FRACTAIS

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI (Fachada exterior do IES de Ponteceso)

A XEOMETRÍA FRACTAL

Pasaron máis de 40 anos desde que o matemático Benoît Mandelbrot se formulou unha interesante pregunta: Canto mide a costa de Gran Bretaña? A resposta non é simple, xa que en realidade depende do instrumento co que realicemos a media. Descubriu tamén Mandelbrot que a costa de Inglaterra mostra a mesma estrutura a diferentes escalas. O que hoxe coñecemos como autosemellanza ou invariancia de escala e que constitúe a principal característica dos obxectos fractais.Benoît Mandelbrot tamén estudou un amplo grupo de estraños conxuntos, ignorados ao longo da Matemática de principios do século XX e pertencentes a prestixiosos científicos como Cantor, Hilbert, Peano, Koch, Sierpinski ou Julia e logrou clasificalos baixo un mesmo epígrafe. Acababa de nacer a Xeometría Fractal, á que Mandelbrot pronto engadiría a súa principal creación: o Conxunto de Mandelbrot. A pesares da súa complicada estrutura, o Conxunto de Mandelbrot mostraba unha inusitada simplicidade para ser representado a través dun ordenador e unha asombrosa beleza, maior que calquera outro obxecto xeométrico descuberto ata ese momento. Pronto algúns atrevéronse a cualificar a Xeometría Fractal como unha rama ar t ís t i ca emerxente . Pero , en realidade, non foi ata os anos 90 cando un grupo de programadores desenvolveron os algoritmos de cor que outorgan aos fractais o seu potencial artístico. Durante os últimos anos, os concursos internacionais, especialmente o Benoit Mandelbrot International Fractal Art Contest mostraron o enorme caudal artístico q u e a t e s o u r a e s t a r a m a d a matemática mediante publicacións e exposicións por todo o mundo.

QUE SON OS FRACTAIS?Un fractal é un obxecto semixeométrico cuxa estrutura básica, fragmentada ou irregular, se repite a diferentes escalas. O termo foi proposto polo matemático Benoît Mandelbrot en 1975 e deriva do latín fractus, que significa quebrado ou fracturado. Moitas estruturas naturais son de tipo fractal.Exemplos de fractais na natureza podémolos atopar nas montañas, nas nubes, no sistema circulatorio, nas liñas costeiras e os flocos de neve, aínda que estes posúen límites que os fractais nunca posúen.

Nubes fractais (xeradas por ordenador) Os nosos pulmóns son fractais

A un obxecto xeométrico fractal atribúenselle as seguintes características:• É demasiado irregular para ser descrito en termos xeométricos tradicionais.• Posúe detalle a calquera escala de observación.• É autosimilar (exacta, aproximada ou estatisticamente).• A súa dimensión de Hausdorff-Besicovitch* (ou dimensión fractal) é estritamente maior

que a súa dimensión topolóxica.• Defínese mediante un simple algoritmo recursivo.

Non nos basta cunha sola destas características para definir un fractal. Por exemplo, a recta real non se considera un fractal, pois a pesar de ser un obxecto autosimilar carece do resto de características esixidas.

* Dimensión de Hausdorff-Besicovitch: De xeito simplificado, esta dimensión tan rara podería entenderse do seguinte xeito:Unha liña recta de lonxitude N queda recuberta por un número N de segmentos de lonxitude 1.Podemos expresalo dicindo que "lonxitude da liña”=N1.Un cadrado de lado N queda recuberto por N2 pequenos cadrados de lado a unidade.De xeito similar á liña, pódese expresar que "superficie do cadrado=N2.Sabemos que unha liña recta ten dimensión topolóxica 1 e unha superficie dimensión 2. para recubrilos, necesitamos un elemento similar pero máis pequeno ND veces (nestes exemplos de magnitude unidade). En xeral, o expoñente D, xeneralizado a calquera obxecto, representa a dimensión de Hausdorff-Besicovitch do obxecto. (Espero que con esta explicación vos quedase claro).

BENOIT MANDELBROT: O PAI DA XEOMETRÍA FRACTALMandelbrot naceu en Varsoviao20denovembro de 1924, pero refuxiouse coa súa familia en Francia, onde adquiriu a nacionalidade, e traballou no Centro Nacional de Investigación Científica (CNRS). Tras a Segunda Guerra Mundial viviu algún tempo nos Estados Unidos e en 1958 comezou a traballar no centro de investigación da empresa IBM. Á súa morte era catedrático emérito da Universidade de Yale.O matemático desenvolveu nos anos setenta os obxectos fractais, unha nova clase de obxectos matemáticos que foron xulgados "monstruosos" por algúns dos seu colegas, segundo as súas propias palabras.

Pero os seus descubrimentos tiveron aplicación en numerosos campos, como a xeoloxía, a medicina, a enxeñería, sen esquecer as finanzas e a anatomía.Unha das súas últimas intervencións públicas produciuse no Congreso Internacional de Matemáticos ICM2006,, celebrado en Madrid. Alí explicou: "Agás unhas poucas excepcións, coma o ollo ou a Lúa, as formas da natureza son rugosas, irregulares, non homoxéneas nin simples. E [ata o estudo matemático dos fractais] as matemáticas concentráronse sempre en figuras simples. Síntome moi afortunado por traballar nas matemáticas do irregular".

Os fractais son coma unha coliflor romanesco [unha variedade de coliflor con formas simétricas]. Isto quere dicir que cada pequeno anaco é exactamente como a coliflor en si mesma. É unha curva que se reproduce ata o infinito. Cando se ve o obxecto desde máis preto atópase a mesma curva.A relación dos fractais co infinito é peculiar. Ilústrao o chamado paradoxo da costa. Quen intente medir o litoral obterá un resultado distinto en función do grado de detalle ao que aspire: se ten en conta só o contorno das baías ou se vai medindo cada roca, cada pedriña, cada gran de area... Nun fractal ideal o litoral -calquera contorno rugoso, en realidade- chegaría a facerse infinitoEsta propiedade fai que os fractais non collan na xeometría e o cálculo convencionais. Houbo que crear para eles matemáticas novas. Por exemplo, resulta que os fractais teñen dimensión fraccionaria. Unha curva non rugosa -non fractal- ten dimensión 1. Unha superficie, coma un cadrado, ten dimensión 2. Pero, que pasa cunha curva fractal (os matemáticos chámanlle curva a calquera cousa que se debuxe sen erguer o lapis)? Unha curva fractal é infinita, e a pesares diso non enche superficie algunha... A solución matemática desta rareza pasa por dar aos fractais unha dimensión maior que un e menor que dous, isto é, un número fraccionario.

Antenas fractais e outras aplicacións

Nas últimas décadas os fractais invadiron múltiples ámbitos, como explicaba o propio Mandelbrot en Madrid: "Pensa nas antenas: en moitos dispositivos modernos as antenas son fractais porque son moito máis eficientes. Ou nas paredes das casas; se fosen fractais absorberían o ruído, e de feito xa hai patentes de muros fractais con textura rugosa que absorbe o ruído en vez de reflectilo".

A lista de exemplos é longa: un novo cemento baseado en materiais fractais que impiden que a auga entre e deteriore a estrutura do edificio; elementos de microelectrónica con estrutura fractal... "A tradición era pensar en formas suaves; ao romper esta tradición, os fractais estanse volvendo cada vez máis útiles", dixo Mandelbrot.

Antena fractal en Castelar Sur, Arxentina

Aceptémolo: os troncos das árbores non son cilindros, nin as montañas conos, nin as nubes esferas, nin as praias arcos de circunferencia, nin os lóstregos segmentos rectos. Euclides non basta para comprender as formas naturais máis frecuentes. Se a ciencia é o xeito máis doado de comprender o complexo, entón a xeometría fractal de Benoit Mandelbrot é ciencia pura. Este investigador faleceu en Massachusetts (Estados Unidos) o 14 de outubro de 2010, aos 85 anos.

OS FRACTAIS NA NATUREZA

As tres fotos, chamadas D, E e F, son tres vistas dunha mesma fieita. A E representa unha parte da D vista de preto; e a F é, á súa vez, unha ampliación da E. Se nos fixamos no aspecto xeral da fieita (D), veremos que consta basicamente dun talo central de onde saen a cada lado follas de cor verde rematadas en punta. Se realizamos un zoom sobre unha das follas (E), a estrutura repítese: talo central e follas verdes saíndo a cada lado. Observando finalmente unha das follas (F) veremos a mesma estrutura, e así ad infinitum.A propiedade en virtude da cal a forma xeométrica da fieita é independente da escala na que se observa chámase autosemellanza.Os nervios das follas tamén teñen forma fractal.

A rede que forman os ríos e os seus afluentes recordan moito a un fractal. Tamén ocorre coas cadeas montañosas e a forma destas tras ser erosionadas polos cursos de auga. Os grandes deltas e fiordes tamén adoitan aparecer en formas fractais.

O CONXUNTO DE CANTORO conxunto de Cantor, así chamado por ser introducido por Georg Cantor en 1883, é un destacado subconxunto fractal do intervalo real [0,1]. Pode definirse coma o resultado de eliminar, dun xeito recursivo, o segmento aberto correspondente ao terzo central de cada intervalo.Constrúese do seguinte xeito:Tomamos un segmento de lonxitude 1. Dividimos agora este segmento en tres partes iguais e quitamos a parte central. Cada segmento dos que quedan ten agora lonxitude igual a 1/3. Eliminamos o segmento centralDe seguido repetimos o mesmo procedemento con cada un dos segmentos restantes. Cada un dos segmentos ten unha lonxitude de 1/9 (un terzo dun terzo). Polo tanto, agora téñense catro segmentos de lonxitude 1/9.Se se repite este procedemento con cada un dos segmentos obtidos, atópanse sucesivamente as liñas mostradas na figura. En cada paso vaise atopando un número maior de segmentos, pero cada un de menor lonxitude.Se se levara a cabo este procedemento un número moi grande de veces, chegaríase a un número extraordinariamente grande de segmentos, cada un de lonxitude moi pequena.Esta figura mostra as sete primeiras etapas:

Noutras dimensiónsEn calquera dimensión defínese o produto cartesiano do conxunto de Cantor por si mesmo, que recibe o nome de po de Cantor. Ademais, en dimensión 2 defínese a alfombra de Sierpinski e en dimensión 3 a esponxa de Menger.

Po de Cantor en 3DAlfombra de Sierpinski

Esponxa de Menger

A CURVA DE KOCH

O creador en 1904 dese “monstro” foi Niels von Koch, matemático sueco.Constrúese a partir dun triángulo equilátero. Podemos imaxinar a súa construción a partires dun segmento de recta que será sometido a alteracións recorrentes (iteracións), como se describe a continuación:

• Divídese o segmento de recta en tres segmentos de igual lonxitude.• Deséñase un triángulo equilátero (facendo un ángulo de 60o), no que o segmento central

servirá de base.• Suprímese o segmento que serviu de base do triángulo.

Despois de facer isto, o resultado é moi semellante á sección lonxitudinal dun sombreiro de bruxa.

Procedendo da mesma forma para cada un dos catro segmentos que fican, fórmanse 16 novos segmentos máis pequenos.

A curva de Koch é o límite para o que tende esta construción, repetindo as operacións referidas, sucesivamente, para cada segmento.

A seguinte figura representa as seis primeiras etapas de construción. A última curva é unha boa aproximación da curva final.

Se se constrúe a curva de Koch sobre un triángulo equilátero obtemos a “folerpa de Koch”.

Existen moitas variantes sobre a construción da curva de Koch. Esta é a ·”curva de Koch exterior”, que parte orixinalmente dun hexágono, en vez dun triángulo equilátero:

Abaixo vemos dúas versións máis que parten dun cadrado. Denomínanse “fractais de Cesaro”. Obsérvase que a variación do ángulo se traduce en dous resultados finais ben diferentes.

O CONXUNTO DE MANDELBROTO conxunto de Mandelbrot é o máis coñecido dos conxuntos fractais, e o máis estudado. Coñécese así en honor ao científico Benoit Mandelbrot, quen investigou sobre el na década dos setenta do século XX.Este conxunto defínese así, no plano complexo: Sexa c un número complexo* calquera. A partir de c, constrúese unha sucesión por indución: (iteración inicial) (relación de indución)Se o número c cumpre unhas determinadas condicións, dise que pertence ao conxunto de Mandelbrot.

A miúdo represéntase o conxunto mediante o algoritmo de tempo de escape**. Neste caso, as cores dos puntos que non pertencen ao conxunto indican a velocidade coa que tende ao infinito a sucesión correspondente a ese punto. Na imaxe do exemplo, observamos que o vermello escuro indica que ao cabo de poucos cálculos sábese que o punto non está no conxunto mentres que o branco informa que se tardou moito máis en comprobalo. O negro corresponde aos puntos que si están no conxunto.

Unha propiedade fundamental dos fractais é a autosimilitude ou autosemellanza, que se refire a unha certa invariabilidade con relación á escala, ou, dito doutro xeito, ao achegarse a certas partes da imaxe, reaparece en miniatura a imaxe total. Un mesmo motivo aparece a un número infinito de escalas.* Despois de toda unha vida aguantando aos profesores de matemáticas dicíndovos que as raíces cadradas dos números negativos non existían, agora debemos recoñecer que si “existen”. Chamámoslle unidade imaxinaria, i, a √-1 . Calquera múltiplo de i é un número imaxinario. E calquera suma dun número real e un número imaxinario é un número complexo.

** Un algoritmo de tempo de escape é aquel no que cada píxel se colorea segundo o número de iteracións necesarias para “escapar”. Adoita empregarse unha cor especial, a miúdo o negro, para representar os puntos que non escaparon tras un número grande e prefixado de iteracións.

Verémolo máis en detalle a partires deste plano:

Ao ampliar o cadro verde, obtense esta imaxe:

• Salta á vista que a bola negra a é unha redución exacta da bola A. A protuberancia á esquerda de a tamén é unha redución exacta de a, e o proceso segue indefinidamente.

• Tamén se pode observar que a bola b é unha redución de A (unha redución combinada cunha rotación). Mirando mellor, atópanse unha morea de protuberancias semellantes a A.

Volvendo ao plano, escollemos esta vez o cadro laranxa situado no extremo esquerdo do plano. Ao agrandalo obtemos:

O seu parecido coa imaxe inicial é obvio. O proceso pódese repetir unha chea de veces, comezando por agrandar a pequena mancha negra situada á esquerda do cadro

Agora, ampliamos o cadro rosa do plano:

Nesta imaxe aparece unha mancha arriba á esquerda que ten a mesma forma que a imaxe inicial. Ao mirar máis de preto obtense:

E unha vez máis o parecido salta á vista.

Agora, agrandamos o cadro amarelo da dereita do plano:

Acercámonos ao cadro azul claro desta última imaxe:

Aquí nótase unha lixeira deformación da figura inicial. Non obstante, esta imaxe segue tendo a mesma forma cá inicial (dise que son isomorfas). E claro, ao redor de cada clon da forma inicial existen outros clons minúsculos, nas mesmas posicións relativas que na figura global. O proceso non ten fin.

A CURVA DE HILBERTDebuxamos un cadrado de lado unidade. Dividímolo en catro partes iguais. Unimos os centros dos catro cadrados, tal e como mostra a primeira das figuras inferiores. Volvemos a dividir cada cadrado en catro cadrados idénticos e unimos de novo os centros de todos os cadrados mediante unha soa curva seguindo o patrón mostrado na segunda das figuras. Observamos como a curva serpentea comezando no cadrado superior esquerdo e rematando no cadrado superior dereito. Na terceira das figuras alcánzase a terceira iteración. Se repetimos o procedemento infinitamente, no límite obteremos a curva de Hilbert.

A curva ten a curiosa propiedade de ser unha curva continua que pasa por todos os puntos do cadrado unidade. Pero, se unha curva é unidimensional, como é posible que encha un espazo bidimensional? Poderíamos dicir entón que esta curva é tamén bidimensional?A curva de Hilbert é un caso particular das curvas que reenchen o espazo (“space filling curves”). Aquí tedes outros exemplos clásicos:

Se a curva orixinal de Hilbert é sorprendente,aínda o é máis o seu resultado en tres dimensións.

E POR FIN… O TRIÁNGULO DE SIERPINSKIO Triángulo de Sierpinski é unha figura xeométrica obtida a través dun proceso recursivo. É unha das formas elementais da xeometría fractal por presentar propiedades tales como ter tantos puntos como o do conxunto dos números reais, ter área igual a cero, ser autosemellante (unha parte súa é idéntica ao total) e non perder a súa definición inicial a medida que se amplía.

Foi primeiramente descrito polo matemático polaco Waclaw Sierpinski (1882 - 1969).

Unha das maneiras de obter un triángulo de Sierpinski é a través do seguinte algoritmo:

1. Comezamos con calquera triángulo nun plano. (Nun principio pártese dun triángulo equilátero, pero serviría calquera outro tipo de triángulo).

2. Únense con segmentos os puntos medios do triángulo. Obtéñense así 4 triángulos, un deles invertido, que será o que eliminemos.

3. Repetimos indefinidamente o paso 2 cos tres triángulos “sobreviventes”.Aínda que no proceso descrito a figura inicial sexa un triángulo, é posible utilizar calquera outra figura xeométrica. Conforme o aumenta o número de iteracións, a imaxe obtida tende a parecerse ao triángulo de Sierpinski.

ANTES CA NÓSOs pioneiros, e os que nos deron a idea: desde o IES Sierra Minera, de La Unión, Murcia. Non só foron os primeiros, senón que ademais construíron o triángulo de 2187 latas e máis de sete metros e medio de altura.

No IES Tierno Galván de Alcalá de Guadaira, Sevilla, onde foron máis modestos, e se quedaron no triángulo de 729 latas.

No IES Jaume II de Alacante, tamén construíron o triángulo de 729 latas.

TRIÁNGULOS DE SIERPINSKI

NO I.E.S. PONTECESO

AGRADECEMENTOSNada disto tería sido posible sen a axuda de todas e todos vós.

Dende o IES de Ponteceso queremos dar as grazas a todo o alumnado e persoal do instituto. Coa vosa achega fixestes posible que acadaramos as latas para facer este triángulo.

E, en especial, queremos agradecer ao persoal dos seguintes bares que tiveran a amabilidade de gardarnos as latas:

• Restaurante A Pesqueira, Ponteceso.• Cafetería Amancio, Ponteceso.• Bar O Cruce, Ponteceso.• Taberna O Foxo, Ponteceso.• Bar Abeiro, Ponteceso.• Restaurante Miramar, Corme.• Café-bar Lista, Corme.• Cafetería da Ponte, Carballo.• Cafetería do Pazo de Cultura, Carballo.• Bar Nion, Carballo.• Bar Susa, Ordes.• Bar Los Sauces, A Coruña.