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Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 4, Número 3, Diciembre 2013. Página 211—

Transformadas de Laplace y z, su implicancia en las ciencias

experimentales

Navarro Silvia I.; Juarez Gustavo A.; Humana Teresita E. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales – Universidad Nacional de Catamarca

[email protected]

El aporte de la historia en el desarrollo de las ciencias, es indudablemente muy importante, porque permite conocer como surgen los conceptos matemáticos. En particular aquí consideramos las Transformadas tanto de Laplace como Zeta, para permitir entender y aplicarlo a los nuevos desafíos que nos presenta actualmente las Ciencias Experimentales, cuando queremos analizar un sistema que puede ser controlado en tiempo continuo o en tiempo discreto. En este contexto es posible también emplear, como elemento auxiliar, la modelización matemática y la simulación para el estudio de la diversidad de fenómenos presentes en la enseñanza de la Física.

El objetivo de este trabajo, es analizar los principales aspectos de la evolución de conceptos que dieron origen a la forma particular de la

Transformada de Laplace tfL y de su complementaria

Transformada Zeta kxZ , donde surgen como herramienta operacional para resolver problemas que involucran una metodología de solución de ecuaciones diferenciales y en diferencias.

El desarrollo de este trabajo busca que el estudiante universitario no fracase a la hora que se le enseñe los conceptos de Transformadas, sino más bien lograr relacionar los nuevos conocimientos adquiridos de dichas Transformadas con un enfoque interdisciplinario.

Palabras claves: Transformada de Laplace, Transformada Z, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Ecuaciones en Diferencias, Enseñanza

mailto:[email protected]

Navarro Silvia I.; Juarez Gustavo A.; Humana Teresita E.; Transformadas de Laplace y z, su implicancia en las

ciencias experimentales.


Transformed Laplace and z, their implications in the experimental

sciences

The contribution of the history in the development of the sciences, is undoubtedly very important, because he/she allows to know like the mathematical concepts arise. In particular here we consider those Transformed point of Laplace like Zed, to allow to understand and to apply it to the new challenges that it presents us at the moment the Experimental Sciences, when we want to analyze a system that can be controlled in continuous time or in discreet time. In this context it is possible also to use, as auxiliary element, the mathematical model ling and the simulation for the study of the diversity of present phenomena in the training of the Physics.

The objective of this work, is to analyze the main aspects of the evolution of concepts that gave origin to the form peculiar of the one

Transformed of Laplace tfL and of its complementary Transformed

Z kxZ , where they arise as operational tool to solve problems that involve a methodology of solution of differential equations and in differences.

The development of this work looks for that the university student doesn't fail at the hour that is taught the concepts of having Transformed, but rather to be able to relate the new acquired knowledge of Transformed happiness with an interdisciplinary focus.

Key Words: Transformed of Laplace, Transformed Z, Ordinary Differential Equations, Difference Equations, Teaching.

INTRODUCCIÓN

En las carreras de Física y Matemáticas en los últimos veinte años,

los cursos de ecuaciones diferenciales tratan la Transformada de Laplace tfL ,

como una forma operacional de resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias




en tiempo continuo, y en forma equivalente, para la resolución de ecuaciones en

diferencias de tipo lineal en tiempo discreto, por el método basado en la

Transformada Zeta kxZ . Esto, a diferencia de temas curriculares como las

derivadas o las integrales, que son tratados por los libros de texto y los profesores

de física y matemáticas, a través de las experiencias didácticas previas para que el

estudiante construya y atribuya significados a los conceptos, esto no sucede con las

transformadas de tfL y kxZ , por el contrario, surgen de manera artificiosa

como un instrumento, cuyas propiedades formales son útiles porque resuelven

ciertos tipos de problemas. [7]

Ante la intencionalidad de su enseñanza, cualquier elemento de

construcción o de reconstrucción de significados carece de claridad o está ausente.

Si bien es cierta que las Transformadas de tfL y kxZ pueden ser interpretada

por una función y una sucesión, éstas pertenecen a una clase de operaciones

diferentes de las experiencias previas del estudiante. Este hecho, difícilmente podría

ser entendido si sólo partimos de la estructura matemática que aparece en los

textos para ambas transformadas.

Por esta razón, la investigación se orientó a dos aspectos: uno de

carácter histórico donde nos planteamos ¿cuáles fueron las ideas y problemas que

dieron origen y significado a las Transformadas de tfL y kxZ ?, y otro de

carácter cognitivo que responde a ¿cómo se aplicarían estas ideas para su

incorporación a la enseñanza de las ciencias experimentales?

OBJETIVO

Analizar los principales aspectos de la evolución de conceptos que

dieron origen a la forma particular de la Transformada de Laplace tfL y de su

complementaria Transformada Zeta kxZ , donde surgen como una herramienta




operacional para resolver problemas que involucran una metodología de solución de

ecuaciones diferenciales y en diferencias.

MARCO TEÓRICO

Aspectos históricos

Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace (en adelante TL) fue presentada por

Pierre Simón de Laplace (1749 – 1827), prestigioso matemático, que ya a los 24 años

se le conocía como el Newton de Francia. Entre sus trabajos se destaca su Tratado

de Mecánica Celeste, obra que publicó en cinco volúmenes entre 1799 y 1825, y que

suele considerarse como la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación.

Otro gran aporte, fue dentro del campo de la Teoría de Probabilidades. La primera

edición de la Teoría Analítica de las Probabilidades fue publicada en 1812, y en ella

consideró las probabilidades desde varios puntos de vista: presenta el método de los

mínimos cuadrados, (el método de regresión fue una expresión basada en su trabajo

de altura que denominó regreso a la mediocridad), el problema de la aguja de Bufón,

aplicaciones a la mortalidad, expectativa de vida y a problemas legales; incluye

también aplicaciones para determinar la masa de Júpiter, Saturno y Urano, métodos

de triangulación y un método para determinar el meridiano de Francia. Y contiene lo

que hoy conocemos como la Transformada de Laplace.

La TL aparece por primera vez en el trabajo de Euler (1769) titulado

Institutiones Calculi Integralis, al resolver la ecuación UyN´yM"yL . Durante

el siglo XIX, se le conocía con el nombre de Método de Laplace y aunque hubo

muchos matemáticos que contribuyeron a la teoría, fue Poincaré quien desarrolla de

nuevo la TL. Sin embargo, la TL como la conocemos hoy, se debe al trabajo de

Gustav Doetsch de 1937. [10] y [11]




Así, la TL se ha utilizado desde hace mucho tiempo para resolver

ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes (continuas en el tiempo).

Transformada Zeta

La Transformada Zeta (en adelante TZ), presenta algo inusual al

tener un nombre asociado a una letra del alfabeto, en lugar del apellido de un

famoso matemático. En efecto, la transformada de Fourier debe su nombre al Barón

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), la transformada Hadamard (también

conocida como la transformada Walsh-Hadamard, transformada Hadamard-

Rademacher-Walsh, transformada Walsh o transformada Walsh-Fourier) es un

ejemplo de una clase generalizada de transformadas de Fourier que deben sus

nombres al matemático francés Jacques Solomon Hadamard (1865-1963), al

matemático alemán Hans Adolph Rademacher (1892-1969) y al matemático

americano Joseph Leonard Walsh (1895-1973), la TL gracias a Pierre Simón de

Laplace (1749-1827) y la transformada de Hilbert a David Hilbert (1862-1943).

De acuerdo con Strum and Kirk (1994, p.420) del texto

Contemporary Linear Systems expresa:

A method for solving linear, constant coeficient difference equations by

Laplace transforms was introduced to graduate engineering students by

Gardner and Barnes in the early 1940s. They applied their procedure, which

was based on jump functions, to ladder networks, transmission lines, and

applications involving Bessel functions. This approach is quite complicated

and in a separate attempt to simplify matters, a transform of a sampled

signal or sequence was de ned in 1947 by W. Hurewicz as:

0k

kZkTfkTfZ which was later denoted in 1952 as a “Z-

transform" by a sampled-data control group at Columbia University led by




professor John R. Raggazini and including L.A. Zadeh, E.I. jury, R.E. Kalman,

J.E. Bertram, B. Friedland, and G.F. Franklin.

La ecuación de Hurewicz, está expresada como una función de la

secuencia de datos muestreados f en lugar del número complejo z (pero la

relación es clara), y las aplicaciones fueron similares desde el principio. Quizá por

esto, la TZ debería realmente ser llamada la Transformada HurewicZ (pero ya es

demasiado tarde para cambiarle el nombre). En cualquier caso, al parecer no fue un

accidente que la TZ fuera creada en la misma época que los computadores digitales.

[6] y [7]

Comparación funcional entre las Transformadas

La idea básica del uso de las transformadas integrales, como la TL y

la TZ consiste en lo siguiente: supongamos que estudiamos un determinado

fenómeno físico, el cual se lo describe por medio de un modelo matemático. Dicho

modelo estará formado por una o varias ecuaciones diferenciales (ordinarias o en

diferencias), con sus correspondientes condiciones iniciales y/o de contorno.

El problema consiste en resolver dicho modelo matemático, es

decir, a partir de la Ecuación Diferencial Ordinaria (en adelante EDO) a la que se le

aplica las propiedades de las transformadas integrales, en particular la TL, en la que

convierte dicha EDO en una ecuación algebraica (que resulta más fácil de resolver

que la ecuación diferencial de partida). Aplicando la propiedad de transformación

inversa se obtiene la solución de nuestra EDO, la cual ésta permite posteriormente

realizarle la simulación, donde se verifican los resultados del fenómeno físico

planteado.

Para el caso de la TZ, se realiza el mismo procedimiento anterior,

pero discretizando la EDO planteada en nuestro problema en forma de una Ecuación

en Diferencia (en adelante EED), y así obtener una solución. Pero para éste trabajo,




solamente se realizó la discretización de la EDO que caracteriza al fenómeno físico

que se esta estudiando.

A continuación, se detallan las características que prevalecen en

cada transformada:

Transformada de Laplace

Definición: La transformada de Laplace de una función tf definida para todos los

números positivos 0t , es la función sF , definida por:

0

dtetftfLsF ts (1)

Donde: tf función en el plano real, t variable de tiempo, sF función en el plano

complejo, s variable compleja, tal que jwrs con r parte real y j unidad

imaginaria y L : operador de TL.

Propiedades del Operador:

Transformada inversa: sFLtf 1 (2)

Linealidad: tgLtfLtgtfL (3)

Derivación: 000 121 nnnnn f...´fsfsfLstfL (4)

Traslación: asFtfeL t cuando as (5)

Transformada Zeta

Definición: La transformada Z de una sucesión kx está definida, en general como:

0k

kzkxkxZzX

(6)




siempre que exista la sumatoria y donde z es una variable compleja todavía indefinida.

kxZ representa el operador de Transformada Z.

Propiedades:

Transformada inversa: zXLkx 1 (7)

Linealidad: zYzXkykxZ (8)

Valor inicial: zXlímxz

0 (9)

Convolución:

k

i

kfkuikfkuzFzUZ0

1 (10)

Ecuaciones diferenciales y en diferencia. Aplicación a sistemas

La principal relación de las ecuaciones diferenciales, consiste en el

hecho de que todo sistema físico viene representado por una EDO. Como un sistema

viene dado por la relación entre la señal de entrada y la de salida, esta descripción es

muy adecuada. A partir de este concepto, se llega al de función de transferencia o

respuesta en frecuencia del sistema.

Por tanto, los sistemas quedan descritos por una EDO que relaciona

la variable de la señal de entrada con la variable de la señal de salida. En el caso de

sistemas discretos, quedan caracterizados por una EED. [3]

En lugar de abordarlas por métodos clásicos de matemáticas, la

solución preferida es la de aplicar alguna transformación integral que simplifique los

operadores involucrados (una derivada se transforma en un producto). Las más

habituales son la TL y la TZ. Una vez resuelta la ecuación en el dominio

transformado, es necesario antitransformar dicha solución para obtener el resultado

en el dominio del tiempo. [6]




METODOLOGÍA

Modelización Matemática y su Simulación Dinámica

Se presentará el proceso que involucra la formulación de un Modelo

Matemático usando las Transformadas, que facilitarán la visualización del fenómeno

en estudio.

Entendiendo por Modelo Matemático a una representación de un

fenómeno real, basada en relaciones matemáticas, estos ayudan a entender mejor

los fenómenos que describen, desarrollando nuestra intuición sobre su

funcionamiento. Además, al mismo tiempo, nos sirve para predecir lo que pasaría en

la situación real, tanto en condiciones normales como al modificar algún factor que

intervenga en el modelo. [3]

Este proceso, desde el punto de vista físico resulta interesante, ya

que para elaborar un modelo además del conocimiento matemático, se debe tener

una cantidad significativa de intuición y creatividad para interpretar el fenómeno,

discernir qué contenido matemático se adapta mejor, y tener sentido lúdico para

jugar con las variables involucradas, permitiendo así formular, resolver y elaborar

expresiones que sirvan no sólo para una solución particular, sino también,

posteriormente como soporte para otras aplicaciones y teorías.

Para interpretar un Modelo Matemático, es necesario analizar las

implicaciones de la solución derivada del modelo, la cual permite comprobar la

adecuación del mismo evaluando cuán significativa y relevante es la solución, a

través de la simulación que lo proporciona la Dinámica de Sistemas, cuyo objetivo

básico es llegar a comprender las causas estructurales que provocan el

comportamiento de dicho sistema.




Planteo del Modelo Matemático a un problema físico

Paralelamente al planteo matemático, se considera un problema

físico el cual se planifica a través de una propuesta experimental referida al

Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), esta temática ofrece la ventaja de, además

de ser accesible para los alumnos, permite la construcción de dispositivos

experimentales sencillo utilizando materiales de bajo costo y alta disponibilidad.

Se destaca, que los modelos matemáticos cobran vital importancia

en la explicación científica actual de muchos fenómenos físicos. El conocimiento del

modelo matemático ondulatorio aplicando las propiedades de las TL y la TZ, resulta

indispensable para interpretar los fundamentos de diversas aplicaciones

tecnológicas, más aún, si se tiene en cuenta que estos importantes conceptos

matemáticos, se aplican al análisis de sistemas que pueden ser controlados en

tiempo continuo o en tiempo discreto.

De hecho, existen diversas situaciones que corresponden a este

modelo matemático, siendo una de las más conocidas aquellas vinculadas a la

ingeniería. Ante esta importantísima vinculación que existe entre los avances

tecnológicos y las ciencias experimentales, se trata de encontrar una forma sencilla y

eficaz de enseñar al alumno, vinculando lo teórico con lo práctico, motivando su

creatividad, a fin de desarrollar y potenciar sus capacidades. De esta manera, se

intenta educar al alumno permitiéndole pensar, con el propósito de lograr un

individuo creativo, crítico, autocrítico, autónomo y flexible, donde el mismo sea el

responsables de dar una definición de M. A. S., a partir de valores obtenidos

experimentalmente, para así poder posteriormente realizar la simulación en -

Dinámica de Sistemas - reconociendo las variables que intervienen, identificando la

dependencia e independencia entre ellas.




Descripción experimental

Se trabajó con una metodología experimental, la cual permitió

confrontar los valores obtenidos con la formulación matemática del modelo

propuesto a través de la TL y su posterior simulación usando la TZ.

El objetivo de la experiencia fue verificar los conceptos del M.A.S, a

partir del registro de valores experimentales y de valores simulados de las variables

intervinientes, que se determinará por medio de la Dinámica de Sistemas a través de

su simulación correspondiente.

El dispositivo experimental consta de un péndulo de longitud

cmL 20 con un embudo de acrílico en su extremo; una pista óptica de dimensiones

m.m. 200800 , montada sobre un carro que se mueve con una cierta velocidad

debido a la pendiente de dicha pista. (Figura 7)

El embudo se carga de sal fina, de modo que al oscilar el péndulo

describe una trayectoria que queda registrada en la lámina, a medida que ésta se

desliza describiendo la grafica característica del M.A.S. (Figura 8). Además, con la

ayuda de un cronometro se midió el periodo de oscilación de la onda. Luego, se

realiza el registro de datos del movimiento y se toma también como información los

valores de la amplitud (Figura 9) y la longitud de la onda obtenida (Figura 10).

Posteriormente con estos resultados, se realizó la simulación

correspondiente al modelo matemático obtenido a través de la TL que represente la

situación planteada.




Figura 7: Esquema del dispositivo experimental construida por Humana T.E.

Figura 8: Fotos de la onda coseinoidal obtenida por Humana T.E.

Figura 9: Medida de la amplitud de la onda obtenida por Humana T.E.

Figura 10: Medida de la longitud de la onda obtenida por Humana T.E.




Es importante aclarar, que no fue fácil obtener la gráfica

característica del M.A.S. ya que al realizar la experiencia se tuvo que considerar

varios factores que influyeron en la obtención de dicha gráfica. Los factores que más

se destacaron fueron:

La longitud del péndulo: se tuvo que variar la misma hasta encontrar la

adecuada, para que se pudiera registrar sin defectos la gráfica en la pista

deslizante.

El orificio del embudo de acrílico: fue modificado para que la sal fina no cayera

demasiado rápido.

El peso colocado en el portapesas: debió ser graduado para evitar que el carro

montado sobre la pista no corriese muy rápidamente.

El porcentaje de humedad: a la hora de realizar la experiencia se debió

considerar que esta no fuera alta, pues producía que la sal fina se tornara

con cierta humedad e impedía que no saliera del embudo.

Secuencia de las mediciones. Las mediciones debieron realizarse el mismo día

para no alterar los resultados de las variables obtenidas.

Por otro lado, después de cada medición se debió proceder a limpiar

la pista óptica, ya que provocaba la interrupción en el desplazamiento del carro

móvil.

Finalmente, teniendo en cuenta éstas consideraciones se procedió a

obtener varias curvas del M.A.S., y se registraron en cada de ella los datos del

movimiento y los errores que se comenten durante la medición por exceso o por

defecto, para posteriormente permitir realizar la simulación correspondiente al

modelo que representa la situación física planteada.




Medición del desplazamiento de la onda

Para medir la longitud que forma la onda, se utilizó un cronómetro

cuya apreciación es de 0,01(s) y una regla milimetrada cuya apreciación es de 1(mm).

Estos valores se obtuvieron experimentalmente, por tanto deben tenerse en cuenta,

tanto las variables climatológicas, como las variables geográficas características de

la provincia de Catamarca del mes de junio de 2012: Temperatura: 18,4 (°C), Presión:

956,4(HPa), Altitud: 65°46´ 58,22”, Latitud: 28°27´33,68” y la Gravedad:

2190785169

s

m,,

(extraído de [1]). A continuación, se detallan las tablas que

contienen la variación de las variables características de una onda (amplitud,

longitud de onda, periodo, frecuencia y frecuencia angular) y la aplicación de la

Teoría de Errores de Gauss a cada una de ellas:

Tabla 1: Variaciones de las amplitudes de una onda.

n Amplitud A

(cm) Promedio de

A (cm)

Error cuadrático medio (cm)

Error cuadrático medio del promedio E (cm)

Lectura final (cm)

1 6,20

5,78 0,28 0,07 070785 ,,

2 5,80 3 6,00 4 5,70 5 5,50 6 5,59 7 5,58 8 5,50 9 5,,80 10 6,00

Fuente: datos obtenidos experimentalmente por Humana T.E. (2012).

Tabla 2: Variaciones de longitudes de onda

n

Longitud

de onda

(cm)

Promedio de

(cm)

Error cuadrático medio (cm)

Error cuadrático medio del promedio E (cm)

Lectura final (cm)

1 27,50 27,30 0,43 0,10 1003027 ,,

2 26,00




3 28,00 4 27,50 5 27,50 6 27,50 7 27,500 8 27,00 9 28,00 10 26,50


Tabla 3: Variaciones de los periodos de las ondas

n Período T

(s) Promedio de

T (s)

Error cuadrático medio (s)

Error cuadrático medio del promedio E (s)

Lectura final (s)

1 2,79

2,79 0,04 0,01 010792 ,,

2 2,85, 3 2,76 4 2,80 5 2,85 6 2,80 7 2,80 8 2,79 9 2,75 10 2,85


Tabla 4: Variaciones de las frecuencias de las ondas

n Frecuencia

f (Hz) Promedio de

f (Hz)

Error cuadrático medio (Hz)

Error cuadrático medio del promedio E (Hz)

Lectura final (Hz)

1 0,357

0,356 0,004 0,001 00103560 ,,

2 0,351 3 0,361 4 0,356 5 0,351 6 0,356 7 0,356 8 0,357 9 0,364 10 0,351


Tabla 5: Variaciones de las frecuencias angulares de las ondas




n

Frecuencia

s

rad

Promedio de

s

rad

Error cuadrático medio

s

rad

Error cuadrático medio

del promedio E

s

rad

Lectura final

s

rad

1 2,243

2,235 0,026 0,008 00802352 ,,

2 2,204 3 2,267 4 2,237 5 2,204 6 2,237 7 2,237 8 2,243 9 2,286 10 2,204

Fuente: datos obtenidos experimentalmente por Humana T. (2012).

RESULTADOS

Resolución del problema con valor inicial (PVI)

Este PVI describe el Movimiento oscilatorio no amortiguado, tal lo

descrito en el experimento. De manera que la masa oscila perpendicularmente

respecto al plano horizontal, desde la posición de equilibrio impulsada por una

fuerza y con velocidad inicial. La expresión matemática que describe este proceso

es:

tyy 4cos4" con 10´,00 yy

(11)

Resolviendo el problema planteado, se aplicará las propiedades de

la TL y la TZ, para ello se dispone:




1°) Se aplica la TL: donde se considera que el sistema es lineal cuando los

coeficientes de la ED que lo representa son constantes o sólo dependen de la

variable independiente y además si cumple el principio de superposición. De lo

cual resulta:

22

1

2

11

222

2

2

2

2

44

2

2

1

44

1

414

4400

s

sL

sLsYL

s

s

ssY

s

sssY

s

ssYyyssYs

Cuya solución de la onda en el estado continuo será:

tsent

tsenty 24

22

1

(12)

2°) Se aplica la TZ: Para este caso de la experiencia desde el punto de vista

discreto, se considera que el módulo de la transformada representa el

amortiguamiento de la señal, entonces la fase de la TZ indica la amplitud de

oscilación de la señal que se la obtiene discretizando la ec. (11) por método de

Euler, la cual resulta:

kyyy kkk 4cos52 12 con 10 10 y,y (13)

A continuación, se procede a realizar la simulación dinámica usando el software

VENSIN 5.1, que permite mediante los resultados obtenidos en la experiencia,




aplicarlo a los valores del módulo de la transformada que varían respecto a la

amplitud considerada, la misma oscilara respecto al tiempo en un rango de 6

cm. Si son menores de éste valor indica que la señal se amortigua (curva color

verde), si es igual a éste valor, la señal se mantiene (curva color roja) y si es

mayor que éste valor se amplifica (curva azul) (Figura 1).

Figura 1: Simulación dinámica de la Amplitud de oscilación de la onda.

CONCLUSIONES

La realización de este trabajo nos permitió dar un significado

histórico a los conceptos matemáticos de las TL y TZ, y también proporciona

evidencias que sirven a la didáctica para presentar estos conceptos en el aula, y

llevar al estudiante a construir o al menos a intuir el porqué de las expresiones de

éstas transformadas tal como se dan en las definiciones.

Destacamos, que la experiencia de laboratorio y la simulación

computacional revisten importancia en la explicación científica de muchos

fenómenos físicos que llevan a verificar la validez del desarrollo matemático, y su

conocimiento resulta ineludible en la interpretación de los fundamentos de diversas

aplicaciones interdisciplinarias.

6

3

0

-3

-6

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 Time (Second)

funcion y : experi1 funcion y : experi2 funcion y : experi4




Enfatizamos que la modelización matemática, la simulación

computacional y de laboratorio del M.A.S., revisten gran importancia en la

explicación científica de diversos fenómenos físicos, que llevan a comprobar la

validez del desarrollo teórico, y su conocimiento resulta necesario en la

interpretación de los fundamentos de diversas aplicaciones tecnológicas.

REFERENCIAS

[1] Alvarado P. (2005). Transformada Z (Capitulo 5) Uso exclusivo ITCR.

[2] Boice W.E., Diprima R.C. (1997). Ecuaciones diferenciales y problemas con

valores en la frontera. Editorial Limusa Wiley. (3ª Edición)

[3] Glyn J. (2002) Matemáticas avanzadas para ingeniería. Editorial Prentice -Hall

(2° Edición).

[4] Kreiszig Erwin (2001). Matemática avanzada para ingeniería (Tomo I y II).

Editorial Limusa Wiley (3° Edición).

[5] Kurmyshev E. (2003). Fundamentos de Métodos Matemáticos para física e

Ingeniería. Editorial Limusa Noriega Editores

[6] Miranda, E. (2001) Entendimiento de la transformada de Laplace. Caso de una

descomposición genética. Departamento de Matemática Educativa, IPN-Cinvestav.

México

[7] Moreno J.S.M., Perucha V.T., Juarez I.U. (2005) Métodos Matemáticos: Aplicación de

Matemáticas para Ciencias e Ingeniería. Editorial Thomson.

[8] Simmons G. (1993). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones. Editorial McGraw-

Hill.

[9] Spiegel M. (1994). Transformada de Laplace. Editorial McGraw -Hill

[10] Zill D. (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado.

Editorial International Thomson Editores. (6 ta Edición)

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