I N D I C E CONTENIDO PÁGINA Carátula

Dedicatoria

Agradecimiento

Índice ........................................................................................................01

Introducción ..............................................................................................03

Descripción del problema..........................................................................04

MARCO TEÓRICO

CAPÍTULO I 1. PRINCIPIOS DE ÁLGEBRA

Caso 1.- Factor Común ......................................................................05

Caso 2.- Factor Común por agrupamiento .........................................06

Caso 3.- Trinomio Cuadrado Perfecto ................................................06

Caso 4.- Diferencia de Cuadrado .......................................................07

Caso 5.- Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción.......08

Caso 6.- Trinomio de la forma x2 + bx + c ..........................................08

Caso 7.- Trinomio de la forma ax2 + bx + c ........................................10

Caso 8.- Cubo perfecto de binomios ..................................................10

Caso 9.- Suma y diferencia de cubos perfectos .................................11

Caso 10.- Suma y diferencia de potencias iguales.............................12

CAPÍTULO II 2. GEOMETRÍA

Teorema de Pitágoras .........................................................................13

Teorema de la Altura ...........................................................................13

Teorema del Cateto.............................................................................13

Segmentos Rectilíneos........................................................................13

1

Ángulos................................................................................................14

CAPÍTULO III 3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Circulo Trigonométrico.........................................................................15

Funciones Trigonométricas. Definición...............................................17

Funciones Trigonométricas. Signos ...................................................17

Reducción de Funciones Trigonométricas al primer cuadrante...........18

Valores numéricos de las funciones de 45°, 30° y 60° ........................18

Valores numéricos de las funciones de 0°, 90°, 180° y 270°...............19

Resolución de triángulos rectángulos..................................................20

Identidades trigonométricas.................................................................20

CAPÍTULO IV 4. ESTADÍSTICA

Población, muestra y variable Estadística ...........................................22

Tablas estadísticas, frecuencia absoluta y relativa..............................22

Datos agrupados, intervalos y marcas de clase ..................................22

Representaciones gráficas ..................................................................22

Medidas de tendencia central..............................................................23

Probabilidad.........................................................................................23

CAPÍTULO V 5. TEORÍA QUE FUNDAMENTA EL PRODUCTO EDUCATIVO ...........24

PRODUCTO EDUCATIVO Estructura del Sistema..............................................................................27

Producto de calidad ..................................................................................30

Anexos......................................................................................................32

Bibliografía ................................................................................................34

2

INTRODUCCION

El Matemático Virtual se origina por la necesidad de apoyar al maestro y

facilitar la enseñanza en los alumnos de décimo año de educación básica.

Este producto se desarrolla con la idea de crear un nuevo instrumento para

mejorar las bases teóricas y aplicarlo con facilidad en la práctica.

No pretendemos reemplazar la actividad del Maestro, sino queremos dotarle

de un instrumento de apoyo y trabajo. Además considerando las diversas

capacidades de asimilación del estudiante, le facilitaremos su aprendizaje

otorgándole un conjunto de leyes y propiedades, tales como axiomas y

teoremas, que dan sustento a las matemáticas, y permiten la obtención de

conocimientos a partir de otros.

Hemos combinado el arte de “ENSEÑAR” y el avance de la

“TECNOLOGÍA” para formar al MATEMÁTICO VIRTUAL.

Este producto es un desarrollador de conocimientos implementado en un

Programa Informático Interactivo.

El Matemático Virtual influirá dentro del proceso enseñanza aprendizaje

como un producto de entretenimiento interactivo, llamativo, participativo e

interesante.

3

DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

En la actualidad el desarrollo de las matemáticas viene precedido de algunos

impedimentos. El primero pensamos que es el ambiente que rodea al

alumno. De aquí se deriva que la mayoría de los alumnos vean las

matemáticas como un mal necesario, y solo busquen el número suficiente

que represente en su calificación la aprobación de dicha materia, sin

importar el aprendizaje de la misma. El segundo consideramos que el

profesor no encuentra una metodología clara para llegar a sus dirigidos, o no

tiene facilidad de palabra y paciencia para repetir pequeños detalles que

para un maestro parecen sencillos, pero el alumno difícilmente lo asimila.

Otro inconveniente que existe en las matemáticas es que no todos los

alumnos se encuentran en la misma capacidad de aprender, y a los

maestros poco les importa si el alumno aprende ya que solo buscan cumplir

con el dichoso avance programático.

Este producto se aplicará dentro del contexto educativo enlazando campos

como la Informática, la Matemática y la Pedagogía. Se empleará en los

décimos años de educación básica del Colegio San Vicente Ferrer en la

ciudad de Puyo, provincia de Pastaza; además será de gran utilidad para

quienes necesiten recordar las bases fundamentales del álgebra, geometría,

trigonometría, y estadística.

Con este sistema interactivo, el adiestramiento de los alumnos se replantea

con nuevas tecnologías, que potencian tanto el grado de asimilación que se

logra, como la facilidad para conseguirlo.

4

MARCO TEÓRICO

CAPITULO I

PRINCIPIOS DE ÁLGEBRA Los matemáticos pasaron de la aritmética (números concretos) al álgebra

cuando se interesaron en las operaciones que podían realizarse con

cualquier número al que representaban con una letra.

Así la palabra álgebra se originó en un libro titulado Hisab al Abr w’ al-muga-

balah, escrito en 825 por Mohammed al-Khowarizmi, matemático musulmán.

En un principio las operaciones se describían con muchas palabras, era la

época de álgebra retórica, por ejemplo se decía “¿Cuánto vale la cosa que,

si se la duplica y se le añade quince, vale el cuadrado de la cosa?”. Luego

se utilizó la matemática sincopada y la misma frase pasó a ser: “Dos veces

cosa más quince es cosa por cosa ¿Cuánto es la cosa?”.

En el siglo XVI comenzó la etapa del álgebra simbólica, en la que asignamos

una letra a cada incógnita.

CASO 1.- FACTOR COMÚN Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se

presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como

factor común.

Descomponer en factores a2 + 2a

Esta expresión tiene su factor común a como coeficiente de un paréntesis;

dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir:

a2 / a = a y 2a / a = 2 y tendremos: a2 + 2a = a ( a + 2)

5

CASO 2.- FACTOR POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es

posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de

cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original.

Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o

más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que

queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor

común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Descomponer ax + bx + ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los últimos el factor

común y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos

últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo

+ y tendremos:

ax + bx + ay + by = ( ax + bx ) + ( ay + by )

= x ( a + b ) + y ( a + b )

= ( a + b ) ( x + y )

CASO 3.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de

tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos

(tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble

producto de sus raíces cuadradas.

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas

raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al

cuadrado.

6

Descomponer 4x2 + 25y2 - 20 xy Ordenando el trinomio tenemos:

4x2 - 20 xy + 25y2 = ( 2x - 5y) ( 2x - 5y) = ( 2x - 5y)2

2x 5y

CASO 4.- DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para

factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se

multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la

diferencia contengan más de un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres

de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y

combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de

cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados

perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Descomponer en factores 16x2 – 25y4

La raíz cuadrada de 16x2 es 4x; la raíz cuadrada de 25y4 es 5y2 Multiplico

la suma de estas raíces (4x + 5y2) por su diferencia (4x - 5y2) y tendremos:

16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) (4x - 5y2)

7

CASO 5.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO INCOMPLETO

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados

perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el

término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber

cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el

término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo,

de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el

último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: Factorar una suma de cuadrados, se suma el término que

hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se

resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto

enseguida una diferencia de cuadrados.

Descomponer en factores x4 + x2 y2 + y4 Como podemos observar en este ejemplo el trinomio no es perfecto por lo

cual se debe sumar y restar x2 y2 para obtener el segundo miembro por el

doble.

x4 + x2 y2 + y4

x2 y2 - x2 y2

x4 +2 x2 y2 + y4 - x2 y2 = ( x4 +2 x2 y2 + y4 ) - x2 y2

Factorando el trinomio cuadrado perfecto = (x2 + y2 ) 2 - x2 y2

Factorando la diferencia de cuadrados = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)

Ordenando los binomios tenemos: = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2)

CASO 6.- TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

8

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.

El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la

misma variable.

El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y

donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término

en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada

paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo

término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del

trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo

siguiente:

Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el

otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo

término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.

Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán

iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del

trinomio.

Descomponer en factores x2 – 7x + 12 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz

cuadrada de x2 o sea x:

x2 – 7x + 12 = ( x ) ( x )

Ubicamos el signo negativo en el primer factor porque es el signo del

segundo término –7x; y para el segundo factor aplicamos la ley de signos

que nos da negativo.

x2 – 7x + 12 = ( x - ) ( x - )

Buscamos un número que multiplicado de 12 y sumado 7; en este caso 4 y

3, los ubicamos respectivamente en los paréntesis y tenemos:

x2 – 7x + 12 = ( x - 4 ) ( x - 3 )

9

CASO 7.- TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer

término puede tener coeficiente diferente de 1.

Se procede de la siguiente forma: Se multiplica todo el trinomio por el

coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de

la forma: x2 + bx + c; y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el

trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número

que esta como denominador.

Descomponer en factores 20x2 + 7x – 6 Multiplicando el trinomio por 20 tendremos: ( 20x)2 + 7 (20x) – 120

Descomponiendo este trinomio , tenemos ( 20x + 15 ) ( 20x – 8 ).

Para cancelar la multiplicación por 20, tenemos que dividir por 20, pero como

ninguno de los dos binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en

5 x 4 y dividimos el factor ( 0x + 15 ) entre 5 y ( 20x - 8 ) entre 4

tendremos:

( 20x + 15 ) ( 20x – 8 )

----------------------------------- = ( 4x + 3 ) ( 5x - 2 ) 5 x 4

CASO 8.- CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si

cumple las siguientes condiciones:

Posee cuatro términos

El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas

exactas).

10

El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer

término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último

término - multiplicado por la raíz cúbica del primer término.

Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el

tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el

primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo

término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es

mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del

segundo y cuarto término del cubo son menos.

Hallar si 8x3 + 12 x2 + 6x + 1 es el cubo de un binomio

Veamos si cumple las condiciones expuestas antes. La expresión tiene 4

términos:

La raíz cúbica de 8x3 es 2x La raíz cúbica de 1 es 1

3 (2x) 2 (1) = 12 x2, segundo término

3 (2x) (1)2 = 6x, tercer término

Cumple las condiciones, y como todos su términos son positivos, la

expresión factorizada es (2x + 1)3

CASO 9.- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos.

Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por

las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado

por tres términos así: la primera raíz al cuadrado, la primera raíz por la

11

segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos

formas acuerdo a lo siguiente: a3 + b3 = (a + b) ( a2 – ab + b2)

a3 - b3 = (a - b) ( a2 + ab + b2)

Descomponer en factores a3 - 8

La raíz cúbica de a3 es a ; la de 8 es 2. Según la Regla 1

a3 - 8 = ( a – 2) [a2 + 2(a) + 22] = ( a – 2) (a2 + 2a + 4)

CASO 10.- SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an - bn con n = par o impar la factorización será:

an - bn = (a – b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + … + abn-1 + bn)

Para an-bn con n = par la factorización será:

an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b2 - … - abn-1 + bn)

Para an + bn con n = impar la factorización será:

an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b2 - … - abn-1 + bn)

Descomponer en factores m5 + n5

Dividiendo entre m + n los signos del coeficiente son alternativamente + y -

nmnm

++ 55

= m4 – m3n + m2n2 –mn3 + n4

( m5 + n5 ) ( m4 – m3n + m2n2 –mn3 + n4.)

12

CAPITULO II

GEOMETRÍA TEOREMA DE PITÁGORAS Teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que

establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de

los cuadrados de los otros dos lados (catetos). El teorema de Pitágoras

permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen

los otros dos lados despejando la siguiente fórmula: a2 = b2 + c2.

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa (hc) es

media proporcional geométrica entre los dos segmentos (p y q) que dicha

altura determina en la hipotenusa.

hc2 = p. q

TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, la media de cada cateto (a y b) es media

proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección

sobre ella. Los segmentos c y p son los segmentos proyectados sobre la

hipotenusa.

a2 = c. p b2 = c. q

SEGMENTOS RECTILÍNEOS

Cualquier segmento u, distinto de cero, puede utilizarse como unidad de

medida.

13

ÁNGULOS Porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común. Las

semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo (inicial y terminal) y el

punto en común, vértice. Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de

sus lados

Clasificación

Si la semirrecta que genera un ángulo gira en sentido contrario a las agujas

del reloj, el ángulo generado es positivo; si la semirrecta gira en el mismo

sentido de las agujas del reloj, el ángulo es negativo.

Ángulo Central.- Tiene su vértice en el centro de una circunferencia.

Ángulo coterminal.- Son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo

lado terminal.

Ángulo en posición normal.- Cuyo vértice está en el origen de coordenadas,

y el lado inicial coincide con el eje positivo de las abcisas (x).

Medida

La magnitud de un ángulo es la amplitud de rotación para llegar desde el

lado inicial hasta el lado terminal. Medir un ángulo es compararlo con otro

que se toma como unidad. Los sistemas usados para medir ángulos son el

sistema sexagesimal y el Sistema Internacional (SI).

La unidad de medida más común es el grado sexagesimal, que consiste en

1/360 del ángulo completo. Se designa con el Símbolo (°). En el Sistema

Internacional, la unidad de medida es el radián (Rad.). Un radián es la

medida de un ángulo central que determina un arco cuya longitud es igual al

radio de la circunferencia. Su relación con el grado sexagesimal es la

siguiente: 180° = _ Rad.

14

CAPITULO III

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre

los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de

las funciones trigonométricas de ángulos.

Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de

la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema

era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no

podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la

Luna.

Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la

física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de

fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

CIRCULO TRIGONOMETRICO

Es un círculo de radio uno (1), donde cada función trigonométrica puede

representarse mediante un segmento.

15

Se trabaja con un círculo de radio unitario, es decir r =1. De aquí resulta

hipotenusa = 1. Se gráfica un ángulo en posición normal y un punto sobre

un lado terminal, así queda determinado un triángulo rectángulo, a partir del

cual podemos definir seis funciones trigonométricas que nos permiten

establecer relaciones entre el ángulo y cocientes de lados del triángulo.

αDD

BB

AA

x

y

00 cosαα α

De ahí parten las razones trigonométricas que definimos.

y

1csc α = sen yα =

x

1sec α = xα = cos

cos α

sen α

x

yα ==

sen α

cos α

y

xcot α == tan

16

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS – DEFINICIÓN

Consiste en definir las Funciones Trigonométricas a partir de la formación de

un triángulo rectángulo, sea un ángulo en posición normal y un punto

cualquiera sobre un lado terminal, con un vector r del triángulo OPQ.

vector radio

ordenadarb

hipotenusaopuesto catetosen ===α

Lado terminal

aa

αα

rr bb

bb

xx

yy PP((aa,,bb))

QQ 00

vector radioabscisa

ra

hipotenusaadyacente catetoc ===osα

abscisaordenada

ab

adyacente catetoopuesto cateto

===tanα

‘‘FFuunncciioonneess TTrriiggoonnoommééttrriiccaass IInnvveerrssaass’’

ordenadavector radio

br

opuesto catetohipotenusacsc ===α

abscisa

vector radioar

adyacente catetohipotenusa

===ecαs

ordenadaabscisa

ba

opuesto catetoadyacente cateto

===cotα FUNCIONES TRIGONOMETRICAS - SIGNOS Las Funciones Trigonométricas de acuerdo a su posición encontrada

también se identifican con su respectivo signo, recordemos que el plano se

divide, a partir de los ejes de coordenadas, en cuatro cuadrantes, así

tenemos los signos respectivos de cada función:

––xx

yy

++––++

cos α y

xx

yy

––––++++

sen α y csc

xx

yy

–––– ++++

tan α y cot

17

REDUCCIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS AL PRIMER CUADRANTE Es un proceso que se emplea para facilitar el desarrollo y la resolución de

ejercicios, aunque las calculadoras científicas nos permiten obtener

fácilmente las razones trigonométricas de cualquier ángulo, a veces

conviene comparar dichas razones con las razones situadas en el primer

cuadrante.

Aquí presentamos las respectivas aplicaciones para las funciones

encontradas en los diferentes cuadrantes.

ÁNGULOS EN EL SEGUNDO CUADRANTE

sen α = sen (180° - α)

cos α = -cos (α – 180°)

tan α = -tan (180° - α)

ÁNGULOS EN EL TERCER CUADRANTE

sen α = -sen (α - 180°)

cos α = -cos (α – 180°)

tan α = tan (α - 180°)

ÁNGULOS EN EL CUARTO CUADRANTE

sen α = -sen (360° - α)

cos α = cos (360° - α)

tan α = -tan (360° - α)

VALORES NUMERICOS DE LAS FUNCIONES DE 45°, 30° Y 60°

Dentro de la resolución de ejercicios y la determinación de las funciones

trigonométricas en los diversos ángulos, encontramos aquellos que

fácilmente los podemos obtener basta aplicar una tabla, además con

ángulos que se utilizan con mucha frecuencia.

18

Aquí se presenta una tabla que se aplica para la determinación de las

funciones trigonométricas para estos ángulos.

3

21

22

332

23

1

2

33

1

2

22

2

23

21

2

3

33

332ccsscc

sseecc

ccoott

ttaann

ccooss

sseenn

ππ//33 ππ//44 ππ//66 Radianes

6600°°4455°° 3300°°Grados

VALORES NUMERICOS DE LAS FUNCIONES DE 0°, 90°, 180° Y 270° Al igual que en el tema anterior estos ángulos son utilizados con frecuencia

en geometría y se los llama ángulos notables y se los obtiene de la

observación del círculo trigonométrico de radio igual a la unidad. Aquí se

muestra la tabla de los valores obtenidos.

Grados 0° 90° 180° 270° 360°

Radianes 0 π/2 π 3π/4 2π

sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tan 0 ND 0 ND 0

cot ND 0 ND 0 ND

sec 1 ND -1 ND 1

csc ND 1 ND -1 ND

19

Los valores de las funciones trigonométricas que hemos mencionado y, en

general, todo valor está incorporado a las calculadoras científicas.

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS Al obtener los conocimientos anteriormente señalados podemos resolver

ejercicios de aplicación.

Este tema señala la resolución y aplicación de las teorías aprendidas, para

ello se considera algunos criterios que se pueden presentar dentro de su

planteamiento del problema, tenemos así:

o Se conoce un lado y un ángulo

o Se conoce dos lados

Planteamos el problema y utilizamos los valores dados.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Son relaciones que establecemos, entre las razones trigonométricas, que se

expresan a través de una igualdad.

Consideremos que de acuerdo a la necesidad se pueden sustituir, igualar y

despejar.

Las Identidades son:

sen α

cos αcot α =

cos α

sen αtan α =

sen α

1csc α =

cos α

1sec α =

αcosαsen1 22 += αα 22 csccot1 =+αα 2sectan =+12

20

CAPITULO IV

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES El primer campo de actuación de la estadística es la demografía. De esta

ciencia ha tomado la nomenclatura (población, individuo…).

Se llama población al conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento

interesa. Cada uno de esos elementos es un individuo. Si se está estudiando

el resultado de ciertos experimentos químicos, cada uno de esos

experimentos será un individuo estadístico y el conjunto de todos los

posibles experimentos en esas condiciones será la población.

Cada individuo puede ser descrito mediante uno o varios caracteres. Por

ejemplo, si los individuos son personas, el sexo, el estado civil, el número de

hermanos o su estatura son caracteres. Y si el individuo es una reacción

química, el tiempo de reacción, la cantidad de producto obtenido o si éste es

ácido o básico serán posibles caracteres que pueden analizarse.

Un carácter puede ser cuantitativo si es medible numéricamente o cualitativo

si no admite medición numérica. El número de hermanos y la estatura son

caracteres cuantitativos mientras que el sexo y el estado civil son caracteres

cualitativos.

Los distintos valores que puede tomar un carácter cuantitativo configuran

una variable estadística. La variable estatura, en cierta población estadística,

toma valores en el intervalo 147-205; y la variable número de hermanos

toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Una variable estadística como esta

última es discreta, ya que sólo admite valores aislados. Una variable

estadística es continua si admite todos los valores de un intervalo, como

ocurre con la estatura.

21

POBLACIÓN, MUESTRA Y VARIABLES ESTADÍSTICAS

Población.- Es el conjunto de personas, animales u objetos sobre los

cuales se estudia una determinada característica.

Muestra.- La muestra es una parte representativa de la población.

Variables Estadísticas.- Se expresan mediante una cantidad y son

cuantitativas, también se expresan mediante una cualidad o característica y

se llaman cualitativas.

TABLAS ESTADÍSTICAS, FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA

Tablas Estadísticas.- Se la conoce también como tablas de distribución de

frecuencias.

Frecuencia Absoluta.- Es la cantidad de veces que se repite un

determinado valor de una variable.

Frecuencia Relativa.- Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el

número de individuos de la población o de la muestra. La suma de las

frecuencias relativas es igual a la unidad.

DATOS AGRUPADOS, INTERVALOS Y MARCAS DE CLASE

Intervalo de Clase.- Cuando los diferentes resultados obtenidos se

agrupan, se forman los intervalos de clase.

Marca de Clase.- Es el punto medio de cada intervalo.

22

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Los datos de un fenómeno estadístico y sus respectivas frecuencias,

ordenadas en tablas estadísticas, se pueden representar en distintos tipos

de gráficos, que nos ayudan a analizar de forma más rápida e intuitiva la

información obtenida, así:

Diagramas de barras.- Los diagramas de barras de utilizan

preferentemente para distribuciones de frecuencias en que la variable toma

pocos valores diferentes.

Polígonos de frecuencia.- Los puntos de las frecuencias absolutas se

unen mediante segmentos, resultando una línea poligonal llamada polígono

de frecuencias.

Gráficos circulares.- Los gráficos circulares son muy útiles cuando se

requieren mostrar porcentajes.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Es muy útil calcular ciertos números que reflejan la tendencia de los datos a

concentrarse en torno a un valor central. Esos números que llamamos

medidas de tendencia central son:

Media Aritmética.- Es el cociente entre el total de la frecuencia acumulada

y el total de la frecuencia absoluta.

Mediana.- Es una de las medidas de centralización. Colocando todos los

valores en orden creciente, la mediana es aquél que ocupa la posición

central.

Moda.- La moda de un conjunto de datos, es el dato que más se repite, es

decir, el que tiene mayor frecuencia.

23

CAPÍTULO V

TEORÍA QUE FUNDAMENTA EL PRODUCTO EDUCATIVO Desde la aparición de las computadoras en los años 80 se trata de

incorporarlas a la enseñanza, pero no se obtienen los resultados esperados.

Una explicación parcial de esto es que la aplicación de esquemas y prácticas

usuales solamente produce en los aprendices una actividad mental de bajo

nivel, y no llegan a explotar el potencial específico de la computadora, como

por ejemplo, su posibilidad interactiva y su gran capacidad para la

presentación de datos, que fue obviada o tal vez no tan estudiada por mucho

tiempo.

Se cree que las computadoras deben estar inmersas en ambientes de

aprendizajes poderosos y colaborativos, como herramientas que apoyan el

proceso activo de construcción del aprendizaje y de desarrollo de

habilidades. No al aprendizaje como un proceso pasivo de adquisición de

información, sino al aprendizaje basado en la interactividad y en el

autoaprendizaje, que para muchos es una solución eficaz para superar los

problemas de la distancia, la adecuación a las necesidades de los alumnos y

a las limitaciones del tiempo.

Del ordenador hay que aprovechar su potencial y fortaleza específica para

presentar, representar y transformar la información, diseñando programas

educativos para servir como herramientas de apoyo dentro del aprendizaje

(Enseñanza Asistida por Ordenador, EAO).

“Enseñanza Asistida por ordenador o computadora (EAO), tipo de programa

educativo diseñado para servir como herramienta de aprendizaje” 1

1 Enciclopedia Microsoft Encarta 2004

24

Además la EAO utiliza una metodología atractiva, participativa y dinámica,

para que los usuarios se familiaricen con el programa. Atractiva porque

abarca diversos diseños combinados con efectos, colores, gráficos y otros

elementos para atraer la atención y mantener el nivel de interés.

Participativa y dinámica puesto que se utiliza ejercicios y sesiones de

preguntas y respuestas para presentar un tema y verificar su comprensión

por parte del estudiante, permitiendo también estudiar a su propio ritmo,

adquiriendo conocimientos de lo simple a lo complejo.

Un aspecto importante que influye en la calidad de un programa de EAO es

la uniformidad en los procedimientos de acción del alumno respecto al

programa. Por ejemplo, la entrada y salida al programa, la realización de

actividades, etc., siempre deben ser idénticas. Además la interacción se

facilita cuando aparecen las funciones más utilizadas en la pantalla, de

manera que con sólo pulsarlas se pueda pasar de una parte a otra del

programa.

Para la elaboración de este tipo de software se utilizan herramientas

informáticas, diseñadas en un lenguaje Informático Experto, que es un

sistema de programación de aplicaciones diseñado para crear programas,

bases de datos y materiales para la enseñanza asistida por ordenador o

computadora.

Para considerar que un software educativo está diseñado correctamente, se

debe tener en cuenta si garantiza lo siguiente: facilitar la motivación,

recordar el aprendizaje anterior, proporcionar nuevos estímulos, activar la

respuesta de los alumnos, proporcionar información, estimular la práctica,

establecer una secuencia de aprendizaje, propiciar recursos, generar efectos

visuales y auditivos, ser cómodamente interactivos, poder procesar símbolos

y ser modificables.

Dentro del uso didáctico, la EAO ofrece indudables ventajas en el campo de

la formación; puede facilitar la adquisición de unos contenidos a través de un

programa de ordenador, de tal forma que, el usuario – alumno es el receptor

25

de esos contenidos, y el programa de ordenador sustituye al formador en

sus funciones de: Transmitir conocimientos, aportar ejemplos y ejercicios

prácticos, controlar el aprendizaje de los alumnos y proporcionarles una

información inmediata sobre sus resultados.

Basada en la interactividad y en el autoaprendizaje, es para muchos una

solución eficaz para superar los problemas de la distancia, la adecuación a

las necesidades de los alumnos y a las limitaciones de tiempo.

La EAO es, en sí misma, una metodología de formación y como tal sólo un

buen diseño de los programas y su adecuada utilización posterior aseguran

el éxito de la formación.

26

PRODUCTO EDUCATIVO ESTRUCTURA DEL SISTEMA Nuestro Producto consiste en un software interactivo cargado en CD-ROM

de fácil manejo, el cual debe ser instalado en un ordenador. Está

estructurado en base a cuatro unidades didácticas del programa de estudio

del Décimo año de Educación Básica. Al ingresar a cada unidad el usuario

dispondrá de diferentes temas en donde se explica los fundamentos

teóricos, se desarrollan ejemplos, y se plantean ejercicios para que el

usuario ejercite lo aprendido, siempre ayudado por las modernas tecnologías

del campo informático.

La estructura del Matemático Virtual es la siguiente:

Ejercicios Desarrollo Práctico

Explicación Teórica

Sesiones de Estudio

UNIDADES EDUCATIVAS

MENÚ INTERACTIVO

• Menú.- Luego de ingresar al sistema encontramos la pantalla

principal, con su respectivo menú para facilitar el acceso a las

sesiones de estudio.

27

• Menú Interactivo.- Es el que permite el acceso en forma fácil a las

cuatro unidades educativas, simplemente ejecutando un clic en el

respectivo cuadro de la unidad.

• Sesiones de Estudio.- Una vez seleccionada la unidad el usuario

ingresará a la sesión específica de estudio, que contendrá lo

siguiente:

28

Explicación Teórica.- Explicará todos los fundamentos necesarios

para que el alumno pueda comprender porqué se aplica tal teorema o

axioma para resolver un ejercicio. Desarrollo Práctico.- A través de ejercicios dirigidos se explicará

paso a paso el desarrollo de los mismos. En el caso de Factorización

hemos implementado una opción explicativa audiovisual que ayudará

al estudiante a resolver de forma rápida los ejercicios. Ejercicios.- El usuario dispondrá de diferentes ejercicios para la

aplicación de los conocimientos adquiridos, para ello hemos

implementado un libro guía para el alumno, en el cual se ofrece los

ejercicios planteados en nuestro software para que lo desarrolle

manualmente, los cuales también servirán al maestro en su proceso

evaluativo. Todas las presentaciones de este sistema están diseñadas bajo ciertos

criterios de accesibilidad y manejo para el usuario como botones de

opciones y menús interactivos de trabajo que serán ejecutados en forma fácil

mediante el típico clic del ratón.

Tema de estudio Cierra y Minimiza la sesión.

Muestra el desarrollo paso a paso de los

ejercicios

Muestra una explicación detallada

de la teoría

Muestra una serie de ejercicios a

desarrollar en la guía del alumno

Regresa a la Unidad.

29

PRODUCTO DE CALIDAD

El Matemático Virtual es un producto de calidad porque incorpora tres

campos muy importantes dentro de la educación.

1.- La matemática: Como una asignatura que refleja resultados muy

pobres en las evaluaciones aplicadas, porque el estudiante presenta

desmotivación por el estudio de esta disciplina. Por ello se debe desarrollar

y explicar en forma adecuada para que exista un aprendizaje significativo, y

así reducir el porcentaje de deserción escolar que se atribuye en parte a este

problema.

Por ello se desarrolla:

• Álgebra

A través del álgebra el alumno tendrá los conocimientos básicos para

desarrollar problemas en los niveles superiores de estudio, por ello los

matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de

objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma

más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

• Trigonometría El usuario de este Producto Educativo relacionará las medidas de los

lados del triángulo con sus ángulos, los signos de las funciones

trigonométricas según el cuadrante en que se encuentra ubicado e

identificará las identidades trigonométricas.

Al mismo tiempo dominará los conceptos básicos que le ayudará a

comprender con facilidad una trigonometría que es de gran utilidad en

situaciones en las cuales se trata de medir longitudes inaccesibles.

30

Geometría

Como una rama de las matemáticas que se preocupa de problemas

métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la

superficie y volumen de cuerpos sólidos, esta disciplina es de gran

ayuda en la vida cotidiana.

Estadística

A través de la estadística el alumno alcanzará un basto conocimiento

para analizar datos y hechos de la vida real, y representarlos

gráficamente.

2.- La Informática: Como un medio que en los últimos años ha desarrollado

grandes cambios en todos los campos, en especial como una herramienta

aplicable a la educación, en manuales interactivos, enciclopedias, Internet,

juegos de creatividad, etc.

3.- La Pedagogía: Como una guía en métodos y técnicas empleados para

la transmisión del conocimiento, así como la explicación básica de teorías y

conceptos fundamentales para el desarrollo y resolución de cualquier

ejercicio.

31

ANEXOS

Hno. Miguel Ángel González Director del Producto Educativo

Grupo de Trabajo: Patricio Quishpe, Lorena Villegas, Pablo Villafuerte

32

Alumnos de Décimo año de Educación Básica del Colegio San Vicente Ferrer, en el Laboratorio de computación.

Equipo utilizado para la elaboración del Matemático Virtual

33

BIBLIOGRAFÍA

ARÉCHIGA MARAVILLAS, José, “Problemática de la transferencia de

las matemáticas”, http://www.uag.mx/63/a04-04.htm

CALVACHE G; ROSERO T; YACELGA M, “Geometría Plana y del

Espacio”, 2001. COLECCIÓN LNS, “Matemáticas”, Edibosco, Talleres Gráficas LNS-

Cuenca, 1991, Cuenca Ecuador.

ESPINOZA LOPEZ Alfredo, “Matemáticas para Tercer Curso”,Fosset

Graba, 2 Edición,1990, Guayaquil

GUERRERO CASTRO, Francisco, fco.guerrero@codetel.net.do

“Tecnologías de la Información y la Comunicación en el proceso

Enseñanza – Aprendizaje”, www.monografias.com

GONZALEZ M.O. MANCILL J.D, “Álgebra Elemental Moderna”,

Editorial Kapelusz, 1962, Argentina Volumen 2

GRUPO SANTILLANA, “Matemáticas, Guía Didáctica No. 10”, Edición

1999, Ecuador.

LELONG Jaqueline, “Álgebra Tomo1”, Editorial Reverte S.A, Barcelona,

Bogotá, Buenos Aires, Caracas, Mexico, Río de Janeiro.

LONDOÑO Nelson; BEDOYA Hernando, “Matemática Progresiva 8 –

Álgebra y Geometría”, Grupo Editorial Santillana, 1992, Colombia. LONDOÑO Nelson; BEDOYA Hernando, “Matemática Progresiva 10 –

Geometría Analítica y Trigonometría”, Grupo Editorial Santillana, 1994,

Colombia.

34

MARTIN Janes; ODELL James, “Análisis y Diseño Orientado a Objetos”,

Prentice Hall Hispanoamericana S.A. MORENO GUTIERREZ Vladimir; RESTREPO LÓPEZ Mauricio, “Alfa

10”, Grupo Editorial Norma, 2001. MORENO GUTIERREZ Vladimir; RESTREPO LÓPEZ Mauricio, “Alfa

11”, Grupo Editorial Norma, 2001. PAUL K. REES – FRED W. SPARKS, “Álgebra”, Editorial Reverte

Mexicana, S.A, 1968, Mexico.

SANTILLANA, “Calculo - Matemáticas 11”, Editorial Santillana, Santa Fe

Bogotá Colombia.

VARELA LEOPOLDO-FONCUBERTA A JUAN, “Matemática Dinámica

3”, Editorial Kapelusz, 1973, Buenos Aires.

35

U N I V E R S I D A D P O L I T É C N I C A S A L E S I A N A

PROGRAMA ACADÉMICO PUYO

U. P. S.

F A C U L T A D D E C I E N C I A S D E L A E D U C A C I Ó N

ESPECIALIDAD INFORMÁTICA EDUCATIVA

PRODUCTO EDUCATIVO

“EL MATEMÁTICO VIRTUAL”

PRODUCTO EDUCATIVO PREVIO A LA OBTENCIÓN DE LA

LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESPECIALIDAD

“INFORMÁTICA EDUCATIVA”

Integrantes: Patricio Quishpe Avilés

Pablo Félix Villafuerte Gavilanes

Lorena Elizabeth Villegas Mayorga

Director: Hno. Miguel Ángel González

Puyo – Pastaza – Ecuador

36

2 0 0 4

D E D I C A T O

R I A

Al escalar un peldaño más en

nuestras vidas; dedicamos todo

el esfuerzo y persistencia

reflejado en este trabajo a:

Dios como cuarto integrante del

grupo;

Nuestros Padres por su amor

incondicional; y,

37

Compañeros de Tesis por el

trabajo, dedicación y apoyo

mutuo.

Lorena Villegas Mayorga

Patricio Quishpe Aviles

Pablo Villafuerte

Gavilanes

38

A G R A D E C I

M I E N T O

El presente trabajo esta dirigido con

inmensa gratitud a:

Nuestros Maestros que supieron

impartir sus conocimientos.

La Universidad Politécnica Salesiana

por abrirnos las puertas del

conocimiento y brindarnos una

educación de calidad.

Colegio San Vicente Ferrer por

permitirnos desarrollar el trabajo en

sus instalaciones.

39

Al Hno. Miguel Angel González, por su

labor desinteresada como Director del

Programa Académico Puyo, y como

nuestro Director de Tesis.

Con cariño:

Patricio, Lorena y Pablo

40