transformada z
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Definicion, teoremas, Funciones, Caracteristicas de la transformada ZTRANSCRIPT
MUNDO ELECTRICO 2011
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Vol. 3
SEPTIEMBRE
2011
BILATERAL
MUNDO ELECTRICO
LA TRANSFORMADA
Z
UNA REPRESENTACIÓN ALTERNATIVA DE LA
SEÑAL
FUNCIONES-PROPIEDADES
UNILATERAL
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TRANSFORMADA Z. DEFINICION
n las
matemáticas y
procesamiento
de señales, la
Transformada Z
convierte una señal real
o compleja definida en
el dominio del tiempo
discreto en una
representación en el
dominio de la
frecuencia compleja.
El nombre de
Transformada Z
procede de la variable
del dominio, al igual
que se podría llamar
"Transformada S" a la
Transformada de
Laplace. Un nombre
más adecuado para la
TZ podría haber sido
"Transformada de
Laurent", ya que está
basada en la serie de
Laurent. La TZ es a las
señales de tiempo
discreto lo mismo que
Laplace a las señales
de tiempo continuo.
Dada una secuencia
discreta X(n) se
define su
transformada Z como
una serie de
potencias:
Donde Z es una
variable compleja.
De este modo el
coeficiente de ,
para una
transformada
determinada, es el
valor de la señal en el
instante n. Y por
tanto, el exponente
de z contiene la
información necesaria
para identificar las
muestras de la señal.
E
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La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral
Transformada Z bilateral Transformada Z unilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X (z) que se
define
Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma
z = Aejω
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como
En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad
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REGIÓN DE CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA Z
omo se puede observar, la
transformada Z se puede
expresar como una serie de
potencias infinita y existe sólo para
aquellos valores de z para los cuales
converge la serie. De esta forma, se
define la región de convergencia
(ROC) de X(z) como el conjunto de
todos los valores de z para los cuales
X(z) adquiere valores finitos.
En la expresión de la transformada Z
aparece un sumatorio cuyos límites
son ± ∞, ese sumatorio puede o no
converger para determinados valores
de la variable compleja z.
La ROC para una x[n], es definida
como el rango de z para la cual la
transformada Z converge. Ya que la
transformada z es una serie de
potencia, converge cuando x[n] ,
es absolutamente sumable. En otras
palabras se define como:
Siempre que se calcule la
transformada z de una secuencia, se
debe también indicar su
correspondiente ROC.
Ejemplo
Hay que recordar la condición de
R.O.C
c
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Hay que destacar que diferentes señales discretas
pueden tener la misma transformada Z pero
diferentes R.O.C
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FUNCIONES DE LA TRANSFORMADA Z
1. Función de transferencia
Se calcula haciendo la TZ de la ecuación
y dividiendo
2. Ceros y polos
Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador
tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia
Donde es el k-ésimo cero y es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.
En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.
Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.
3. Salida del sistema
Si por un sistema pasa una
señal entonces la salida será
. Haciendo una descomposición en fracciones
simples de y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse
entonces la salida
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
En la tabla 1, se muestran de forma resumida las propiedades más importantes que cumple la transformada z.
Tabla 1 Propiedades de la transformada z.
Linealidad: La transformada Z de una combinación lineal de señales puede
hallarse a partir de la combinación lineal de las transformadas Z de las
señales individuales, y su ROC contendrá la intersección de las ROC de las
señales individuales:
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Desplazamiento Temporal: Un desplazamiento temporal introduce un
decaimiento exponencial en el dominio transformado Z. La ROC en general
no se altera.
Excepto para la posible adición o
eliminación del origen o del infinito.
Escalamiento en el dominio z: Un escalamiento en el dominio z introduce
una expansión exponencial en el dominio temporal. La ROC resulta también
escalada.
Inversión de Tiempo: Una inversión en el tiempo, introduce una inversión
multiplicativa en la ROC. Esto significa que si zo se encuentra en la ROC
correspondiente a la transformada de x[n], entonces 1/ zo está en la ROC
correspondiente a la transformada de x[-n].
Diferenciación en el Dominio z: La diferenciación en el dominio
transformado Z acompañada de un escalamiento por el factor z introduce un
factor n en el dominio temporal. La ROC resultante no se altera.
n
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Expansión Temporal: Una expansión temporal de orden k sobre una señal
discreta introduce una compresión de orden k en su ROC. Es decir que si zo
se encuentra en la ROC original, entonces
está en la ROC de la señal
expandida.
Conjugación: La ROC de la transformada Z de una señal conjugada
corresponde a la ROC de la señal original.
es decir que sus polos y ceros serán
complejos conjugados.
Convolución: De todas esas
propiedades destaca por su
importancia y utilidad la
propiedad de la Convolución.
Para calcular la convolución de
dos señales usando la
transformada z, se deberán seguir
los siguientes pasos:
1. Calcular la transformada z de
las señales.
2. Multiplicar las dos
transformadas z.
3. Encontrar la transformada z
inversa de X(z).
Teoremas del
Valor Inicial: Este
teorema establecen
que el valores
inicial de x(t)
puede calcularse a
partir de X(z):
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Realizada por: José J. González F.
Edgar Rangel
Ronald Noriega