trompos esféricos simétricos y...
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Trompos simétricos y
asimétricos
Integrantes:
Castro Posadas Ángel Alberto
González Becerra Nayeli Itzel
Lavias Hernández Pedro
Rodríguez Guzmán Alejandro
Rotor rígido
El rotor rígido es un sistema formado por dos cuerpos m1
y m2 unidos por una barra sin masa, de la largo R, ygirando en cualquier dirección pero con el centro demasa fijo.
La ecuación de Schrödinger es:
Si usamos coordenadas esféricas
Separación de variables
• Soluciones
b) Es de la misma forma que para una partícula libre
a) Mas complicada, sustituyendo
La energía se cuantiza
Soluciones de Θ(θ) funciones asociadas de Legendre. Las funciones
de onda completas para el rotor rígido se llaman armónicos esféricos
Cuantización del momento angular
Para el rotor rígido
Los autovalores del operador L² son 1(1+1)ћ²
Igualmente podemos aplicar el operador componente z del momento angular.
Para el rotor rígido los autovalores del operador Lz son mћ
La orientación de L con respecto
a los ejes x, y está
indeterminada, puede ser
cualquiera de las orientaciones
definidas por los conos de
rotación alrededor del eje z.
Esto es debido a que las
funciones de onda del rotor
rígido no son funciones propias
de los operadores .
¿Qué es un trompo?
Es un objeto que esta girando en torno a sí mismo con
respecto a su eje de simetría
Los sólidos rígidos se pueden clasificar de acuerdo a los
valores principales de inercia como:
• Lineales: uno de los principales momentos de inercia 0.
Ia = 0, Ib = Ic ≠ 0. Ejemplo: HCN
• Trompos esféricos: Ia = Ib = Ic. Ejemplo: CH4, SF6
• Trompos simétricos alargados: Ia < Ib = Ic. Ejemplo: CH3Br
• Trompos simétricos achatados: Ia = Ib < Ic. Ejemplo: C6H6
• Trompos asimétricos: Ia < Ib < Ic. Ejemplo: H2O
En el sistema de ejes principales de inercia de tiene que:
Para cualquier trompo se deben cumplir las siguientes
ecuaciones de autovalores.
Donde las dos ultimas ecuaciones resultan de la teoría
general de momento angular.
De izquierda a derecha y de arriba a abajo: CH4 (trompoesférico). HCN (trompo simétrico alargado). C6H6 (trompo
simétrico achatado) y H2O (trompo asimétrico).
El trompo esférico
Los operadores conmutan entre si, y forman un conjunto
completo de operadores compatibles.
La energía de rotación será:
donde B es la única constante rotacional. Vemos que K y M no
afectan a la energía, de modo que un nivel J tendrá una
degeneración gJ = (2J + 1)2.
El resultado se parece a la rotación de las diatómicas, excepto en
la degeneración. Generalmente, las moléculas son trompo
esféricas porque presentan dos o mas ejes de simetría.
El trompo simétrico achatado
En este caso Ia = Ib < Ic o, equivalentemente, A = B > C. El hamiltoniano
es:
Los operadores conmutan entre si, y forman un conjunto completo de
operadores compatibles.
La energía de rotación será:
El trompo simétrico alargado
Ia < Ib = Ic o A > B = C. El operador de Hamilton es:
Las moléculas lineales son un caso limite del trompo simétrico
alargado cuando Ia → 0 (A →∞ ) y, por tanto, K = 0
permanentemente.
El espectro rotacional de absorción de los trompos simétricos esta
formado por transiciones que cumplen:
El trompo asimétrico
Para Ia ≠ Ib ≠ Ic (trompo asimétrico) el calculo de los niveles de energía
es imposible en forma general.
Para calcularlos hay que resolver la ecuación de Schrödinger en
forma matricial.
Un trompo asimétrico (A > B > C) puede considerarse como
intermedio entre un trompo simétrico alargado (A > B = C) y achatado
(A = B > C), pudiendo construirse un diagrama de correlación para
sus niveles de energía.
Gracias por su atención
Bibliografía
• P. Atkins. Physical Chemistry, 6th edition, W. H. Freeman and Co., 1999.
• Lowe P. Quantum chemistry, 3th editión.
• Landau y Lifshiztz, Teoria cuantica (no-relativista), 2ª edición.
