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Transitorios Electromagnéticos. Dayan Giovanni Hernandez Decanini Un proceso transitorio en un sistema de cualquier tipo se origina como consecuencia de un cambio en las condiciones de operación o en la configuración del sistema. Los procesos transitorios en sistemas eléctricos de energía son originados por maniobras, fallas, descargas atmosféricas o variaciones en la demanda de energía. La importancia que tiene su estudio es debido fundamentalmente al efecto que pueden tener en el funcionamiento de un sistema o sobre los equipos que forman parte de ese sistema.

Los procesos transitorios en sistemas eléctricos de energía se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios:

1. Según su origen, un proceso transitorio puede ser externo, originado por una descarga atmosférica, o interno, provocado por una maniobra, una falla o una variación en la demanda.

2. Según los equipos involucrados, un proceso transitorio puede ser electromagnético cuando es necesario analizar la interacción entre elementos de almacenamiento de energía electromagnética, es decir, inductancias y capacitancias, o electromecánico cuando es necesario analizar la interacción entre la energía almacenada en los sistemas mecánicos de las maquinas rotativas y la energía almacenada en elementos puramente eléctricos.

El cálculo de procesos transitorios en sistemas eléctricos es una tarea difícil debido a la complejidad de

los equipos involucrados y a la interacción entre ellos. La solución de un proceso transitorio es prácticamente imposible de obtener mediante cálculo manual, incluso en redes o sistemas muy simples. En la mayoría de los casos solo es posible obtener una solución precisa o aproximada con la ayuda de una computadora..

Varias técnicas han sido desarrolladas para calcular procesos transitorios de naturaleza electromagnética mediante computación digital. Básicamente se pueden dividir en dos categorías: técnicas en el dominio de la frecuencia y técnicas en el dominio del tiempo. Las técnicas en el dominio de la frecuencia tienen limitaciones cuando se trata de analizar procesos transitorios en sistemas de gran tamaño o con elementos no lineales. De los varios métodos propuestos en el dominio del tiempo, el mas popular se basa en el algoritmo desarrollado por H. W. Dommel , que combina la regla trapezoidal y el método de Bergeron. Este algoritmo fue el origen del EMTP (ElectroMagnetic Transients Program), que es la herramienta mas empleada en el cálculo de procesos transitorios en sistemas eléctricos de energía.

La regla trapezoidal es usada en el EMTP para convertir las ecuaciones diferenciales de los componentes del circuito a simples relaciones algebraicas relacionando voltaje, corriente, y valores pasados conocidos, y el método de Bergeron se aplica para la obtención del modelo discreto de la línea, para la que se emplea una representación con parámetros distribuidos. Las ecuaciones de ambos métodos pueden ser representadas por simples circuitos equivalentes que conducen a una formulación nodal del problema, que en un instante de tiempo dado puede ser escrita como;

[G][v(t)] = [i(t)]+[h(t)]

Donde [G] = matriz constante de conductancias equivalentes; [v(t)] = vector de voltajes de nodos; [i(t)] = vector de fuentes externas de corriente; y [h(t)] = vector de términos de historia. Los términos de historia h(t) son conocidos de valor pasados de voltaje y corriente en las ramas. El valor de [G] y [h(t)] depende de la regla de integración ( o diferenciación ) numérica usada para discretizar las ecuaciones diferenciales. Una de las ventajas del algoritmo de Dommel es el empleo de un paso de integración constante que origina una matriz de conductancias constante que ha de ser calculada y triangulizada una sola vez. Sin embargo, el empleo de un ∆t fijo también presenta limitaciones: se debe escoger el paso de integración mas adecuado ya que su valor determina la máxima frecuencia que puede ser simulada

La regla trapezoidal aunque es de baja precisión tiene buenas características en términos de baja distorsión y estabilidad numérica, esto es, un paso de integración demasiado grande puede originar errores o desviaciones muy grandes con respecto a la solución correcta pero no provocara una divergencia respecto a esta.

En muchas aplicaciones la regla debe trabajar como diferenciador puro (voltaje en la inductancia después de una interrupción de corriente, o corriente en una capacitancia después de cerrar un switch) bajo esas condiciones se introduce lo que se conoce como oscilaciones numéricas sostenidas.

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Considerando el caso de la Figura 1, las soluciones correctas de la corriente y voltaje en la inductancia después de la interrupción de la corriente son las 0266que se muestran en la figura con trazo grueso. Sin embargo la solución que se obtiene de aplicar la regla trapezoidal para el voltaje en terminales de la inductancia es la que aparece con trozo discontinuo.

Este comportamiento lo podemos comprender analizando la ecuación de una inductancia después de

aplicar la regla trapezoidal, que se puede expresar de la siguiente forma:

)]()([2)()( ttititLttvtv LLLL ∆−−∆

+∆−−=

Si se admite que la solución )( ttvL ∆− es correcta antes de producirse la interrupción total, las soluciones en los siguientes instantes, cuando iL(t - ∆t) e iL(t) sean nulas, se cumplirá que

)()( ttvtv LL ∆−−=

Es decir, el voltaje a través de la inductancia comienza a oscilar alrededor de cero, con el valor de voltaje que exista en el momento en que la corriente se anulo.

Varias técnicas han sido propuestas para controlar o reducir estas oscilaciones numéricas:

• regla trapezoidal con amortiguamiento; • empleo de circuitos snubber (circuitos RC); • interpolación lineal; • ajuste critico del amortiguamiento o CDA (critical damping adjustment).

El amortiguamiento puede ser obtenido internamente, mediante la modificación de la regla trapezoidal, o

bien externamente, mediante la inserción de resistencias en paralelo con las inductancias o en serie con las capacitancias.

La mayor desventaja de adherir amortiguamiento artificial, ya sea a través de la regla de integración o resistencia externa es que el resto de la respuesta normal del sistema es distorsionada.

El empleo de circuitos Snubber en paralelo con los interruptores es una técnica que tiene una ventaja adicional, ya que este tipo de circuitos es empleado en muchas aplicaciones reales para proteger a los semiconductores frente a sobretensiones.

RESTO DE LA RED

L iL

iL

t

vL

t

Figura 1. Caso de oscilación numérica en un circuito inductivo producida por un cambio brusco en la derivada de una corriente

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Otros esquemas que han sido propuestos para tratar de controlar las oscilaciones sin afectar el resto del sistema están basados en el readaptamiento de condiciones iniciales e interpolación. Sin embargo esas técnicas son relativamente complicadas de implementar en una clase de componentes del circuito.

El ajuste critico del amortiguamiento (CDA) pertenece a este ultimo grupo en el sentido de que no interfiere con el esquema de la solución normal, pero no requiere de interpolación u otras complicaciones, sino en el uso de una diferente regla de integración en puntos de discontinuidad.

Esta ultima técnica esta basada en la propiedad de la regla de Euler hacia atrás de proporcional un total amortiguamiento de la discontinuidad en un ∆t de la simulación., es decir en el ajuste critico del amortiguamiento, el método de integración es cambiado a el de Euler hacia atrás en dos tamaños de paso (de ∆t/2) después de la discontinuidad y la simulación puede proseguir otra vez con la regla trapezoidal. Usando un tamaño de paso de ∆t/2 con Euler hacia atrás la matriz de conductancias es la misma que para la regla trapezoidal usando un tamaño de paso de ∆t, por lo que, únicamente la formula para evaluar los elementos en el vector de historia [h(t)] necesita ser cambiado.

Debido a esta simplicidad, las modificaciones requeridas para implementar el CDA son muy sencillas, y no solo para elementos simples como inductancias y capacitancias, sino también para modelos complicados, como líneas de transmisión dependientes de la frecuencia y elementos no lineales.

Implementación del ajuste del amortiguamiento critico en el esquema EMTP. La secuencia de eventos en la implementación del procedimiento es la siguiente:

I. La solución del sistema es encontrada normalmente en un tiempo t=t1 con el circuito en configuración I (antes del cambio en la posición de el switch) de acuerdo a la ecuación

[GI][v(tI]=[is(tI)]+[hTrap(tI)]

donde los elementos en la matriz de conductancias [GI] son representados acorde a la regla trapezoidal.

II. La topología es ahora modificada de acuerdo a la nueva posición de los switches (estado II) La matriz [GII] es construida

III. El sistema es resuelto en un tiempo tI + ∆t/2 usando la regla de Euler hacia atrás. La matriz [G] usando Euler hacia atrás con tamaño de paso ∆t/2 es la misma que usando trapezoidal con pasos de ∆t, el único cambio requerido es la forma del termino de historia.

[GII][v(tI + ∆t/2]=[is(tI + ∆t/2)]+[hEU(tI + ∆t/2)]

IV. El sistema es resuelto en (t1 + ∆t) con Euler hacia atrás. V. La simulación prosigue en t1 + 2∆t, t1 + 3∆t,... con la regla trapezoidal hasta que ocurra otra

operación de un switch. A continuación se muestran los resultados en sistemas de prueba , obtenidos con un programa en el esquema EMTP, el primero muestra la implementación de el ajuste critico del amortiguamiento en un circuito RL, se compara los datos obtenidos en el programa con y sin uso de la técnica. Los dos restantes verifican la estructura del programa. I. Este es un caso muy simple, un circuito rectificador monofasico de media onda. Los oscilogramas sin y con amortiguamiento crítico muestran la limitación de la regla trapezoidal y el efecto de la técnica CDA.

R L

Diodo

Fuente C.A

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1a ) Voltaje y corriente en la rama RL

1b ) Voltaje y corriente en la rama RL, con ajuste de amortiguamiento critico.

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C

Ro

Zc

V(t)

II. El sistema a estudiar es una línea aérea terminada en un banco de capacitores. Se calculara el voltaje originado en la terminal de la línea en donde esta instalado el banco de capacitores. La línea se representa mediante un modelo monofásico ideal con parámetros distribuidos. La fuente de voltaje es un escalón con una impedancia interna, representada por la resistencia Ro. Los parámetros del sistema son los siguientes: Fuente: Voltaje continuo V = 1 v Resistencia interna Ro = 10 Ω Línea: Resistencia R = 0 (línea ideal) Impedancia característica Zc = 350 Ω Velocidad de propagación V = 300 000 Km/s Longitud l = 60 Km Capacitor = 0.1 µF

El circuito equivalente del sistema después de cerrar el interruptor, seria como se muestra en la siguiente figura:

Las graficas siguientes muestran el voltaje en el banco de capacitores con 2 escalas de tiempo diferentes, la simulación se realizo suponiendo que la fuente de voltaje se activa en el instante t = 0, y que el interruptor se cierra al cabo de 10µs.

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Ro Rs 4 3 2 1 V(t) ZC I1(t) I2(t) ZC ∆t/2C IC(t)

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Del análisis de estos resultados es posible obtener unas cuantas conclusiones:

• En el extremo receptor se obtiene un importante sobrevoltaje, su valor inicialmente es el doble del voltaje interno de la fuente, posteriormente este valor se incrementa todavía más;

• El voltaje en este punto es oscilatorio, llegando incluso a ser negativo ; • El valor de los picos positivos y negativos se va amortiguando paulatinamente hasta alcanzar un

valor constante e igual al del voltaje interno de la fuente.

El proceso transitorio se puede explicar de la siguiente manera. En el momento de producirse el cierre aparece en el origen de la línea un voltaje cuyo valor depende de la resistencia interna de la fuente y de la impedancia característica de la línea:

Vo(s) = V(s) Zc/(Ro + Zc) siendo V(s) = 1/s.

La onda de voltaje se propaga hacia el extremo receptor, donde sufrirá una reflexión, originándose

una nueva onda que se propaga en sentido contrario, hacia el origen. Cuando la onda reflejada alcance el origen, dará ligar a una nueva onda que se reflejara en sentido contrario, desde el origen hacia el final de la línea. Y así sucesivamente. Los coeficientes de reflexión para este sistema serian:

• Origen

• Final

Las expresiones de los voltajes en el origen y final de la línea en sucesivas reflexiones pueden obtenerse a partir de un diagrama reticular. Teniendo en cuenta que el voltaje que se propaga inicialmente por la línea es Vo (s), y de acuerdo al diagrama reticular, los voltajes resultantes en origen y final de la línea son los siguientes:

• Origen V2 (s) = Vo (s) [1 + rf(1+ro)e-2τs +ro r2

f (1+ro)e-4τs + …]

• Final

V1 (s) = Vo (s) [(1+rf)e-τs +ro rf

(1+rf)e-3τs + r2o r2

f (1+rf)e-5τs +…]

La primera onda que se origina al final de la línea se puede deducir de la expresión mostrada

anteriormente. De ahí se ve que todos los términos de V1(s) son nulos antes de t = τ. Es decir, el voltaje en el nodo 1 es nulo entre t = 0 y t = τ. A partir de este instante el análisis es el siguiente:

• Voltaje entre t = τ y antes de t = 3τ donde τc = ZcC

ZcRoZcRor o +

−=

sCZcsCZc

ZcsCZcsCr f +

−=

+−

=11

/1/1

Origen Final 0 1 τ rf 2τ

rorf 3τ rorfrf

4τ rororfrf 5τ

Tiempo

τττ

τs

c

ssf e

ssZcRoZce

sCZcsCZc

ZcRoZc

sersVosV −−−

++=

+−

++

=+=)1(

121111]1)[()(1

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si obtenemos la transformada inversa de V1 (s) tenemos: Teniendo en cuenta el valor de cada parámetro que aparece en esta expresión se obtiene:

De aquí se deduce que el voltaje será nulo antes de que llegue la primera onda, es decir, durante 200µs, aumentara con una constante de tiempo de 35µs, y alcanzara un valor de 1.9444 volts. Ya que la siguiente onda llegara al cabo de 3τ = 600µs, y el voltaje en este punto habrá alcanzado su régimen permanente después de 4τc = 140µs, se concluye que antes de que aparezca una nueva onda del origen de la línea, el voltaje en este extremo será constante y de valor 1.9444 volts como se muestra en las simulaciones.

Un análisis similar se puede llevar a cabo para tiempos posteriores si se desea ver el origen de el sobrevoltaje y el efecto de amortiguamiento de la resistencia interna de la fuente que hace que el voltaje receptor se estabilice en un valor de uno,, así como para el otro voltaje y las intensidades de corrientes en los extremos de la línea.

III. En este caso se trata de obtener el voltaje resultante en bornes del transformador T2 y el voltaje transitorio de restablecimiento entre terminales del interruptor después de realizar la maniobra de separación del transformador que se encuentra en vació. El proceso transitorio se realiza considerando que ningún componente del sistema disipa energía, y suponiendo que la interrupción de corriente que circula por la línea se realiza en el paso por cero. Como en el ejemplo anterior el proceso transitorio se calcula a partir del modelo monofasico del sistema.

)(]1[2)( /)(1 τττ −−

+= −− tue

ZcRoZcsV ct

9444.12=

+ ZcRoZc sc µτ 35=

T1 T2 Línea

Sistema en estudio

L1 L2 C1 C3 L3

Esquema monofasico equivalente

• la red de alta tensión es representada mediante una fuente de voltaje sinusoidal mas una inductancia en serie L1 y una capacitancia en paralelo C1;

• la inductancia L2 representa el transformador T1 mas la línea aérea;

• el circuito equivalente del transformador T2 incluye su inductancia de magnetización L3 y la capacitancia primaria del arrollamiento primario.

Los parámetros del sistema son los siguientes: Red de Alta Tensión: Voltaje pico fase-tierra V = 20kv Frecuencia f = 50Hz Inductancia Serie L1 = 10Ω Capacitancia Paralelo C1 = 10µF

Transformador T1: Inductancia de cortocircuito LT1 = 10mH Línea aérea: Inductancia unitaria LTi = 1.0mH/Km Transformador T2; Inductancia de magnetización L3 = 800mH Capacitancia parásita C3 = 10nF

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Al sustituir cada elemento del esquema Una vez que se ha realizado la interrupción de corriente, quedaran dos circuitos separados:

1. el circuito del lado de la fuente, seguirá funcionando en régimen permanente, y por lo tanto oscilando a 50 Hz, siendo los valores de todas sus variables prácticamente los mismos que antes de realizar la desconexión del transformador.

2. el circuito equivalente del transformador T2, es en el que se iniciara un régimen transitorio oscilatorio.

El proceso transitorio que se origina en el circuito L3-C3 se puede resumir de la siguiente forma:

• La capacitancia C3, se queda cargada con un voltaje prácticamente igual al valor pico del voltaje de

la fuente, 20KV, comenzara a descargarse en la inductancia iniciándose un proceso oscilatorio en el que se producirá un intercambio de energía entre la capacitancia y la inductancia (la energía esta inicialmente en la capacitancia, puesto que el proceso se inicia con una corriente nula en la inductancia, la energía almacenada en ella es también nula).

• Dado que se supone que el circuito no disipa energía, el proceso permanecerá oscilando de forma indefinida, originándose entre las terminales de ambos elementos un voltaje sinusoidal con pico aproximado de 20KV y una frecuencia de oscilación que vendra dada por la siguiente expresión:

• De los parámetros del circuito se obtiene fT2 = 1179.4 Hz, que corresponden a un periodo de 0.56 ms. • El voltaje entre terminales del interruptor será la diferencia entre el voltaje que se origina en el lado

de la fuente, que tendrá un valor pico de 20KV y una frecuencia de 50 Hz, y el voltaje en el lado del transformador, que tendrá un valor pico de aproximado de 20 KV y una frecuencia de 1179.4 Hz.

• Por lo tanto, el voltaje de entre terminales del interruptor, presentara una frecuencia principal de 50Hz modulada por una frecuencia de 1179.4 Hz y alcanzara un pico aproximado de 40 Hz.

Las siguientes figuras presentan algunos resultados correspondientes a este ejemplo:

4 3 2 1 2L1/∆t 2L2/∆t

V(t) ∆t/2C1 IC1(t) ∆t/2C3 IC3(t) 2L3/∆t IL3(t)

332 2

1CL

fT π=

Voltaje en la fuente y en el transformador Voltaje entre terminales del interruptor