tratamiento informe #2 fisica general

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Perú, DÉCANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE INGENIERIA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

ESCUELA ACÁDEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRÁCTICA N°2:

TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

Asignatura:

Laboratorio Física General

Grupo:

Miércoles 12:00m – 14:00pm

Profesor(a):

Carolina Trujillo

Integrantes:

HURTADO GONZALES, Evair

PAREZ PALOMINO, Manuel

TORRES ASCURRA, Gianella

Lima- Perú2014

Ingenieria Civil [ ]

Tabla de contenid

1. o(Universidad del Perú, DÉCANA DE AMÉRICA).................................................................................0

FACULTAD DE INGENIERIA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA............................0

ESCUELA ACÁDEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL...............................................................0

1. Tabla de contenido.....................................................................................................................1

I. OBJETIVOS:.................................................................................................................................2

II. MATERIALES:..............................................................................................................................2

III. FUNDAMENTO TEÓRICO........................................................................................................3

3.1. USO DEL PAPEL MILIMETRADO..........................................................................................3

3.2. USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO...........................................................................................4

3.3. USO DEL PAPEL SEMILOGARITMICO...................................................................................6

a. EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL:.............................................................6

b. USO DE LA CALCULADORA CIENTIFICA:..............................................................................6

c. USO DEL COMPUTADOR:....................................................................................................7

IV. PROCEDIMIENTO....................................................................................................................8

V. EVALUACIÓN..............................................................................................................................9

VI. CONCLUSIONES....................................................................................................................22

VII. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES.............................................................................23

VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................................24

1 EVALUACIÓN |


I. OBJETIVOS:

Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles gráficos.

Aprender técnicas de ajuste de curvas, principalmente el método de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados.

Explicar Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenómeno físico e interpretarlas.

II. MATERIALES:

Calculadora científica Hojas de papel milimetrado Hojas de papel logarítmico Hoja de papel semilogarítmico

2 EVALUACIÓN |


III. FUNDAMENTO TEÓRICO

Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas y semilogarítmicas, según sea el caso, con el fin de encontrar gráficas lineales (rectas) para facilitarla construcción de las fórmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.

Las gráficas suelen linealizarse (casi a una recta) facilitando la construcción de fórmulas experimentales que corresponden a las leyes que gobiernan al fenómeno que se estudia.

3.1. USO DEL PAPEL MILIMETRADO

Empezamos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:

1. Siempre hay que tener cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las coordenadas.

2. La distribución de puntos obtenidos se unen mediante una curva suave, usando una regla curva o trazo a media alzada.

3. La representaciones gráficas que aparecen con más frecuencia son:

Función lineal y=m+bx Función potencial y=k xn

Función exponencial y=k 10xn

Veamos el primer caso, si la distribución de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, se realiza el ajuste de la recta mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es:

y=mx+b

En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación:

3 EVALUACIÓN |


Primero se construye una tabla de la forma:

x i x i x i y i x i2

x1 x1 x1 y1 x12

x2 x2 x2 y2 x22

.

.

.x p

.

.

.x p

.

.

.x p y p

.

.

.x p2

Σ x i Σ y i Σxi y i Σ x12

Luego calculamos la pendiente y el intercepto:

m=pΣ x i y i−Σ x iΣy i

pΣ x i2−(Σx i)

2 , b=Σ xi

2 Σyi−Σ x iΣ xi y i

pΣ xi2−(Σ xi)

2

En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel milimetrado no es de tendencia lineal; los datos de la tabla se tendrán que pasar a un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una recta.

3.2. USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO.

Las relaciones de la forma

y=k xn ;(n≠1)

Son funciones potenciales y sus gráficas en el papel logarítmico son rectas de pendientes m=n, que cortan el eje vertical en b=log k . Se recomienda usar papel logarítmico 3x3 de manera permanente; en donde cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con … 10-1, 100, 101, 102, 103 …

Al tomar logaritmo decimal a la ecuación

y=k xn ;(n≠1)

4 EVALUACIÓN |


obtenemos:

logy=mlogx+logk

Que tiene la forma lineal y=m+bx , en donde X=logx, Y=logy y b=logk. Concluimos entonces, que el método de regresión lineal se puede aplicar a una distribución potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla.

Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna:

x i y i x i=log x i y i=log yi x i y i=log xi log x i x i2=( log xi)

2

x1 y1 log x1 log y1 log x1 log y1 ( log x1)2

x2 y2 log x2 log y2 log x2 log y2 ( log x2)2

.

.

.x p

.

.

.y p

.

.

.log x p

.

.

.log y p

.

.

.log x i log yi

.

.

.( log x p)

2

Σlog x i Σlog y i Σlog x i log x i Σ( log x i)2

Para determinar la ecuación de la recta en el papel logarítmico, calculamos los valores de:

m=pΣ logxi logyi−Σ logxiΣlogy i

pΣ(logx i)2−(Σlogx i)

2 ,b=Σ(logxi)

2Σlogy i−Σlogx iΣ logxi logy i

pΣ(logxi)2−(Σ logxi)

2

Para encontrar la ecuación de la función potencial

y=k xn

Graficada en el papel milimetrado debemos determinar los valores de m y k. Del párrafo anterior se tiene que m = n y k = 10.

5 EVALUACIÓN |


3.3. USO DEL PAPEL SEMILOGARITMICO

Para relaciones exponenciales de la forma

y=k 10xn

Se utiliza papel semilogarítmico, ¿por qué? Construya de manera adecuada su tabla para aplicar el método de regresión lineal.

a. EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL:

El estudio de este método relativamente sencillo, tiene doble interés: de un lado este tipo de diferencia es frecuente entre magnitudes físicas; por otro lado, muchas otras dependencias más complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestran en la siguiente tabla:

Forma inicial Cambio Forma linealy=a x2 x2=z y=az

y=a√x √ x=z y=azy=aexp(nx ) ln ( y )=z ; ln (a )=b z=nx+b

y=a xn ln ( y )=z ; ln (a )=b; ln ( x )=t z=b+nt

b. USO DE LA CALCULADORA CIENTIFICA:

Estas calculadoras presentan la función LR del inglés linear regresión lo cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlación (r) usando el método de regresión lineal por mínimos cuadrados.

También existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y presentan otros modos de regresión tales como: lineal, logarítmica, exponencial, potencial, inversa y cuadrática, aquí el concepto del coeficiente de correlación juega un rol muy importante. Para hallar la fórmula experimental de la curva obtenida en papel milimetrado haga uso

de la siguiente tabla:

6 EVALUACIÓN |


Distribución de puntos en CalculadoraPapel

MilimetradoPapel

LogarítmicoPapel

SemilogarítmicoTipo Regresión Fórmula

Lineal Lineal y=A+BxCurva Lineal Potencial y=A x B

Curva Lineal Exponencial y=A exp (Bx)Curva Lineal Cuadrática y=A+Bx+C x2

c. USO DEL COMPUTADOR:

Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o Basic para hacer los ajustes que se requieran. También se puede usar programas como Gnuplot, Microcal Origin, entre otros. Pero el más accesible es EXCEL que nos permite hacer gráficas y presentar las curvas de regresión con sus respectivas fórmulas de correspondencia y coeficientes de correlación.

I.

7 EVALUACIÓN |


II. PROCEDIMIENTO

Se presentan las tablas de tres experimentos que se graficaran según se indica:

1.- En la Tabla 1, se tiene las medidas del incremento de temperatura ∆T (diferencia de temperatura con las temperaturas iniciales) para dos volúmenes de agua y el tiempo de calentamiento. Hacer la grafica ∆T versus t en papel milimetrado. Interprete

Vagua(ml) 100 150T(min) ∆T(°C) ∆T(°C)

1234

6,513,019,527,0

4,59,0

14,018,0

2.- La Tabla 2, muestra datos de medidas del tiempo t de evacuación de agua de un deposito a través de una llave de cierto diámetro D de salida tomadas para cuatro llaves de diámetros diferentes y todas medidas a igual altura h de agua del mismo deposito. Haga una grafica de t versus D y una t versus h en papel milimetrado y logarítmico. Interprete.

h (cm) 30 10 4 1D (cm) Tiempo de vaciado t(s)

1,52,03,05,0

73,041,218,46,8

43,023,710,53,9

26,715,06,82,2

13,57,23,71,5

3.- La Tabla 3, muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El dia cero se detectó una desintegración de 4,3 x 1018 núcleos. Haga una grafica de A versus t en papel milimetrado y semilogaritmico. Interprete.

t (dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A(%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

8 EVALUACIÓN |


III. EVALUACIÓN

1.- Adjuntar la grafica de la Tabla 1 y hallar la ecuación experimental por el método de los minimos cuadrados.

m= p∑t .T °−∑T °∑t 2

p∑t 2−(∑t )2=4 (199 )−10∗664∗30−102

=6.8

b=∑t2 .∑T °−∑t∑t .T °p∑t 2− (∑t )2

=30∗66−10∗1994∗30−102

=−0.5

la ecucación será y=6.8 X−0.5

2.- Si la fuente de calor es constante y la temperatura inicial del agua fue de 20°C. ¿Cuál es le tiempo que transcurrirá para que le volumen de agua 100ml alcance la temperatura de ebullición?

Como el agua alcanza su etapa de ebullición cuando alcanza los 100 º C, entonces la ºC

Entonces reemplazamos en la ecuación: (Y= 80)

80= 6.8 X – 0.5

80.5= 6.8 X

X = 11.8382 s

9 EVALUACIÓN |

TABLA t vs. Tt T ° t .T ° t2

1 6.5 6.5 12 13 26 43 19.5 58.5 94 27.0 108 16

∑ t=10 ∑T °=66 ∑ t .T °=199 ∑ t 2=30


3.- Analice y discuta la gráfica obtenida de la Tabla 1. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente y el intercepto?

4.- Considerando las distribuciones no lineales correspondientes, grafique:

a) t = t(h) en papel logarítmico

0 5 10 15 20 25 30 350

1020304050607080

(t vs. h)

Valores YColumna1Columna2Columna3Columna4

ALTURA

TIEM

PO

b) A = A(t) en papel semilogaritmico

0 2 4 6 8 10 121

10

100

Valores Y

T(DIAS)

A(%

)

10 EVALUACIÓN |


c) t = t(D) en papel logarítmico

1 100.1

1

10

100

(t vs. D)

Columna1Columna2Columna3Columna4Columna5

DIAMETRO

TIEM

PO

d) Primero calcule z=1

D2 y luego grafique t = t(z) en papel milimetrado.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

10

20

30

40

50

60

70

80

Columna1Columna2Columna3Columna4Columna5

Z=1/D2

TIEM

PO

11 EVALUACIÓN |


4. Halle el tiempo en que los núcleos de radón sufren una desintegración del 50%.

m= p∑t . logA−∑t∑ log A

p∑t 2−(∑t )2=11 (80.01 )−55∗17.71

11∗385−552=−0.078

b=∑t2 .∑ log A−∑t ∑t . logAp∑t 2−(∑t )2

=385 (17.71 )−80.01∗55

11∗385−552=2

la ecucación será A=102∗10−X .0078 .

En este caso solo necesitamos remplazar las variables:

Log y = mx + Log K

Log50 = -0.078x + Log 100 X= 3.846 días.

12 EVALUACIÓN |

TABLA t vs. At Log A t.log A t 2

0 2 0 01 1.92 1.92 12 1.85 3.7 43 1.77 5.31 94 1.69 6.76 165 1.61 8.05 256 1.53 9.18 367 1.43 10.01 498 1.38 11.08 649 1.30 11.7 81

10 1.23 12.3 100

∑ t=55 ∑ log A=17.71 ∑ t .logA=80.01 ∑ t 2=385


6.- Compare los valores Yia obtenidos usando la formula experimental con los valores experimentales de salida Yi medidos o experimentales aplicando al caso t = t(D)

Para h = 1 cm

D T Log D Log t Log D. log t Log D2

1.5 13.5 0.17 1.13 0.192 0.02892 7.2 0.3 0.857 0.257 0.093 3.7 0.47 0.568 0.267 0.22095 1.5 0.69 0.176 0.121 0.4761

∑ logD=1.63 ∑ logt=2.731 ∑=0.837 ∑=0.815

m= p∑logt . logD−∑logt ∑ log D

p∑logD2− (∑logD )2=4 (0.837 )−1.63∗2.7314∗0.815−1.632

=−1.83

b= p∑logD2 . logt−∑logt . logD∑ logDp∑logD2− (∑logD )2

=0.815 (2.73 )−1.63∗0.837

4∗0.815−1.632=1.43

la ecucación serát=101.43∗D−1.83 .

Para h= 4 cm


1.5 26.7 0.17 1.42 0.24 0.02892 15 0.3 1.17 0.35 0.093 6.8 0.47 0.83 0.39 0.22095 2.2 0.69 0.34 0.23 0.4761

∑ logD=1.63 ∑ logt=3.76 ∑=1.21 ∑=0.815

m= p∑lo> .logD−∑logt ∑ log D

p∑logD2− (∑logD )2=4 (1.21 )−1.63∗3.764∗0.81−1.632

=−2.14


=0.81 (3.76 )−1.63∗1.21

4∗0.81−1.632=1.81

la ecucación serát=101.81∗D−2.14 .

13 EVALUACIÓN |


Para h= 10 cm


1.5 43 0.17 1.63 0.27 0.02892 23.7 0.3 1.37 0.41 0.093 10.5 0.47 1.02 0.47 0.22095 3.9 0.69 1.59 0.40 0.4761

∑ logD=1.63 ∑ logt=4.61 ∑=1.55 ∑=0.815


p∑logD2− (∑logD )2=4 (1.55 )−1.63∗4.614∗0.815−1.632

=−2.179

b= p∑logD2 . logt−∑logt . logD∑ logDp∑logD2−(∑l ogD )2

=0.815 (4.61 )−1.63∗1.55

4∗0.81−1.632=2.04

la ecucación serát=102.04∗D−2.179.

Para h= 30 cm


1.5 73 0.17 1.86 0.31 0.02892 41.2 0.3 0.48 0.48 0.093 18.4 0.47 1.26 0.59 0.22095 6.8 0.69 0.83 0.57 0.4761

∑ logD=1.63 ∑ logt=5.56 ∑=1.95 ∑=0.815


p∑logD2− (∑logD )2=4 (1.95 )−1.63∗5.564∗0.815−1.632

=−2.09


=0.815 (5.56 )−1.63∗1.95

4∗0.815−1.632=2.24

la ecucación serát=102.24∗D−2.09.

14 EVALUACIÓN |


Para h = 1 cm la ecuación es:

t=101.45∗D−1.88 .

Para h = 4 cm la ecuación es:

t=101.81∗D−2.14 .

Para h= 10 cm la ecuación es:

t=102.04∗D−2.179 .

Para h= 30 cm la ecuación:

t=102.24∗D−2.09 .

D T EXPERIMENTAL T TEÒRICO1.5 73 74.42 41.2 40.823 18.4 17.55 6.8 6.01

15 EVALUACIÓN |

D T EXPERIMENTAL T TEÒRICO1.5 13.5 13.152 7.2 7.653 3.7 3.575 1.5 1.37

D T EXPERIMENTAL T TEÒRICO1.5 26.7 27.12 15 14.643 6.8 6.155 2.2 2.06

D T EXPERIMENTAL T TEÒRICO1.5 43 45.322 23.7 24.213 10.5 10.005 3.9 3.288


7.- Calcule w=h1 /2

D2 para las alturas y diámetros correspondientes a:

t(s) 73,0 43,0 26,7 15,0 10,5 3,9 1,5w 2.43 1.40 8.88 0.5 0.35 0.13 0.04

W 1=√30(1.5)2

=2.43 para t=73.0

W 2=√10

(1.5)2=1.40 parat=43.0

W 3=√4

(1.5)2=8.88 para t=26.7

W 4=√4(3)2

=0.5 parat=15

W 5=√10(3)2

=0.35 parat=10.5

W 6=√10(5)2

=0.13 parat=3.9

W 7=√1(5)2

=0.04 para t=1.5

t = mw + b

m=7 Σwt−ΣwΣt

7 Σw2−¿¿

m=1909.532−(173.6)(5.12)

63.189−5122=27.66

b=1567.22−(5.12)(272.79)

63.189−¿¿

16 EVALUACIÓN |


t = 27.66w + 0.46

t = 27.66√h(d )2

+ 0.46

8.- Grafique t = t(w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal determine el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente. t = t(h,D)

Xi Yi Xi Yi Xi2

2.4343 73.000 177.7000 5.921.4054 43.000 60.4300 1.97000.8889 26.700 23.7300 0.69000.5000 15.000 7.5000 0.25000.3514 10.500 3.6800 0.12300.1265 3.900 0.4900 0.12650.0400 1.500 0.0600 0.00165.7465 173.60 273.5900 9.0811

m=7 (273.59 )−5.74 (173.6)7 (9.0811 )−(5.74)2

=30.0020

b=(9.0811)(173.6)−5.74(273.59)

7 (9.0811)−(5.74)2=0.1983

Ecuación: Y= 30.0020 X + 0.1983

9.- Halle los tiempos de vaciado del agua con la formula experimental que obtendrá en la pregunta anterior. Usando los datos de interpolación y extrapolación

CASOS ALTURA h(cm) DIAMETRO D (cm) TIEMPO t(s)01 15 4,5 5.87702 25 1,0 150.9703 40 3,0 21.2404 64 1,2 167.57

17 EVALUACIÓN |


Primero hallaremos w para cada caso:

W= √hd2

Caso 1: w=0.191

Caso 2: w=5

Caso 3: w=0.7

Caso 4: w=5.55

Ahora sacamos la ecuación del tiempo mediante los datos obtenidos en las tablas anteriores

t= 30.172w + 0.1146

10.- Dibuje sobre papel milimetrado una escala logarítmica horizontal de 2 ciclos (décadas), cada ciclo tendrá una longitud de 10cm, y una escala vertical de 4 ciclos; cada ciclo de longitud 5cm. Grafique los puntos A(7,0 ; 0,5), B(15 ; 9), A(60 ; 45).

18 EVALUACIÓN |


11.- La gráfica muestra el comportamiento de las variables P y R en papel logarítmico

para algunos valores fijos de la variable Q.

Según esto encuentre:

a) El valor de P para R = 4,5 y Q = 30 aproximadamente.

b) La ecuación que relaciona P y Q considerando R = 9.

c) La ecuación que relaciona las tres variables.

a) la ecuación de la recta para Q =30 que se muestra en la imagen es:

Y= m X + b Hallando la pendiente:

m= log 20−log60log 9−log 1

=−0.5

b= log 60

Y=−0.5 X+1.78

Remplazando y e x

Y= log P

X= log R

Log P= -0.5 log R + 1.78 remplazando R= 4.5

P = 28.2

b) La ecuación que relaciona P y Q considerando R = 9

Q P Log Q Log P Log Q log P Log Q2

15 10 1.176 1 1.176 1.38330 20 1.477 1.3 1.920 2.18145 90 1.653 1.95 3.223 2.732

∑ = 4.306 ∑ = 4.25 ∑ = 6.319 ∑ = 6.296

19 EVALUACIÓN |


m=3 (6.319 )−4.306∗4.253∗6.296−4.3062

=1.9

b=6.296 (4.25 )−4.306∗6.319

3∗6.296−4.3062=−1.3

la ecucación seráP=10−1.3∗Q1.9 .

C) La ecuación que relaciona las tres variables.

Se dispone de una ecuación con dos variables independientes adicionales:

Se puede ampliar para cualquier número "m" de variables independientes:

Para poder resolver y obtener y en una ecuación de regresión múltiple

el cálculo se presenta muy tediosa porque se tiene atender 3 ecuaciones que se

generan por el método de mínimo de cuadrados:

20 EVALUACIÓN |


y X1 X2 X1 Y X2 Y X1 X2 y X12 X2

2

30 9 45 270 1350 405 900 81 2025

20 9 30 180 600 270 400 81 900

10 9 15 90 150 135 100 81 225

90 1 45 90 4050 45 8100 1 2025

60 1 30 60 1800 30 3600 1 900

30 1 15 30 450 15 900 1 225

240 30 180 780 8400 900 14000 246 6300

240 = 6 a +b1 30 + b2180

720 = 30 a +b1 246 + b2900

8400 = 180a +b1 900 + b26300

la ecuaciónes : y=25−5 X1+4 /3 X2

21 EVALUACIÓN |

a= 25

b2= 4/3

b1= -5


IV. CONCLUSIONES

Linealizar la gráfica obtenida de una tabla de valores facilita la construcción de fórmulas experimentales.

La representación de datos que obtenemos con las gráficas busca ver la relación que guardan estos entre sí.

Las gráficas nos sirven para analizar el comportamiento de un proceso y a su vez interpretar un fenómeno.

Las gráficas nos ayudan a encontrar una relación empírica entre dos magnitudes físicas o comparar resultados experimentales con una curva teórica.

Podemos valernos de diferentes tipos de hojas cuando la gráfica obtenida en un papel determinado, no es precisamente una línea recta.

Con el método de mínimos cuadrados podemos ajustar una curva a un modelo lineal (recta).

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V. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES

Para relaciones exponenciales es preferible utilizar papel semilogarítmico; para ecuaciones potenciales, logarítmico.

El conocimiento de las gráficas de curvas más recurrentes ayudaría a identificar de manera más rápida cuál sería el papel que más se ajusta a el propósito de linealizar.

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VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal http://aarrietaj.files.wordpress.com/2012/02/linealizacion.pdf Física Experimental. Meiners - Eppenstein - Oliva - Shannon; 2° Ed., John Wiley

&Sons,N.Y. 1987. Labs.#1,3 y 10

Experimentation; D.C. Baird; Prentice Hall,Inc.,N.Y., 1965. Fundamentos de Investigación Experimental; R.Plutchik; 2° Ed. , Harla S.A. México,

1975. Física General. Alvarenga, Beatrriz y Máximo, Antonio; Impresa Harla Brasil - 1987.

Revisada y actualizada. Física General. Aguilar - Doria - Juan de la Rubia. 1987. Labs.# 1y3

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http://aarrietaj.files.wordpress.com/2012/02/linealizacion.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal

tratamiento informe #2 fisica general

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