trigo no me tria

Trigonometría

1. Exprese 7�4 radianes, en grados.

a) 310 b)390 c)360 d)315

Soluciòn.

Utilizamos la relación: S180o =

R� : Aquí: S =grados sexagesimales

R = radianesEntonces:

S

180o=

7�4

�S

180o=

7

4

S =(7)(180o)

4S = 7 � 45o

S = 315o

R. d)

2. Exprese 18� en radianes.

a) 2�5 b) 5�2 c)�4 d) �10

Soluciòn.

Utilizando la relación: S180o =

R� , se tiene:

18o

180o=

R

�1

10=

R

�

R =1

10�

R. d)

1

Grupo Matagalpino de Matemáticas "Los karamazov"Jolman Enrique Lòpez.Josè Augusto Siles.

3. Exprese en radianes 2340�:

a) 3� b)200� c)13� d)14�

Soluciòn.

Utilizando la relación: S180o =

R� , se tiene:

2340o

180o=

R

�

13 =R

�R = 13�

R. c)

4. Si tanx no está de�nido, ¿cuál de los siguientes valores tampoco lo está?

a) sinx b) cosx secx c) cotx sinx d) cosx cscx

Soluciòn.

Como tanx no está de�nido, x puede tomar los valores de 90o y 270o, o enradianes: �2 y

3�2 :

Puede verse que sinx; cosx; secx y cscx están de�nidos en estos valores. Delo anterior la expresión cotx sinx no está de�nido.

1. R. c)

5. Calcular los valores de x en [0; 2�] tales que 2 cosx = tanx+ secx:

a)�0; �6 ; �

b)��6 ;

5�6

c)�3�2 ;

�6 ;

5�6

d)��; �6 ;

�6

Soluciòn.

De 2 cosx = tanx+ secx se tiene:

2 cosx =sinx

cosx+

1

cosx

2 cosx =sinx+ 1

cosx

2 cos2 x = sinx+ 1

2(1� sin2 x) = sinx+ 1

2� 2 sin2 x = sinx+ 1

�2 sin2 x = sinx� 1�2 sin2 x� sinx+ 1 = 0

2 sin2 x+ sinx� 1 = 0

2


Resolviendo la ecuación cuadrática para a = 2; b = 1 y c = �1; se tiene:

sinx1;2 =�(1)�

p12 � 4(2)(�1)2(2)

sinx1;2 =�1�

p1 + 8

4

sinx1;2 =�1�

p9

4

sinx1;2 =�1� 34

sinx1 =�1 + 34

=2

4=1

2

sinx2 =�1� 34

=�44= �1

Se tiene la relación sinx = a

Entonces para

x =

�2k� + sin�1 a

2k� + (� � sin�1 acualquier k 2 ZPara k = 0 y a = 1

2 ; se tiene:

x =

�2(0)� + sin�1( 12 ) =

�6

2(0)� +�� sin�1( 12 )

�= 5�

6

R. b)

6. La expresión sin��2 + �

�es equivalente a:

a) tan� b) sin� c)� sin� d) cos�

Soluciòn.

Utilizamos la fórmula del ángulo doble: sin(u+ v) = sinu cos v + cosu sin vAsí:

sin(�

2+ �) = sin

�

2cos�+ cos

�

2sin�

= (1) cos�+ 0

= cos�

R. d)

3


7. La expresión cos��2 � �

�es equivalente a:

a) sin� b) sec� c) cos� d) csc�

Solución.

Utilizamos la fórmula del ángulo doble: cos(u� v) = cosu cos v + sinu sin vAsí:

cos(�

2� �) = cos

�

2cos�+ sin

�

2sin�

= 0 + (1) sin�

= sin�

R. a)

8. El valor de la expresión�sin��2 + x

��2+�cos��2 � x

��2es:

a) 0 b) 12 c) 1 d) x

De los ejercicios 6 y 7 resueltos anteriormente puede verse que:

�sin��2+ x��2

+�cos��2� x��2

= (sin�

2cosx+cos

�

2sinx)2+(cos

�

2cosx+sin

�

2sinx)2

De aquí:

(sin(�

2+ x))2 = (sin

�

2cosx+ cos

�

2sinx)2

= (sin�

2cosx)2 + 2(sin

�

2cosx)(cos

�

2sinx) + (cos

�

2sinx)2

= cos2 x (�)

y

(cos(�

2� x))2 = (cos

�

2cosx+ sin

�

2sinx)2

= (cos�

2cosx)2 + 2(cos

�

2cosx)(sin

�

2sinx) + (sin

�

2sinx)2

= sin2 x (��)

De (�) y (��), se tiene: cos2 x+ sin2 x = 1R. c)

4


9. ¿Qué valor toma cos2(T ) si se sabe que sin(x+ T ) = sinx para todo ángulox?

a) �1 b)p22 c) 0 d) 1

Soluciòn.

De la expresión sin(x + 2�n) = sin t, se tiene que sin(x + T ) = sinx; 8ángulo xAsí que, T = 2�n; de donde n = 1; por lo cual cos2(2�) = cos2(360) = 1R. d)

10. La expresión (sin b) cos(a� b) + (cos b) sin(a� b) es equivalente a:

a) cos2 a� sin2 b b) sin a c) sin(a� b) d) 4 sin a cos b

Soluciòn.

Utilizamos las fórmulas del ángulo doble para coseno y seno:cos(a� b) = cos a cos b+ sin a sin b y sin(a� b) = sin a cos b� cos a sin bAsí:

(sin b) cos(a� b) + (cos b) sin(a� b)

= (sin b)(cos a cos b+ sin a sin b) + (cos b)(sin a cos b� cos a sin b)= sin b cos a cos b+ sin b sin a sin b+ cos b sin a cos b� cos b cos a sin b= sin2 b sin a+ cos2 b sin a

= (sin2 b+ cos2 b) sin a

= (1) sin a

= sin a

R. b)

11. Resolver sinx+ cosx =p2

a) x = �3 � 2k� (k � Z) b) x = �

3 + 2k� (k � Z)c) x = �

4 + 2k� (k � Z) d) x = �4

5


Soluciòn.

A partir de la expresión dada, se tiene:

sinx+ cosx =p2

sinx =p2� cosx

(sinx)2 = (p2� cosx)2

sin2 x = (p2)2 � 2(

p2)(cosx) + cos2 x

sin2 x = 2� 2p2 cosx+ 1� sin2 x

2 sin2 x = 3� 2p2 cosx

2(1� cos2 x) = 3� 2p2 cosx

2� 2 cos2 x = 3� 2p2 cosx

�2 cos2 x = 1� 2p2 cosx

�2 cos2 x+ 2p2 cosx� 1 = 0

2 cos2 x� 2p2 cosx+ 1 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática para a = 2; b = �2p2 y c = 1

cosx1;2 =�(�2

p2)�

q(�2

p2)2 � 4(2)(1)

2(2)

cosx1;2 =2p2�

p8� 8

4

cosx1;2 =2p2

4

cosx1;2 =

p2

2

De lo anterior se puede ver: cosx1 = cosx2 =p22

De donde: x = 45o = �4

Así x = �4 + 2�n; 8n 2 Z:

R. c)

12. Resolver la ecuación sin2 x� 3 cos2 x = 0

a)��6 + 2k� : k 2 Z

b)�23� + 2�k j k 2 Z

c)�� 23� + 2�k j k 2 Z

[�23� + 2�k j k 2 Z

d)�� 23� + 2�k j k 2 Z

[��3 + 2�k j k 2 Z

6


Soluciòn.

Resolviendo para sinx:

sin2 x� 3 cos2 x = 0

sin2 x� 3(1� sin2 x) = 0

sin2 x� 3 + 3 sin2 x = 0

4 sin2 x = 3

sin2 x =3

4

sinx = �r3

4

sinx = �12

p3

x1 = sin�1(1

2

p3)! x1 = 60

o =�

3

x2 = sin�1(�12

p3)! x2 = �60o = �

�

3

Resolviendo para cosx :

sin2 x� 3 cos2 x = 0

1� cos2 x� 3 cos2 x = 0

1� 4 cos2 x = 0

cos2 x =1

4

cosx = �r1

4

cosx = �12

x1 = cos�1(1

2)! x1 = 60

o =�

3

x2 = cos�1(�12)! x2 = 120

o =2

3�

Como la función coseno es par, también funciona para � 23�

De lo anterior puede verse que: S =�� 23� + 2�k j k 2 Z

[��3 + 2�k j k 2 Z

R. d)

7


13. Resolver el sistema

�sinx+ cos y = 1x+ y = �

2

a) x = �6 + 2k�; y = �

�6 + 2m�; (m; k 2 Z)

b) x = ��4 + 2k�; y =

�4 + 2m� (m; k 2 Z)

c) x = �6 ; y =

�3

d)�x = 1

6� + 2�k; y =�3 + 2m�; k;m 2 Z

[�x = 5

6� + 2�k; y = ��3 + 2m�; k;m 2 Z

De la expresión x+ y = �

2 ; tenemos:

x =�

2� y(�) ^ y =

�

2� x(��)

Sustituyendo (�) en sinx+ cos y = 1. Hallamos el valor de y

sin(�

2� y) + cos y = 1

sin�

2cos y � cos �

2sin y + cos y = 1

cos y + cos y = 1

2 cos y = 1

cos y =1

2

y = cos�1(1

2)

y =�

3

Por lo cual: y =�

3+ 2k�; 8k 2 Z

Como la cosx es par, también funciona para ��3 :

Sustituyendo (��) en sinx+ cos y = 1. Hallamos el valor de x

sinx+ cos(�

2� x) = 1

sinx+ cos�

2cosx+ sin

�

2sinx = 1

sinx+ sinx = 1

2 sinx = 1

sinx =1

2

x = sin�1(1

2)

x =�

6

Por lo cual: x =�

6+ 2k�; 8k 2 Z

8


Como sinx = a; se tiene:

x =

�2k� + sin�1 a ! 2(0)� + �

6 =�6

2k� + (� � sin�1 a) ! 2(0)� + (� � �6 =

56�

R. d)

14. El valor de 1 + cot2 x coincide siempre con el de:

a) tan2 x b) sec2 x c) csc2 x d) sinx cosx

Se tiene:

1 + cot2 x = 1 +cos2 x

sin2 x

=sin2 x+ cos2 x

sin2 x

=1

sin2 x

= csc2 x

R. c)

15. El valor exacto de cos 15o es:

a)p2p3+p2

4 b)p2+p3

4 c)p2(p3�1)4 d)

p2p3

4

Soluciòn.

Como cos(30o) = cos(15o+15o); utilizamos la fórmula del ángulo doble parael coseno: cos(u+ v) = cosu cos v � sinu sin vDe lo cual tenemos:

cos(15o + 15o) = cos 15o cos 15o � sin 15o sin 15o

cos 30o = cos2 15o � sin 15o sin 15o (�)

Para resolver sin 15o sin 15o; utilizamos la formula: sinu sin v = 12 [cos(u� v)� cos(u+ v)]

Entonces tenemos:

sin 15o sin 15o =1

2[cos(15� 15)� cos(15 + 15)]

sin 15o sin 15o =1

2[1� cos 30o] (��)

9


Sustituyendo (��) en (�) se tiene:

cos 30o = cos2 15o � 12(1� cos 30o)

cos 30o = cos2 15� 12+cos 30o

2p3

2= cos2 15� 1

2+

p3

4ya que cos 30o =

p3

2

cos2 15 =1

2+

p3

2�p3

4

cos2 15 =2 + 2

p3�

p3

4

cos2 15 =2 +

p3

4

cos 15 =1

2

q2 +

p3 sacando raiz cuadrada

Para resolverp2 +

p3; utilizamos la fórmula:

qa�

pb =

sa+

pa2 � b2

�

sa�

pa2 � b2

Por lo cual:

cos 15 =1

2

q2 +

p3

=1

2

0@s2 +p4� 32

+

s2�

p4� 32

1A=

1

2

r3

2+

r1

2

!

=1

2

p3 + 1p2

!

=

p3 + 1

2p2

=

p3 + 1

2p2�p2p2

=

p2p3 +

p2

4

R. a)Presentamos otro procedimiento:

10


Con base en los triángulos presentados a continuación, se tiene:

x = 1�p3

2

x =2�

p3

2

x2 =

2�

p3

2

!2

x2 =7� 4

p3

4(�)

Entonces:

11


y2 = x2 +

�1

2

�2y2 =

7� 4p3

4+1

4

y =

s8� 4

p3

4

y =

q2�

p3

Por lo cual:

cos 15o =1

2p2�

p3

cos 15o =1

2p2�

p3�p2 +

p3p

2 +p3

cos 15o =

p2 +

p3

2p4� 3

cos 15o =

p2 +

p3

2

16. La expresión tan�+ cot� es equivalente a:

a) sin� csc� b) sec� csc� c) sec� tan� d) cos� tan�

Tenemos:

tan�+ cot� =sin�

cos�+cos�

sin�

=sin2 �+ cos2 �

cos� sin�

=1

cos� sin�

=1

cos�

1

sin�= sec� csc�

R. b)

12


17. Si � y � son los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo, el valor desin2 �+ sin2 � es:

a) 1 b)p2 c) 32 d) depende de los valores de � y �

Soluciòn.

De acuerdo a los datos del problema tenemos la �gura

De la �gura anterior, puede verse que:

sin2 �+ sin2 � =a2

c2+b2

c2

=a2 + b2

c2

=c2

c2ya que a2 + b2 = c2

= 1

R. a)

18. Si �; � y son los ángulos de un triángulo cualquiera, entonces

a) sin(�) = sin(2� + ) b) sin(�) = cos(� � )c) sin(�) = sin(� + ) d) sin(�) = sin( � �)

Soluciòn.

De los datos del problema, y usando la fórmula del seno para el ángulo doble:sin(u� v) = sinu cos v � cosu sin v; tenemos:

13


�+ � + = 180o

� = 180o � � � � = 180o � (� + )

sin� = sin(180o � (� + )sin� = sin 180o cos(� + )� cos 180o sin(� + )sin� = �(�1) sin(� + )sin� = sin(� + )

R. c)

19. Hallar cos(2x) si sinx = 0:2

a) 0:4 b) 0:92 c) 0:092 d) 0:44

Soluciòn.

Utilizamos la fórmula cos 2u = 1� 2 sin2 u; entonces

cos 2x = 1� 2 sin2 x= 1� 2(0:2)2

= 1� 2 � 0:04= 1� 0:08= 0:92

R. b)

20. Halle el valor exacto de 105o

a)p22 (p3) b)

p32 (1 +

p3) c) 12 (1�

p3) d)

p24 (1�

p3)

Soluciòn.

Utilizando la fórmula del ángulo doble para el coseno:cos(u+ v) = cosu cos v � sinu sin v; con u = 90o y v = 15o; se tiene:

14


cos(90o + 15o) = cos 90o cos 15o � sin 90o sin 15o

= � sin 15o

= �"2�

p3

2p2�

p3

#por segundo procedimiento de ejecicio 15

= �"2�

p3

2p2�

p3�p2 +

p3p

2 +p3

#

= �"(2�

p3)(p2 +

p3)

2

#

= �"(2�

p3)

2�p3 + 1p2

#por primer procedimiento ejercicio 15

= �"p

2(p3� 1)4

#

=

p2(1�

p3)

4

R. d)

21. Exprese cos 3a como una diferencia de cosenos

a) 4 cos3 �� 3 cos� b) 3 cos3 a� 3 cos�c) 3 cos2 a� 3 cos� d) 2 cos3 a� 3 cos�

Soluciòn.

Se tiene de los datos: cos 3a = cos(2a+ a)A partir de la fórmula para el coseno:

cosu cos v =1

2[cos(u+ v) + cos(u� v)]

Tenemos:

cosu cos v =1


2 cosu cos v = cos(u+ v) + cos(u� v)2 cosu cos v � cos(u� v) = cos(u+ v)

2 cos 2a cos a� cos(2a� a) = cos(2a+ a)

2 cos 2a cos a� cos a = cos(2a+ a) (�)

15


Como cos 2a = cos(a+ a); se tiene:

cosu cos v =1


2 cosu cos v = cos(u+ v) + cos(u� v)2 cosu cos v � cos(u� v) = cos(u+ v)

2 cos a cos a� cos(a� a) = cos(a+ a)

2 cos a cos a� cos 0 = cos(a+ a)

2 cos a cos a� 1 = cos(a+ a) (��)

Sustituyendo (��) en (�); se tiene:

1.

2 cos 2a cos a� cos a = cos(2a+ a)

2(2 cos a cos a� 1) cos a� cos a = cos(2a+ a)

2(2 cos a cos a cos a� cos a)� cos a = cos(2a+ a)

4 cos3 a� 2 cos a� cos a = cos(2a+ a)

4 cos3 a� 3 cos a = cos(2a+ a)

R. a)

22. Si �; � y son los ángulos de un triángulo y se cumple que sin2 �+sin2 �+sin2 = 2; entonces el triángulo es:

a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno d) Rectángulo

Soluciòn.

De los datos del problema: sin2 �+ sin2 � + sin2 = 2; se tiene:

sin2 �+ sin2 � + sin2 = 2

(sin2 �+ sin2 �) + sin2 = 2

1 + sin2 = 2

sin2 = 1

sin = 1

= sin�1(1)

= 90o

Así el triángulo es rectángulo.R. d)

16


23. En un triángulo ABC; AB = 15; AC = 13 y BC = 14: Hallar el coseno del6 C

a) 713 b) 1413 c) 5

13 d) 113

Según los datos tenemos la siguiente �gura:

Utilizamos las leyes de los cosenos:

c2 = a2 + b2 � 2ab cosC

cosC =c2 � a2 � b2�2ab

cosC =152 � 142 � 132�2(15)(13)

cosC =�140�390

cosC =5

13

R. c)

24. Un satélite de comunicación pasa, en cierto instante, sobre la línea imag-inaria que une dos estaciones repetidoras A y B que están localizadas a120km de distancia una de la otra. En ese momento se mide simultánea-mente el ángulo de elevación de la estación A que es de 75o y el de laestació B que es de 60o: La distancia de la estación A al satélite en eseinstante es igual a:

a) 91:22 km b) 103:76 km c) 146:97 km d) 152:75 km

Soluciòn.

Según los datos tenemos la siguiente �gura:

17


Usamos la ley de los senos:

sinA

a=sinB

b=sinS

s

El ángulo correspondiente a S es de 45o

Tomamos:sinB

b=sinS

s

así tenemos:

sinB

b=

sinS

s

b =(sinB)(s)

sinS

b =(120)(sin 60o)

sin 45o

b = 146:96km

R. c)

18


25. Desde un globo que está volando sobre una torre a 1500 m de altura, sedistingue un pueblo a un ángulo de depresión de 70o: ¿A qué distancia dela torre se halla el pueblo?

a) 775 m b) 809 m c) 806 m d) 805 m

Soluciòn.

Según los datos del problema, tenemos la �gura:

Utilizando tan de 70o, tenemos:

tan 70o =1500

x

x =1500

tan 70o

x = 545:95 m

R.

26. Calcule la altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano, sabi-endo que desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ángulo deelevación de 45o y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a unángulo de 60o:

a) 30:5 m b) 45 m c) 31:7 m d) 35:49 m

Soluciòn.


19


Usamos la ley de los senos:

sinA

a=sinB

b=sinS

s

Utilizamos la relación:sinA

a=sinB

b

así pues:

sinA

a=

sinB

b

a =b sinA

sinB

a =(15)(sin 45o)

sin 15o

a = 15 + 15p3

Utilizando sin 60o; tenemos:

sin 60o =h

ah = a sin 60o

h = (15 + 15p3)(sin 60o)

h = 35:49 m

R. d)

27. Se da una circunferencia de radio 10 m: Calcule el coseno del ángulo queforman las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos deuna cuerda de 15 m de longitud.

a)p23 b) 58 c) 23 d) 18

Soluciòn.


20


Encontramos el valor de x :

(10)2 = x2 + (7:5)2

x =p100� (7:5)2

x =5

2

p7

Utilizamos el teorema de la altura xBC =

BCy para encontrar el valor de y:

52

p7

152

=152

y

y =( 152 )

2

52

p7

y =225

4� 2

5p7

y =45

4

p7

Utilizamos cos � = C. AdyacenteHipotenusa ; para hallar el valor del ángulo, pero primero

encontramos el valor de la Hipotenusa (H):

H2 = y2 + (15

2)2

H =

s�45

4

p7

�2+

�15

2

�2H =

30

7

p7

Así:

cos � =454

p7

307

p7

cos � =45

4

p7 � 7

30p7

cos � =3

4

� = cos�1�3

4

�� = 41:4096:::

2� = 82:8192:::

cos 2� =1

8

R. d)

21


28. Sabiendo que sinx = 23 y que

�2 < x < �; encuentre el valor de tanx

a) 32 b)p53 c) � 2

5

p5 d)

p32

Soluciòn.

De los datos: sinx = C. OpuestoHipotenusa =

23 ; así: C. Opuesto = 2; Hipotenusa = 3;

entonces C. Adyacente =p5:

Así,

tanx =C. OpuestoC. Adyacente

tanx =2p5

=2p5

5

Como �2 < x < �; entonces:

sin(+)cos(�) = �; así debe ser: tanx = �

2p5

5

R. c)

29. La expresión 12 [sin(�+ �)� sin(�� )] es equivalente a:

a) cos� cos� b) cos� sin� c) sin� sin� d) 1� sin� sin�

Soluciòn.

De los datos dados:

1

2[sin(�+ �)� sin(�� )]

=1

2[(sin� cos� + cos� sin�)� (sin� cos� � cos� sin�)]

=1

2[sin� cos� + cos� sin� � sin� cos� + cos� sin�]

=1

2(2 cos� sin�)

= cos� sin�

R. a)

30. La función f de�nida por f(x) = � 12 (cos 4x�cos 2x) coincide con la función

g dada por:

a) g(x) = sinx cosx b) g(x) = sin2 x� cosx c) sin(3x) sinx d) cos(2x) sinx

22


Soluciòn.

Utilizamos la expresión:

sinu sin v =1

2[cos(u� v)� cos(u+ v)] (�)

Así:

f(x) = �12(cos 4x� cos 2x)

f(x) =1

2(cos 2x� cos 4x)

f(x) =1

2[cos(3x� x)� cos(3x+ x)]

f(x) = sin 3x sinx Aplicando (�)

R. c)

23


trigo no me tria

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