INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO SANTIAGO MARIO EXTENSIN MATURNESCUELA DE INGENIERIA ELECTRONICA

LA TRANSFORMADA Z

Alumno: Carlos Gmez C.I.: 20.646.042

INTRODUCCINEl contenido a desarrollar en el siguienteinformeinvestigativo se basa en los distintosmtodosde transformada deLaplacey Transformada Z, es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia deproblemasdel inicial-valor. Laestrategiaes transformar lasecuaciones diferencialesdifciles en los problemas simples dellgebradonde lassolucionespueden ser obtenidas fcilmente. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral.

El nombre de Transformada Z procede de lavariabledel dominio, al igual que se podra llamar "Transformada S" a laTransformada de Laplace. Un nombre ms adecuado para la TZ podra haber sido "Transformada de Laurent", ya que est basada en laserie de Laurent. La TZ es a lassealesde tiempo discreto lo mismo que Laplace a las seales de tiempo continuo.

La transformada Z, al igual que otras transformacionesintegrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Qu es la transformada z?LaTransformada Zconvierte unasealrealocomplejadefinida en eldominio del tiempodiscretoen una representacin en eldominio de la frecuenciacompleja.Cmo se define y que significado matemtico tiene o representa?El nombre de Transformada Z procede de lavariabledel dominio, al igual que se podra llamar "Transformada S" a laTransformada de Laplace. Un nombre ms adecuado para la TZ podra haber sido "Transformada de Laurent", ya que est basada en laserie de Laurent. La TZ es a las seales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las seales de tiempo continuo.La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.Transformada Z bilateralLa TZ bilateral de una seal definida en el dominio del tiempo discretox[n]es una funcin X(z) que se define

Transformada Z unilateralDe forma alternativa, en los casos en quex[n] est definida nicamente paran= 0, la transformada Zunilateralse define como

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la funcin de generacin de probabilidades, dondex[n]es la probabilidad que toma unavariable discretaaleatoriaen el instanten, y la funcinX(z)suele escribirse comoX(s), ya ques = z-1. Las propiedades de las transformadas Z son tiles en lateora de la probabilidad.

Que son los ceros de la transformada Z?

Gracias al teorema fundamental del lgebra sabemos que el numerador tiene M races (llamadas ceros). Factorizando la funcin de transferencia

donde es el k-simo. Los ceros son por lo general complejos, y por tanto se puede dibujar en el plano complejo.En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuacin obtenida de igualar el numerador a ceroSe puede factorizar el denominador mediante la descomposicin en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuacin diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.Qu son los polos de la transformada Z?Gracias al teorema fundamental del lgebra sabemos que el denominador tiene N races (llamadas polos). Factorizando la funcin de transferencia

donde es el k-simo polo. Los polos son por lo general complejos, y por tanto se puede dibujar en el plano complejo.En definitiva, los polos son las de la ecuacin que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Diga 5 aplicaciones importantes de la transformada Z? la transformada Z se utiliza en el procesamiento de imagenes digitales. como por ejemplo los televisores de alta definicion y las camaras digitales. en el mbito de las telecomunicaciones, convierte una seal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representacin en el dominio de la frecuencia compleja

es usada para solucionar ecuaciones diferenciales lineales

en el anlisis y representacin de los sistemas LTI de tiempo discreto.

Para convertir descripciones de sistemas a ecuaciones de diferencias algebraicas

Cul es el dominio de la Transformada Z?El dominio es Z, Si utilizamos las transformadas Z de las seales entrada, salida y respuesta a impulso. Dominio n. Dominio Z. entrada y la respuesta a impulso; en el dominio de z el cual da cabida por la variable Z.Qu es la regin de convergencia de una transformada Z?La regin de convergencia, tambin conocida como ROC, define la regin donde la transformada-z existe. La ROC es una regin del plano complejo donde la TZ de una seal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformadaz es una serie de potencia, converge cuando es absolutamente sumable.

Propiedades de la Regin de Convergencia:La regin de convergencia tiene propiedades que dependen de la caractersticas de la seal, x[n]. La ROC no tiene que contener algn polo. Por definicin un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningn polo para ROC. Si x[n] es una secuencia de duracin finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=. Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ltimo polo desde x[z]. Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo ms cercano en x[z]. Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que est restringida en su interior y exterior por un polo.Una transformada Z, se especifica completamente sin su dominio?Es IMPRESCINCIBLE especificar la regin de convergencia, ya que de losContrario la obtencin de x[n] a partir de X(z) no est completamenteEspecificada (la solucin no es nica).

Ejemplifique 5 ejercicios resueltos de transformada Z

Cuntos mtodos de transformadas Z son los ms comunes y cules son?

Mtodo Computacional Enfoque para el MATLABsi U(z)=Z{do(k)} entonces u=[1 zeros(1,N)], representa la delta de kroneckeren MATLAB. N es el final de la duracin del tiempo discreto del proceso considerado. Se puede obtener la transformada inversa de G(z) (secuencia de y(k)) con el conjunto de instrucciones:num=[];%introduccin del numeradorden=[];%introduccin del denominadorN=20%u=[1 zeros(1,N)];%definicin de la funcin de entradav=[0 N -1 1];%ejes(los limites verticales -1 y 1 pueden cambiar segn el casoaxis(v)%ejesk=0:N%tiempoy=filter(num,den,u);%filtrado u con funcin num y den definidosplot(k,y,'o')%o bien plot(k,y,'o'.k,y,'-')grid%title('respuesta...')%xlabel('k')%ylabel('y(k)')%

Mtodo de residuos:

En general, sies una funcin racional de z:

es decir, tiene 5 polos en z = z0(4 f(z) no tiene polos en z = z0)El residuo de dicha funcin en z = z0es :

En particular si 5 = 1 para z0es = p

Caso general: Si la funcin a integrarj(z) tiene varios polos Pi, con grados Si,dentro de C:

Mtodo de expansin en fracciones simples. La idea del mtodo es la obtencin de fracciones simples en la forma bsica.Tomando el mismo ejemplo: X(z) = z/(z2 - 0,25)=z/[(z - 0,5)(z + 0,5)]Para expandir se hace la divisin X(z)/z, quedando,X(z)/z = 1/(z2 - 0,25) = 1/ [(z - 0,5)(z + 0,5)] = 1/(z - 0,5) 1/(z + 0,5)Devolviendo la divisin, quedan los trminos bsicos siguientes:X(z) = z/(z - 0,5) z/(z + 0,5)Con los cuales resulta finalmente,x(kT)= 0,5k (-0,5k)Mtodo de divisin directa. Ejemplo: hallar a partir de X(z) = z/(z2-0,25)La divisin directa de los polinomios tiene el cociente que sigue:Q(z)=z-1+0,25z-3+0.0625z-5+0.015625z-7+.

As, atendiendo a la propiedad de traslacin real (retardo), resulta:K x(kT) 0 01 12 03 0,254 0 0,0625