trigonometria-2b

Recuerda:

J. Kepler

La teoría de Kepler (que debe sobrentenderse, era errónea) resultaba muy ingeniosa. Sabía que solo existían cinco sólidos perfectos que podrían construirse en el espacio tridimensional. Se le ocurrió a Kepler que estos cinco sólidos podrían caber exactamente en los cinco intervalos que separaban a los seis planetas (no se conocían más en ese tiempo).

L. Euler

Leonar Euler puede ser considerado como el matemático con mayor número de trabajos publicados en ciencias matemáticas y otras. “Leed a Euler”, es el maestro de todos nosotros, es la frase que solía decir Laplace a sus alumnos y jóvenes matemáticos contemporáneos. Con esta frase mostraba el respeto y admiración que profesaba por Euler. Trabajó en todas las ramas de las matemáticas, y en cada una de ellas hizo aportaciones muy notables; es frecuente encontrar resultados con su nombre.

J. L. Lagrange

Joseph Louis Lagrange nació en Turín en 1736. Son notables sus trabajos en álgebra sobre la resolución algebraica de ecuaciones utilizando fracciones continuas y la separación de las raíces irracionales de una ecuación. Lagrange es el creador de una parte del cálculo denominada cálculo de variaciones.co y filósofo, hijo ilegítimo abandonado por sus padres en el atrio de la capilla de Saint Jean Le Rond. Estudió matemática por su cuenta. En 1747 publica una memoria sobre las cuer-das vibrantes, da la ecuación diferencial que lleva su nombre y la integra. Así funda la teoría de las ecuaciones en deriva-das parciales. Junto con Diderot elabora la “Enciclopedia” en la que trata del cálculo diferencial y las cónicas. Fue secreta-rio perpetuo de la Academia Francesa. Puede considerársele junto con Rousseau, precursor de la Revolución.

• El gran secreto para triunfar es elesfuerzo que garantiza obtener lo quedeseamos.Las personas de éxito vivenenunesfuerzoconstanteporlograrsusmetas.

• Los líderesde éxito sehacen enmarestormentosos,contempestadesencontra;en ladificultad esdonde se forjan losseres superiores; jamás tendrán lascircunstancias adecuadas, pero harándelascircunstanciaslasadecuadas.

• Elqueesdueñodesícuandoestásolo,lollegaasersintardanzaanteotros.

¡ Razona... !Carlos tomó 2 pastillas y media del tipo A cada 3 horas, y una y media del tipo B cada 2 horas, hasta que el número de pas-tillas tomadas fue de 688. ¿Cuántos días duró el tratamiento?

A) 18 días B) 16 días C) 15 díasD) 14 días E) 9 días

2

48RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Son aquellos triángulos rectángulos donde, conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Van a destacar los siguientes triángulos:

1. De 30° y 60° Ejemplos:

60°

30°

2a a

C

BAa 3

60°

30°

C

BA

48

4 3

60°

30°A

323

4

2 B

C


45°

45°A a

a

B

C

a 2

45°

45°A B

C

3

3

3 2

45°

45°A

25

5

B

C

25


37°

C

BA

53°5k

3k

4k 37°

C

BA

53°30 18

24 37°

C

BA

53°35 21

28

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES (30°; 45° y 60°)

30° 45° 60° 37° 53°

seno 21

22

23

53

54

coseno 23

22

21

54

53

tangente 33 1 3 4

334

cotangente 3 1 33

34

43

secante32 3 2 2 4

535

cosecante 2 2 32 3

35

45

Observación:Una forma práctica para calcular las razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es la siguiente: partimos de un triángulo ABC (recto en C). Si queremos las razones trigonométricas de (A/2), entonces prolongamos el cateto CA hasta un punto D tal que: AD = AB; luego el triángulo DAB es isósceles, +BDA = A/2.

49 Por lo tanto: cot A a

c b2 =

+

Entonces: cot cot csc cotAac

ab A A A2 2&= + = +

Análogamente: tan A c ba

ac b

2 =+

=- tan csc cotA A A2& = -

Hallar x en cada caso.

1. 60°

30°

20

x

2. 30°

60°

80

x

3. 12

45°

x

12

45°

4. 8

45°

x

8

45°

5.

37°

53°

40

x

Efectuar:

6. 37°

53°

28

x

7.

53°

37°x

15

8.

45°x

18 245°

9. 30°

10 3

60°x

10. 37°/2

x

60

Nota

A

B

C D

a

bcA/2

A/2

c

16°

C

BA

74°25a

7a

24a8°

C

BA

82°a

a

7a

53°/2

C

BA

a

2a37°/2

C

BA

0 a

3a

5 2

a 1a 5

50

1. Si tan2xcot(60° - x) = 1

Calcular: J = sen3xcos(2x + 5°)

Resolución:

Dato: tan2xcot(60° - x) = 1

Propiedad: Si tanq.cota = 1 & a = q

Entonces en el dato: 2x = 60° - x & x = 20°

Piden J = sen3xcos(2x + 5°) J = sen60°cos45°

J = 23 # 2

2 = 4

6

2. Si sec2x = csc4x, hallar:

M = cos3x . cos4x

Resolución:

Dato: sec2x = csc4x

Propiedad Si: seca = cscq & a + q = 90°

Entonces en el dato: 2x + 4x = 90° & x = 15°

Piden:

M = cos3xcos4x M = cos3(15°)cos4(15°) M = cos45°cos60°

M = 22 # 2

1

M = 42

3. Si sen2x = cos40°

y tan3xcoty = 1

Hallar: y - x

Resolución:

De la primera condición: sen2x = cos40°

Se cumple: 2x + 40° = 90° x = 25°

De la segunda condición: tan3xcoty = 1

Se cumple: 3x = y & 3(25°) = y = 75°

Piden: y - x = 75° - 25° = 50°

4. Si: cosq = cos260°; q agudo.

Calcular: C = secq + tan2q

Resolución:

cos60° = 21

Entonces: cosq = 21

412

=c m

1

�

4x

x = 16 1-

x = 15

Piden: C = secq + tan2q

C = 4 + 115 2

c m

C = 4 + 15 = 19

5. Si tan3x = sen(x + 50°)sec(40° - x)

Calcular:

G = sec4x + cot22x

Resolución:

De la condición:

tan3x = sen(x + 50°)sec(40° - x) tan3x = sen(x + 50°)csc(50° + x) tan3x = 1 & 3x = 45° & x = 15°

Piden:

G = sec4x + cot22x G = sec4(15°) + cot22(15°) G = sec(60°) + cot2(30°) G = 2 + 3 2^ h = 2 + 3 = 5

51EvaluaciónEvaluación Día:

Apellidos y nombres:

Año: Sección:

Mes: Año:

CALIFICACIÓN

Tema:

1. Si: sen4xcsc(x + 60°) = 1 Calcular: tan(2x + 5°)

A) 1 B) 3 C) 2

D) 21 E) 3

1

2. Si tan2xcot40° = 1 Hallar: sen3x

A) 3 B) 23 C) 2

D) 53 E) 5

4

3. Si tan2x = cot(x + 30°) Hallar: L = sec3xsec2(2x + 5°)

A) 3 B) 3 C) 6

D) 4 E) 23

4. Si tan3xtan(x + 10°) = 1 Hallar: L = sec3x + csc2(2x + 5°)

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

5. Siendo: tan4xtan(x + 10°) = 1 sen2xcscy = 1

Calcular: R = tan(3x - 3°) + csc(y - 2°)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Sabiendo que: senxcsc(60° - y) = 1

Calcular:

P = tan x y2+c m tan(x + y)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 31 E) 3

3

7. Sabiendo que:tan3xcot(x + 40°) = 1

Calcular: sen3x (x: agudo)

A) 23 B) 2

1 C) 23

D) 53 E) 5

4

8. Hallar x si: sen4xsec(2x + 18°) = 1

A) 6° B) 8° C) 10° D) 12° E) 16°

9. Si sec2x = cscx Hallar L = cscx + sec2x

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

10. Siendo: sen3x = cos2x Calcular: Q = sen2 x

35c m. tan(3x - 1)°

A) 169 B) 9

16 C) 31

D) 2 E) 4

53

1. Calcular:

senM 2 3 60 6c= +

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Evaluar:

A = 10sen37° + 6tan53° + 45sec2 c

A) 18 B) 12 C) 16 D) 14 E) 13

3. Calcular:

S = tan60°csc60° + 3 2 csc45°

A) 6 B) 14 C) 12 D) 8 E) 10

4. Efectuar:

tanM 60 12 c= +

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

5. Calcular:

sec csc senA 45 45 14 30c c c= +

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

6. Calcular:

tan cotS 16 37 302c c= -

A) 3 B) 2 C) 4 D) 6 E) 5

7. Efectuar:

T = 20sen53° - 8sen260°

A) 10 B) 14 C) 17 D) 6 E) 4

8. Efectuar:

. cot tanI 18 60 602 2c c= +

A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 5

9. Calcular:

sen tanM 40 45 7 452 23 c c= +

A) 5 B) 2 C) 3 D) 1 E) 9

10. Calcular:

sec csccot sen cosQ 60 30

20 53 6 30 4 60c c

c c c=

++ +

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

11. Calcular:

sectan cotS 60 5

53 53c

c c=

+-

A) 37 B) 7

3 C) 81 D) 12

1 E) 61

12. Calcular:

sentan secA 10 37 4

60 452 2

cc c

=+

+

A) 1 B) 21 C) 2 D) 3 E) 5

13. Hallar:

secM 12 30 92 c= +

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7

14. Calcular:

tan

sen cosR45

45 452

2 2

c

c c=

+

A) 8 B) 6 C) 3 D) 1 E) 2

15. Hallar:

tanA 27 53 12 c= +

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

16. Calcular:

M = 18cot260° + cot245°

A) 11 B) 7 C) 19 D) 20 E) 15

17. Efectuar:

R = 5sen53° + 6tan53° + cot45°

A) 15 B) 16 C) 13 D) 18 E) 14

18. Calcular:

P = sen45°cos45° + cos60°

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

19. Efectuar:

cosY 20 30 12 c= +

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 2

20. Calcular:

A 6 3= (sen 60°)

A) 12 B) 9 C) 3 D) 16 E) 30

21. Efectuar:

8 ( 45 )cosR 2 c=

A) 4 B) 2 C) 3 D) 16 E) 8

22. Efectuar:

19 4 ( 60 )cscY 33 c= +

A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6

54 23. Efectuar:

8 60 . 45sen senS 6 c c=

A) 6 B) 4 C) 12 D) 9 E) 15

24. Calcular:

P = 32[cos30° . sen45°]2

A) 12 B) 9 C) 18 D) 60 E) 64

25. Calcular:

( )tan tanY 24 37 53 1c c= + -

A) 6 B) 8 C) 5 D) 4 E) 7

26. Calcular:

N = sec245° + 5tan245° - csc245°

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 1

27. Evaluar:

sec sec cotK 40 37 6 53 4 45c c c= + +

A) 6 B) 8 C) 17 D) 12 E) 15

28. Calcule:

M = 6sen45°cos45° + 5sen53°

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

29. Calcular:

R = 3cot45° - 3 tan60° + sec60°

A) 2 B) 3 C) 5 D) 1 E) 0

30. Efectuar:

Y = 5sen37° + cot230° + csc30°

A) 9 B) 4 C) 7 D) 10 E) 8

31. Si: sen2x . csc(x + 40°) = 1, calcular: sen3x/2

A) 21 B) 1 C) /3 2

D) /22 E) 53

32. Si: sen3x = cos3x Hallar: sen2x

A) 1 B) 21 C) 4

1

D) 4 E) 31

33. Si: sen3x . csc48° = 1 tan(x + 10°) . cot2y = 1 Calcular: J = tan2(x + y + 1°) . sen2(4y + 8°)

A) 113 B) 12

1 C) 21

D) 41 E) 4

3

34. Si: tan5x . cot(x + 40°) = 1, calcular: sen3x.

A) 1 B) 21 C) /22

D) /3 2 E) -21

35. Hallar: J = sen3x . cos4x, si: sen(3x + 15°) . csc(x + 45°) = 1

A) 21 B) 4

1 C) /22

D) /2 4 E) /3 4

36. Si: cos(3x - y + 10°) . sec(x - y + 50°) = 1, calcular: J = sec3x . cos2(2x + 5°)

A) 2 2 B) /2 2 C) 1 D) 2 E) 2

37. Si: sec2x = csc4x, hallar: J = cos3x . cos4x

A) /6 4 B) /6 2 C) /2 2 D) /42 E) /43

38. Señalar el valor de: C = (sen230° + sen445°)tan260°

A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 2,5 E) 3

39. Si: cosq = cos260°; q es agudo, calcular: C = secq + tan2q

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

40. Siendo: tan3xcot(x + 20°) = 1 sen2x = cos(3y + 10°) Donde x e y toman su menor valor positivo; calcular: S = 4sen3x + 2cos3y + cot2(x + y)

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

41. Sabiendo que: senx . csc(60° - y) = 1; calcular:

.tan tanP x y x y2=+

+c ^m h

A) 1 B) 2 C) 3

D) 31 E) 3

3

55CÁLCULO DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO

Es el procedimiento mediante el cual se calculan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y de un ángulo agudo, también conocido. El criterio a emplear es el siguiente:

= R.T. (ángulo conocido)lado desconocidolado conocido

Despejándose de esta expresión, el lado incógnita, la R.T. a colocar responde directamente a la posición de los lados que se dividen respecto al ángulo conocido.Se tienen los siguientes casos:

I. Conocidos el ángulo agudo y el cateto adyacente a dicho ángulo

C

L

xy

A B

Aplicando:

xL

= tana & x = Ltana

yL

= seca & y = Lseca

Es decir:

C

LA BA B

C

L

Lsec Ltan

II. Conocidos el ángulo agudo y el cateto opuesto a dicho ángulo

C

L

x

y

A B

Aplicando:

xL

= cota & x = Lcota

yL

= csca & y = Lcsca

Es decir:

III. Conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa del triángulo

C

L x

yA B

Aplicando:

xL

= sena & x = Lsena

yL

= cosa & y = Lcosa

Es decir:

56

Ejemplos:

A

CB

L

CA

B

L

A B

C

L

BCL

= cota & BC = Lcota

ACL

= csca & AC = Lcsca

ABL

= tana & AB = Ltana

ACL

= seca & AC = Lseca

ABL

= sena & AB = Lsena

BCL

= cosa & BC = Lcosa

Hallar x en cada caso.

1. xm

2. xa

3. x

m

4. x

n

5.

x

a

Efectuar:

6. x

430°

7. 2

x60°

8.

37°

2

x

9.

x30°

3

10. 10x

45°

57

1. Hallar al área del siguiente triángulo:

�

k

Resolución:

Del gráfico:

�

k

A

B

C

BC = ksenaAC = kcosa

Área de un triángulo:

.AC BC2 = .sen cosk k

2a a

= .sen cosk2

2 a a

2. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se sabe que los ángulos congruentes miden a, mientras que el lado desigual mide L. Hallar uno de los lados congruentes.

Resolución:

Sea el triángulo ABC:

�

LL/2

A

B

C

x

�H

La altura en un isósceles es también mediana, entonces: HC = L2 Se conocen el ángulo agudo y el cateto adyacente, entonces:

x = L2 seca

3. Obtener x: (O centro de la circunferencia)

�O

A

B

H

R

x

Resolución:

Se deduce que OB = R

En el OHA (conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa):

OH = Rcosq HA = Rsenq

Entonces:

x = OB - OH x = R - Rcosq x = R(1 - cosq)

4. En la figura, hallar x:

A

B

C

m n

x

� �

Resolución:

Del gráfico:

A

B

C

m n

�

x

H

�

Trazamos la altura BH.

Se conocen el ángulo agudo y la hipotenusa, entonces:

AH = mcosa HC = ncosb

Piden x:

x = AH + HC x = mcosa + ncosb

5. Hallar x en:

�

x

m

58 Resolución:

En el gráfico:

�

x

m

90° – ��

msen�

A

B C

D

En el ACD (conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa):AC = msena

En el ABC (conocidos el ángulo agudo y la hipotenusa):

x = ACcosa x = msenacosa

6. Hallar x:

�m

x

A

B

C

D

H

Resolución:

En el gráfico:

�m

x

A

B

C

D

H�90° – �

msen�msen�

En el ABC: BC = msenq & CD = msenq

En el CHD:

x = CDsenq x = msenqsenq x = msen2q

7. De acuerdo al gráfico, hallar el área de la región sombreada.

A

B

D

C

L�

�

Resolución:

Del gráfico, en el ABD: BD = Lcotb En el ABC: BC = Lcota

Pero: CD = BD - BC CD = Lcotb - Lcota = L(cotb - cota)

Piden el área del triángulo:

AD ACD = CD AB

2#

AD ACD = ( )cot cotL L

2#β α-

AD ACD = L22 (cotb - cota)

8. En un trapecio isósceles, los lados no paralelos son iguales a la base menor y forman un ángulo agudo q con la base mayor. Si la base menor mide L, ¿cuál es el perímetro del trapecio?

Resolución:

Sea el trapecio:

A

B C

DP QL

L

L L

� �

Perímetro = AB + BC + CD + AD Perímetro = L + L + L + AP + L + QD Perímetro = 4L + AP + QD

Hallando AP y QD:

AP = Lcosq = QD

Entonces:

Perímetro = 4L + 2Lcosq Perímetro = 2L(2 + cosq)

9. Del gráfico, hallar x.

�

45°

mA P x C

B

Resolución:

Del gráfico:

�

45°

mA

B

CP

x

x

45°

En el PCB(45°; 45°): BC = x

En el ACB: x = (m + x)tana x = mtana + xtana x - xtana = mtana x(1 - tana) = mtana

x = tantanm

1 aa

-

59EvaluaciónEvaluación Día:

Apellidos y nombres:

Año: Sección:

Mes: Año:

CALIFICACIÓN

Tema:

1. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide b, y el cateto adyacente a él mide L. Expresar el área de la región triangular.

A) L2tanb B) L2senb C) L2cotb

D) L22 tanb E) L2

2 cotb

2. Obtener x en:

�

m

x

A) msena B) mcosa C) msecaD) mcsca E) mtana

3. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide q y el cateto opuesto a dicho ángulo mide L. Hallar la hipotenusa.

A) Ltanq B) Lcotq C) LsecqD) Lcscq E) Lcosq

4. De acuerdo al gráfico, calcular el área de la región sombreada en función de q, m y n.

A B

C

D

E

m

n

��

A) mn B) mn/2 C) mn2 senq

D) mnsenq E) mn2 senq

5. Determinar x en:

A

B

CH

�

�

m x

A) msenqsena B) msenqseca C) mcosqsena D) msenqsecq E) mcosqseca

6. Si en el gráfico AB = BC, calcular tana en función de q.

A

B

C

D

� �

3

2

A) 0,5tanq B) 0,5cotq C) 0,25tanqD) 0,25cotq E) 0,75tanq

7. Hallar el área de la región sombreada en función de L y q sabiendo que AC = L.

A

B

CH

�

A) L2cosqsen2q B) L2cos2qsenq C) L2cos3qsenq D) L2cos3qsen2q

E) L22cos3qsenq

8. Hallar x.

2�

R

x

A) Rcotq B) Rtanq C) R(cotq + 1) D) R(tanq + 1)E) R(senq + 1)

9. Hallar x.

� R

x

A) R(cscq + cotq + 1) B) R(cscq + 1)tanq C) R(cscq + 1)cotq D) R(cscq + 1)cosq E) R(secq + 1)cotq

10. De la figura, hallar x.

� �

n

n

x

A) n(cota + cotb) B) n(cota + cotb + 1) C) n(tana + tanb + 1) D) n(cota + tanb) E) n(tana + cotb)

61

1. Hallar x en función de a y q.

xa

A) acosq B) a2 secq C) atanq

D) asenq E) acotq

2. Hallar x en función de m y a.

xm

A) mcosa B) msena C) mtanaD) mcota E) mseca

3. Calcular y en función de a y a.

x

a

A) atana B) acota C) asenaD) acosa E) aseca

4. Calcular x en función de a y n.

n

x

A) ncosa B) nsena C) ntanaD) nseca E) ncota

5. Calcular y en función de q y m.

m

x

A) msecq B) mcscq C) mtanqD) msenq E) mcosq

6. Calcular x en función de a y b.

2x a

A) cosa2 b B) tana

4b C) tana

2 b

D) cota2 b E) sena

2 b

7. Calcular x.

20°

a

x

A) atan20° B) asec20° C) acsc20°D) acot20° E) asen20°

8. Calcular x.

40°a

x

A) asen40° B) acos40° C) atan40°D) acot40° E) asec40°

9. Calcular y.

80°

ax

A) asen10° B) acos10° C) acot80°D) atan80° E) asec80°

10. Calcular x.

60°

x 4

A) 4 3 B) 3 3 C) 3 D) 2 3 E) 4 2

11. Hallar x.

45°

x 2

A) 22 B) 3 C) 2

D) 42 E) 6

62 12. Hallar x.

45°

2x

A) 4 B) 4 2 C) 6 2

D) 8 2 E) 2 2

13. Hallar a.

37°

6

a

A) 9 B) 8 C) 10D) 11 E) 12

14. Hallar x.

x

53°20

A) 18 B) 14 C) 16D) 15 E) 12

15. Hallar x.

x

30°

8

A) 8 3 B) 6 3 C) 6D) 10 E) 9

16. Hallar x.

x

2037°

A) 15 B) 16 C) 18D) 12 E) 14

17. Hallar x.

x

24

53°

A) 26 B) 28 C) 32D) 36 E) 30

18. Hallar x.

x

cot7°7°

A) tan7° B) 2tan7° C) 2sen7°D) sec7° E) 1

19. Hallar x.

acsc

x

A) 1 B) asenq C) 4D) a E) senq

20. Hallar x.

45°

x 20 2

A) 10 B) 20 C) 5D) 5 2 E) 10 2

21. Hallar x.

37°

60

x

A) 52 B) 42 C) 32D) 36 E) 48

22. Hallar x.

mx

2

A) mcscq B) mtanq C) mtan2qD) mcot2q E) mcsc2q

23. Hallar x.

x

a

A) asena B) acosa C) acotaD) aseca E) atana

6324. Hallar x.

x

60°

3 3

A) 3 B) 2 C) 6 D) 4 E) 5

25. Hallar x.

x

a sen2

A) a B) a2sen2q C) a2senqD) a2tanq E) a2

26. Hallar x.

37°

27

x

A) 40 B) 36 C) 42 D) 48 E) 45

27. Hallar el perímetro del triángulo.

y37°

x6

A) 14 B) 24 C) 18 D) 22 E) 26

28. Hallar x + y.

45°

x

y

4 2

A) 6 B) 10 C) 12 D) 11 E) 8

29. Hallar x + y.

30°

y x

2 3

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 15

30. Hallar x.

(a –b )

x

A) atana - b B) cotba a C) (a + b)tana

D) (a - b)cota E) (a - b)sena

31. Hallar x.

x

2

60°

A) 24 3 B) 3

4 3 C) 1

D) 32 3 E) 4

32. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) la hi-potenusa es m y m+A = q. Hallar el perímetro del triángulo.

A) m(1 + tanq + cosq) B) m(1 + senq + cosq) C) m(1 + secq + cosq) D) m(1 + secq + tanq) E) m(1 + cscq + cotq)

33. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), AB = m y m+A = q. Expresar el área del triángulo en términos de m y q.

A) m2tanq B) 0,5m2tanqC) m2senq D) 0,5m2senqE) 0,5m2senqcosq

34. Del gráfico hallar x, si: BD = AB y AC = n.

x

A B

D

C

A) n(senq - tanq) B) n(tanq - cosq)C) n(senq - cosq) D) n(cosq - senq)E) nsenqcosq

64 35. Del gráfico, hallar el perímetro del triángulo ABC, si: AB = BC.

2

B

A n C

A) n(cscq + 1) B) n(cscq + 2) C) n(secq + 1) D) n(secq + 2) E) m(cotq + 1)

36. Expresar el área del triángulo ABC en función de q y n; si: AB = BC = n.

A B

C

A) n2senqcosq B) n2senqC) n2cosq D) nsenqcosqE) 2n2senqcosq


x

m

DAB

C

E

A) mcotq B) msecqC) msec2q D) mcot2qE) mtan2q


m

x

CA

B

A) msenq B) msen2q

C) senm2 2q D) senm

2 q

E) senm4 2q

39. Del gráfico hallar x, si ABCD es un cuadrado. BF = n.

B

A D

C

E

xF

A) nsenq B) ncosq C) nsecq D) ncscq E) ncotq

40. Hallar tanq en función de a.

A

CBM

A) tana B) 2tana C) 2cota

D) tan21 a E) cot2

1 a

41. Hallar x, del gráfico.

A

CB

D

nx

A) nsenqcota B) ncotatanq C) ntanacotq D) ntanqcosaE) ncscqcota

42. Hallar x, del gráfico.

xA D B

C

n

A) n(cosa - senq) B) n(cota - senq)C) n(cota - tanq) D) n(tana - tanq)E) n(cota - cotq)

43. Hallar x, del gráfico.B

A D

m C

x

n

A) msenq + ncosq B) mcosq + nsenq C) (m + n)senqcosq D) mtanq + nsecq E) msecq + ntanq

trigonometria-2b

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