.02t 0.13te e 4 dt

Solución:

0.02t 0.13t 0.15t 0.02t 0.15t 0.02t

0.15t0.02t

0.02t0.15t

0.15t 0.02t

e e 4 dt e 4e dx e dt 4e dt

e4 e dt

0.15

20 ee 4 C

3 0.02

20e 200e C

3

j) 2tan x 3cos x dx

Solución:

2 2 2

2

tan x 3cos x dx tan xdx 3cos xdx sec x 1 dx 3cos xdx

sec xdx dx 3 cos xdx

tan x x 2sin x C

k) 2

2sin 2x dxx

Solución:

2 2 1

2sin 2x dx dx 2sin 2x dx 2 dx 3 cos xdxx x x

2ln x 3sin x C

l) 23z 2z 3

dzz

Solución:

2 2

2

3z 2z 3 3z 2z 3 3dz dz 3z 2 dz

z z z z z

33zdz 2dz dz

z

13 zdz 2 dz 3 dz

z

3z 2z 3ln z C

2

m) 1/2 2t t t 2 dt

Solución:

1/2 2 3/2 1/2 1/2 3/2 1/2 1/2

5/2 3/21/2

1/25/2 3/2

5/2 3/2 1/2

t t t 2 dt t t 2t dt t dt t dt 2t dt

t t2 t dt

5 / 2 3 / 2

2 2 tt t 2 C

5 3 1/ 2

2 2t t 4t C

5 3

n) 3 2 1x 2x 5 dx

x

Solución:

3 2 2 3 2 3 2

3 2

3 2

4 3 2

1x 2x 5 dx x 5x 2x 10x dt 5x 11x 2x dt

x

5x dx 11x dx 2xdx

5 x dx 11 x dx 2 xdx

5 11x x x C

4 3

o) 3 1

x 22 x

Solución:

3 3/2 3/2 1/2

1/2

5/21/2

1/25/2

5/2 1/2

1 1 1x 2 dx x 2 dx x dx x dx 2dx

22x2 x

x 1x dx 2 dx

5 / 2 2

2 2 xx 2x C

5 3 1/ 2

2 4x x 2x C

5 3

p) 33x 2x 5 dx

Solución:

3 3

3

4 2

4 2

3x 2x 5 dx 3x dx 2xdx 5dx

3 x dx 2 xdx 5 dx

x x3 2 5x C

4 2

3x x 5x C

4

q) 2 4y y 2 dy

Solución:

2 4 2 4

3 4

y y 2 dy y dy y dx 2dx

y y2x C

3 4

r) 3

1dy

y

Solución:

3

3

2

1dy y dy

y

yC

2

s) 2x 3x 2

dxx 2

Solución:

2

2

x 2 x 1x 3x 2dx dx x 1 dx

x 2 x 2

xdx dx

xx C

2

t) 23x 5x 2 dx

Solución:

2 2

2 1/2

3 3/2

3 3/2

3x 5x 2 dx 3x dx 5 xdx 2dx

3 x dx 5 x dx 2 dx

x x3 5 2x C

3 3 / 2

2 5x x 2x C

3

u) t45e dt

t

Solución:

t t

t

t

4 45e dt dt 5e dt

t t

14 dt 5 e dt

t

4 ln t 5e C

v) x/21 5e dx

3x x

Solución:

x/2 x/2

1/2

1/2 x/2

1/2x/2

1/2 x/2

1 5 1 1 1e dx dx 5 dx e dx

3x 3 x xx

1 1ln x 5 x dx e

3 1/ 2

1 xln x 5 2e

3 1/ 2

1ln x 10x 2e

3