trujillo, perú 2018

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería Mecatrónica

DISEÑO Y CONTRASTACIÓN ANALÍTICA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

ESCALAR Y VECTORIAL PARA UN MOTOR DE INDUCCIÓN JAULA DE ARDILLA

MEDIANTE MODELAMIENTO Y SIMULACIÓN.

TESIS

Parta optar el Título Profesional de

INGENIERO MECATRÓNICO

AUTOR: Bach. Vicente Junior Espino Sánchez.

ASESOR: Ing. Luis Miguel Rivera Cardoso.

Trujillo, Perú

2018

BIBLIOTECA DIGITAL - DIRECCIÓN DE SISTEMAS DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIÓN

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/

i

DEDICATORIA

Dedico la presente investigación a mi familia, en especial, a mis padres, Vicente

y Margarita, por su apoyo incondicional a lo largo de mis estudios. A la memoria de mi

abuelo, Raúl, por su guía y orientación en el camino de la ingeniería.



ii

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a los docentes que apoyaron durante mi formación académica en la

carrera de Ingeniería Mecatrónica, en especial a mi asesor, Ing. Miguel Rivera Cardoso,

por su apoyo y recomendaciones en el desarrollo de esta investigación.



iii

ÍNDICE

DEDICATORIA ................................................................................................................................. i

AGRADECIMIENTOS ...................................................................................................................... ii

LISTA DE TABLAS ......................................................................................................................... xii

LISTA DE FIGURAS ...................................................................................................................... xiii

LISTA DE SIMBOLOS ................................................................................................................. xviii

RESUMEN ...................................................................................................................................... 1

ABSTRACT ..................................................................................................................................... 2

CAPÍTULO I .................................................................................................................................... 3

1.1 Realidad problemática............................................................................................... 3

1.2 Enunciado del problema............................................................................................ 5

1.3 Hipótesis. ................................................................................................................... 5

1.4 Justificación. .............................................................................................................. 5

1.5 Objetivos. .................................................................................................................. 6

1.5.1 Objetivo general. ................................................................................................... 6

1.5.2 Objetivos específicos. ............................................................................................ 6

1.5.3 Diseño de la investigación. .................................................................................... 7

CAPÍTULO II ................................................................................................................................... 8

2.1 Antecedentes. ........................................................................................................... 8



iv

2.2 Marco Teórico. ........................................................................................................ 10

2.2.1 Principios básicos del electromagnetismo. .......................................................... 10

2.2.1.1 Ecuaciones de Maxwell.................................................................................... 10

2.2.1.2 Permeabilidad magnética. ............................................................................... 11

2.2.1.3 Ley de Ampere. ................................................................................................ 12

2.2.1.4 Flujo magnético. .............................................................................................. 12

2.2.1.5 Fuerza electromotriz inducida. ........................................................................ 13

2.2.1.6 Fuerza electromotriz inducida en una bobina. ................................................ 13

2.2.1.7 Fuerza electromotriz inducida en una bobina. ................................................ 14

2.2.1.8 Producción de una fuerza inducida en un alambre. ........................................ 15

2.2.2 Principios básicos de una máquina AC. ............................................................... 17

2.2.2.1 Principio rotativo en una espira. ...................................................................... 17

2.2.2.1.1 Acción generadora........................................................................................... 17

2.2.2.1.2 Acción motora. ................................................................................................ 21

2.2.2.1.2.1 Campo magnético giratorio. ........................................................................ 24

2.2.2.1.2.2 Número de polos y velocidad del campo magnético: .................................. 25

2.2.3 Motor de inducción. ............................................................................................ 27

2.2.3.1 Partes del motor de inducción......................................................................... 27



v

2.2.3.2 Principio de funcionamiento. .......................................................................... 29

2.2.3.3 Concepto de deslizamiento. ............................................................................ 30

2.2.3.4 Tipos de par resistente. ................................................................................... 31

2.2.3.4.1 Par constante................................................................................................... 32

2.2.3.4.2 Par lineal. ......................................................................................................... 33

2.2.3.4.3 Par cuadrático.................................................................................................. 34

2.2.3.4.4 Par inverso. ...................................................................................................... 34

2.2.3.4.5 Demanda de par de arranque. ......................................................................... 35

2.2.3.5 Control de velocidad de un motor de inducción.............................................. 36

2.2.3.5.1 Control por número de polos. ......................................................................... 36

2.2.3.5.2 Control por cambio de resistencias del rotor. ................................................. 36

2.2.3.5.3 Control por controladores electrónicos o convertidores de frecuencia. ......... 37

2.2.3.5.3.1 Tipos de convertidores de frecuencia. ......................................................... 37

2.2.3.5.3.1.1 Convertidores Directos:.............................................................................. 37

2.2.3.5.3.1.2 Convertidores indirectos. ........................................................................... 38

2.2.3.5.3.1.2.1 Clasificaciones de un convertidor indirecto. ........................................... 39

2.2.3.5.3.1.2.1.1 Inversor de fuente de voltaje (VSI). ...................................................... 40

2.2.3.5.3.1.2.1.2 Inversor de fuente de corriente (CSI). .................................................. 41



vi

2.2.3.5.3.1.2.1.3 Modulación por amplitud de pulso (PAM). .......................................... 41

2.2.3.5.3.1.2.1.4 Modulación por ancho de pulso (PWM). .............................................. 42

2.2.3.5.3.2 Tipos de control en los convertidores de frecuencia. .................................. 43

2.2.3.5.3.2.1 Control abierto: .......................................................................................... 43

2.2.3.5.3.2.2 Control cerrado: ......................................................................................... 43

2.2.3.5.3.2.3 Control escalar de velocidad. ..................................................................... 44

2.2.3.5.3.2.4 Control vectorial de velocidad o control de campo orientado (FOC). ........ 45

2.2.3.5.3.3 Diseño del controlador de velocidad. .......................................................... 47

2.2.3.5.3.3.1 Identificación de la configuración del control. ........................................... 47

2.2.3.5.3.3.2 Términos para la evaluación de un sistema de control. ............................. 47

2.2.3.5.3.3.3 Tipos de controlador. ................................................................................. 49

2.2.3.5.3.3.3.1 Controlador proporcional (P). ................................................................. 50

2.2.3.5.3.3.3.2 Controlador proporcional-integral (PI). ................................................... 50

2.2.3.5.3.3.3.3 Controlador proporcional-derivativo (PD). .............................................. 50

2.2.3.5.3.3.3.4 Controlador proporcional-integral-derivativo (PID). ............................... 51

2.2.3.5.3.4 Estándar IEC 61800-4 para un convertidor de frecuencia............................ 51

2.2.3.5.3.4.1 Variaciones en la variable de referencia..................................................... 52

2.2.3.5.3.4.2 Variaciones en la variable de operación. .................................................... 54



vii

2.2.4 Pasos para el modelamiento matemático. .......................................................... 55

2.2.4.1 Descripción física del dispositivo. .................................................................... 56

2.2.4.2 Elección de un modelo matemático. ............................................................... 56

2.2.4.3 Evaluación correcta. ........................................................................................ 56

2.2.4.4 Formulación de las ecuaciones diferenciales. .................................................. 57

2.2.4.5 Método de resolución. .................................................................................... 57

CAPÍTULO III ................................................................................................................................ 58

MODELAMIENTO MATEMÁTICO Y SIMULACIÓN DE UN MOTOR DE INDUCCIÓN .............. 58

3.1 Circuitos de acoplamiento magnético. ........................................................................ 58

3.2 Inductancia. ................................................................................................................. 58

3.3 Inductancia mutua. ..................................................................................................... 60

3.3.1 Un bobinado cargado. ................................................................................................. 60

3.3.2 Dos bobinados cargados. ............................................................................................ 62

3.4 Flujo concatenado. ...................................................................................................... 65

3.4.1 Flujo concatenado en dos espiras acopladas............................................................... 65

3.4.2 Flujo concatenado en tres espiras acopladas. ............................................................. 66

3.5 Flujo concatenado en las bobinas del motor de inducción. ........................................ 66

3.5.1 Devanado del estator. ................................................................................................. 66

3.5.2 Devanado del rotor. .................................................................................................... 67



viii

3.5.3 Acoplamiento entre estator y rotor. ........................................................................... 67

3.6 Ecuaciones dinámicas del motor de inducción. ........................................................... 68

3.6.1 Consideraciones geométricas. ..................................................................................... 68

3.6.2 Submatriz Ls y Lr. ......................................................................................................... 70

3.6.3 Submatriz Lmsr y Lmrs. ............................................................................................... 71

3.6.3.1 Variables de flujo del rotor referidas al estator. .......................................................... 72

3.6.4 Ecuaciones de voltaje del motor. ........................................................................ 73

3.6.5 Ecuación del par electromagnético. .................................................................... 74

3.6.6 Ecuación mecánica. ............................................................................................. 75

3.7 Sistema de referencia arbitrario. ................................................................................. 76

3.8 Transformación de coordenadas arbitrario del estator y del rotor. ............................ 77

3.8.1 Transformación de coordenadas del estator. .............................................................. 78

3.8.2 Transformación de coordenadas del rotor. ................................................................. 79

3.9 Transformación de coordenadas del modelado. ......................................................... 80

3.9.1 Ecuaciones de voltaje: ................................................................................................. 80

3.9.2 Ecuaciones de flujo. ..................................................................................................... 82

3.9.3 Ecuaciones de torque electromagnético. .................................................................... 85

3.10 Simulación del modelamiento matemático. ................................................................ 85

3.10.1 Simulación de la Transformación de Coordenadas ..................................................... 86

3.10.2 Simulación de las ecuaciones dinámicas. .................................................................... 87



ix

3.10.3 Simulación de las ecuaciones de torque...................................................................... 88

3.10.4 Simulación de las ecuaciones de velocidad. ................................................................ 89

3.10.5 Diagrama completo del modelado del motor de inducción. ....................................... 89

CAPÍTULO IV ................................................................................................................................ 91

CONTROL ESCALAR DE UN MOTOR DE INDUCCIÓN ........................................................... 91

4.1 Control de voltaje. ....................................................................................................... 91

4.2 Control de velocidad. .................................................................................................. 92

4.3 Diagrama de control. ................................................................................................... 92

4.4 Función de transferencia. ............................................................................................ 94

4.4.1 Seleccionando 𝜻. ......................................................................................................... 96

4.4.2 Seleccionando 𝝎𝒏. ...................................................................................................... 97

4.5 Simulaciones previas. .................................................................................................. 98

4.5.1 Rectificador. ................................................................................................................ 98

4.5.2 Inversor. ...................................................................................................................... 99

4.6 Simulaciones propias del control escalar. ................................................................. 100

4.6.1 Control pi. .................................................................................................................. 100

4.6.2 Ley de mando. ........................................................................................................... 100

4.6.3 Diagrama completo del control escalar. .................................................................... 101

CAPÍTULO V ............................................................................................................................... 102

CONTROL VECTORIAL DE UN MOTOR DE INDUCCIÓN ..................................................... 102



x

5.1 Ecuaciones del modelo dinámico referidas al flujo. .................................................. 102

5.1.1 Ecuaciones de voltaje. ............................................................................................... 103

5.2 Etapas de control. ..................................................................................................... 106

5.2.1 Control de flujo. ........................................................................................................ 106

5.2.2 Control de velocidad. ................................................................................................ 108

5.2.3 Control de corriente. ................................................................................................. 110

5.3 Simulaciones previas. ................................................................................................ 111

5.4 Simulaciones propias del control vectorial. ............................................................... 111

5.4.1 Control de flujo. ........................................................................................................ 111

5.4.2 Control de velocidad. ................................................................................................ 112

5.4.3 Control de corriente. ................................................................................................. 113

5.4.4 Diagrama completo control vectorial. ....................................................................... 114

CAPÍTULO VI .............................................................................................................................. 115

RESULTADOS. ............................................................................................................................ 115

6.1 Primera prueba. ........................................................................................................ 115

6.1.1 Prueba de arranque en vacío. ................................................................................... 117

6.1.2 Prueba de arranque con torque lineal. ...................................................................... 120

6.1.3 Prueba de arranque con torque cuadrático. ............................................................. 122

6.1.4 Prueba de arranque con torque constante. .............................................................. 123

6.2 Segunda prueba. ....................................................................................................... 125

CAPÍTULO VII ............................................................................................................................. 130



xi

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. ................................................................................... 130

6.3 Conclusiones. ............................................................................................................ 130

6.4 Recomendaciones. .................................................................................................... 131

6.5 Bibliografía. ............................................................................................................... 132

6.5.1 Libros. ........................................................................................................................ 132

6.5.2 Tesis y publicaciones. ................................................................................................ 133

6.5.3 Normas. ..................................................................................................................... 135

6.5.4 Manuales. .................................................................................................................. 135



xii

LISTA DE TABLAS

Tabla 2.1. Lista de variables magnéticas y unidades.......................................................... 11

Tabla 2.2. Parámetros de un motor Jaula de ardilla............................................................ 57

Tabla 6.1. Resultados control escalar en vacío. ................................................................ 118

Tabla 6.2. Resultados control vectorial en vacío. .............................................................. 118

Tabla 6.3. Resultados control vectorial bajo torque lineal. ............................................... 120

Tabla 6.4. Resultados control vectorial bajo torque lineal. ............................................... 120

Tabla 6.5. Resultados control escalar bajo torque cuadrático. ........................................ 122

Tabla 6.6. Resultados control escalar bajo torque cuadrático. ........................................ 122

Tabla 6.7. Resultados control escalar bajo torque constante.. ........................................ 124

Tabla 6.8. Resultados control vectorial bajo torque constante. ....................................... 124

Tabla 6.9. Resultados control vectorial bajo torque constante. ....................................... 127



xiii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Diseño de la investigación.. .................................................................................. 7

Figura 2.1. Generación de campo magnético por una bobina con núcleo

ferromagnético. ......................................................................................................................... 14

Figura 2.2. Fuerza inducida en un alambre. ......................................................................... 16

Figura 2.3. Espira giratoria en un campo magnético uniforme. ......................................... 18

Figura 2.4. Vectores de velocidad por cada segmento. ...................................................... 19

Figura 2.5. Diagrama acción generadora. ............................................................................ 21

Figura 2.6. Fuerza inducida en un alambre. ......................................................................... 22

Figura 2.7. a) La corriente de la espira produce una densidad de flujo magnético 𝐵𝑒𝑠𝑝

perpendicular al plano de la espira; b) Relación geométrica entre 𝐵𝑒𝑠𝑝 y 𝐵𝑠. ................ 23

Figura 2.8. Campo magnético giratorio en un estator representado como polos de

estator norte y sur en movimiento. ......................................................................................... 25

Figura 2.9. a) Un devanado de estator de cuatro polos simple. b) Los polos magnéticos

del estator resultantes. ............................................................................................................ 26

Figura 2.10. Modelo simplificado de la máquina de inducción trifásica. ........................... 27

Figura 2.11. Tipos de máquinas de inducción...................................................................... 28

Figura 2.12. Diagramas de carga-velocidad para aplicaciones industriales. ................... 32

Figura 2.13. Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de par constante. ....... 33

Figura 2.14 Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de par lineal. ................ 33

Figura 2.15 Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de par cuadrático. ...... 34



xiv

Figura 2.16 Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de potencia constante.

35

Figura 2.17 Curva de par típica en una aplicación en la que se precisa un par de

arranque elevado. .................................................................................................................... 35

Figura 2.18. Diseño cicloconvertidor marca ABB, para el control de un motor síncrono

de hasta 14MW. ....................................................................................................................... 38

Figura 2.19. Diagrama del convertidor indirecto. ................................................................. 38

Figura 2.20. Estructura básica de los rectificadores en función de la potencia de

conversión y el tipo de entrada y salida. ............................................................................... 40

Figura 2.21. Inversor tipo fuente de voltaje. ......................................................................... 40

Figura 2.22. Inversor tipo fuente de corriente. ..................................................................... 41

Figura 2.23. Señal de modulación por amplitud de pulso (PAM). ..................................... 41

Figura 2.24. Señal de modulación por amplitud de pulso (PWM). .................................... 42

Figura 2.25. Diagrama electrónico de un inversor trifásico típico (PWM). ....................... 42

Figura 2.26. Control Escalar ................................................................................................... 45

Figura 2.27. Control Vectorial por campo orientado. Método Directo (a) y Método

Indirecto (b). .............................................................................................................................. 46

Figura 2.28. Configuración de control en serie .................................................................... 47

Figura 2.29. Curva de respuesta ante la función escalón .................................................. 48

Figura 2.30. Curva de respuesta en el tiempo, a un escalón unitario en la variable

principal. .................................................................................................................................... 52



xv

Figura 2.31. Curva de respuesta en el tiempo, a un escalón unitario en una variable de

operaci. 54

Figura 3.1. Circuito magnético de una inductancia. ............................................................ 59

Figura 3.2. Circuito magnético de inductancia mutua ......................................................... 60

Figura 3.3. Circuito magnético de inductancia mutua. ........................................................ 62

Figura 3.4. Motor de inducción de dos polos, trifásico simplificado .................................. 69

Figura 3.5. Sistema de referencia arbitrario ......................................................................... 77

Figura 3.6. Sistemas de referencia del estator y del rotor. ................................................. 78

Figura 3.7. Relaciones trigonométricas entre ejes coordenado ....................................... 79

Figura 3.8 Circuito equivalente de un motor trifásico en un sistema de referencia

alineado con el rotor ................................................................................................................ 84

Figura 3.9. Simulación transformación de coordenadas directa. ....................................... 86

Figura 3.10. Simulación transformación de coordenadas inversa ..................................... 87

Figura 3.11. Simulación ecuaciones dinámicas de voltaje, flujo y corriente. ................... 88

Figura 3.12. Simulación ecuaciones de torque ................................................................... 89

Figura 3.13. Simulación .......................................................................................................... 89

Figura 3.14. Simulación del modelo dinámico del motor de inducción. ............................ 89

Figura 4.1 Diagrama de Control Escalar ............................................................................... 92

Figura 4.2 Lazo de control de velocidad. .............................................................................. 93

Figura 4.2. Curvas de repuesta para varios valores de 𝜁. .................................................. 96

Figura 4.4. Simulación de un rectificador trifásico. .............................................................. 98



xvi

Figura 4.5. Simulación de un inversor fuente de voltaje. .................................................... 99

Figura 4.5 Simulación Expansión del bloque “Inversor Trifásico” .................................... 99

Figura 4.7. Simulación controlador PI ................................................................................. 100

Figura 4.8. Simulación Ley de Mando control V/F ............................................................. 100

Figura 5.1. (Elaboración propia) .......................................................................................... 104

Fig. 5.2. Simulación de la ecuaciones 3.28 y 5.25 para la lectura de la corriente 𝑖𝑑𝑠0 ∗.

108

Figura 5.3. Modelo linealizado usando un controlador PI. .............................................. 109

Figura 5.4. Esquema control por histéresis. ....................................................................... 110

Figura 5.5 Señal de salida de un control por histéresis. ................................................... 111

Figura 5.6. Simulación control de flujo. ............................................................................... 112

Figura 5.7. Simulación control de velocidad. ...................................................................... 112

Figura 5.8. Simulación control de corriente. ....................................................................... 113

Figura 5.6. Simulación control vectorial. ............................................................................. 114

Figura 6.1. Grafica torque (Nm) vs tiempo(s).Prueba de control escalar, bajo torque

lineal y referencia escalón 0-375rpm ................................................................................... 116

Figura 6.2. Grafica torque (Nm) vs tiempo(s). Prueba de control escalar, bajo torque

lineal y referencia escalón 0-375rpm ................................................................................... 116

Figura 6.3 Mediciones. a) Obtención de la velocidad de sobrepico. b) Obtención del

tiempo de establecimiento. ................................................................................................... 117



xvii

Figura 6.6 Mediciones. a) Obtención de la variación máxima de velocidad. b) Obtención

del tiempo de respuesta o recuperación. ............................................................................ 127



xviii

LISTA DE SIMBOLOS

𝐴: Área transversal.

𝐴𝑖𝑚𝑝: Área de impacto.

B: Densidad de flujo magnético.

𝛽: Ángulo el eje 𝐴 del rotor y el eje 𝑑 del eje bifásico.

𝐹: Fuerza.

𝑓: Frecuencia de operación.

𝑓𝑛𝑜𝑚: Frecuencia nominal.

𝜆: Flujo concatenado.

𝜆𝑠 𝑜 𝜆𝑎𝑏𝑐𝑠: Flujo concatenado del estator.

𝜆𝑟 𝑜 𝜆𝐴𝐵𝐶𝑟: Flujo concatenado del rotor.

𝜆𝑞𝑑0𝑟: Flujo concatenado transformado del rotor.

𝜆𝑞𝑑0𝑠: Flujo concatenado transformado del estator.

𝑖: Corriente.

𝑖𝑟 𝑜 𝑖𝐴𝐵𝐶𝑟: Corriente trifásica del rotor.

𝑖𝑠 𝑜 𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠: Corriente trifásica del estator.

𝑖𝑞𝑑0𝑟: Corriente transformada del rotor.

𝑖𝑞𝑑0𝑠: Corriente transformada del estator.

𝐽: Momento de inercia.

𝐾: Constante del lazo de control vectorial.

𝐾𝑓: Constante del lazo de control escalar.

𝐾𝑖: Constante integral.

𝐾𝑝: Constante proporcional.

𝐾𝑟: Constante de transformación directa de las variables del rotor.

𝐾𝑟−1: Constante de transformación inversa de las variables del rotor.

𝐾𝑠: Constante de transformación directa de las variables del estator.



xix

𝐾𝑠−1: Constante de transformación inversa de las variables del estator.

𝐿: Longitud.

𝐿𝑙: Autoinductancia.

𝐿𝑙𝑠: Autoinductancia del estator.

𝐿𝑙𝑟: Autoinductancia del rotor.

𝐿𝑚: Inductancia mutua.

𝐿𝑚 𝑠𝑟: Inductancia mutua del estator y rotor.

𝐿𝑟: Inductancia del rotor.

𝐿𝑠: Inductancia del estator.

θ: Ángulo entre ejes de coordenadas.

𝑃: Potencia.

𝑝: Número de polos.

𝑅𝑠: Resistencia del estator.

𝑅𝑟: Resistencia del rotor.

ℛ: Reluctancia.

𝑠: Deslizamiento.

𝑆𝑃: Sobrepico o sobreimpulso.

𝑇𝑒: Torque electromagnético.

𝑇𝑒𝑠𝑡: Torque de salida en estado estacionario.

𝑡: Tiempo.

𝑡𝑑: Tiempo de retardo.

𝑡𝑝: Tiempo pico.

𝑡𝑠: Tiempo de subida.

𝑡𝑟: Tiempo de respuesta.

τ: Relación entre la inductancia y la resistencia del rotor.

μ: Permeabilidad magnética del material.

𝑉: Voltaje.

𝑉𝑟 𝑜 𝑉𝐴𝐵𝐶𝑟 : Voltaje del rotor.



xx

𝑉𝑞𝑑0𝑠: Voltaje transformado del estator.

𝑉𝑞𝑑0𝑟: Voltaje transformado del rotor.

𝑉𝑠 𝑜 𝑉𝑎𝑏𝑐𝑠: Voltaje del estator.

𝑉𝑠0: Voltaje mínimo a frecuencias cercanas a cero.

𝑉𝑠𝑛𝑜𝑚: Voltaje nominal del estator.

𝑣: Voltaje inducido.

𝑊𝑚𝑎𝑔: Energía almacenada en el campo de acoplamiento.

𝜔: Velocidad angular entre ejes de coordenadas.

𝜔𝑑𝑎: Velocidad angular del eje 𝑑 respecto del eje 𝑎.

𝜔𝑑𝐴: Velocidad angular del eje 𝑑 respecto del eje 𝐴.

𝜔𝑚: Velocidad angular magnética.

𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ: Velocidad angular mecánica del rotor.

𝜔𝑠: Velocidad angular de sincronismo.



1

RESUMEN

La presente investigación tiene como objetivo la contrastación de las variables de

control de dos sistemas de control de velocidad, escalar y vectorial aplicados a un motor

de inducción Jaula de ardilla, bajo distintos perfiles de carga.

Se inicia con la obtención de los datos de las constantes internas del motor que

sirvieron para la simulación de las ecuaciones dinámicas del mismo, utilizando el software

de simulación Matlab/Simulink. A su vez, se realizó el diseño de los sistemas de control,

de tal manera que el proceso de obtención de las constantes proporcionales e integrales

del controlador de velocidad sea análogo para ambos sistemas, esto con el fin de

asemejar las condiciones de operación de ambos sistemas de control, permitiendo su

comparación.

Para una contrastación más cercana a la realidad, se consideraron distintos perfiles

de par resistente contemplados en la norma EN 50598-1, los cuales están presentes en

las aplicaciones industriales más comunes.

Para evaluar los resultados obtenidos en la simulación se aplicó la norma IEC 61800-

4, la cual establece los parámetros de medición de las variables de control, así como sus

rangos permitidos. Los cuales sirvieron para el diseño de las pruebas a realizar.

En la evaluación de resultados obtenidos, se evidenció, en las pruebas de arranque

con par resistente constante y en las pruebas de impacto, que el sistema de control

vectorial presenta una mejor respuesta que el sistema escalar.

Por último, en las distintas pruebas realizadas, se comprueba una mejor respuesta del

sistema de control vectorial bajo perfiles de carga exigentes.



2

ABSTRACT

The objective of the present investigation is to compare the control vector control

system and the scalar control system of a squirrel cage induction motor

It starts with the obtaining of the data of the internal motor parameters that was used

for the simulation of the dynamic equations, using the simulation software

Matlab/Simulink. At the same time, the design of the control systems was carried out, in

such a way that the process of obtaining the proportional and integral constants of the

speed controller is analogous for both systems, in order to resemble the operating

conditions of both control systems, allowing comparison between them.

For a more realistic, this investigation considered profiles of load torque contemplated

in the standard EN 50598-1, which are present in the most common industrial

applications.

To evaluate the results obtained in the simulation, the IEC 61800-4 standard was

applied, which establishes the measurement parameters of the control variables, as well

as their permitted ranges. At the same time, this standard served for the design of the

tests to be performed.

In the evaluation of the results, it is evident that in the starting tests with constant

resistant torque and in the impact tests a better response of the vector control system is

found compared witch the scalar system.

Finally, in the different tests carried out, a better response of the vector control system

is verified under load profiles.



3

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

1.1 Realidad problemática.

Los distintos descubrimientos en electricidad y magnetismo hicieron posible la

invención de una máquina de conversión de energía mecánica a eléctrica y viceversa,

actualmente llamados generador y motor. Estas máquinas fueron evolucionando y

creándose diversos tipos con características particulares de acuerdo a sus

aplicaciones y, principalmente de acuerdo al tipo de energía eléctrica que usan.

Dividiéndose así en, máquinas de corriente continua y de corriente alterna.

En el caso de los motores de inducción, industrialmente, se intensificó el uso del

motor de inducción Jaula de ardilla. Esto debido a su confiabilidad, eficiencia,

robustez, bajo costo y tiempo de mantenimiento. Pero, en procesos en los que se

requiere una variación y específicamente un control sobre la velocidad de rotación del

eje, los motores de corriente continua tenían una amplia ventaja. Principalmente por

su independencia entre las bobinas del estator y el rotor, lo que permite un control

directo y por separado del flujo de magnetización y del par electromagnético.

Debido a que en el motor de inducción no se puede tener acceso al bobinado del

rotor, se buscaron otras formas de variar su velocidad. En un principio, se hacía variar

el número de bobinados internos del motor, según el arreglo de este, se podían tener

dos a más velocidades para un motor. Además, se hacían variaciones en el voltaje

que se le aplicaba, teniendo problemas con la estabilidad del flujo de inducción hacia

el rotor, lo que lo volvía inestable e incapaz de producir un nivel estable de torque

mecánico de salida.



4

Con la llegada de la electrónica de potencia, es posible variar la frecuencia y

voltaje de alimentación del motor. A la variación proporcional de estos dos factores,

se le llamó Control Escalar. Esto amplió el rango de operación a distintas velocidades

alrededor de la velocidad nominal, además de brindar la posibilidad de realizar

controles de lazo cerrado. Siendo ahora posible controlar procesos de alta potencia

con cierta precisión en la velocidad del motor.

Esta nueva posibilidad de control de velocidad, situó al motor de inducción en el

centro de muchas aplicaciones industriales y en el mejoramiento de la eficiencia de

muchos procesos industriales. Tales como, transporte de material con fajas

transportadores, molinos, compresores, mezcladoras, y otros más. Pero, con

variaciones abruptas en la carga o a velocidades bajas, se reportaban ciertas

inestabilidades en el sistema.

Actualmente se vienen desarrollando modelos de control de velocidad orientado

por campo o control vectorial, los cuales proponen desacoplar el flujo de

magnetización y el par electromagnético para luego tener un control análogo al

realizado en los motores de corriente continua. Es decir, tener un control sobre el

torque de salida.

En la presente investigación, se diseñará y simulará estos dos últimos tipos de

control de velocidad, escalar y vectorial indirecto, con el fin de visualizar sus

respuestas a los perfiles de carga más comunes de la industria y evaluar bajo qué

condiciones son más óptimos uno u otro sistema de control. Es decir, se busca una

contrastación entre los sistemas de control, previo estudio, modelamiento, simulación

y comparación de resultados.



5

1.2 Enunciado del problema.

¿Cuáles son los criterios de diseño y contrastación analítica para un sistema de

control escalar y vectorial aplicado al modelamiento de un motor de inducción tipo

Jaula de ardilla?

1.3 Hipótesis.

Dadas las características de diseño, la contrastación analítica indica que el

sistema de control vectorial tiene una mejor respuesta en sus variables de control,

bajo distintos perfiles de carga industriales respecto al sistema de control escalar.

1.4 Justificación.

La gran cantidad de aplicaciones industriales, además de la tendencia global en

mejorar la eficiencia y eficacia de los procesos, conllevan a múltiples exigencias por

sistemas de control más complejos y versátiles. Por ende. se evidencia la necesidad

de estudios más profundos sobre el comportamiento físico del motor, para así idear o

mejorar las tecnologías de control.

Las diversas investigaciones en la búsqueda de una forma de control de

velocidad que satisfaga los requerimientos de la industria, siendo los más resaltantes:

la respuesta a múltiples variaciones de carga y el buen funcionamiento en el mayor

rango de operación posible. Evidencian también la necesidad de generar una

contrastación entre estas nuevas tecnologías, con el fin de evaluar las variables de

control y así ayudar a discernir en el empleo de una u otra tecnología.

Por último, esta investigación sienta las bases teóricas de una creciente línea de

investigación, cuyo fin será innovar y generar un aporte en el conocimiento colectivo.



6

1.5 Objetivos.

1.5.1 Objetivo general.

Contrastar las variables de control de los sistemas de control de velocidad,

escalar y vectorial, para un motor de inducción Jaula de ardilla bajo distintos perfiles

de carga.

1.5.2 Objetivos específicos.

Realizar el modelamiento dinámico de un motor de inducción tipo Jaula

de Ardilla.

Diseñar y simular el sistema de control de velocidad escalar.

Diseñar y simular el sistema de control de velocidad vectorial.

Aplicar a ambos sistemas de control, distintos perfiles y variaciones de

par resistente.

Contrastación y evaluación de las variables de control obtenidas en la

simulación de los sistemas de control aplicado al modelado de un motor

de inducción Jaula de Ardilla.



7

1.5.3 Diseño de la investigación.

Figura 1.1.

Diseño de la investigación..

Fuente: (Elaboración Propia)



8

CAPÍTULO II

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1 Antecedentes.

(García, P. A. P., & Rodríguez, M. J. D., 2006) Esta investigación presenta las

ecuaciones dinámicas mecánicas y de par electromagnético orientadas al eje del

estator y del rotor. Además, realiza la transformación a un sistema de coordenadas

bifásico posicionado sobre el eje del rotor, siendo de ayuda para el modelado del

motor de inducción en esta investigación.

(Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004). Esta publicación realiza una amplia recopilación

de las distintas tecnologías de control aplicadas a motores de inducción, siendo los

de importancia para esta investigación: el control escalar y vectorial. Además, aporta

definiciones, diagramas esquemáticos de control importantes para la realización de

esta investigación.

(Akroum et al., 2013). Esta investigación proporciona los parámetros internos de

un motor de inducción jaula de ardilla de 5HP, que son necesarios para la realización

de su modelado. Además, brinda el diagrama de control escalar con un controlador

PI.

(Bort, J. V., 2002). Proporciona información importante sobre el proceso de

modelado, marcando las pautas conceptuales a seguir. También brinda información

sobre las ecuaciones dinámicas, pero el método de desarrollo utilizado, en específico,

la transformación de coordenadas aplica un método poco difundido, por lo que solo

se usarán los conceptos brindados. Además, la simulación realizada utiliza ventanas

de visualización tipo GUI, las cuales brindan una referencia de las curvas a obtener

en la simulación de esta investigación.



9

(Páramo, B., 2010). Esta investigación proporciona información sobre las

restricciones, aspectos constructivos y ecuaciones del modelado dinámico. Al igual

que el caso anterior, como resultados, muestra las curvas de operación de un motor,

con el adicional de especificar las curvas para distintos perfiles de carga.

(Shah, D., & Nandi, S.,2007). Esta investigación proporciona el diagrama del lazo

linealizado de control de velocidad en un sistema de control escalar. Incluyendo el

método de obtención de las constantes necesarias para la función de transferencia.

(Sánchez, S., & Giraldo, E., 2008). Esta investigación presenta el modelado del

motor de inducción en un sistema de coordenadas de campo orientado del flujo del

motor. Realiza el modelado utilizando parte de las ecuaciones dinámicas del motor,

despejando ecuaciones para así controlar el flujo electromagnético en el motor siendo

estas de ayuda para el modelamiento del motor con control vectorial.

(Mejía, C., 2013). Proporciona un estudio sobre las tecnologías de electrónica de

potencia relacionadas al control de motores de inducción. De las cuales se extraen

para esta investigación, las clasificaciones de variadores de frecuencia,

específicamente, los tipos de inversores y rectificadores.

(Nachiappan, et al., 2012). Proporciona el esquema de control por histéresis de

un inversor tipo fuente de voltaje, utilizando una referencia de corriente para su

control. Este método de control es de utilidad para la simulación del sistema de control

vectorial.

(EN 50598-1, 2013). Proporciona información de las curvas y perfiles de carga

comunes a las que está sometido un motor de inducción.

(ABB, 2014). Proporciona información sobre las distintas aplicaciones y

máquinas industriales cuyos perfiles de carga predominantes son los expuestos en la

norma EN 50598-1, 2013.



10

(IEC 61800-4, 2002). Brinda información sobre la medición y valores permitidos

de las variables de control en variadores de frecuencia. Lo cual permitirá establecer

si los controles de velocidad diseñados en esta investigación cumplen con los

requerimientos de la norma.

2.2 Marco Teórico.

2.2.1 Principios básicos del electromagnetismo.

El motor de inducción, junto con otros tipos de máquinas eléctricas tienen como

principio fundamental la conversión de energía eléctrica a mecánica o viceversa, para

esto utilizan el electromagnetismo como medio para dicha conversión de energía

(Guru, et al., 2003). Por ende, es importante conocer los principios que rigen su

comportamiento.

2.2.1.1 Ecuaciones de Maxwell.

La base de la teoría de campos electromagnéticos son las ecuaciones de

Maxwell. Estas cuatro ecuaciones recogen y sintetizan los resultados experimentales

de otros investigadores como: Coulomb, Gauss, Ampere y Faraday, logrando

demostrar relaciones entre fenómenos físicos que hasta ese momento se

consideraban aislados. (Hayt, W. H., & Buck, J. A., 2001).

Ley de Ampere:

Ley de Faraday: (2.2)

(2.1)



11

Ley de Gauss:

Ley de Gauss:

Donde:

Tabla 2.1.

Lista de variables magnéticas y unidades.

Fuente: (Hayt, W., & Buck, J. A., 2001).

Para el desarrollo de esta investigación, es de especial importancia entender la

generación, transmisión y efectos físicos que produce el campo magnético. Así como

su relación con los principales parámetros eléctricos y magnéticos. A continuación,

se presentará las definiciones de cada ley de Maxwell de forma resumida y orientadas

a esta investigación. De ser el caso, se presentarán ciertos conceptos previos

necesarios para el entendimiento de cada ley.

2.2.1.2 Permeabilidad magnética.

La permeabilidad magnética es una relación entre Densidad de Flujo del campo

magnético (B) y la Intensidad del campo magnético (H). Es decir, es la capacidad del

medio para permitir el flujo del campo magnético (Hayt, W. H., & Buck, J. A., 2001).

(2.4)

(2.3)



12

No debe entenderse como una relación estrictamente lineal, ya que no

necesariamente el medio es uniforme.

2.2.1.3 Ley de Ampere.

La Ley de Ampere relaciona el campo magnético producido en un conductor con

la corriente eléctrica que fluye a través de este (Serway, et al., 2005).

Para el caso de un conductor eléctrico de longitud infinita y una distribución de

corriente eléctrica uniforme, la ecuación se representa de la siguiente forma:

La intensidad del campo magnético H es, de alguna manera, una medida del

“esfuerzo” de una corriente por establecer un campo magnético (Chapman, S. J.,

2012)

2.2.1.4 Flujo magnético.

Se define como el campo magnético que pasa sobre una superficie determinada

(Serway, et al., 2005):

Nótese que, si el campo magnético pasa a través de una superficie cerrada este

flujo magnético es 0, tal como se indica en la ecuación de Maxwell (2.4).

(2.7)

(2.6)

(2.5)



13

2.2.1.5 Fuerza electromotriz inducida.

La ley de Faraday o también llamada Ley de inducción electromagnética propone

que la fuerza electromotriz inducida en un circuito cerrado (espira) es proporcional a

la velocidad de cambio del flujo magnético sobre el circuito. (Serway, et al., 2005).

Reduciendo la expresión (Guru, et al., 2003)

Donde el Flujo Magnético está dado por la ecuación (2.7). Cabe resaltar, que este

flujo magnético puede ser considerado como la sumatoria efectiva de varios flujos

sobre el conductor.

2.2.1.6 Fuerza electromotriz inducida en una bobina.

Si consideramos una bobina con “N” cantidad de vueltas y el mismo flujo que

pasa a través de todas ellas, el voltaje inducido en toda la bobina está dado por la

sumatoria de las fuerzas electromotrices inducidas en cada una de las bobinas

(Chapman, S. J., 2012). Quedando la expresión:

Se define a la expresión entre paréntesis como “flujo concatenado” o “flujo ligado” (λ).

λ: Flujo concatenado (Webers-vuelta).

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)



14

Cuando el flujo magnético es el mismo sobre todas las vueltas de la bobina, se

simplifica a la siguiente ecuación:

2.2.1.7 Fuerza electromotriz inducida en una bobina.

Anteriormente se explicaba que la Ley de Ampere cuantifica el campo magnético

producido por una corriente. Si consideramos un bobinado de N vueltas, la intensidad

del campo magnético se incrementa proporcionalmente a este, quedando la integral

como la ecuación (2.13) (Chapman, S. J., 2012).

Figura 2.1.

Generación de campo magnético por una bobina con núcleo ferromagnético.

Fuente: (Chapman, S. J., 2012).

Esta expresión también es llamada Fuerza magneto-motriz (F), se define como

aquella fuerza capaz de producir un flujo magnético entre dos puntos de un circuito

magnético.

(2.12)

(2.13)



15

Haciendo una analogía con los circuitos eléctricos, específicamente a la Ley de

Ohm, aparece la Reluctancia (R), que se define como la resistencia de un material a

ser influenciado por un campo magnético. La relación queda expresada en la

ecuación (2.14) (Chapman, S. J., 2012).

Donde:

R=𝑙

𝜇𝐴

μ : Permeabilidad magnética del material.

𝑙 : Longitud del recorrido medio del flujo magnético.

A : Área de la sección transversal.

Reemplazando la ecuación (2.14) en la ecuación (2.13).

∅ ℛ = 𝑁 𝑖

Despejando el Flujo Magnético:

∅ =𝑁 𝑖

ℛ

2.2.1.8 Producción de una fuerza inducida en un alambre.

Cuando una carga q se mueve con una velocidad “v” en un campo magnético “B”,

la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la carga está dada según la ecuación

(Guru, et al., 2003):

(2.18)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)



16

Puesto que el flujo de una carga sobre un conductor eléctrico es denominado

corriente eléctrica, es posible expresar la ecuación (2.18) en términos de corriente

(Hayt, W. H., & Buck, J. A., 2001):

Donde “I” es la corriente eléctrica y “L” es la extensión del cable.

En la ecuación (2.19), se observa que la fuerza es un producto vectorial entre la

corriente y el campo magnético. Esto determina la dirección de la fuerza,

perpendicular al plano formado por la dirección de la corriente y el campo magnético

(Chapman, S. J., 2012). En la figura (2.2) se puede ver un ejemplo de esta relación.

Figura 2.2.

Fuerza inducida en un alambre.


(2.19)



17

2.2.2 Principios básicos de una máquina AC.

Como se explicó líneas arriba, las máquinas electro-mecánicas utilizan los

principios electromagnéticos para realizar la conversión de energía. Esta conversión

se da en ambos sentidos. Es decir, es posible generar energía eléctrica por medio de

la rotación (Generador) o producir movimiento a partir de la energía eléctrica (Motor).

Ambos principios son inherentes e inseparables en el comportamiento de toda

máquina eléctrica (Chapman, S. J., 2012).

En esta investigación se considerarán los principios que involucran a las

máquinas de inducción de corriente alterna. Las máquinas de corriente directa y

demás casos es posible encontrarlos en los libros citados en la bibliografía.

2.2.2.1 Principio rotativo en una espira.

Principio rotativo en una espira, este caso es una simplificación didáctica de una

máquina AC de inducción, para poder explicar los principios electromagnéticos

básicos presentes en dicha máquina. Se considera un campo magnético uniforme y

una espira rotativa.

2.2.2.1.1 Acción generadora.

Según la ley de Faraday, al existir un campo magnético uniforme (𝐵) y una

velocidad de rotación (𝜔), se induce un voltaje en los conductores. (Chapman, S. J.,

2012).

Donde, 𝑣 es la velocidad tangencial de la espira.

(2.20)



18

Para simplificar el análisis, se evaluará la espira por segmentos según la figura

(2.3). Así que, la integral será igual a la longitud de estos.

Figura 2.3.

Espira giratoria en un campo magnético uniforme.


En el segmento 𝑏𝑐 y 𝑑𝑎, el vector (𝑣 𝑥 𝐵) es perpendicular a la dirección del

conductor. Por lo tanto, el voltaje inducido es 0. (Chapman, S. J., 2012)

En el segmento 𝑎𝑏 y 𝑐𝑑, la velocidad forma un ángulo con la dirección del campo

magnético (𝐵). Como este ángulo es variable con respecto al tiempo, el voltaje para

ambos casos quedará expresado según las ecuaciones (2.21) y (2.22). (Chapman, S.

J., 2012).



19

Figura 2.4.

Vectores de velocidad por cada segmento.


Sumando los voltajes a lo largo de la espira:

Se observa que:

Por lo tanto:

𝑒𝑖𝑛𝑑 = 2𝑣𝐵𝑙 𝑠𝑒𝑛(𝜃)

(2.21)

(2.22)

(2.24)

(2.25)

(2.23)



20

Si se sabe que:

𝑣 = 𝑤𝑟

𝜃 = 𝑤𝑡

Además, por la disposición geométrica se obtiene el área (A):

𝐴 = 2𝑟𝑙

Reemplazando las ecuaciones (2.28), (2.27), (2.26) en (2.25) (Chapman, S. J., 2012).

𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝐴𝐵 𝑤 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡)

Dónde, AB es igual al flujo magnético máximo posible sobre la espira. Por ende, se

define 𝜙𝑚á𝑥.

𝜙𝑚á𝑥 = 𝐴𝐵

Reemplazando en 2.29:

𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝜙𝑚á𝑥 𝑤 𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑡)

La señal de voltaje inducido en el tiempo representa en la figura (2.5):

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.30)

(2.29)

(2.31)



21

Figura 2.5.

Diagrama acción generadora.

Fuente: (Serway, et al., 2005).

2.2.2.1.2 Acción motora.

Ahora consideramos la misma espira formando un ángulo arbitrario θ sobre el

campo magnético y una corriente i que fluye en la espira. Según la ecuación (2.19),

dice que, al haber un flujo de corriente en un campo magnético, se produce una fuerza

en cada segmento del conductor, en este caso, la espira. Utilizando la misma

simbología de la figura (2.6), reescribiremos la ecuación (2.19) (Chapman, S. J.,

2012):

(2.32)



22

Figura 2.6.

Fuerza inducida en un alambre.


Donde:

i : Magnitud de la corriente en cada segmento.

l : Longitud del segmento, cuya dirección se define como

la dirección del flujo de la corriente

B: Vector de densidad del flujo magnético.

Considerando la fuerza generada sobre la espira y teniendo esta un eje de

rotación en el centro, es correcto asumir que se inducirá un torque que está dado por

la ecuación 2.33.

Donde:

θ = Ángulo formado por la espira y el campo magnético.

r = Distancia perpendicular entre la fuerza y el eje de giro.

F = Fuerza generada.

(2.33)



23

Análogamente al caso anterior, se analiza la espira por segmentos (𝑎𝑏, 𝑏𝑐, 𝑐𝑑 y

𝑑𝑎), para obtener las expresiones de fuerza y torque generado. En este caso, no se

desarrollará este análisis individual, pero es posible encontrar en la fuente citada.

Luego de sumar las expresiones de torque para cada segmento de la espira, se

obtiene la ecuación (2.34). (Chapman, S. J., 2012).

Otra forma de expresar la ecuación es mediante el flujo magnético producido por

la corriente al pasar por la espira (𝐵𝑒𝑠𝑝). Este está dado por la ecuación (2.35) y se

ilustra en la figura (2.7). (Chapman, S. J., 2012).

Figura 2.7.

a) La corriente de la espira produce una densidad de flujo magnético 𝐵𝑒𝑠𝑝

perpendicular al plano de la espira; b) Relación geométrica entre 𝐵𝑒𝑠𝑝 y 𝐵𝑠.


Despejando la corriente y reemplazando en la ecuación (2.34).

(2.34)

(2.36)

(2.35)



24

Ya que el primer término “AG/μ” es una constante dependiente de la construcción

de la máquina. Además, sabiendo que el ángulo θ, es el formado por los vectores

Besp y Bs, se puede expresar el segundo término como un producto vectorial, tal

como se muestra en la ecuación (2.37) (Chapman, S. J., 2012).

De esta expresión se concluye que, el par inducido en la espira es proporcional

a la fuerza del campo magnético de la espira, la fuerza del campo magnético externo

y el seno del ángulo entre ellos. Esto también es aplicable a las máquinas de corriente

alterna, particularmente al motor de inducción. En los cuales, así como en el caso

demostrativo de la espira, el par es dependiente de estos cuatro factores:

La intensidad del campo magnético del rotor.

La intensidad del campo magnético externo (estator).

El seno del ángulo entre ellos.

Una constante que representa la construcción de la máquina

2.2.2.1.2.1 Campo magnético giratorio.

Líneas arriba se demostró la existencia de dos campos magnéticos presentes en

las máquinas de corriente alterna. Debido a la geometría de los devanados y a la

naturaleza trifásica de la corriente de alimentación, los campos magnéticos de la

máquina giran alrededor de esta, siendo el campo magnético de la parte móvil el que

sigue al campo magnético generado por la parte estática. (Bort, J. V., 2002)

Este campo magnético giratorio es producido gracias a la disposición geométrica

de sus devanados y a la corriente de alimentación. A continuación, se explicará

brevemente como estas variables producen y controlan el campo magnético giratorio.

(2.37)



25

2.2.2.1.2.2 Número de polos y velocidad del campo magnético:

Como se puede ver en la figura (2.8), los devanados del estator están distribuidos

cada 120° entre sus fases, y, al circular sobre estos una corriente eléctrica trifásica,

igualmente desfasada 120° con magnitud constante. Por cada ciclo eléctrico de la

corriente aplicada, los polos magnéticos complementan una rotación mecánica

alrededor de la superficie del estator.

La forma más básica de distribución de los devanados en una máquina eléctrica

está representada en la figura (2.8). En ella podemos ver un par de devanados por

cada fase de la corriente de alimentación, estos están distribuidos alrededor cada

120° entre sus fases. Al circular sobre estos devanados, una corriente eléctrica

igualmente desfasada 120° de magnitud constante, se forma un campo magnético

rotatorio como si se tratase de un imán de dos polos girando alrededor de la máquina.

Es por ello que a esta máquina se la denomina como máquina de dos polos o de un

par de polos. Estos dos polos magnéticos completan una rotación mecánica alrededor

de la superficie del estator, por cada ciclo eléctrico de la corriente aplicada (Wildi, T.,

2007).

Figura 2.8.

Campo magnético giratorio en un estator representado como polos de

estator norte y sur en movimiento.




26

Si se consideran varios pares de devanados, podemos observar la generación

de igual número de polos. Estos forman un flujo magnético neto, que es el que genera

la inducción y el par en la máquina, al igual que en una máquina de dos polos. En

este caso los polos solo rotarán una fracción de vuelta por cada ciclo de corriente.

Figura 2.9.

a) Un devanado de estator de cuatro polos simple. b) Los

polos magnéticos del estator resultantes.


En resumen, la velocidad de rotación del campo magnético giratorio (ω) depende

de las variables antes mencionadas, el número de polos de la máquina (p) y el número

de ciclos por segundo o frecuencia de la corriente eléctrica (f) (Wildi, T., 2007). Esta

relación se ilustra en la ecuación.

𝜔 =2𝜋𝑓𝑝

2⁄

(2.38)



27

2.2.3 Motor de inducción.

Ahora que se conocen los principios fundamentales que rigen el comportamiento

electromagnético de las máquinas eléctricas, se pasará a describir los aspectos

constructivos, clasificaciones, principios de funcionamiento y aplicaciones del motor

de inducción.

El motor de inducción es una máquina de bajo costo de mantenimiento, gran

resistencia y fiabilidad. Sus aplicaciones son diversas, ya sea en uso doméstico o

industrial (Wildi, T., 2007). Esta investigación se centrará en sus aplicaciones

industriales, es por ello que se estudiará la máquina de inducción del tipo trifásica.

2.2.3.1 Partes del motor de inducción.

Las máquinas de inducción constan de tres partes que forman el circuito

electromagnético: Una parte fija o estator, una parte móvil o rotor, y un espacio de

separación de aire que mide entre 0.4mm a 4mm, según la potencia del motor. (Wildi,

T., 2007)

Figura 2.10.

Modelo simplificado de la máquina de inducción trifásica.

Fuente: (Navas Cajamarca, W. P.,2016).



28

El estator, que es el inductor, es el que se alimenta de la red trifásica. Consta de

un armazón de acero que soporta un núcleo cilíndrico hueco, el cual está compuesto

por laminaciones equidistantes entre sí (120° geométricos por fase) a lo largo de su

circunferencia interna. En estas se sitúan los devanados correspondientes a las tres

fases de alimentación de la máquina. (Wildi, T., 2007).

El rotor es el inducido, por él circulas las corrientes que aparecen como

consecuencia de la interacción electromagnética con el flujo del estator. Este también

se compone de laminaciones ranuradas uniformemente distribuidas. En estas se

sitúan los devanados trifásicos del rotor, pueden ser de dos tipos, rotor Jaula de ardilla

o en cortocircuito y rotor de bobinado o de anillos rozantes. (Wildi, T., 2007).

Figura 2.11.

Tipos de máquinas de inducción.

Fuente: (Mora, J. F.,2008).



29

2.2.3.2 Principio de funcionamiento.

El principio de funcionamiento de la máquina de inducción consiste en alimentar

el devanado del estator con la red trifásica para producir un campo magnético

giratorio. Este, como ya se ha visto en las leyes del Maxwell, induce fuerzas

electromotrices al rotor, y al estar este en cortocircuito generan corrientes en sus

devanados, que al interactuar con el campo magnético producen un par motriz en el

eje de la máquina. Que, a su vez, trata de oponerse al desplazamiento de las líneas

de campo respecto de los conductores del rotor. Es decir, si el motor se deja girar

libremente, el motor irá acelerando tratando de igualar la velocidad del campo

magnético. Esta velocidad también es llamada velocidad de sincronismo se determina

por la frecuencia de la red y el número de polos del devanado estatórico, como se

aprecia en la ecuación 2.39. (Chapman, S. J., 2012).

𝜔𝑠 =2𝜋𝑓𝑝

2⁄

𝑊𝑠: Velocidad de sincronismo en rad/s.

Cuando el motor se encuentra en movimiento, la carga conectada al eje

comenzará a ofrecer un par resistente que, como se verá líneas abajo, normalmente

dependerá de la velocidad de la máquina. Incluso con el motor en vacío siempre

existe un pequeño par resistente debido a rozamientos con los cojinetes, fricción del

aire, entre otros. De tal forma que la velocidad del motor en vacío nunca llega a ser

igual a la del campo magnético, pero si cercana. (Páramo, B.,2010).

Una forma usual de referirse a la diferencia entre la velocidad de sincronismo y

la velocidad de la flecha del rotor es mediante el concepto de deslizamiento. Se

expresa en forma de porcentaje o de número adimensional. (Chapman, S. J., 2012).

𝑠 = 𝜔𝑠−𝜔𝑟

𝜔𝑠 (100%)

(2.39)

(2.40)



30

Nótese que, si el rotor gira a velocidad síncrona, s=0, mientras que, si el rotor

está estacionario o en reposo, s=1. Todas las velocidades normales del motor caen

dentro de estos dos límites (Chapman, S. J., 2012).

Se puede expresar la velocidad mecánica del eje del rotor en términos de la

velocidad síncrona y del deslizamiento (Chapman, S. J., 2012):

𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ = (1 − 𝑠)𝜔𝑠

2.2.3.3 Concepto de deslizamiento.

El voltaje inducido en la barra del rotor de un motor de inducción depende de la

velocidad del rotor en relación con los campos magnéticos. Puesto que la conducta

de un motor de inducción depende del voltaje y corriente del rotor, es más lógico

hablar de la velocidad relativa. Hay dos términos que se usan regularmente para

definir el movimiento relativo del rotor y los campos magnéticos. Uno es la velocidad

de deslizamiento, que se define como la diferencia entre la velocidad síncrona y la

velocidad del rotor, el cual se presenta en la ecuación (2.42). (Chapman, S. J., 2012).

𝑛𝑑𝑒𝑠 = 𝑛𝑠 − 𝑛𝑚

Donde:

𝑛𝑑𝑒𝑠 = Velocidad de deslizamiento de la máquina.

𝑛𝑠 = Velocidad de los campos magnéticos.

𝑛𝑚 = Velocidad mecánica del eje del motor.

El otro término que se utiliza para describir el movimiento relativo es el de

deslizamiento, que es igual a la velocidad relativa expresada como una fracción de la

unidad o un porcentaje. Esto quiere decir que el deslizamiento se define como la

ecuación (2.43). (Chapman, S. J., 2012):

(2.41)

(2.42)

(2.43)



31

𝑠 =𝑛𝑠 − 𝑛𝑚

𝑛𝑠(100%)

Nótese que, si el rotor gira a velocidad síncrona, s=0, mientras que, si el rotor

está estacionario o en reposo, s=1. Todas las velocidades normales del motor caen

dentro de estos dos límites (Chapman, S. J. ,2004).

Se puede expresar la velocidad mecánica del eje del rotor en términos de la

velocidad síncrona y del deslizamiento, según las ecuaciones (2.44) y (2.45).

(Chapman, S. J. ,2004).

𝑛𝑚 = (1 − 𝑠)𝑛𝑠

𝜔𝑚 = (1 − 𝑠)𝜔𝑠

2.2.3.4 Tipos de par resistente.

Como ya se ha descrito anteriormente, el uso de los motores de inducción se ha

generalizado a todo tipo de industrias y en distintos procesos dentro de estas. Esto

se traduce en distintos parámetros de trabajo. Siendo la carga o torque resistivo el

más representativo e importante de cada proceso, ya que determina el punto de

trabajo de un motor de inducción lo que se traduce en consumo de energía y variación

de la velocidad de operación. El par resistivo, como se verá más adelante, en la

mayoría de los casos tiene una relación con la velocidad de la flecha del motor. A

continuación, se describirán distintos perfiles de carga predominantes en algunas de

las aplicaciones más importantes según su relación con la velocidad.

(2.44)

(2.45)



32

Figura 2.12.

Diagramas de carga-velocidad para aplicaciones industriales.

Fuente: (EN 50598-1, 2013).

2.2.3.4.1 Par constante.

Este tipo de carga es usual en aplicaciones con volúmenes fijos o de alimentación

de materiales para otros procesos. Algunos ejemplos de máquinas con este tipo de

carga son: Compresores de tornillo, trenes de alimentación, bombas volumétricas,

dosificadoras, cintas transportadoras, ascensores, montacargas, etc. En estas

aplicaciones la potencia es linealmente proporcional a la velocidad. (ABB, 2014).



33

Figura 2.13.

Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de par constante.

Fuente: (ABB, 2014).

2.2.3.4.2 Par lineal.

En este tipo de carga, el torque aumenta linealmente con la velocidad y la

potencia consumida aumenta en forma cuadrática. Está presente en máquinas con

rozamientos viscosos o lubricados. Algunos ejemplos son: Máquinas de pulido,

prensas, agitadoras, bombas de desplazamiento positivo, etc. (ABB, 2014)

Figura 2.14

Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de par lineal.




34

2.2.3.4.3 Par cuadrático.

Es el tipo de carga más común. Está presente en máquinas con fricción originada

por fluidos. Algunos ejemplos son: Bombas y ventiladores centrífugos,

centrifugadoras, compresores y algunas máquinas herramientas como taladros,

torno, entre otras. (ABB, 2014).

Figura 2.15

Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de par cuadrático.


2.2.3.4.4 Par inverso.

Se produce en máquinas con avance constante y bobinadoras en las que el radio

cambia con el incremento de material arrollado. En este caso la potencia permanece

constante y el torque varía inversamente con la velocidad. (ABB, 2014).



35

Figura 2.16

Curvas de par y potencia típicas en una aplicación de potencia constante.


2.2.3.4.5 Demanda de par de arranque.

Existen aplicaciones con un elevado par de arranque, mucho mayor que el par

nominal y que excede al par máximo permitido por los motores de Inducción. En estos

casos se debe considerar el uso de motores tipo rotor bobinado o motores de doble

jaula. (ABB Technical guide, 2014).

Figura 2.17

Curva de par típica en una aplicación en la que se precisa un par de

arranque elevado.




36

Como se mencionó anteriormente, las aplicaciones pueden tener llegar a tener

una combinación de perfiles de carga u otros perfiles según el proceso al que está

sometido el motor. En esta lista se presentó los predominantes para las aplicaciones

más comunes y usadas en la industria.

2.2.3.5 Control de velocidad de un motor de inducción.

Como ya se explicó anteriormente, a lo largo de la historia del motor de inducción

se fueron desarrollando múltiples estrategias de control, motivadas principalmente por

el avance industrial y la eficiencia económica y energética de este tipo de motor. A

continuación, se explicarán brevemente algunos de los métodos de control de

velocidad, dando especial énfasis en los que son objeto de esta investigación (Escalar

y vectorial). (Wildi, T., 2007)

2.2.3.5.1 Control por número de polos.

Las primeras técnicas de control en desarrollarse consistían en variar el número

de polos, de esta forma se variaba la velocidad síncrona. Existen dos métodos que

se han desarrollado: Método de polos consecuentes y el Método de devanados de

estator múltiples. En ambos casos la regulación era discreta y en una fracción de la

velocidad nominal del motor. Además de requerir cambios físicos en el diseño de los

devanados del motor.

2.2.3.5.2 Control por cambio de resistencias del rotor.

Este método es aplicable solo en motores de tipo rotor bobinado, ya que mediante

escobillas se tiene acceso a los devanados del rotor. Variando la resistencia de estos

es posible controlar la curva par-velocidad como se muestra en la figura. El

inconveniente de este método es el costo elevado de este tipo de motores, tanto en

su producción como en su mantenimiento y uso. Su uso se ha quedado restringido a



37

aplicaciones de grandes potencias y de cargas de arranque elevadas, como fajas

transportadoras de mineral u otra aplicación de similares características.

2.2.3.5.3 Control por controladores electrónicos o convertidores de frecuencia.

El desarrollo de la electrónica de potencia y sus constantes avances en la

fabricación y diseño de semiconductores, hicieron posible aplicar estrategias de

control de velocidad más complejas y eficaces, logrando un control más preciso de la

velocidad y en algunos casos del par de la máquina. (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004)

2.2.3.5.3.1 Tipos de convertidores de frecuencia.

Básicamente, son dispositivos alimentados por una red de suministro eléctrico y

que generan tensión alterna de cualquier frecuencia y amplitud. (Díaz, J. L., & Pardo,

A., 2004)

2.2.3.5.3.1.1 Convertidores Directos:

También llamados ciclo-convertidores, producen la tensión alterna uniendo

fragmentos procedentes de las distintas fases de la red de alimentación. Su

conversión no requiere etapas intermedias de corriente continua, de ahí el nombre de

convertidores directos. Su principal ventaja es el uso de tiristores de gran potencia,

pero relativamente lentos. Es por esto que producen frecuencias muy inferiores a la

suministrada por la red. Su aplicación se centra en motores de gran potencia y baja

velocidad. (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004).



38

Figura 2.18.

Diseño cicloconvertidor marca ABB, para el control de un motor síncrono

de hasta 14MW.


2.2.3.5.3.1.2 Convertidores indirectos.

Figura 2.19.

Diagrama del convertidor indirecto.

Fuente: (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004).



39

Como se puede ver en la figura (2.19), este tipo de convertidores consta de tres

etapas. En la primea, la energía eléctrica procedente de la red en forma de corriente

alterna llega al rectificador, este lo transforma a corriente continua, que es enviada a

una etapa intermedia, en la que, según el tipo de control y de modulación, se envían

los pulsos de activación hacia el inversor, este nuevamente convierte la corriente

continua a corriente alterna con una frecuencia y amplitud controlada. (Díaz, J. L., &

Pardo, A., 2004).

2.2.3.5.3.1.2.1 Clasificaciones de un convertidor indirecto.

Dentro de los convertidores indirectos, es posible encontrar distintas

configuraciones según la tensión de entrada, salida o tipo de control. Por ejemplo, en

la etapa de rectificación:

Si la tensión alterna de entrada tiene una frecuencia y valor eficaz constante, y

se pretende conseguir una tensión continua de salida también constante, es

recomendable usar rectificadores estáticos no controlados. Si, por el contrario, la

salida debe ser ajustada a diferentes valores, el rectificador debe presentar algún tipo

de control. En la figura (2.20), se puede apreciar la clasificación de los convertidores

indirectos según su Rectificador y potencia. (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004).



40

Figura 2.20.

Estructura básica de los rectificadores en función de la potencia de

conversión y el tipo de entrada y salida.

Fuente: (Mejía, C., 2013).

También existen variantes según el tipo de señal de salida del inversor:

2.2.3.5.3.1.2.1.1 Inversor de fuente de voltaje (VSI).

Alimentados por fuente de voltaje continuo o DC. La señal de salida de voltaje no

depende de la carga. (Mejía, C., 2013).

Figura 2.21.

Inversor tipo fuente de voltaje.

Fuente: (Toshiba Application Note, 2018).



41

2.2.3.5.3.1.2.1.2 Inversor de fuente de corriente (CSI).

Alimentados por una fuente de corriente estable, se utiliza en aplicaciones donde

la carga determina el voltaje de salida. (Mejía, C., 2013).

Figura 2.22.

Inversor tipo fuente de corriente.

Fuente: (Toshiba Application Note, 2018).

En la presente investigación, debido a la naturaleza del motor de inducción, se

usarán convertidores fuente de voltaje (VSI).

Según la modulación de control del inversor se pueden clasificar en:

2.2.3.5.3.1.2.1.3 Modulación por amplitud de pulso (PAM).

Se controla el inversor mediante la variación del voltaje de accionamiento de los

semiconductores.

Figura 2.23.

Señal de modulación por amplitud de pulso (PAM).

Fuente: (Toshiba, 2018).



42

2.2.3.5.3.1.2.1.4 Modulación por ancho de pulso (PWM).

Se controla el inversor mediante la variación en la duración de los pulsos de

activación de los semiconductores.

Figura 2.24.

Señal de modulación por amplitud de pulso (PWM).


Actualmente, debido a su poca sensibilidad al ruido y baja eficiencia, los

accionamientos por modulación de amplitud de pulso (PAM) son poco usados. (Mejía

Cáceres, C., 2013). Para el desarrollo de esta simulación, al igual que la mayoría de

convertidores de frecuencia en el mercado, se utilizará modulación por ancho de pulso

(PWM).

Figura 2.25.

Diagrama electrónico de un inversor trifásico típico (PWM).




43

2.2.3.5.3.2 Tipos de control en los convertidores de frecuencia.

Según la topología del esquema de control, es posible aplicar las estrategias de

control en lazo abierto o en lazo cerrado:

2.2.3.5.3.2.1 Control abierto:

Es utilizado cuando la máquina a controlar no ofrece mucha variación en su par

resistente o es permisible una cierta variación entre el valor deseado y la velocidad

real del motor. En otros casos se utilizan estimadores de velocidad a partir de las

mediciones de corriente de línea y parámetros del motor. (Díaz, J. L., & Pardo, A.,

2004)

2.2.3.5.3.2.2 Control cerrado:

Se usa principalmente cuando la operación en régimen dinámico representa un

papel fundamental. Es decir, la aplicación requiere una respuesta dinámica rápida y

de exactitud en la velocidad o en el control del par. (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004).

Estas dos topologías son posibles de implementar en cada una de las estrategias

de control. Para el caso de control abierto generalmente se utilizan los estimadores

de velocidad, flujo, torque u otros.

Es importante señalar que, a pesar de ser comúnmente conocidos como

“Convertidores o Controladores de Frecuencia”, en este tipo de control, se regulan

múltiples variables eléctricas además de la frecuencia, siendo el objetivo de todo

control, regular las variables mecánicas de par y velocidad. En la práctica, sólo se

puede control una de estas dos. Por ejemplo, al regular la velocidad, el par queda

determinado por la carga, y viceversa, si regulamos el par, la velocidad quedaría

determinada por la carga. (Mejía, C., 2013).



44

A continuación, se describirán las principales estrategias de control electrónico.

2.2.3.5.3.2.3 Control escalar de velocidad.

Según la ecuación (2.39), es posible variar la velocidad del motor simplemente

variando la frecuencia de alimentación de este. Desafortunadamente, variar sólo este

parámetro no garantiza un correcto funcionamiento y eficiencia del motor. Diversas

investigaciones han demostrado que, para lograr la mayor relación posible de par por

ampere es necesario conservar constante el flujo magnético que fluye del estator

hacia el rotor (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004). El modo de conservar este flujo

constante se demuestra en las siguientes ecuaciones, a partir de la Ley de Faraday

de la ecuación (2.10).

𝑣 = −𝑁 𝑑∅

𝑑𝑡

∅ = −1

𝑁∫𝑣 𝑑𝑡 ; 𝑣 = 𝑉 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

∅ = −1

𝑁∫𝑉 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑑𝑡

∅ = −1

𝑁

𝑉

𝜔 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) ; 𝜔 = 2𝜋𝑓

∅ = −1

𝑁2𝜋

𝑉

𝑓 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑡)

De esta última ecuación se puede deducir que para mantener el flujo constante

es necesario mantener constante la relación entre Voltaje y Frecuencia. De ahí el

nombre de Control V/F o Control Escalar.

(2.48)

(2.50)

(2.46)

(2.47)

(2.49)



45

A pesar de lo demostrado en la ecuación (2.50), no es recomendable mantener

la relación de V/F a velocidades muy bajas o velocidades sobre la velocidad nominal.

Debido a que, en el primer caso, voltajes muy bajos generan inestabilidad en el campo

magnético giratorio y, para velocidades altas, el flujo se satura y aumentar el voltaje

conllevaría a un recalentamiento de los devanados. Es por ello que, para el control

escalar, se debe incluir una Ley de Mando, es decir, se establecen relaciones de

voltaje y frecuencia para velocidades bajas, medias o altas. (Cruz, P. & López, J.,

2008)

Figura 2.26.

Control Escalar

Fuente: (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004)

2.2.3.5.3.2.4 Control vectorial de velocidad o control de campo orientado (FOC).

Es el resultado de la búsqueda de un método que permita emular el

comportamiento de un motor de corriente continua. Es decir, poder controlar el

independientemente el flujo y el par. Este control independiente era, hasta ese

entonces, imposible de lograr, debido al acoplamiento que se produce entre los

bobinados del motor de inducción.



46

En el control vectorial, o control de campo orientado, se realiza una

transformación de coordenadas de las variables, generándose dos nuevos ejes de

coordenadas (d y q). En este nuevo sistema de referencia, las corrientes estatóricas

pueden ser tratadas como vectores rotantes, de ahí el nombre de control vectorial.

Como condiciones, el control vectorial requiere que el vector de flujo del rotor sea

posicionado sobre uno de los ejes (d), logrando que al componente de flujo en dicho

eje sea máxima. Es decir, se alinea el vector flujo del rotor con la componente d. Esto

permite un control directo e independiente del flujo del motor, liberando el control de

torque. Este último, se realiza regulando la componente q de las corrientes. (Cruz, P.

& López, J., 2008)

Existen dos métodos de control vectorial, control vectorial directo y control

vectorial indirecto. La diferencia entre ambos es que, para el control vectorial indirecto

se usa un sensor de velocidad en el eje y en el control vectorial directo se usan

estimadores de velocidad a partir de las variables eléctricas del motor, lo que añade

cierta imprecisión. Además, el uso de estimadores genera nuevas variables

dependientes, dificultando la comparación requerida para esta investigación, entre los

controles escalar y vectorial. Por todo ello, se usará el control vectorial indirecto.

Figura 2.27.

Control Vectorial por campo orientado. Método Directo (a) y Método Indirecto (b).

Fuente: (Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004)



47

2.2.3.5.3.3 Diseño del controlador de velocidad.

2.2.3.5.3.3.1 Identificación de la configuración del control.

Es debe seleccionar la configuración de control que más se ajuste a las

características de la planta. Para esta investigación, los esquemas generales ya están

definidos y se asemejan a una configuración de control en serie o cascada.

Figura 2.28.

Configuración de control en serie

Fuente: (Mora, J. F.,2008)

2.2.3.5.3.3.2 Términos para la evaluación de un sistema de control.

Se necesario definir ciertos términos inherentes a todo proceso de control en los

que se compara una señala obtenida con una señal deseada o setpoint. Todo esto

con el fin de poder comparar los distintos sistemas de control, evaluando sus

bondades y debilidades. A modo de ejemplo consideraremos la respuesta de un

sistema cualquiera a una señal tipo escalón, ver la figura (2.29). (Laces, W., & Badillo,

I. ,2013).



48

Figura 2.29.

Curva de respuesta ante la función escalón

Fuente: (Laces, W., & Badillo, I. ,2013).

En la figura (2.29), es posible definir ciertos términos: (Laces, W., & Badillo, I.

,2013)

Tiempo de Retardo (𝑡𝑑):

Cuantifica el retardo entre el cambio del valor deseado y el inicio

de un cambio en la salida del control.

Tiempo de Subida (𝑡𝑠):

Tiempo que le toma a la salida llegar por primera vez al valor

deseado.

Tiempo Pico (𝑡𝑝).

Tiempo en el que se produce el sobrepico más alto.



49

Sobre-elongación o sobre impulso (𝑆𝑃).

Amplitud del error producido en el sobrepico, generalmente el

primer sobrepico es el más alto y es el que se mide. También se

le puede relacionar en forma de porcentaje con el valor del

setpoint.

Tiempo de asentamiento o Tiempo de establecimiento.

Tiempo en el que la salida adquiere un valor estable.

Error estacionario u offset.

Error que se mantiene en el tiempo de asentamiento, este también

puede ser expresado en forma de porcentaje con el valor del

setpoint.

2.2.3.5.3.3.3 Tipos de controlador.

En las estrategias de control antes mencionadas, el cálculo de velocidad, torque

o flujo a partir del error, es realizado por el controlador, este puede ser de distintos

tipos: Proporcional (P), Proporcional-Integral (PI). Proporcional-Derivativo (PD),

Proporcional-Integral-Derivativo (PID). La selección de alguno de estos controladores

y su correcta sintonización por medio de análisis matemático, se verá en el desarrollo

de esta investigación.

Ahora, se presentarán algunos conceptos básicos de la teoría de control, los

cuales establecerán un punto de comparación entre los distintos controladores y

también entre las estrategias de control.



50

2.2.3.5.3.3.3.1 Controlador proporcional (P).

“Proporcional” significa que el cambio presente a la salida del controlador es

algún múltiplo del porcentaje del cambio en la medición, es decir del error (𝑒(𝑡)). Este

múltiplo es llamado la “ganancia” del controlador (𝐾𝑝). Su salida (𝑢(𝑡)) se describe en

la ecuación (2.51). (Ogata, K., & Yang, Y., 2002)

2.2.3.5.3.3.3.2 Controlador proporcional-integral (PI).

En adición a la ganancia proporcional, la ganancia integral da una salida del

controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo

de controlar lento, pero que permite una disminución en el error de estado

estacionario. Su salida se describe en la ecuación (2.52). (Ogata, K., & Yang, Y.,

2002)

2.2.3.5.3.3.3.3 Controlador proporcional-derivativo (PD).

En adición a la ganancia proporcional, la ganancia derivativa tiene carácter de

previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja

importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el

actuador. La acción de control derivativa nunca se utiliza por sı sola, debido a que

solo es eficaz durante periodos transitorios. Su salida se describe en la ecuación

(2.53). (Ogata, K., & Yang, Y., 2002)

(2.51)

(2.52)

(2.53)



51

2.2.3.5.3.3.3.4 Controlador proporcional-integral-derivativo (PID).

Esta acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de

control individuales, pero su uso, al igual que los controles anteriores, depende del

proceso a control. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se

obtiene mediante la ecuación (2.54). (Ogata, K., & Yang, Y., 2002)

Además de éstos, existes nuevos tipos de controladores inteligentes como el

control Fuzzy y la Inteligencia Artificial. Los cuales no se considerarán en la

investigación debido a que, en el primer caso, se necesita un conocimiento empírico

y específico para cada planta, aumentando el número de variables y dificultando la

comparativa entre los sistemas de control. Y, en el segundo caso, al incluir un proceso

de aprendizaje, no nos permite establecer un punto de comparación entre las

estrategias de control.

2.2.3.5.3.4 Estándar IEC 61800-4 para un convertidor de frecuencia.

Esta norma estandariza los parámetros de funcionamiento eléctricos de un

convertidor de frecuencia. En esta investigación, sólo se utilizarán los parámetros

referidos a la respuesta en el tiempo de un lazo de control de velocidad, es decir, los

rangos y formas de medición del sobrepico, tiempo de establecimiento, error

estacionario y otras variables propias del control de velocidad de un motor de

inducción.

(2.54)



52

2.2.3.5.3.4.1 Variaciones en la variable de referencia.

Figura 2.30.

Curva de respuesta en el tiempo, a un escalón unitario en la variable principal.

Fuente: (IEC 61800-4, 2002).



53

Como se ve en la figura (2.30), bajo una variación tipo escalón en la referencia

de velocidad, la norma establece las siguientes condiciones:

Porcentaje de Sobrepico (%𝑆𝑃):

Se específica que el sobrepico debe ser menos al 10% (IEC

61800-4, 2002). Es decir:

%𝑆𝑃 =𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃𝑖𝑐𝑜

∆ 𝑆𝑒𝑡 𝑃𝑜𝑖𝑛𝑡≤ 10%

Tiempo de establecimiento:

Se especifica que la etapa estable comienza cuando el valor de

la variación de la velocidad con respecto a la referencia es menor

al 2% (IEC 61800-4, 2002). Es decir, se debe medir el tiempo de

establecimiento, desde la variación del setpoint hasta el inicio de

la etapa estable. Este tiempo de establecimiento debe ser menor

a tres segundos.

Error de estado estacionario:

La norma especifica que se debe medir el error estacionario en

un tiempo tres veces mayor al tiempo de establecimiento. El rango

de error se deja a elección del fabricante, debiendo estar

correctamente contemplado en la hoja de datos (IEC 61800-4,

2002).

(2.55)



54

2.2.3.5.3.4.2 Variaciones en la variable de operación.

La norma también establece criterios sobre impactos de carga sobre variables de

operación, es decir, cuando se varía el torque de carga, dejando la referencia de

velocidad fija, como se muestra en la figura (2.31).

Figura 2.31.

Curva de respuesta en el tiempo, a un escalón unitario en una variable de operaci.

Fuente: (IEC 61800-4, 2002).



55

Área de impacto de carga:

Como se muestra en la figura (2.31), es el área que forma la curva

entre el tiempo de inicio del impacto y el primer cruce con el valor

de referencia. Esto se define de forma aproximada en la ecuación

(2.56). (IEC 61800-4, 2002).

𝐴𝑖𝑚𝑝 = 𝑇𝑟+∆𝜂𝑚á𝑥

2< 10%s

Donde:

Aimp : Área de impacto [%s].

𝑇𝑟 : Tiempo de respuesta (s).

∆𝜂𝑚á𝑥 : Variación de velocidad máxima.

2.2.4 Pasos para el modelamiento matemático.

En el capítulo anterior se presentó el objeto de esta tesis, el cual consiste en

evaluar el comportamiento bajo cargas industriales típicas de las dos principales

estrategias de control de velocidad (Control Escalar y Control Vectorial). Para esto es

fundamental contar con una simulación dinámica del motor de inducción, esta debe

conservar la relación entre las variables de entrada, salida y de proceso de un motor

real. Es decir, sus variables de entrada deberán ser la fuente de alimentación de

voltaje trifásica y la carga mecánica aplicada, sus variables de salida serán las

corrientes consumidas y la velocidad de rotación del eje. Por último, en las variables

de proceso deberán ser parámetros físicos medibles propios de cada motor. Esta

relación de variables deberá ser definida previamente por un modelo matemático,

generalmente presentado en forma de ecuaciones diferenciales. De ahí la importancia

de realizar un correcto modelamiento matemático.

(2.56)



56

A continuación, se presentarán los pasos típicos de un modelado matemático

orientados hacia la realización de esta investigación:

2.2.4.1 Descripción física del dispositivo.

Conocer con detalle los elementos que componen la máquina y sus propiedades

físicas (Bort, J.V., 2002). Esto está contemplado en el presente capítulo, donde se

especifican las características eléctricas, magnéticas y mecánicas del motor de

inducción, así como sus aspectos constructivos.

2.2.4.2 Elección de un modelo matemático.

Observar las variables de las cuales depende el problema y determinar el alcance

deseado. (Bort,J.V., 2002).

Para esta investigación, es necesario un modelo dinámico del motor, capaz de

mostrar las variables del motor en función del tiempo, lo que no ocurre con el modelo

clásico de circuito equivalente estático. Además, se realizarán algunas suposiciones

necesarias que se verán en el siguiente capítulo.

2.2.4.3 Evaluación correcta.

Evaluar lo más exactos posibles los parámetros de la máquina, ya sean

electromagnéticos (resistencias, inductancias, etc), o mecánicos (momento de

inercia, carga aplicada, etc). (Bort,J.V., 2002). Para esto se considerarán parámetros

de funcionamiento validados en una investigación previa:



57

Tabla 2.2.

Parámetros de un motor Jaula de ardilla.

Potencia (P) 5 HP

Voltaje (V) 440 v

Frecuencia (f) 50 Hz

Número de Polos (p) 4 polos

Velocidad (ω) 1500 rpm

Momento de Inercia (J) 0.1111 kg.m2

Resistencia del rotor (Rr) 0.39 Ω

Resistencia del estator (Rs) 0.49 Ω

Inductancia Mutua (Lm) 0.00200 H

Inductancia del Estator (Ls) 0.00071 H

Inductancia del Rotor (Lr) 0.00050 H

Fuente: (Mhaisgawali, M. L., & Muley, S. P., 2013)

2.2.4.4 Formulación de las ecuaciones diferenciales.

Deducción y planteamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, ya sea en

variables reales o complejas. (Bort,J.V., 2002). Estas ecuaciones deben representar

el comportamiento físico del motor de inducción. En el siguiente capítulo se

demostrará la obtención del sistema de ecuaciones dinámicas del motor de inducción.

2.2.4.5 Método de resolución.

Elección de la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales, es decir el

algoritmo de programación a utilizar. (Bort, J.V., 2002). Posteriormente se verá la

utilización de transformadas para simplificar a un sistema lineal la resolución del

sistema de ecuaciones. El software de simulación será el complemento Simulink del

software Matlab.



58

CAPÍTULO III

MODELAMIENTO MATEMÁTICO Y SIMULACIÓN DE UN MOTOR DE

INDUCCIÓN

En el capítulo anterior, se utilizaron las leyes de maxwell para poder introducir los

principios teóricos de funcionamiento de un motor de inducción (generación de voltaje

y par). Dichos principios son posibles debido al acoplamiento magnético entre los

bobinados del motor. En este capítulo, con ayuda de las leyes de maxwell se

analizarán dichos circuitos de acoplamiento magnético, que luego servirán para

definir las ecuaciones dinámicas que rigen el comportamiento dinámico del motor.

Estas ecuaciones deberán relacionar las variables eléctricas (voltaje y corriente),

magnéticas (flujo) y mecánicas (torque y velocidad angular), presentes en el motor de

inducción.

3.1 Circuitos de acoplamiento magnético.

Cuando dos circuitos son afectados mutuamente por un campo magnético

producido por uno de ellos, se dice que están acoplados magnéticamente. (Sadiku,

M., et al, 2009). El transformador al igual que las demás máquinas eléctricas de

transformación de energía, utilizan el acoplamiento magnético como medio de

transmisión energética (Krause, et al., 2013). Para entender mejor estos circuitos se

analizará primero el concepto de inductancia mutua y auto-inductancia.

3.2 Inductancia.

Si consideramos una bobina conectada, por la cual pasa una corriente, se induce

un flujo magnético ∅ alrededor de ella, como se muestra en la figura (3.1). Se sabe

que, según la ley de Faraday expuesta en la ecuación (2.11), la variación de este

campo magnético produce una tensión proporcional al número de vueltas del

bobinado.



59

Figura 3.1.

Circuito magnético de una inductancia.

Fuente: (Sadiku, M., et al, 2009).

La tensión inducida según la ley de Faraday se expresa según la ecuación (3.1).

𝑣 = 𝑁𝑑∅

𝑑𝑡

Además, se sabe por la ecuación (2.17) que ∅ = 𝑁𝑖/ℛ. Reemplazando en

la ecuación (3.1).

𝑣 = 𝑁𝑑

𝑑𝑡(𝑁 𝑖

ℛ) =

𝑁2

ℛ

𝑑𝑖

𝑑𝑡

En la cual se define el término Inductancia, como

𝐿 =𝑁2

ℛ

Es decir:

𝑣 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)



60

Para este caso, L, también llamada auto-inductancia, ya que relaciona la tensión

inducida en una bobina presente en la misma bobina. (Sadiku, M., et al, 2009). En

general, la inductancia también es definida como una medida de la oposición que

ofrece una bobina a un cambio en la corriente que pasa por esta. Debido a esto, es

posible considerar la inductancia como una característica propia de cada bobina.

(Serway, et al., 2005).

3.3 Inductancia mutua.

3.3.1 Un bobinado cargado.

Consideramos dos bobinados con una auto-inductancia definida (L1 y L2), cada

una con N1 y N2 vueltas respectivamente. Y que únicamente circula corriente en la

bobina 1 como se muestra en la figura (3.2).

Figura 3.2.

Circuito magnético de inductancia mutua


En este caso, el flujo magnético ∅1 que emana la bobina 1 tiene dos

componentes, una que se enlaza a sí misma ∅11 (flujo de dispersión) y otra

componente que se enlaza a ambas bobinas ∅12(flujo mutuo). Las tensiones

producidas en ambos bobinados (𝑣1 𝑦 𝑣1). Están dadas por las ecuaciones (3.5) y

(3.6) (Serway, et al., 2005)



61

𝑣1 = 𝑁1

𝑑∅1

𝑑𝑡= 𝑁1

𝑑∅11

𝑑𝑡+ 𝑁1

𝑑∅12

𝑑𝑡

𝑣2 = 𝑁2

𝑑∅12

𝑑𝑡

En las cuales el flujo también se puede expresar en función a la corriente:

∅11 =𝑁1 𝑖1ℛ𝑙1

∅12 =𝑁1 𝑖1ℛ𝑚1

Siendo ℛ𝑙 y ℛ𝑚, las reluctancias propia y mutua respectivamente. Reemplazando

los flujos de las ecuaciones (3.7) y (3.8) en las ecuaciones (3.5) y (3.6).

𝑣1 = 𝑁1𝑑

𝑑𝑡(𝑁1 𝑖1

ℛ𝑙1) =

𝑁12

ℛ𝑙1

𝑑𝑖1

𝑑𝑡+

𝑁12

ℛ𝑚1

𝑑𝑖1

𝑑𝑡

𝑣2 = 𝑁2

𝑑

𝑑𝑡(𝑁1 𝑖1ℛ𝑚1

) =𝑁2 𝑁1

ℛ𝑚12

𝑑𝑖1𝑑𝑡

En las cuales se definen los términos de inductancia muta como las siguientes

ecuaciones: (Guru, B. et al., 2003).

𝐿𝑙1 =𝑁1

2

ℛ𝑙1

𝐿𝑚1 =𝑁1

2

ℛ𝑚1

𝐿𝑚12 =𝑁2 𝑁1

ℛ𝑚12

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)



62

Reemplazando en (3.9) y (3.10)

𝑣1 = 𝐿𝑙1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

𝑣2 = 𝐿m12

𝑑𝑖1𝑑𝑡

3.3.2 Dos bobinados cargados.

Consideramos dos bobinados con una auto-inductancia definida (L1 y L2), cada

una con N1 y N2 vueltas respectivamente. Y, a diferencia del caso anterior, en ambos

bobinados circula una corriente 𝑖1 e 𝑖2 respectivamente. Como se puede apreciar en

la Figura (3.3).

Figura 3.3.

Circuito magnético de inductancia mutua.


En la Figura (3.3), también podemos apreciar los flujos magnéticos producidos

por los bobinados, cada uno de ellos produce un flujo mutuo y un flujo de dispersión.

Las tensiones inducidas en cada bobinado son expresadas en las ecuaciones.

(Krause, et al., 2013).

(3.14)

(3.15)



63

𝑣1 = 𝑁1

𝑑∅1

𝑑𝑡+ 𝑁1

𝑑∅21

𝑑𝑡= 𝑁1

𝑑∅11

𝑑𝑡+ 𝑁1

𝑑∅12

𝑑𝑡+ 𝑁1

𝑑∅21

𝑑𝑡

𝑣2 = 𝑁2

𝑑∅2

𝑑𝑡+ 𝑁2

𝑑∅12

𝑑𝑡= 𝑁2

𝑑∅22

𝑑𝑡+ 𝑁2

𝑑∅21

𝑑𝑡+ 𝑁2

𝑑∅12

𝑑𝑡

Expresando el flujo en función a la corriente:

∅11 =𝑁1 𝑖1ℛ𝑙1

∅12 =𝑁1 𝑖1ℛ𝑚1

∅22 =𝑁2 𝑖2ℛ𝑙2

∅21 =𝑁2 𝑖2ℛ𝑚2

Reemplazando los flujos de las ecuaciones (3.18) a la (3.21) en las ecuaciones

(3.16) y (3.17).

𝑣1 = 𝑁1

𝑑

𝑑𝑡(𝑁1 𝑖1ℛ𝑙1

) + 𝑁1

𝑑


) + 𝑁1

𝑑


)

= (𝑁1

2

ℛ𝑙1)

𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ (𝑁1

2

ℛ𝑚1)

𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ (𝑁1𝑁2

ℛ𝑚2)𝑑𝑖2𝑑𝑡

𝑣2 = 𝑁2

𝑑

𝑑𝑡(𝑁2 𝑖2ℛ𝑙2

) + 𝑁2

𝑑


) + 𝑁2

𝑑


)

= (𝑁2

2

ℛ𝑙2)

𝑑𝑖2𝑑𝑡

+ (𝑁2

2

ℛ𝑚2)

𝑑𝑖2𝑑𝑡

+ (𝑁2𝑁1

ℛ𝑚1)𝑑𝑖1𝑑𝑡

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.16)

(3.17)

(3.22)

(3.23)



64

En las cuales se definen los términos de Inductancia como:

𝐿𝑙1 =𝑁1

2

ℛ𝑙1

𝐿𝑚1 =𝑁1

2

ℛ𝑚1

𝐿𝑚21 =𝑁1𝑁2

ℛ𝑚2

𝐿𝑙2 =𝑁2

2

ℛ𝑙2

𝐿𝑚2 =𝑁2

2

ℛ𝑚2

𝐿𝑚12 =𝑁2𝑁1

ℛ𝑚1

Reemplazando:

𝑣1 = 𝐿𝑙1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚21

𝑑𝑖2𝑑𝑡

𝑣2 = 𝐿𝑙2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚12

𝑑𝑖1𝑑𝑡

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)



65

3.4 Flujo concatenado.

3.4.1 Flujo concatenado en dos espiras acopladas.

En el capítulo anterior se definió el concepto de “flujo concatenado” o “flujo

ligado”, el cual es igual al número de vueltas multiplicado por el flujo magnético

(λ=N∅). Es decir, es una expresión de un flujo magnético neto sobre un bobinado.

Reemplazando esta relación en las ecuaciones (3.1) y (3.4).

𝑣 = 𝑁𝑑∅

𝑑𝑡=

𝑑𝑁∅

𝑑𝑡=

𝑑𝜆

𝑑𝑡

𝑣 =𝑑𝜆

𝑑𝑡= 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡

Usando estas expresiones es posible expresar el voltaje inducido en los ejemplos

anteriores como función del flujo concatenado. A continuación, se reemplaza este

flujo concatenado en las ecuaciones (3.30) y (3.31) del ejemplo anterior en el que se

presentaban dos bobinados con corrientes circulando por estos.

𝑣1 = 𝑁1

𝑑∅1

𝑑𝑡=

𝑑𝜆1

𝑑𝑡= 𝐿𝑙1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚1

𝑑𝑖1𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚21

𝑑𝑖2𝑑𝑡

𝑣2 = 𝑁2

𝑑∅2

𝑑𝑡=

𝑑𝜆2

𝑑𝑡= 𝐿𝑙2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚2

𝑑𝑖2𝑑𝑡

+ 𝐿𝑚12

𝑑𝑖1𝑑𝑡

Integrando las ecuaciones (3.34) y (3.35).

𝜆1 = 𝐿𝑙1𝑖1 + 𝐿𝑚1𝑖1 + 𝐿𝑚21𝑖2

𝜆2 = 𝐿𝑙2𝑖2 + 𝐿𝑚2𝑖2 + 𝐿𝑚12𝑖1

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)



66

Expresando las ecuaciones (3.36) y (3.37) matricialmente.

[𝜆1

𝜆2] = [

𝐿𝑙1 + 𝐿𝑚1 𝐿𝑚21

𝐿𝑚12 𝐿𝑙2𝑖2 + 𝐿𝑚2] [

𝑖1𝑖2

]

A partir de ahora, se buscarán expresiones que relacionen los voltajes,

inductancias, corrientes, y flujo concatenado para poder generar las ecuaciones

diferenciales del modelado dinámico.

3.4.2 Flujo concatenado en tres espiras acopladas.

Realizando un proceso análogo al ejemplo anterior, para tres bobinados

acoplados, se genera la expresión de la ecuación (3.39). En ambas ecuaciones se

pudo apreciar una simetría en su forma matricial, esto será de utilidad más adelante.

[𝜆1

𝜆2

𝜆3

] = [

𝐿𝑙1 + 𝐿𝑚1𝐿𝑚21

𝐿𝑚31

𝐿𝑚12𝐿𝑙2 + 𝐿𝑚2

𝐿𝑚32

𝐿𝑚13𝐿𝑚23

𝐿𝑙3 + 𝐿𝑚3

] [𝑖1𝑖2𝑖3

]

3.5 Flujo concatenado en las bobinas del motor de inducción.

3.5.1 Devanado del estator.

Si consideramos un motor de dos polos, es decir, cada una de las fases forman

un bobinado (a-b-c), sus ecuaciones de flujo estarían dadas por la ecuación (3.40).

Cabe resaltar que se irán agregando algunas consideraciones geométricas y físicas

a lo largo del modelamiento. (Krause, et al., 2013).

[

𝜆𝑎

𝜆𝑏

𝜆𝑐

] = [

𝐿𝑙𝑎 + 𝐿𝑚𝑎𝐿𝑚𝑏𝑎

𝐿𝑚𝑐𝑎

𝐿𝑚𝑎𝑏𝐿𝑙𝑏 + 𝐿𝑚𝑏

𝐿𝑚𝑐𝑏

𝐿𝑚𝑎𝑐𝐿𝑚𝑏𝑐

𝐿𝑙𝑐 + 𝐿𝑚𝑐

] [

𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐

]

(3.38)

(3.39)

(3.40)



67

Los flujos expuestos en el término izquierdo corresponden a los flujos del estator

(𝜆𝑠), las inductancias del primer término de la derecha corresponden a las

inductancias propias del estator (𝐿𝑙𝑠), es decir; todavía no se considera el

acoplamiento con los devanados del rotor. Por último, las corrientes del último término

son las corrientes trifásicas de la red, suministradas al estator (𝑖𝑠).

[𝜆𝑠] = [𝐿𝑠][𝑖𝑠]

3.5.2 Devanado del rotor.

Haciendo un proceso análogo, los bobinados del rotor (A-B-C) están relacionados

como la ecuación (3.42) y (3.43).

[

𝜆𝐴

𝜆𝐵

𝜆𝐶

] = [

𝐿𝑙𝐴 + 𝐿𝑚𝐴𝐿𝑚𝐵𝐴

𝐿𝑚𝐶𝐴

𝐿𝑚𝐴𝐵𝐿𝑙𝐵 + 𝐿𝑚𝐵

𝐿𝑚𝐶𝐵

𝐿𝑚𝐴𝐶𝐿𝑚𝐵𝐶

𝐿𝑙𝐶 + 𝐿𝑚𝐶

] [𝑖1𝑖2𝑖3

]

[𝜆𝑟] = [𝐿𝑟][𝑖𝑟]

3.5.3 Acoplamiento entre estator y rotor.

A partir de las ecuaciones (3.41) y (3.43) se generarán las ecuaciones de

acoplamiento entre los bobinados del estator y del rotor. Según se muestra en la

ecuación (3.44). (Krause, et al., 2013).

[𝜆𝑠

𝜆𝑟] = [

𝐿𝑠 𝐿𝑚𝑠𝑟

𝐿𝑚𝑟𝑠𝐿r

] [𝑖𝑠𝑖𝑟

]

(3.42)

(3.41)

(3.43)

(3.44)



68

(3.45)

Extendiendo la ecuación (3.44).

[ 𝜆𝑎

𝜆𝑏

𝜆𝑐

𝜆𝐴

𝜆𝐵

𝜆𝐶]

=

[ 𝐿𝑙𝑎 + 𝐿𝑚𝑎

𝐿𝑚𝑏𝑎𝐿𝑚𝑐𝑎

𝐿𝑚𝑎𝑏𝐿𝑙𝑏 + 𝐿𝑚𝑏

𝐿𝑚𝑐𝑏

𝐿𝑚𝑎𝑐𝐿𝑚𝑏𝑐

𝐿𝑙𝑐 + 𝐿𝑚𝑐

𝐿𝑚𝐴𝑎𝐿𝑚𝐵𝑎

𝐿𝑚𝐶𝑎

𝐿𝑚𝐴𝑏𝐿𝑚𝐵𝑏

𝐿𝑚𝐶𝑏

𝐿𝑚𝐴𝑐𝐿𝑚𝐵𝑐

𝐿𝑚𝐶𝑐

𝐿𝑚𝑎𝐴𝐿𝑚𝑏𝐴

𝐿𝑚𝑐𝐴

𝐿𝑚𝑎𝐵𝐿𝑚𝑏𝐵

𝐿𝑚𝑐𝐵

𝐿𝑚𝑎𝐶𝐿𝑚𝑏𝐶

𝐿𝑚𝑐𝐶

𝐿𝑙𝐴 + 𝐿𝑚𝐴𝐿𝑚𝐵𝐴

𝐿𝑚𝐶𝐴

𝐿𝑚𝐴𝐵𝐿𝑙𝐵 + 𝐿𝑚𝐵

𝐿𝑚𝐶𝐵

𝐿𝑚𝐴𝐶𝐿𝑚𝐵𝐶

𝐿𝑙𝐶 + 𝐿𝑚𝐶]

[ 𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐𝑖𝐴𝑖𝐵𝑖𝐶]

Donde:

𝐿𝑚𝑥𝑦 : Inductancia mutua o acoplamiento entre fases.

𝐿𝑙𝑥 : Inductancia propia o dispersión.

𝐿𝑚𝑥 : Auto acoplamiento de una fase consigo misma.

3.6 Ecuaciones dinámicas del motor de inducción.

3.6.1 Consideraciones geométricas.

Como ya se ha mencionado anteriormente, se está considerando un motor de

dos polos, ya que este es el caso más simplificado, capaz de generar un campo

magnético giratorio. La disposición geométrica se puede ver en la Figura (3.4).



69

Figura 3.4.

Motor de inducción de dos polos, trifásico simplificado

Fuente: (Krause, et al., 2013).

Para mantener un flujo uniforme y estable se debe cumplir con lo siguiente:

Las bobinas de cada fase deben ser idénticas, tanto en el estator como

en el rotor.

Se considera válida la superposición de los flujos y todas las

inductancias son consideradas independientes de la magnitud de las

corrientes.

La distribución espacial de voltajes y flujo entrehierro son

consideradas sinusoidales y simétricas en relación con los ejes

magnéticos producido por los enrollados.



70

Las bobinas de cada fase deben estar distribuidas cada 120° (García,

P., & Rodríguez, M., 2006).

A continuación, se analizarán todas las inductancias presentes en la ecuación 3.45 y

en la figura 3.4.

3.6.2 Submatriz Ls y Lr.

Según lo expuesto anteriormente, las inductancias propias y mutuas son

idénticas por lo que se define 𝐿𝑙 y 𝐿𝑚 respectivamente, para el estator y el rotor.

𝐿𝑙𝑠 = 𝐿𝑙𝑎 = 𝐿𝑙𝑏 = 𝐿𝑙𝑐 𝐿𝑙𝑟 = 𝐿𝑙𝐴 = 𝐿𝑙𝐵 = 𝐿𝑙𝐶

𝐿𝑚𝑠= 𝐿𝑚𝑎

= 𝐿𝑚𝑏= 𝐿𝑚𝑐

𝐿𝑚𝑟= 𝐿𝑚𝐴

= 𝐿𝑚𝐵= 𝐿𝑚𝐶

Para el caso de las inductancias mutuas entre los bobinados de cada fase, se

debe considerar el ángulo entre estos. Este puede ser 120° o -120°.

𝐿𝑚𝑏𝑎= 𝐿𝑚𝑠

𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑏𝑎) = 𝐿𝑚𝑠𝑐𝑜𝑠(120°) = −

1

2 𝐿𝑚𝑠

𝐿𝑚𝑐𝑎= 𝐿𝑚𝑠

𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑐𝑎) = 𝐿𝑚𝑠𝑐𝑜𝑠(−120°) = −

1

2 𝐿𝑚𝑠

Esto es análogo para las demás combinaciones y también para las inductancias

mutas del rotor.

𝐿𝑚𝑏𝑎= 𝐿𝑚𝑐𝑎

= ⋯ = 𝐿𝑚𝑏𝑐= −

1

2𝐿𝑚𝑠

𝐿𝑚𝐵𝐴= 𝐿𝑚𝐶𝐴

= ⋯ = 𝐿𝑚𝐴𝐶= −

1

2𝐿𝑚𝑟

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

(3.50)



71

(3.53)

(3.51)

(3.52)

(3.54)

(3.56)

3.6.3 Submatriz Lmsr y Lmrs.

Para las inductancias mutuas entre las bobinas del estator y rotor se debe

considerar el ángulo de giro del rotor con respecto al estator (θr), y el ángulo de

desfase (γ) entre las bobinas en estado estático. Este ángulo puede tomar los valores

de +120°,0 y -120°.

𝐿𝑚𝐵𝑎= 𝐿𝑚𝐶𝑏

= 𝐿𝑚𝐴𝑐= 𝐿𝑚𝑠𝑟

cos(𝜃𝑟 + 𝛾) = 𝐿𝑚𝑠𝑟cos(𝜃𝑟 + 120)

𝐿𝑚𝑎𝐵= 𝐿𝑚𝑏𝐶

= 𝐿𝑚𝑐𝐴= 𝐿𝑚𝑠𝑟

𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑟 + 𝛾) = 𝐿𝑚𝑠𝑟cos(𝜃𝑟 + 120)

𝐿𝑚𝑏𝐴= 𝐿𝑚𝑐𝐵

= 𝐿𝑚𝑎𝐶= 𝐿𝑚𝑠𝑟

𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑟 + 𝛾) = 𝐿𝑚𝑠𝑟cos(𝜃𝑟 − 120)

𝐿𝑚𝐴𝑏= 𝐿𝑚𝐵𝑐

= 𝐿𝑚𝐶𝑎= 𝐿𝑚𝑠𝑟

cos(𝜃𝑟 + 𝛾) = 𝐿𝑚𝑠𝑟cos(𝜃𝑟 − 120)

𝐿𝑚𝐴𝑎= 𝐿𝑚𝐵𝑏

= 𝐿𝑚𝐶𝑐= 𝐿𝑚𝑠𝑟

𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑟)

Reemplazando en la matriz de la ecuación (3.45).

[ 𝝀𝒂

𝝀𝒃

𝝀𝒄

𝝀𝑨

𝝀𝑩

𝝀𝑪]

=

[

𝑳𝒍𝒔+ 𝑳𝒎𝒔

−𝑳𝒎𝒔/𝟐 −𝑳𝒎𝒔

/𝟐

−𝑳𝒎𝒔/𝟐 𝑳𝒍𝒔 + 𝑳𝒎𝒔

−𝑳𝒎𝒔/𝟐

−𝑳𝒎𝒔/𝟐 −𝑳𝒎𝒔

/𝟐 𝑳𝒍𝒔 + 𝑳𝒎𝒔

𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓) 𝑳𝒎𝒔𝒓

𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 +𝟐𝝅

𝟑)𝑳𝒎𝒔𝒓

𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 −𝟐𝝅

𝟑)

𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 −

𝟐𝝅

𝟑) 𝑳𝒎𝒔𝒓

𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓) 𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 +

𝟐𝝅

𝟑)

𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 +

𝟐𝝅




𝐜𝐨𝐬 (𝜽𝒓)

𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓) 𝑳𝒎𝒔𝒓




𝟑)

𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 +

𝟐𝝅


𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓) 𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 −

𝟐𝝅

𝟑)

𝑳𝒎𝒔𝒓𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓 −

𝟐𝝅




𝐜𝐨𝐬(𝜽𝒓)

𝑳𝒍𝒓 + 𝑳𝒎𝒓−𝑳𝒎𝒓

/𝟐 −𝑳𝒎𝒓/𝟐

−𝑳𝒎𝒓/𝟐 𝑳𝒍𝒓 + 𝑳𝒎𝒓

−𝑳𝒎𝒓/𝟐

−𝑳𝒎𝒓/𝟐 −𝑳𝒎𝒓

/𝟐 𝑳𝒍𝒓 + 𝑳𝒎𝒓 ]

[ 𝒊𝒂𝒊𝒃𝒊𝒄𝒊𝑨𝒊𝑩𝒊𝑪]

(3.55)



72

(3.57)

Agrupando los términos según la ecuación (3.44).

𝜆𝑠 = [

𝜆𝑎

𝜆𝑏

𝜆𝑐

] ; 𝜆𝑟 = [

𝜆𝐴

𝜆𝐵

𝜆𝐶

] ; 𝑖𝑠 = [

𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐

] ; 𝑖𝑟 = [𝑖𝐴𝑖𝐵𝑖𝐶

]

𝐿𝑠 =

[ 𝐿𝑙𝑠 + 𝐿𝑚𝑠

−𝐿𝑚𝑠/2 −𝐿𝑚𝑠

/2

−𝐿𝑚𝑠/2 𝐿𝑙𝑠 + 𝐿𝑚𝑠

−𝐿𝑚𝑠/2

−𝐿𝑚𝑠/2 −𝐿𝑚𝑠

/2 𝐿𝑙𝑠 + 𝐿𝑚𝑠]

𝐿𝑟 =

[ 𝐿𝑙𝑟 + 𝐿𝑚𝑟

−𝐿𝑚𝑟/2 −𝐿𝑚𝑟

/2

−𝐿𝑚𝑟/2 𝐿𝑙𝑟 + 𝐿𝑚𝑟

−𝐿𝑚𝑟/2

−𝐿𝑚𝑟/2 −𝐿𝑚𝑟

/2 𝐿𝑙𝑟 + 𝐿𝑚𝑟]

𝐿𝑠𝑟 = 𝐿𝑚𝑠𝑟

[ cos(𝜃𝑟) cos(𝜃𝑟 +

2𝜋

3) cos(𝜃𝑟 −

2𝜋

3)

cos(𝜃𝑟 −2𝜋

3) cos(𝜃𝑟) cos(𝜃𝑟 +

2𝜋

3)

cos(𝜃𝑟 +2𝜋

3) cos(𝜃𝑟 −

2𝜋

3) cos (𝜃𝑟) ]

𝐿𝑟𝑠 = 𝐿𝑠𝑟𝑇

[𝜆𝑠

𝜆𝑟] = [

𝐿𝑠 𝐿𝑚𝑠𝑟(𝜃𝑟)

𝐿𝑠𝑟(𝜃𝑟)𝑇 𝐿r

] [𝑖𝑠𝑖𝑟

]

3.6.3.1 Variables de flujo del rotor referidas al estator.

Con el objeto de generar un circuito equivalente dinámico del motor de inducción,

es necesario referenciar las variables del rotor en el estator. Para esto se utiliza la

relación de espiras expresada en la ecuación (3.63). (Krause, et al., 2013).

(3.58)

(3.59)

(3.60)

(3.61)

(3.62)



73

(3.69)

𝑛 =𝑁𝑟

𝑁𝑠

Al reemplazar esta relación en los términos de la ecuación (3.62), se deben definir

nuevas variables denotadas con el supraíndice ‘.

𝐿𝑟′ =

1

𝑛2 𝐿𝑟

𝜆𝑟′ =

1

𝑛𝜆𝑟

𝐿𝑠𝑟(𝜃𝑟)′ =

1

𝑛𝐿𝑠𝑟(𝜃𝑟)

3.6.4 Ecuaciones de voltaje del motor.

En los ejemplos de flujo concatenado, se consideraban solo los voltajes

producidos por la inducción magnética. Para el modelado del motor, se deben incluir

los voltajes producidos por la resistencia de los cables de los devanados. Por lo tanto,

las ecuaciones de voltajes en el estator y rotor quedan expresadas en la ecuación

(3.67). (Bort, J. V., 2002).

𝑉𝑠 = 𝑟𝑠 𝑖𝑠 +𝑑𝜆𝑠

𝑑𝑡

𝑉𝑟′ = 𝑟𝑟

′ 𝑖𝑟′ +

𝑑𝜆𝑟′

𝑑𝑡

Donde:

𝑟𝑟′ =

1

𝑛𝑟𝑟 ; 𝑖𝑟

′ = 𝑛 𝑖𝑟 ; 𝑣𝑟′ =

1

𝑛𝑣𝑟

Agrupando matricialmente.

[𝑉𝑠𝑉𝑟

′] = [𝑟𝑠 0

0 𝑟𝑟′] [

𝑖𝑠𝑖𝑟

′] +𝑑

𝑑𝑡 [

𝜆𝑠

𝜆𝑟′]

(3.63)

(3.64)

(3.65)

(3.66)

(3.67)

(3.68)

(3.70)



74

(3.73)

(3.74)

(3.74)

Además, se sabe por la ecuación (3.62), que el flujo es función de la corriente y

del ángulo. (García, P., & Rodríguez, M., 2006)

𝑑𝜆 =𝛿𝜆

𝛿𝑖 𝑑𝑖 +

𝛿𝜆

𝛿𝜃 𝑑𝜃

Reemplazando (3.71) en (3.70).

[𝑉𝑠𝑉𝑟

′] = [𝑟𝑠 0

0 𝑟𝑟′] [

𝑖𝑠𝑖𝑟

′] +𝑑

𝑑𝑡 [

𝐿𝑆 𝐿𝑠𝑟′

𝐿𝑠𝑟𝑇 ′

𝐿𝑟

] [𝑖𝑠𝑖𝑟

′]

Operando se obtiene la ecuación de voltajes (García, P., & Rodríguez, M., 2006).

[𝑉𝑠𝑉𝑟

′] = [𝑟𝑠 0

0 𝑟𝑟′] [

𝑖𝑠𝑖𝑟

′] + [𝐿𝑆 𝐿𝑠𝑟

′


𝐿𝑟

]𝑑

𝑑𝑡 [

𝑖𝑠𝑖𝑟

′] + (𝑑𝜃

𝑑𝑡)

𝛿

𝛿𝜃[

𝐿𝑆 𝐿𝑠𝑟′


𝐿𝑟

] [𝑖𝑠𝑖𝑟

′]

Donde:

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝜔𝑚

3.6.5 Ecuación del par electromagnético.

La expresión para el par electromagnético puede ser obtenida de las expresiones

de energía almacenada en el circuido magnético a través de la relación: (Bort, J. V.,

2002)

𝑇𝑒 =𝜕𝑊𝑚𝑎𝑔

𝜕𝜃𝑚

Para un motor de inducción (Krause, et al., 2013).

(3.71)

(3.72)



75

(3.75)

(3.76)

(3.77)

(3.78)

𝑊𝑒 =1

2𝑖𝑠𝑇𝐿𝑠𝑖𝑠 +

1

2𝑖𝑟′𝐿𝑟

′ 𝑖𝑟′ + 𝑖𝑠

𝑇𝐿𝑠𝑟′ (𝜃𝑟)𝑖𝑟

′

𝑇𝑒 =𝜕 (

12

𝑖𝑠𝑇𝐿𝑠𝑖𝑠 +

12

𝑖𝑟′𝐿𝑟

′ 𝑖𝑟′ + 𝑖𝑠

𝑇𝐿𝑠𝑟′ (𝜃𝑟)𝑖𝑟

′)

𝜕𝜃𝑚=

𝜕𝑖𝑠𝑇𝐿𝑠𝑟

′ (𝜃𝑟)𝑖𝑟′

𝜕𝜃𝑚

Ya que 𝜃𝑟 =𝑃

2 𝜃𝑚.

𝑇𝑒 = 𝑖𝑠𝑇 𝜕𝐿𝑠𝑟

′ (𝜃𝑟)

𝜕𝜃𝑚𝑖𝑟′ =

𝑃

2𝑖𝑠𝑇 𝜕𝐿𝑠𝑟

′ (𝜃𝑟)

𝜕𝜃𝑟𝑖𝑟′

3.6.6 Ecuación mecánica.

Aplicando la segunda ley de Newton para un sistema de rotacional se realiza el

equilibrio de pares en el eje del rotor (Páramo, B., 2010):

𝑇𝑒 = 𝐽2

𝑃

𝜕𝜔𝑟

𝜕𝑡+ 𝐵

2

𝑃𝜔𝑟 + 𝑇𝐿

Donde:

ωr : Velocidad eléctrica del rotor [rad/s].

J : Momento de Inercia [kg.m^2].

TL : Par de carga [Nm].

B : Representa la fricción [kg.m^2/s].

Cabe resaltar que TL depende de la velocidad, según los perfiles de carga de

cada aplicación, esto se detalló en el capítulo anterior.



76

(3.79)

(3.80)

3.7 Sistema de referencia arbitrario.

Debido a la complejidad de las ecuaciones mencionadas en el capítulo anterior,

se plantea utilizar cambios de variable de tal forma de que simplifiquen las ecuaciones

y facilitar el modelado por software.

Estos cambios de variables consisten en referenciar las variables del estator y

del rotor en un mismo sistema de coordenadas arbitrario compuesto por dos ejes de

cuadratura y otro eje, conocido como eje de secuencia cero. A las variables del nuevo

sistema de coordenadas se las definirá con el subíndice d, q y 0 (García, P., &

Rodríguez, M., 2006). Las transformadas de rotación propuestas por Clark y Park, se

definen como:

TRANSFORMADA DIRECTA:

𝑓𝑎𝑏𝑐𝑠 = 𝐾𝑠𝑓𝑞𝑑0𝑠

TRANSFORMADA INVERSA:

𝑓𝑞𝑑0𝑠 = 𝐾𝑠−1 𝑓𝑎𝑏𝑐𝑠

Debiendo ser Ks una matriz de 3x3 en función a un ángulo de rotación arbitrario

θ. Lo importante de esta transformación es que el eje de secuencia 0 es expresado

como una relación aritmética entre los ejes de cuadratura d y q. Por lo tanto,

geométricamente es posible expresar la transformación como un cambio de

coordenadas de 3 a 2 ejes, como se ve en la figura (3.5).



77

Figura 3.5.

Sistema de referencia arbitrario


Según el valor del ángulo de rotación θ, es posible definir múltiples sistemas de

referencia. Estos pueden ser el ángulo de giro del rotor o el ángulo de giro del flujo

magnético.

3.8 Transformación de coordenadas arbitrario del estator y del rotor.

Como se puede ver en la figura (3.6), se puede definir el campo magnético

trifásico giratorio del rotor como un sistema de coordenadas espacial de tres ejes con

una velocidad 𝜔𝑟 o un ángulo θr en función del tiempo.



78

(3.81)

Figura 3.6.

Sistemas de referencia del estator y del rotor.


Se realizará la conversión de coordenadas para cada una de las fases del estator

y del rotor hacia un sistema de referencia arbitrario ubicado a un ángulo arbitrario (θ)

de la fase “a” del estator.

3.8.1 Transformación de coordenadas del estator.

Se definen las transformaciones de coordenadas directa e inversa según las

ecuaciones (3.81) y (3.82). (Navas Cajamarca, W. P. 2016).

𝐾𝑠 = √2

3

[ cos (θ) cos (θ −

2π

3) cos (θ −

4π

3)

𝑠𝑒𝑛(θ) 𝑠𝑒𝑛(θ −2π

3) 𝑠𝑒𝑛(θ −

4π

3)

1/2 1/2 1/2 ]



79

(3.82)

(3.84)

(3.83)

(3.85)

𝐾𝑠−1 = √

2

3

[

cos (θ) cos (θ) 0

cos (θ −2π


2π

3) 0

cos (θ −4π


4π

3) 0 ]

3.8.2 Transformación de coordenadas del rotor.

Para esta transformación, es necesario definir el ángulo que forma el eje de

coordenadas arbitrario y el eje del estator. Tal como se muestra en la figura (3.7) y en

la ecuación (3.83).

Figura 3.7.

Relaciones trigonométricas entre ejes coordenado


𝛽 = 𝜃 − 𝜃𝑟

Se define la transformada como:

𝑓𝑎𝑏𝑐𝑟 = 𝐾𝑟𝑓𝑞𝑑0𝑟

𝑓𝑞𝑑0𝑟 = 𝐾𝑟−1 𝑓𝑎𝑏𝑐𝑟



80

(3.86)

(3.87)

(3.88)

(3.89)

𝐾𝑟 = √2

3

[ 𝑐𝑜𝑠 (𝛽) 𝑐𝑜𝑠 (𝛽 −

2𝜋

3) 𝑐𝑜𝑠 (𝛽 −

4𝜋

3)

𝑠𝑒𝑛(𝛽) 𝑠𝑒𝑛(𝛽 −2𝜋

3) 𝑠𝑒𝑛(𝛽 −

4𝜋

3)

1/2 1/2 1/2 ]

𝐾𝑟−1 = √

2

3

[

cos(β) cos(β) 0

cos (β −2π

3) 𝑠𝑒𝑛 (β −

2π

3) 0

cos (β +2π

3) 𝑠𝑒𝑛 (β +

2π

3) 0 ]

3.9 Transformación de coordenadas del modelado.

Anteriormente se definieron las relaciones de transformación de coordenadas del

estator y rotor, hacia un eje arbitrario. Ahora, se aplicará dicha transformación en las

ecuaciones de voltaje y flujo, considerando el eje arbitrario como el eje del rotor.

3.9.1 Ecuaciones de voltaje:

Se aplican las ecuaciones de transformación (3.79) y (3.80) a la ecuación (3.67).

𝐾𝑠 ∗ (𝑉𝑎𝑏𝑐𝑠 = 𝑅𝑠(𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠) + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑎𝑏𝑐𝑠))

𝐾𝑠 𝑉𝑎𝑏𝑐𝑠 = 𝐾𝑠 (𝑅𝑠 (𝐾𝑠−1𝑖𝑞𝑑0𝑠)) + 𝐾𝑠

𝑑

𝑑𝑡(𝐾𝑠

−1𝜆𝑞𝑑0𝑠)

Ya que Rs es una matriz diagonal, la multiplicación del primer término de la

derecha, queda reducido a la matriz original Rs. Tal como se aprecia en la ecuación

(3.90). Además, se desarrolla la derivada del producto del último término. (Krause, et

al., 2013).



81

(3.90)

(3.91)

(3.92)

(3.93)

(3.94)

(3.95)

(3.96)

(3.97)

𝑉𝑞𝑑0𝑠 = 𝑅𝑠 𝑖𝑞𝑑0𝑠 + 𝐾𝑠 (𝑑

𝑑𝑡(𝐾𝑠

−1)) 𝜆𝑞𝑑0𝑠 + 𝐾𝑠 𝐾𝑠−1

𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑞𝑑0𝑠)

Mediante cálculo matemático es posible demostrar la igualdad presentada en la

ecuación (3.91). (Krause, et al., 2013)

𝐾𝑠 (𝑑

𝑑𝑡(𝐾𝑠

−1)) =𝑑𝜃𝑟

𝑑𝑡 [

0 1 0−1 0 00 0 0

] = 𝜔𝑟 [0 1 0

−1 0 00 0 0

]


𝑉𝑞𝑑0𝑠 = 𝑅𝑠 𝑖𝑞𝑑0𝑠 + 𝜔 [0 1 0

−1 0 00 0 0

] [

𝜆𝑞𝑠

𝜆𝑑𝑠

𝜆0𝑠

] + 𝑑


𝑉𝑞𝑑0𝑠 = 𝑅𝑠 𝑖𝑞𝑑0𝑠 + 𝜔 [𝜆𝑑𝑠

−𝜆𝑞𝑠

0

] + 𝑑


𝑉𝑞𝑑0𝑠 = 𝑅𝑠 𝑖𝑞𝑑0𝑠 + 𝜔 𝜆𝑑𝑞𝑠 + 𝑑


Ecuaciones de voltaje por cada eje. Cabe resaltar que el eje 0 no es de

importancia, ya que depende aritméticamente de los dos ejes principales d y q. Es por

eso que para el desarrollo de las estrategias de control no se toma en cuenta.

𝑣𝑞𝑠 = 𝑟𝑠 𝑖𝑞𝑠 + 𝜔 𝜆𝑑𝑠 + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑞𝑠)

𝑣𝑑𝑠 = 𝑟𝑠 𝑖𝑑𝑠 − 𝜔 𝜆𝑞𝑠 + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑑𝑠)

𝑣0𝑠 = 𝑟𝑠 𝑖0𝑠 + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆0𝑠)



82

(3.98)

(3.99)

(3.100)

(3.101)

(3.103)

(3.105)

(3.104)

(3.106)

(3.107)

Haciendo un proceso análogo, se generan las ecuaciones de voltaje del rotor.

𝑉𝑞𝑑0𝑟′ = 𝑅𝑟

′ 𝑖𝑞𝑑0𝑟′ + (𝜔 − 𝜔𝑟) 𝜆𝑑𝑞𝑟

′ + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑞𝑑0𝑟

′ )

𝑣𝑞𝑟′ = 𝑟𝑟

′ 𝑖𝑞𝑟′ + (𝜔 − 𝜔𝑟) 𝜆𝑑𝑟

′ + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑞𝑟

′ )

𝑣𝑑𝑟′ = 𝑟𝑟

′ 𝑖𝑑𝑟′ − (𝜔 − 𝜔𝑟) 𝜆𝑞𝑟

′ + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑑𝑟

′ )

𝑣0𝑟′ = 𝑟𝑟

′ 𝑖0𝑟′ +

𝑑

𝑑𝑡(𝜆0𝑟

′ )

3.9.2 Ecuaciones de flujo.

Al igual que en el caso anterior, se aplican las ecuaciones de transformación

(3.79) y (3.80) a la ecuación (3.62). (Krause, et al., 2013).

𝐾𝑠 ∗ [𝜆𝑎𝑏𝑐𝑠 = 𝐿𝑠 𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠 + 𝐿𝑠𝑟′𝑖𝑎𝑏𝑐𝑟

′]

𝐾𝑟 ∗ [𝜆𝑎𝑏𝑐𝑟′ = 𝐿𝑠𝑟

𝑇 ′ 𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠 + 𝐿𝑟

′𝑖𝑎𝑏𝑐𝑟′]

𝐾𝑠 𝜆𝑎𝑏𝑐𝑠 = 𝐾𝑠𝐿𝑠 𝐾𝑠−1 𝑖𝑞𝑑0𝑠 + 𝐾𝑠𝐿𝑠𝑟

′ 𝐾𝑟−1 𝑖𝑞𝑑0𝑟

′

𝐾𝑟 𝜆𝑎𝑏𝑐𝑟′ = 𝐾𝑟𝐿𝑠𝑟

′ T 𝐾𝑠

−1 𝑖𝑞𝑑0𝑠 + 𝐾𝑟𝐿𝑟′ 𝐾𝑟

−1 𝑖𝑞𝑑0𝑟′

Expresando matricialmente:

[𝜆𝑞𝑑0𝑠

𝜆𝑞𝑑0𝑟′ ] = [

𝐾𝑠𝐿𝑠 𝐾𝑠−1 𝐾𝑠𝐿𝑠𝑟

′ 𝐾𝑟−1

𝐾𝑟𝐿𝑠𝑟𝑇 ′

𝐾𝑠−1 𝐾𝑟𝐿𝑟

′ 𝐾𝑟−1

] [𝑖𝑞𝑑0𝑠

𝑖𝑞𝑑0𝑟′ ]



83

(3.108)

(3.109)

(3.110)

(3.111)

(3.112)

(3.113)

(3.114)

(3.115)

(3.116)

(3.117)

Desarrollando los términos de la matriz:

𝐾𝑠𝐿𝑠 𝐾𝑠−1 = [

𝐿𝑠 0 00 𝐿𝑠 00 0 𝐿𝑠

] ; 𝐿𝑆 = 𝐿𝑙𝑠 + 𝐿𝑀

𝐾𝑟𝐿𝑟′ 𝐾𝑟

−1 = [

𝐿𝑟′ 0 0

0 𝐿𝑟′ 0

0 0 𝐿𝑟′] ; 𝐿𝑟

′ = 𝐿𝑙𝑟′ + 𝐿𝑀

𝐾𝑠𝐿𝑠𝑟′ 𝐾𝑟

−1 = 𝐾𝑟𝐿𝑠𝑟𝑇 ′

𝐾𝑠−1 = [

𝐿𝑀 0 00 𝐿𝑀 00 0 0

] ; 𝐿𝑀 =3

2 𝐿𝑚𝑠

Sustituyendo (3.108), (3.109), (3.110) en (3.07).

[𝜆𝑞𝑑0𝑠

𝜆𝑞𝑑0𝑟′ ] =

[ 𝐿𝑠 0 00 𝐿𝑠 00 0 𝐿𝑠

𝐿𝑀 0 00 𝐿𝑀 00 0 0

𝐿𝑀 0 00 𝐿𝑀 00 0 0

𝐿𝑟′ 0 0

0 𝐿𝑟′ 0

0 0 𝐿𝑟′ ]

[ 𝑖𝑞𝑠

𝑖𝑑𝑠𝑖0𝑠𝑖𝑞𝑟′

𝑖𝑑𝑟′

𝑖0𝑟′ ]

Expresando las ecuaciones:

𝜆𝑞𝑠 = 𝑳𝒔 𝑖𝑞𝑠 + 𝐿𝑀 𝑖𝑞𝑟′

𝜆𝑑𝑠 = 𝑳𝒔 𝑖𝑞𝑠 + 𝐿𝑀 𝑖𝑑𝑟′

𝜆0𝑠 = 𝐿𝑙𝑠 𝑖0𝑠

𝜆𝑞𝑟′ = 𝑳𝒓

′ 𝑖𝑞𝑟′ + 𝐿𝑀 𝑖𝑞𝑠

𝜆𝑑𝑟′ = 𝑳𝒓

′ 𝑖𝑑𝑟′ + 𝐿𝑀 𝑖𝑑𝑠

𝑖0𝑟′ = 𝑳𝒓

′ 𝑖0𝑟′



84

Es posible generar un circuito equivalente dinámico del motor de inducción:

Figura 3.8

Circuito equivalente de un motor trifásico en un sistema de referencia alineado con

el rotor




85

(3.118)

(3.119)

(3.120)

(3.121)

3.9.3 Ecuaciones de torque electromagnético.

Se aplica la transformación a la ecuación (3.77).

𝑇𝑒 =𝑃

2𝑖𝑠𝑇𝜕𝐿𝑠𝑟

′ (𝜃𝑟)

𝜕𝜃𝑟𝑖𝑟′

Transformación de coordenadas:

𝑇𝑒 =𝑃

2[𝐾𝑠

−1 𝑖𝑞𝑑0𝑠]𝑇 𝜕

𝜕𝜃𝑟[𝐿𝑠𝑟

′(𝜃𝑟)] (𝐾𝑟

−1 𝑖𝑞𝑑0𝑟′ )

Operando de forma análoga a los casos anteriores (Elfilali, B., 2001)

𝑇𝑒 =𝑃

2(𝜆𝑟𝑞𝑖𝑟𝑑 − 𝜆𝑟𝑑𝑖𝑟𝑞)

Reemplazando las ecuaciones 3.115, 3.116 en 3.120.

𝑇𝑒 =𝑃

2𝐿𝑠𝑟′ (𝑖𝑠𝑞𝑖𝑟𝑑 − 𝑖𝑠𝑑𝑖𝑟𝑞)

3.10 Simulación del modelamiento matemático.

Líneas arriba se encontraron las relaciones que rigen el comportamiento

dinámico del motor. Posteriormente, se aplicaron transformadas para reducir la

complejidad de las ecuaciones, lo que facilita su simulación. A continuación, se

presentarán por partes, los diagramas hechos en el complemento Simulink del

software Matlab.



86

3.10.1 Simulación de la Transformación de Coordenadas

Siguiendo las ecuaciones (3.81) y (3.82), se realizaron los bloques de simulación

de las Figuras (3.9) y (3.10) respectivamente.

Figura 3.9.

Simulación transformación de coordenadas directa.

Fuente: (Elaboración Propia).



87

Figura 3.10.

Simulación transformación de coordenadas inversa


3.10.2 Simulación de las ecuaciones dinámicas.

Siguiendo las ecuaciones (3.95), (3.96), (3.99), (3.100), (3.112), (3.113), (3.115),

(3.116), se realizaron los bloques de simulación de la figura (3.11).



88

Figura 3.11.

Simulación ecuaciones dinámicas de voltaje, flujo y corriente.


3.10.3 Simulación de las ecuaciones de torque.

Siguiendo la ecuación (3.121) se realizaron los bloques de simulación de la figura

(3.12).



89

Figura 3.12.

Simulación ecuaciones de torque


3.10.4 Simulación de las ecuaciones de velocidad.

Siguiendo la ecuación (3.78) se realizaron los bloques de simulación de la figura

(3.13).

Figura 3.13.

Simulación


3.10.5 Diagrama completo del modelado del motor de inducción.

Figura 3.14. Simulación del modelo dinámico del motor de inducción.



90

Fuente (Elaboración Propia.)



91

(4.1)

CAPÍTULO IV

CONTROL ESCALAR DE UN MOTOR DE INDUCCIÓN

4.1 Control de voltaje.

En el capítulo II, se explicó la necesidad de una Ley de Mando que controle la

relación Voltaje/Frecuencia en determinados rangos de velocidad. Ya que, para

velocidades bajas con frecuencias cercanas a cero, es necesario mantener un voltaje

mínimo, el cual garantice la generación del campo magnético giratorio. Caso

contrario, para velocidades superiores a la nominal, se debe mantener constante el

voltaje, ya que genera sobrecalentamiento en los devanados.

Lo expresado anteriormente se representa en la ecuación (4.1) (Akroum et al., 2013).

𝑉𝑠 = (𝑉𝑠 𝑛𝑜𝑚 − 𝑉𝑠0)

𝜔

𝜔𝑛𝑜𝑚+ 𝑉𝑠0 ; 𝜔 < 𝜔𝑛𝑜𝑚

𝑉𝑠 𝑛𝑜𝑚 ; 𝜔 > 𝜔𝑛𝑜𝑚

Donde:

𝑉𝑠 𝑛𝑜𝑚 : Voltaje nominal del estator.

𝜔 : Velocidad de operación.

𝜔𝑛𝑜𝑚 : Velocidad nominal.

𝑉𝑠0 : Voltaje mínimo a frecuencia cercana a cero.

Para el desarrollo de esta investigación se considera un voltaje mínimo del 5%

del voltaje nominal.



92

4.2 Control de velocidad.

Se aplica un control PID antes del regulador de la frecuencia del deslizamiento.

A continuación, calcularán los valores teóricos óptimos de las ganancias 𝐾𝑝, 𝐾𝑖 y 𝐾𝑑

del control PID.

Figura 4.1

Diagrama de Control Escalar

Fuente: (Singh, S.,2016).

4.3 Diagrama de control.

Con el fin de simplificar el lazo cerrado, se consideran solo las variables que

afectan al comportamiento de la velocidad. Este control brindará la referencia de

velocidad hacia el controlador escalar, el cual definirá el voltaje en PWM y ángulo que,

a su vez, regula el inversor de voltaje. (Singh, S.,2016).



93

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Figura 4.2

Lazo de control de velocidad.

Fuente: (Singh, S.,2016)

De las condiciones del circuito equivalente estacionario de un motor de inducción

se sabe que el torque se rige por la ecuación (4.2): (Guru, et al., 2003).

𝑇𝑒𝑠𝑡 = 3𝑉𝑠

2𝑅𝑠

𝑆 𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ [(𝑋𝑠 + 𝑋𝑟)2 + (𝑅𝑠 +

𝑅𝑟𝑆

)2

]

Para deslizamientos pequeños: (Guru, et al., 2003).

𝑅𝑟

𝑠≫ 𝑅𝑠

𝑅𝑟

𝑠≫ (𝑋𝑠 + 𝑋𝑟)

2

Entonces:

𝑇 ≅ 𝑆 𝑉𝑆

2

𝑅𝑟𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ

𝑇 = 1

𝑅𝑟(

𝑉𝑠𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ

)2

𝑆 𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ



94

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Debido a que el control escalar calcula el voltaje en forma proporcional a la

frecuencia, el torque se puede expresar en función a 𝑆 ∗ 𝜔𝑚, también llamado,

velocidad del deslizamiento. Es por ello que se define una constante 𝐾𝑓. (Singh,

S.,2016).

𝐾𝑓 = 1

𝑅𝑟(

𝑉𝑠𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ

)2

Reemplazando (4.7) en (4.8). (Cetinkunt, S., 2007).

𝑇 = 𝐾𝑓 ∗ 𝑆 𝜔𝑚𝑒𝑐ℎ

Ya que 𝐾𝑓 es una constante, es posible hallarla con los valores nominales de

trabajo del motor de inducción. Además, se sabe que el torque nominal es igual a la

potencia nominal sobre la velocidad nominal del motor, tal como se expresa en la

ecuación (4.9).

𝐾𝑓 =𝑇

𝑆 𝜔𝑛𝑜𝑚 =

𝑃𝜔𝑛𝑜𝑚

⁄

𝜔𝑠𝑦𝑛𝑐 − 𝜔𝑛𝑜𝑚

4.4 Función de transferencia.

Sabiendo el valor de 𝐾𝑓, es posible generar la función de transferencia del

diagrama de control expresado en la figura (4.2).

Asumimos TL=0

𝐺(𝑠) = (𝐾𝑝 +𝐾𝑖

𝑠+ 𝐾𝑑𝑠) ∗ 𝐾𝑓 ∗ (

1

𝐽𝑠 + 𝐵)

𝐻(𝑠) = 1



95

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

𝐾𝑑𝐾𝑓𝑠2 + 𝐾𝑓𝐾𝑝𝑠 + 𝐾𝑖𝐾𝑓

(𝐾𝑑𝐾𝑓 + 𝐽) 𝑠2 + (𝐾𝑓𝐾𝑝 + 𝐵)𝑠 + 𝐾𝑖𝐾𝑓

La ecuación característica de control del sistema se obtiene igualando el

denominador de la función de transferencia a cero.

𝑠2 +𝐾𝑓𝐾𝑝

(𝐾𝑑𝐾𝑓 + 𝐽) 𝑠 +

𝐾𝑖𝐾𝑓 + 𝐵

(𝐾𝑑𝐾𝑓 + 𝐽) = 0

𝐾𝑑 se elimina, ya que no aporta al control, es posible variar el polinomio con 𝐾𝑖 y

𝐾𝑝.

𝑠2 +𝐾𝑓𝐾𝑝

𝐽 𝑠 +

𝐾𝑖𝐾𝑓 + 𝐵

𝐽 = 0

Comparando con la ecuación característica de segundo orden de la ecuación

(4.16). (Kuo, B. C., 1996).

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0

Donde:

𝜔𝑛2 =

𝐾𝑖𝐾𝑓

𝐽 ; 2𝜁𝜔𝑛 =

𝐾𝑓𝐾𝑝 − 𝐵

𝐽

El coeficiente 𝐵 depende de la velocidad del motor, por lo que se considera como

parte del torque de carga mecánico.

𝐾𝑖 =𝜔𝑛

2𝐽

𝐾𝑓 ; 𝐾𝑝 =

2𝜁𝜔𝑛𝐽

𝐾𝑓



96

(4.18)

Según el requerimiento del sistema y cumpliendo con las normativas establecidas

para diseñar variadores de frecuencia. Seleccionamos los valores de 𝜔𝑛 y 𝜁, tales

que las constantes 𝐾𝑝 y 𝐾𝑖 sean las más óptimas.

4.4.1 Seleccionando 𝜻.

En la Figura (4.3) podemos visualizar la respuesta a un escalón unitario, de un

sistema de segundo orden.

Figura 4.2.

Curvas de repuesta para varios valores de 𝜁.

Fuente: (Kuo, B. C., 1996)

En la figura podemos visualizar que el valor requerido de 𝜁, debe de estar entre

0.8 y 1, ya que cuentan con el menor sobre-pico y un tiempo de establecimiento corto.



97

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

Para el desarrollo de esta investigación seleccionaremos:

𝜁 = 0.9.

4.4.2 Seleccionando 𝝎𝒏.

Una vez seleccionado el valor de 𝜁 , se buscará 𝜔𝑛.Para esto, utilizaremos la

ecuación del tiempo de establecimiento para una banda de error del 2%, en un

sistema de segundo orden y 0 < 𝜁 < 0.69. (Ogata, K. & Yang, Y.,2002).

𝑡𝑠 =4

𝜁𝜔𝑛

Se considera un tiempo de establecimiento deseado de 0.25s, el cual se verá

modificado por el control escalar.

𝜔𝑛 = 20.7

Con los datos del motor detallados en la Tabla 2.2. Se calcula el valor de 𝐾𝑓 de la

ecuación (4.9).

𝐾𝑓 =5(745.7)/(1430 (

2𝜋60

))

(1500 − 1430) (2𝜋60

)= 3.39

Reemplazando las ecuaciones (4.19), (4.20) y (4.21) en la ecuación (4.18):

𝐾𝑝 =2𝜁𝜔𝑛𝐽

𝐾𝑓 = 1.20 ; 𝐾𝑖 =

29.16

𝐾𝑓= 13.44

Al ejecutar la simulación, se notó la falta de acción proporcional, por lo que se

varió ligeramente el valor hasta encontrar el punto más óptimo de trabajo, los cuales

se muestran en la ecuación (4.24).



98

(4.24) 𝐾𝑝 = 4 ; 𝐾𝑖 =29.16

𝐾𝑓= 13.44

Cabe resaltar que las curvas obtenidas es esta simulación de control escalar,

cumplen con los requerimientos de la norma IEC-61800-4.

4.5 Simulaciones previas.

Con el fin de realizar una correcta simulación del control escalar, es necesario

simular las etapas de rectificación e inversión de voltaje de una fuente trifásica.

4.5.1 Rectificador.

Se consideró un rectificador no-controlado como se muestra en la figura (4.4).

Figura 4.4.

Simulación de un rectificador trifásico.

Fuente: (Elaboración propia)



99

4.5.2 Inversor.

Se consideró un inversor tipo fuente de voltaje controlado por PWM. A la salida

se incluyó un bloque matemático de conversión de Voltaje de Línea a Voltaje de Fase.

Figura 4.5.

Simulación de un inversor fuente de voltaje.


A continuación, se expande el bloque del Inversor Trifásico.

Figura 4.5

Simulación Expansión del bloque “Inversor Trifásico”




100

4.6 Simulaciones propias del control escalar.

4.6.1 Control pi.

Figura 4.7.

Simulación controlador PI


4.6.2 Ley de mando.

Se realizó la simulación según la ecuación (4.10).

Figura 4.8.

Simulación Ley de Mando control V/F




101

4.6.3 Diagrama completo del control escalar.

Figura 4.9 Simulación Control Escalar




102

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

CAPÍTULO V

CONTROL VECTORIAL DE UN MOTOR DE INDUCCIÓN

En el capítulo 2, se explicó que la ventaja fundamental del control vectorial es el

desacoplamiento de las ecuaciones de torque y flujo. Esto se logra alineando el flujo

magnético con un eje de cuadratura. Para ejemplificar esta premisa, analizaremos la

ecuación 3.120.

𝑇𝑒 =𝑃

2(𝜆𝑟𝑞𝑖𝑟𝑑 − 𝜆𝑟𝑑𝑖𝑟𝑞) =

𝑃

2(−𝜆𝑟𝑑𝑖𝑟𝑞)

El alinear el flujo al eje de cuadratura d, implica que el flujo 𝜆𝑟𝑞 se haga cero.

(Elfilali, B., 2001). En esta nueva ecuación 5.1, podemos observar que al variar 𝑖𝑟𝑞 se

logra un control sobre el torque. Luego se mostrará que variando 𝑖𝑟𝑑 se controla el

flujo, que, al igual que en el control escalar, debe de conservarse constante.

5.1 Ecuaciones del modelo dinámico referidas al flujo.

Debido al cambio de coordenadas propuesto en el control vectorial, es necesario

aplicar correcciones a las ecuaciones de modelo dinámico del motor. Esto con el fin

de hallar las relaciones necesarias para el control de torque y flujo.

Sabiendo que 𝜆𝑟𝑞 es igual a cero.

𝜆𝑞𝑟′ = 0 ;

𝑑𝜆𝑞𝑟′

𝑑𝑡= 0

Reemplazando la ecuación 5.2 en la ecuación 3.115.

𝜆𝑞𝑟′ = 𝐿𝑟

′ 𝑖𝑞𝑟′ + 𝐿𝑀 𝑖𝑞𝑠 = 0

𝑖𝑞𝑟′ =

𝐿𝑀

𝐿𝑟′ 𝑖𝑞𝑠



103

(5.5)

(5.7)

(5.6)

(5.8)

5.1.1 Ecuaciones de voltaje.

De la ecuación (3.99) y (3.100), se sabe que al estar el rotor en corto circuito sus

voltajes son iguales a 0. (Navas Cajamarca, W. P. 2016).



′ + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑞𝑟

′ ) = 0


′ 𝑖𝑑𝑟′ − (𝜔 − 𝜔𝑟) 𝜆𝑞𝑟

′ + 𝑑

𝑑𝑡(𝜆𝑑𝑟

′ ) = 0

Reemplazando (5.2) en (5.5)



′ = 0

Se define la velocidad relativa entre el eje d del sistema bifásico y la fase A del

rotor (𝜔𝑑𝐴).

𝜔𝑑𝐴 = (𝜔 − 𝜔𝑟) = −𝑟𝑟′

𝑖𝑞𝑟′

𝜆𝑑𝑟′

Para entender mejor las relaciones de posición entre los ejes coordenados se

presenta la figura (5.1).



104

(5.9)

(5.10)

(5.11)

Figura 5.1.

Diagrama ejes de coordenadas.



𝜔𝑑𝐴 = −𝑟𝑟′

𝐿𝑀


𝜆𝑑𝑟′ = −

𝑟𝑟′

𝐿𝑟′

𝐿𝑀𝑖𝑞𝑠

𝜆𝑑𝑟′

Se define una constante τ dependiente de las características del motor:

τ = 𝐿𝑟′

𝑟𝑟′


𝜔𝑑𝐴 = −𝐿𝑀

τ

𝑖𝑞𝑠

𝜆𝑑𝑟′



105

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Para la ecuación de voltaje 𝑣𝑑𝑟′ , se reemplaza las ecuaciones (3.116) (ecuación

de flujo 𝜆𝑑𝑟′ ) y (5.2) en la ecuación (5.6).


′ 𝑖𝑑𝑟′ +

𝑑

𝑑𝑡(𝐿𝑟

′ 𝑖𝑑𝑟′ + 𝐿𝑀 𝑖𝑑𝑠) = 0

0 = 𝑟𝑟′ 𝑖𝑑𝑟

′ + 𝑑

𝑑𝑡(𝐿𝑟

′ 𝑖𝑑𝑟′ + 𝐿𝑀 𝑖𝑑𝑠)

Derivando la ecuación (5.13).


′ + 𝐿𝑟′

𝑑𝑖𝑑𝑟′

𝑑𝑡+ 𝐿𝑀

𝑑𝑖𝑑𝑠

𝑑𝑡

Aplicando transformada de Laplace:


′ + 𝐿𝑟′ 𝑆 𝑖𝑑𝑟

′ + 𝐿𝑀 𝑆 𝑖𝑑𝑠

𝑖𝑑𝑟′ =

−𝐿𝑀 𝑆

𝑟𝑟′ + 𝐿𝑟

′ 𝑆 𝑖𝑑𝑠


𝑖𝑑𝑟′ =

−𝐿𝑀 𝑆

1 + τ 𝑆 𝑖𝑑𝑠


𝜆𝑑𝑟′ = 𝐿𝑟

′ −𝐿𝑀 𝑆

1 + τ 𝑆 𝑖𝑑𝑠 + 𝐿𝑀 𝑖𝑑𝑠

𝜆𝑑𝑟′ =

−𝐿𝑀

1 + τ 𝑆 𝑖𝑑𝑠



106

(5.20)

(5.21)

(5.22)

El torque electromagnético de la ecuación (5.1), también se puede expresar en

términos de 𝑖𝑞𝑠. Reemplazando la ecuación (5.4) en la ecuación (5.1).

𝑇𝑒 = −𝑃

2

𝜆𝑑𝑟𝐿𝑀


Reemplazando la ecuación (5.19) en (5.20).

𝑇𝑒 = −𝑃

2

(−𝐿𝑀

1 + τ 𝑆 𝑖𝑑𝑠) 𝐿𝑀

𝐿𝑟′ 𝑖𝑞𝑠 = −

𝑃

2

𝐿𝑀

𝐿𝑟′

𝐿𝑀

1 + τ 𝑆𝑖𝑑𝑠𝑖𝑞𝑠

5.2 Etapas de control.

Las relaciones referenciadas al flujo, obtenidas en el ítem anterior, servirán para

realizar los bloques de control de flujo y velocidad. Los cuales, deben tener como

salida, las corrientes de referencia 𝑖𝑑𝑠∗e 𝑖𝑞𝑠

∗ respectivamente. La transformación de

estas corrientes, es decir 𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠∗ serán comparadas con la lectura de corriente trifásica

del estator, generando así una señal PWM que finalmente alimentará al inversor

trifásico tipo fuente de voltaje.

5.2.1 Control de flujo.

Al igual que en el control escalar, se debe realizar un control sobre el flujo para

valores superiores a la velocidad nominal. A partir de esa velocidad, el flujo se irá

disminuyendo proporcionalmente a la velocidad de giro según muestra la ecuación

(5.22). (Elfilali, B., 2001)

𝜆𝑑𝑟∗ =

𝜆𝑑𝑟0 ; 𝜔𝑟 < 𝜔𝑛𝑜𝑚

𝜆𝑑𝑟0 ( 𝜔𝑟

𝜔𝑛𝑜𝑚) ; 𝜔𝑟 > 𝜔𝑛𝑜𝑚



107

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

Para hallar la corriente de referencia 𝑖𝑑𝑠0∗ se aplica la ecuación (5.19).

𝑖𝑑𝑠∗ =

1 + τ 𝑆

−𝐿𝑀 𝜆𝑑𝑟

∗

𝑖𝑑𝑠∗ =

1

−𝐿𝑀 (𝜆𝑑𝑟

∗ + τ 𝑆 𝜆𝑑𝑟∗)

Invirtiendo la transformada de Laplace:

𝑖𝑑𝑠∗ =

τ

−𝐿𝑀 (

𝜆𝑑𝑟∗

τ +

d𝜆𝑑𝑟∗

dt)

Esta corriente servirá para encontrar las constantes 𝐾𝑝 y 𝐾𝑖 del controlador de

velocidad. Por lo que se simulará la ecuación, teniendo como entrada la corriente del

motor 𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠 en estado estacionario.

Es necesario transformar la corriente trifásica al sistema bifásico alineado al

motor, para esto se debe hallar también el ángulo del eje d con respecto al eje a del

estator. Esto se realiza simulando las ecuaciones (3.8) y (5.25). Como se muestra en

la figura (5.2).

La corriente 𝑖𝑑𝑠0∗ medida en estado estacionario, se muestra en la ecuación

(5.26).

𝑖𝑑𝑠0∗ = 446.2



108

(5.27)

(5.28)

(5.29)

Fig. 5.2.

Simulación de la ecuaciones 3.28 y 5.25 para la lectura de la corriente 𝑖𝑑𝑠0∗.


5.2.2 Control de velocidad.

En la ecuación (5.25), la corriente 𝑖𝑑𝑠∗ y el flujo 𝜆𝑑𝑟

∗ es constante en estado

estacionario y en valores de velocidad menores a la velocidad nominal. Es por ello

que, al reemplazar la corriente en (5.14), la corriente 𝑖𝑑𝑟′ es igual a cero en los rangos

antes mencionados. Por lo tanto, reemplazando 𝑖𝑑𝑟′ en la ecuación (3.116).

𝜆𝑑𝑟0′ = 𝐿𝑀 𝑖𝑑𝑠0

∗

Reemplazando las ecuaciones (5.26) y (5.4) en la ecuación (5.1).

𝑇𝑒 = (𝑃

2

𝐿𝑀2

𝐿𝑟′ 𝑖𝑑𝑠0

∗ ) 𝑖𝑠𝑞

Definimos una constante K al término entre paréntesis.

𝐾 =𝑃

2

𝐿𝑀2

𝐿𝑟′ 𝑖𝑑𝑠0

∗



109

(5.30)

(5.31)

(5.32)

Con la cual se puede establecer una relación análoga al diagrama de control de

velocidad del control escalar, como se muestra en la Figura (5.3).

Figura 5.3.

Modelo linealizado usando un controlador PI.

Fuente: (Akroum, M., et al., 2013)

Se aplica un cálculo análogo al realizado en el controlador de velocidad del

control escalar, obteniéndose la ecuación (5.30).

𝐾𝑖 =𝜔𝑛

2𝐽

𝐾 ; 𝐾𝑝 =

2𝜁𝜔𝑛𝐽

𝐾

Reemplazando la ecuación (5.26) y las constantes del motor de la tabla (2.2) en

la ecuación (5.29). Se debe tener en cuenta que las inductancias se deben convertir

a unidades de ohms.

𝐾 = 0.3748

Se considera 𝑡𝑠 = 0.2𝑠 y 𝜁 = 0.9. Reemplazando en 5.30.

𝐾𝑖 = 121.55 ; 𝐾𝑝 = 10.80



110

5.2.3 Control de corriente.

El control vectorial tiene como salida una corriente de referencia 𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠∗ , la cual

debe ser igual a la corriente de alimentación del motor. Para lograr esto, se realiza un

control por histéresis entre la corriente deseada 𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠∗ y la corriente medida del motor

𝑖𝑎𝑏𝑐𝑠. (Nachiappan et al., 2012). En la figura (5.4) se muestra el esquema de un control

por histéresis.

Figura 5.4.

Esquema control por histéresis.

Fuente: (Nachiappan et al., 2012)

El control por histéresis consiste restar los valores instantáneos de cada fase de

las corrientes a comparar, esta diferencia se compara con una banda muerta

preestablecida generando así los pulsos PWM que se emitirán hacia el inversos. En

la figura (5.4) se muestra la señal de salida de un control por histéresis.



111

Figura 5.5

Señal de salida de un control por histéresis.

Fuente: (Nachiappan et al., 2012).

5.3 Simulaciones previas.

Se usarán las mismas simulaciones de la fuente trifásica, rectificador, inversor y

torque mecánico de entrada, propuestas en el control escalar.

5.4 Simulaciones propias del control vectorial.

5.4.1 Control de flujo.

Se simulan las ecuaciones (5.22) y (5.25).



112

Figura 5.6.

Simulación control de flujo.


5.4.2 Control de velocidad.

Se aplican las constantes 𝐾𝑝 y Ki en el controlador PID, teniendo como salida el

torque electromagnético de referencia (𝑇𝑒∗).

Figura 5.7.

Simulación control de velocidad.

Fuente (Elaboración Propia).



113

5.4.3 Control de corriente.

Se aplica el diagrama de la figura (5.4).

Figura 5.8.

Simulación control de corriente.




114

5.4.4 Diagrama completo control vectorial.

Figura 5.6. Simulación control vectorial.




115

CAPÍTULO VI

RESULTADOS.

El objetivo de esta investigación es la contrastación de las dos estrategias

de control de velocidad más usadas en los motores de inducción (control escalar y

control vectorial). Para ello, se realizaron dos tipos de pruebas, la primera consiste en

variaciones tipo escalón unitario en la referencia de la velocidad (setpoint) para

distintos tipos de carga presentes en aplicaciones industriales. La segunda prueba,

consiste en establecer una velocidad de referencia y realizar variaciones tipo escalón

en el par resistente aplicado. Midiendo, en cada una de las pruebas, los parámetros

de control más importantes, que son: porcentaje de sobrepico, tiempo de

establecimiento y error en estado estacionario. Todas estas mediciones se hicieron

según las recomendaciones de la norma IEC 61800-4 expuestas anteriormente.

6.1 Primera prueba.

Se realizaron pruebas de arranque para cuatro velocidades: 375 rpm, 750 rpm,

1125 rpm, 1500 rpm. En cada una de ellas se realizaron arranques en vacío y

arranques con carga. Las cargas consideradas emulan de los tipos de par resistente

más demandantes expuestos anteriormente en el capítulo II. Estos son: Torque

Lineal, Torque Cuadrático y Torque Constante.

Para ejemplificar el proceso se mostrarán en la Figura 6.1 y Figura 6.2, las

capturas de pantalla de una medición con control escalar, torque lineal dependiente

de la velocidad y una referencia de velocidad tipo escalón de 0 a 375rpm.

En la Figura 6.1, se muestra la gráfica Torque (línea amarilla) y el setpoint de

Torque (línea azul).

En la Figura 6.2, se muestra la gráfica Velocidad (línea amarilla) y el setpoint de

Velocidad (línea azul).



116

Figura 6.1.

Grafica torque (Nm) vs tiempo(s).Prueba de control escalar, bajo torque lineal y

referencia escalón 0-375rpm


Figura 6.2.

Grafica torque (Nm) vs tiempo(s). Prueba de control escalar, bajo torque lineal y

referencia escalón 0-375rpm




117

(6.1)

Figura 6.3

Mediciones. a) Obtención de la velocidad de sobrepico. b) Obtención del tiempo de

establecimiento.


A continuación, se presentarán tablas con los resultados obtenidos en estas

pruebas de arranque.

6.1.1 Prueba de arranque en vacío.

Se realizaron las pruebas de arranque en vacío a distintas velocidades.

𝑇𝑙 = 0



118

Tabla 6.1.

Resultados control escalar en vacío.

Control Escalar

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s)

Velocidad Est. (rpm)

Error est. (%)

0-375 8.87 0.845 374.997 0.00

0-750 0.05 0.784 749.976 0.00

0-1125 - 0.367 1125 0.00

0-1500 - 0.612 1500 0.00

Promedio 2.23 0.652 0.00 Fuente (Elaboración propia)

Tabla 6.2.

Resultados control vectorial en vacío.

Control Vectorial

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s)


Error est. (%)

0-375 0.53 0.075 374.994 0.00

0-750 0.28 0.118 750.000 0.00

0-1125 0.18 0.174 1125 0.00

0-1500 0.20 0.272 1500 0.00


A partir de los datos obtenidos para los sistemas de control escalar y vectorial,

resumidos en las tablas (6.1) y (6.2), respectivamente, se comprobaron los rangos de

valores permitidos por la norma IEC 61800-4:2002 para las distintas variables de

control, descritas en el capítulo II.



119

(6.3)

(6.2)

Porcentaje de Sobrepico (%SP):

Se calculó un promedio simple entre los porcentajes de error de sobrepico para

ambos sistemas de control. Al compararse con la norma se comprueba que los

valores están por debajo de los valores máximos permitidos por la norma IEC 61800-

4:2002, como se aprecia en la ecuación (6.2).

%𝑆𝑃𝑒𝑠𝑐 = 2.23% ≤ 10% ; %𝑆𝑃𝑣𝑒𝑐𝑡 = 0.30%

En el control escalar, se puede apreciar, un incremento del sobrepico para

velocidades bajas.

En el control vectorial, se observa mayor uniformidad en los valores sobrepico

para todos los rangos de velocidad.

Tiempo de establecimiento (Test):

También se calculó un promedio simple entre los tiempos de establecimiento para

ambos sistemas de control. La comparación con la norma IEC 61800-4:2002 también

fue favorable y se puede apreciar en la ecuación (6.3).

𝑇𝑒𝑠𝑡, 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 0.652𝑠 < 3𝑠 ; 𝑇𝑒𝑠𝑡, 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 = 0.160𝑠 < 3𝑠

Cabe resaltar una clara ventaja en el tiempo de establecimiento del control

vectorial sobre el escalar, pero al ser tiempos muy bajos, no se puede concluir que

afecten significativamente en su utilización en aplicaciones industriales.

Error en estado estacionario:

Ambos controles registraron un error del 0% para todos los rangos de velocidad

propuestos, estas mediciones fueron tomadas en el segundo 3 en el caso del control

escalar y en el segundo 1.5 en el caso del control vectorial. Es decir, siguiendo los

estándares propuestos en la norma IEC 61800-4:2002.



120

(6.4)

6.1.2 Prueba de arranque con torque lineal.

La carga se determinó según la ecuación (6.4).

𝑇𝑙 =𝑊𝑚𝑒𝑐ℎ

𝑊𝑛𝑜𝑚∗ 𝑇𝑛𝑜𝑚

Aplicando este perfil de carga para ambos sistemas de control, se tomaron los

datos resumidos en las tablas (6.3) y (6.4).

Tabla 6.3.

Resultados control vectorial bajo torque lineal.

Control Escalar

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s)


Error est. (%)

0-375 6.64 0.805 375.017 0.00

0-750 2.35 0.757 750.004 0.00

0-1125 - 0.636 1125 0.00

0-1500 2.20 1.360 1500 0.00


Tabla 6.4.

Resultados control vectorial bajo torque lineal.

Fuente (Elaboración propia)

Control Vectorial

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s)


Error est. (%)

0-375 - 0.072 375 0.00

0-750 - 0.121 750 0.00

0-1125 - 0.208 1125 0.00

0-1500 - 0.429 1500 0.00

Promedio 0.00 0.208 0.00



121

(6.5)

(6.6)

(6.7)

El torque nominal se calculó a partir de los datos de potencia y velocidad nominal,

según la ecuación 6.5. (ABB, 2014).

𝑇𝑛𝑜𝑚 = 9.55 ∗𝑃 (𝑘𝑊)

𝑛𝑛𝑜𝑚(𝑟𝑝𝑚)=

9.55 ∗ (5 ∗ 745.7)

1430= 24.9 𝑁𝑚.


Se calcula también un promedio simple de los porcentajes de error, y se contrasta

con los valores permitidos en la norma IEC 61800-4:2002.

%𝑆𝑃𝑒𝑠𝑐 = 2.80 ≤ 10% ; %𝑆𝑃𝑣𝑒𝑐𝑡 = 0%

En el control escalar, se puede apreciar un aumento en el promedio de error, con

respecto al caso anterior.

En el control vectorial, se observa una eliminación del sobrepico para todos los

rangos de velocidad.


La comparación con la norma IEC 61800-4:2002 también fue favorable para

ambos sistemas de control y se puede apreciar en la ecuación (6.7).



Tampoco se presentó error en estado estacionario significativo, para ninguno de

los sistemas de control.



122

(6.8)

6.1.3 Prueba de arranque con torque cuadrático.

Se realizó la prueba de arranque con un perfil de carga cuadrático que se muestra

en la ecuación (6.8).

𝑇𝑙 = (𝑊𝑚𝑒𝑐ℎ

𝑊𝑛𝑜𝑚)

2

∗ 𝑇𝑛𝑜𝑚

Tabla 6.5.

Resultados control escalar bajo torque cuadrático.

Control Escalar

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s)


Error est. (%)

0-375 6.63 0.242 375.017 0.00

0-750 2.35 0.274 750.004 0.00

0-1125 - 0.814 1125 0.00

0-1500 2.20 0.894 1500 0.00


Tabla 6.6.

Resultados control escalar bajo torque cuadrático.

Control Vectorial

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s)


Error est. (%)

0-375 0.40 0.072 374.995 0.00

0-750 0.01 0.129 750.003 0.00

0-1125 - 0.188 1125 0.00

0-1500 - 0.422 1500 0.00


Se observa en las tablas resumen (6.5) y (6.6), un comportamiento muy similar

que el caso anterior, especialmente a bajas velocidades. A continuación, se

presentarán las comparaciones con la norma.



123

(6.9)

(6.11)

(6.10)


Se comprueba con la norma IEC 61800-4:2002 que los promedios de los valores

son permitidos en la norma.

%𝑆𝑃𝑒𝑠𝑐 = 2.79 ≤ 10% ; %𝑆𝑃𝑣𝑒𝑐𝑡 = 0.10%


La comparación con la norma IEC 61800-4:2002 también fue favorable para

ambos sistemas de control y se puede apreciar en la ecuación (6.10).



Tampoco se presentó error en estado estacionario para ninguno de los sistemas

de control.

6.1.4 Prueba de arranque con torque constante.

Esta prueba emula el perfil de carga más demandante para un motor, en este, el

motor está sometido a un par resistente nominal y constante desde el encendido. Lo

que le produce una exigencia mayor.

El torque aplicado igual al torque nominal:

𝑇𝑙 = 𝑇𝑛𝑜𝑚



124

Tabla 6.7.

Resultados control escalar bajo torque constante..

Control Escalar

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s) Velocidad Est. (rpm)

Error est. (%)

0-375 - 0.652 375.037 0.00

0-750 - 0.306 749.985 0.00

0-1125 - 0.710 1125 0.00

0-1500 - 2.480 1500 0.00


Tabla 6.8.

Resultados control vectorial bajo torque constante.

Control Vectorial

Velocidad (rpm)

Sobrepico (%)

T est. (s) Velocidad Est. (rpm)

Error est. (%)

0-375 - 0.077 374.998 0.00

0-750 - 0.143 750.002 0.00

0-1125 - 0.264 1125 0.00

0-1500 - 0.486 1500 0.00


Contrastación de la información obtenida en las tablas (6.7) y (6.8) con las

sugerencias de la norma IEC 61800-4:2002.


No se presentó sobrepico para en ninguno de los sistemas de control.


Ambos sistemas cumplen con la norma:




125


Ningún sistema de control presenta error en estacionario.

A pesar del cumplimiento de la norma, se puede observar un incremento importante

en el tiempo de establecimiento del control escalar con respecto a su respuesta para los

perfiles de carga anteriores.

Para el caso del control vectorial, mantiene su comportamiento a pesar de la variación

del perfil de torque.

6.2 Segunda prueba.

En la prueba anterior, ya se pudo ver un mejor comportamiento del control vectorial

ante los distintos perfiles de carga, para poder validar esto, se realizó una segunda

prueba manteniendo constante la velocidad (950rpm.) y aplicando una variación tipo

escalón en el torque de carga. Los torques aplicados son menores y mayores que el

torque nominal, para poder abarcar el mayor rango posible. Los datos obtenidos también

son contemplados por la norma IEC:61800-4, estos fueron detallados en el capítulo II.

Para ejemplificar esta prueba se mostrarán las capturas de pantalla en las figuras 6.4

y 6.5 de un control vectorial con un setpoint de 950rpm, aplicándose una carga de 45

N.m. Cabe resaltar que las figuras siguen la misma codificación de colores del caso

anterior.



126

Figura 6.4

Grafica velocidad (rpm) vs tiempo(s). Control vectorial con

un setpoint de 950rpm y torque tipo escalón de 45 Nm.

Fuente (Elaboración propia)

Figura 6.5

Grafica torque (Nm) vs tiempo(s). Control vectorial con un

setpoint de 950rpm y torque tipo escalón de 45 Nm.

Fuente (Elaboración propia).



127

Figura 6.6

Mediciones. a) Obtención de la variación máxima de velocidad. b) Obtención del

tiempo de respuesta o recuperación.


La tabla (6.9), recoge los datos obtenidos en esta prueba.

Tabla 6.9.

Resultados control vectorial bajo torque constante.

Control Escalar Control Vectorial

Par resist. (Nm)

∆Tr (s) ∆Nmáx (rpm)

A imp. (%s)

∆Tr (s) ∆Nmáx (rpm)

A imp. (%s)

10 1.176 26.864 1.053 0.219 3.847 0.028

15 1.262 39.718 1.671 0.241 5.419 0.044

25 1.084 64.717 2.338 0.293 9.742 0.095

45 1.244 115.766 4.800 0.342 17.342 0.198

60 - - - 0.379 24.315 0.307

- 0.13 Fuente (Elaboración propia).



128

Área de impacto:

Analizando los resultados menores al torque nominal se comprueba, para ambos

sistemas de control, que su valor es menor a 10%s, según indica la norma IEC 61800-

4:2002. Es importante precisar que el control escalar pudo sostener el valor de la

velocidad de referencia solo hasta los 45Nm de par resistente, para la prueba de 60Nm,

el control no es capaz de sostener la velocidad y baja hasta los 250rpm, como se puede

apreciar en la figura (6.7). Un comportamiento similar sucede en el control vectorial,

pero cuando el par resistente tiene valores sobre los 68 Nm, figura (6.8), en ambos se

puede apreciar la variable estudiada de color amarillo y el setpoint de color rosado.

Figura 6.7.

Grafica torque (Nm) vs tiempo(s) y velocidad(rpm) vs tiempo(s). Control escalar 60Nm.




129

Figura 6.8.

Grafica torque(Nm) vs tiempo(s) y velocidad(rpm) vs tiempo(s). Control vectorial 68Nm.




130

CAPÍTULO VII

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

6.3 Conclusiones.

Se validaron las ecuaciones dinámicas del motor, mediante la simulación

realizada.

Se diseñaron y simularon los sistemas de control escalar y vectorial para un

motor de inducción jaula de ardilla de 5hp.

Mediante las pruebas realizadas a la simulación de ambos sistemas de

control, se comprobó el cumplimiento de los parámetros establecidos en la

norma IEC 81600-4.

De los datos obtenidos en la simulación de las pruebas de arranque a distintas

velocidades y con perfiles de carga constante, lineal y cuadrático aplicado al

motor de inducción estudiado, se comprobó comportamiento aceptable en

ambos sistemas de control. Para la prueba con perfiles de carga constante,

que es uno de los perfiles industriales más exigentes, el sistema de control

escalar, a pesar del cumplimiento de la norma, evidenció un incremento

importante en su tiempo de establecimiento, con respecto a los demás perfiles.

Por el contrario, el sistema de control vectorial, no demostró demasiada

variación en su tiempo de establecimiento, evidenciando una mejor reacción

ante pares de carga exigentes. Lo cual también se vio reflejado en la prueba

de impacto de carga.

De los datos obtenidos en la simulación de las pruebas de impactos de carga,

se evidenció en ambos sistemas de control un comportamiento aceptable bajo

pares resistentes menores al par nominal. Bajo pares resistentes mayores al

par nominal, el sistema de control vectorial mantiene mejor la referencia de

velocidad y los parámetros establecidos por la norma que el sistema de control

escalar, logrando niveles de par mecánico mayores. Pudiéndose determinar



131

en futuras investigaciones una línea de tendencia entre el par máximo

alcanzado en cada estrategia de control y los parámetros de distintos motores.

6.4 Recomendaciones.

Realizar las investigaciones complementarias necesarias con el fin de aplicar

los sistemas de control en modelos físicos.

Utilizar las simulaciones propuestas para el estudio de los sistemas de control,

aplicados a distintos motores.

Aplicar nuevas tecnologías que reemplacen el controlador PI, tales como

lógica fuzzy, o redes neuronales.

Optimizar los sistemas de control, contrastándolos con los resultados de esta

investigación.

Determinar una línea entre el par máximo alcanzado en cada estrategia de

control y los parámetros de distintos motores.



132

6.5 Bibliografía.

6.5.1 Libros.

(Sadiku, M., et al, 2009) Sadiku, M. N., Alexander, C. K., & Sadiku, M. (2009).

Fundamentals of electric circuits (Vol. 3). New York: McGraw-Hill.

(Hayt, W. H., & Buck, J. A., 2001) Hayt, W. H., & Buck, J. A. (2001). Engineering

electromagnetics (Vol. 6). New York: McGraw-Hill.

(Serway, et al., 2005). Serway, R. A., Jewett, J. W., Hernández, A. E. G., & López,

E. F. (2005). Física para ciencias e ingeniería (Vol. 6). Thomson.

(Mohan, N., & Undeland, T., 2007) Mohan, N., & Undeland, T. M. (2007). Power

electronics: converters, applications, and design. John Wiley & Sons.

(Guru, B. et al., 2003) Guru, B. S., Hiziroglu, H. R., & Brito, J. E. (2003). Máquinas

eléctricas y transformadores. Oxford University Press.

(Krause, et al., 2013). Krause, P., Wasynczuk, O., Sudhoff, S. D., & Pekarek, S.

(2013). Analysis of electric machinery and drive systems (Vol. 75). John Wiley

& Sons.

(Chapman, S. J., 2012) Chapman, S. J. (2012). Máquinas eléctricas (5a. McGraw

Hill Mexico.

(Wildi, T., 2007). Wildi, T. (2007). Máquinas eléctricas y sistemas de potencia.

Pearson educación.

(Cruz, P. & López, J., 2008) Cruz, P. P., & López, J. S. (2008). Máquinas

eléctricas y técnicas modernas de control. Alfaomega.

(Ogata, K., & Yang, Y., 2002). Ogata, K., & Yang, Y. (2002). Modern control

engineering (Vol. 4). India: Prentice hall.



133

6.5.2 Tesis y publicaciones.

(Sánchez, S., & Giraldo, E., 2008) Sánchez, S., & Giraldo, E. (2008). Modelado

del motor de inducción en el sistema de coordenadas de campo orientado del

flujo de rotor. Scientia et technica, 14(39).

(Mejía, C., 2013) Mejía Cáceres, C. (2013). Análisis de los parámetros eléctricos

para la regulación de velocidad optima de motores asíncronos mediante

control escalar con modulación de ancho de pulso.

(Navas Cajamarca, W. P. 2016) Navas Cajamarca, W. P. (2016). Obtención del

modelo dinámico de un motor trifásico de inducción utilizando técnicas de

identificación de sistemas con lógica difusa (Master's thesis).

(Akroum et al., 2013). Akroum, H., Kidouche, M., Aibeche, A., & Boumerdès,

Algeria (2013). Scalar Control of Induction Motor Drives Using dSPACE

DS1104. In International Conference on Systems, Control and Informatics (pp.

322-327).

(Díaz, J. L., & Pardo, A., 2004) Díaz, J. L., & Pardo, A. (2004). Estrategias

avanzadas de control en accionamientos de corriente alterna. Ciencia e

Ingeniería, 25(1), 23-28.

(Alzate et al., 2009) Alzate Gomes, Alfonso., Escobar Mejia, Andres, & Torres, C.

A. (2009). Control vectorial de la máquina de induccion. Scientia Et Technica,

15(43).

(Nachiappan et al., 2012). Nachiappan, A., Sundararajan, K., & Malarselvam, V.

(2012). Current controlled voltage source inverter using Hysteresis controller

and PI controller. In Power, Signals, Controls and Computation (EPSCICON),

2012 International Conference on (pp. 1-6). IEEE.



134

(Singh, S.,2016). Singh, S. (2016) MATLAB Simulation for Speed Control of Three

Phase Induction Motor Drive using V/F Control.

(Shah, D., & Nandi, S.,2007) Shah, D., & Nandi, S. (2007). Analytical Approach

to Design of Slip-Controller for Constant Volts/Hz Scheme Induction Motor

Drive Using Motor Name-plate Details. In Electrical and Computer

Engineering, 2007. CCECE 2007. Canadian Conference on (pp. 393-396).

IEEE.

(García, P., & Rodríguez, M., 2006) García, P. A. P., & Rodríguez, M. J. L. D

(2006). Three-phase induction motor modeling.

(Elfilali, B., 2001) Elfilali, B. (2001). Utilización del Filtro de Kalman como

Estimador de la Velocidad en el Control Vectorial de Motores de Inducción.

(Páramo, B., 2010) Páramo, B. (2010). Modelado y simulación del motor de

inducción incluyendo la saturación. (Bachelor's thesis, Universidad de Sevilla).

(Bort, J. V., 2002). Bort, J. V. (2002). Estudio del modelo matemático del motor

de inducción trifásico. simulación en régimen dinámico. Universitat Rovira I

Virgili.

(Mhaisgawali, M. L., & Muley, S. P., 2013). Mhaisgawali, M. L., & Muley, S. P.

(2013). Speed Control of Induction Motor using PI and PID Controller. IOSR

Journal of Engineering, 3(5), 25-30.

(Laces, W., & Badillo, I. ,2013) Laces, W. A. P., & Badillo, I. A. (2013). Campus

Tehuantepec.

(Alexander, C.K., & Sadiku, M. N., 2013). Alexander, C. , & Sadiku, M. (2013).

Fundamentos de circuitos eléctricos (5a. McGraw Hill Mexico.



135

(Kuo, B. C., 1996). Kuo, B. C. (1996). Sistemas de control automático. Pearson

Educación.

(Mora, J. F.,2008). Mora, J. F. (2008). Máquinas eléctricas (Vol. 5). McGraw-Hill.

(Cetinkunt, S., 2007). Cetinkunt, S. Mechatronics. (2007).

6.5.3 Normas.

(IEC 61800-4, 2002). IEC 61800-4 (2002) Adjustable speed electrical power drive

system Part 4 General requirements – Rating specifications fos a.c. power

drive system above 1000V a.c. and not exceeding 35 kV.

(EN 50598-1, 2013) EN 50598-1:2013 Ecodesign for power drive systems, motor

starters, power electronics & their driven applications - Part 1: General

Requirements for setting energy efficiency standards for power driven

equipment using the extended product approach (EPA), and semi analytic

model (SAM).

6.5.4 Manuales.

(ABB, 2014) ABB Technical Guide No. 7- Dimensioning of a drive system,

Reference Manual (2014).

(Toshiba, 2018) Toshiba Application Note (2018). DC-AC Inverter Circuit.



trujillo, perú 2018

Documents