trigo no me tria
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Trigonometría
Ángulo Trigonométrico J
lado fina/
Origen del rayo O<OE---....t.,-------1..,.. lado inicial (vértice) A
= m .¡;o; es negativa
fado final
. (Sistemas de M~dición A1rgular }
1. Sistema Sexageslmal o lnglés {S) Medida del ángulo de 1 vuelta = 360"
Equivalencias: 1" = 60' 1' = 60"
1.:; 3600"
2. Sistema Centesimal o Francés !Cl Medida del ángulo de 1 vuelta = 4009
Equivalencias:
19" 100m
1"' = 1005
19 = 100005
3. Sistema Radial o Circular (Rl Medida del ángulo dé 1 vuelta = 2n rad
( Relación entre Sistemas )
1 vuelta = 360" = 4009 = 2 n rad
Eguivalenclas fundamentales:
SemaJta. N• 1
n rad = 180" n rad = 200g
g• = 109
rProhibidtr 511 reoroáucciótt ;• veutal Pd11.22
UNMSM- CENTRO PREUNIVERS1TAR10
Fórmula de conversión:
Notación: S es el número de grados sexagesimales C es el número de grados centesimales R es el número de radianes
equivalentemente:
S C R _,_,_=k 180 200 7t
S C R . -=-=--=¡ 9 -¡o n/20
EJERCICIOS DE CLASE DE LA SEMANA N• 1
Ciclo 20!1-11
S= 180 k e= 200 k R=11k
S= 9 t
e= 10 t
R=~ 20
1. Un ángulo de medida positiva mide s• y e o, tal que 5S 2- 4C2 - BO =O. Si el ángulo
·d (S)" · [\ mi e -; , calcule la medida de [\ en radianes.
3 A) -rad
40 9
B) -rad 50
7 C) -rad
30 9
D) -rad 20
E) 2rad 20
2. los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden., ~rad y .(20u)g, cafcute la 70
diferencia de ambos ángulos en radianes.
91! A) arad B) ~rad
8 C)
311 rad
8 D} Sn rad
8 E) .0..rad
8
3. Las medidas de un ángulo son a• y bg respectivamente. Si ~ = b; 5
, determine la
medida de dicho ángulo en radianes.
2n A} -rad
3
1{
B) ¡rad C) ~rad 3
D) .'.:rad 6
E) ~rad 2
4. Con los datos que se muestran en la figura y sabiendo además, que 2x + 3y = 35;
calcule x- y.
A} 5 B) 8 C) 10 0}'6 E) 12
Semana _N•J
3009
(Proltibida sú reoroducción l' venia) Pá!!. 23
UNMSM- CENTRO PREUNJVERS!TARIO Ciclo ZO ll·fl ·----------
5, X (X)0
En la figura, a"" 4
; rad, ~ j') y e"" (56- x)0• Halle la medida del ángulo ll en el
sistema radial.
A) ~rad ¡¡
4 8) erad
C) ~rad D) ~rad 8 5
El ~rad 3
6. Si a"" 259200'' y p = SOOOm, halle a+ p en radif!nes.
4¡¡ A) -rad
13 B) 20n r;ad
13 C) ~rad
20 D) 13
¡¡ rad 4
E) 711: rad
20
7. La suma de las medidas de dos ángulos es 4080' y su diferencia es 40". Halle la medida del mayor ángulo en radianes.
A) 13n rad
45 8) 2Z!::rad
45 451!
C) -rad 13
D) ~rad 17
E) ~rad 45
8. Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero son 4x•. 2xg, ~rad y (í ,3x 8)". . 200
9.
-o-1 Silasumadelmenorymayoránguloes abe de ,halle a+b+c+d+e.
A) 14 B) 18 C) 12 D) 15 E) 20
Halle el valor de la expresión n(j1-1Cirad+;t rad)
360n" -1 80"
A) 1 8) C) 2rr-1 O) E) 1
258 360 1l 259 1l
10. Un ángulo mide a' y bm en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente.
Si ab- 2a' + b2
= 208, calcule su medida en radianes. b~a
A) ...:.::._rad 100
8) ....!:._rad 180
C) .-..?:_rad 360
O) ...:.::....rad 200
CLAVE.S· l.B2. C3.E4.A 5.D 6.C 7.A
Semo:11 a N' 1 (Prollibida :w rtmroducci6n v I'<!Hlul
E) ~-rad 540
Pá1!.24
VNMSM-CENTRO PREVNIVER:S11AJUU
Trigonometría SEMANA N" 2
Sector y trapecio circular
Sector circular:
cloldretJior r
""' o< e< 2n
erro d• rcrmforencla
Longitud del arco (Ll y Área del sector($)
• Longitud de arco:
B • Area del sector:
Trapecio circular:
L • Area del trapecio circular:
B
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 2
1. En la figura, AOB y DOC son sectores circulares. Halle el área del trapecio circular ABCD.
A) 81tcm2
C) 10rrcm2
E) g,{ cm2
B) 12ncm2
0) 6rrcm2
o
e 2. Con los datos de la figura, halle el área del trapecio circular ABCD.
A) 3
" cm' 5
C) 2" cm' 5
E) 4
" cm' 5
Semana N• 02
B) 6
" cm' 5
O) 7
" cm' 5
D
o
e (Prohibida su reproducción y venta)
2L1
Pág. 28
IJNMS/Jif-,CENTRO PREIJNIVERSITAJliO
3. En la figura. AOB y DOC son sectora.s~rculares. Si 00
=.!,halle_;_. . DA 2 S2
A)_! 2
8).! 4
A
c)3. 3 o
o)! a
E)! 8
B
4. En la figura. COD, BOE y AOF son sectores circulares .. Halle el área del trapecio circular ABEF.
A) 115 u2
8) 110 u2
C} 100 u2 o 42u
D) 90 u2
E) 105 u2 o
5. En la figura, O es el centro de la semicircunferencia de radio 6 cm. Si ACD es un sector circular, halle el área de la región sombreada.
B) 9(n- J3} cm2
C) 18(1t + /3) cm2
O} 18(n- /3)cm2
. E) 9(2n- J3) cm2
Senuma N• ()1 (ProJ!íbida s11 reproducción y venta) Pág. 29
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 21Jll-II
6. En la figura, OACD. es un cuadrado de lado a cm, AOD y BOC son sectores circulares. Halle el área de la región sombreada.
7.
'1 A) -a2 cm 2
3
1 C) -a2 cm 2
2
E) ( ~+ rcJ. cm 2
\ 4
En la figura,' AOB y DOC son sectores circulares. Si el área del trapecio circular .li.BCD es 3(3x + 1)rr cm2
, calcule su perlmetro. o
A) 8(2n + 3) cm
B) 8(rc + 3) cm o
C) 4(2rr + 3) cm
D) 5(2n + 5) cm
E) 4(2rr + 5) cm
8. En la figura, AOB y COD son sectores circulares; OA = 2AC y el perímetro del sector AOB es 20 cm. Calcule el área del sector COD.
e A) 32 cm2
A
B) 36 cm2
;j C) 20 cm2 o
D) 40 cm2 ¿El cm
E) 24 cm2 o
Semmw N• 02 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 30
UNMSM-CENTRO PREUNIVERS!TAR/0 .~ic/q2(JIJ-II
9. En la figura, e! área del sector circular COD es al lírea del trapecio cil'ttular COBA corno 1 es a 8. Calcule la longitud del arco AB.
A A) 16 cm
B) S cm
C) 20cm o O) 12 cm
E).24 cm 8
·1 O. En la figura, AOB y COD son sectores circulares. si R + r = 10 u, L, + Lz" n y el área del trapeck>"circular ABCO es 2n u2, halle el área del sector circular COD
A) 39:n u' 10
C) 32n u'
E) 24n u' 5
0) 53¡¡ u' 20
o
e
CLAVES l.C 2.DJ.D 4.E S.D6.C7.B8.B9.DlO.B
Trigono1netria
§..\:MANA N" 3
R.4.ZOl1lES TRIGONOMÉTRIC.4S DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.-
Sea d triángulo rectángulo ACB. definimos:
a b seno.=··· ; coso.
e e
e e sec rt cscr1 ~ -b a
PROPIEDADES:
íi) O < sen o. < 1 ; O < coso. < 1
iíi) senc,csco." 1 ; cose seca.= 1 ; tg actg-:x = 1
Semana N• 3 (Proltibida su reproducciótr y venta) Pág. 34
UNJY/SJU-CENTRO PREUNIVERSITARJO Ciclo 2011-IJ
EJERCICIOS DE LA SEMANA N" 3
1. En la figura, se tiene BC = AD. Calcule ../58 (sena+ cosa) - sec~.
A) 33 4
C) 27 2
E) 35 2
B) 35 4
D) 25 4
~8 A o 4u e
2. En el triángulo ABC, de la figura, se tiene que ctgA 3ctg8 = O. Calcule
./3 (senB + tgA + J3 cosB).
A A)~ B)
~b 2
C) 3 0)4
B a C E) 1
3. Para el ángulo a., de la figura, se cumple que tga. =~·Calcule JfO (3csc(9 +a.)+ cose].
A) 10
8) 14
C) 11
D) 13
E)12
A
~ s 0 e
4. En un triángulo rectángulo de ángulos agudos o: y ~ se cumple que tga. · ctg[l = 5.
5.
Calcule ( 1 - ,/6 )(tg~ + cscet}.
A)5J5 B) 4..Í5 C)-4./5 D)-3.J5 E)- .,{5
. . . senC+senA El tnángulo ABC es recto en B. St 6 es un angulo agudo y csce ;;: ,
calcl!le el valor de 2 ~tgA + tgC · ctg6(senA- senC).
A) 4 8) 2 C)- i o¡i 2
cosC-cosA
E)1
Semana N' 3 (Prolíibida su reproducción y venta) Ptig.35
UNi11SM-CENTRO PRETJNIVERSJTARIO Ciclo 2011-11
6. Con los datos de la figura. calcule 25sena · tg~.
7.
8.
9.
A) 24
B) !_ 25
C)7
5' ~JB /21-3 :::jo.
0)25 AL- st-1 e
E) 24
Si e es un ángulo agudo y sece 3, halle el valor de ctg2!-4
A)4 B) 3 C)6 O) 4('1 ·• .J6) E) 4( 1 J6)
Si
A) 5 6
a 2 = -,calcule sec(90" -a) ctga, a. agudo. 3
B) 3 2
C) ~ 5
D) 3_ 3
E) 3 5
El ángulo a es agudo y su seno es mayor que su coseno. Si sena + cosa. =
sena· cosa.= 6
calcule .,fi3 (sena- coso:).
A)2 8) 1,8 C) 2,1 O) 1,6 E) 1
1 O. Con los datos de la íigura y teniendo en cuenta que M
términos de cr.
A) seccr + cíga
B) csco. + tgu
C) :secu + tga
O) seccr + csco:
E) ctga. + tgo.
CLAVES l. B 2.D 3. D 4. E S.B 6.E 7.A !U~ 9. E lO.C
Semana .1\f" 3 (Prohibida su reproducción y ¡•e;zta)
5 y
Pág. J6
UNwfSM-CENTJW PKEUNIVERSJTA.RJO Ciclo 1011-II
Trigonometría
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
u+ p = 90" .:::;, RT(a.) CO RT{~)
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES.
2. í. Razones trigonométricas del ángulo de 45"
':.'
. . '2 . · sen 45" = -11 -"'= cos 45" ·
. ' ·2 '
tg 45" = 1 "' ctg 45"
sec 45" = .{2 = ese 45'
2.2. Razones trigonométricas de los ángulos de 304 y 60"
sen 30":::: ..!.::: cos 60" 2
cos 30" = /3 = sen 60" 2
tg 30" = J3 = ctg so• 3
2.3. Razones trigonométricas de los ángulos de 75' y 15"
/6-./2 sen 15" = = cos 75"
4k 4
(JG-/2 )k /6+./2 cos 15' = =sen 75" 4
Semrma i'l'fJ4 (Prollibida ·su reprodutción y wmta) Pág. 29
UNivfSM-CENTRO PREUNIVERSIT.ARIO Ciclo 2011-ll
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 4
1. Sí sen(x-1o•)sen(y+60")=cos(y+60")cos(x-10•), siendo x-10"; y+60"
ángulos agudos, calcule tg(x +y+ 35") + sen{x + 20•)- cos(y + 30").
A) 2 C) .fi +./3 O) 2-.f3
2. Si tg4a-tg(4~+10•)=1, 4a y 4¡.1+10• ~n ángulos agudos, calcule el valor de la
expresión 4 cos( a+ 13 + 40•)+ ctg (2a. + 2~ ~b).
A) 4 3
B) 3 4
C) 3 2
D) 2 E) 3
3 Si csczz· ·Ctga +Sec aa•.tg(90"- a.)=3csc22° ·COS (13 -12~)-csc(102'- f3) + sec 68"'
donde 2a y 13-12• son ángulos agudos, calcule el valor de 5cos2a.
A) 3, 5 8) 2 C) 3 O) 4 E) 2,5
4. Si 5x- 7• es agudo, a y 13 ángulos complementarios y
cos(gQ• _ n) + cos 13 _ cos (5x -7•) · tg (90•- et) -ctg (90• -13) sen (97•- 5x) · ctg2 (90" -13) '
calcule el valor de .f3 sen~+(.J3 -2)ctg(%).
A) O, 2 B) O, 5 C) O, 3 D) O, 4 E) 0,6
5. Si 3o: y 2j:\ son ángulos complementarios, halle el valor de la expresión
sec(~+513) 2 +tg(3a+2P).
osee; -3~) 2
A) i 8) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. Si tg5x-tg(3y + 10•),1, 5x y 3y+10• son ángulos agudos, calcule el valor de la
expresión·
2 cos{Sx + 3y- 35•) + csc(125• - 5x- 3y) .
A) 3/2 8) 2/2 C) .f2 D) .3./3 E) 2/3
Semall(l N'04 (Prohibida su reproducción y ve:nta) Pág. JO
UNi11Sil-1-CEl'iTRO PREUNTVE"RSJTAJUO Cielo 2011-Ir
7. 1 2x - 1 t A 5x + 4 Sean et y ~ ánguos complementarios tales que tga=--- y 9~-'"' v+
3,
7x-4 ...
x > 1. Calcule ctg~ + Ji cscr:!:... 2 2
A) 20 8) 15 C) 19 D) 16 E) 17
8. Si sen(2x+y)•·sec(5x+3y)•-1=0 y tgx•·tgBO·=·l, calcule
tg(3x + 3y)"+sec(5x +2y)". (O< x < 12, O< y< 10).
A) 3 8) 2.f3 C) 2,5 O) 3,5 E) 2 + J3
9. Dos lados de un triángulo T miden 5 cm, 7 cm y el coseno del ángulo
determinado por ellos es ~.Calcule el área de la región limitada por T. 14
15./3 , 15./3 • C) 4 r;;3cm > A) ---cm B) --cm vJ· 4 3
10. Con. los datos de la tlgura, calcular ese a.
25 f>..)
24 5
8) -4
C) 25 22 7
D) 4
E) 25 7
CLAVES
A (.f. ~
4cm
o
f:li
1
1 ¡ ¡
._de
1. B 2. E 3. C 4.B 5.B .6.B 7. E 8.A 9.A lO.B
E) 15..fi 2 --cm
2
Trigonotnetria
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
1.1. ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Es el ángulo que tiene su vértice en el origen de un sistema coordenado rectangular, su lado inicial en el semieje positivo OX.
y b.Y
Lado a in.ir.ial
X X o Lado inicial
~Lado Lado )f. .final final a>O ~<O
1.2. ÁNGULOS COTERMINALES
Son ángulos en posición normal cuyos lados finales coinciden.
Sean cr. y ~ dos áng\llos coterminales, entonces
RT (a.) = RT (~)
donde RT: Razón trigonométrica
i.3. RAZONES TRIGONOMÉTRlCAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
x =abscisa
y= ordenada
"'- P¡x,y) l -----y
' l l
' --x---'i-:!o--'-------~>- x r= Jx. 2 + •/ ; r >O
ordenada y ctg a=
abcísa J( s~n a= ---- =- =-
radio vector r ordenada y
abclsa X radio vector f cosa.= :::- seca= =-
radio vector abcisa X
tg a= ordenada =1. radio vector r
ese a.= =-abcisa X ordenada y
1.4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGUbOS NEGATIVOS
sen(-o:)=-1. ==-sen a r
cos(-a)= ~ cosa r
y tg( -a)=--=- tg tt
X
X ctg(-a}=-- =-ctg o:
y
sec( -a)=!..= seca X
, t r csc 1 -a)"'-- .. -ese a. y
1.5. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES
sen a cesa tg a ctg a seca ese a IC + + + + + + IIC + - - - - + IIIC - - + + - -IVC - + - + -
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 5
1. Sean a. y () ángulos cotenninales tales que a. pertenece al tercer cuadrante y
5cos2a + 13cosa: + 6 =O. Calcule el valor de ctga. + cscf3
A)?_ 3
B) ~ 3
C) 3 8
senp
O)~ 5
E)~ 8
--~-------- ---:-----·----Semana i'i' 5 f1'rohibüla su revroducciótt v weuJa) PM. 15
UNMSM- CE/VTRO PREUNIVERSITARlO Ciclo 2()11-11
2. En la figura, ASCO es un cuadrado y BD :.: 3DC. Calcule tga.
A) -3
8)- 2
C)- 5
O) -4
E)- 6.
y
3. De acuerdo a la figura, calcule ctga: si BC = 3AB.
4.
. '
' •::5.
A)- 3.f3 4
3./3 C)-
4
6 E)~ 5
B) 2/3 3
0)- 2/5 . 4
Considerando los daios de la figura. calcule el valor de la axpresión .f5 [3secCL- sen()].
A) 15 y. -11 JI,
6) 14 ~ 1. /A(a6)
C)-18 1~1 1'¡-J-- ";)
O) 16 .tfV X loo
E) -16 í3
Si s¡sert\'~1 "' -. 27cos~o. y '" pertenece al tercer cuadrante, calcule el valor de la
expresió~, .3 /13 csw + 3ctga.
i A)-13 · B) -9 C) 11 0)9 El -11
6. Los ángulos a y ¡3 son colerminales. Si a pertenece al cuarto cuadrante y
, r;:: r;:: , • ,~'lec a - tg ¡:J Y 2cos"a- (4 .,. ,¡3 )sosp + 2 -.¡3 "O, na!le el valor de la expresron ¡
L senc~ J
A)8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Semana N• j (Prohibida m reormiuccion v ve!lta) Páf!, 16
7.
8.
9.
i Si el ángulo a pertenece al segundo cuadrante y 1 cosa -21 1 cos C/. + 21 "' 2,
calcule el valor de la expresión """""----
B}5J15 C) J15 D) 2.fi5
En la figura, OA = 08 y tge =~.Calcule tga + ctg~ + sec2j3. 2
A) 65 8) 13 9
C} 15 34
D) 1·1 18
E) 13
A partir de la gráfica, calcule sen{90°
7 8)- 1 A)·--5 5 (-3,4)
C) 3 5
D) 2:_ 5
1 -90·-13 E)-5
Y.
!3) + cos(270" + !3).
y
E)3./15
1 ./17 1 o. Sí sec(- o:) tg(- a) > O y ctga = - 4", calcule -
8- (seeaAga + sena).
A) 8 B)-9
CLAVES
C)- 35 4
D) 9
l. E 2.D 3.C 4. E5.E 6.E 7.C 8. D9.D lO.D
fProliibMa su revroducción JI venta)
E) -8
Pág. 27
UNMSM-CENTRO PREUNTVERSITAJUO
Trigonotnetria
SEMANAW6
i. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
1.1. R.EDUCClÓN DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA
(l.,: es el ángulo agudo formado por ellad o terminal de a y por el eje X.
Si o. "' 11 C , a,= 180°- a o., = ~trad - o.
Si u E:iiiC, o.,=a-·180° r::., = u-~trad
Si u E IV C , a., = 360° ·- a a, = 2~trad - a.
donde la fórmula de reducción es
~~J: -¡--x 1
-.;L.,y X
/ V
_ _j ~x (L~
1 :0.,
RT (a) = ±: RT (a,)
Ciclo 2() ll-ll
el signo depende del signo de la razón trigonométrica ~n el cuadrante al cual pertenezca el ángulo a reducirse.
i.2. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA
Sean a y !3 dos ángulos cote1111inales
RT (a)= RT (p)
pero ~ = 360° n + a , n e 7l
~ = 2n n +a n E 'll
SemanaN"06 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 32
UNMSM-CENTRO PNEUNIVERSITARIO Ciclo 1011·11
entonces
RT (et) :: RT (360° n + et) , n e 'Ji
RT (a) = RT (2'lt n +a.) , n e 'Ji
2. OTRAS FÓRMULAS DE REDUCCIÓN
RT (90" ± a.) = ± CO- RT (a.)
RT (180° ± a) = ± RT {a)
RT {270"± a)=± CO- RT (a)
RT (360° ± a)=± RT (a)
donde a es considerado agudo y en todos los casos el signo de! lado derecho de las igualdades depende del signo de la razón trigonométrica del ángulo que aparece a la izquierda.
3. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS CUADRANTALES
~ T (JO 90" 180" 270° 360°
1.
Sen o 1 o -1
Cos ! 1 o -1 o
Tg o r o f
Ctg f o I o
Sec 1
1 f -1 J
Csc í 1 J -i
EJERCICIOS OE LA SEMANA N" 6
. 623'lt 90i'lt 6sen(B+C) St A+ B +e= n:, senA= cos-
6- y tgB = tg-
3-, halle ...;_;_~.....,-:....
tg{A+C)
A)- Ji 8)- .J3 C)3 D)-3 1 E)--2
Seftlllna N" 06 (Prohibida su r.eproditcción y venta)
o
1
o
f
1
f
Plig.JJ
UNMSM~CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 201l~Il
2. Con los datos de la figura. halle el valor de la expresión .fff cosa+ sen 1~17t •
A)~ 2
C) 3!, 2
E) 3_ 3
y
B)-3
X
o¡.:!. 2
3. Sí sen(37n + e) = p y e es un ángulo del segundo cuadrante, halle Jsec1 e -1.
4.
5.
6.
A) 8) C)-p~1-pz
D} E)-1-J 1+p2
Determine el valor de la expresión cos( f+ x )sec(2n- x)tg(~t -x)cos(4n+ x)
tg(x-5r.)cos(5; -x)
1 ,C.,)-2
6)2 C) O O) -1
Con los datos de la figura, calcule J13 (oosa- sena.cos¡'l).
A) 5 y
B) 5 (-2,3}
C) .:!_ 5
1 (-3,--4) D)--
5
E) 1
E) 1
X
Si tgu = sen2030• +tg{-675•)-cos2020" • calcule el valor de ctg2a + 3. sen( -1 060°} + tg1500°- cos 790"
A) S 8)7 C) 4 D) 6 E)3
SeWJ.na N" 06 (Prohibida su reproducción y venta) Pág .. 34
iJN};JSM·CENTRO PREUNIVERSITAJUO
7. Simplifique la expresión cos2 477n: . sec2 367
n: +sen 26511
• 14 7 2
C) sec2~ 14
dl31t D}se ?
C!c/q 1011-11
8. Sí ctg( 9lt; ZCI.) = ~, et. es un ángulo del cuarto cuadrante, halle el valor de la
expresión 15sec(n:- o.)csc(ct -n:).
A)-33 B) 35 C)-34 0}34 E)- 35
9. Sí cos(3; +u) = !Jr y a pertenece al segundo cuadrante, calcule 18tgo:csc2(180"+u).
A) 21/3 B) 7 J3 D) 15./3 E) -19/3
1 O. Calcule fa suma de los ángulos positivos menores que 7; radianes, siendo el seno
de cada uno de ellos igual al coseno de sao•.
A) 1110" B) 1140" C) 1125• D) 1130'
CLAVES LD 2.A3.B 4.E5.C 6.D 7.C B.C 9.C lO.B
Trigonometrfa
SEMANAW7
T.RJGONOlYifÉTRJCAS
i. IDE_,l\fTlDADES RECiPROCAS.-
sen a . ese a. = ·¡
cas tt . sec a = 1
ÍQ Cl.. ctg CL"' 1
Semana N"/
(;( .: (2!1 + 1 ) ::.. 2
ne'll.
(Prohibida su reproducción y venta)
E) i 120•
Pág.34
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAIUO Cido ZOIJ.II
2. IDENTIDADES POR COCIENJE.·
1 sen a
ga=-cos a
cos u ctgcc:: -·
sena a # nn ne7l
3, IDENTIDADES EITAGÓRlCAS.·
4, IDENTIDADES AUXILIABES,·
sen4 a + cos4 a = 1 2 sen2 a. cos2 a.
sen6 a+ cos6 a= 1-3 sen2 a. cos1 et.
T11t tga+ctga=seccr.csca, uo~-, ne7l
2
~cr+csc2 a=sec2 a.csc2 o:, a.,..!!:!., ne7L 2
5. OPERACIONES ALGEBRAICAS Y FACTORIZACJONES BÁSICAS.·
1.
(a + bi" = a?+ 2ab.;. b2
(a b)2 = a2- 2ab + b2
(a+ b)3 = a3 + 3a~b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = aJ- 3a2b + 3ab2- b3
(a+ b)2 + (a-b)2 = 2(a2 +b2)
(a+ b)2- (a·· b)2 = 4ab
(a + b + e) 2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + be)
a2 b2 = (a-b) (a+ b)
a3 + b3 = (a + b) (a2- ab + b2
)
a3 - b3 = (a- b) (a2 + ab + b2
)
EJERCICIOS DE LA SeMANA N° 7
sen'x- cos" x + 2cos¡ x Simplifique !a expresión .:.:.:.;..;.:_.:;..:.;:....;;...,..;;;..~_.;.
sec•x-tg'x+1
A) 4cos2x
(Prohibida su ii'eproducc.ión y venta) Pág.35
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAJUO Ciclo 2011-II
2. Simplifique la expresión (csc3x- se,n:3x)(csc
1x- senx).
ese x-sen x
C) sen~ E) tgx
3. De un ángulo agudo a se sabe que seca- tga = 0,25. Calcule 17(senu +cosa).
A)20 B) 21 C) 22 D) 24 E) 23
4. Resolver la ecuación cos227"- xctg27' · cos2T "' xctg27' - sen27" · ctg27".
A) sen27' D) ctg27'
8) cos27' E) sec27'
C) tg27'
5. Si u es un ángulo del tercer cuadrante, calcule el valor de la expresión
í.}tg' a. . sec2 u - tg'u ·se e' a + sec' a. -1 .
A)- sena. B)- cosa C) ctga. D) tga. E)- secct
6. i\l simplificar la expresión · secc( (sen' a.- sen 2
ct + 5cosa + 6cos2 a.- cos4 a J 1+ cosa.
7.
se obtiene
r\) 4, B) 5SSCCL. C) 5. D) 6.
tg2x -1 . , Halle el valor de la expresión -
2-- -r sec x.
ctg x -1
A)1 8)! 2
C) -1 D) 2
E) 3seca.
E) 4
8. Simplifique la expresión 5 + tg2Gt(Sen2a + 1) + ctg2a(cos2a + 1).
9.
A) 2senucosa. O) 2cscasecu
8) 2sen2a.cos2u E) 2csc2
Determine el valor de + tgx cos2x. (.sec'x + tg'x ) sec'x +tgx
A) cosx 8 \ 1 ¡-
2 C) 3 O) 2senx E) 1
[2 + sen'e cos' e ·1
1
l 1 + sen'e 1 + cos' el 10. Simplifique la expresión +-:----.-
1- sen2 8cos2 e J 1 + cos2 e 1 + sen2e J ·
A) cos2e S) 2sen2e C) 5 O) 4 E) 2
eL Av E s 1.n 2.A 3.E 4.A s.o 6.D 6.c 7.A s.c 9.E 1o.c ,.,emana JV~ 7 · · ·· (Prohibida su reproducci611 y ventil) Pág.36
UNMSM-CENTRO PREUN/VE.RS/TAR/0
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE ÁNGULQS
sen ( a + 13 ) = sen a ces 13 + ces o. sen P
cos ( a + 13 ) = cos a ces 13- sen a sen p
tga+tgp tg(a+/3)= ; tgatg¡J;<1
1-tga tg 13
2.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
1.
sen ( a - p ) = sen o. ces f3 - ces o. sen 13 .
cos ( a - p ) = cos a ces p + sen a sen p
tg(a-p) = tgo.- tg p 1+1go. tg 13
tgatg¡J;<-1
ctg (a ± p) = ctg o. · ctg p :¡: 1 ; ctg p ., :¡: ctg a ctgl3 ± ctga.
EJE RCICIOS DE LA SEMANA N• 8
2sen57 •- ces 27• Halle el valor de ....,.----Ji sen72'- ces 27" ·
A)...2__ J3
8).2. 2
C) 1 0)2
2. Evalúe 1 - (tg23'· tg47" + tg23'· tg20'+ tg47'· tg20').
C)3 0)2
. 3. Si. a+ p = 135', calcule ed valor de (1- tga){1 - tgl3).
A)3 8) 2,5 C)2 D)-2
E)./3
E) O
E)-3
cos4x Simplifique la expresión
cos3x cos8x 4.
cosxsen3x sen3x cos 6x sen2x ces 6x
Ciclo 20/1-/1
A) cscx 8) sec2x C) csc2x D) secx E)-csc2x
S<:mana N''l)8 (l'rohibida m repr"ducción y l'ellla) Pág. JO
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAR/0
5. Simplifique la expresión J3 cos10" + 3sen10' +·2cós40'.·
A) 2cos20" B) sen40' C) 4cos20' O) cos40'
6. . cos tl+ J3sen9
Simplifique la expres1ón r;; . v3 cosa -senO
E) 2sen40'
E) tg!:. 6
7. En la figura, BE "' 4 cm, DE = 3 cm y AC 4 cm. Calcule 15{!get + tgf3).
A)12 B
B) 13
C) 14
0)15
E) 16
Ciclo 201 1-JJ
8. Con los datos del triángulo ABC de la figura y tg(a- o.) = 0,4. Calcule el valor de x.
9.
A)40u
B) 38.5 u
C)45 u
D) 45,5 u
B E)44,5 u,
Simplifiql.le la expresión M
A) sen7x sen4x
B) tg4x ·
tg7x-tg3x ctg7x- ctg3x
e~ cos7x D)ctg4x
1 O. Si 5cosu = 2cos(a- 29). calcule ctg(a. e}qtga.
A)i 5
CLAVES 8) ~ C) 7 O)~
4 3 3
lE 2E 3C 4E SC GC 1C 80 90 lOE
A
Semana N"08 (Prohibilltt su l'eprliduccióll J' 1•eJI/n)
E) sec10x
E) _I. . 3
Pág. JI
UNMSM- CENTRO PREUNIVERS!TARJO Ciclo 20 1.1-ll
Trigonometría
SEMANA N°9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS
l. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
1)
3)
sen 2a. ::: 2 sen a. cos a.
t 2 - 2tg a.
g o.---1- tg 2a.
2) cos 2a. "' ~s•(l'. - sen•a.
4)
11. FÓRMULA DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO DOBLE
1 ) 2 sen• a. ::: 1 - cos 2a 2) 2 cos•a:"' 1 +cos2a
111. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
1)
3)
{e) ~-cosa se - =± 2 2
1-cos e 1+cose
Observaciones¡
(e) f1+00Se 2) cos 2 = ± i~--2-
4} ctg(!) = ± ~ 2 1-cos e
El signo ( + ó-) se determina de acuerdo al cuadrante al que pertenece el ángulo 9/2.
IV. IDENTIDADES ESPECIALES
1} etg a+ tg a.= 2 ese 2 a.
3) etg a = ese 2a + ctg 2a.
2)
4)
ctga tga=2ctg2a
tga.=esc2a ctg2a.
Semana N"9 (Prohibido Slt reproducción y l•e.nta) Pdg.J2
UNMSM- CENTRO PREUN!VERSTTARIO
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 9
·1. Si Kcsc10o = cosiOocos 4oocosBO:, halle el valor de K. sec20°
A) 8cos20° 1 1 B) -coszoo C) -s~nzoo
16 2 1
D) -cos10° 8 '
Ciclo 1011-Il
1 E) -senzoa
16
2. Si a es un ángulo' obtuso para el cual cos 2a = 0,25 , calcule B·sen4a.
3.
4.
5
A) -JlS B) -4 C)--./14 D) -5
Si tga 1 2
y tgp , calcule tg(a + 2~). 1
A\ 29 8) 15 C) 2E_ D) 31 ' 17 31 31 17
Si 3tg2a + 1 otg<x- 3 = O, halle el valor de ctg2a.
5 B) ~ C)
3 D) ~ A)--5 3 5 3
Con la información dada en la figura, calcule AD.
A) ~1 cm
B) 10 cm
C)9 cm
E
~ '~~
E} -../13
E) 17 31
E) 3 2
O) 10,5 cm
E) 9,5 cm A 1cm B C O
6. Halle el máximo valor de la expresión M= [ cos6 asen2a- sen6acos2 a Jcos2a.
A)_!_ B) _!: C) _!_ D) 1 E) 1 64 8' 32 24
7. Si 8-8cos2 2a 2
calcule sen22a. ·=-tg 2a + ctg2 a + 2 g'
A)~ 9
B) ~ 3
C) 3 4
0)3. 3
E) 3_ 9
(Prohibldtt m reproduccióll .v velltlt)
UNMSM- CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 201 1-ll
8. Halle el valor de la expresión ctg26a.[ ctg 45°+3a -ctg 45° -3~ J. A) 1 B) 2 C)3 0)4 E)5
9. Si tgo:( ctg~) = ~~ y o. es un ángulo agudo. halle 5 ctgo:.
A)10 B) 11 C)12 0)13 E) 14
A) 2csc2o: 8) 2ctg2o: C) 21ga O) 2tg2o: E) ctg2a
CLAVES l.E 2.A 3.E 4.D S.A 6.D 7.A S.IJ 9.A lO.B
Trigo1tometría SEMANA N° 10
[ RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE J
EJERCICIOS COMBINADOS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
l. RAZONES TR!$10NOMÉTRICAS DEL.ANGULO TRIPLE
· Sema11a N" JO (Pr~hibida :I~i reproducción y venta) Pág.35
UNMSM-CENTRO PREUN!VERSITAR!O
11. FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN DEL ÁNGULO TRIPLE
1.
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 10
Simplifique la expresión sen3a- 3sena
+COSa)
D) 2cos2 a
2. Si cos3a=- 2,2cosa donde a: es agudo, evaluar 2cos2a.
A) -1,2 B) -1.4 C) 1,6 D) -'0,8
3. Si 3cos2 2a-8cos2a+4=0, calcule cos6a.
A) 22 27
B) 23 25
C) _ 22 27
D) _ 23 25
4. Simplificar la expresión 7 sen3 9 +sen39
sec6(1-sen49)
A) 3tg9 B) 3.ctge C) -2tge 1
D) 3ctge
Sema11a N" 1 O (Prohibida Sil reprodliCCÍÓII y vmta)
Ciclo 1011-ll
E) sena
E) 0,9
E) 24 27
E) 3sene
Pág. 36
UNMSM-CENTRO PREUNfVERSITAR/0 Ciclo 1011-ll
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2(cos80°·sen20°·cos20° + sen80°·sen2 20°) Hallar el valor de la expresión
4cos2 20°- 2 -sen2 80°- cos 2 80°
A) sen20° 8) cos40°
Calcular el valor de la expresión
C) tg 40°
J3 -+3cos10° 2
D) sen40°
J3 3 20°. -- sen 2
E) cos20°
csc3 1 0° ese' 20° s ec3 1 0° 8) --
8-. C) D) --- E)
8 8
. 4(cos 3 10° + J3 sen3 10°) Calcular el valor de la expres1ón r;::; •
cos1 oo + v3 sen1 0°
A)6 8)2 C)3 0)8 E)4
Halle el valor de la expresión
18 ctg~ ( ,, •• ~.,] s. 2sen~-1 18
18
A) J3 3
8) ..J3 C)- ..J3 3
D) -/3 E) .J3 2
.. (1-2cos12°)(1-2cos36°) Hallar el valor de la expres1on .
(1+2cos12° )(1 +2cos36°)
A) tg 12°·Ctg 18° B) ctg6°·tg54° C) tg54°
O) tg 18°·clg 12° E) tg6°·Cig54°
Si cos(2.:.- a)= 3., calcular 6 3
27sen3a.
A) -24 8) -11 C) 22 D) -22 E) 19
CLAVES l.B 2.A 3.C 4.A S.D 6.B 7.C 8.D 9.E
Sema1111 N" JO (Prohibida su reprotluccitÍII y venta) Pág. 37
UNMSM-CENTJW PREUN/VERSJTAJUO Ciclo 1011-ll
Trigonometría
SEMANAN• 11
[ TRANSFORMACIONES TR;GONOMÉTRICAS l TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO DE LA SUMA
O DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS
(A+BJ (A-Bl sen A+ sen B 2 sen -
2- cos -
2-J
( A+BJ (A B) sen A- sen B = 2 cos -2
- sen -2
-
(A+B) (A B) cosA+ cos B = 2 cos -
2- cos --
2-
( A+B \ lA-81 cosA--cos B = -2 sen, --¡sen --\ 2 ) 2 '
EJERCICIOS DE LA SEMANA N" 11
1. Simplifique la siguiente expresión
2.
sen46- sen6G- sen28
20sene
A)2sen30 B)- 2cos30 C) sec20 D) cos3G
Sí cos2fli-cos50+cose
sen20 + sen50- sen e
A).!. 3
B) 3_ 3
2, halle el valor de tg4G.
C)1 D)i 3
Semana N" ll (Prohibí tia su reproducciótt y venta)
E) -cos3G
E)~ 4
Pág. 33
ONMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3. Los ángulos a y p son agudos y para ellos es cierto que seno.
21 coso.- cosp =-
65, ¿a qué es igual 16tg(a + ~)?
A) 60 B) 61 C)58 O) 63 E) 62
Cíclo 201 1-Il
27 senp ::::
65 y
4. Si sen13x +sen 11x + sen3x + senx = AsenBxcosCxcosDx, calcule el valor de la
5.
expresión sen[10(A + C))" + sec[10(8- D)]•.
1 A)--
2 8)2 C) 1
Si x = ~ calcule el valor de la expresión 14'
0)3
sen2x + sen4 x + san6x
COSX+COS3X+COS5X
A}2 B) 1 C)- 1 D)-2
6. Simplifique la expresión
(sen7x + sen5x )
2 ( 1 _ cosGx).
sen4x + sen2x
7. Simplifique la siguiente expresión
cos2(x + y) + cos2(x -y)- cos2xcos2y.
A)2 B) 1 D) -2
8. Si a= 7"30', halle el valor de
A)- J3 2
K= (sena- sen3a)(2cos5u + 2cos3a).
B)- J5 7
C)- .fi 3
9. Sean a y b los valores máximo y mfnimo de la expresión
E)~ 2
E)-1
E) J5 7
2(sen2x + sen6x ){cos2x- cos6x) respectivamente. Halle a- b.
A)6 B)O C)4 D} 8 E)2
Semana N" 11 (Prohibida Sil reproducción y ve/Ita) Pág,34
UNMSM-CEN11W PREUN!VERSlTAR!O Ciclo 2011-11 ------------------~~
·10. Con !os elatos de la figura, calcule a, si cos6w + cos4w + cos2w"' O.
A) 4/2
B)6
C)4
D)8 a cm
E) 6[2
CLAVES LB 2.D :w 4,D 6.B 7.B 8.A 9.D 10.D
Trigonometría
TRANSFORMACIONES TRIGONOJYJÉTRICAS ]
11. TRANSFORMACIONES EN SUMAS O DIFERENCIAS DEL PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS
Semana N"12
L 2 cos A sen B = sen (A + B ) ·- sen ( A- B )
e ;2cosAcos8==cos(A+8)+cos(A-B)
(Pro Ir ibida su reproducción y ve11ta) Pág. JI
UNMSM-CENTRO PREUNJVEltSITARlO Ciclo 2011-Il
1.
EJERCICIOS DE LA SEMANA N" 12
. cos2o• Halle el valor de la expresrón senso··cos10•+ sen1S··sen35'- -
2-.
A) .f3 4
B) ..(3 2
C) 0)213 E)3J3
3. Simplifique la expresión· sene + tg29. cos3G·cos2e
A)sec29 Bl tg3e e¡ tge D) sec3e E) 2tg2tl
4. Simplifique la expresron E"" y halle el varor de 4E. . .. (sen36'·COS15•x sen84"·COS6" ) ,cos33'+cos3" cas48".,.cos36" .
A) sen24" -1 D) 2sen18' - 1
B) 2sen18' + 1 E) cÓs24' :. 1
C) 2cos24 • - 1
5. Simplifique la expresión 2sen15··sen35'(~+ 00535•).
sen15° cos 20"
A) coszo•. C) cos5' D) sen15' E) sen20'
6. Halle el valer de la expresión K si K = senSx + 259n3X:· cos x ·y ·x' = rt ' ces 9x · cos x ·r sen9x · senx
A) 2( ./3 + 1) 0)2/3-1
Sem(Ula.N"12
B)-(3+./3) E)3 + J3
(Prohibida stl reproducción y venta)
C) 2( J3 -1)
Pág.3:2
UNtvlSM-CENTRO PREUNIVF:RSITARIO Cic/o201Ul
7. Si tg4x = (4x, agudo), calcule el valor de la expresión ttigonomélrica
4cos3x-cosx + 6sen3x-senx.
A) 15 2 7
B) 15 2 C)~ 7
2 D) 14+-
7 E)~
7
B. Si Rsen8" , N(cos5• + cos3') y K "' eseS• + csc3•, hallar el valor de la expresión 1+ cos2•
2sen5" · sen3• en términos de K, N y R.
A) NK B) RK N
C) RK 2N
D) NR K
E) 3NK R
9. Si cos3o. 2, halle el valor de la e:xpresión 4
sena
1-2sen3a ·sena
A) tg2cc B) 2tg2a C) ctg2o. D) sen3o: E) tg3a.
·10. SI % <o:< Jt, simplifique la expresión Jcos2 3a.+sen4a ·sen2a -cosu.
e
A) O
D) 1- cosa
VES
B) -2cosu, 1
E) -cosa 2
C) sena-cosa
l.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B lO.B
Trigonometría
SEMANA N° 13
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
l. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES ( Vp"' valor principal)
·¡) sen ( Ax + B) =a a E [ i, 1 ]
sen 8 =a
(Prohibida su reproducción y venta) 34
UNMSM- CENTRO PREUNJVERSJTARJO Ciclo 2011-11
2) eos (Ax + 8 ) = a aE[-1,1]
Vp = a E ¡ o, n 1 cose :::a
3) tg (Ax + B)::: a a e lR
Vp = 8 E (-% , %) tg e= a
4) ctg (Ax + B ) = a a E lR
Vp=6 E (o,n) ctg e a
5) sec (Ax + B ) = a a E ( -oo, 1]v(1,+o:l)
Vp"e +iHi ']· sec e= a
6) ese (Ax + 8 ) = a a e (-<>:J,-1]u[1, +oo)
Vp =e e r-~ o) V (o .::.l ese e a 2' '2 ¡ ' - ~
11: SOLUCIÓN GENERAL PARA LAS ECUACIONES TR!GONOMÉTRI~S ELEMENTALES
1) Para seno y cosecante
senx =a }
cscx =a x = nn + ( 1 )" Vp, n E 7l
2) Para coseno y secante
COSX=a t sec x a J
x = 2nn :±: Vp, n 'll
3) Para tangente y cotangente
tgx a }
ctgx a x = nn + Vp, n E 'll
Pdg.3S
EJERCICIOS DE LA SEMANA N°.13
·¡. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación
5n Sen X ·COS2X= COSX·COS2X, 0 <X<-.
B) 3n 2
C' 5n 1 4
4
O) rt E) 5n
2. Halle la mayor solución negativa de la ecuación 2cos2 x + 11cos x +5 "O.
A) 3
2n 8) - C)
6 D) 4rr
3 E)
3 Hallar la suma de las soluciones de la ecuación
l\) 5n
2cosx·senx- 2senx + cosx -1 O, x e [O, 2rt].
B) 3n 2
C) 4r. O) 37t E) Zn
4. Determinar la suma de las soluciones de la ecuación
sen x(2cos2x + 1) =cosx(2cos2x 1), Os x ~ n.
Brt
7rt A) 4
3rr B) 4
C) 5rt 12
5rt O) 5Jt E) 4
5. Si 0 es la menor solución positiva de la ecuación
2 X senx- cos -4
sen 2 _:=O, 4
hallar el vaior de la expresión 2ser..0. + 3tg2 5P +2sec2P. 2
.A) 5 B) 6 C) 4 O) 8
6 Hallar el número de soluciones de !a ecuación
2-3sen 2x ----7"--= 0, 0 :S X S 2n .
.X
A) í B) 2 C) 4 O) 6
E) 7
E) 5
UNMSM- CENTRO PREUNIVERSiiARIO Ciclo 2011-11
7. Halle la suma de las soluciones de la ecuación
5x
0, 0 :$.X$ 1\. COS X
A) 3n
8) 1t
C) 2:n: O) 3n
E) re - -4 2 2
8. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación
cos6x·cos3x + sen2x·senx= O, o <x s2:. 2
A) 9n B} 7n C} ?re D) 7n E) 7n
10 8 10 5 8
9. Hallar la suma de la menor solución positiva con la mayor negativa de la ecuación
1-sec2 6x + sen2:= cos20° tg 2 6x 3
A) -320° 8) 100° C) 120° D) 540° E) -400°
1 O. Resolver la ecuación sen (zx + ~ J - sen( 2x -~) = ~
A) { 2nn±~/n E 7l} 8) { nn±~/n E 7l} C) nn±-/n E 7l:. {
1t l
12 J
D) { nn+(-1)" 1~ /n e 71..} E) { nH(-1)"~/nE '/l}
CLAVES l.D 2.B 3.A 4.E 5.B 6.C i.E 8.D 9.D IO.C
(ProJJibida su venta) Pág. 37
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO Ciclo 2011-II
Trigonometría
SEMANA N° 14
RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
1) LEY DE SENOS
8
e
En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos
a b e --=--=--sen A sen B sen C
NOTA: Todo triángulo se puede inscribir en una circunferencia y cumple
_a_ = _b_ =_e_ = 2R, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al sen A sen B sen C
triángulo ABC.
2. LEY DE COSENOS
Es decir, de la figura se tiene
En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos multiplicado por el coseno del ángulo que forman.
a' = b' + e' - 2bc cos A b' = a' + e' - 2ac cos B e' = a2 + b2 - 2ab cos e
Semana N" U (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 31
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO
3. LEY DE TANGENTES
a
8
e
b
·--------"A e
4. LEY DE PROYECCIONES
8
c. a
Ciclo 2011-Il
En todo triángulo, la suma de dos de sus lados es a su diferencia, como la tangente de la semisuma de los ángulos que se oponen a dichos lados, es a la tangente de la semidiferencia de los mismos. Así en la figura, se tiene:
at-e a-e
tg(A + B) at-b _ 2
;=b- (A -B) tg --2
En todo triángulo, cualquiera de sus lados se puede expresar como la suma de las proyecciones de los otros dos sobre este.
Es decir:
b = a cos C + e cos A
a = e cos B + b cos C
e = a cos B + b cos A
Semana N' 14 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 32
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5. ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
a) Ángulo de elevación
Q
ángulo de. elevadón
Línea horizontal
b) Ángulo de deeresión
Linea horizontal
~ ángulo de depresión
<'ti¡.,.
"0,¡,/ "'.;;¡
Ciclo 2011-11
Línea visual: es la recta trazada del punto de observación O hacia el punto observado Q.
EJERCICIOS DE LA SEMANA NQ 14
En el triángulo ABC de la figura, se tiene que a·sen(A + B) = J3 c·cos{B +
Sí 38 - e 4 O', hallar la st:Jma del menor y mayor ángulo del triángulo.
A) 140'
8) 135'
C) 155'
O) 160' e
E) 145"
Semana N" 14· (Prohibjda su reproduc~;íón y veula) Pág. 33
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSJTA.RIO
. 3 Z. En la figura, tge = -. Calcule
A) 12
8) 10
C) 11
0)13
E) 9
. 4 tg(~) tg(e-:oo) ·
Ciclo 2011-JI
3. En un triángulo ABC, se tiene que AB e u, EJC = a u y AC = b u. Simplifique la
. (A" b2 + 4bcsen 2
2 )+ c2
expresión -a2 +2ab.cosB-2b2 cos(B+C) ·
A) 1 8) ..!. 2
D)b E) ab
4. Corí la información mostrada en la .figura, calcule !5 tg~, si A+ C = 1ao·.
8.3cmC A) .;(6 4cm
8)2 A 10 cm
C)./5
D) f12 9cm
E) M o 5. Con los datos de la figura, simplifique la expresión b C( tgA+tgB) a sen . tgAtgB
e
bu a u
AL---:::c-:-:-u --~s
SemanaN"l4 (Prollibida su reproducción y venta) Pág. 34
VNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2011-II
6. El triángulo ABC, de la figura, es equilátero. Si B es uno de los puntos de trisección de
CO, calcule
A)T
B) 6
C)5
0) 5,5
E)
7. En ia figura, los ángulos a, [1 y ro son proporcionales a 5, 17 y 2 respectivamente.
8.
9.
Calcule
e A) 4(2 +J3)
B) 2(2 )
C) 2 +J3 D) 4(2 -J3)
E) 3(2 -/3)
. . b2 + cz -a2 En el triángulo ABC de la figura·, se cumple que K=
2 2 2 • Cacule K2tg2,<\ + 1.
a +e -b A)
B) csc2B
C) csc2A
D)
E)2
b(b +e) En la figura, halle el valor de M = --
2-.
a
A)2
q.! 2
E)~ 2
B) 1
O) 3 ~ e b
SR?:::>. e B a
Semana N" 14 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 35
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSlTARJO Ciclo 2011-11
10. Desde un punto de observación situado al ras del suelo a "x" metros de un edificio de 24 metros de altura, un estudiante realiza tres mediciones. Los primeros ·4 m comenzando
de.sde el suelo, con .. un..ángukJ de elevación a. En la segunda observación se añade. los
12 m siguientes y ef ángulo de elevación es ahora ¡3. En la última medición se considera
toda la altura del edificio y el ángulo de elevación obtenido es~+ cr.. Halle "x".
A)2.f6 m B) a../6 m C)6../6 m E) 16../6 m
CLAVES 1. E 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.A 8.D9.B lO.B
Trigonometría
FUNCIONES Rl!.'ALES DE UNA VARIABLE REAL
1.1. DEFINICIÓN
Sean A y 8 dos conjuntos; se dice que f es una función de A en 8, lo cual se denotará por f: A -7 B si se verifica:
í) fcAx B ii) (x, y) e t" (x, z) e f, entonces y = z
Semana N" 15 (Prohibida stl reproducción y ventaj Pág. 31
UNMSM-CENTRO PREUNJVERSI7:4Rl0 Ciclo 2011-JI --------·-------·------Si (X, y) E f, se escribe y= f(x). Y entonces se dice que: x es la variable independiente. y es la variable dependiente. y es la imagen de x mediante f. x es la preimagen de y mediante f.
'1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función de A en B. El dominio de f, denotado por Dom (f), es el conjunto
Dom (f) = { x E A 1 ::1 y E B : y = f(x) } e A
El rango de f, denotado por Ran(f), es el conjunto Ran (f) = { y E B 1 ::1 x E A : y = f(x) } e B
1.3 FUNCIÓN REAL f:IR-+lR
Si A = B = IR, siendo m. el conjunto de los números reales, decimos que f es una función real de una variable reaL
2. ALGUNAS FUNCIONES REALES
2.1 FUNCIÓN CONSTANTE
Es la función f: lR -+ m. definida por f(x) = e, donde e es una constante reaL En este caso, Dom (f) = lR y Ran (f) ={e}. Ver figura (a)
2.2 FUNCIÓN IDENTIDAD.-
Es la función f: lR-+ lR definida por f(x) = x
Dom (f) = Ran (f) = IR
Ver figura (b)
2.3 FUNCIÓN LINEAL
Es la función f: lR -+ IR definida por f(x) = ax + b, donde a y b son constantes reales,
a ;t O Dom (f) = Ran (f) = JR. Ver figura (e)
y y y y=x y= ax+b
---=:oh'-_45_'_---+ x X
Figura (a) Figura (b) Figura (e)
2.4 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es la función f: lR -+ lR definida por f(x) = ax2 + bx + e, con a, b y e constantes
reales, a ., O.
Semana N' 15 (Prohibida su reproducción y venta) Pág.32
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO Ciclo 2011-II
Completando cuadrados respecto a x en y = ax• + bx + e se tiene
y= a(x b +e-~. una parábola d€ eje focal paralelo al eje Y y 4a
( b b2
) vértice Vl-- ,e-- . 2a 4a
. . r b2
) 81 a > O . R an ( f ) = l e -4a . ce y
Ver figura {d).
t (- 2~) b2
e -- es el valor mínimo de f. 4a
Si a < O , Ran ( f ) = (-ro, e ~ ::1 Ver figura (e).
y f (- ;a) "" e b2
es el valor máximo de f.
1\ /'"'""' V ,0
v[-E.. e- E.:'J 2a 4a
~~--------~ X o¡ Figura (d)
o
2.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Es la función f: IR -7 lR definida por f(x:) = .[X Dom (1) = Ran (1) = 1 O, oo). Ver figura (f)
2.6 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Es la función f: lR -7 lR definida por f(x) = !xl. Dom ( f) = IR . Ran ( f ) = [ O, ro). Ver li!~;jura (g)
y
y=/X
X
Figura ( f)
Figura (e}
~Y
Y"' -x 1 y= x
~.x Figura (g)
SemanaN•Js (Prohibido su reproducción y venta) Ptig. 33
UNMSM-CENTRO PREUNJVERSITARJO
2.7. FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE
DEFINICIÓN
a) fes función creciente:
X1 < X2 => f(X1) < f(x2), V X1, X2 E Do m (f)
b) f es función decreciente:
x, <x2 => I(X1) > f(x2), V X1, X2 E Dom (f) y
2.8. FUNCIÓN PERIÓDICA
DEFINICIÓN
f creciente
X
Ciclo 2011-II
f decreciente
X
Una función f: lR -t lR se llama función periódica si 3 un número real T > O tal que
f(x + T) = f(x), V X E Oom (f)
Observación:
f(x + nT) = f(x), V n E 7!.,
El menor número real T > O, tal que
f(x + T) = f(x), V x E Dom (f) se llama periodo de f
EJERCICIOS bE LA SEMANA N• 15
1. La gráfica de la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + e pasa por los puntos (0,3), (1,2) y(- 2, 11). Calcule a+ b +c.
A) 2 8) -2 q..!.. 2
1 D)--
2 E)3
2. Los puntos A(2, 2) y 6(1, - 1) pertenecen al gráfico de la función real definida por
la regla F(x) = ax + b. Si el rango de Fes el intervalo[- 3, 4] y su dominio es [e, d],
calcular ~. e
A)9 6)8 C) 7 0)6 E) 5
3. Sea la función f: JR -t JR definida por f(x) = J[X['=5 + 2. Hallar (Ranf- Domf).
A) [2, 5) B) [2, 3] C) [1, 5] ol[-2,-1) E)[O,i]
Semana N" 15 (Prohibida su reproducci6n y venta) Pág. 34
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITAJUO Ciclo lO 11-II
4. Sea la función real t definida por f(x) = Jf§r -1 . Si (a, b) v {e} es el
complemento del dominio de f, calcule el valor de a + b- c.
A)4 8) 1 C)-1 D) 3 E)2
5. La función real 1 definida por f(x) Jx< - 2x 3 - 8x2 es tal que Dom(fj e [ -1, 3):
halle la suma de ios elementos del rango de f.
A) O 8) 2 C) 5 O) 2 E)3
6. Halle el complemento del dominio de la función real f definida por
A) (1.5)- {2}
O) ( 1,5)
f(x)"' J x3
- 5x2
+ 8x- 4 . V x-5
8) ( 1.5] E)(1.5] {2}
C) [ 1, 5)
7. La función real definida por f(x) = ax2 + b es decreciente en [4, 8] y el rango
correspondiente es[- 5, 1], calcular f(-16ab).
A) 3 3
8)--2
C) -2 ' 3
O)--4
E1 1 ' 2
8. Si la función real f definida por f(x} =- 4 - x2 - 2x + a, tiene rango ( o:J, -· 1 ],
hallar a.
9.
A) 1 8) -2 C) -1 O) 2 E)_! 2
En la figura se tiene la gráfica de una función periódica f, calcular
A)8
8)5
C)9
0)7
E) 6
( 33\ 1(4) + 41(6) t Bf(- 6) + 16\4 r
Yt
___ t_____ 7-------¡ 1 .. . \ \
' 8 _.X
10. Dadas las funciones reales f, g y h definidas por f(x)
h(x) = '!?- 4x + 9, x > 3, determine la afirmación correcta
X -1
Xc-1 g(x) - 2x + 1 y
A) f y h son crecientes. C) f y g son crecientes. E) fes decreciente y h creciente.
B) s y h son crecientes. O) fes la única creciente.
Semana N" 15 e LAvE s lA zs 3A 40 sA 6E 7B so 90 lOA
Trigonometría
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función seno
Es la función f : JR -~ m. definida por f(x) senx
a) Dom(f) = JR
b) Ran(f)=[-1,1]
e} Período 211:
d) Función impar
Función coseno
Es la función f: lR -·} IR definida por f{x) = cosx y
a) Dom(f) = IR
b) Ran(f)=[-1, ·tl
e) Periodo 2>r
d) Función par -1
N"l6 (Proil lb ida slt reproducción y venia)
X
X
Pág. 33
UNMSM • CENTRO PREUNJVERSITARJO Ciclo 2011-11
Función tangente
Es la función f : IR -+ JR definida por f(x) = tgx y
a) Dom(O = IR- { ( 2k + 1) ; 1 k e 7l}
--------~~~---,_-----------+ :Ji. X. b) Ran(f) = IR
e) Periodo n
d) Función impar
"'
:2 J
' ' ' J
'
e) Es creciente en cada uno de los intervalos (2k 1)~ < x < (2k + 1)_:, k e 7l 2 2
EJERCICIOS DE LA SEMANA N"16
1. Sea la función f definida por f(x) = sedx- sen4x- J. . Halle el dominio de f.
8) {(2k+-1)~,Re7l}
E) { 2kn , k e 7l}
4
2. Si el dominio de la función f: IR-+ IR definida pbr f(x) = ~ senx j + 1 es [- %· %] , hallar el rango de f.
8){1,2) o)[1.2] E) IR
3. Si la función real f definida por f(x) = .!.. tgx, ~ < x ~ n: tiene el mismo rango que la 2 4 3
función real g definida por g(x) = cosx, hallar el dominio de g contenido en (o' %) .
A) (..: . ..:l 6 3J
Semana N• 16
B) /_:, _:l \3 2j
(Prohibida su repriJducción y venta) Pdg.J4
UNMSM- CENTRO
4. ¡¡ 5rc
Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = (senx + cosx)4, -:; x $-.
12 12
A) 1 1l
J 6)[1,4]
5. Halle el rango de la función real f definida por f(x) "' cos 2
X + 2 . cos2x 3
6. Halle el rango de la función real f definida por f(x) = 4cos( ¡¡; -~). si 1 < x < 2.
1 r;::: ' A),-2v3,2) B) (-./3. 13) C) [- 2, 4]
D) 213J E) ( -~. 2)
7 La función f: lR ~ lR está definida por f(x) = 2senx - cos2x. Si Domf {O, re) ,
determinar el rango de la función.
A)(-1,3) B) (O, n) C) (-3, 1) O) {-2, 1) E) (-3, 2)
8. Halle el rango de la función f definida por f(x) = 4tg2x + 8tgx + 7.
A) [0,+ B) (O,+oo) ·;¡;
C)[3,+co) E) {-oo, 3]
9. Sea f una función real definida por f(x) = 2/2 sen6x- 2 fi cos6x, - ~ < x < i7ll. 72 72
Si (a , b] es el rango de f, hallar a2 + 2b.
A) 24 8) 16 C)12 0)20 E) 22
·¡O. Hallar el periodo de la función real f definida por f(x) = cos5x- ctg ~. 5
A) 15rc B) 5n C) 8n O) 12¡¡ E) 1 Q¡¡
CLAVES l.A 2.A J.C 4.A S.C 7.A S.C 9,D lO.E
Semana N' 16 (Prohibida su reproducción y venia} Príg.35
UNMSlvf- CENTRO PREUNJVERSITARJO
Trigonometría
SEMANA N' 11
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN COTANGENTE
~a función cotangente 1 : m-> lll se define pcr f(x) " ctg x = ~ senx
R(f) =IR
EB.Qej~
1) f(x) ctg x es una función periódica y su parfodo mínimo es T n • es decir c!g (x + n) = clg x, para todo x en su dominio.
2} r(x) = ctg x es una función decrecíente en cada intervalo de su dominio.
GRÁFIC~
Construlmos la tabla
FUNCIÓN SECANTE
La runción secante 1: m --t lll se defone por f(x) = sec x
O(f) = { X E lll 1 X ~ R(f)=(y E lll/y5
COSX
k e ll} = lll- 2 k·e.7L} v y ~ 1} = {-·"' , -1 J U { 1 , + ro)
sec x :S 1 v :-.ec x ~ 1
PROPIEDAD
l(x) sec x es una lcnclón periódica y su periodo rninimo es T = 2n, es decir sac(x + 2rt);;: sec x, para todo x en su dorninio.
GRÁFICA
Construimos la tabla
Ciclo !01 1-11
Pág • .35
UNJrfS1H- CENTRO PREUNIVERSITARJO·
1 1 1 1 1 1
----1----1
FUNCIÓN COSECANTE
La flmción cosecante f: lR --r IR se define por f(x) = ese x senx
O(f) = {X E lR /X,< 1<11:, k E 7l} = lR- { kn:, k E 7l}
R(f) {y E lR /y :S- 1 V y ¿ 1 } = (-ro , - 1 j V ( 1 , + co)
ese v ese x ¿ 1
PROPIEDAD
f(x) = ese x es una función periódica y su período mLnimo es T = 2rt , es decir csc(x + 2·.~) = ese x, para todo x en su dominio.
GRÁFICA
Construimos la tabla
Ciclo 2011-11
X
1
1 1
y
-t---- - .¡. --
l Jf(x)=¡scx
\ _l 1 1 1
1
EJERCICIOS DE LA SEM.~NA N" 17
X
1. Halle el rango de la función real definida por f(x) = csc22x - 4ctg2x + 9.
A) [ 6, + oo) D) (-oo, o]
B) {·-oo, -6]
E) {· 6, fij
e) [o.
2. Si los intervalos [a, b] y [2, 4] son, respectivamente, el dominio y rango de la ( n'
función real f(x) = 2secl2x + ·¡iJ [a, b]::: (- r:, 1tJ, hallar sen( a-- b).
A)- 2 5
8. 2 )-
3 C)-~
4 D)- ..j3
2 E) 1.
3 H 11 1 d 1 . .. 1 f d ., .d f( ) 2tgx + 2ctgx + 3 . a are rango e a runc1on rea e,1n1 a por x = . tgx + ctgx
A) (l-%) {2} 8) lR {2} Í1 7l
C) l2·2l{O}
D) lR {- 2}
(Prahibid11 su réproducción y venta) Pág.
d Hallar el complemento del rango de la función real f def¡nida por f(x) = 3 + asec4x,
SÍ = Q.
B} C) ~] O)(%·%} E)[~·
5. Si fa, b] es el rango de la función real f definida por f(x) = csc22x - 2csc2x. rt 5n
x ,.,; --,--. : calcular 2a + b " 1 8 12
A' ' ) ' B) C)O D)4-4J2 E)- 2
6. La función real F está definida por F(x) = cos(!.:sec 4x), - " < x < ~; hallar el 2 20 12
rango de F.
A) (-1, o] B)(-1,0) C}[-1, O] ( f
D) -1, --z) E)
7. Calcule el rango de la función real f, f(x) 2ltgx¡ cosx.
A) (- i, 1) B)[-1,2] C) (-2,-1) O) (- 2,2) E)[- 2, 2]
8. Halle la intersección del dominio y rango de la funeión real f definida por f(x)
A) IR- {~tn Tl} . 2
D)IR- e7l)
B)JR-{0}
E) lll.- (2nn/ n
9. Halle el dominio de la función real f definida por f(x) sec2x - csc2x.
A)lR- ezz} B)JR- {(2n+1)2:ine7l~ \ 4 J
C) lR- 2 E 7l} D) m.- {<zn + 1)~/n e
E) {(2n+i)~/n ?l~ ' 4 ;
1 O. Halle el dominio de la función real f definida por f(x) = _co_s_x_+-'--'---2secx + 1
secx
A) lnE7lj B) jnnlnEIZ} C) ((2n+1)n lnE:7L} lz
EJ(nn/ndl} CLAVES O) 4
1.A2.D 3.E 4.D5.B 6.A 7.D8.A 9.A10.E ~-~--~~------------------- su reproducción y venta) Pág. 38
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJb Ciclo 2011-II
Trigonometría SEMA.NA N° 18
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNCIÓN INVERSA DEL SENO !O ARCO SENO!
Es la función f: [- 1, 1) -t [- ~, ~] definida por y = are senx si y solo si x = sen y
X f-----+ y= are senx
y Dom(f)=[-1,1] n
2 1
Ran(f) = [-.::., .::.] ~- -----------~4---- y=arcsenx
1
. 2 2 1
./3 .fi 1 1 .fi j3 X -1 -- -- -- o - - - 1
2 2 2 2 2 2 1t 7t n 1t n 1t TI 1t
y -- -- -- ., -- o - - - -2 3 4 6 6 4 3 2 -
FUNCIÓN INVERSA DEL COSENO (0 ARCO COSENO!
Es la función f: [-1, 1] -t [0, n] definida por y= arccosx si y solo si x = cosy
x ,.___.. y = are cosx
Dom(f) = [- 1, 1]
Ran(f) = [0, n]
./3 .fi X -1 -- --
2 2
5n 3n y 1l - -
6 4
Semana N" 18
1 --2
2n -3
y
--------- 5n
1 ---------- 6 1
1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y= arccosx
--~~·--~---t~---;--t~-+X -U'} -1
2 2
1 .fi o - -2 2
n 1t 1l - - -2 3 4
j3 -2 1t -6
1 2
1
o '----
(Prohibida .su reproducción y venta) Pág. 36
UNlr!SM-CENTRO PREUNIVERSITARJO Ciclo 2011-11
FUNCIÓN INVERSA DE LA TANGENTE (0 ARCO TANGENTE}
Es !a función f: lR --> ( -;, ~) definida por y= arctgx si y solo si x = tgy
y x 1----+ y = are tgx
~ ------------------ ---· Dom(f) =IR 2
• 3 y= arctgx
Ran(f) =
EJERCICIOS DE LA SEMANA N° 18
1. Calcular el valor de la expresión ~(sen( arceas~)+ tg(areeos~)). 216 \ 13 13
A) 1 8) 2 C) 3 0)4 E) 5
2. Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) =are sen(} 1J.
A)[ O , 1] 8}[1, 4] C) [O, 4] D) {o , 4) E) (1, 2]
3. Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) = 6 are sen ( ~).
A) \-2, 2} B) - 2 , 2] C>(-3,0) O){ O, 4) E) ( -4 , 4]
SemanaN•J8 (Prohibida m reproducción y venta) Pág. 37
UNMSM-CENTRO PREUNJVERSITARIO Ciclo 2011-11
4. 5-t-arc tg 4x ..
Sea f la función real definida por f(x) = ----. Hallar el domm1o de f. 2 arccos3x
A)(-±,±) D).[ -± , ±]
5. Hallar el dominio de la función reaj f definida por f(x) = arccos(x -íJ + _:1_ X +1 2
A) [o, +co) B) [í, +co) C) (o, +co)
6. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = !:.+ -~arctg(~). 3 3 4
A)\-%·~) D) \~·%)
8) ( -~·~) E)\-%·}]
7. Si g es una función real definida por g(x) ~are cós x - !:. , x E j- ..[3 , 13], hallar 3 \ 2 2
el rango de g.
8. El intervalo [a , b J es el rango de la función real f definida por
Calcular E.. a
A)~ 6
f(x) = 3n+ 8 are sen 2x + 7 are cos 2x.
8)2. 6
C) ~ 7
D) ~ 7
9. Si [a, b) es el rango de la función real f definida por
f(x) = 12 are tg.f3 +12 are tg (-?-). X +4
hallar a+ b.
A) 13n B) 10n C) 9n D) 12n
lf Semana JV• 18 (Prohibida su reproáucción y venta)
E' j _.::_ :::.] 1
\ 6 ' 2
El~ . 8
E) 1 h
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UNMSM-CFflTRO PREUNJVERSITARIO Ciclo 2011-ll
(2x+fl ..
10. Si f es una función real definida por f(x) = 5 are sen -5-), determmar
f)il(Ran f).
A) [O , 1t] 8) [ -3 . 3] C}[-3, 2] D) Í- 3, -1) E)[1,2)
CLAVES 1.a 5.a 6.d 7.c 8.b
EJERCICIOS DE LA SEMANA No 19
Las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son a' y bm
respectivamente; si ~ + ~:;:: 2972, hallar la medida de dicho ángulo en radianes. 3 5
A n: . ) 100
rad 8) -1t-rad 200
C) __;_:_ rad 180
D) ~rad 50
E) _n:_rad 1000
2. En ia figura, AOB y COD son sectores circulares. Si el área del sector circular AOB
es ~ del área del trapecio circular ASCO, hallar la longitud del arco AB. 3
A) 3
u 6 e
8) -u
\ . 2 5 A
O) :u C) 1 u o 3L "'
E) ªu ::J o 3. Sean x e y dos ángulos agudos complementarios. Si sen(90" - x) + 3seny = .fi,
hallar J? (secx + ctgy).
A)4 8)5 C)6 0)7 E)8
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARJO
4. En la figura, M es punto medio de BO. Hallar tga..
A)_!_ B) J2 3 2
8
C) 2/2 3
O)..!_ 4
E) 2/2 A 5
5. En la figura, 3
hallar tg(a.- ~)+sen~. sena.= --; 5
y
3 1 A)-- 8)--
5 5
2 O)~ C)--5 5
E)..!_ 5
6. Simplificar la expresión R = ctgc!~)ctg( 3!~)
cos1500° ·ces 51 o o
A) 1 8)3 C)2 0)4
7. Si tgx + ctgx = 3, hallar el valor de sen 6x + cos6x
sec 2 x +ese' x
A)~ 27
B)_!_ 9
C)~ 27
D) ..!_ 3
8. En la figura, hallar el área de la región triangular ABE.
A) 5 u2
8
B) 6 u2
C) 4 u2
O) 8 u2
E) 7 u2 ~
A 4u E 1 u O 1 u C
Semana N"19 (Prohibida su reproducción y venta)
Ciclo 2011-11
X
E)5
E)~ 27
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UNJ'dSM-CENTROPREUNIVERSJTARJO Ciclo 2011-ll
9. Si l2
senZa i :: 16 a. es un ángulo agudo; hallar tg2a. 1-cos2aj '
8).: 3
C) 5 4
O R d .
1 . . K sen3x- 3senx
·¡ . e uc1r a expres1on = 3¡------
A) tgx B) ctgx
1'1 Calcule el valor de
A)2 8)1
cos3x + 3cos x
C) tgx
e).:!. 2
D)~ 4
D)-ctgx
12. Hallar el valor de K, si Kcsc(420"- 28) = 4sen29sen(60' + 29).
A) sen68 O) 2sen59
B)sen49 E) 1
E)1
E) 1 4
C) cos39
13. Hallar la suma de las raíces de la ecuación 2cosx- 2sen2x- cscx + 2 = O; XE
A) 5rr 2
B) 5n 3
C) 7rr. 2
O) 7n 3
E) 2n
'14. De acuerdo a la figura, hallar
A) a e
B)2b
C) 2c b a
O)b 60' A e 8
E)2a
Semana N" 19 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 39
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2011-II
15. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = .J- 9- 6x- x2 •
A)(O,+co) B) (O,+oo) C} {O} O) {0, 3} E) {o. 1. 3}
16. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = sen2xcos2x + 4: ~ ~ x:;:; 2n:. 2
C) [~1_ 1:] 0) [3, 5]
17. Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = tgx +
X E r- 5n ~ 6
8) (~· J3] E) [ ~· J3]
E) [2, 7]
18. Halle el rango de la función real f definida por f(x) = arctg(senx); x (o, n:).
CLAVES l.B 2.A 3.D 4.A 5.A 6.D 7.C 8.C 9.B lO.C ll.A 12.A 13.A 14.D lS.C 16.A 17.8 18.B
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