Traslaciones y homotecias en el plano: uncamino geométrico a las operaciones con

números reales.

Lorenzo Acosta G.Departamento de Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.E-mail: lmacostag@unal.edu.co

A la memoria de Georges Papy ycomo homenaje a Roland Jeangros.

Resumen: El propósito de este cursillo es introducir una de�nición pura-mente geométrica de las operaciones con números reales y justi�car a partirde ésta sus propiedades. Se utilizan para ello las traslaciones y las homotecias,construidas a partir de conceptos elementales de geometría como el paralelo-gramo y el trapecio.

1. Introducción

La de�nición axiomática de los números reales se resume diciendo que cons-tituyen un campo ordenado arquimediano completo. Esta de�nición requierede modelos que permitan una visualización y un manejo concreto de estosnúmeros y sus propiedades. Los modelos construidos por Dedekind (con suscortaduras) o por Cantor (con las sucesiones de Cauchy) son excelentes desdeel punto de vista teórico pero son difíciles de manejar en la práctica. Un mo-delo más intuitivo es el de las expresiones decimales: un número real es unaexpresión decimal in�nita. El uso de este modelo permite inmediatamente

1

clasi�car los números reales en racionales (expresiones decimales periódicas)e irracionales (expresiones decimales no periódicas). También se puede usarpara justi�car la representación geométrica de los números reales, asignan-do a cada expresión decimal in�nita un punto sobre la recta. Este modelotiene, sin embargo, algunos inconvenientes: es muy difícil de�nir la suma yla multiplicación. En efecto, dadas las expresiones decimales

a = 2; 345678910111213etc

b = 0; 191991999199991etc

¿cuáles son las expresiones correspondientes a a+b y a ab? Debemos aceptar,casi como un dogma, que la suma de dos expresiones de este tipo es una deellas y lo mismo pasa con el producto. Mostrar entonces que estas operacionesson asociativas y conmutativas y que una es distributiva con respecto a laotra se convierte en una tarea imposible.El propósito de este cursillo es introducir una de�nición puramente geométri-ca de las operaciones con números reales, que permita justi�car sus propieda-des.Trabajaremos entonces en el contexto de una geometría plana, en la cualadmitimos unos axiomas que nos conducen rápidamente a los resultados es-perados. En particular tomamos como axiomas el teorema de Desargues yteorema del hexágono de Pappus (también llamado pequeño teorema de Pas-cal) que son válidos en la geometría euclidiana. Estos axiomas se presentanen la Sección 2.En la Sección 3 se trabaja la de�nición de traslación como una clase deequivalencia de la relación de equipolencia entre parejas ordenadas del plano,siguiendo la línea propuesta porGeorges Papy en su proyecto de enseñanzade la matemática moderna en el bachillerato (ver [1] ; [2] ; [3] y [4]), el cual hasido llevado a cabo con bastante éxito en el Colegio Réfous de Bogotá por elrector Roland Jeangros y su equipo de trabajo.Para de�nir las homotecias, sin embargo, me aparto del camino propuestopor Papy, para mostrar, en la Sección 4, un tratamiento análogo al de lastraslaciones en el que se cambian los paralelogramos por trapecios.La Sección 5 está dedicada a mostrar las propiedades algebraicas de la com-posición en el conjunto de todas las traslaciones y en el de las homotecias decentro �jo.Finalmente, en la Sección 6 se de�nen una suma y una multiplicación en unarecta �ja y se muestra que esta recta con estas operaciones es un campo.

2

La conexión con los números reales se tiene a través de su representacióngeométrica.

2. Axiomas básicos.

Nuestro trabajo se desarrollará en una geometría compuesta por puntos yrectas. El conjunto de puntos se llamará �: Cada recta es un subconjunto de�: Los puntos y las rectas satisfacen los siguientes axiomas:

Axioma 1 Por dos puntos distintos pasa una y una sola recta.

De�nición 1 Dados dos puntos distintos a; b de � designaremos por ab ala recta que pasa por a y b:Dos rectas L y M son paralelas si y sólo si L = M o L \M = �: En estecaso escribiremos L==M:

Axioma 2 Dados una recta y un punto, existe una única recta paralela a larecta dada que pasa por el punto dado.

Axioma 3 Hay por lo menos tres puntos que no están en la misma recta.

Axioma 4 (Desargues (1)):Sean a0; a1; a2; b0; b1; b2 puntos del plano tales que a0b0; a1b1 y a2b2 son parale-las o concurrentes. Si a0a1==b0b1 y a1a2==b1b2 entonces a0a2==b0b2:

Axioma 5 (Desargues (2)):

3

Sean a0; a1; a2; b0; b1; b2 puntos del plano. Si a0a1==b0b1, a1a2==b1b2 y a0a2==b0b2entonces a0b0; a1b1 y a2b2 son paralelas o concurrentes.

Axioma 6 (Pappus):Sean L y M dos rectas y sean a; b; c; d; e; f puntos del plano tales que a; c; e 2L y b; d; f 2M: Si ab==de y bc==ef entonces cd==fa:

3. Paralelogramos y traslaciones

En esta sección hacemos una introducción geométrica del concepto de traslación.Utilizando la noción básica de paralelogamo, se de�ne una relación de equiva-lencia en el conjunto de parejas ordenadas del plano. Cada clase de equiva-lencia corresponde a una transformación biyectiva del plano. Estas transfor-maciones son las que llamaremos traslaciones.Empecemos con la de�nición de paralelogramo.

4

De�nición 2 Una cuádrupla (a; b; c; d) de puntos de � se llamará un paralelo-gramo si a; b; c y d son puntos distintos; ad==bc y ab==dc:

Ejercicio 1 Si (a; b; c; d) es un paralelogramo entonces también lo son (b; c; d; a);(c; d; a; b); (d; a; b; c); (a; d; c; b); (d; c; b; a); (c; b; a; d) y (b; a; d; c):

Ilustremos esta situación:

Una pareja ordenada (a; b) de puntos del plano se representa mediante una�echa de origen a y extremo b :

Dos parejas ordenadas (a; b) y (c; d) están alineadas si a 6= b; c 6= d y ab = cd:

De�nición 3 Diremos que dos parejas ordenadas (a; b) y (u; v) están li-gadas por un paralelogramo si (a; b; v; u) es un paralelogramo. Una suce-sión (a0; b0); (a1; b1); :::; (an; bn) es una cadena de parejas ligadas por parale-logramos si para cada i = 0; 1; :::; n�1 se tiene que (ai; bi) y (ai+1; bi+1) estánligadas por un paralelogramo.

5

En la siguiente �gura se muestra una cadena de parejas ordenadas ligadaspor paralelogramos. Esta cadena empieza en (a; b) y termina en (u; v):

La siguiente proposición es evidente:

Proposición 1 Si (a; b) y (u; v) están ligadas por un paralelogramo entonces(a; u) y (b; v) están ligadas por un paralelogramo.

Proposición 2 Si (a0; b0); (a1; b1); :::; (an; bn) es una cadena de parejas li-gadas por paralelogramos y (a0; b0) y (an; bn) no están alineadas, entonces(a0; b0) y (an; bn) están ligadas por un paralelogramo.

6

Demostración: Veamos el caso en que n = 2 :

El Axioma 4 nos dice que si a0a1==b0b1 y a1a2==b1b2 entonces a0a2==b0b2 ypor consiguiente (a0; b0) y (a2; b2) están ligadas por un paralelogramo.

Proposición 3 Si (a0; b0); (a1; b1); :::; (an; bn) es una cadena de parejas li-gadas por paralelogramos y (a0; b0) y (an; bn) están alineadas, entonces (a0; b0)y (an; bn) están ligadas por dos paralelogramos.

Demostración: Como (a0; b0) y (an; bn) están alineadas tenemos que (a1; b1)no está alineada con (a0; b0) ni con (an; bn): Por la proposición anterior,(a1; b1) y (an; bn) están ligadas por un paralelogramo, luego (a0; b0) y (an; bn)están ligadas por dos paralelogramos: el que une a (a0; b0) con (a1; b1) y elque une a (a1; b1) con (an; bn). La situación se ilustra en la siguiente �gura:

7

De�nición 4 Diremos que (a; b) y (u; v) son equipolentes si hay una ca-dena de parejas ligadas por paralelogramos que empieza en (a; b) y terminaen (u; v):Para cada par de puntos a y b ; diremos también que (a; a) y (b; b) sonequipolentes.Si (a; b) y (u; v) son equipolentes, escribiremos (a; b) " (u; v):

Ejercicio 2 Si a y b son puntos distintos construya una cadena de tresparalelogramos que empiece en (a; b) y termine en (a; b): Concluya que (a; b) "(a; b):

Nota 1 De acuerdo con las proposiciones anteriores, (a; b) y (u; v) son equipo-lentes si están ligadas por uno o dos paralelogramos. Si las parejas estánalineadas se requieren dos paralelogramos y si no lo están basta con uno solo.

El trabajo realizado hasta el momento nos permite concluir el siguiente teo-rema:

Teorema 1 La relación de equipolencia es una relación de equivalencia en�� �:

Demostración: La re�exividad y la simetría se tienen por de�nición. Latransitividad se deduce de las proposiciones 2 y 3.La clase de equivalencia de la pareja (a; b) 2 ��� se nota generalmente �!ab:Veamos algunas propiedades de estas clases de equivalencia:

Proposición 4 Si (a; b) 2 �� � y (a; b) " (a; x) entonces b = x:

Demostración: Tenemos que (a; b) y (a; x) están alineadas, luego existe(u; v) no alineada con (a; b) tal que (a; b) y (u; v) están ligadas por un parale-logramo y (u; v) y (a; x) están ligadas por un paralelogramo. Así, au==bv yua==vx: Entonces tenemos que bv = vx y por consiguiente b = x pues b es elpunto de corte de ab con bv y x es el punto de corte de ab con vx:Análogamente se tiene la siguiente proposición:

Proposición 5 Si (a; b) 2 �� � y (a; b) " (x; b) entonces a = x:

Ejercicio 3 Demostrar la proposición anterior.

8

Ejercicio 4 Consideremos ahora una pareja (a; b) 2 ��� y un punto x 2 �:Mostrar que existe un y 2 � tal que (a; b) " (x; y) y existe un z 2 � tal que(a; b) " (z; x):

De�nición 5 Sea (a; b) 2 ���: Para cada x 2 � designamos por tab(x) alúnico punto y 2 � tal que (a; b) " (x; y):

Teorema 2 Para cada (a; b) 2 �� �; tab es una función biyectiva de � en�:

Demostración: La proposición 4 nos dice que tab es una función, la proposi-ción 5 nos dice que tab es inyectiva y el ejercicio 2 nos dice que el dominio yel rango de tab son iguales a �:

De�nición 6 Las funciones de la forma tab se llaman traslaciones.

Ejercicio 5 Muestre que si t es una traslación entonces la imagen de unarecta mediante t es una recta. Además, si L yM son rectas paralelas entoncest(L) y t(M) también son paralelas.

Ejercicio 6 Hallar la imagen del polígono P mediante las funciones tab ytuv :

9

4. Trapecios y homotecias

De�niremos las homotecias con base en la noción de trapecio. El tratamientoes análogo al de la sección anterior: por cada punto p se de�ne una relaciónde equivalencia en cierto conjunto de parejas ordenadas de puntos del planoy las clases de equivalencia corresponden a las transformaciones del planoque llamaremos homotecias de centro p:Empecemos por la noción de p�trapecio:

De�nición 7 Una cuádrupla (a; b; c; d) de puntos de �� fpg se llamará unp�trapecio si a; b; c y d son puntos distintos, ad==cb y ab \ dc = fpg :

Veamos unos ejemplos que ilustran esta situación:

De�nición 8 Diremos que dos parejas ordenadas (a; b) y (u; v); están ligadaspor un p�trapecio si (a; b; v; u) es un p�trapecio. Una sucesión (a0; b0); (a1; b1);:::; (an; bn) es una cadena de parejas ligadas por p�trapecios si para cadai = 0; 1; :::; n � 1 se tiene que (ai; bi) y (ai+1; bi+1) están ligadas por unp�trapecio.

En la siguiente �gura se muestra una cadena de parejas ordenadas ligadas

10

por p�trapecios. Esta cadena empieza en (a; b) y termina en (u; v):

Proposición 6 Si (a0; b0); (a1; b1); :::; (an; bn) es una cadena de parejas li-gadas por p�trapecios y (a0; b0) y (an; bn) no están alineadas, entonces (a0; b0)y (an; bn) están ligadas por un p�trapecio.

Demostración: Veamos el caso en que n = 2 :

El Axioma 4 nos permite concluir que si a0a1==b0b1 y a1a2==b1b2 entoncesa0a2==b0b2 y por consiguiente (a0; b0) y (a2; b2) están ligadas por un p�trapecio.

Proposición 7 Si (a0; b0); (a1; b1); :::; (an; bn) es una cadena de parejas li-gadas por p�trapecios y (a0; b0) y (an; bn) están alineadas, entonces (a0; b0)y (an; bn) están ligadas por dos p�trapecios.

11

Demostración: Como (a0; b0) y (an; bn) están alineadas tenemos que (a1; b1)no está alineada con (a0; b0) ni con (an; bn): Por la proposición anterior,(a1; b1) y (an; bn) están ligadas por un p�trapecio, luego (a0; b0) y (an; bn)están ligadas por dos p�trapecios: el que une a (a0; b0) con (a1; b1) y el queune a (a1; b1) con (an; bn). La situación se ilustra en la siguiente �gura:

De�nición 9 Diremos que (a; b) y (u; v) son p�seudo-equipolentes si hayuna cadena de parejas ligadas por p�trapecios que empieza en (a; b) y terminaen (u; v):Para cada par de puntos a y b distintos de p; diremos también que (a; a) y(b; b) son p�seudo-equipolentes.Si (a; b) y (u; v) son p�seudo-equipolentes, escribiremos (a; b) "p (u; v):

Ejercicio 7 Si a y b son puntos distintos de p tales que b 2 pa construyauna cadena de tres p�trapecios que empiece en (a; b) y termine en (a; b):Concluya que (a; b) "p (a; b):

Nota 2 De acuerdo con las proposiciones anteriores, (a; b) y (u; v) son p�seu-do-equipolentes si están ligadas por uno o dos p�trapecios. Si las parejas estánalineadas se requieren dos p�trapecios y si no lo están basta con uno solo.

Designaremos por Wp al conjunto de parejas (a; b) 2 (�� fpg)� (�� fpg)tales que b 2 pa:

12

En la ilustración siguiente vemos que (a; b) 2 Wp y (c; d) =2 Wp:

El trabajo realizado hasta el momento nos permite concluir el siguiente teo-rema:

Teorema 3 La relación de p�seudo-equipolencia es una relación de equiva-lencia en Wp:

Demostración: La re�exividad y la simetría se tienen por de�nición. Latransitividad se deduce de las proposiciones 6 y 7.

Veamos algunas propiedades de las clases de equivalencia:

Proposición 8 Si (a; b) 2 Wp y (a; b) "p (a; x) entonces b = x:

Demostración: Tenemos que (a; b) y (a; x) están alineadas, luego existe(u; v) no alineada con (a; b) tal que (a; b) y (u; v) están ligadas por unp�trapecio y (u; v) y (a; x) están ligadas por un p�trapecio. Así, au==bvy ua==vx: Entonces tenemos que bv = vx y por consiguiente b = x pues b esel punto de corte de pa con bv y x es el punto de corte de pa con vx:Análogamente se tiene la siguiente proposición:

Proposición 9 Si (a; b) 2 Wp y (a; b) "p (x; b) entonces a = x:

Ejercicio 8 Demuestre la proposición anterior.

Ejercicio 9 Consideremos una pareja (a; b) 2 Wp y un punto x 2 �� fpg:Muestre que existe un y 2 � � fpg tal que (a; b) "p (x; y) y existe un z 2�� fpg tal que (a; b) "p (z; x).

13

De�nición 10 Sea (a; b) 2 Wp: Para cada x 2 � � fpg designamos porhab(x) al único punto y 2 �� fpg tal que (a; b) "p (x; y): Además de�nimoshab(p) = p:

Teorema 4 Para cada (a; b) 2 Wp; hab es una función biyectiva de � en �:

Demostración: La proposición 8 nos dice que hab es una función, la proposi-ción 9 nos dice que hab es inyectiva y el ejercicio 4 nos dice que el dominio yel rango de hab son iguales a �:

De�nición 11 Las funciones de la forma hab se llaman homotecias de centrop: La función constante bp : � ! � : x 7! p también es una homotecia decentro p:

Ejercicio 10 Muestre que si h es una homotecia entonces al imagen de unarecta mediante h es una recta. Además, si L yM son rectas paralelas entoncesh(L) y h(M) también son paralelas.

Ejercicio 11 Hallar la imagen del polígono P mediante las funciones hab yhuv :

14

5. Composición de traslaciones y de homote-cias

En esta sección estudiaremos el comportamiento de traslaciones y de homote-cias con respecto a la composición. Veremos en particular que la compuestade dos traslaciones es una traslación y que la compuesta de dos homoteciasde centro p es una homotecia de centro p: Finalmente obtendremos que elconjunto de todas las traslaciones y el de todas las homotecias no constantesde centro p son grupos abelianos.El siguiente lema es una consecuencia inmediata de las de�niciones de traslacióny de homotecia.

Lema 1 Sea f : �! � una biyección.1. f es una traslación si y sólo si para cada x; z 2 � se tiene que

(x; f(x)) " (z; f(z)):2. f es una homotecia de centro p si y sólo si para cada x; z 2 � se tiene

que (x; f(x)) "p (z; f(z)):Utilizaremos ahora el lema anterior para probar las siguientes proposiciones:

Proposición 10 Si s y t son traslaciones entonces t � s es una traslación.Demostración: Sean x; z 2 �:Caso 1: x; s(x) y z no están alineados y s(x); t(s(x)) y s(z) no están alinea-

dos. Tenemos que (x; s(x); s(z); z) y (s(x); t(s(x)); t(s(z)); s(z)) son paralelo-gramos. Por el Axioma 4 concluimos que (x; t(s(x)); t(s(z)); z) es un parale-logamo, luego (x; t � s(x)) " (z; t � s(z)):

15

Ejercicio 12 Revisar la prueba en los demás casos.

Proposición 11 Si h y g son homotecias de centro p entonces h � g es unahomotecia de centro p:

Demostración: Sean x; z 2 �:Caso 1: p; x y z no están alineados. Tenemos que (x; g(x); g(z); z) y(g(x); h(g(x)); h(g(z)); g(z)) son p�trapecios. Por consiguiente(x; h(g(x)); h(g(z)); z) es un p�trapecio, luego (x; h � g(x)) "p (z; h � g(z)):

Ejercicio 13 Revisar la prueba en los demás casos.¿Es necesario el Axioma4?

Proposición 12 Si t es una traslación entonces t�1 también lo es.

Demostración: Ejercicio.

Proposición 13 Si h es una homotecia no constante de centro p entoncesh�1 también lo es.

16

Demostración: Ejercicio.Obsérvese que la función idéntica, 1�; es una traslación y también es

una homotecia de centro p: Además, como la composición de funciones esasociativa, en particular también lo es la de traslaciones y la de homotecias.

Proposición 14 Si s y t son traslaciones entonces s � t = t � s:

Demostración: Sea x 2 �: Consideramos dos casos:Caso 1: x; t(x) y s(t(x)) no están alineados. Tenemos que (x; t(x); s(t(x)); s(x))es un paralelogramo, luego s(t(x)) = t(s(x)):

Caso 2: x; t(x) y s(t(x)) están alineados.

Ejercicio 14 Use el Axioma 6 para probar la proposición en el caso dos,basado en la siguiente �gura.

17

Proposición 15 Si h y g son homotecias de centro p entonces h � g = g �h:

Demostración: Sea x 2 �: Consideremos un punto z que no esté alineadocon p y x: Sean u;w 2 � tales que g(u) = z y h(z) = w: El Axioma 6 nosdice que xu==g(h(x))w; luego g � h = h � g: Ilustremos la situación:

Notación: Llamaremos T al conjunto de todas las traslaciones y Hp alconjunto de todas las homotecias de centro p: El conjunto de las homoteciasno constantes de centro p lo notaremos H�

p:

Ejercicio 15 Pruebe que bp es absorbente para composición en Hp:

Podemos resumir los resultados anteriores en el siguiente teorema:

Teorema 5 (T ; �) y (H�p; �) son grupos abelianos.

Fijemos ahora una recta L y consideremos el conjunto TL de todas las trasla-ciones t 2 T tales que xt(x)==L; incluyendo la identidad 1�:

Ejercicio 16 Muestre que si t y s están en TL entonces t�s también lo está.

Ejercicio 17 Muestre que si t está en TL entonces t�1 también lo está.

Los ejercicios anteriores nos dicen que TL es un sub-grupo de T :

18

6. Una estructura de campo para la recta

En esta sección dotaremos a una recta cualquiera de la estructura de campode�niendo una suma y una multiplicación que provienen de la composiciónde traslaciones y de homotecias respectivamente. Para hacerlo, utilizaremosun resultado general que permite transferir de un conjunto a otro estructurasalgebraicas por medio de biyecciones.

6.1. Biyecciones y transferencia de operaciones

Sea X un conjunto dotado con una operación binaria � y sea f : X ! Y unabiyección. De�nimos en Y una operación binaria mediante la fórmula:

a~ b = f(f�1(a) � f�1(b)):

Ejercicio 18 Muestre que en estas condiciones la operación ~ tiene exac-tamente las mismas propiedades que la operación � :(i) Si � es asociativa en X entonces ~ es asociativa en Y:(ii) Si � es conmutativa en X entonces ~ es conmutativa en Y:(iii) Si e es elemento neutro para � en X entonces f(e) es elemento neutro

para ~ en Y:

19

(iv) Si x es el inverso de y con respecto a � en X entonces f(x) es elinverso de f(y) con respecto a ~ en Y:

Ejercicio 19 Sea f : Z! Z : z 7! z + 3:(a) Muestre que f es una biyección.(b) De�na � en Z a partir de + por medio de la biyección f:(c) Calcule 2� 3; 5� (�1) y 0� 7:(d) ¿Cuál es el elemento neutro para �?

6.2. Estructura de campo sobre una recta

Vamos a utilizar los resultados de la sección anterior para de�nir una sumay una multiplicación en una recta.Fijemos ahora una recta L y escojamos un punto o 2 L: Sea ahora

f : TL ! L : t 7! t(o):

Ejercicio 20 Muestre que f es una biyección.

Utilizando la biyección f podemos transferir la operación de�nida en TL a larecta L: Así, si x; y 2 L de�nimos :

x� y = f(f�1(x) � f�1(y)):

Tenemos inmediatamente la siguiente proposición:

Proposición 16 (L;�) es un grupo abeliano cuyo elemento neutro es f(1�) =o:

Ejercicio 21 Construya sobre L los puntos a� b; u� b; u� u :

20

Sobre la misma recta L utilizada anteriormente consideremos un punto udiferente de o: Sea ahora

g : Ho ! L : h 7! h(u):

Ejercicio 22 Muestre que g es una biyección.

Utilizando la biyección g podemos transferir la operación de�nida en Ho a larecta L: Así, si x; y 2 L de�nimos :

x y = g(g�1(x) � g�1(y)):Tenemos inmediatamente que es una operación binaria asociativa de�nidaen L y además concluimos el siguiente resultado:

Proposición 17 (L�fog ;) es un grupo abeliano cuyo elemento neutro esg(1�) = u:

Ejercicio 23 Construya sobre L los puntos a b; c b; b b :

Ejercicio 24 Muestre que o es absorbente para en L:

Veamos ahora que las operaciones � y son compatibles.Proposición 18 es distributiva con respecto a � en L:

Demostración: Sean a; b; c 2 L: Consideremos la homotecia h de centro otal que h(u) = a y tracemos una rectaM distinta de L y que pase por o: Seau0 2M y sea a0 = h(u0):

21

Tracemos ahora una recta N paralela a L que pase por u0 y la recta paralelaa M que pasa por b: Sea b0 el punto de corte de esta recta con N: El puntode corte de L con la paralela a u0c que pasa por b0 es b+ c :

Construimos a(b+ c) trazando una paralela a u0(b+ c) que pase por a0 :

Para construir ab y ac trazamos paralelas a u0b y u0c respectivamente:

Sea K la recta paralela a L y que pasa por a0: Consideremos ahora una

22

paralela a M que pase por ab y el punto de corte d de esta recta con K :

Los triángulos u0b0b y a0d(ab) tienen su lados paralelos dos a dos.

Por el Axioma 5 concluimos que las rectas u0a0; b0d y b(ab) son concurrentes,luego o; b0 y d son colineales.

Por consiguiente, los triángulos u0b0(b+c) y a0d(a(b+c)) son tales que u0a0; b0dy (b+c)(a(b+c)) son concurrentes y u0b0==a0d y u0(b+c)==a0(a(b+c)): Por el

23

Axioma 4 concluimos que b0(b+ c)==d(a(b+ c)): Pero b0(b+ c)==u0c==a0(ac);luego a0d(a(b+ c))(ac) es un paralelogramo y a(b+ c) resulta igual a ab+ ac:

Resumimos los resultados de este trabajo en el siguiente teorema:

Teorema 6 (L;�;) es un campo.

Nota 3 Este tipo de razonamiento geométrico puede seguir utilizándose paramostrar que hay un orden en L que hace de (L;�;) un campo ordenadoarquimediano y completo y por consiguiente es un modelo de los númerosreales.

7. Bibliografía

[1] Papy G. et Debbaut P., Minimath 1, Didier, 1970.

[2] Papy G., Mathématique Moderne 1, Didier, 1963.

[3] Papy G., Mathématique Moderne 2, Didier, 1965.

[4] Papy G., Mathématique Moderne 3, Didier, 1967.

[5] Artin, E., Álgebra geométrica, Limusa, 1992.

[6] Hilbert, D., Fundamentos de la Geometría, CSIC, 1996

[6] Oostra, A., Los teoremas de Desargues y Pascal en �Fundamentos de laGeometría�, Huellas en los encuentros de geometría y aritmética, UniversidadPedagógica Nacional, 2005.

24