Control Digital de Procesos

Dr. Hctor A. Ruiz Leza

Transformada Z

SERGIO GARCIA MEJIA

IQ

7mo SEMESTRE

29/08/2015

SALTILLO COAHUILA

Contenido:

Definicin

Propiedades

Transformadas Z comunes

Representacin grfica de los sistemas discretos lineales.

Aplicaciones

Bibliografa

Definicin:

La Transformada de Zeta es un modelo matemtico similar a la transformada de Fourier

para el caso del tiempo discreto o las transformadas de Fourier y Laplace para el caso de

tiempo continuo, que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del procesamiento

de seales digitales, como son el anlisis y proyecto de circuitos digitales, los sistemas de

radar o telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por

computadoras.

La definicin de la Transformada Zeta se basa en el desarrollo de funciones complejas en

Serie de Laurent.

Teorema de Laurent:

Dada una sucesin { f[n] } se define como su Transformada Zeta a la serie de Laurent F(z)

Ntese que en la definicin de Transformada Zeta

1.- En la presentacin de la serie se empieza con las potencias positivas

2.- El centro del desarrollo de Laurent es a = 0

3.- Se ha tomado por simplicidad y sin perder generalidad en el anlisis a la Sucesin:

f[0], f[1], f[2], f[3],..., f[n],... en vez de f[0], f[T], f[2T], f[3T],..., f[kT],... que representa un

cambio de escala: n = kT . Es decir:

Un caso particular de esta definicin es la llamada Transformada Zeta unilateral tambin

llamada Causal que corresponde a las sucesiones que tienen todos los trminos de la serie

de potencias positivas nulos, es decir la serie slo est compuesta por los trminos de

potencias negativas y el trmino independiente.

A la Transformada Zeta general se la denomina tambin como Transformada Zeta bilateral.

La Transformada Zeta unilateral es la de mayor aplicacin y es esencialmente similar a la

general salvo detalles que se estudiarn por separado. Su utilidad mayor es anlisis de los

sistemas causales regidos por ecuaciones en diferencias y con condiciones iniciales ( es

decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo).

La Transformada Zeta unilateral de una sucesin x[n] se puede considerar como

Transformada Zeta bilateral de la sucesin x[n] u[n]

Propiedades:

Frecuentemente se han empleado mtodos de transformacin para simplificar el anlisis y

sntesis de sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales o en diferencias. La

transformada Z es una regla por la cual una secuencia de nmeros son convertidos a una

funcin de la variable compleja z . Debido a su estructura bsica, la transformada Z posee

propiedades que facilitan la solucin de ecuaciones en diferencias lineales usando

simplemente manipulaciones algebraicas

Transformadas Z comunes:

Representacin grfica de los sistemas discretos lineales.

Una representacin en diagramas de bloques de los sistemas lineales discreto permite la

interpretacin visual de las caractersticas dinmicas del sistema. Dicha representacin

emplea tres elementos bsicos:

1) Unidad de retraso.

2) Unidad multiplicadora.

3) Unidad de suma.

Interconectando dichas unidades es posible representar cualquier sistema lineal discreto.

1) UNIDAD DE RETRASO

Es un dispositivo cuya seal de salida es idntica a la seal de entrada excepto que es

retrasada una unidad para tiempo discreto.

La relacin caracterstica para esta unidad es y(k) = u(k 1)

Al conectar dos unidades de retraso en cascada (la seal de salida para la primera unidad

de retraso sirve de seal de entrada para la segunda unidad de retraso). As, es posible la

obtencin de un retraso de dos unidades de tiempo discreto, segn se muestra en la figura:

Similarmente, se podr obtener un sistema que retrasa la entrada u(k) ' p ' unidades de

tiempo discreto, si se conectan ' p ' unidades de retraso en cascada. Esta funcin se designa

por un slo bloque con la notacin p z .

2) UNIDAD MULTIPLICADORA

La unidad multiplicadora genera una secuencia (seal de salida) idntica a la secuencia de

entrada multiplicada por algn escalar fijo 'a '. Entonces, si u(k) es una entrada, la salida del

multiplicador es y(k) = a u(k)

3) UNIDAD DE SUMA

La unidad de suma es un dispositivo al cual llegan dos o ms seales discretas que se suma

algebraicamente para generar la seal de salida discreta. Por ejemplo, si las seales 1 2 u

(k) y u (k) son aplicadas a un sumador, la salida estar dada por: 1 2 y(k) = u (k) + u (k)

Aplicaciones:

La Transformada Z puede utilizarse para determinar la estabilidad de un sistema de tiempo

discreto, como por ejemplo un radar, resonador magntico entre otras cosas:

Un sistema de control en lazo cerrado es aquel que posee realimentacin, es decir, que la

seal de salida tiene efecto directo sobre la accin de control. Por el contrario un sistema

en lazo abierto no tiene realimentacin.

Para determinar la estabilidad debemos analizar la funcin transferencia, la cual relaciona

la entrada y la salida de un sistema de tiempo discreto.

Para que un sistema de control en lazo cerrado sea estable, todos los polos de la funcin

transferencia de lazo cerrado deben presentarse en el plano z dentro del crculo unidad. Si

algn polo esta fuera de dicho crculo es inestable.

Si algn polo simple se presenta en el crculo unidad (z=1 o z=-1), o si solo un par de polos

complejos conjugados se presentan sobre el crculo unidad, entonces el sistema es

crticamente estable.

Si el polo sobre el crculo unidad fuese mltiple el sistema es inestable.

Si un sistema es estable, la transformada z inversa de su funcin transferencia tiende a cero

en el infinito. Esto no asegura que la salida del sistema siga perfectamente a la entrada. En

el ejemplo significara que la posicin de la antena coincida o no con la seal de referencia.

En general puede existir un error que depende del tipo de entrada.

Si un sistema es inestable, su transformada z inversa no es acotada.

Y si un sistema es crticamente estable, no ocurre ninguna de estas dos cosas. O el lmite es

una constante distinta de cero, o no existe como por ejemplo, los senos, cosenos, y la

funcin ((-1)k).

Las ecuaciones en diferencias se emplean tambin en economa, crecimiento de

poblaciones, biologa, etc, y todas se resuelven con la Transformada Z.

Conclusiones:

La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir ecuaciones

en diferencias o ecuaciones recursivas con coeficiente constantes a ecuaciones algebraicas

lineales. Este tipo de ecuaciones provienen de todo tipo de sistemas digitales utilizados para

control, procesamiento de imgenes y sonido, etc.

Bibliografa:

http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/TZ00.pdf

http://www.uv.es/soriae/tema_3_pds.pdf

http://dctrl.fi-

b.unam.mx/ricardo/Transformada%20Z/La%20Transformada%20Z_corregido.pdf

http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Arroyo%20Federico.pdf