Análisis de circuitos trifásicos. Primera parte Objetivos 1. Mencionar el principio de funcionamiento de los generadores trifásicos. 2. Establecer los tipos básicos de conexiones de circuitos trifásicos y sus definiciones asociadas. 3. Explicar la metodología de análisis de los circuitos trifásicos conectados en delta, balanceados y desbalanceados, aplicándola al análisis de redes trifásicas con cargas balanceadas o desbalanceadas conectadas en delta según los criterios del presente material. Sumario a) Principio de generación de voltajes o tensiones trifásicas. b) Definiciones de conexiones en delta y en estrella, tensiones y corrientes de línea, fase y neutro. c) Circuitos trifásicos conectados en delta, balanceados y desbalanceados. Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería” William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición Parte 2, Capítulo 12. Epígrafes 12.1, 12.2, 12.5, Bibliografía complementaria: "Fundamentos de la Teoría de Circuitos Eléctricos II ", FTC II Esperanza Ayllón Fandiño y otros, Ediciones del MES, 1984. Páginas 163 – 178 Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes. Introducción Los circuitos trifásicos debido a su mayor economía y perfeccionamiento técnico se emplean ampliamente en la electroenergética. Una línea de transmisión trifásica requiere menos cobre que una línea monofásica de igual potencia, lo cual implica la disminución del costo en instalación, transporte, mano de obra, mantenimiento etc. Una maquina trifásica es mucho mas económica que una monofásica. Los motores trifásicos presentan un torque mayor a una velocidad dada que los monofásicos de igual potencia, con menos vibraciones indeseables. En Cuba, los sistemas de transmisión y de distribución son trifásicos. Estos y muchos más ejemplos, algunos de los cuales se mencionan en el Epígrafe 12.1 del texto, permiten fundamentar las ventajas que ofrecen los circuitos trifásicos. Hasta ahora, siempre que se ha utilizado el término de fuente sinusoidal, se piensa en una sola tensión o corriente sinusoidal con una amplitud, frecuencia y fase específicas. Se va a presentar un nuevo tipo de fuente de tensión, la fuente polifásica, en particular la fuente trifásica que se conecta en una configuración estrella de tres o cuatro hilos, o en una configuración delta de tres hilos. De modo similar, las cargas se conectan en estrella o en delta, según la aplicación.

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a) Principio de generación de voltajes o tensiones trifásicas. La figura muestra a una máquina con tres enrollados aa’, bb’, cc’, separados 1200 entre sí y un electroimán (rotor) que gira con velocidad angular constante ω.  ω = 2π /T donde T es el período del movimiento. En las bobinas se crea una fem debida al fenómeno de inducción electromagnética. Cuando el rotor se encuentra en la posición mostrada, la fem inducida es máxima en la bobina aa’. Cuando transcurre un tiempo T/3 el eje del rotor

intercepta a los conductores de la bobina bb’ y la fem inducida en este enrollado se hace máxima. En un intervalo de tiempo T/3 posterior, el eje del rotor intercepta a los conductores de la bobina cc’ y la fem inducida se hace máxima en esta bobina. Así, se producen fems que están desfasadas 1200 entre sí. Generadores trifásicos: los generadores que tienen tres enrollados en los que se inducen fems, de igual frecuencia angular ω y desfasadas entre sí 1200. El generador trifásico es simétrico o balanceado cuando las fems inducidas están desfasadas 1200 entre sí y sus amplitudes son iguales. ¿Por qué igual ω? ¿Por qué igual amplitud? La Figura 12.1 del texto muestra tres tensiones trifásicas con esas características. La Figura 12.3 del texto se refiere a la representación esquemática de un generador en estrella, donde las 3 fuentes están conectadas a un punto central “n” denominado neutro y los tres terminales que van a las líneas son denominados “a”, “b” y “c”. Fase: cada parte individual del generador o de la carga. Secuencia de fase: el orden en el cual se producen los valores iguales de fems instantáneos (por ejemplo, los máximos). Las secuencias dependen del sentido de rotación del rotor y del orden de conexión de las cargas y pueden ser: secuencia positiva o secuencia abc y secuencia negativa o acb (en el texto cba). En la Figura 12.12 a) y b) se muestran diagramas fasoriales con ambas secuencias. También en la Figura 12.4 del texto se muestran fasores con secuencia positiva y los fasores asociados a la tensión de cada fuente son: Van = 100∠ 00 V, Vbn = 100∠ - 1200 V, Vcn = 100∠ +1200 V. Existe la posibilidad de secuencia cero, pero no procede ahora más que su mención. Ya se verá su uso en componentes simétricas. b) Definiciones de conexiones en delta y en estrella, tensiones y corrientes de línea, fase y neutro. En la Figura 1 se muestran una conexión estrella-estrella, generador en estrella y carga en estrella y en la Figura 2 una carga en delta. Referirse a las denominaciones de corrientes y tensiones de fase, línea y neutro. Carga simétrica: las tres impedancias son iguales en módulo y ángulo. Sistema simétrico o balanceado: Generador balanceado y cargas balanceadas. Se puntualizará en cada una de estas conexiones y fundamentalmente se trabajará a partir de los terminales del generador, conociendo sus tensiones.

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Figura 1 Figura 2 c) Circuitos trifásicos conectados en delta, balanceados y desbalanceados. c.1) Relaciones entre tensiones y corrientes de línea y fase. En la Figura 12.18 del texto, se analiza la carga que se supone desbalanceada. El texto usa el subíndice “p” para la fase (phase). Analizando la Figura 3 y suponiendo conocidas las tensiones de línea del generador balanceado, Uab, Ubc y Uca mostradas en el diagrama fasorial de la Figura 4, iguales en amplitud y defasadas entre sí 1200, es posible obtener las corrientes de fase Iab, Ibc e Ica, aplicando Ley de Ohm en cada fase de la carga (supuestas inductivas, esto es, corriente en atraso de la tensión).

Figura 3 Figura 4 Figura 5 Aplicando LKC en el nodo “a” de la Figura 3, se puede calcular la corriente de la línea “a”: Ia = Iab – Ica, que no depende de que la carga sea balanceada o desbalanceada. Si el sistema es simétrico o balanceado, generador y carga balanceadas, las corrientes de línea y de fase están balanceadas y por tanto, los corrientes de fase son iguales en módulo (igual amplitud) y desfasadas entre sí 120o. Entonces Ia se representa en el diagrama de la Figura 5, como el lado mayor de un triángulo isósceles de ángulo 120o y de lados módulos de corrientes de fase: Ia = 2Iab cos300 = 2Iab √3 / 2 = √3 Iab y fasorialmente: Ia =  √3 Iab ∠ - 300.   En circuitos trifásicos conectados en delta: Secuencia positiva (abc): Ia =Iab √3∠ - 300 Ib =Ibc √3∠ - 300     Ic =…  Secuencia negativa (acb): Ia = Iab √3∠ + 300 Ib =… Ic =…    Resumen: En la conexión en delta si el sistema es balanceado, la corriente de línea es √3 veces mayor que la de fase respectiva, y la retarda 300 para secuencia positiva.

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c.2) Potencias.  Las potencias trifásicas totales se calculan aplicando el principio de conservación de las potencias: a) Potencia aparente compleja De una fase: Sf = Uf If * = Uf If ∠ϕf = Pf +j Qf  (VA) Trifásica: S3φ = ∑ Sf = ∑ (Pf +j Qf) (VA) Para cargas balanceadas  S3φ = ∑ 3 Sf = S3φ  ∠ϕ   =  3Uf If ∠ϕf =  3 Pf +j 3 Qf (VA)  a) Potencia activa De una fase: Pf = Uf If cos ϕf = I2f Rf (W) Trifásica: P3φ = ∑Pf    y para cargas balanceadas  P3φ = ∑Pf   =  3 Pf = 3 Uf If cos ϕf (W) b) Potencia reactiva: De una fase: Qf = Uf If sen ϕf = I2f Xf (var) Trifásica: Q3φ = ∑Qf    y para cargas balanceadas  Q3φ = ∑Qf   =  3 Qf = 3 Uf If sen ϕf (var) c) Potencia aparente De una fase: Sf = Uf If  Trifásica: S3φ = √( P3φ

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d) Factor de potencia  De una fase: fp = P / S = cos ϕf Trifásico: fp3φ = P3φ / S3φ y para cargas balanceadas  fp3φ = cos ϕf Resumen: El factor √3 no solo relaciona las variables de fase y de línea en los sistemas balanceados, sino que también aparece en otras expresiones para las potencias totales. Si Ud. utiliza la relación entre la corriente de línea y fase en la delta, las expresiones de las potencias totales quedarán todas también afectadas por la √3: P3φ = 3 Pf =  √3 ULIL cos ϕf Q3φ= 3 Qf = √3 UL IL sen ϕf S3φ = √3 UL IL∠ϕf, S3φ = √3 UL IL

Conclusiones Circuito trifásico simétrico de secuencia positiva. Uab = 220 ∠00 V, Z = 6 + j8 Ω. Calcule las corrientes de fase y de línea. Solución:

- ¿Cuándo un generador trifásico es simétrico o balanceado? - ¿Cuándo una carga es simétrica? - ¿Cuándo un sistema es simétrico o balanceado? - Exprese el concepto de secuencia. - Si Uab = 220 ∠00 V, escriba las tensiones restantes para secuencia positiva. - Cálculo de las corrientes de fase. ¿Cómo se trabaja en circuitos balanceados? Se trabaja con una fase y los resultados se rotan 120o acorde con la secuencia. Calculando la corriente de la fase ab por Ley de Ohm: Iab = Uab / Z = 22∠ -53o (A) Respuesta: Iab = 22∠ -530 (A), Ibc = 22∠ -173o (A), Ica = 22∠ +67o (A)  

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- Cálculo de las corrientes de línea. ¿Qué relación existe entre la corriente de fase y la de línea en módulo y en ángulo? Ia = Iab √3∠ -300 = 38,1∠ -830 (A) Respuesta: Ia = 38,1∠ -830 (A), Ib = 38,1∠ -203o = 38,1∠ +1570 (A), Ic = 38,1∠ 370 (A) Resumen: Se hacen los cálculos en una fase y los resultados se rotan 120o según la secuencia. Orientaciones para el trabajo independiente Estudie la bibliografía señalada. Capítulo 12. Epígrafes 12.1, 12.2, 12.5, Ejemplos 12.5, 12.6 Prácticas 12.7, 12.8 El capítulo 12 trata de sistemas polifásicos aunque se dedica en lo fundamental los trifásicos. En la introducción, el texto habla de la respuesta transitoria la cual ya Ud. ha estudiando y puntualiza que la mayoría de los equipos requieren más corriente para arrancar que para operar de manera continua. En el Epígrafe 12.2 trata las fuentes polifásicas, restringiéndose a las trifásicas sin dejar de mencionar los sistemas de 6 y 12 fases que verá posteriormente en los rectificadores. También se refiere a la notación de doble subíndice, la cual ha sido utilizada también en otros materiales de circuitos y que se vuelve a utilizar en los circuitos trifásicos. Al final del Epígrafe 12.5 trata las fuentes conectadas en delta y rememora una expresión sobre la relación entre la equivalencia de las impedancias conectadas en delta y en estrella ya conocida por ustedes. Puntualice bien esta fórmula que será utilizada con mucha frecuencia. Le recomendamos que lea la aplicación práctica muy útil en la especialidad. El ejercicio 5 le proporciona habilidad en el trabajo con subíndices y con números complejos. En la bibliografía complementaria: "Fundamentos de la Teoría de Circuitos Eléctricos II ", FTC II, Esperanza Ayllón Fandiño y otros, Ediciones del MES, 1984, páginas 163 a 178, encuentra todo lo analizado en la presente material y con ejemplos resueltos. Se continuará el análisis de los circuitos trifásicos conectados en estrella de 3 y 4 hilos, calculando las corrientes de línea y fase, las relaciones entre las tensiones de línea y fase así como las potencias. ¿Qué relación existe entre corrientes de línea y fase en la estrella? ¿Qué relación entre las tensiones de línea y fase? ¿Fórmulas para calcular las potencias? ¿Cómo se comporta la conexión Y-Y con y sin neutro? Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba

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