Transformada WaveletDe manera muy general, la Transformada Wavelet de una funcin f(t) es la descomposicin de f(t) en un conjunto de funciones s,(t), que forman una base y son llamadas las Wavelets [8]. La Transformada Wavelet se define como:

Las Wavelets son generadas a partir de la traslacin y cambio de escala de una misma funcin wavelet (t), llamada la Wavelet madre, y se define como:

donde s es el factor de escala, y es el factor de traslacin.Las wavelets s,(t) generadas de la misma funcin wavelet madre (t) tienen diferente escala s y ubicacin , pero tienen todas la misma forma. Se utilizan siempre factores de escala s > 0. Las Wavelets son dilatadas cuando la escala s > 1, y son contradas cuando s < 1. As, cambiando el valor de s se cubren rangos diferentes de frecuencias. Valores grandes del parmetro s corresponden a frecuencias de menor rango, o una escala grande des,(t). Valores pequeos de s corresponden a frecuencias de menor rango o una escala muy pequea de s,(t).

Wavelets ortonormales y discretas

Cuando la funcin f(t) es continua y las wavelets son continuas con factor de escala y traslacin discretas, la Transformada Wavelet resulta en una serie de coeficientes wavelets, y es llamada la descomposicin en Series Wavelet.La funcin f(t) puede ser reconstruida desde los coeficientes wavelets discretos Wf(s,), de la siguiente manera:

donde A es una constante que no depende de f(t).A estas funciones wavelets continuas con factores de escala y traslacin discretos se las denomina Wavelets discretas. Los factores de escala y traslacin de las wavelets discretas pueden ser expresados como:

donde el exponente i y la constante k son enteros, y s0 > 1 es un paso fijo de dilatacin.El factor de traslacin depende del paso de dilatacin s, las correspondientes wavelets discretas quedan expresadas como:

A travs de la Ec.

la Transformada Wavelet de una funcin continua es realizada a frecuencias y tiempos discretos que corresponden a muestreos con distintas traslaciones (tiempo) y distintas dilataciones (o cambios de escala).

El paso de muestreo en tiempo es pequeo para el anlisis utilizando wavelets de pequea escala, mientras que es grande para el anlisis con wavelets de gran escala. La posibilidad de variar el factor de escala s permite usar wavelets de escala muy pequea para concentrar el anlisis en singularidades de la seal. Cuando solo los detalles de la seal son de inters, unos pocos niveles de descomposicin son necesarios. Por lo tanto el anlisis wavelet provee una forma ms eficiente de representar seales transitorias.

Eligiendo adecuadamente (t) y los parmetros s0, 0, es posible lograr que las funciones s,(t) constituyan una base ortonormal de L2(R). En particular si se elige s0 = 2 y0 = 1, entonces existe (t), con buenas propiedades de localizacin tiempofrecuencia, tal que s,(t) constituye una base ortonormal L2(R).De esta forma, si las funciones wavelets discretas forman una base ortonormal, una funcin f(t) de soporte finito puede ser reconstruida como una suma de los coeficientes wavelets discretos Wf(s, ) multiplicados por las funciones de la base, como sigue:

Una descomposicin wavelet ortonormal no posee informacin redundante y representa la seal en forma unvoca. Una base wavelet ortonormal es posible con wavelets con factores de traslacin y dilatacin discretos. Por lo tanto, para estas funciones wavelets discretas ortogonales, los productos internos son iguales a cero:

ANALISIS EN EL DOMINIO DE EL TIEMPO Y LA FRECUENCIA