transformadaz -...

Transformada ZDiego Milone

Muestreo y Procesamiento DigitalIngeniería Informática FICH-UNL

26 de abril de 2012

Introducción Transformada Z Sistemas de TD

Organización de la clase

IntroducciónRevisión: transformada de LaplaceMotivación de la transformada Z

Transformada ZDefinicionesPropiedadesInversión de la transformada ZRelación con la transformadas de Laplace y Fourier

Análisis de sistemas en tiempo discretoAplicación del teorema del desplazamientoTransformaciones conformes


Sistemas mecánicos y ecuaciones diferenciales


Sistemas mecánicos y ecuaciones diferenciales

f(t) = Kx(t) +Bdx(t)

dt+M

d2x(t)

dt2


Sistemas eléctricos y ecuaciones diferenciales


Sistemas eléctricos y ecuaciones diferenciales

v(t) = Ri(t) + Ldi(t)

dt+

1

C

∫i(t)dt


Transformada de Laplace

F (s) = Lf(t)

F (s) =

∫ ∞0

f(t)e−stdt


...pasando al dominio de Laplace


dt+

1

C

∫i(t)dt




dt+

1

C

∫i(t)dt

V (s) = Lv(t)




dt+

1

C

∫i(t)dt

V (s) = Lv(t)

⇓

V (s) = RI(s) + sLI(s) +1

sCI(s)


Impedancias en el dominio de Laplace

V (s) = RI(s) + sLI(s) +1

sCI(s)

↓

ZR(s) = R ZL(s) = sL ZC(s) =1

sC


Impedancias en el dominio de Laplace

V (s) = RI(s) + sLI(s) +1

sCI(s)

↓

ZR(s) = R ZL(s) = sL ZC(s) =1

sC

V (s) = (ZR + ZL + ZC)I(s) = Z(s)I(s)


Ejemplo


Ejemplo

Vi(s) = RCI(s) +1

sCI(s) +RLI(s) + sLI(s)

Vo(s) = RLI(s) + sLI(s)


Función de transferencia

H(s) =Salida

Entrada=Vo(s)

Vi(s)


Función de transferencia: ejemplo

H(s) =RL + sL

RC +RL + 1sC + sL

H(s) =sRL+ s2L

(RC +RL)s+ 1/C + s2L



H(s) =RL + sL

RC +RL + 1sC + sL

H(s) =sRL+ s2L


Supongamos que: RC = 1Ω, RL = 1Ω, C = 1F,L = 2H



H(s) =RL + sL

RC +RL + 1sC + sL

H(s) =sRL+ s2L


Supongamos que: RC = 1Ω, RL = 1Ω, C = 1F,L = 2H

H(s) = s+ 2s2

1 + 2s+ 2s2


Polos y ceros: ejemplo

H(s) =s+ 2s2

1 + 2s+ 2s2



H(s) =s+ 2s2

1 + 2s+ 2s2

Polos : 1 + 2s+ 2s2 = 0

⇒ p1 = −1

2+

1

2i

⇒ p2 = −1

2− 1

2i



H(s) =s+ 2s2

1 + 2s+ 2s2

Polos : 1 + 2s+ 2s2 = 0

⇒ p1 = −1

2+

1

2i

⇒ p2 = −1

2− 1

2i

Ceros : s+ 2s2 = 0

⇒ c1 = 0

⇒ c2 = −1

2


Polos y ceros: interpretación gráfica


Respuesta al impulso

vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) =?



vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)



vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)

vi(t) = δ(t)⇒ Vi(s) = 1



vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)

vi(t) = δ(t)⇒ Vi(s) = 1

⇓

H(s) =Vo(s)

Vi(s)= Vo(s)



vi(t) = δ(t)⇒ vo(t) = h(t)

vi(t) = δ(t)⇒ Vi(s) = 1

⇓

H(s) =Vo(s)

Vi(s)= Vo(s)

⇓

H(s) = Lh(t)


Polos, ceros y estabilidadInversión de la transformada de Laplace por expansión enfracciones parciales

H(s) =N(s)

D(s)= · · ·

H(s) =∑i

αis+ ai

+∑j

βj(s+ bj)2 + w2

j

+∑k

γks2 + w2

k


Polos, ceros y estabilidadAntitransformando obtenemos términos con la forma

αis+ ai

−→ αie−aitu(t)

βj(s+ bj)2 + w2

j

−→ βjwje−bjt sin(wjt)u(t)

γks2 + w2

k

−→ γkwk

sin(wkt)u(t)

...interpretación gráfica de la estabilidad en el tiempo...


¿Para qué la transformada Z?

Ecuacionesdiferenciales

↑Transformaciones

conformes↓




← Transformadade Laplace →

↑Transformaciones

conformes↓




← Transformadade Laplace → Razón de

polinomios en s

↑Transformaciones

conformes↓





polinomios en s

↑Transformaciones

conformes↓

Ecuacionesen diferencias





polinomios en s

↑Transformaciones

conformes↓


← TransformadaZ

→





polinomios en s

↑Transformaciones

conformes↓


← TransformadaZ

→ Razón depolinomios en z


Definición de la transformada ZDefinición general

X(z) =

+∞∑n=−∞

x[n]z−n

Transformada Z unilateral

X(z) =

+∞∑n=0

x[n]z−n

NotaciónX(z) = Z x[n]


Transformada Z: ejemplos

x = [0 0 0 1 0]

X(z) = z−3

x = [1 − 2 3 0 4]

X(z) = 1− 2z−1 + 3z−2 + 4z−4


Propiedades: linealidad

Si x1[n]Z←→ X1(z) y x2[n]

Z←→ X2(z) entonces

ax1[n] + bx2[n]Z←→ aX1(z) + bX2(z)


Propiedades: inversión en el tiempo

Si x[n]Z←→ X(z) entonces

x[−n]Z←→ X

(1

z

)


Propiedades: convolución

Si x1[n]Z←→ X1(z) y x2[n]

Z←→ X2(z) entonces

x1[n] ∗ x2[n]Z←→ X1(z)X2(z)


Propiedades: diferenciación en el dominio Z


nmx[n]Z←→ (−z)md

mX(z)

dzm


Propiedades: desplazamiento en la frecuencia


ejΩonx[n]Z←→ X(e−jΩoz)


Propiedades: desplazamiento en el tiempo


x[n+ 1]Z←→ zX(z)− zx[0]


Z x[n+ 1] =

+∞∑n=0

x[n+ 1]z−n

=+∞∑m=1

x[m]z−(m−1) =+∞∑m=1

x[m]z−m+1

=+∞∑m=1

x[m]z−mz = z

(+∞∑m=1

x[m]z−m

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]z−0

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]

)= zZ x[n] − zx[0]


Z x[n+ 1] =

+∞∑n=0

x[n+ 1]z−n

=

+∞∑m=1

x[m]z−(m−1) =

+∞∑m=1

x[m]z−m+1

=+∞∑m=1

x[m]z−mz = z

(+∞∑m=1

x[m]z−m

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]z−0

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]

)= zZ x[n] − zx[0]


Z x[n+ 1] =

+∞∑n=0

x[n+ 1]z−n

=

+∞∑m=1

x[m]z−(m−1) =

+∞∑m=1

x[m]z−m+1

=

+∞∑m=1

x[m]z−mz = z

(+∞∑m=1

x[m]z−m

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]z−0

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]

)= zZ x[n] − zx[0]


Z x[n+ 1] =

+∞∑n=0

x[n+ 1]z−n

=

+∞∑m=1

x[m]z−(m−1) =

+∞∑m=1

x[m]z−m+1

=

+∞∑m=1

x[m]z−mz = z

(+∞∑m=1

x[m]z−m

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]z−0

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]

)

= zZ x[n] − zx[0]


Z x[n+ 1] =

+∞∑n=0

x[n+ 1]z−n

=

+∞∑m=1

x[m]z−(m−1) =

+∞∑m=1

x[m]z−m+1

=

+∞∑m=1

x[m]z−mz = z

(+∞∑m=1

x[m]z−m

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]z−0

)

= z

(+∞∑m=0

x[m]z−m − x[0]

)= zZ x[n] − zx[0]


Generalización del teorema del desplazamiento

Si x[n]Z←→ X(z) y x[n] = 0 ∀n ≤ 0 entonces

x[n− no]Z←→ X(z)z−no


Definición de la transformada Z inversa

x[n] =1

2πj

∮C

X(z)zn−1 dz


Transformada Z inversa: ejemplo

Supongamos que tenemos

H(z) =z + 2z2

1 + 2z + 2z2

... con la inversa estamos buscando la secuencia x[n] tal que

z + 2z2

1 + 2z + 2z2 =

+∞∑n=−∞

x[n]z−n

Observación: NO estamos buscando la ecuación en diferencias!!


Métodos de inversión

• División larga e inspección• Tablas de pares transformados• Expansión en fracciones parciales• Integral de inversión

(revisar en la bilbiografía)


Relación z . . . sRepresentación de la señal con un tren de pulsos

x[n] ≈ xδT (t) = x(t)

+∞∑n=−∞

δ (t− nT ) =

+∞∑n=−∞

x (nT ) δ (t− nT )

En el dominio de Laplace tenemos

XδT (s) =

+∞∫−∞

[+∞∑

n=−∞x (nT ) δ (t− nT )

]e−st dt

... e integrando

XδT (s) =+∞∑

n=−∞x (nT ) e−snT


Relación z . . . sSi comparamos

XδT (s) =

+∞∑n=−∞

x (nT ) e−snT

con

X(z) =

+∞∑n=−∞

x[n]z−n


Relación z . . . s

z = esT


Relación z . . . s

Im(z) Im(s)

Re(z) Re(s) 1

Plano Z Plano S

Polos, ceros y estabilidad...


Relación s . . . fSi recordamos que

s = σ + jω

cuando σ −→ 0 el núcleo

est∣∣σ=0

= ej2πft

... interpretación gráfica


Relación z . . . fUtilizando la relación

z = esT

cuando σ −→ 0

z|σ=0 = ej2πfT

... interpretación gráfica


Relación z . . . k (TDF)Si comparamos

X(k) =

+∞∑n=−∞

x[n]e−j2πnkN

con

X(z) =

+∞∑n=−∞

x[n]z−n


Relación z . . . k

z = ej2πkN


Relación z . . . k

Im(z) Im(s)

Re(z) Re(s) 1

Plano Z Plano S


Funciones de transferencia en Z

Funciones de transferencia para:• Sistemas AR• Sistemas MA• Sistemas ARMA

Aplicando en teorema del desplazamiento:• Desde la ecuación en diferencias a la función de

transferencia• Desde la función de transferencia hacia la ecuación en

diferencias


Recordemos...


↑Transformaciones

conformes↓


Recordemos...


← Transformadade Laplace →

↑Transformaciones

conformes↓


Recordemos...



polinomios en s

↑Transformaciones

conformes↓


Recordemos...



polinomios en s

↑Transformaciones

conformes↓


← TransformadaZ

→


Recordemos...



polinomios en s

↑Transformaciones

conformes↓


← TransformadaZ

→ Razón depolinomios en z


Transformaciones conformes

• Transformación ideal... s = ln(z)T

• Transformación de Euler (aproximación)• Transformación Bilineal (aproximación)


Transformación de Euler

Aproximemosdy

dt≈ ∆y

∆t=y[n]− y[n− 1]

T

En cada lado tenemos

Ldy

dt

= sY (s)

Zy[n]− y[n− 1]

T

=

(1− z−1

)Y (z)

T


Transformación de Euler

Igualando y despejando obtenemos

s =1− z−1

T


Aproximación de Euler

Im(s)

Re(s)

Plano S

1

Im(z)

Re(z)

Plano Z


Transformación bilineal

Utilizando una aproximación de 2do orden obtenemos

s =2(1− z−1)T (1 + z−1)


Aproximación bilineal

Im(z) Im(s)

Re(z) Re(s) 1

Plano Z Plano S


Bilineal: mapeo de frecuencias

=2 atan( T/2)

|H( )|

|H( )|


Comparación de las transformaciones

• Relaciones gráficas• Mapeo de frecuencias• Aplicabilidad de cada una• Ventajas y desventajas


Bibliografía básica

• H. Kwakernaak y R. Sivan, Modern Signal and Systems(Capítulo 8), Prentice-Hall, 1991.

• N. Sinha, Linear Systems (Capítulo 6), John Wiley & Sons,1991.

• R. Gabel y R. Roberts, Señales y sistemas lineales(Capítulo 6: para la revisión de transformada de Laplace),Limusa: Noriega, Editores, 1994.

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