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TRAYECTORIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAJE: APRENDIZAJE DE LAS
OPERACIONES SUMA Y RESTA EN AULAS INCLUSIVAS CON INCORPORACIÓN
TECNOLÓGICA
LUISA FERNANDA RODRÍGUEZ MOLINA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
PROYECTO CURRICULAR DE LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON
ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C
2016
2
TRAYECTORIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAJE: APRENDIZAJE DE LAS
OPERACIONES SUMA Y RESTA EN AULAS INCLUSIVAS CON INCORPORACIÓN
TECNOLÓGICA
LUISA FERNANDA RODRÍGUEZ MOLINA
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN COMO OPCIÓN DE TRABAJO DE
GRADO PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN BÁSICA CON
ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
DIRECTORA
OLGA LUCÍA LEÓN CORREDOR
DOCTORA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
PROYECTO CURRICULAR DE LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON
ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C
2016
3
Agradecimientos
Me gustaría que estas líneas sirvieran para expresar mi más profundo y sincero
agradecimiento a todas aquellas personas que con su ayuda han colaborado en la realización del
presente trabajo, en especial a la profesora Olga Lucia León Corredor, directora de esta
investigación, por la orientación, el seguimiento y la supervisión continúa de la misma, pero
sobre todo por la paciencia, motivación y el apoyo recibido a lo largo de este tiempo.
También quiero dar las gracias a Claudio Juliá, representante de Artemática, por su
colaboración en el suministro de los datos necesarios para la construcción y adaptación de los
materiales.
Un agradecimiento muy especial merece la comprensión, paciencia y el ánimo recibido
de mi familia y amigos.
A todos ellos, muchas gracias.
4
Contenido
Introducción ...................................................................................................................... 10
Objetivos ........................................................................................................................... 12
Objetivo general ............................................................................................................ 12
Objetivos específicos .................................................................................................... 12
Contexto de iniciación en la formación matemática ......................................................... 13
La resolución y planteamiento de problemas............................................................ 14
El razonamiento. ....................................................................................................... 15
La comunicación. ...................................................................................................... 16
La modelación ........................................................................................................... 17
La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. .............................. 19
Trayectorias de aprendizaje pre – aritmética ................................................................ 19
Trayectoria de aprendizaje: cantidad, número y subitización. .................................. 19
Trayectoria de aprendizaje: Conteo verbal y conteo de objetos. .............................. 22
Trayectoria de aprendizaje: comparación, orden y estimación. ................................ 25
Accesibilidad de poblaciones con necesidades especiales en las trayectorias pre –
aritméticas ................................................................................................................................. 29
Contexto para el desarrollo de la trayectoria de aprendizaje en la básica primaria .......... 31
Fundamentación de las operaciones suma y resta ............................................................. 36
Concepto formal de suma y resta .................................................................................. 37
Estructura de los problemas de suma y resta ................................................................ 39
Tipos de problemas. .................................................................................................. 40
5
Estrategias de resolución de problemas. ................................................................... 42
Discapacidad visual y las matemáticas ............................................................................. 43
Didáctica de las matemáticas para niños con discapacidad visual ............................... 44
Percepción cinestésica- táctil. ................................................................................... 45
Percepción auditiva. .................................................................................................. 46
Fundamentación de la metodología .................................................................................. 47
Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA) .......................................................... 47
Las metas matemáticas ............................................................................................. 48
Las rutas de desarrollo del aprendizaje ..................................................................... 48
Conjunto de actividades ............................................................................................ 49
El juego como dispositivo didáctico ............................................................................. 50
Aspectos macro – estructurales en el dispositivo juego. ........................................... 51
Aspectos micro – estructurales en el dispositivo juego. ........................................... 52
Componentes y momentos del juego. ....................................................................... 56
Trayectoria de aprendizaje, Aritmética: primeras adiciones y sustracciones y estrategias
de conteo ....................................................................................................................................... 58
Organización metodológica .............................................................................................. 73
Metodología Investigación de Diseño .......................................................................... 73
Organización metodológica, Investigación de diseño y juego ...................................... 75
La escalera, dispositivo didáctico ..................................................................................... 77
Jugando con la escalera, respetando las reglas ............................................................. 80
6
Pilotaje. Requisitos de los usuarios ............................................................................... 82
Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.1 .............................................. 83
Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.2 .............................................. 86
Hipótesis de construcción y función del juego la escalera ........................................... 88
Diseño del prototipo ...................................................................................................... 89
Proceso de construcción del prototipo .......................................................................... 91
Biografía de Artemática, Escrita por Claudio Juliá ...................................................... 95
Pilotaje 2. Desarrollo del prototipo ............................................................................... 99
Situaciones que fomentan el aprendizaje de la suma y la resta en la trayectoria de
aprendizaje de Clements y Sarama (2015).................................................................................. 101
Trayectoria real que fomenta el aprendizaje de la suma y la resta con el prototipo. .. 103
Reflexión ......................................................................................................................... 107
Materiales didácticos inclusivos ................................................................................. 107
Conclusiones ................................................................................................................... 109
Bibliografía ..................................................................................................................... 111
7
Tablas y figuras
Tabla 1. Trayectoria de aprendizaje: cantidad, número y subitización ........................... 20
Tabla 2. Trayectoria de aprendizaje para conteo. ............................................................ 23
Tabla 3.Trayectoria de aprendizaje: comparación, orden y estimación .......................... 25
Tabla 4. Habilidades desarrolladas en las trayectorias pre – aritméticas....................... 28
Tabla 5. Hipótesis de niveles y actividades. ..................................................................... 31
Tabla 6. Categorización de la Trayectoria de Clements y Sarama (2015) ...................... 34
Tabla 7. Tipos de problemas para la suma y la resta (Maza, 1989, p.24) ....................... 40
Tabla 8. La naturaleza del juego según Piaget citado en Calderón y León (2015). ........ 52
Tabla 9. Cualidades del juego, según Navarro (2002, citado en Calderón y León, 2015)
....................................................................................................................................................... 55
Tabla 10. Componentes y momentos del juego (Calderón y León, 2015) ........................ 56
Tabla 11. Trayectoria de aprendizaje, Aritmética: primeras adiciones y sustracciones, y
estrategias de conteo (Clements y Sarama, 2015. p.119) ............................................................. 58
Tabla 12. Formalización matemática del dispositivo, la escalera. .................................. 77
Tabla 13. Caracterización de los usuarios. ...................................................................... 82
Tabla 14. Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.1 .................................. 83
Tabla 15. Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.2 .................................. 86
Tabla 16. Hipótesis de construcción ................................................................................. 88
Tabla 17. Hipótesis de función.......................................................................................... 89
Tabla 18. Elementos del prototipo "la escalera". ............................................................. 90
Tabla 19. Evolución de la escalera. .................................................................................. 91
8
Tabla 20. Situaciones que fomentan el aprendizaje de la suma y la resta en el prototipo.
..................................................................................................................................................... 101
Figura 1. Problema de combinación ................................................................................ 40
Figura 2. Problema de cambio aumentando 1 ................................................................. 41
Figura 3. Problema de cambio aumentando 2 ................................................................. 41
Figura 4. Problema de cambio aumentando 3 ................................................................. 41
Figura 5. Adaptación de metodología (González, 2015) ................................................ 74
Figura 6. Organización metodológica, Investigación de diseño y juego. ....................... 76
Figura 7. Regla No. 1 del juego la escalera ..................................................................... 78
Figura 8. Regla No.2 del juego la escalera ...................................................................... 79
Figura 9. Simulación del juego con dos fichas, respetando las reglas ............................ 80
Figura 10. Juego de la escalera virtual ............................................................................ 81
Figura 11. Primera escalera aplicada en el primer pilotaje ............................................. 82
Figura 12. Estudiante No. 1, Momento 1 ........................................................................ 84
Figura 13. Estudiante No.1, momento 2.......................................................................... 84
Figura 14. Estudiante No. 1, momento 3......................................................................... 84
Figura 15. Estudiante No. 2, momento 1......................................................................... 86
Figura 16. Estudiante No.2, momento 2.......................................................................... 86
Figura 17. Estudiante No.2, momento 3.......................................................................... 86
Figura 18. Requisitos de los usuarios No.3 ..................................................................... 87
Figura 19.Requisitos de los usuarios No.4 ...................................................................... 88
Figura 20. Primera escalera por Artemática .................................................................... 91
9
Figura 21. Segunda escalera por Artemática ................................................................... 92
Figura 22. Tercera escalera por Artemática .................................................................... 92
Figura 23. Dispositivo electrónico del prototipo ............................................................. 93
Figura 24. Pulsador de cada escalón del prototipo .......................................................... 93
Figura 25. Prototipo y todos sus componentes internos .................................................. 94
Figura 26. Parte delantera del prototipo .......................................................................... 94
Figura 27. Parte trasera del prototipo .............................................................................. 95
Figura 28. Mejoras al prototipo No.1 .............................................................................. 99
Figura 29. Mejoras al prototipo No.2 ............................................................................ 100
Figura 30. Estudiante No. 2 interactuando con fichas ................................................... 104
Figura 31. Estudiante No.2 sumando con el prototipo .................................................. 105
Figura 32. Estudiante No.2 reconociendo las fichas y haciendo agrupaciones ............. 106
Figura 33. Estudiante No.1 jugando con el prototipo ................................................... 106
10
Introducción
Este trabajo de investigación hace parte de los resultados entregados por el grupo de
Investigación GIIPLyM del proyecto “Desarrollo didáctico y tecnológico en escenarios
didácticos para la formación de profesores que acogen la diversidad: factores para su
implementación y su validación en la UDFJC.”, el cual está vinculado al proyecto AIDETC y
Acacia, además, cuenta con la colaboración y apoyo en la construcción del material accesible por
parte de Artemática, el cual entregó todo el mecanismo electrónico que hoy se llama “prototipo
de la escalera”.
El trabajo de investigación se divide en dos grandes partes, en la primera parte, se analiza
las Trayectorias de Aprendizaje de Clements y Sarama (2015), enfocándose en la trayectoria:
“Aritmética: primeras adiciones y sustracciones, y estrategias de conteo”, en este apartado, se
hace un estudio de los conceptos, procesos y habilidades que se desarrollan simultáneamente con
la trayectoria mencionada llegando así a la enseñanza de la suma y la resta, tomando en cuenta
las anteriores trayectorias de aprendizaje propuestas por el mismo autor.
Se realiza entonces una fundamentación teórica en cuanto a la enseñanza de la suma y la
resta, contrastando esto con la necesidad de tener aulas inclusivas, que no solo integren
estudiantes que presenten alguna discapacidad sino también la necesidad de incluir materiales y
recursos que fomenten el aprendizaje para todos.
La segunda parte del trabajo de investigación, se da en cuanto a las necesidades
primordiales de las personas con discapacidad ante cualquier juego, en este caso, se tiene el
juego la escalera o salto de la rana, por esto, se empieza un proceso de investigación con
diferentes poblaciones para identificar los requerimientos de los mismos en la construcción de un
juego accesible.
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Estos requerimientos, se encuentran registrados en pilotajes, donde se identifican
aspectos importantes a tener en cuenta en la construcción del prototipo de la escalera, entre estos
requisitos, se obtiene la necesidad de que la nueva escalera llevará consigo luces, sonido,
texturas e imanes; esta construcción fue realiza por Claudio Juliá representante de Artemática.
Posteriormente al primer pilotaje de identificación de requerimientos, se realizan otros
pilotajes en cuanto al desarrollo del prototipo, allí se identifican aspectos a mejorar y además de
lo anterior, los pilotajes se enfocan en identificar más aspectos accesibles, que no solo incluyan
poblaciones sordas y ciegas, sino también que pueda resultar un material para toda la población.
En cuanto a la metodología, este trabajo se desarrolla bajo la investigación de diseño y en
los momentos en los que se puede dividir el juego, donde la investigación de diseño se centra en
los experimentos de enseñanza (Molina, Castro, Molina, y Castro. 2011), éste último se
enfatizará en las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje según Clements y Sarama (2015)
donde se expondrá sus principales características y partes, éstas son: las metas matemáticas, las
rutas de desarrollo del aprendizaje y el conjunto de actividades que se adaptaran para un aula de
matemáticas inclusiva (León, Díaz y Guilombo, 2014) con ayuda del juego “el salto de la rana” y
se toma el juego, como un actividad humana, una acción, un ejercicio y una relación que pueden
tener las personas con el mundo interno y externo, también, el juego permite que las personas
desarrollen habilidades y actitudes relacionadas con la diversión y competición (Calderón y
León, 2015).
Por último, se encuentra una trayectoria real que fomenta el aprendizaje de la suma y la
resta en el prototipo, basada en las trayectorias de Clements y Sarama (2015) pero con la
utilización del prototipo final, esta trayectoria fue desarrollada con una estudiante con
discapacidad visual de la básica primaria.
12
Objetivos
Objetivo general
Presentar un diseño de situaciones didácticas sobre el aprendizaje de las operaciones
suma y resta en donde se incorporen tecnologías y se permita el desarrollo de ambientes que
acojan la diversidad.
Objetivos específicos
Construir una Trayectoria Hipotética de Aprendizaje sobre las operaciones suma y resta
en y para una educación diversificada.
Desarrollar la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje con población con discapacidad
visual.
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Contexto de iniciación en la formación matemática
Para el desarrollo de la trayectoria de aprendizaje de la adición y la sustracción, es
importante tener en cuenta ciertas habilidades matemáticas que el niño debe adquirir antes de
aprender las operaciones, para esto Clements y Sarama (2015) proponen algunas trayectorias de
aprendizaje enfocadas en la cantidad, número, subitización, conteo verbal, conteo de objetos,
comparación, orden y estimación como introducción a la trayectoria de aprendizaje a desarrollar
en este trabajo.
Del mismo modo, Clements y Sarama (2015.p.16) describen ciertas habilidades
matemáticas, las cuales tienen cinco aspectos:
1. La comprensión conceptual – comprensión de los conceptos matemáticos,
operaciones y relaciones.
2. Fluidez en el procedimiento – habilidad en llevar a cabo la flexibilidad, precisión,
eficiencia y conveniencia de los procedimientos.
3. Competencia estratégica – habilidad para formular, representar y resolver los
problemas matemáticos.
4. Razonamiento adaptativo – capacidad para el pensamiento lógico, la reflexión, la
explicación, la explicación y la justificación.
5. Disposición productiva – inclinación habitual para ver las matemáticas como algo
sensible, útil y valioso unido a la creencia en la auto-diligencia y auto-eficacia.
Entonces, se describe a continuación tres trayectorias de aprendizaje que se desarrollan
simultáneamente con la trayectoria de aprendizaje de la aritmética en específico de la suma y la
resta, por lo tanto, se describirá brevemente, las metas, los niveles y las actividades a tratar en
14
cada trayectoria, con el fin de identificar las habilidades que los niños desarrollan y cuyos
procesos se evidencian en la trayectoria de aprendizaje para la suma y la resta.
En las trayectorias de aprendizaje, se identificarán los procesos presentes en la actividad
matemática, los cuales son: la resolución y planteamiento de problemas, el razonamiento, la
comunicación, la modelación, la elaboración, la comparación y ejercitación de procedimientos,
presentados en los Lineamientos Curriculares por el Ministerio de Educación (1998).
A continuación, se describe las características principales de cada proceso en la actividad
matemática, para así tomarlos como principal referencia en las trayectorias de aprendizaje.
La resolución y planteamiento de problemas.
Esta actividad es considerada un elemento importante en el desarrollo de las matemáticas
(MEN, 1998), además es uno de los ejes centrales del currículo de matemáticas por lo tanto debe
ser uno de los objetivos primarios en la enseñanza de las matemáticas.
Además, en los Lineamientos Curriculares (1998) se describe algunos aspectos
importantes a tener en cuenta, en el momento de plantear situaciones problema en la clase de
matemáticas, las cuales son (p. 52):
Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las
matemáticas.
Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.
Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original.
Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas.
Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas.
15
La resolución y el planteamiento de problemas ha tenido con el pasar del tiempo diferentes
reconocimientos e investigaciones acerca del cómo llevarlas al aula de matemáticas, es por esto
que Polya citado en MEN (1998. P. 52), propone cuatro fases para resolver problemas:
Comprensión del problema
Concepción de un plan
Ejecución del plan
Visión retrospectiva
Cabe resaltar que las anteriores fases, deben ir guiadas por el docente de matemáticas por
medio de preguntas, las cuales generarán razonamientos y estrategias para la solución del
problema.
El razonamiento.
El razonamiento se entiende como la acción de ordenar ideas para llegar a una conclusión
y viéndolo desde la perspectiva de la resolución de problemas, tiene que ver con las matemáticas
como la comunicación, la modelación y los procedimientos (MEN, 1998).
MEN (1998, p.54) afirma que la acción de razonar está vinculada a:
Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a
conclusiones.
Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento
del problema.
Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos,
usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.
Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.
16
Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las
matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y
potencian la capacidad de pensar.
Por otra parte, León (2005) caracteriza el razonamiento, como los procesos que realiza la
persona para transformar información previa en nuevas formas de información, esta
transformación se lleva a cabo por medio de 2 dimensiones, la primera es la inferencia, la cual
consiste en “el hecho de ser una forma de pensamiento determinado por un tipo de operación
cognitiva especial” (p.38). La segunda dimensión es la utilización del lenguaje, lo cual se refiere
a “el uso de un lenguaje que lo caracteriza, como un tipo de organización discursiva” (p.38).
La inferencia en el proceso de razonamiento se subdivide en tres: la inferencia abductiva,
la inferencia inductiva y la inferencia deductiva; la primera León (2005) la caracteriza como “la
teoría de la abducción es una teoría descriptiva, explicativa y evaluativa, es decir, se enuncia una
relación que se infiere de los datos de forma generativa, evaluativa y aunque no está contenida
implícitamente en las premisas, se establece con el fin de completarlas” (p.39). La segunda
caracterización, la inferencia inductiva ésta misma autora la detalla como “va más allá de las
premisas y posibilita inferencias de hechos observados a hechos inobservados” (p.40). En la
inferencia deductiva, León (2005) expresa que posee un vínculo entre las premisas y la
conclusión, ya que a partir de las primeras se deduce la conclusión.
La comunicación.
La comunicación viene dada por la necesidad que tienen los seres humanos en todas las
actividades que se realizan diariamente, MEN (1998, p.74) propone algunas capacidades que las
personas desarrollan a la hora de comunicarse, estas son:
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Expresar ideas hablando, escribiendo, demostrando y describiendo visualmente de
diferentes formas.
Comprender, interpretar y evaluar ideas que son presentadas oralmente, por
escrito y en forma visual.
Construir, interpretar y ligar varias representaciones de ideas y de relaciones.
Hacer observaciones y conjeturas, formular preguntas y reunir y evaluar.
Por otra parte, Jiménez y Pineda (2013) citan a Perry (2009), quien describe que la
comunicación va más allá de expresar lo que se aprende, se toma también como un proceso
fundamental en el aprendizaje.
Por medio de la comunicación se espera que los estudiantes intercambien con el profesor
y compañeros sus ideas matemáticas, convirtiendo ese conjunto de justificaciones en una base
para la reflexión, mejoramiento y debate (Jiménez y Pineda, 2013).
En cuanto a la anterior interacción Jiménez y Pineda (2013, p. 107) citan a León y
Calderón (2003), quienes afirman que:
El aula de clase se convierte en el lugar privilegiado para construir y manifestar
conocimiento, a partir de la interacción entre sus protagonistas (estudiantes-docentes), lo
cual exige un tipo de relación didáctica que incorpore el componente comunicativo como
aspecto fundamental para el aprendizaje. (p.44)
La modelación
La modelación, se da mediante el proceso de trasladar a las matemáticas los datos,
conceptos, relaciones, condiciones y suposiciones, es decir estos aspectos se matematizan
resultando así un modelo matemático de la situación que se proponga (MEN, 1998).
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Salett y Hein (2004) definen la modelación matemática, como una metodología de
enseñanza, ya que tiene como inicio un tema y a partir de éste se desarrollan una serie de
preguntas que se requieren resolver, por medio de indagaciones sobre el mismo, cabe resaltar,
que las preguntas y actividades a desarrollar sobre el tema propuesto es guiada por el profesor el
cual finalmente construirá el modelo matemático.
El proceso de modelación matemática propiciará en el alumno (Salett y Hein, 2004,p
108):
Integración de las matemáticas con otras áreas del conocimiento.
Interés por las matemáticas frente a su aplicabilidad.
Mejoría de la aprehensión de los conceptos matemáticos.
Capacidad para leer, interpretar, formular y resolver situaciones-problema.
Estimular la creatividad en la formulación y resolución de problemas.
Habilidad en el uso de la tecnología.
Capacidad de actuar en grupo.
Orientación para la realización de la investigación.
Capacidad para la redacción de esa investigación.
Como se mencionó anteriormente, el profesor es el guía de éste proceso y debe actuar en
dos momentos según Salett y Hein (2004): el primero se enfoca en el desarrollo de contenidos a
partir de otras áreas del conocimiento y la segunda, se enfoca en la modelación de los alumnos
para que ellos modelen, es indispensable resaltar que la modelación se puede desarrollar en
cualquier nivel de escolaridad.
19
La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
Además de los anteriores procesos, se espera que los estudiantes hagan cálculos
correctamente, que siga instrucciones, que utilice de forma correcta la calculadora, que realice
transformaciones entre expresiones o representaciones, entre otros (MEN, 1998).
Trayectorias de aprendizaje pre – aritmética
Antes de describir la trayectoria de aprendizaje a desarrollar en este trabajo, se identifican
ciertos procesos que se presentan antes de la aritmética y los cuales son necesarios para un buen
desarrollo de los conceptos.
Trayectoria de aprendizaje: cantidad, número y subitización.
En esta trayectoria Clements y Sarama (2015) da a conocer conceptos importantes que
van abriendo camino a la trayectoria de aprendizaje de la aritmética, estos conceptos son: la
subitización y ésta a la vez se divide en subitización perceptiva y en subitización conceptual.
Clements y Sarama (2015) define la subitización como: la habilidad fundamental en el
desarrollo de la comprensión del número por parte de los estudiantes (Broody, 1987, p.115,
citado por Clements y Sarama, 2015, p.32).
Subitización perceptiva: según Clements y Sarama (2015) este tipo de
subitización se da cuando se pone en juego la observación, es decir, cuando se
identifica la cantidad de un grupo de objetos visualmente.
Subitización conceptual: esta subitización, se evidencia cuando el estudiante ve
las partes y logra ponerlas juntas para hallar el total (Clements y Sarama, 2015).
A continuación se muestra la trayectoria de aprendizaje que propone Clements y Sarama
(2015), donde se pone en juego el concepto de subitización.
20
Tabla 1. Trayectoria de aprendizaje: cantidad, número y subitización
Nivel Proceso
Numérico pre- explicito (Clements y Sarama,
2015, p.28).
En este nivel no está habituado el número en el
niño, lo que se hace es familiarizar a los niños
con palabras como “mas” y comparaciones
entre objetos para introducir a la adición.
Nominador de pequeñas colecciones
(Clements y Sarama, 2015, p.28).
El proceso en este nivel es la comunicación, ya
que el niño identificará colecciones pequeñas y
mencionará a la vez cuántos hay.
Constructor de pequeñas colecciones
(Clements y Sarama, 2015, p.29).
En este nivel, el niño debe construir
colecciones semejantes a otra ya dada,
entonces, se le dará el modelo y
posteriormente el niño construirá otro
partiendo del dado, la comunicación también
juega un papel importante dado que el niño
dará a conocer su proceso de construcción.
Por lo tanto, además del proceso de
comunicación, el niño utilizará la elaboración,
comparación y la ejercitación de
procedimientos, ya que construirá otros
modelos aplicando uno ya dado.
Subitizador perceptual hasta 4(Clements y
Sarama, 2015, p.29).
Este nivel, propone el reconocimiento de
cantidades o el cardinal de un grupo de
21
objetos, por tal motivo, el proceso principal es
la comunicación, dado que el niño dará a
conocer su percepción en cuanto a la cantidad
de objetos que hay en un conjunto.
Subitizador perceptual hasta 5 (Clements y
Sarama, 2015, p.30).
Igual que el nivel anterior, el proceso es la
comunicación, ya que se irá aumentando la
dificultad en el momento de realizar conteos
en un grupo de objetos.
Subitizador conceptual hasta 5 (Clements y
Sarama, 2015, p.31).
Subitizador conceptual hasta 10 (Clements y
Sarama, 2015, p.31).
Subitizador conceptual hasta 20 (Clements y
Sarama, 2015, p.31).
El proceso principal, es el razonamiento, dado
que el estudiante debe identificar cantidades en
diferentes conjuntos de objetos y a la vez
comunicar o representar numéricamente la
cantidad de dicho grupo, es por esto que se
clasifica en el razonamiento, dado que el niño
debe dar cuenta del cómo y del porqué de los
procesos que realiza para dar solución al
problema.
Subitizador conceptual con conteo de saltos y
valor posicional (Clements y Sarama, 2015,
p.32).
Subitizador conceptual con valor posicional y
multiplicación (Clements y Sarama, 2015,
p.32).
En este nivel se evidencia el proceso de
comunicación, ya que el niño verbaliza las
cantidades de los grupos y además razona
acerca del porqué sus resultados dando a
conocer sus justificaciones.
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Trayectoria de aprendizaje: Conteo verbal y conteo de objetos.
En la trayectoria de aprendizaje: cantidad, número y subitización, la principal habilidad
desarrollada es la caracterización e identificación de cantidades y en la presente trayectoria entra
en juego junto con la habilidad mencionada, el conteo, el cual describe Clements y Sarama
(2015) como una herramienta que ayuda a desarrollar el conocimiento de la clasificación y la
seriación; además de esto afirma que “el conteo es el primer algoritmo, el más básico y el más
importante (Clements y Sarama, 2015, p.37)”.
Por otra parte, divide el conteo en: conteo verbal y conteo de objetos de la siguiente
manera:
Conteo verbal: en éste tipo de conteo el niño aprende la lista de palabras que
describen a los números.
Conteo de objetos: este tipo de conteo es una práctica que realiza el estudiante
para coordinar y facilitar el aprendizaje de los números, ya que a medida que van
contando van tocando los objetos generando así una relación entre el conteo
verbal y la cantidad de objetos.
Por otra parte, Clements y Sarama (2015) propone una unión entre el desarrollo de la
subitización y el conteo, ya que por medio de la subitización perceptiva el niño puede desarrollar
el conteo y así mismo ir construyendo ideas de cardinalidad.
23
Tabla 2. Trayectoria de aprendizaje para conteo.
Nivel Proceso
El pre – contador ( Clements y Sarama, 2015,
p.49)
El corista ( Clements y Sarama, 2015, p.49)
El primer proceso, es la comunicación dado
que en este nivel se presenta la repetición de
canciones o la descripción de cantidades sin
necesidad de que estos tengan algún orden en
específico.
El recitador ( Clements y Sarama, 2015, p.49) Al igual que el nivel anterior, la comunicación
juega un papel importante en la identificación
de cantidades en un grupo de objetos.
El recitador (10) ( Clements y Sarama, 2015,
p.50)
El correspondador ( Clements y Sarama, 2015,
p.49)
El contador (números pequeños) ( Clements y
Sarama, 2015, p.51)
El contador (10) ( Clements y Sarama, 2015,
p.52)
El productor (Números pequeños) ( Clements
y Sarama, 2015, p.55)
Contador y productor (10+) ( Clements y
Sarama, 2015, p.57)
Este nivel se divide en subniveles o en
diferentes momentos para desarrollar el
conteo.
En primer lugar en la actividad llamada el
recitador se pone en juego la comunicación, ya
que el niño contará hasta 10 haciendo
correspondencia con objetos.
La siguiente actividad (El correspondador), el
niño razona en cuanto a la correspondencia
uno a uno, uniendo éste proceso junto con la
comunicación, así el niño dará a conocer el
porqué de sus conclusiones.
24
Contador recesivo desde 10 ( Clements y
Sarama, 2015, p.60)
Posteriormente, se realizan preguntas al
estudiante tales como: ¿Cuántos hay en total?
Para identificar la cardinalidad del conjunto de
objetos.
Contador desde N (N+1, N-1) ( Clements y
Sarama, 2015, p.61)
Contador en saltos de 10 hasta 100 (Clements
y Sarama, 2015, p.63)
Contador hasta 100 (Clements y Sarama, 2015,
p.64)
Contador progresivo usando patrones
(Clements y Sarama, 2015, p.64)
Contador en saltos (Clements y Sarama, 2015,
p.65)
Contador de objetos imaginarios (Clements y
Sarama, 2015, p.65)
Contador progresivo manteniendo el número
de conteos (Clements y Sarama, 2015, p.66)
Contador de unidades cuantitativas / valor
posicional (Clements y Sarama, 2015, p.67)
Contador hasta 200 (Clements y Sarama, 2015,
p.68)
En estos niveles el estudiante ya reconoce el
orden de los números, por tal motivo en la
actividad Contador desde N (N+1, N-1), el
niño puede contar a partir de cualquier número
diferente a 1, por tal motivo el estudiante
comunica por medio del conteo su
conocimiento ante el orden de los números.
Por otra parte, se da el proceso de elaboración,
comparación y ejercitación a la hora de
realizar constantes conteos ya sean de 1 en 1 o
de 10 en 10, hasta cualquier número.
Conservador de número (Clements y Sarama, En este nivel los estudiantes empezarán a
25
2015, p.68)
Contador progresivo y regresivo (Clements y
Sarama, 2015, p.68)
reconocer mediante el conteo un objeto mas o
un objeto menos, esto será la introducción a la
adición y a la sustracción, es por esto que el
proceso que se presenta en este nivel es el
razonamiento, dado que el estudiante
encontrará patrones y los podrá expresar
matemáticamente.
Trayectoria de aprendizaje: comparación, orden y estimación.
En esta trayectoria, se trata principalmente de los conceptos de comparación, orden y
estimación de cantidades discretas, en las anteriores trayectorias se ha teniendo en cuenta
también la noción de comparación, pero es en esta trayectoria donde se enfatiza en dicho
concepto y además se relaciona con la ordinalidad que estos pueden tener.
La comparación para Clements y Sarama (2015) se presenta en primer lugar de forma
intuitiva desde muy corta edad y su desarrollo será simultáneo a las habilidades de subitización y
conteo.
Tabla 3.Trayectoria de aprendizaje: comparación, orden y estimación
Nivel Proceso
Correspondedor muchos a uno (Clements y
Sarama, 2015, p.79)
En este nivel los estudiantes identifican la
cantidad teniendo en cuenta el conjunto de
objetos, es decir realizan una comparación
entre lo verbal y lo tangible, por consiguiente
se presenta el proceso de comunicación y de
26
razonamiento, ya que utiliza argumentos para
exponer sus ideas.
Correspondedor uno a uno (Clements y
Sarama, 2015, p.79)
Correspondedor de objetos (Clements y
Sarama, 2015, p.80)
Comparador perceptual (Clements y Sarama,
2015, p.80)
El estudiante compara cantidades y es capaz
de identificar cual tiene más o menos, usando
la correspondencia uno a uno.
Para lo anterior, el estudiante puede utilizar
material manipulativo tangible, el cual podrá
manipular, ya sea para realizar conteos o
comparaciones.
Contador ordinal primero- segundo (Clements
y Sarama, 2015, p.81)
Comparador No verbal de objetos similares
(Clements y Sarama, 2015, p.81)
El estudiante empieza identificando los
números ordinales, es decir identifica el primer
y segundo objeto.
Por otra parte compara grupos de objetos
pequeños de 1 a 4 e identifica su igualdad o
cambio en las cantidades, en este nivel se
evidencia la comunicación de sus ideas.
Comparador No verbal de objetos distintos
(Clements y Sarama, 2015, p.82)
Comparador por emparejamiento (Clements y
Sarama, 2015, p.82)
Comparador de conteo (mismo tamaño)
(Clements y Sarama, 2015, p.83)
Fila numérica mental hasta 5 (Clements y
El estudiante razona acerca de las cantidades
que pueden presentar uno o más grupos,
realizando emparejamientos y con ayuda del
conteo.
El principal proceso es la comparación de
objetos realizando correspondencia uno a uno
e identificando a la vez el cardinal del
27
Sarama, 2015, p.84) conjunto y afirmando cual posee más
elementos.
Comparador de conteo (5) (Clements y
Sarama, 2015, p.86)
Contador ordinal (Clements y Sarama, 2015,
p.87)
Estimador de extensión espacial (Clements y
Sarama, 2015, p.88)
Comparador de conteo (10) (Clements y
Sarama, 2015, p.88)
Por medio de comparaciones el estudiante
identifica los cardinales de los grupos de
objetos y así mismo identifica cuál grupo
puede tener más o menos objetos.
Identifica los números ordinales del primero al
décimo.
En cuanto a la extensión espacial, el estudiante
relaciona el lugar que ocupan los elementos
con la cantidad de objetos, entre más objetos
más espacio ocupará.
Fila mental de números hasta 10 (Clements y
Sarama, 2015, p.89)
Ordenador serial hasta 6 o más (Clements y
Sarama, 2015, p.90)
Estimador de extensión espacial (Clements y
Sarama, 2015, p.93)
El estudiante en este nivel ordena colecciones,
teniendo en cuenta su cantidad, por ejemplo
ordena primero las colecciones que tienen
cantidades más pequeñas.
Comparador del valor posicional (Clements y
Sarama, 2015, p.93)
Fila mental de números hasta 100 (Clements y
Sarama, 2015, p.93)
Estimador de cuantificación intuitiva barrido
En este nivel, se compara los números con la
posición que le corresponde y es capaz de
estimar una cantidad de objetos,
mostrándoselos por corto tiempo.
28
(Clements y Sarama, 2015, p.95)
Fila mental de números hasta 1000s (Clements
y Sarama, 2015, p.95)
Estimador de puntos de referencia (Clements y
Sarama, 2015, p.95)
Estimador de composición (Clements y
Sarama, 2015, p.96)
Estima cantidades más grandes identificando
por medio de comparaciones numéricas quien
está más cerca de quien, comparándolos
también por el valor posicional que estos
números presentan.
Cabe resaltar que en la mayoría de niveles el
proceso fundamental es la comunicación, dado
que el estudiante continuamente está
identificando, comparando y expresando lo
que está pensando o razonando del ejercicio
propuesto.
Dado las anteriores trayectorias de aprendizaje junto con sus respectivos procesos, se
resume en la siguiente tabla las habilidades que se desarrollan en las trayectorias de aprendizaje
pre – aritméticas, ya que es de gran importancia distinguir qué habilidades son necesarias para el
aprendizaje de las operaciones suma y resta.
Tabla 4. Habilidades desarrolladas en las trayectorias pre – aritméticas
Trayectoria de aprendizaje Habilidad desarrollada
Cantidad, número y subitización La subitización, habilidad fundamental en el
desarrollo de la comprensión del número. Por
medio de ésta el niño puede desarrollar
29
cardinalidad, comparación entre colecciones
de objetos en cuanto a cantidad, en general
ideas de cantidad.
Se identifica entonces esta habilidad
fundamental para la enseñanza antes del
conteo.
Conteo verbal y conteo de objetos Reconocer y nombrar cuántos objetos hay en
una configuración pequeña (subitización).
Aprender los nombres y la lista ordenada de
las palabras que designan números hasta 10 y
más, enumerar objetos (seriación,
correspondencia 1 a 1).
Entender que el último número enunciado al
nombrar una colección de objetos es el total
(cardinal) de objetos que hay en la colección.
Comparación, orden y estimación Desarrollar el dominio de comparar, ordenar y
tener en cuenta aspectos de estimación.
Accesibilidad de poblaciones con necesidades especiales en las trayectorias pre –
aritméticas
Clements y Sarama (2015), describen que las poblaciones con necesidades especiales,
enfatizando en poblaciones que posean alguna condición de discapacidad ya sea visual, auditiva
o cognitiva y por otra parte, las poblaciones que posean problemas de aprendizaje, se debe
30
enfatizar bastante en la subitización conceptual, ya que como se mencionó anteriormente este
tipo de subitización requiere de una habilidad de enumeración precisa, entonces, es aquí en
donde los profesores deben hacer mayor hincapié y familiarizar los niños con patrones
rectangulares mediante la realización de diferentes juegos que posean combinaciones en el
arreglo de los números, por ejemplo, dominó o cubos numéricos.
31
Contexto para el desarrollo de la trayectoria de aprendizaje en la básica primaria
En este apartado, se identifican y se describen las hipótesis de metas, niveles y
actividades presentes en la descripción de la Trayectoria de Aprendizaje propuesta por Clemens
y Sarama (2015), además de esto, se categorizan por niveles los cuales están desde el básico al
más complejo.
Posteriormente se toma la Trayectoria de aprendizaje y se empieza a categorizar cada
actividad que Clements y Sarama (2015) propone, se clasifican de acuerdo a los procesos
definidos en MEN (1998), los cuales pueden ser la resolución y planteamiento de problemas, el
razonamiento, la comunicación, la modelación, la elaboración, la comparación y ejercitación de
procedimientos.
Tabla 5. Hipótesis de niveles y actividades.
Nivel Hipótesis
Niveles
1. Los niños en edades de preescolar y
kínder pueden solucionar problemas
utilizando objetos concretos o dibujos
(P.103).
2. Los niños tienen un sentido de
cantidad desde sus primeros años de
vida (P.98).
Actividades
NIVEL 1 Los niños pequeños representan
colecciones pequeñas como objetos
individuales y no como grupos
(P.99).
NIVEL 2 La adición y la sustracción se pueden
entender a través del conteo (P.101).
Si se agrega un objeto, se tiene uno
más (P.98).
32
NIVEL 3 A la edad de los 2 años, los niños dan
señales de saber que la adición de objetos
significa aumentar en cantidad y retirar
objetos disminuye cantidad (P.99).
Para los niños pequeños, es mejor
utilizar objetos físicos relacionados
con el problema, los cuales apoyan
el uso por parte de los niños, del
conocimiento informal para
resolver problemas aritméticos
(p.116).
NIVEL 4 Algunos niños utilizan primero
estrategias transicionales, tales como la
estrategia de la suma- rápida, la cual es
similar a la estrategia de contar- todo
(P.104).
Las actividades deben tener
variedad de experiencias que
incluyan crear, utilizar, compartir y
explicar diferentes estrategias, para
ayudar a los niños a desarrollar un
dominio de la aritmética que se
adapte a situaciones (p.116).
NIVEL 5 1. A la edad de los 3 años, los niños
desarrollan un entendimiento explícito
inicial de la adición y la sustracción
de números pequeños (P.99).
2. Los niños solucionan problemas de
adición y sustracción, construyendo su
conocimiento a partir de la
subitización, hacer modelos y contar
(P.118).
En el proceso de solución de
problemas, pida al niño que
explique y justifique las soluciones.
33
NIVEL 6 1. A los 4 años, los niños comienzan a
contar ascendentemente,
solucionando situaciones por medio
del conteo (P.104).
2. A los 4 años de edad, los niños
solucionan problemas de adición con
precisión, involucrando números
más grandes.
Los estudiantes de los grados de
primaria tienden a ignorar las
imágenes decorativas y prestan
atención a las imágenes que
contienen la información requerida
para la solución del problema
(P.110).
NIVEL 7 1. Los niños son estrategas flexibles;
utilizan diferentes estrategias en
problemas que ellos perciben como
fáciles o difíciles (P.103).
2. Hasta los 5 años y medio, los niños
no solucionan problemas con
números grandes sin el apoyo de
objetos concretos (P.100).
Los estudiantes deben usar
representaciones, especialmente
geométricas, espaciales y pictóricas
(p.116).
A continuación se toma la trayectoria de aprendizaje de Clements y Sarama (2015) y se
identifica en ésta los procesos descritos anteriormente actividad por actividad propuesta por los
autores mencionados.
34
Tabla 6. Categorización de la Trayectoria de Clements y Sarama (2015)
Proceso que se lleva a cabo
por nivel según MEN (1998)
Título del nivel propuesto
por Clemens y Sarama
(2015)
Categorización
Razonamiento +/- Pre – explícito (pg. 119) Sensibilización ante las
operaciones suma y resta,
pone en juego la percepción
del niño.
Razonamiento +/- No verbal (pg. 119) El niño realiza mentalmente
sumas y restas de colecciones
pequeñas.
Comunicación +/- de números pequeños (pg.
120)
Utiliza el conteo de objetos
para realizar sumas hasta 5.
Resolución de problemas +/- Encuentra el resultado (pg.
121)
1. Halla las sumas para
problemas de reunión.
2. Resuelve problemas de
sustracción mediante
separación de objetos.
Razonamiento Conviértalo en N (pg. 123) Suma objetos para hacer que
un número se convierta en
otro.
Resolución de problemas +/- Encuentra el cambio (pg.
124)
Encuentra sumandos faltantes
mediante la adición de
35
objetos.
Resolución de problemas y
comunicación.
+/- Estrategias de conteo
(pg.125)
Halla sumas en situaciones
problema de reunión y de
parte – todo, utilizando el
conteo y patrones de dedos.
Razonamiento y
comunicación.
+/- Parte – Todo (pg. 129) Tiene entendimiento inicial de
parte – todo, resolviendo
situaciones problema.
Razonamiento +/- Números en Números (pg.
130)
Reconoce cuando un número
es parte de un todo y puede
mantener en la mente la parte
y el todo simultáneamente.
Razonamiento Derivando (pg.132) Usa estrategias flexibles para
resolver todo tipo de
problemas.
Elaboración, comparación y
ejercitación de
procedimientos.
+/- Solucionador de
problemas (pg. 133)
Soluciona todo tipo de
problemas con estrategias
flexibles y combinaciones
conocidas.
36
Fundamentación de las operaciones suma y resta
Para conocer las operaciones suma y resta se necesita un poco más que resolver cuentas
de adición y sustracción, se requiere identificar las situaciones en las que estas operaciones son
útiles, saber escoger el procedimiento adecuado para resolverlas y además de lo anterior conocer
y aplicar adecuadamente las propiedades de las mismas con el fin de facilitar cálculos.
Es en este punto donde Castro, Rico y Castro (1999) caracterizan las operaciones en
general como el interés por expresar numéricamente distintas situaciones o contextos, afirmando
que:
La aritmética surgió en cada caso junto con un sistema de numeración y para satisfacer
unas necesidades primordiales, no sólo de recuento sino también operatorias; con los
números no sólo se simboliza cantidades, también las acciones, relaciones y
transformaciones cuantitativas, que pueden realizarse sobre los objetos teniendo un reflejo
en las operaciones numéricas. (Castro et al.,1999, p.125)
Entonces, las operaciones juegan un papel importante sobre los objetos reales y es de
“acción”, como por ejemplo: agregar, separar, reiterar y repartir que expresan también diferentes
transformaciones entre los mismos objetos.
Las operaciones numéricas son las que dan la existencia al número afirma Vergnaud
(como se citó en Castro et al,1999) ya que éstas no solo tienen sentido en lo físico sino que
también en lo psicológico.
Dado esto, las operaciones establecen una red de conexiones entre los distintos números,
convirtiéndose así el número en un concepto operatorio y el sistema de los números naturales
aparece dotado de una estructura respecto a las operaciones fundamentales: adición y
37
multiplicación, con unas peculiaridades derivadas de las operaciones inversas: sustracción y
división (Castro et al.,1999).
Por último, Castro et al, (1999) distingue en las operaciones dos caracteres, los cuales
son: expresión de las acciones con los objetos y las cantidades, éste sentido lo denomina “sentido
real de cada operación” y el segundo carácter es el sistema de relaciones internas dentro del
conjunto de los números, éste aspecto se denomina “sentido formal de cada operación”, ya que
están presentes durante toda la etapa de aprendizaje, en la utilización y aplicación de las
operaciones.
A continuación se muestra, específicamente el concepto formal de las operaciones suma
y resta, su proceso de enseñanza, estructura de los problemas o situaciones, representaciones,
estrategias para la solución de problemas, entre otras.
Concepto formal de suma y resta
En la teoría de conjuntos se construyen las operaciones suma y resta a partir de
operaciones entre los conjuntos las cuales son la unión y la diferencia. Con esto se quería
fundamentar desde una perspectiva lógica que la enseñanza de la suma y la resta con una
construcción lógica la cual traería consigo mayor comprensión por parte de los estudiantes
(Maza, 1999), pero sin embargo ha traído consigo diferentes dificultades en cuanto a la puesta en
práctica de estos conceptos.
Entonces, se entiende por sumar dos cantidades como la acción de “reunir” esas
cantidades y obtener una cantidad mayor que cada una por separado (Maza, 1989), un ejemplo
de esto sería lo que propone Clements y Sarama (2015, p.120) en la trayectoria de aprendizaje
para la adición y la sustracción: “tienes 2 balones y consigues 1 más.¿ cuantos tienes en total?”;
por consiguiente, el proceso que posiblemente se ha de llevar es unir o reunir los 2 balones con el
38
1 que se añade al grupo, utilizando el conteo como herramienta para obtener el número de
balones final; lo que se acaba de describir es una interpretación de la adición que generalmente
se encuentran en un aula de clase.
Por otra parte, se indaga también acerca de los diferentes conceptos formales, es decir
estrictamente matemáticos que definen la operación suma.
Veaber (1982, como se citó en Maza, 1989) afirma que la operación suma se puede
entender desde un punto de vista formal: como operación binaria o como una operación unitaria.
La suma como operación binaria es la definición matemática que más se puede encontrar,
la cual Maza (1989) define así: “la suma entre dos números naturales sería una aplicación que se
simboliza por ⟨ ⟩ entre los siguientes conjuntos: , de esta forma a todo par de
números naturales le corresponden otro número natural” (p.10).
La suma como operación unitaria, se define según Maza (1989) como: “una aplicación
que se puede simbolizar por ⟨ ⟩ entre los siguientes conjuntos , es decir, a todo
número natural a, le corresponde el número natural dado en la siguiente definición
conjuntista ( ) donde se refiere a que dos conjuntos disyuntos A y B cuyo
cardinal es a y b, respectivamente, se define la suma de éstos últimos como el cardinal del
conjunto de A y B” (p.11).
Las propiedades de la operación suma vienen dadas de la siguiente manera por
Godino, Batanero y Cid (2003):
La conmutatividad implica que al transponer los sumandos no altera el resultado
ni el procedimiento, es decir, .
La clausura, define que la suma de dos números naturales es otro número natural.
La Asociativa indica que ( ) ( ).
39
La existencia de un elemento neutro, se refiere a que existe un número que al
sumarlo con cualquier número a, ésta suma siempre será el número a, es decir:
El caso de la resta se diferencia ya que en esta operación no se puede efectuar la
propiedad conmutativa por tal motivo se considera de carácter unidireccional (Maza, 1989); es
por esto que en la práctica la operación resta en reconocida por la acción de “quitar”.
La definición conjuntista de la operación resta es: “Sea un conjunto A de cardinal a y un
subconjunto B de A de cardinal b. entonces a – b se define como el cardinal del conjunto A – B
formado por los elementos de A que no pertenecen a B” (Maza, 1989, p. 13)
Estructura de los problemas de suma y resta
Las estructuras de los problemas aditivos surgieron a partir de la necesidad de evitar
ciertos errores que los niños cometían a la hora de enfrentarse a una situación problema, ya que
anteriormente se enseñaba primero los algoritmos y posteriormente sus aplicaciones (Maza,
1989), dado esto, se detectaron los siguientes errores:
A la hora de solucionar una situación problema aditiva o de sustracción, los niños
reflejaban que no sabían qué operación escoger o escogían la operación no
adecuada.
Surgían errores a la hora de aplicar las reglas del algoritmo.
Por lo anterior y gracias a diferentes investigaciones se pudieron registrar diferentes
estructuras para los problemas aditivos, estos se describen a continuación:
40
Tipos de problemas.
Variando el lugar de la incógnita se puede formular tres tipos de problemas para cada operación,
como se evidencia en la tabla 5.
Tabla
Tabla 7. Tipos de problemas para la suma y la resta (Maza, 1989, p.24)
Suma Resta
I.
II.
III.
Maza (1999), caracteriza la primera situación problema como “combinación”, ya que consiste en
determinar ¿Cuántos elementos resultan de reunir o combinar dos conjuntos? (ver figura 1).
Un ejemplo tomado de Clements y Sarama (2015, p.121), de la trayectoria de aprendizaje
de la suma y la resta, podría ser: “tenías 3 manzanas y ahora tienes 3 más, ¿Cuántas tienes en
total?”, este problema hace referencia al tipo de problema de combinación.
Otro problema de estructura aditiva, es el de “cambio aumentando”, en donde una
cantidad inicial se cambia debido al aumento registrado de otra cantidad, el problema consiste en
3 + 2 = 5
Figura 1. Problema de combinación
41
averiguar el valor final (Maza, 1999); se podría decir que el anterior ejemplo aplica para este tipo
de problema, dado que la primera cantidad se ve alterada por el aumento de la segunda.
Otro ejemplo de este tipo de problema es: “tienes 3 pesos y te dan 2 más ¿Cuántos pesos
tienes en total?”, el esquema de ésta situación problema, es:
Otro tipo de problema es donde se presenta cambios aumentando sin conocer el valor del
cambio, por ejemplo: “tienes 3 pesos y te dan varios más. Al final tienes 5 pesos ¿Cuántos te
dieron?”, la situación se representa de la siguiente manera:
Los problemas de cambio aumentando con el comienzo desconocido se presentan de la
siguiente manera: “tienes varios stickers y te dan 2 más. Al final tienes 5 stickers. ¿Cuántos
stickers tenías al principio? ”
3
+2
3 5
+
5
+2
Figura 2. Problema de cambio aumentando 1
Figura 3. Problema de cambio aumentando 2
Figura 4. Problema de cambio aumentando 3
42
Estrategias de resolución de problemas.
La mayoría de personas recurren a estrategias como el conteo con los dedos, entre las
más comunes es el conteo ascendente, en donde para calcular el número total de una colección
verbalmente empiezan a nombrar cada objeto con su respectivo número para así, llegar
finalmente a nombrar el cardinal del conjunto; la estrategia de patrones con los dedos
(subitización conceptual), es cuando se ven las partes y saber que al ponerlas juntas se obtiene el
total; la estrategia de conteo verbal, la cual va muy ligada a la estrategia de conteo de dedos, ya
que se vincula la utilización de los dedos para ir identificando las cantidades y así mismo el
conteo verbal ayuda a que se le dé una correspondencia y por último la estrategia de
recuperación, la cual con solo saber una combinación puede llegar la solución del problema, por
ejemplo, ¿Cuánto es 7 + 8?, la respuesta utilizando la estrategia de recuperación seria 7 + 7 = 14
y 14 + 1=15, entonces 7 + 8 = 15.
43
Discapacidad visual y las matemáticas
A través de la historia se ha evidenciado grandes avances en cuanto a la educación para
personas con discapacidad, la cual ha evolucionado a una educación inclusiva y donde el término
“inclusión” está más relacionado con la escuela común, Parra (2010) aporta que la educación
inclusiva implica que todos los niños y niñas de determinada comunidad aprendan juntos sin
importar las condiciones personales, sociales y culturales incluyéndose a la vez las personas que
posean alguna discapacidad, entonces, una escuela y por ende una clase de matemáticas inclusiva
beneficia a todos los estudiantes de una educación adaptada a sus necesidades educativas.
Entre las diversas necesidades educativas que se pueden presentar en una clase de
matemáticas, éste trabajo se enfoca principalmente en estudiantes con discapacidad visual y es
claro que la discapacidad no impide ningún aprendizaje de las matemáticas, lo que si se debe
reconocer son las dificultades que se presentan con el material, es por esto que a continuación se
describen algunos aspectos de la didáctica de la matemática para personas con discapacidad
visual, entre estos aspectos se encuentra la selección y adecuación de materiales pedagógicos,
instrumental de trabajo y el ritmo de trabajo (Rosich, Núñez y Fernández,1996) teniendo siempre
en cuenta que los objetivos no deben tener modificación alguna.
Es claro que la visión es un sentido que normalmente tomamos como indispensable dado
que en el aula de clase se utilizan diversidad de materiales para la enseñanza, como por ejemplo,
libros de texto, guías y materiales didácticos, pero es necesario que esto tenga una
transformación en pro del aprendizaje no solo de los niños que no tienen discapacidad sino
también de los niños con discapacidad visual, para esto Rosich et al. (1996), propone que para la
presentación de escritura textual o simbólica y para representaciones gráficas se debe tener en
44
cuenta un valor comunicativo, es decir, de fácil comprensibilidad, como se dijo anteriormente,
no solo por los niños videntes sino también por los niños con discapacidad.
Didáctica de las matemáticas para niños con discapacidad visual
Rosich et al. (1996), plantea dos hipótesis en relación con la educación a personas con
discapacidad visual y junto a esto la didáctica de las matemáticas, estas hipótesis son:
No hay ámbito o dominio de la matemática vedado para un ciego (Rosich et al.
(1996). P. 148), para esto, los autores reconocen que la falta de visión no impide
el estudio de las matemáticas, algo muy diferente sería la capacidad de aprender
que poseen las personas con discapacidad visual, pero como mencionan los
autores, es algo que ni en una escuela cotidiana se pueda lograr, es decir que
todos los estudiantes aprendan al mismo ritmo, por lo tanto, tanto las personas
que poseen ésta discapacidad y como las que no, poseen las mismas posibilidades
y oportunidades de formación en el área de matemáticas.
Algo diferente sería las dificultades que los estudiantes con discapacidad visual
presentan a la hora de manipular material tangible y técnico, ya que en muchas
ocasiones se presenta una escasa adaptación de los mismos.
Por la anterior hipótesis es que se genera la necesidad de encontrar una didáctica que
favorezca a las poblaciones con discapacidad visual, es decir, una selección y adecuación de
materiales, instrumentos de trabajo, rutas didácticas y sobre todo el ritmo de aprendizaje, pero
teniendo en cuenta que no se deben modificar los objetivos (Rosich et al. (1996).
La segunda hipótesis, “el proceso de desarrollo psicológico del niño ciego
padece, en general, un retraso medio de cerca de dos años en lo referente a la
adquisición de experiencias lógico - matemáticas” (Rosich et al. (1996), p.149).
45
Es por lo anterior, que no hay necesidad de modificar los objetivos matemáticos por
motivos de que existe un estudiante con discapacidad visual en el aula, al contrario, la didáctica
debe ensayar nuevos caminos y brindar la oportunidad de interactuar con el conocimiento
(Rosich et al. (1996)). Para esto hay que tener en cuenta, que el niño con discapacidad visual
empleará para tareas del aula principalmente la audición, como una forma para comunicarse,
además, empleará el tacto y el sentido cenestésico (El tacto tiene su sentido cuando hay
movimiento, exploración y control muscular, coordinándolo con el sentido cenestésico).
Teniendo en cuenta, que este proceso de investigación se lleva a cabo para discapacidad
visual, se toma entonces en este apartado la fundamentación de porqué el prototipo de la escalera
es accesible a ésta población, para esto, Es en este punto en donde se pone en juego el desarrollo
del sistema sensoperceptivo, en el cual se desarrollan el sistema sensorial, el sistema visual, la
integración motora, el sistema cognitivo, la comunicación, el aprendizaje y donde
específicamente la población con discapacidad visual tiene un potencial desarrollo en la
percepción cinestésica – táctil, la percepción auditiva y la percepción olfativa y gustativa.
A continuación, se muestra la descripción de los desarrollos que traerá implícitos el
prototipo y además la fundamentación del por qué se ha decido entablar un prototipo para niños
con dificultad visual con estas características y elementos.
Percepción cinestésica- táctil.
Este tipo de percepción, se encuentra vinculado también al “sistema perceptivo háptico (o
tacto activo)” y al tacto, el cual según Rosich et al. (1996), lo describe como la percepción de las
formas, dimensiones y texturas, interviniendo también el braille, que tomado todo como un
conjunto se categorizaría como procedimientos exploratorios empleados para tener contacto con
el relieve.
46
Es por esto, que se debe estimular a los estudiantes para que aprendan a coordinar los
movimientos y a tener contacto con muchas texturas diferentes, siendo esto de gran importancia
para los estudiantes a la hora de percibir táctilmente los puntos braille y su ubicación (Rosich et
al. (1996)).
Ahora, entre la percepción táctil se encuentran dos tipos, el tacto activo y el tacto pasivo,
donde el primero, tiene un carácter intencional y sirve para recibir información cutánea,
articulatoria, motora y de equilibrio. El tacto pasivo, se enfoca más en percibir temperaturas y
presión.
Por lo tanto, es en éste tipo de percepción donde los niños con discapacidad visual,
desarrollan la habilidad de ubicar objetos, de definir un tamaño y de percibir una textura. Esto,
está cada vez más relacionado con los primeros momentos que se presentan a la hora de
interactuar con el juego, allí, se le permite al niño establecer el tamaño acorde para él, el alcance
que puede tener de las fichas, la diferenciación de niveles por medio de texturas, y además como
guía principal, el sonido, el cual por medio de melodías ubicará al niño en el prototipo de la
escalera.
Percepción auditiva.
La audición, es una de las vías prioritarias de información y desarrollo que compensan la
discapacidad visual, ya que el oído proporciona información sobre el entorno, específicamente de
lo que está fuera de los límites del contacto directo.
47
Fundamentación de la metodología
La metodología está fundamentada desde la caracterización de las trayectorias de
aprendizaje que realiza Clements y Sarama (2015), las cuales las define a partir de las metas,
rutas y actividades, por otra parte León, Díaz y Guilombo (2014) proponen vincular las
trayectorias a una serie de actividades que generen inclusión en el aula, por lo tanto estos autores
caracterizan las trayectorias para una educación en pro de todos.
Por otra parte se define el juego como un dispositivo didáctico, donde Calderón y León
(2015), describen al juego desde diferentes perspectivas, tales como: psicológica, antropológica y
educativa.
Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA)
Las trayectorias hipotéticas de aprendizaje se consideran como la “reconstrucción de la
pedagogía de las matemáticas desde una perspectiva constructivista” (Gómez y Lupiáñez 2007,
p.79), es decir, se toman dos principales perspectivas del constructivismo para la enseñanza de
las matemáticas, las cuales son: la instrucción y la planificación, en esta última se tiene en cuenta
los objetivos predeterminados y se busca diseñar una serie de tareas que se desean lograr.
Además de esto Gómez y Lupiáñez (2007,p.80) cita a Simon y Tzur (2004) quienes
describen las características principales de las THA, éstas son:
Una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) consiste en los objetivos para el
aprendizaje de los estudiantes, las tareas matemáticas que se usarán para promover el aprendizaje
de los estudiantes, y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de los estudiantes. Mientras
que el objetivo del profesor para el aprendizaje de los estudiantes proporciona una dirección para
las otras componentes, la selección de las tareas de aprendizaje y las hipótesis acerca del proceso
de aprendizaje de los estudiantes son interdependientes. Las tareas se seleccionan con base en
48
hipótesis acerca del proceso de aprendizaje; las hipótesis sobre el proceso de aprendizaje se
basan en las tareas propuestas.
Ampliando las partes que componen las trayectorias hipotéticas de aprendizaje, Clements
y Sarama (2015), las describen desde y para un aula de matemáticas así:
Las metas matemáticas
El primer componente de las THA hace referencia a las metas de la trayectoria, vistas
como “agrupaciones de conceptos y habilidades que son matemáticamente centrales y
coherentes, consistentes con el pensamiento de los niños y generadoras de aprendizaje hacia el
futuro” (Clements y Sarama, 2015, p.4). Es decir, refiere a los objetivos que deben ser fijados,
caracterizados y conocidos por parte del profesor y que constituyen los elementos a tratar y a
enfatizar en la trayectoria. Lo que particularmente, Clements y Sarama (2015) describen como
las grandes ideas de las matemáticas de las cuales se pretende generar algún aprendizaje.
Las rutas de desarrollo del aprendizaje
El segundo componente de las THA permite determinar los niveles de pensamiento que
se establecen para alcanzar las metas inicialmente constituidas y las etapas en las que estos
niveles se desarrollan. A partir de estos elementos se construyen rutas de aprendizaje con las que
se observa la progresión del desarrollo del componente matemático a lo largo de la trayectoria.
En este sentido, el establecimiento de los niveles de pensamiento sirve como punto de
referencia del avance en la ruta de aprendizaje, en el que cada uno de los niveles es más
sofisticado que el anterior y se encuentra de forma jerarquizada en la ruta de aprendizaje: “eso
significa que la progresión del desarrollo describe una ruta típica que los niños siguen durante el
desarrollo del entendimiento y las habilidades necesarias alrededor del tema matemático”
49
(Clements y Sarama, 2015, p.5). Por consiguiente, para la creación de las rutas de aprendizaje, el
docente debe tener en cuenta aspectos de investigaciones realizadas en el campo de las
matemáticas y la educación matemática, con las que determina y soporta los elementos de tipo
conceptual, cognitivo y las habilidades que se asocian al aspecto matemático y que se relacionan
con las metas y las secuencias de actividades.
Conjunto de actividades
Finalmente, el tercer componente de las THA refiere al conjunto de tareas instructivas,
que van emparejadas con cada uno de los niveles de pensamiento durante la progresión del
desarrollo. Enfatizando, “estas tareas están diseñadas para ayudar a los niños a aprender las ideas
y habilidades necesarias para alcanzar ese nivel de pensamiento” (Clements y Sarama, 2015, p.
6). Actividades con las que se observa la progresión del aprendizaje a partir de tareas específicas
y que permiten determinar cuándo se puede pasar de un nivel de pensamiento a otro.
De esta forma, al obtener el conjunto de actividades para el desarrollo de la comprensión
en matemáticas, se debe tener en cuenta que desde los primeros años es importante que exista el
desarrollo de un niño matemático, que sea capaz de utilizar lo que encuentra en su entorno para
la solución de problemas, que se van creando en un ambiente que permite tener prácticas
matemáticas de calidad y que es diseñado y promovido por el profesor.
En las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje como ya se mencionó, se deben diseñar
tareas o actividades las cuales se llevaran a cabo en un aula inclusiva, estos diseños deben
cumplir ciertas exigencias dado que por medio de la interacción de las diferentes poblaciones
éstos aprenderán juntos matemáticas, León, Díaz, Guilombo (2014, p.13), describen las
exigencias de los diseños didácticos “con todos” en una THA:
50
Accesibilidad a la situación por audición, por visión, por aspectos táctiles o por aspectos
perceptuales de otros órdenes.
Accesibilidad al manejo de la información de la situación, bien sea por registro escrito,
registro visual, registro auditivo, registro visogestual.
Accesibilidad a las formas de representar y operar las relaciones y los objetos
matemáticos emergentes de la información.
Accesibilidad a las formas de comunicar y cooperar en el estudio de la información que
propone la situación.
El juego como dispositivo didáctico
El tema de los dispositivos didácticos y en específico el juego, ha tenido grandes
investigaciones psicológicas, antropológicas y en el ámbito de la educación ya que contribuye al
desarrollo de las personas, de la cultura y lo social.
El juego, es tomado como particularmente como actividad humana, una acción, un
ejercicio y una relación que pueden tener las personas con el mundo interno y externo, también,
el juego permite que las personas desarrollen habilidades y actitudes relacionadas con la
diversión y competición (Calderón y León, 2015).
Además de lo anterior, en el juego se desarrollan habilidades y destrezas relacionadas en
sí con el juego, como por ejemplo las reglas del mismo.
Como se mencionó anteriormente, el juego posee grandes contribuciones en los ámbitos
psicológicos, antropológicos y educativos, es por ello que Vergel, Rocha y León (2006. P.1)
citados en Calderón y León (2015), proponen una definición del juego como dispositivo
didáctico “la propuesta didáctica que busca estimular un tipo de acción en los estudiantes para
favorecer la movilización de sus procesos cognoscitivos y comunicativos”. Es entonces en donde
51
el juego adquiere un fin educativo y en particular ideal para la implementación en un proceso de
enseñanza – aprendizaje.
Por esto, el juego como dispositivo didáctico adquiere las condiciones que se exigen en
una propuesta didáctica, las cuales son de tipo macro – estructural y micro – estructural.
Aspectos macro – estructurales en el dispositivo juego.
En este aspecto se considera la naturaleza del juego y el vínculo que posee con la
educación y el currículo (Calderón y León, 2015), es por esto que las autoras toman como
referencia dos vertientes del juego que complementan la educación, estas son: cultural –
antropológico y psicológico, donde la primera se enfatiza en el desarrollo social del ser humano
y la segunda se basa en el desarrollo individual.
En el aspecto cultural Johan Huizinga citado en Calderón y León, 2015, se destaca ya que afirma
“El hombre es un animal que ha hecho de la cultura un juego” planteando con esto, que el juego
es un fenómeno cultural en el que intervienen aspectos biológicos, psicológicos y etnográficos.
Además de que se juega por placer, el juego significa algo para el que juega y es el jugador quien
“llena de sentido” su propio acto de jugar, este acto de jugar, adquiere un acto inmaterial y
simbólico que se realiza en la experiencia humana de tipo cultural, afirmando a la vez que el acto
de jugar es la capacidad racional de orientar el actuar de cada persona en la relación con su
entorno.
En el aspecto psicológico, se toma como principal referencia Jean Piaget (1986) citado
por Calderón y León (2015), quien propone la caracterización del juego; su teoría explica, el
desarrollo cognoscitivo del niño y la formación de estructuras mentales.
En la teoría Piagetina el desarrollo está vinculado con los estadios y es estos momentos
cuando aparece el juego como un papel fundamental en el desarrollo del niño, en la etapa de
52
preescolar por ejemplo, la actividad principal de los niños es jugar, el juego, se convierte en un
instrumento de adaptación, el niño transforma su experiencia del mundo en el juego (Calderón y
León, 2015).
Tomando las referencias de Piaget se toma la clasificación que este autor propone para el
juego, se resume entonces en la siguiente tabla.
Tabla 8. La naturaleza del juego según Piaget citado en Calderón y León (2015).
La actividad de jugar
El ejercicio Es la primera actividad que aparece en la vida
del niño, pareciendo posteriormente el juego
simbólico.
No requiere un gran desarrollo del
pensamiento ni ninguna estructura
representativa.
El símbolo Requiere una estructura representativa,
comienza por las conductas individuales que
hacen posible la interiorización de la imitación
(Calderón y León, 2015, p. 156).
La regla Implica la aprehensión de regularidades por
parte del grupo, la violación de una regla lleva
a una falta.
Aspectos micro – estructurales en el dispositivo juego.
53
El aspecto micro – estructural se refiere principalmente a la relación que el juego puede
ejercer sobre la interacción natural entre estudiante – saber – profesor.
Calderón y León (2015) destacan algunos aspectos importantes de la interacción
estudiante – saber – profesor desde una perspectiva didáctica y además, identifican exigencias
que se le deben hacer al juego para la implementación de éste en un diseño didáctico, es por esto,
que se describe a continuación los requerimientos didácticos que necesita un diseño (Calderón y
León, 2001, citado en Calderón y León, 2015).
Dimensión epistemológica.
Los diseños didácticos deben poseer una fundamentación teórica el cual incluya
fundamentación disciplinar e histórica; esto conlleva a la reflexión sobre los conocimientos que
se pondrán en juego en el diseño y por ende en el aula.
En cuanto al dispositivo juego, el profesor debe tener identificados los juegos que se
pueden poner en práctica en un diseño, reconociendo a la vez su impacto cultural e histórico en
cuanto a su aporte beneficioso en el diseño y además en la construcción de saberes.
Dimensión cognitiva.
Para esta dimensión es necesario identificar las condiciones cognitivas y afectivas
antecesoras al conocimiento a enseñar, ya que cada conocimiento posee pre- conocimientos y
pre- procesos que se deben tener en cuenta a la hora de llevar a la práctica.
En el caso del juego, es necesario indagar acerca de otras actividades que relacionen la
enseñanza del conocimiento en específico con el juego escogido o con otros juegos.
54
Dimensión comunicativa.
Un diseño didáctico necesita dos aspectos: modelo discursivo y el modelo textual,
además las formas de interacción que el profesor ha de poner en práctica en el aula de clase
(Calderón, 2010, citado en Calderón y León, 2015).
En cuanto al modelo discursivo, es importante tener en cuenta la forma de los enunciados
y usos del lenguaje ya sea del profesor como de los textos escolares; en cuanto al modelo textual
se refiere a las estrategias comunicativas que escoge el profesor para desenvolverse en el aula de
acuerdo a los contenidos que se propongan en las actividades.
Dimensión socio – cultural del aula.
En esta dimensión es cuando se desarrollan aspectos culturales y sociales, como por
ejemplo, normas, reglas y una cultura propia en el aula de clase dado a su constante interacción
con estudiantes y profesor como también con el entorno; esas normas y reglas socio – culturales
se derivan además de la interacción también se desarrollan gracias a los diferentes roles en el
entorno que toma cada persona en el aula de clase.
Ahora, cuando el dispositivo juego ingresa en esta dimensión aparecen grandes
características del juego, estas son: ser una actividad reglamentada, libre y con metas propias,
estas características son predominantes propias del juego, teniendo claro que cada juego tiene sus
propias características dada su normatividad y complejidad, es por esto que Navarro (2002,
citado por Calderón y León, 2015) propone las cualidades para el juego: libre, separada, incierta,
improductiva, reglamentada y ficticia, las cuales son cualidades que se desarrollan en el marco
de las relaciones socio – culturales y comunicativas para un aula en donde se incluye el juego
como dispositivo didáctico y donde el profesor debe estar preparado para enfocar y aplicar
55
actividades que lleven inmersas actividades con el dispositivo juego, desarrollando en este caso
en específico habilidades matemáticas.
Tabla 9. Cualidades del juego, según Navarro (2002, citado en Calderón y León, 2015)
Cualidad Descripción
Libre Esta cualidad se hará presente siempre y
cuando el juego no pierda la naturaleza de
diversión atractiva y alegre.
Separada El juego debe ser programado en ciertos
límites de espacio y de tiempo, dado esto, el
juego debe ser determinado con anticipación.
Incierta Es incierto el juego, dado que el desarrollo y
los resultados no están determinados con
anterioridad.
Improductiva No crea bienes, ni riqueza, tampoco elementos
nuevos.
Reglamentada El juego debe estar reglamentado
suspendiendo leyes ordinarias de los
jugadores, entonces, el juego crea
momentáneamente una nueva reglamentación.
Ficticia Puede el juego estar reflejando una realidad
específica, o simplemente mostrar una
irrealidad con la vida cotidiana de los
jugadores.
56
Componentes y momentos del juego.
La metodología a tener en cuenta para los momentos y componentes del juego se resume
en el siguiente cuadro.
Tabla 10. Componentes y momentos del juego (Calderón y León, 2015)
Componentes Momentos del juego
Manipulación de los
objetos del juego
Momento de
conocimiento de las
reglas
Momento de jugar
Afectivo Auto reconocimiento
y valoración de “lo
otro” y del “otro”.
Transformación de las
reglas en deseos
Desarrollo de un “yo”
ficticio.
Tención y alegría.
Actitudinal Uso voluntario y libre
de los objetos del
juego.
Disposición a la
creatividad.
Reconocimiento del
contexto de juego.
Aceptación libre de
reglas.
Respeto por los
Jugadores.
Sorpresa admiración
y creatividad.
Participación
intencional y
autocontrol.
Admiración por los
buenos jugadores.
Estratégico Delimitación espacial
y temporal de los
contextos.
Apreciación profunda
de los objetos, sus
atributos y sus
Partir de lo fácil a lo
difícil.
Supongamos resuelto
el problema.
Identificación de los
tipos de reglas y de
Uso de relaciones
entre reglas.
Identificación,
selección y
jerarquización de las
jugadas.
57
relaciones. los roles de los
jugadores.
Motriz Subordinación de las
acciones a los objetos.
Subordinación de las
acciones a las reglas.
Subordinación de las
acciones a las reglas y
a los objetos.
Instrumental Uso de objetos y
sistemas de
representación de
objetos aritméticos.
Adecuación de los
usos de los objetos a
las condiciones de las
reglas.
Optimización de los
objetos según las
intenciones de las
jugadas.
58
Trayectoria de aprendizaje, Aritmética: primeras adiciones y sustracciones y estrategias de
conteo
La siguiente tabla, es la trayectoria de aprendizaje que propone Clemens y Sarama
(2015), en donde se encontrará las actividades por edad para la enseñanza de la suma y la resta.
Tabla 11. Trayectoria de aprendizaje, Aritmética: primeras adiciones y sustracciones, y
estrategias de conteo (Clements y Sarama, 2015. p.119)
1 año Progresión del desarrollo
+/- Pre- explicito
Sensibilidad ante la adición y la sustracción de grupos combinados con respecto a la
percepción. No se efectúan adiciones formalmente.
No muestra señales de entendimiento con respecto a la adición o sustracción.
Tareas instructivas
Además de brindar riqueza sensorial, ambientes manipulativos, uso de palabras tales
como “más” y acciones de adición de objetos, dirige la atención a las combinaciones
y comparaciones.
2-3 años Progresión del desarrollo
+/- No verbal
Adiciones y sustracciones de colecciones muy pequeñas mentalmente (no
verbalmente).
Tareas instructivas
Unión no verbal resultado desconocido separado de la, resultado desconocido
(quitar), utilizando los números más pequeños.
Por ejemplo: se muestra 2 objetos a los niños, luego 1 objeto que está bajo una
59
servilleta y luego se les pide que muestren cuántos hay.
Juego de pizzas 4.
Los estudiantes suman y restan números hasta los totales de 3 con objetos que se
muestran, pero que luego se esconden emparejando las cantidades dadas.
4 años Progresión del desarrollo
+/- de números pequeños
Halla las sumas para problemas de reunión hasta
3 + 2 mediante un conteo total de objetos.
Tareas instructivas
Unir resultados desconocidos o separados, resultados desconocidos (sacar)
números <5.
Por ejemplo: “tienes 2 balones y consigues 1 más ¿cuántos tienes en total?”
Problemas de palabras.
Pedir a los niños que resuelvan problemas de adición simples con juguetes que
representen los objetos en los problemas. Utilice totales hasta 5.
Por ejemplo: decir a los niños que usted quiere comprar 3 triceratops y 2
tiranosaurios. Pregunte cuántos dinosaurios hay en total.
Pregúnteles a los niños como obtuvieron sus respuestas y repita con otros problemas.
Problemas con los dedos.
Pedir a los niños que resuelvan problemas de adición simple con sus dedos. Utilice
números muy pequeños. Los niños deben colocar sus manos en su regazo en cada
problema.
Por ejemplo: para resolver los problemas anteriores, oriente a los niños mostrándoles
60
tres dedos en una mano y dos dedos en la otra y reitere ¿cuántos hay en total?
Pregúnteles a los niños como obtuvieron sus respuestas y repita con otros problemas.
Tienda de dinosaurios 3
A la solicitud del cliente, los estudiantes agregan el contenido de dos cajas de
dinosaurios de juguete (estructura de números) y haga clic en el numeral que
represente la suma.
4 – 5
años
Progresión del desarrollo
+/- encuentra el resultado
Halla las sumas para problemas de reunión (tenías 3 manzanas y ahora tienes 3 más,
¿cuántas tienes en total?) y para problemas parte – parte – todo (hay 6 niñas y 5
niños en el parque, ¿Cuántos niños hay en total?) mediante modelamiento directo,
efectuando conteo total de objetos.
Ejemplo: si se le pregunta “tienes 2 pelotas rojas y 3 pelotas azules. ¿Cuántas hay en
total?,” cuenta por separado 2 rojas, después cuenta 3 azules y finalmente cuenta 5
en total.
Resuelve problemas de sustracción mediante la separación de objetos.
Por ejemplo: cuando se le pregunta “tienes 5 pelotas y le das 2 a Tomás ¿Cuántas
quedan?” cuenta 5 pelotas, después retira 2 y finalmente cuenta las 3 que quedan.
Conviértalo en N
Suma objetos para “hacer que un número se convierta en otro” sin necesidad de
contar desde “1.”
No representa (necesariamente) cuántos fueron adicionados (no es uno de los
requerimientos de este tipo de problema de dificultad intermedia) (Aubrey, 1997).
61
Por ejemplo: cuando se le pregunta, “esta mascota tiene 4 pelotas pero debería tener
6. Conviértalas en 6,”extiende 4 dedos de una mano, inmediatamente cuenta por
separado ascendentemente desde 4 al tiempo que extiende 2 dedos más, diciendo
“5,6.”
+/- encuentra el cambio
Encuentra el sumando faltante (5 + _=7) mediante la adición de objetos.
Agregar hasta – contar todos los grupos.
Cuando se le pregunta, “tienes 5 pelotas y después consigues unas cuantas más.
Ahora tienes 7 en total.
¿Cuántas conseguiste? ” cuenta por separado hasta 5, después cuenta las pelotas
hasta cinco, una vez más, comenzando en 1, y después adicionando más pelotas,
contando “6,7,” después cuenta las pelotas que se sumaron para hallar la respuesta,
2. (es posible que algunos niños usen los dedos, y atenúen el conteo mediante el uso
de patrones de dedos).
Separar de – contar todos los grupos.
Cuando se le pregunta “Natalia tenía 8 calcomanías. Le dio unas cuantas a Carmen.
Ahora Natalia tiene 5 calcomanías. ¿Cuántas le dio a Carmen?” cuenta 8 8 objetos,
los separa hasta que queden 5, cuenta los objetos que fueron retirados.
COMPARA POR EMPAREJAMIENTOS EN SITUACIONES SIMPLES.
Emparejar – cortar el resto. Si se le pregunta, “aquí tienes 6 perros y 4 pelotas. Si le
damos una pelota a cada perro, ¿Cuántos perros quedan sin pelota?” cuenta por
separado los 6 perros, asigna 4 pelotas de ellos, entonces cuenta los 2 perros que no
tienen pelota.
62
Tareas instructivas
Los jugadores simultáneamente giran 2 cartas para sumar y comparar cual es mayor.
El jugador que tiene más dice: “tengo más” y toma las cartas del oponente. Si las
cartas son iguales, cada jugador gira otra carta hasta romper la secuencia.
El juego termina cuando todas las cartas se han jugado y el ganador es aquel que
tiene más cartas. O se puede jugar sin ganado si no se permite que los jugadores se
queden con las cartas.
Encuentre un cinco.
Los niños hacen grupos de frijoles 1 a 5 luego los esconden debajo de los pocillos y
luego los mezclan. En parejas, los niños tratan de encontrar 2 pocillos que sean
iguales a 5. Cuando estén listos aumente a una suma más alta.
Haciendo lo correcto.
Los niños resuelven problemas como “este muñeco tiene 4 balones pero debería
tener 6. Haga 6”
Tienda de dinosaurios 4.
Los estudiantes comienzan con X dinosaurios en la caja y suman Y hasta alcanzar un
total de Z dinosaurios (hasta 10).
Juego de pizzas 5.
Los estudiantes agregan cubiertas a una pizza (hasta 10) para hacer la cantidad
requerida.
Del mar a la orilla.
Los estudiantes identifican cantidades numéricas por conteo (simple). Ellos avanzan
un número de espacios en un tablero de juego que es uno más que el número de
63
puntos en una estructura de número de cinco dieces.
Unir el cambio de problemas desconocidos como
“tiene 5 balones y luego consigue algunos más. Ahora tiene 7 en total. ¿Cuántos
consiguió?” los niños lo resuelven utilizando balones de 2 colores.
Parte – parte – todo, parte desconocida.
“hay 6 niños en el parque 2 de ellos son niños y el resto son niñas, ¿Cuántas niñas
hay?”
Este tipo de problema puede ser más difícil para la mayoría de los estudiantes y no
se puede solucionar de manera independiente hasta el siguiente nivel porque requiere
mantener la suma en los objetos separados desde los objetos iniciales. Los niños
pueden utilizar los dedos y los patrones de dedos. Ellos pueden utilizar “agregar” si
hacen una parte primero, o “separar desde” si ellos sacan 6, y luego remueven 2,
luego cuentan los objetos que quedan. Sin embargo sin apoyo ni orientación, muchos
niños pueden aprender a resolverlos. Por ejemplo utilizando “niños y niñas” en el
problema anterior puede ayudar. Así decir “y el resto es” finalmente, decir primero
la suma conocida puede ayudar.
5 – 6
años
Progresión del desarrollo
+/- estrategias de conteo
Halla las sumas para problemas de reunión (tenias 8 manzanas y conseguiste 3
más…) y problemas parte – parte – todo (6 niñas y 5 niños…) con patrones de dedos
y/o mediante el conteo sucesivo.
Conteo – sucesivo.
“¿Cuánto es 4 y 3 más?” “cuatroooo… cinco, seis, siete, (usa patrones rítmicos o
64
con dedos para mantener el registro). ¡Siete!”
Conteo – hasta.
Es posible que resuelva sumandos faltantes (3 + _=7) o que compare problemas
mediante conteo ascendente; ejemplo., cuenta “4, 5, 6, 7” mientras extiende los
dedos; después cuenta o reconoce los cuatro dedos que extendió.
Cuando se le pregunta, “tienes 6 pelotas ¿Cuántas más necesitas para tener 8?” dice,
“seis, siete, (extiende el primer dedo), ocho (extiende el segundo dedo). ¡Dos!”
Tareas instructivas
¿Cuántos hay ahora?
Hacer que los niños cuenten los objetos a medida que los ubica en una caja.
Preguntar como “¿Cuántos hay en la caja ahora?” agregue 1, repita la pregunta,
luego verifique la respuesta de los niños contando todos los objetos. Repita,
verifique ocasionalmente. Cuando los niños estén listos puede agregar 2 y
eventualmente más objetos.
Variaciones: ubique monedas en una lata de café. Diga que un número de objetos
dado se encuentra en la lata. Luego haga que los niños cierren los ojos y cuenten los
objetos adicionales a medida que caen dentro.
Más cubiertas.
Los niños utilizan el cortador de pizzas y los discos cafés para las cubiertas. El
profesor les pide colocar 5 cubiertas en sus pizzas y luego pregunta ¿Cuántas
tendrían en total si colocan 3 más? Ellos cuentan para responder luego colocan las
cubiertas para verificar.
65
Doble comparación
Los estudiantes comparan las sumas de las cartas para determinar cuál suma es
mayor. Anime a los niños a utilizar estrategias más sofisticadas como el conteo
sucesivo.
Resultado desconocido de la unión y parte- parte- todo, todo desconocido.
“¿Cuánto es 4 y 3 más?”
Motivar el uso del conteo.
Los niños a menudo utilizan el conteo en lugar del modelado directo (estrategias de
contar rodo) cuando es más fácil aplicar, como cuando el primer sumando es más
grande (23) y el segundo más pequeño (2).
Enseñar las habilidades de conteo sucesivo.
Si los niños necesitan apoyo para utilizar el conteo o no lo crean espontáneamente
amplié la enseñanza de la submodalidades.
Exponga el problema con las cartas numeral (p.e., 5+2). Cuente los objetos en una
línea de cada carta.
Señale el último objeto del primer sumando. Cuando el niño cuente el último objeto
señale la carta numeral y diga “mire este es 5 también. Este dice cuántos puntos hay
aquí”
Resuelva otro problema. Si el niño cuenta el primer conjunto comenzando con 1 otra
vez, interrumpa lo más pronto posible y pregunte qué número diría cuando obtiene el
último objeto en el primer conjunto. Enfatice si sería el mismo número de la carta
numeral.
Señale al primer punto del conjunto y diga (p.e., para 5+2) “ver que hay 5 aquí, así
66
este obtiene el número 6 (exageró el salto del último objeto en el primer conjunto al
primer objeto en el segundo conjunto).”
Repita con nuevos problemas, si los niños necesitan más apoyo, interrumpa su
conteo en el primer conjunto con preguntas: “¿Cuántos hay aquí (primer conjunto)?
Así este (el último del primero) ¿Qué número es? Y ¿Qué número para este otro
(primero del segundo conjunto)?”
Problemas de palabras
Los estudiantes resuelven problemas con palabras (hasta un total de 10) en y fuera
del computador.
Girar hasta diez y hacer dieces
Muchos niños especialmente al comienzo utilizarán estrategias de conteo para
resolver las tareas en estos juegos.
Idea brillante.
Se les da a los estudiantes un numeral y una estructura con puntos. Ellos cuentan
desde este numeral para identificar la cantidad total y luego avanza un número de
espacios correspondientes en un tablero de juego.
Facilón.
Los estudiantes suman 2 numerales para encontrar un número total (sumas de 1 hasta
10) y luego, avanza un número de espacios correspondientes en un tablero de juego.
El juego motiva a los niños a contar desde un número más grande (P.e., para sumar
3+4, ellos contarían “4…5,6,7!”).
Montones de calcetines
Los estudiantes suman dos numerales para encontrar la cantidad de número total (1
67
hasta 20), y luego avanza 1 número de espacios correspondientes en un tablero de
juego.
El juego motiva a los niños a contar desde un número mayor (P.e., para sumar 2+9,
ellos contarían “9…10,11!”).
6 años Progresión del desarrollo
+/- Parte- todo
Tiene un entendimiento inicial de Parte- todo resuelve todos los tipos de problemas
previos usando estrategias flexibles (es posible que use algunas combinaciones
conocidas, tales como 5+5=10).
En algunas ocasiones puede resolver comenzando con una incógnita (_+6=11), pero
solamente mediante ensayo y error.
Si se le pregunta, “tenías un número de pelotas, entonces consigues 6 más. Ahora
tienes 11 pelotas. ¿Cuántas pelotas tenías inicialmente?” coloca 6, después 3 más,
cuenta y obtiene 9. Le pone una más al grupo de 3,… dice 10, y pone 1 más. Cuenta
ascendentemente de 6 a 11 y después re-cuenta el grupo que fue adicionado,
finalmente dice, “¡cinco!”
Tareas instructivas
Resultado separado desconocido.
“Tienes 11 lápices y sacas 7 ¿Cuántos tienes aun?”.
Anime a los niños a utilizar el conteo hacia atrás o especialmente con los números en
este ejemplo conteo hacia adelante, para determinar la diferencia.
Discuta cuando sería más eficiente cada una de estas y otras estrategias. También
cambio de unión desconocido parte – todo parte desconocido y diferencia de
68
comparación desconocida “(Nita tiene 8 etiquetas, Carmen tiene 5 etiquetas.
¿Cuántas más tiene Nita que Carmen?)”.
Los huesos de Barkley
Los estudiantes determinan el sumando faltante en problemas como 4+_=7.
Problemas de palabras 2.
Los estudiantes resuelven problemas de palabras (adición y sustracción de dígitos
simples) dentro y fuera del computador.
Objetos escondidos.
Esconda 4 contadores debajo de una tela oscura y muestre a los estudiantes 7
contadores. Dígales que se escondieron 4 contadores y desafíelos a decir cuántos hay
en total. O dígales que hay 11 en total y pregunte cuántos hay escondidos haga que
discutan sus estrategias de solución. Repita con sumas diferentes.
Eggcellent.
Los estudiantes utilizan la estrategia para identificar cuál de 2 o 3 números, cuando
se suman juntos será capaz de alcanzar el espacio final de un tablero de juego en la
menor cantidad de movimientos, a menudo eso significa que la suma de 2 números
grandes pero a veces otra combinación le permite golpear una positiva o evitar una
acción de espacio regresiva.
6 - 7
años
Progresión del desarrollo
+/- números – en – números
Reconoce cuando un número es parte de un todo y puede mantener en la mente la
parte y el todo simultáneamente; resuelve problemas que comienzan con incógnitas
(_+4=9) empleando estrategias de conteo.
69
Si se le pregunta, “tienes unas cuantas pelotas, después consigues 4 pelotas más y
ahora tienes 9.¿con cuántas pelotas tuviste que empezar?” cuenta, extendiendo
dedos, “cinco, seis, siete, ocho, nueve.” Mira los dedos y dice “¡cinco!”
+/- derivando
Usa estrategias flexibles y combinaciones derivadas (ej: “7+7 es 14, entonces 7+8 es
15”) para resolver todo tipo de problemas. Incluye romper para hacer grupo de diez.
Puede pensar en tres números involucrados en una suma simultáneamente, y puede
mover parte de un número hacia otro, siendo consciente de los incrementos en uno y
las disminuciones (decrementos) en uno.
Cuando se le pregunta, “¿Cuánto es 7+8?” piensa:
[ ] [ ]
Resuelve casos simples de adición multidígito (algunas veces sustracción) mediante
el incremento de dieces y/o unos.
“¿Cuánto es 20+34?” el estudiante usa un cubos para contar ascendentemente 20, 30,
40, 50, más 4 es 54.
Tareas instructivas
Problemas con comienzo desconocidos.
“tiene algunos balones luego consigue 4 más ahora tiene 9 ¿Cuántas tenía al
comenzar?”
Gire las cartas.
Haga turnos, los estudiantes ruedan dos cubos numerables (del 1 al 6) y los suman y
giran sobre cartas numerables 1 – 12, los estudiantes pueden giran sobre cada
70
combinación de cartas cuya suma sea igual a la suma del cubo. Los estudiantes
continúan hasta que ellos no pueden girar más cartas. Luego, se deja registrado la
suma de esas estas cartas. La suma final más baja es la ganadora.
Adivina mi regla
Dígale a la clase que deben adivinar su regla. Los estudiantes dan un número (dice
4) y el profesor registra:
Los estudiantes podrían adivinar la regla es “doble” sin embargo el juego continuo:
Los estudiantes luego adivinan que la regla es “sumar 4.” Pero ellos no pueden decir
esto. Si ellos creen que saben, tratan de dar el número de la derecha de la flecha. El
profesor lo graba si está correcto. Únicamente cuando la mayoría de todos los
estudiantes pueden hacerlo discuten la regla.
Function machine (máquina de funciones)
Los estudiantes identifican una función matemática (regla) observando una serie de
operaciones que aplica a un valor consistente de adición o sustracción (+2, -5, etc.).
Todo tipo de problemas con un solo dígito.
Total de tic tacs.
Dibuje un tablero tic-tac-toe y escriba los números 0 2 4 6 8 0 y 1 3 5 7 9.
Los jugadores por turnos cruzan uno de los números y lo escriben en el tablero. Un
jugador utiliza únicamente los números pares. El otro, únicamente los números
71
impares. El que primero haga 15 como suma de los 3 números en una fila (columna,
diagonal) es el ganador (Kamii, 1985). Cambie el total a 13 para un nuevo juego.
Juego de cartas 21.
Donde el AS toma el valor de 1 al 11 y las del 2 al 10 toman sus valores.
El encargado de iniciar el juego le da a cada uno 2 cartas incluyéndose así mismo.
En cada ronda cada jugador, si su suma es menor de 21 puede pedir otra carta o
parar. Si con una nueva carta la suma es mayor de 21 el jugador queda fuera.
Continúe hasta que todos se “queden” (no piden más cartas).
El jugador cuta suma está más cerca de 21 es el ganador.
Variaciones: al comienzo jugar hasta 15.
Adición y sustracción de multidígitos. “¿Cuánto es 28+35?”.
7 años Progresión del desarrollo
+/- solucionador de problemas
Soluciona todo tipo de problemas, con estrategias flexibles y combinaciones
conocidas.
Cuando se le pregunta, “si yo tengo 13 y tú tienes 9, ¿Cómo podemos tener los dos
el mismo número?,” dice, “9 y 1 es 10, entonces 3 más para llegar a 13.1 y 3 es 4.
¡Necesito 4 más!”
Es posible resolver los multidígitos mediante el incremento o combinación de
decenas y unidades (estas últimas no se usan para reuniones, cambio desconocidos).
“¿Cuánto es 28+35?” el incremento piensa: 20+30=50; + 8=58; 2 más es 6, 3 más es
63. Combinando dieces y unos: 20+30=50. 8+5 es como 8+2 y 3 más, entonces es
13. 50 y 13 es 63.
72
Tareas instructivas
Problemas de todos los tipos de estructura con números de un solo dígito.
73
Organización metodológica
La organización metodológica adaptada para este trabajo de grado es la investigación de
diseño, la cual se centra en los experimentos de enseñanza (Molina, Castro, Molina, y Castro.
2011), éste último se enfatizará en las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje según Clements y
Sarama (2015) donde se expondrá sus principales características y partes, éstas son: las metas
matemáticas, las rutas de desarrollo del aprendizaje y el conjunto de actividades que se adaptaran
para un aula de matemáticas inclusiva (León, Díaz y Guilombo, 2014)con ayuda del juego “el
salto de la rana”.
Por otra parte, se muestra lo que se debe de tener en cuenta a la hora de adaptar un
material, en este caso el juego y las características que debe tener el mismo para la enseñanza de
las operaciones suma y resta a estudiantes con limitación visual.
Metodología Investigación de Diseño
La investigación de diseño o investigación basada en diseño, es de naturaleza cualitativa,
la cual ha venido siendo desarrollada en “las ciencias de aprendizaje” (Molina, Castro, Molina,
& Castro (2011).
El objetivo de la investigación de diseño lo describe Molina, et al., 2011 (p.2) así:
“Analizar el aprendizaje en contexto mediante el diseño y estudio sistemático de formas
particulares de aprendizaje, estrategias y herramientas de enseñanza, de una forma sensible a la
naturaleza sistemática del aprendizaje, de la enseñanza y de la evaluación”.
En este sentido, la investigación de diseño da especial relevancia a la práctica y busca
generar oportunidades para conocer, comprender y cambiar la realidad educativa por medio del
diseño y del análisis de situaciones específicas aplicadas a un determinado contexto. Según
Molina, et al., (2011) “más allá de crear diseños efectivos para algún aprendizaje, se busca
74
explicar por qué el diseño funciona y sugerir formas en las que este puede ser adaptado a nuevas
circunstancias” (p.2). De este modo, con la investigación de diseño refleja un compromiso por
entender la relación entre lo que ocurre en la teoría educativa y la práctica, permitiendo que los
ambientes de aprendizaje sirvan como contexto para la investigación y, de forma simultánea, se
estudien los procesos de aprendizaje y se analice su fundamentación teórica; esto con el fin de
generar cambios que mejoren los ambientes de aprendizaje.
Dado lo anterior éste trabajo se rige bajo la metodología que propone González (2015),
resumido en el siguiente cuadro:
Figura 5. Adaptación de metodología (González, 2015)
INVESTIGACIÓN EN DISEÑO
EXPERIMENTO DE ENSEÑANZA
Validación de
hipótesis Experimentación en el
aula Diseño de la
THA
Identificación de la TRA.
Identificación de
cumplimiento de hipótesis.
Identificación de
indicadores de aprendizaje
y niveles de desarrollo.
Aplicación de instrumentos
a posteriori.
Caracterización del escenario
educativo
Descripción de actores
educativos
Aplicación de las actividades de
la THA
Seguimiento del desarrollo del
aprendizaje.
Aplicación de instrumentos de
observación y análisis.
Definición de hipótesis
para metas, niveles,
actividades de la THA
Construcción de la THA:
metas, niveles y
actividades.
Elaboración de
instrumentos de diseño,
análisis a priori, análisis a
posteriori de las
actividades
75
Organización metodológica, Investigación de diseño y juego
Para la construcción de una ruta que guíe la investigación, se toma la metodología de
investigación de diseño y el juego como dispositivo didáctico, se vinculan en el siguiente cuadro
mostrando los momentos del juego según las etapas de la trayectoria de aprendizaje.
76
INVESTIGACIÓN EN
DISEÑO
EXPERIMENTO DE
ENSEÑANZA Y DISPOSITIVO
VALIDACIÓN DE
HIPÓTESIS
EXPERIMENTACIÓN EN
EL AULA
DISEÑO DE LA THA
Identificación de la TRA.
Identificación de cumplimiento de hipótesis.
Identificación de indicadores de aprendizaje y
niveles de desarrollo.
Aplicación de instrumentos a posteriori.
Caracterización del escenario educativo.
Descripción de actores educativos.
Aplicación de las actividades de la THA.
Seguimiento del desarrollo del aprendizaje.
Aplicación de instrumentos de observación y
análisis.
Definición de hipótesis para metas,
niveles, actividades de la THA.
Construcción de la THA: metas, niveles y
actividades.
Elaboración de instrumentos de diseño,
análisis a priori, análisis a posteriori de
las actividades.
Manipulación de los
objetos del juego.
Momento de
conocimiento de las
reglas.
Momento de
jugar
Manipulación
de los objetos
del juego.
Figura 6. Organización metodológica, Investigación de diseño y juego.
77
La escalera, dispositivo didáctico
El juego la “escalera” o conocido también como “el salto de la rana” es un solitario
perteneciente a la familia de juegos de intercambio de fichas colocadas sobre un tablero.
La escalera a utilizar se conforma por 11 casillas o escalones para las respectivas fichas,
cabe resaltar que siempre se encontrará un escalón sin ficha, por lo cual la escalera adaptada está
capacitada para 5 fichas de lado izquierdo y 5 fichas en el lado derecho, por lo general la
cantidad de escalones está dado por un número impar de éstos (2n+1).
El objetivo del juego es intercambiar la posición de las fichas de un lado con las del otro
lado.
El juego consiste entonces en hacer el menor número de movimientos para hacer el
intercambio de las fichas, para esto se construye una tabla donde se muestra la cantidad de
movimientos que se deben hacer con un determinado número de fichas y lo que conduce a una
formalización matemática.
Tabla 12. Formalización matemática del dispositivo, la escalera.
Número de
fichas
1 2 3 4 5 n
Número de
movimientos
3 8 15 24 35
En la tabla anterior se puede evidenciar que el patrón que sigue la fila del número de
movimientos es de los números cuadrados menos 1, entonces para saber la cantidad de
movimientos que se necesitan para solucionar la escalera con n fichas es de:
78
( ) , en donde n viene siendo la cantidad de fichas que se
encuentran en un lado de la escalera, por ejemplo para 3 fichas en cada lado, se realizan 15
movimientos en total:
( ) ( ( ) )
( )
( )
Por consiguiente,
( )
Cabe resaltar que las fichas se desplazan escalones, teniendo en cuenta el escalón que ya
se encuentra vacío y los n escalones que se encuentran ocupados en el lado contrario.
Para el proceso del juego hay que seguir las siguientes reglas sobre el movimiento de las
fichas:
Manual de instrucciones.
1. Mover una en una a medida que se avanza en el juego.
Figura 7. Regla No. 1 del juego la escalera
79
2. Las fichas pueden desplazarse a la casilla que está inmediatamente delante si está
libre o pueden saltar sobre una ficha de color opuesto si la casilla siguiente está
vacía (ver figura 6).
Figura 8. Regla No.2 del juego la escalera
3. Resolver el objetivo en un número determinado de movimientos, proporcional al
número de fichas en juego, así como se mostró en la descripción del juego.
Nota aclaratoria
1. Las fichas no pueden retroceder, es decir, el hecho de no devolverse o moverse en
sentido contrario no es una obligación sino una pérdida de movimientos o
movimientos de más, es necesario recordar que se debe lograr el objetivo con el
menor número de movimientos, tal y como se ilustra en la tabla 9.
80
Jugando con la escalera, respetando las reglas
A continuación se muestra los movimientos que se realizan con 2 fichas de cada lado de
la escalera, se realiza con el fin de ilustrar el cumplimiento del objetivo del juego.
Con 2 fichas.
Figura 9. Simulación del juego con dos fichas, respetando las reglas
Regla No.1
Regla No.2
Regla No.3
81
Por último, se muestra también una simulación del juego que se encuentra en
http://www.matemath.com/juegos1.php?cadena=2-1 , categorizado como un juego de estrategia,
sin embargo es importante resaltar que este juego presenta sonido, pero que sin embargo no
genera ningún patrón a la hora de jugar, únicamente es una acompañante del juego el salto de la
rana; en esta simulación se respetan las reglas anteriormente mencionadas, pero es un juego que
no es accesible, tomando como referencia lo planteado por León, Díaz, Guilombo (2014) en el
marco teórico.
Figura 10. Juego de la escalera virtual
Entonces, teniendo el juego la escalera de madera y empezando el proceso de
construcción del prototipo, se plantean una serie de hipótesis en cuanto a la construcción y a la
función que tendrá cada componente del prototipo.
82
Pilotaje. Requisitos de los usuarios
Para el primer pilotaje se toma la escalera común y corriente, una escalera en madera y
con fichas de fomi o cartón paja, ya que la finalidad de este primer pilotaje es identificar qué se
debe mejorar de la escalera común para un aula incluyente.
Figura 11. Primera escalera aplicada en el primer pilotaje
Para estos pilotajes participaron 4 estudiantes, todos en condición de discapacidad
diferente y los cuales se describen en la siguiente tabla:
Tabla 13. Caracterización de los usuarios.
Nominación del usuario Características del usuario Datos adicionales
Estudiante No. 1 Estudiante con discapacidad
temporal en brazo derecho.
Estudiante de 9 años.
Cursa actualmente grado
cuarto de primaria.
Estudiante No. 2 Estudiante con discapacidad
visual debido a retinopatía de
la prematures.
Estudiante de 7 años,
actualmente cursa grado
primero de primaria.
Estudiante No. 3 Estudiante con discapacidad Estudiante de maestría en la
83
auditiva. Universidad Distrital
Francisco José de Caldas.
Estudiante No. 4 Estudiante con discapacidad
visual.
Estudiante de maestría en la
Universidad Distrital
Francisco José de Caldas.
Para los pilotajes del material, se ha tomado cuatro estudiantes, las cuales presentan
diferente discapacidad, por un lado se tiene a la Estudiante No. 1, quien tiene una discapacidad
temporal en el brazo derecho, tiene una edad de 9 años y se encuentra en grado cuarto de
primaria, con la estudiante No. 1, se puedo evidenciar dificultades para culminar el juego,
principalmente en el entendimiento de las reglas del mismo, al superar esto, se presentan
dificultades a la hora de jugar, tales como el manejo de las fichas en cada escalón, es decir, la
estudiante debía recurrir a recoger constantemente las fichas dado que por su manejo con una
sola mano, se caían de la escalera fácilmente.
Tabla 14. Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.1
Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.1
Momentos (evidencia) Acciones por parte de la jugadora
84
Figura 12. Estudiante No. 1, Momento 1
Empieza el juego sin ningún problema, maneja
la escalera y las fichas con una sola mano.
En el transcurso del juego, presenta problemas
en cuanto a la solución del juego, para lo cual
ella decide empezar varias veces, básicamente
cuando encontraba que las fichas le quedaban
encerradas.
Figura 13. Estudiante No.1, momento 2
Dado que las fichas no están pegadas a la
escalera y la escalera no tiene ningún
mecanismo para sostenerlas, a la jugadora se le
caen varias veces, produciendo distracción en
la jugadora y trayendo consigo la finalización
del juego sin ningún resultado.
Figura 14. Estudiante No. 1, momento 3
Finalmente, la jugadora después de 3 intentos
logra encontrar la solución al juego,
repitiéndolo 2 veces más para verificar sus
procesos.
El segundo pilotaje se realizó con la estudiante No. 2, niña de 7 años y con discapacidad
visual, derivada de una retinopatía de la prematures, con esta estudiante se pudo realizar
diferentes indagaciones en cuanto a la adaptación y también en cuanto a las mejoras al prototipo
85
final, entre los resultados encontrados con la estudiante No. 2, se tiene que dado a la
discapacidad que ella presenta, debe coger con las manos la escalera y esto hace que las fichas se
caigan constantemente; en cuanto al juego, se tienen dificultades a la hora de comprender el
juego, se demora un poco más en entender las reglas y el proceso que se debe realizar para
culminar el juego.
86
Tabla 15. Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.2
Momentos del Pilotaje. Requisitos de los usuarios No.2
Momentos (evidencia) Acciones por parte de la jugadora
Figura 15. Estudiante No. 2, momento 1
Para el pilotaje con la estudiante con
discapacidad visual, se da en primer momento
la exploración del material, como tocar la
escalera y las fichas.
Figura 16. Estudiante No.2, momento 2
Posteriormente, se ponen algunas fichas en la
escalera con el fin de que ella experimente el
juego, sin embargo se presentan algunos
problemas ya que se caen muy fácil las fichas
a medida que ella pasa las manos por los
escalones.
Figura 17. Estudiante No.2, momento 3
La estudiante intenta jugar pero en el primer
encuentro no logra alcanzar el objetivo del
juego, dado que el material para la edad de ella
no es el adecuado, se distrae y aparte de esto
se asusta cuando se le caen las fichas.
87
Por otra parte se realiza un pilotaje a un estudiante sordo (Estudiante No.3), su nivel
académico es universitario, él puede facilitar información dado que desde su experiencia en el
trabajo con estudiantes sordos le ayuda a identificar las necesidades de ésta población.
Éste estudiante, sabe jugar la escalera así que no presenta ninguna dificultad para superar
el objetivo del mismo, afirma que el estilo de la escalera de madera le gusta, dado que para la
población con discapacidad auditiva no les generaría ningún inconveniente al jugar, sin embargo,
afirma que para el trabajo con niños, sería bueno que se manejara un mecanismo que ayude a que
no se caigan las fichas de la escalera.
Figura 18. Requisitos de los usuarios No.3
Por último, se realiza un pilotaje con el modelo la escalera de madera con un estudiante
universitario con discapacidad visual, él no sabía jugar, por lo que tardo un tiempo en poder
alcanzar el objetivo, de igual forma a los anteriores casos, se le caían las fichas con facilidad,
dado que como él afirmaba, los ojos de las personas ciegas son las manos y ellos deben tocar las
cosas casi con todos sus dedos, entonces, al pasar la mano para ver juego que llevaba arrastraba
las fichas de un escalón a otro. Por esta razón, él aconseja utilizar imanes o algún mecanismo que
ayude a sostener la ficha en la escalera.
88
Figura 19.Requisitos de los usuarios No.4
Hipótesis de construcción y función del juego la escalera
Después de una indagación sobre el qué se necesita para que el juego la escalera sea
accesible se establecen unas hipótesis de construcción y función, donde las primeras están
ligadas a cada componente que tiene el prototipo, es decir, la utilidad que el estudiante le da
mientras juega.
Las hipótesis de función, están sujetas a los patrones y estrategias que generan los
componentes del prototipo en los estudiantes en un aula inclusiva, componentes como: las luces
y los sonidos.
Tabla 16. Hipótesis de construcción
Hipótesis de construcción
H1 Los imanes ayudarán a que las fichas no se caigan, por consiguiente habrá mejor
desempeño en el juego.
H2 El sonido que emite el prototipo guiará al estudiante ciego ubicarse y a identificar el
lado de la escalera donde se encuentra.
H3 El sonido que emite el prototipo genera concentración en el jugador ya que guía al
89
mismo en su lugar de ubicación.
H4 La luz del prototipo guiará al estudiante sordo en cuanto a donde se ubica.
Tabla 17. Hipótesis de función
Hipótesis de función
H1 El sonido generará patrones en cuanto a la solución del juego, es decir, guiará por medio
de melodías al estudiante alcanzar el objetivo.
H2 Las luces del prototipo generará una secuencia, la cual dará a entender al estudiante
sordo el orden del juego y las estrategias del mismo.
H3 El proceso del juego se hace más ágil gracias al sonido o las luces del prototipo.
H4 La organización del sonido del prototipo, genera orientación para el estudiante ciego.
A partir de estas hipótesis se llega entonces a la construcción de un prototipo que cumple
con las condiciones de accesibilidad en primera instancia para población ciega y sorda, para
comprobar con más poblaciones será necesario realizar diferentes pilotajes para ir mejorando el
material y generar inclusión en cualquier aula de clase.
Diseño del prototipo
Para la adaptación del juego “la escalera o salto de la rana” llevado a cabo por Claudio
Juliá representante de Artemática, se tomó como base el pilotaje No. 1, presentado
anteriormente, donde éste se enfocaba en identificar las necesidades de algunas personas ante el
juego, entre estas personas se encuentra la estudiante No. 1 quien presenta una discapacidad
temporal en su brazo derecho y la estudiante No. 2 quien tiene discapacidad visual.
90
Cabe resaltar, que el prototipo a presentar se ha adaptado para diferentes poblaciones con
discapacidad, como lo son visual y auditiva, dado a sus elementos, pero sin embargo se
profundizará en la discapacidad visual.
Tabla 18. Elementos del prototipo "la escalera".
Elementos del prototipo Requerimientos de los usuarios Discapacidad a favorecer
Mecanismo de Imán interno
en cada escalón.
Se presenta en los usuarios
dificultad en manejar las fichas en
cada escalón.
Visual y auditiva
Tarjeta de programación, la
cual trae consigo sonido y
luces.
En personas con discapacidad
visual, el sonido que emite cada
escalón ayuda a guiarlos en cada
movimiento, de igual forma, la luz
que se refleja en cada escalón guía
a las personas con discapacidad
auditiva.
Visual y auditiva
Colores Se diferencia cada nivel con un
color diferente, mostrando así a las
personas con discapacidad auditiva
el nivel en donde se encuentran
jugando.
Auditiva
Texturas Se diferencia cada nivel con una
textura diferente, mostrando así a
las personas con discapacidad
Visual
91
visual el nivel en donde se
encuentran jugando.
En la tabla anterior se muestra cada elemento que lleva la adaptación del prototipo la
escalera, sin embargo hay que reconocer algunos factores de fondo que influyen en esta
adaptación, como lo es por ejemplo, la utilización de texturas, sonido e imanes como guía para
población con discapacidad visual.
Proceso de construcción del prototipo
Como se mencionó anteriormente, la construcción del prototipo fue un proceso de estudio
e identificación de las necesidades de las poblaciones, se empezó con una escalera común, se
aplicó a varias personas videntes y a partir de ahí se pudo aplicar personas con discapacidad
visual incluso a personas sordas los cuales han propuesto diferentes sugerencias de qué se puede
mejorar y perfeccionar, a continuación se muestra la evolución del material “la escalera”:
Tabla 19. Evolución de la escalera.
Evolución de la escalera
Primera
generación
1. Primera Escalera diseñada por Artemática hacia el año 1.995.
Inconvenientes: muy alta e inestable; compleja visualización.
Figura 20. Primera escalera por Artemática
92
2. Escalera básica de madera usada en talleres de estudiantes y docentes por
Artemática hasta el año 2014. Actualmente se elabora en acrílico.
Figura 21. Segunda escalera por Artemática
3. Escalera para Maestros usada en investigación con sordos en la U.D. Los
pines permiten su inclinación ante los estudiantes sin que se caigan las
fichas.
Figura 22. Tercera escalera por Artemática
Segunda
generación
Tomando en cuenta las anteriores escales y se evolución con Artemática, se
tiene entonces a continuación el prototipo con adaptaciones en pro de la
inclusión.
1. El prototipo presenta una estructura interna, este fue diseñado y
estudiado por Artemática dado a su complejidad de construcción, dado el
tamaño y las funciones que se requerían.
93
Figura 23. Dispositivo electrónico del prototipo
2. En un primer momento, el prototipo presentaba un pulsador en el centro
de cada escalón, esto trajo consigo dificultades a la hora de hacer sonar o
encajar la ficha con el pulsador, para esto, se cambió el mecanismo y se
implementó sensores, los cuales ayudaban a que la ficha se pegara al
imán y a la vez se pudiera emitir el sonido y la luz.
Figura 24. Pulsador de cada escalón del prototipo
94
3. Una vez armado el prototipo, se evidencia en la parte interna todo el
mecanismo electrónico empleado para satisfacer las necesidades de las
poblaciones.
Figura 25. Prototipo y todos sus componentes internos
4. A continuación el paso final, se muestra el prototipo por sus dos caras:
La cara que ve el estudiante, está compuesta por los bombillos
que emiten la luz.
Figura 26. Parte delantera del prototipo
La segunda cara, la parte de atrás del prototipo, se evidencia el
interruptor de encendido/pagado y la bocina por donde saldrá el
sonido.
95
Figura 27. Parte trasera del prototipo
Teniendo en cuenta la anterior evolución de la escalera y sabiendo que este trabajo de
investigación hace parte de los resultados entregados por el grupo de Investigación GIIPLyM del
proyecto “Desarrollo didáctico y tecnológico en escenarios didácticos para la formación de
profesores que acogen la diversidad: factores para su implementación y su validación en la
UDFJC.”, el cual está vinculado al proyecto AIDETC y Acacia, además, cuenta con la
colaboración y apoyo en la construcción del material accesible por parte de Artemática, el cual
entregó todo el mecanismo electrónico que hoy se llama “prototipo”, es de gran importancia
describir y conocer la historia de Artemática, ésta historia la proporciona Claudio Juliá,
representante de Artemática.
Biografía de Artemática, Escrita por Claudio Juliá
Artemática es un proyecto nacido como la inquietud de hacer ‘algo’ como a muchos les
ha pasado.
Fue la idea de jugar juegos serios (años 80), en la compañía de un diseñador, Alfredo
Henao, compañero de colegio con quien compartimos muchas inquietudes alrededor de crear,
producir y aportar, mezcla del espíritu capitalista competitivo y del espíritu socialista del trabajo,
la creatividad y la esperanza. Con él aprendí diseño gráfico, un poco industrial, el manejo de
materiales y el de las computadoras, dentro del propósito de crear para el progreso social;
96
mantuvimos años la inquietud del cambio, probando ideas de aplicación social, pedagógica y
comercial, originales y didácticas que llamaran la atención de las personas hacia productos
ingeniosos, estéticos y lúdicos y que despertaran asombro.
Mi formación de filósofo pragmático y mi interés en modelos de madera dio lugar a una
magnífica relación teoría-práctica que me llevó al SENA a aprender el manejo de la madera con
precisión, al tiempo que giré alrededor de la comunicación de las ideas complejas. Profundicé mi
formación como instructor de marquetería, profesor de filosofía y artesano de diversos modelos y
diseñé y elaboré juegos para el desarrollo de habilidades con el ánimo de motivar en la gente el
sentido del desarrollo de habilidades de pensamiento. No es un tema fácil; requiere mucha
cultura.
Fui uno de los fundadores y primer presidente de los Toldos de San Pelayo en Usaquén
(1987) y allí me deleité viendo cómo, bajo mi carpa todos los domingos, algunos visitantes
duraban horas concentrados en los rompecabezas que produje por puro deleite. Los observaba
inquieto en los pasos que seguían para resolver tal o cual problema. Ahí orienté, en medio de
artistas y artesanos amigos, el proyecto hacia los chicos imaginándolos con retos lúdicos
correspondiendo con su ingenio, dinámica y natural capacidad de planteamiento y solución de
problemas.
El pensamiento para mí debe ser claro, lógico, consecuente, bien estructurado y fue una
de mis pretensiones. Debido a lo complejo de ciertos niveles de ideas, se debe formar a los
chicos (y a las personas fortalecerlas), intelectualmente para enfrentar dicha complejidad; hay
que aprender procesos junto a contenidos.
Amigos y compañeros se unieron para ofrecer los primeros talleres en instituciones
públicas y privadas, pero fue frustrante la dificultad para formar y mantener un equipo con la
97
pretensión de hacer empresa con nuevas visiones: una empresa de corte ‘grupal’ con innovadoras
relaciones de trabajo. Esa necesidad y ese problema me persiguieron muchos años.
Me sumergí en las políticas y las corrientes educativas, la psicología, la sociología, en la
informática, el Internet, la contabilidad, la administración de empresas y, con todo ello, en
mantener a los amigos, asistir al crecimiento familiar, compartir mi relación de pareja y…
aprender a pensar flexiblemente y reflexivamente en todo; Aunque pasaran los años, muchas
horas diarias innovando, subsistiendo, investigando, experimentando. Y pasaron sin darme
cuenta. Requerimos el sentido de la historia, la anticipación de la felicidad, el valor de la equidad
y del progreso conjuntos… y la ciencia; pensar más y mejor es el medio.
Me satisface hoy haber visto a mis hijos crecer y aprender, El costo ha sido quedarme
rezagado en el crecimiento económico; cuando haces una cosa siempre estás dejando de hacer
otra; y han estado los valores humanos por encima de los materiales.
No he sido un creador; valoro muchas cosas, objetos, tendencias y teorías que ha
desarrollado la cultura universal. Hay mucho detalle aún no visto. Hay mucho (ideas y
materiales) desechado que se debe reciclar. Hoy fabricamos más de 45 referencias y más de 100
modelos entre rompecabezas, nudos, escaleras, juegos, mosaicos, solitarios, etc., y aplicamos un
proyecto consolidado, en proceso de perfeccionamiento y profundización.
La Fundación Euler nació del encuentro con Henry Niño, matemático brillante quien
desistió de ser un excelente docente para incursionar conjuntamente con su esposa Marcela
(física), José Luis (también matemático, hoy docente en la Universidad manuela Beltrán) y
conmigo, en esta empresa pedagógica sin ánimo de lucro estudiando y aplicando proyectos en
desarrollo del pensamiento y talento académico. Henry decidió unificar alrededor de la
matemática y abandoné con pesar este proyecto en el que puse ganas y trabajo.
98
Artemática planteó la necesidad de establecer el desarrollo del pensamiento de los
estudiantes, como un proyecto clave dentro de la educación; eso se hace desde tiempo atrás en
otros países, especialmente los industrializados. Las exigencias del mundo (capitalista o no)
implican competitividad no solo en los aspectos comerciales o industriales, sino en los científicos
y sociales, incluyendo los familiares, y los personales. La inteligencia debe ser vista como un
modo de ver las cosas que incluye la ética y el sentido de vida. Es fundamental para el manejo de
los contenidos. Elaboramos y aplicamos programas y talleres para estudiantes y docentes que se
dirigen al reconocimiento y el progreso de las habilidades de pensamiento básicas y
complementarias, racionales y emocionales, viendo la vida como un todo: con su complejidad
social y económica, emocional, histórica y cultural.
Este proyecto no ha parado de perfeccionarse y abarca un diplomado gratuito para
docentes y particulares (a través de la Corporación Eficiencia Ciudadana).
A partir del 2014, un cambio en las necesidades de un importante cliente (la Universidad
distrital, depto. de matemáticas, en su postgrado), me han llevado a la investigación y el
desarrollo personalizado de materiales didácticos de trabajo para grupos con necesidades
especiales (desplazados, dificultades de escucha, limitados visuales, indígenas, etc.); esto justo
cuando mi único socio quiere ampliar el área de ofertas y yo quiero irme a descansar a pesar de
no tener pensión (por los avatares de mi vida y mi trabajo). Mi inclusión en AIDECT, entidad
que agrupa a varias universidades alrededor de un proyecto con Colciencias, ha ampliado mi
mirada de lo didáctico y su funcionalidad.
99
Pilotaje 2. Desarrollo del prototipo
Teniendo ya el pilotaje No. 2, las hipótesis del material planteadas y los bosquejos de las
necesidades de las poblaciones, se realiza algunos pilotajes con el prototipo para esclarecer las
mejoras que deben realizar y así alcanzar un óptimo prototipo accesible.
Se realiza un primer pilotaje con la estudiante No. 2, la cual empezando muestra gran
afinidad con la escalera dado a su tamaño y sonido, afirma que le gusta más esta escalera dado
que es más bonita, realiza el juego en un nivel de dos fichas sin mayor dificultad, ya no presenta
inconvenientes con las fichas, dado que no se caen y resulta más entretenido para la estudiante.
Figura 28. Mejoras al prototipo No.1
El segundo pilotaje, se realiza con el estudiante sordo, afirma que para trabajar con niños
sordos es más accesible el prototipo dado sus colores, tamaño y luces, además de lo anterior, el
estudiante expresa que la escalera posee sonido, ya que él lo puede sentir por medio de las
vibraciones que éste emite, describiendo a la vez los diferentes tonos que el prototipo presenta.
Este último aspecto es un gran alcance, dado que el sonido no iba enfocado a población
con discapacidad auditiva, pero resultó que éste también puede generar sensaciones y empoderar
al prototipo de alternativas para que cada vez sea más accesible, por ejemplo a población sordo-
ciega, ya que ellos la luz y el sonido del prototipo no lo percibirían.
100
Figura 29. Mejoras al prototipo No.2
Además de lo anterior, el estudiante ciego de nivel universitario, al interactuar con el
prototipo, propone una mejora sobre éste y es que la superficie de las fichas estén formadas por
una textura que resalte mucho más rápida de identificar por los estudiantes ciegos.
101
Situaciones que fomentan el aprendizaje de la suma y la resta en la trayectoria de
aprendizaje de Clements y Sarama (2015)
Teniendo como base fundamental la trayectoria de aprendizaje de Clements y Sarama
(2015), basada en la enseñanza de la suma y la resta, a continuación se construye una serie de
situaciones las cuales se evidencian en el juego la escalera como un primer paso a la enseñanza y
a la implementación de material accesible en aulas inclusivas.
Tabla 20. Situaciones que fomentan el aprendizaje de la suma y la resta en el prototipo.
Nivel Indicador de desarrollo Actividad
NIVEL 1
Encontrando
cambios
El niño tiene sensibilidad ante el
número, es decir percibe cambios
de cantidades pequeñas, sin tener
conocimiento del número.
Presentar a un niño de corta edad, un
grupo de objetos no mayor a tres y
posteriormente esconder uno de ellos.
Identificar las reacciones del estudiante
ante el cambio de cantidades.
NIVEL 2
Contando
identifico el
total
Reconoce las cantidades de
objetos por medio del conteo.
Poner en un lado de la escalera dos fichas
y en el otro lado una ficha.
Preguntar :
¿Cuántas fichas hay en el lado derecho?
¿Cuántas fichas hay en el lado izquierdo?
¿Dónde hay más fichas?
NIVEL 3
Agrupando
objetos
Realiza sumas reuniendo los
objetos.
Posteriormente de contar las fichas de
cada lado de la escalera, se pregunta:
¿Cuántas fichas hay en total?
NIVEL 4 Identifica que si se agrega un En primer lugar se presenta al estudiante
102
Aumentando
y
disminuyendo
cantidades
objeto aumenta la cantidad y al
quitar objetos disminuye la
cantidad de objetos.
la actividad con las fichas de la escalera,
dándole cierta cantidad y pidiéndole que
identifique cuántas fichas hay,
posteriormente se agregan de a una ficha y
se le pedirá que identifique la cantidad, a
partir de ahí, se le pregunta si hay más
fichas que antes o menos, de misma
manera se puede realizar la resta de
objetos.
NIVEL 5
Moviéndose
en la escalera
Identifica la cantidad de
movimientos que se realizan,
dependiendo el número de fichas
con las que se jueguen.
Se empieza el juego en un nivel básico,
con dos fichas, y se pregunta cuántos
movimientos se realizan para ganar el
juego.
A partir de lo anterior, se establece
preguntas como:
Cuántos movimientos se realizan
en cada lado de la escalera.
Cuántos suman en total.
Qué lado realiza más movimientos.
Repetir lo anterior con diferentes niveles
en el prototipo.
103
Trayectoria real que fomenta el aprendizaje de la suma y la resta con el prototipo.
El desarrollo de las anteriores situaciones se realiza con la ayuda de la estudiante No. 2
con discapacidad visual, la cual arroja los siguientes resultados:
NIVEL 1
Al presentar a la estudiante tres elementos, se deja que ella interactúe con éstos y que a la
vez realice una identificación con el tacto de cuántas fichas tiene, cuando se dice “con el tacto”
se refiere a ver las fichas por medio de sus manos, dado que como es una estudiante con
discapacidad visual su mayor percepción será por medio del tacto.
En este momento se pone en juego conceptos como la subitización perceptiva que
describe Clements y Sarama (2015), ya a que a partir de ésta, la estudiante identifica la cantidad
de fichas sin necesidad del conteo, en este nivel se aparta una ficha sin que el estudiante se dé
cuenta de ello y se identifican las reacciones del estudiante ante el cambio, entre estas reacciones
se encuentra: la búsqueda de la ficha faltante, lo que quiere decir que la estudiante identifica la
cantidad principal y al percibir posteriormente un cambio en las cantidades, emprende una
búsqueda del objeto para completar su colección de fichas.
En este nivel se pone en juego también el proceso de la comunicación (MEN, 1998),
dado que por medio de ésta, la estudiante expresa su deseo de encontrar la ficha faltante y
también, sustenta en qué han cambiado las cantidades, en este caso que le falta una ficha.
104
Figura 30. Estudiante No. 2 interactuando con fichas
NIVEL 2
Al poner dos fichas en un lado de la escalera y una ficha al otro lado, se deja que la
estudiante No. 2 interactúe con el material e identifique las fichas en el juego.
Posteriormente, se le pregunta a la estudiante No. 2 ¿Cuántas fichas hay en el lado
derecho?, para la respuesta de esta pregunta, la estudiante procede por medio del proceso de
comunicación (MEN, 1998) a identificar la cantidad de fichas de cada lado.
Como afirma Clements y Sarama (2015) es en este momento donde el estudiante pone en
práctica el conteo de objetos, ya que por medio de éste, al estudiante se le facilita el aprendizaje
de los números y además de esto construye una relación entre el objeto y su respectiva cantidad
verbalmente.
NIVEL 3
Luego de identificar las partes de cada lado de la escalera se le pide a la estudiante
identificar el todo, es decir, que una las cantidades de cada lado de la escalera y reconocer el total
o el todo, para esto, la estudiante recurre al conteo verbal (Clements y Sarama, 2015), es decir, le
va dando a cada objeto un sentido numérico y así va identificando las cantidades de los pequeños
grupos que va formando por medio del conteo, o en palabras de Clements y Sarama (2015) va
desarrollando la habilidad de subitización.
105
Como respuesta a este nivel, la estudiante cuenta dos en un lado de la escalera y un objeto
en el otro lado de la misma, posteriormente, realiza un nuevo conteo de objetos pero no
separando las colecciones y reconociendo a la vez que hay tres objetos.
Se realiza varios ejercicios similares a éste pero cambiando las cantidades de fichas en
cada lado de la escalera.
Figura 31. Estudiante No.2 sumando con el prototipo
NIVEL 4
Esta actividad se realiza con las fichas del prototipo donde se pone una colección de
objetos a la estudiante No. 2, ella identifica la cantidad de objetos y la comunica verbalmente,
posterior a esto se le pregunta ¿qué pasa si se agrega un objeto más?, en este momento ella
empieza un proceso de conteo verbal nuevo, con el fin de identificar la cantidad de objetos con
una ficha de más.
La estudiante por medio del conteo y de la comunicación verbal, identifica cuando
cambia la colección de objetos inicial ya sea para aumentar o disminuir.
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Figura 32. Estudiante No.2 reconociendo las fichas y haciendo agrupaciones
Por último, se presenta a la estudiante No. 2 jugando con la escalera, cabe resaltar que le costó
dificultad en un principio comprender las reglas del juego y ponerlas en práctica, pero después de
varios intentos, logró ganar el juego.
La estudiante No.1 jugó con la escalera común y con el prototipo, expresando su afinidad por
éste último, debido a que le resultaba más llamativo su sonido, tuvo la oportunidad de interactuar
escalón por escalón descubriendo sus diferentes tonalidades, tal y como sucedió con el estudiante
universitario No.4, el cual expresaba que había un sonido en especial que le hacía sentir que ya
había perdido, dado a su tonalidad alta; pero sin embargo los dos estudiantes identificaban en
cada lado del prototipo una secuencia que producían los sonidos.
La estrategia principal del juego, fue identificada por los dos estudiantes ciegos, el estudiante
No. 1 se demoraba un poco en cuanto al reconocimiento de las fichas que pertenecen a cada lado,
ya que la textura que las identificaba estaba localizada en el centro y eso hacía que perdiera el
hilo del juego.
Figura 33. Estudiante No.1 jugando con el prototipo
107
Reflexión
Materiales didácticos inclusivos
Partiendo de las caracterizaciones que realiza Coriat (1997) con respecto a materiales y
recursos que se utilizan diariamente en el aula de matemáticas, se toma entonces las definiciones
brindadas por dicho autor, para así, identificar y caracterizar los recursos y materiales utilizados
en el aula de clase.
Coriat (1997) define a los recursos, como cualquier material no diseñado específica-
mente para el aprendizaje de un concepto o procedimiento determinado, que el profesor decide
incorporar en sus enseñanzas, como por ejemplo, el marcador para tablero, el tablero o el
cuaderno del estudiante, las calculadoras, videos, programas de ordenador, diapositivas, el
periódico, entre otros.
Por otra parte, el autor define a los materiales didácticos, como los materiales que son
diseñados con fines educativos, por ejemplo, las hojas de trabajo preparadas por el profesor,
mate-riales manipulativos como por ejemplo, ábacos, regletas, geoplanos, dados, fichas de
colores, entre otros.
Cabe resaltar, que los anteriores materiales y recursos modelizan todas las relaciones que
pueden existir entre los objetos matemáticos, es decir, con los materiales y recursos, el docente
puede desarrollar diferentes conceptos entrelazándolos entre si y generando características del
objeto a medida que los estudiantes interactúan con los materiales; también, el uso de materiales
y recursos, genera que los estudiantes salgan de la clase habitual a una clase de experimentación,
comprendiendo las afirmaciones y preguntas que realiza el docente en el desarrollo de la
108
actividad y también por medio de la experimentación, el estudiante encuentra respuestas a las
cuestiones del profesor con mayor facilidad.
Teniendo estas definiciones de material y recurso didáctico, surge un cuestionamiento en
cuanto a qué se está realizando actualmente para que estos materiales sean accesibles, es decir,
actualmente encontramos diversos materiales, juegos y recursos educativos que no son accesibles
y que por tal motivo no se pueden llevar fácilmente a un aula inclusiva, ejemplo de esto se
encuentra la escalera o salto de la rana, que cuenta con diferentes estructuras en el mercado y con
una simulación en internet que no posee accesibilidad, por lo tanto no es utilizada por todas las
poblaciones como debería.
Para esto es importante resaltar lo que propone León, Díaz, Guilombo (2014) en cuanto a
las exigencias de los diseños didácticos “con todos”:
Accesibilidad a la situación por audición, por visión, por aspectos táctiles o por aspectos
perceptuales de otros órdenes.
Accesibilidad al manejo de la información de la situación, bien sea por registro escrito,
registro visual, registro auditivo, registro visogestual.
Accesibilidad a las formas de representar y operar las relaciones y los objetos
matemáticos emergentes de la información.
Accesibilidad a las formas de comunicar y cooperar en el estudio de la información que
propone la situación.
Es por esto, que el prototipo se toma como un primer intento de llegar a construir un
juego que sea accesible, es decir un juego para todos, que aunque no se utilicen del todo sus
propiedades con una sola persona, es capaz de desarrollar estímulos, sensaciones y diversión a
personas que lo han desaprovechado por falta de accesibilidad.
109
Conclusiones
En cuanto a conclusiones generales, se tiene el prototipo como un juego accesible a
poblaciones en condición de discapacidad visual y auditiva primeramente, con aspectos positivos
en cuanto a la accesibilidad a otras poblaciones con discapacidad, pero sin ser comprobados.
El prototipo como juego accesible, genera en los estudiantes interés por aprender a
jugarlo, desarrolla habilidades algorítmicas en cuanto a los patrones que éste posee para lograr
terminarlo y sus componentes adaptados, generan sensaciones de querer experimentar mucho
más con éste ya que es atractivo tanto sonoramente y visualmente, posee un tamaño adecuado
para cualquier edad y aparte de todo contribuye a la educación de las matemáticas, como en este
caso la enseñanza de la suma y la resta.
El material exterior del prototipo (pasta) en un primer momento es adecuado para una
población que tenga la posibilidad de trabajar con éste en clases personalizadas, donde el docente
tenga la supervisión del manejo del mismo, de lo contrario sería riesgoso, dado que el material es
frágil y con cualquier golpe se puede dañar y generaría perdida de material en poco tiempo, lo
que si se recomendaría es la utilización de un material fuerte que no intervenga en el proceso del
juego o de los demás componentes del prototipo.
El trabajo con estudiantes universitarios fue de gran ayuda al desarrollo de la
investigación, dado que desde su experiencia no solo por estar en la situación de discapacidad
sino también por su experiencia como docentes, pueden identificar aspectos relevantes en un
proceso de accesibilidad de un material didáctico en el aula de matemáticas, generando
alternativas de construcción, de material y de tamaño para el mismo.
Las trayectorias de aprendizaje tienen un papel importante en la enseñanza de las
matemáticas de cualquier concepto, ya que es una estructura ordenada y definida, permite
110
identificar proceso por nivel, objetivos y además, las actividades a desarrollar de forma
específica, entrelazando nivel a nivel y profundizando los conocimientos, esto permitió que se
analizará adecuadamente la trayectoria de aprendizaje de la aritmética identificando habilidades,
procesos y procedimientos que un estudiante debe seguir con el transcurrir de las actividades,
también, es una gran ayuda para planeaciones de los docentes, dado que gracias a su
organización el desarrollo de conceptos se pueden familiarizar no solo unos con otros, sino
también con otras materias, claro está, incluyendo actividades que permitan trabajar con otras
áreas del conocimiento.
En cuanto a la trayectoria real de aprendizaje, el juego la escalera no fue el único
elemento que se podía utilizar para la enseñanza de la suma y la resta, por medio de sus
componentes, fichas, movimientos y escalones se pudo identificar diferentes situaciones que
desarrollaran la suma y la resta, claro está teniendo como base fundamental la trayectoria de
aprendizaje propuesta por Clements y Sarama (2015).
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