trigo no me tria
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TRIGONOMETRIA
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las
propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos
ÁNGULO: es una abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice y
las semirrectas que se forman se llaman lados. Los ángulos positivos se miden en sentido contrario a
las agujas del reloj y los negativos en el mismo sentido.
CLASIFICACION DE LOS ÁNGULOS
De acuerdo a su medida, los ángulos se clasifican en:
» Angulo agudo: Es el que mide menos de y mas de
» Angulo recto: Es el ángulo que mide
» Angulo obtuso: Es el ángulo que mide mas de y menos de
» Angulo llano: También llamado colineal, es el ángulo que mide
» Angulo entrante: Es el ángulo que mide mas de y menos de
ángulo
Lado
Lado
Lado
0E
F
Angulo obtuso
0
H
Angulo llano o colineal
0 I
J
Angulo entrante
0 A
B
Angulo agudo
0 C
D
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» Angulo perigonal: Es el ángulo que mide , es decir una rotación completa.
De acuerdo a la posición de sus lados, los ángulos se clasifican en:
En la figura cada uno de los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 es consecutivo con el ángulo inmediato.
0K
L
Angulo perigonal
Ángulos consecutivos: son los que tienen el mismo vértice y un lado común
8
12
3
45 6
7
En la figura se consideran dos ángulos respecto al suelo
Ángulos adyacentes: son dos ángulos consecutivos, cuyos lados no comunes
forman un ángulo llano.
a
b
Ángulos opuestos por el vértice: son los que comparten el vértice, y los lados de
uno son la extensión de los lados del otro.
b
A
B
C
D
a
Vértice
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Por la suma de sus medidas los ángulos se clasifican en:
Ejercicios:
1. Hallar el complemento de los siguientes ángulos:
a )023 b ) c )
d ) e ) f )
2. Hallar el suplemento de los siguientes ángulo:
a ) b ) c )
d ) e ) f )
3. Hallar el conjugado de los siguientes ángulos:
a ) b ) c )
d ) e ) f )
90 -
Ángulos complementarios Ángulos suplementarios
180 -
Ángulos conjugados
360 -
Ángulos conjugados: son dos ángulos que al sumarse, dan como resultado un
ángulo perigonal.
Ángulos complementarios: son dos ángulos cuya suma es un ángulo recto.
Ángulos suplementarios: son dos ángulos que al sumarse, dan como resultado un
ángulo llano.
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ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
Al trazar dos rectas paralelas y una secante (transversal), obtenemos los ocho ángulos mostrados en
la figura:
Los ángulos 3, 4, 5 y 6 se llaman internos por estar dentro de las paralelas.
Los ángulos 1, 2, 7 y 8 se llaman externos por estar fuera de las paralelas.
Los ángulos 1, 3, 5 y 8 son colaterales por estar en un mismo lado de la secante, así como los ángulos
2, 4, 6 y 7.
Cuando dos ángulos colaterales (uno interno y otro externo) no son adyacentes, se llaman
correspondientes. En la figura se encuentran los siguientes pares de ángulos correspondientes: 2 y
6, 4 y 7, 1 y 5, 3 y 8.
Los ángulos correspondientes son congruentes, pues al superponerlos coinciden los lados de uno con
los del otro, así como el vértice.
En la figura los pares de ángulos 3 y 5, 4 y 6, se llaman colaterales internos, ya que están dentro de
las paralelas y del mismo lado de la secante.
Los pares de ángulos 1 y 8, 2 y 7 mostrados en la figura, se llaman colaterales externos por estar
fuera de las paralelas y del mismo lado de la secante.
Tanto los colaterales internos como externos son ángulos suplementarios; es decir suman
En la figura los pares de ángulos 4 y 5, 3 y 6 se llaman alternos internos; alternos por estar en
diferente lado de la secante e internos por estar dentro de las paralelas, dichos ángulos no son
consecutivos.
Los pares de ángulos 1 y 7, 2 y 8 se llaman alternos externos por estar fuera de las paralelas y en
diferente lado de la secante.
Los ángulos alternos internos y los alternos externos son congruentes.
2 1
4 3
5
7
6
8
3l
2l
1l
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Ejercicio:
Dada la siguiente figura, determine los pares de ángulos que son:
a ) ángulos alternos internos _________________________________
b ) ángulos alternos externos _________________________________
c ) ángulos colaterales internos _________________________________
d ) ángulos correspondientes _________________________________
e ) ángulos colaterales externos _________________________________
En la figura anterior, si el ángulo VI vale , hallar los otros ángulos.
A
B
D
CP
Q
I
IIIII
IV
V
VIVII
VIII
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DEFINICION, NOTACION Y CLASIFICACION DE TRIANGULOS
Un triangulo es una figura plana limitada por tres rectas configuran que se cortan dos a dos; es el
polígono o figura geométrica formada por tres lados que forman, a su vez, entre si tres ángulos.
En la figura se pueden observar los elementos que un triangulo:
Los vértices del triangulo son los puntos de intersección A, B y C y los lados del triangulo
comúnmente designados por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto. Los ángulos
interiores se designan comúnmente con las letras de los vértices. Por lo tanto un triangulo tiene: tres
lados, tres vértices y tres ángulos.
CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS
Es muy frecuente clasificar a los triángulos por la medida de sus:
Lados:
»Equilátero: tiene los tres lados iguales.
» Isósceles: tiene dos lados iguales
»Escaleno: tiene tres lados desiguales.
Ángulos:
»Acutángulo si todos los ángulos son menores
de 90º.
»Rectángulo si tiene un ángulo de 90º.
»Obtusángulo si tiene un ángulo mayor de 90º.
Los triángulos acutángulos y obtusángulos se denominan también oblicuángulos, debido a que
ninguno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.
El ángulo recto se señala por medio de un cuadro en el vértice, con el fin de hacer notar su
identificación.
A B
C
ab
c
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PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS
1. La suma de los tres ángulos interiores de un triangulo es igual a 1800
2. La suma de los ángulos exteriores de un triangulo es igual a 3600 (un ángulo exterior es el
formado por un lado y la prolongación de otro).
3. La suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo es igual a 900
4. Todo ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los de los dos ángulos interiores no
adyacentes.
5. En todo triangulo, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
6. Si del vértice del ángulo recto de un triangulo se traza una perpendicular a la hipotenusa. Los
triángulos que se forman son semejantes al triangulo dada y semejantes entre si.
7. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes.
8. En todo triangulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
9. “El cuadrado de la hipotenusa de todo triangulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos”
Hipotenusa: lado más largo de un triangulo rectángulo y opuesto al ángulo recto.
Catetos: Son los lados de un triangulo que determinan un ángulo recto.
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Resuelva los siguientes problemas:
x -8
x
600
x=
x – 8=
x
2x
x=
2x=
y 700
x
x-5 y
350
x
x=
x-5=
y=
x=
y=
a) b)
c) d)
X=
Y=
Z=
W=
950
630X
Z
Y
W
X Y
400 Z
1050
X=
Y=
Z=
e) f)
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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos de
igual medida o congruentes, así como lados de igual medida o congruentes.
Condiciones de congruencia
Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean
congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos
respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas
que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se
llaman homologas o correspondientes.
Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son, sin embargo, puede
demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes
son homólogas.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan
criterios de congruencia, los cuales son:
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con
los de otro entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el
ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos
ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
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Teorema de ThalesS i dos rectas cua lesqu iera se cortan por var ias rectas para le las , los segmentos determinados en una de las rectas son proporc iona les a los segmentos correspondientes en la ot ra .
E jerc ic ios :1. Las rectas a , b y c son para le las . Ha l la la long i tud de x .
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Las rectas a , b son para le las . ¿Podemos af i rmar que c es para le la a las rectas a y b?
S í , porque se cumple e l teorema de Tha les .
EL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULODado un t r iángulo ABC , s i se t raza un segmento para le lo, B 'C ' , a uno de los lados de l t r iangu lo, se obt iene otro t r iángulo AB'C ' , cuyos lados son proporc ionales a los de l t r iángulo ABC .
Ha l lar las medidas de los segmentos a y b .
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Apl icac iones de l teorema de Tha les
E l teorema de Tha les se ut i l i za para d iv id i r un segmento en var ias partes igua les .
E jemplo
Div id i r e l segmento AB en 3 partes igua les
1 . Se d ibu ja una semirrecta de or igen e l ext remo A de l segmento.
2 . Tomando como un idad cua lqu ier medida , se seña lan en la
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semirrecta 3 un idades de medida a part i r de A .
3 . Por cada una de las d iv i s iones de la semirrecta se t razan rectas para le las a l segmento que une B con la ú l t ima d iv i s ión sobre la semirrecta . Los puntos obten idos en e l segmento AB determinan las 3 partes igua les en que se d iv ide .
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P O L I G O N O SUn polígono es una figura geométrica plana limitada por segmentos rectos (o curvos) consecutivos no alineados. Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos de igual medida se llama polígono regular. Si no cumple esta condición se llama polígono irregular.
Una característica particular de los polígonos regulares es que siempre pueden ser inscritos en una
circunferencia.
NOMBRE LADOS NOMBRE LADOS NOMBRE LADOS
Triangulo 3 decágono 10 heptadecágono 17
Cuadrilátero 4 endecágono 11 octodecágono 18
Pentágono 5 dodecágono 12 eneadecágono 19
hexágono 6 tridecágono 13 isodecágono 20
heptágono 7 tetradecágono 14 hectágono 100
octógono 8 pentadecágono 15 megágono 106
eneágono 9 hexadecágono 16 googólgono 10100
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO
Se le llama interior del polígono, la región encerrada por la línea poligonal, y el exterior del polígono
es la región fuera de él. En la figura, el punto G pertenece al interior del polígono y el punto H al
exterior de él.
A B
C
DE
F
POLIGONO REGULARA B
C
DE
F
POLIGONO IRREGULAR
H
G
D
A B
CE
F
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Los segmentos de recta con que se forma el polígono se llaman lados, y los puntos que unen estos
lados se llaman vértices.
En la figura, los puntos A, B, C, D y E son los vértices y los segmentos que se forman entre ellos
corresponden a los lados del polígono.
Los segmentos que unen dos vértices no consecutivos se llaman diagonales. En la figura el segmento
que une el punto A y el punto C es una de dichas diagonales. Suponiendo que n es el número de
lados, el número de diagonales de un polígono está dado por .
Los ángulos formados por dos lados consecutivos y que se encuentran en el interior del polígono, se
llaman ángulos interiores. En la figura, el ángulo es un ángulo interior.
La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a
El valor de un ángulo interior de un polígono regular esta dado por la relación:
Los ángulos formados por un lado y la prolongación de un lado consecutivo y que se encuentran en el
exterior del polígono, se llaman ángulos exteriores. En la figura, el ángulo es un ángulo exterior.
En todo polígono la suma de los ángulos exteriores es igual a
El valor de un ángulo exterior de un polígono es igual a la suma de los ángulos exteriores, dividido
entre el número de lados del polígono.
La apotema de un polígono regular es cualquiera de los segmentos que unen el centro de la
circunferencia circunscrita al polígono, con los puntos medios de sus lados.
Apotema del polígono ABCDEF
A B
C
DE
F O
Q
P
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En la figura está representada una de las seis apotemas que se pueden construir en un hexágono
regular.
El pequeño segmento que une los puntos P y Q se denomina con el nombre de sagito.
En consecuencia, la unión del apotema con el sagito forma un radio.
El área de un polígono regular puede ser calculada de la siguiente forma:
Suponiendo que:
Problemas:
1. Un artesano desea construir una mesa de forma octagonal. Quiere conocer cuanto medirá la
suma de sus ángulos interiores, el valor de cada ángulo interior y el número de diagonales que se
pueden trazar en este polígono.
2. En la construcción de un vitral, un artesano requiere cubrir un espacio que tiene forma de un
polígono regular, cuyos ángulos interiores suman ¿Cuántos lados tendrá el polígono?
3. Un talabartero construye una bolsa, en cuyo costado grabara una figura poligonal regular, si el
ángulo interior de esta figura es de ¿Qué polígono será?
4. ¿Cuál será la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos?
a ) 15 lados b ) 29 lados c ) endecagono
d ) dodecágono e ) 14 lados f ) 26 lados
g ) heptágono h ) pentágono i ) 17 lados
5. Cuantas diagonales se pueden trazar en los siguientes polígonos?
a ) triangulo b ) 15 lados c ) 23 lados
d ) 35 lados e ) 18 lados f ) 40 lados
g ) pentágono h ) decágono i ) hexágono
6. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman ?
7. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un eneágono?
(n)(l)(a)A
2
A =Área
n = número de lados
l = longitud de uno de
los lados
a = apotema
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CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre
la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una
superficie llamada círculo.
Semicircunferencia: Mitad de una circunferencia.
Semicírculo: Mitad de un círculo.
Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA:
» Radio: Segmento que une el centro del círculo con un punto de la circunferencia.
» Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia, la cual siempre s perpendicular al
radio.
» Diámetro: Es la cuerda de mayor longitud, pasa por el centro y equivale al doble del radio.
» Secante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos cualquiera.
PrO
R
Q
O r
P QO
N
MO
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» Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un punto.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
» Ángulo del centro: Es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia; sus lados son dos
radios de la misma y su medida es igual a la del arco comprendido entre sus lados.
» Ángulo inscrito: Ángulo formado por dos cuerdas que tienen como punto común un punto de la
circunferencia.
» Ángulo semi-inscrito: Es el que tiene su vértice en la circunferencia; esta formado por cuerda,
tangente y secante; y su medida es igual a un medio del arco comprendido entre sus lados.
» Sector circular: Parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido por ellos,
cuya área se obtiene a través de la siguiente relación . El sector circular formado por un
diámetro se llama semicírculo.
rp O
O
BA
OQ R
P
El centro esta en uno de los lados
OB
C
P
El centro esta en el interior del ángulo
OB
A
C
El centro esta en el exterior del ángulo
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» Segmento circular: Parte del círculo comprendida entre una cuerda y el arco que comprende.
» Corona circular: Es la porción del plano, limitada por dos circunferencias concéntricas.
» La porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios distintos se llama
trapecio circular.
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA:
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS:
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas son las razones existentes entre los elementos rectilíneos ligados a
un ángulo, cuya variación dependerá de la variación del ángulo.
El valor de cada razón se determina al asignar un valor al ángulo , por lo que todas esas razones
son funciones del ángulo , por lo cual reciben el nombre de funciones trigonométricas del ángulo
y cada una de ellas recibe un nombre especifico.
Las funciones trigonométricas del ángulo son:
SENO
COSENO
TANGENTE
COSECANTE
SECANTE
COTANGENTE
Cada una de las funciones tiene su reciproco:
Sen tiene como reciproco a Csc
Cos tiene como reciproco a Sec
Tan tiene como reciproco a Ctg
Signo de las funciones trigonométricas en los cuadrantes:
r siempre es positivo, por lo tanto los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes
dependerán de los signos de “x” y “y”.
y
x
r
0
x=abscisa
y=ordenada
r=radio vector
CuadranteI
Todas+
CuadranteII
Sen y Csc +
CuadranteIII
Tan y Ctg +
CuadranteIV
Cos y Sec +
FUNCIONIIIIIIIVSen ++--Cos +--+Tan +-+-Ctg +-+-Sec +--+Csc +
+--
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Funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales:
Los ángulos cuadrantales son ángulos situados en 00, 900, 1800 y 2700, y en todos ellos el lado
terminal coincide con uno de los ejes.
Angulo Sen Cos Tan Ctg Sec Csc
0 1 0 1
1 0 0 1
0 -1 0 -1
-1 0 0 -1
Ejercicios:
1. Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos:
Angulo sen cos tan ctg sec csc
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
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2. Averiguar el ángulo A dado:
1. sen A=0.5741 2. cos A=0.9382 3. ctg A=2.9715 4. tan A=1.1652
5. sec A=1.4382 6. tan A=0.5200 7. csc A=3.6882 8. sec A=2.1584
9. sen A=0.8900 10. ctg A=0.1793 11. cos A=0.0727 12. sen A=0.8975
13. sec A=2.9187 14. csc A=3.869 15. ctg A=0.2696 16. sen A=0.9489
3. Calcule los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de , si este se encuentra
en posición normal y P esta en el lado terminal.
1. P(8, -5) 2. P(-3, -9) 3. P 4. P(
5. P(-11, 4) 6. P(9, -7) 7. P 8. P(7, -12)
4. Determine la coordenada faltante de P en cada uno de los siguientes problemas:
1. x=6 r=8 P en el primer cuadrante
2. x= - 7 r=12 P en el segundo cuadrante
3. y= - 1 r= P en el tercer cuadrante
4. x=2 r= P en el cuarto cuadrante
5. x= r=3
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6. y=-7 r=2
7. x= r=2 y es positiva
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
Dadas las partes indicadas del triangulo ABC, donde C = 900, exprese el tercer elemento restante en
términos de las primeras dos:
1. A, c, b 2. A, a, c 3. B, c, b 4. B, a, c
5. B, b, a 6. a, c, b 7. A, b, a 8. a, b, c
Dados los elementos indicados del triangulo ABC, calcule los valores exactos de los elementos
restantes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
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8.
9.
10.
11.
12.
RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
Un triangulo oblicuángulo es aquel que no tiene un ángulo recto. Un triangulo así tiene o bien tres
ángulos agudos o bien dos agudos y uno obtuso.
Los cinco casos de triángulos oblicuángulos son:
Caso I: Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Caso II: Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Caso III: Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos
Caso IV: Dados dos ángulos y el lado comprendido entre ellos
Caso V: Dados los tres lados
Ley de senos: En cualquier triangulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
Esta ley se aplica cuando se cuenta con dos ángulos y uno de los lados opuestos (o dos lados y
un ángulo opuesto a uno de ellos).
o
Ley de cósenos: el cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triangulo es igual a la suma
de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las
longitudes de ellos por el coseno del ángulo que forman.
A B
C
c
ab
A
C
B
ab
c
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Se aplica cuando contamos con dos lados consecutivos y el ángulo comprendido entre ellos,
también cuando se conocen los tres lados.
Formula de Heron: Se utiliza cuando se requiere calcular el área de un triangulo y no se conoce la
altura, sino solo los tres lados.
VERIFICACION DE LAS SOLUCIONES DE
TRIANGULOS OBLICUANGULOS:
Existen dos procedimientos disponibles para verificar la solución de un triangulo oblicuángulo,
independientemente del procedimiento que se utilice para la solución del mismo:
Formulas de Mollweide:
Formulas de proyección:
Donde:
k= área del triangulo
s= semiperimetro del
triangulo
a, b, c= longitud de los lados
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CONSIDERANDO LAS PARTES CONOCIDAS DE UN TRIANGULO ABC, ESTABLEZCA QUE LEY DEBE
UTILIZAR PARA RESOLVERLOS Y ENCUENTRE LOS VALORES DESEADOS:
1. a=47 c=28 B= encontrar b
2. b=35.3 a=17.25 A=290 encontrar B
3. c=981 a=732 C= encontrar A
4. A= B=56048´ a=32.3 encontrar C
5. c=0.5 b=0.8 A=700 encontrar B
6. a=315.2 b=457.8 A=42.450 encontrar B
7. a=26.7 b=48.7 C=10.80 encontrar c
8. a=144 b=322 B= encontrar A
9. a=100 b=135.6 c=210 encontrar k
10. a=88 b=48 c=93 encontrar B
RESUELVA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y
ENCUENTRE SU ÁREA:
1.
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2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
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LEY DE SENOS
LEY DE COSENOS
SEMIPERIMETRO FORMULA DE HERON
FORMULAS DE MOLLWEIDE
FORMULAS DE PROYECCION
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
RELACIONES RECIPROCAS
RELACIONES DE COCIENTES
RELACIONES PITAGORICAS
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RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:
1. Un globo esta sujeto al suelo mediante un cable de 100 m de longitud. El viento es tan intenso
que el cable, tenso, se desvía de la vertical. Desde un punto algo alejado del de sujeción
hay que levantar la vista desde la horizontal para dirigir la mirada al globo.
a) ¿Qué distancia hay en la vertical del globo al suelo?
b) ¿Qué distancia hay desde el punto algo alejado al globo?
c) ¿Qué distancia hay entre el punto anterior y el de sujeción?
2. Un grupo de personas va a medir la distancia que separa los dos pilares (los vamos a llamar A y B)
de un puente para peatones que se va a construir para salvar una autopista urbana. Para hacerlo
trazaron en el suelo una línea AC con una cuerda que media 100 m. Colocaron en A un teodolito y
midieron el ángulo CAB= . Luego repitieron la operación en el punto C y midieron ACB=
¿Cuánto mide el puente?
3. Para determinar la distancia entre los puntos A y B que están en las orillas opuestas de un rió, un
topógrafo determina un segmento AC de 240 yardas de longitud a lo largo de una orilla, y
determina que las medidas de y
son y respectivamente.
Calcúlese la distancia AB.
4. Un árbol quebrado por el viento forma un triangulo rectángulo con el suelo. Si la parte quebrada
hace un ángulo de 500 con el suelo y si la copa del árbol está ahora a 6 m de su base ¿Qué altura
tenía el árbol?
240 yd
A
BC
0 '63 20 0 '54 10
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5. Se requiere calcular las distancias de un punto C a los puntos A y B, pero no se pueden medir
directamente. La línea AC se prolonga de A hasta un punto D una distancia de 175 m, la
prolongación de la línea BC llega hasta un punto E a una distancia de 225 m con respecto a B, y
se miden las distancias AB= 300 m, BD= 326 m y DE= 488 m. Encuentre AC y BC.
6. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de
y cada uno va por su lado, uno camina 3.5 Km/hr y el otro a 4.2 Km/hr, ¿a que
distancia se encuentran al cabo de media hora?
7. Una pista para carreras en trineo consiste en un tramo de 306 m cuesta abajo y un tramo
horizontal de 185.3 m. El ángulo de elevación del punto de partida visto desde la línea de meta
es de 38.50. ¿Qué ángulo forma la cuesta con la horizontal?
8. El ángulo de elevación de la parte superior de una columna vista desde el pie de una torre es de
; y desde la parte superior de la torre, que tiene 15 m de altura, dicho ángulo es de ;
hállese la altura de la columna.
9. Desde la cima de una colina, los ángulos de depresión de dos piedras consecutivas, indicadoras
de kilómetros, de una carretera horizontal que corre directamente en la dirección norte del
observador, son de y respectivamente, hállese la altura que tiene dicha colina en
metros.
A
BD
C300
600
E
300
225488
326175
A
B
C
D
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10. Dos edificios de cubierta plana distan 18 m. Del techo del mas bajo, de 12 m de alto, el ángulo de
elevación del borde del techo del mas alto es de 400 ¿Cuál es la altura del edificio mas alto?
11. Para determinar la distancia entre los puntos A y B, un topògrafo escoge un punto C que esta a
420 m de A y 540 de B. Si el ángulo ACB mide 63010´ calcule la distancia entre A y B.
12. Una carretera recta forma un ángulo de 150 con la horizontal. Cuando el ángulo de elevación del
sol es 570, un poste vertical al lado de la carretera forma una sombra de 75 pies de longitud
pendiente abajo, como se ve en la figura. Calcule la longitud del poste.
13. Una antena de banda civil esta sobre una cochera, cuya altura es 16 pies. Desde un punto en el
terreno horizontal, a 100 pies del punto directamente debajo de la antena, esta subtiende un
ángulo de 120 como se ve en la figura. Calcule la longitud aproximada de dicha antena.
14. Un guardabosque en un punto de observación A ve un incendio en la dirección NE. Otro
guardabosque en un punto B a 6 millas al este de A ve el mismo incendio según NO.
Calcule la distancia de cada uno de los puntos de observación al incendio.
15. Desde un punto A, que esta a 8.2 m sobre el piso, el ángulo de elevación de la parte superior del
edificio es de 310 20´, y el ángulo de depresión a la base de la construcción es de 120 50´. Calcular
la altura aproximada del edificio.
16. Una escalera tiene el pie en la calle y hace un ángulo de 300 con el suelo cuando su extremo
superior descansa contra un edificio, y de 400 con el edificio frontero. Si la escalera tiene 15 m de
largo ¿Qué ancho tiene la calle?
17. ¿Cual es el perímetro de un triangulo isósceles de 40 cm de base y cuyos ángulos de la base son
de 700?
☼
Poste
Carretera
570150
75 pies
100 pies
16
pie
s120
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18. Un puente sobre un rió tiene 200 m de largo. Las dos secciones del puente rotan hacia arriba
formando un ángulo de 300 para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere saltar de una
sección a otra, él sabe que puede dar saltos hasta de 20 m ¿puede el motociclista saltar de un
lado al otro, sin peligro?
19. Un teleférico transporta pasajeros del punto A, que se ubica a 1.2 millas de un punto B en la
base de una montaña, y llega a la cumbre P de esta. Los ángulos de elevación de P desde A y B
son y respectivamente.
a) Determine la distancia aproximada de A a P
b) Calcule la altura aproximada de la montaña
20. Se desea abrir un túnel para una nueva carretera, atravesando una montaña de 260 pies de
altura. A una distancia de 200 pies de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 36 0.
Desde una distancia de 150 pies, al otro lado, el ángulo de elevación es de 470. Calcule la
longitud del túnel.
P
650210A
1.2 millas
B
360 470
200 pies 150 pies
200 m300300
-?-
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21. Tres circunferencias de radios 115, 150 y 225 m respectivamente, son tangentes entre si por la
parte externa. Encuentre los ángulos del triangulo formado al unir los centros de las
circunferencias.
22. En la figura se ve un panel solar de 10 pies de ancho, que se fijará en un techo que forma un
ángulo de 250 con la horizontal. Calcule la longitud d que debe tener el poste para que el tablero
forme un ángulo de 450 con la horizontal.
23. Al ver el punto más alto de un rascacielos desde la azotea de un edificio de 50 pies de altura, el
ángulo de elevación es de 590. Si se ve desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es de 62 0,
(a) con la ley de los senos calcule la distancia mas corta entre las azoteas de las dos
construcciones, (b) calcule la altura del rascacielos.
24. Un poste vertical de 40 pies de altura se yergue en una pendiente que forma un ángulo de 17010’
con la horizontal. Calcular la longitud mínima del cable que llegue desde la punta del poste a un
lugar a 72 pies cuesta debajo de la base.
50 ft
590
620
170 10’
40 pies
72 pies
A
C
D
250
d10 pies
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25. Desde un punto A a nivel del suelo, los ángulos de elevación de la punta D y de la base B de un
mástil situado en la cumbre de una colina son 470 54´ y 390 45´. Encuentre la altura de la colina si
la altura del mástil es de 115.5 pies
26. Un niño queda atrapado en un tiro de mina abandonado de 45 pies de longitud, que forma un
ángulo de con la horizontal. Se cavará un túnel de rescate a 50 pies de la bocamina (véase
la figura)
a) ¿a que ángulo se debe cavar el túnel?
b) Si dicho túnel se puede abrir a una velocidad de 3 pies/hr ¿Cuántas horas tardarán
en llegar al niño?
27. En un campo cuadrangular ABCD, el lado AB mide11.4 m con dirección NE, el lado BC
mide 19.8 m con dirección NO; y el lado CD mide 15.3 m con dirección SO. DA se
encuentra en la dirección SE, pero no puede ser medido. Encuentre: a) la longitud DA y b)
el área del campo
50 pies
45 pies
AE
F
D
G
S
N
C
BH
I
19.815.3
11.4
62010’
40040’
32010’
22
02
0’
A
B
C
D
115.5
470 54´
390 45´
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28. Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B. Como se ve en
la figura, selecciona dos puntos C y D a partir de los cuales se pueden ver A y B a la vez. Se mide
entonces la distancia CD y los ángulos ACD, ACB, BDC y BDA, si CD=120 pies, ACD=1150,
ACB=920, BDC=1250 y BDA=1000, calcule la distancia AB.A B
C D
Matemáticas III Ing. Alejandra Arzola Grijalva
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Una ecuación que utiliza funciones trigonométricas, que sea valida para todos los valores angulares en
los cuales las funciones están definidas, se llama identidad trigonométrica.
Una identidad trigonométrica se verifica transformando alguno de sus miembros (cualquiera) en el otro.
En general, se comienza por el lado mas complicado. En algunos casos ambos miembros se transforman
a una nueva forma.
Verifique las siguientes identidades:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
Matemáticas III Ing. Alejandra Arzola Grijalva
29. 30.
Matemáticas III Ing. Alejandra Arzola Grijalva
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
RELACIONES RECIPROCAS
RELACIONES DE COCIENTES
RELACIONES PITAGORICAS
Matemáticas III Ing. Alejandra Arzola Grijalva
Resuelva los siguientes problemas:
1. Un aeroplano vuela 165 mi desde el punto A en dirección 1300, y después 80 mi en dirección 2450.
Aproximadamente, ¿a que distancia se encuentra el avión de A?
2. Un barco parte del puerto con un ángulo de 300 y recorre 200 km, tomando luego un nuevo rumbo
de 1300 durante 300 km hasta tomar un rumbo final de 600, recorriendo 100 km. Encuentre la
distancia a que se encuentra del puerto.
3. Entre dos árboles distantes entre si 500 m, se encuentra un conejo. Si los árboles tienen una altura
de 25 y 15 m respectivamente, y en la cúspide de cada uno se encuentra un águila, encuentre la
distancia que recorre cada águila para lograr cazar el conejo que se encuentra entre los dos árboles
y el ángulo de acción.
4. Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad, y viajan por carreteras rectas que forman un
ángulo de 840 entre si. Las velocidades de los vehículos son 60 km/hr y 45 km/hr, respectivamente
¿a que distancia se encuentran aproximadamente 20 min después?
5. El ángulo en una esquina de un terreno triangular es de 73040´, y los lados que se cortan en esa
esquina tienen 175 m y 150m de longitud. Calcule la longitud del tercer lado.
6. La gran pirámide de Egipto, es regular y de base cuadrada. El ángulo de inclinación de las caras
respecto a la base es de 520. Desde una distancia de 100 m, perpendicular al punto medio de un lado
de la base, se ve la punta de la base con un ángulo de elevación de 340, calcule la altura de la
pirámide.
7. Las poblaciones San Clemente y Long Beach en Estados Unidos, distan 41 mi a lo largo de un trecho
recto de costa. En la figura se muestra el triangulo que forman las dos ciudades y el pueblo de
Avalon, en la esquina sureste de la isla Santa Catalina. Se miden los ángulos ALS y ASL, que resultan
ser de 66.40 y 47.20, respectivamente.
a) Calcule la distancia de Avalon a cada una de las ciudades.
b) Obtenga la distancia mas corta de Avalon a la costa.
520 340
100 m
A
L
S
66.40
47.20
Matemáticas III Ing. Alejandra Arzola Grijalva
Dados los elementos indicados del triangulo ABC, con C=900, calcule los valores exactos de los
elementos restantes:
1. A= 350 20’ c=112
2. B=480 40’ c=225
3. a=506.2 c=984.8
4. A=290 48’ b=458.2
5. A=45.6 b=84.8
6. B=490 14’ b=222.2
7. A= 660 36’ a=112.6
8. A= 230 18’ c=346.4
9. A= 23.20 c=117
10. A= 58.610 b=87.24
11. a=38.64 b=48.74
12. b=672.9 c=888.1
Resuelva los siguientes problemas:1. Encuentre la base y la altura de un triangulo isósceles cuyo ángulo en el vértice es igual a 65 0 y sus
lados iguales de 415 cm.
2. En la figura se ve parte de un diseño para un tobogán acuático. Calcule la longitud total de la
resbaladilla, con exactitud de 1 pie.
3. Desde un punto A a nivel del suelo, los ángulos de elevación de la punta D y de la base B de un mástil
situado en la cumbre de una colina son 470 54´y 390 45´. Encuentre la altura de la colina si la altura
del mástil es de 115.5 pies
250
350
15 pies
100 pies
15 pies
A
B
C
D
115.5
470 54´
390 45´
Matemáticas III Ing. Alejandra Arzola Grijalva
Matemáticas III Ing. Alejandra Arzola Grijalva
PROBLEMAS CON TRIANGULOS OBLICUÀNGULOS
1. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una distancia uno del otro de 10 Km.
en los puntos A y B, y divisan un bote que se está hundiendo situado en el punto C. Si el
ángulo CAB igual a 60º y el ángulo CBA igual a 53º ¿a qué distancia está el bote de cada
salvavidas? (sen 67°= 0,89)
2. Una persona situada en un punto A se dirige en línea recta hacia un punto C. Otra persona
hace lo mismo desde un punto B. Si la distancia ente A y B es de 8Km, el ángulo CAB es de
75º y el ángulo CBA es de 45º ¿Qué distancia tendrá que recorrer cada persona?
3. Un avión vuela de la ciudad A a la ciudad B una distancia de 300 millas y luego gira 60º para
dirigirse a la ciudad C.
a. Si entre la ciudad A y C hay 300 millas ¿a qué distancia se encuentran la ciudad B de la C.
b. ¿Con qué ángulo debe girar el piloto en la ciudad C para regresar a la ciudad A?
4. Dos remolcadores que están separados √19 m tiran de una barcaza. Si la longitud de un
cable es de 9 m y la del otro es de 5 m, determine el ángulo que se forma entre ambos cables.
Un niño esta volando dos cometas simultáneamente. Una de ellas tiene 38 m de cordón y la
otra 42 m. Se supone que el ángulo entre los dos cordones es de 30º. Determine la distancia
entre ambas cometas.
5. Para determinar la distancia entre 2 casas A y B, un topógrafo mide el ángulo ACB y
determina que mide 53º, después camina hacia cada casa 50 y 70 pies, respectivamente. ¿A
que distancia se encuentran las casas entre si?
6. Los lados iguales de un triangulo isósceles miden 30 cm. de longitud cada uno y el ángulo en
el vértice es de 60º. Determine la longitud de la base y la medida de los ángulos de la base.
Calcule además su área.
7. Los puntos A y B son los extremos de un túnel propuesto para atravesar una montaña. Desde
un punto P, lejos de la montaña, un topógrafo puede ver esos dos puntos y determina que PA
mide 62 metros, PB mide 45 metros y el ángulo APB es de 53º. Determine la longitud del
túnel.
8. Hallar la longitud de un lago pantanoso y no navegable cuyo ángulo ABC=60° y el lla longitud
de AB=50m y BC=100m.