transport e

MODELO DE TRANSPORTEINVESTIGACION DE OPERACIONES

2

El objetivo general es encontrar el mejor plan de distribución, es decir, la

cantidad que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos

de suministro hasta los puntos de demanda.

El “mejor plan” es aquel que minimiza los costos totales de envío,

produzca la mayor ganancia u optimice algún objetivo corporativo.

Se debe contar con:

i) Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de

demanda en cada destino.

ii) Costo de transporte unitario de mercadería desde

cada fuente a cada destino.

2.1 Modelo de Transporte

3

También es necesario satisfacer ciertas restricciones:

1. No enviar más de la capacidad especificada

desde cada punto de suministro (oferta).

2. Enviar bienes solamente por las rutas válidas.

3. Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes

en los puntos de demanda.


4


Esquemáticamente se podría ver como se muestra en la siguiente figura

DestinosFuentes

1 1

22

nm

s2

sm

d2

s1d1

dn

.

.

.

.

.

.

Xij: cantidad transportada desde la fuente i al destino j

C11, X11

Cmn, Xmn

Cij: Costo del transporte unitario desde la fuente i al destino j

donde

Gráficamente: Para m fuentes y n destinos

5Modelo general de PL que representa al modelo de

Transporte

ox

dx

sx

xcZ

ij

j

m

i

ij

i

n

j

ij

m

i

n

j

ijij

1

1

1 1

j=1,2,...,n

i=1,2,...,m

El modelo implica que al menos la oferta debe ser igual a la demanda

para toda i y j

minimizar

s a


6Modelo general de PL que representa al modelo de

TransporteModelo de transporte equilibrado: Oferta = Demanda

i

n

j

ij Sx 1

j=1, 2, 3,....,nj

m

i

ij Dx 1

i=1, 2, 3,....,m

0ijxpara toda i y j


7

Aplicaciones del modelo de Transporte

El Modelo de Transporte no sólo es aplicable al movimiento de productos,

sino que también, como modelo se puede aplicar a otras áreas tales

como:

• Planificación de la Producción

• Control de Inventarios

• Control de Proveedores

• Otras.


Ejemplo:

RPG tiene cuatro plantas ensambladoras en Europa.

Están ubicadas en Leipzig, Alemania (1);Nancy, Francia

(2); Lieja, Bélgica (3), y Tilburgo, Holanda (4). Las

máquinas ensambladoras usadas en estas plantas se

producen en Estados Unidos y se embarcan a Europa.

Llegaron a los puertos de Amsterdan (1), Amberes (2) y

El Havre (3).

Los planes de producción del tercer trimestre (julio a

septiembre) ya han sido formulados. Los requerimientos

(la demanda en destinos) de motores diesel E-4 son los

siguientes:


Planta Cantidad de Motores

(1) Leipzig 400

(2) Nancy 900

(3) Lieja 200

(4) Tilburgo 500

Total 2000

Puerto Cantidad de Motores

(1) Amsterdan 500

(2) Amberes 700

(3) El Hevre 800

Total 2000

La cantidad disponible de máquinas E-4 en los puertos(oferta en orígenes)

son:


10Los costos ($) de transporte de un

motor desde un origen a un destino

son:

Desde el

origen1 2 3 4

1 12 13 4 6

2 6 4 10 11

3 10 9 12 4

Al destino


11

1. Variables de Decisión

Xij = número de motores enviados del puerto i a la planta j

i = 1, 2, 3

j = 1, 2, 3, 4

Construcción del modelo de PL

2. Función Objetivo

Minimizar Z = 12 X11 + 13 X12 + 4X13 + 6X14 + 6X21 + 4X22 + 10X23 + 11X24 +

10X31 + 9X32 + 12X34 + 4X14


12

X11 + X21 + X31 400

X12 + X22 + X32 900

X13 + X23 + X33 200

X14 + X24 + X34 500

1) Oferta: La cantidad de elementos enviados no puede exceder la cantidad

disponibleX11 + X12 + X13 + X14 500

X21 + X22 + X23 + X24 700

X31 + X32 + X33 + X34 800

3. Restricciones:

2) Demanda: Debe satisfacerse la demanda de cada planta

Xij 0 para i=1, 2, 3; j= 1, 2, 3, 4 y de no negatividad


Solución del Modelo de

Transporte


14

Algoritmos Específicos

1. Regla de la esquina noroeste (MEN)

2. Método por aproximación de Vogel (MAV)

3. Método del costo mínimo (MCM)

4. Método del paso secuencial y

5. DIMO (método de distribución modificada)


15Descripción de los algoritmos

La regla de la esquina noroeste, el método de

aproximación de Vogel y el método del costo mínimo son

alternativas para encontrar una solución inicial factible.

El método del escalón y el DIMO son alternativas para

proceder de una solución inicial factible a la óptima.

Por tanto, el primer paso es encontrar una solución inicial

factible, que por definición es cualquier distribución de

ofertas que satisfaga todas las demandas


16

Descripción de los algoritmos

Una vez obtenida una solución básica factible, el

algoritmo procede paso a paso para encontrar un mejor

valor para la función objetivo.

La solución óptima es una solución factible de costo

mínimo

Para aplicar los algoritmos, primero hay que construir una

tabla de transporte.


17Tabla Inicial

Destinos

Origen 1 2 3 4 n Ofertas

1 C11 C12 C13 C14 .... C1n

2 C21 C22 C23 C24 .... C2n

3 C31 C32 C33 C34 .... C3n

... .... ..... .... .... ....

m Cm1 Cm2 Cm3 Cm4 .... Cmn

Demanda


18

Tabla Inicial del Ejemplo

Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta

1 12 13 4 6

500

2 6 4 10 11

700

3 10 9 12 4

800

Demanda 400 900 200 500 2000


192.1.1 Regla de la esquina

NoroesteComienza asignando la máxima cantidad posible a la casilla Noroeste

(superior-izquierda), de manera que satisfaga totalmente la demanda

(columna), o bien, se agote la oferta (renglón).

Como el en el primer caso se satisface la demanda, se tacha la columna y, en

el segundo caso, como lo que se agota es la oferta, se tacha el renglón,

indicando que las variables son iguales a cero.

Cuando se satisfacen simultáneamente un renglón y una columna, solo se

tacha uno de ellos. Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda

de todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad factible máxima

se asigna al primer elemento de la nueva columna (Renglon). El proceso

termina cuando se deja de tachar exactamente un renglón o una columna.

El numero adecuado de variables básicas sigue la regla: m+n-1


20

2.1.1 Regla de la esquina

NoroesteSe inicia el proceso desde la esquina izquierda superior

Se ubican tantas unidades como sea posible en la ruta

Cantidad de Unidades = Mínimo(disponibilidad, demanda)

Las siguientes asignaciones se hacen o bien recorriendo

hacia la derecha o bien hacia abajo.

Las demandas se satisfacen recorriendo sucesivamente

de izquierda a derecha y las ofertas se destinan

recorriendo de arriba hacia abajo.


21

Primera asignación

Plantas


1 12 13 4 6

400 100 500

2 6 4 10 11

700

3 10 9 12 4

800

Demanda 0 400 900 200 500 2000


22Hasta cuarta asignación

Plantas


1 12 13 4 6

400 100 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000


23

Esquina Noroeste: Solución final factible

Plantas


1 12 13 4 6

400 100 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 200 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Valor FO: 400*12+100*13+700*4+100*9+200*12+500*4= $14.200


242.1.2 Método del Costo Mínimo

1. Dada una tabla de transporte

2. Asignar la mayor cantidad de unidades a la variable

(ruta) con el menor costo unitario de toda la tabla (los

empates se rompen de manera arbitraria).

3. Tachar la fila o columna satisfecha.

4. Ajustar oferta y demanda de todas las filas y columnas

5. Si hay más de una fila o columna no tachada repetir los

puntos 2, 3 y 4

Algoritmo

Fundamento

Asignar la mayor cantidad de unidades a una ruta

disponible de costo mínimo


252.1.2. Método del Costo Mínimo (continuación.)

Ejemplo: Aplicar MCM a la tabla de transporte

Plantas


1 12 13 4 6

500

2 6 4 10 11

700

3 10 9 12 4

800

Demanda 400 900 200 500 2000

Unidades a asignar = MIN(200,400) = 200

Existen tres rutas costo mínimo. Elijamos la 1_3Paso 2


262.1.2. Método del Costo Mínimo (cont.)

Paso 3: Tachar fila o columna (columna 3)Plantas


1 12 13 4 6

200 300 500

2 6 4 10 11

700

3 10 9 12 4

800

Demanda 400 900 0 200 500 2000

Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a

paso 2

Ajustar ofertas y demandas (fila 1 y columna 3)

Paso 5

Paso 4


272.1.2. Método del Costo Mínimo (cont)

Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 4

Plantas


1 12 13 4 6

200 300 500

2 6 4 10 11

700

3 10 9 12 4

500 300 800

Demanda 400 900 0 200 0 500 2000


paso 2

Paso 5:

Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_4 (ó 2_2)

Unidades = MIN(500,800) = 500

Paso 3: Tachar columna 4





1 12 13 4 6

200 300 500

2 6 4 10 0

700 0 700

3 10 9 12 4

500 300 800

Demanda 400 200 900 0 200 0 500 2000


paso 2

Paso 5:

Paso 2: Ruta de costo menor -> 2_2

Unidades = MIN(700,900) = 300

Paso 3: Tachar fila 2


292.1.2. Método del Costo Mínimo (cont.)



1 12 13 4 6

200 300 500

2 6 4 10 0

700 0 700

3 10 9 12 4 100

200 500 300 800

Demanda 400 200 900 0 200 0 500 2000


paso 2Paso 5:


Unidades = MIN(200,300) = 200

Paso 3: Tachar columna 2





1 12 13 4 6

200 300 500

2 6 4 10 0

700 0 700

3 10 9 12 4 100 0

100 200 500 300 800

Demanda 300 400 200 900 0 200 0 500 2000


paso 2Paso 5:


Unidades = MIN(400,100) = 100

Paso 3: Tachar fila 3





1 12 13 4 6 0

300 200 300 500

2 6 4 10 0

700 0 700

3 10 9 12 4 100 0

100 200 500 300 800

Demanda 300 400 200 900 0 200 0 500 2000

Queda sólo una fila sin tachar. TerminarPaso 5:


Unidades = MIN(300,300) = 300

Paso 3: Tachar fila 1 ó columna 1 (sólo una de ellas)



Costo: 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4 = $12.000

¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI

332.1.3 Método de aproximación de Vogel (MAV)

MAV usa información de costos mediante el concepto de

costo de oportunidad para determinar una solución inicial

factible.

Seleccionar en una fila la ruta más barata y la que le sigue.

Hacer su diferencia (penalidad), que es el costo adicional

por enviar una unidad desde el origen actual al segundo

destino y no al primero.

En nuestro caso, para el puerto1, C13 y C14; Penalidad = 6

- 4

MAV asigna un costo de penalidad por no usar la mejor

ruta en esta fila.


342.1.3 Método de aproximación de

VogelLo anterior se repite para cada fila y cada columna, esto es,

determinar todas las penalidades

Los pasos iterativos de MAV son los siguientes:

1. Identificar la fila o columna con la máxima penalidad, (empates

re rompen de manera arbitraria)

2.Colocar la máxima asignación posible a la ruta no usada que

tenga menor costo en la fila o columna seleccionada en el

punto 1 (los empates se resuelven arbitrariamente)

3. Reajustar la oferta y demanda en vista de esta asignación.

4. Eliminar la columna en la que haya quedado una demanda 0

(o la fila con oferta 0), de consideraciones posteriores.

5. Calcular los nuevos costos de penalidad.


35


Vogel

El MAV continúa aplicando este proceso en forma

sucesiva hasta que se haya obtenido una solución

factible.

Los resultados obtenidos se muestran en las siguientes

tablas


362.1.3 Método de aproximación de Vogel

Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 2

500

2 6 4 10 11 2

700

3 10 9 12 4 5

800

Demanda 400 900 200 500 2000

Penalidades 4 5 6 2

Calculadas todas las penalidades, la mayo corresponde a la

columna 3 (penalidad = 6)

Paso 1: Identificar máxima penalidad (fila o columna)

Paso 0: Cálculo de penalidades



Vogel

Paso 2: Asignación de unidades (MIN (oferta, demanda))

Paso 3: Reajuste de oferta y demanda

Plantas


1 12 13 4 6

200 300 500

2 6 4 10 11

700

3 10 9 12 4

800

Demanda 400 900 0 200 500 2000


38


VogelPaso 4: Eliminar columna (fila) con demanda

(oferta) 0

Plantas


1 12 13 4 6

200 300 500

2 6 4 10 11

700

3 10 9 12 4

800

Demanda 400 900 0 200 500 2000


39

2.1.3 Método de aproximación de Vogel

Paso 5: Calcular los nuevos costos de penalidad

Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 6

200 300 500

2 6 4 10 11 2

700

3 10 9 12 4 5

800

Demanda 400 900 0 200 500 2000

Penalidades 4 5 2


402.1.3 Método de aproximación de VogelRepitiendo los pasos anteriores, finalmente se llega a la

siguiente solución

Plantas


1 12 13 4 6

200 300 300 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

400 200 200 600 800

Demanda 400 900 0 200 200 500 2000

¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI

Costo: 200*4+300*6+700*4+400*10+200*9+200*4 = $12.000


41

Comparación de los resultados

Método Rutas Costo

MEN 6 $14.200

MAV 6 $12.000

MCM 6 $12.000

Los tres métodos entregan soluciones básicas factibles, pero

ninguno asegura que la solución sea óptima.

Conclusión


422.1.4. Método de Pasos Secuenciales

Este método comienza con una solución inicial factible.

En cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no

se haya usado en la solución factible actual, en tanto se

elimina una ruta usada actualmente.

En cada cambio de ruta debe cumplirse que:

1. La solución siga siendo factible y

2. Que mejore el valor de la función objetivo

El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que

mejoren el valor de la función.

Fundamento


432.1.4. Método de pasos secuenciales (cont)

Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para crear una

trayectoria única del paso secuencial. Usar estas

trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a la

solución cada ruta no usada.

Si todos los costos marginales son iguales o mayores que

cero, terminar; se tendrá la solución óptima. Si no, elegir la

celda que tenga el costo marginal más negativo (empates se

resuelven arbitrariamente)

Usando la trayectoria del paso secuencial, determine el

máximo número de artículos que se pueden asignar a la ruta

elegida en el punto 2 y ajustar la distribución

adecuadamente.

Regrese al paso 1

Algoritmo

1

2

3

4


44

2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont.)

a) Ponga un signo + en la celda de interés no ocupada

b) Ponga un signo - en una celda usada de la misma fila

c) Ponga un + en una celda usada de la misma columna

El proceso continúa alternando los signos + y - tanto en las filas como

en las columnas hasta que se obtenga una sucesión de celdas

(trayectoria) que satisfagan dos condiciones

1. Hay un signo + en la celda desocupada original de interés, y

2. Cualquier fila o columna que tenga un signo + debe tener

también un signo - y viceversa.

Algoritmo Paso 1


452.1.4. Método de pasos secuenciales

(cont.)

Algoritmo Paso 1

Plantas


1 12 13 4 6

400 100 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 200 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Solución básica factible obtenida aplicando el método de la Esquina

Noroeste



Algoritmo Paso 1Plantas


1 12 13 4 6

400 100 - + 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 + 200 - 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

Trayectoria 1: +C13-C12+C32-C33



(cont.)Algoritmo Paso 1Plantas


1 12 13 4 6

400 100 - + 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 + 200 - 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

1: +(4)-(13)+(9)-(12)= -12 2: +(6)-(13)+(9)-(4) = - 2 (signo menos)

3: +(6)-(4)+(13)-(12)= +3 4: +(10)-(4)+(9)-(12) = + 3

5: +(11)-(4)+(9)-(4) = +12 6: +(10)-(9)+(13)-(12)= + 2

Costos de las Trayectorias


48


(cont.)Algoritmo Paso 21: +(4)-(13)+(9)-(12)= - 12 2: +(6)-(13)+(9)-(4) = - 2

3: +(6)-(4)+(13)-(12)= + 3 4: +(10)-(4)+(9)-(12) = + 3

5: +(11)-(4)+(9)-(4) = + 2 6: +(10)-(9)+(13)-(12)= + 2

La solución factible NO es óptima !!

Se selecciona la trayectoria 1 (costo marginal más

negativo)



Algoritmo Paso 3 (Generación de la nueva tabla)

¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?

Acción Ruta Unidades disponibles en

celdas decrecientes

Aumentar 1 unidad 1_3

Disminuir 1 unidad 1_2 100

Aumentar 1 unidad 3_2

Disminuir 1 unidad 3_3 200



Algoritmo

Plantas


1 12 13 4 6

400 - 100 + 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

200 + 100 - 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

Paso 3 (Generación de la nueva

tabla)

Costo: $13.000



Algoritmo Paso 4Volver al Paso 1:

Para cada trayectoria evaluar costo marginal

Plantas


1 12 13 4 6

400 100 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

200 100 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000



(cont.)Algoritmo

Paso 2: Elección de C Mg

menor Plantas


1 12 13 4 6

400 +12 100 +10 100 500

2 6 4 10 11

-9 700 +3 +12 0 700

3 10 9 12 4

-10 200 100 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

La celda más negativa es c 31 (-10) y la

trayectoria es: C31 – C33 + C13 – C11



(cont.)Algoritmo Paso 3 (Generación de la nueva

tabla)

¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?

Acción Ruta Unidades disponibles en

celdas decrecientes

Aumentar 1 unidad 31

Disminuir 1 unidad 33 100

Aumentar 1 nidad 13

Disminuir 1 unidad 11 400



(cont.)Algoritmo Paso 3 (Generación de la nueva

tabla)

Costo: $12.000

Plantas


1 12 13 4 6

300 200 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 200 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000



(cont.)Algoritmo Paso 4Volver al Paso 1:

Para cada trayectoria evaluar costo marginal

Plantas


1 12 13 4 6

300 200 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 200 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000



Algoritmo Paso 2: Determinar costos marginales

Todas rutas son no negativas (positivas o cero)

Solución factible óptima!!! $12.000

Compare esta solución con la obtenida con MAV y MCM ¿ ...?

Plantas


1 12 13 4 6

300 +2 200 0 100 500

2 6 4 10 11

+1 700 +13 +12 0 700

3 10 9 12 4

100 200 +10 500 0 800

Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000


572.1.5. Método de Distribución Modificada

Multiplicadores (DIMO)Algoritmo

1. Usar la solución actual (NE, MAV o MCM) y las siguientes

operaciones (a) y (b) para determinar el costo marginal de

enviar material para cada una de las rutas no usadas.

Asociar a cada fila un índice ui y a cada columna un índice vj

a) Hacer u1 = 0. Encuéntrese los índices de las filas u2, ..., um y

los índices de las columnas v1, ...., vn tales que cij = ui + vj

para cada celda usada.

b) Sea eij = cij - (ui+vj) para cada celda no usada; eij será el

costo marginal de introducir la celda (ruta) i, j a la solución.

Los pasos 2 a 4 son los mismos que en el método secuencial.

58


(DIMO)

Aplicar el algoritmo al problema en

estudio y comparar resultados obtenidos

con los métodos anteriores

Comentar resultados

¿Qué explica que existan dos soluciones

óptimas factibles?



(DIMO)Aplicación

Costo por

Ruta en uso motor ($) Ecuación

11 12 u1 + v1 = 12

12 13 u1 + v2 = 13

22 4 u2 + v2 = 4

32 9 u3 + v2 = 9

33 12 u3 + v3 = 12

34 4 u3 + v4 = 4

Plantas


1 12 13 4 6

400 100 100 500

2 6 4 10 11

700 0 700

3 10 9 12 4

100 200 500 700 800

Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

Paso 0: Asociar índices

ui

vj

transport e

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