transformaciones de galileo y lorentz

ARTCULO 1: TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ1. Introduccin 2. Transformacin de Galileo y Principio Clsico de la Relatividad 2.1. Transformacin de Galileo 2.2. Principio Clsico de la Relatividad 3. Postulados de la relatividad especial y transformacin de Lorentz 3.1. Postulados de la Relatividad Especial 3.2. Incompatibilidad entre el Electromagnetismo y la Mecnica Clsica 3.3. Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante una transformacin de Galileo (Opcional) 3.4. Transformacin de Lorentz 3.5. Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformacin de Lorentz (Opcional) 3.6. Sntesis 1. Introduccin En la mayora de los libros de texto de Fsica General las transformaciones de Galileo y de Lorentz aparecen en temas diferentes. Por si fuera poco, se considera a la transformacin galileana tan intuitiva y tan asumida que no se explica suficientemente su alcance en la Mecnica Clsica ni por qu todos los observadores inerciales (esto es, que no llevan aceleracin) tienen que escribir las leyes fsicas de la misma forma. Por otro lado, cuando en los textos de Fsica se dice que la teora de Maxwell no cumple la transformacin de Galileo, rara vez se explica o se prueba que es as. Tampoco suelen aclarar qu razones llevaron a Einstein a cuestionar la transformacin de Galileo y sustituirla por la transformacin de Lorentz. En este artculo se trata de explicar las dos transformaciones paso a paso, de comprender su importancia en la Fsica y de dar respuesta a las preguntas anteriores. El objetivo es que se comprendan los fundamentos; es por esto que evitarn los desarrollos matemticos complejos, que podran conducir a lo contrario.Por ejemplo, siempre que no haya prdida de generalidad, consideraremos movimientos rectilneos a lo largo de un eje coordenado del sistema de referencia y fuerzas que acten en ese eje. De este modo las magnitudes vectoriales posicin, velocidad, momento lineal, aceleracin y fuerza quedan determinadas por sus respectivas componentes en ese eje y las correspondientes ecuaciones no son vectoriales, sino escalares.

2. Transformacin de Galileo y principio clsico de la relatividad 2.1. Transformacin de GalileoY

Y

x

xO

P X X

Z

O

Z

V

En la figura se muestran dos observadores O y O situados en dos sistemas de referencia inerciales diferentes, de modo que O se mueve respecto a O a lo largo del eje OX comn con un movimiento rectilneo uniforme de velocidad V. P es un punto material que se mueve, a lo largo de OX, con velocidades v y v1/14

Transformaciones de Galileo y Lorentz

v

P

v

Y

r

r

RZ

X V

respecto a O y a O . Las posiciones de P respecto a O y a O quedan determinadas por sus respectivas coordenadas x y x . Queremos comparar la descripcin del movimiento del punto P que hacen los dos observadores. De la figura se desprende que, x OO x pero si realizamos el experimento de modo que O y O coincidan en el mismo punto en el instante en el empezamos a contar el tiempo y ponemos el reloj a cero (t0 = 0), puesto que la velocidad V de O respecto a O, es constante, tenemos que para un instante arbitrario t se cumple que, OO Vt x x Vt x x Vt (1.1) En el caso general de que P y O no se muevan en la direccin de uno de los ejes (ver figura), la ecuacin (1.1) habra que escribirla vectorialmente, r r Vt (1.2) Es muy importante destacar que, aun en el caso general, estamos considerando que O se mueve con velocidad constante respecto a O y que O X Y Z no lleva movimiento de rotacin alguno respecto a OXYZ. En el caso particular, pero importante, de que la velocidad V sea paralela al eje OX, obtenemos que, Vx V , V y 0, Vz 0 y, al expresar la ecuacin (1.2) en sus componentes, tendramos, x x Vt , y y, z z, t t (1.3) El conjunto de ecuaciones (1.3) se denominan ecuaciones de la transformacin Galileana o, simplemente, transformacin de Galileo. Hemos aadido t = t para enfatizar que estamos suponiendo que el tiempo transcurre igual para ambos observadores; es decir, que las medidas del tiempo son independientes del movimiento de cada observador. Esto es algo que est muy de acuerdo con el sentido comn, pero que es slo una suposicin que puede ser desechada de forma experimental.

Z

X

VOO

PX X

Consideremos nuevamente el movimiento de O y de P a lo largo del eje OX comn, como se ve en la figura. La velocidad de P respecto a O se define como v dx / dt y la de P respecto a O como v dx / dt. Derivando la ecuacin (1.3) respecto al tiempo, notando que V es constante, tenemos, dx d dx dt v v V (1.4) ( x Vt ) V dt dt dt dt que relaciona las velocidades de los dos observadores. En el caso general de que P y O se muevan en direcciones arbitrarias, la ecuacin (1.4) habra que escribirla en su forma vectorial, es decir, v v V (1.5) 2.2. Principio clsico de la Relatividad Estamos interesados en verificar el hecho de que si las leyes de la Mecnica son vlidas para un observador inercial, tambin lo son para todos los dems observadores inerciales. En realidad es necesario confirmarlo nicamente para el principio de conservacin del momento lineal y para la definicin de fuerza, ya que las dems leyes de la Mecnica se derivan de esas dos.2/14


VO

m1

m2X X

O

Consideremos dos partculas de masas m1 y m2 que se mueven a lo largo del eje OX de un sistema de coordenadas, y sean v1 y v2 sus velocidades medidas por un observador inercial O, como se ilustra en la figura. El momento lineal se define como el producto de la masa por la velocidad, esto es, p mv Si las fuerzas externas que actan sobre las partculas se anulan, la ley de conservacin del momento lineal requiere que, p1 p2 m1v1 m2 v2 cte (1.6) Para otro observador inercial O que se mueve relativamente a O a lo largo del eje OX comn con velocidad constante V (ver figura), las velocidades de m1 y m2(1), de acuerdo con la ecuacin (1.4), son, v1 v1 V v1 v1 V y v2 v2 V v2 v2 V Al sustituir estos valores en la ecuacin (1.6) tenemos, m1 (v1 V ) m2 (v2 V ) cte m1v1 m2 v2 cte m1 m2 V y como, al igual que las masas, V es constante, llegamos a, m1v1 m2 v2 cte que es una ecuacin matemticamente idntica a la (1.6) y, por consiguiente, ambos observadores constatan la conservacin del momento lineal. Veamos ahora la fuerza medida por los dos observadores. Supongamos que O y O , que se mueve respecto a O a lo largo del eje OX comn con velocidad constante V, observan una partcula P de masa m que se mueve en el eje OX con aceleracin. Si v y v son las velocidades de la partcula medidas por O y O en el instante t, aplicando la ecuacin (1.4) tenemos, v v V v v V Ahora bien, la aceleracin de P respecto a O se define como a dv / dt y la de P respecto a O como a dv / dt. Derivando la ecuacin anterior respecto al tiempo, notando que V es constante, tenemos, dv d dv dV dv a a (v V ) dt dt dt dt dt Es decir, O y O miden la misma aceleracin. Puesto que la fuerza se define como la derivada del momento lineal respecto al tiempo, tenemos que, dp d dv F (mv) m ma dt dt dt dp d dv F (mv ) m ma dt dt dt En vista de que a = a , concluimos que F = F . Por lo tanto, ambos observadores inerciales miden la misma fuerza sobre la partcula. La fuerza y la aceleracin tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales. Las magnitudes que cumplen esta propiedad reciben el nombre de invariantes de Galileo. El hecho de que todas las leyes de la Mecnica deben ser las mismas para todos los observadores inerciales constituye el Principio Clsico de la Relatividad.1

V O

P

F

O

X

X

Estamos suponiendo que los dos observadores miden la misma masa para la partcula. Esta suposicin, que est basada en la experiencia, es cierta siempre que la velocidad sea pequea comparada con la de la luz. 3/14


3. Postulados de la relatividad especial y transformacin de Lorentz 3.1. Postulados de la Relatividad Especial En el siglo XIX los cientficos crean en la existencia de un medio denominad ter que se defini como una sustancia inmaterial y fija que se extiende por todo el Universo y que puede fluir a travs de todos los materiales que se mueven en su seno. Se pensaba que un sistema de referencia fijo respecto al ter sera el sistema de referencia en reposo absoluto. Se crea tambin que el ter era el soporte de propagacin de las ondas luminosas Al interpretar a las ondas luminosas como oscilaciones en el ter, se concluy que, al igual que ocurre con las ondas mecnicas, la velocidad de las mismas es constante respecto al ter y, por lo tanto, independiente de la fuente emisora. La constancia de la velocidad de la luz respecto al ter debera proporcionar un mtodo para medir movimientos absolutos. En efecto, la luz es una vibracin en el ter, que est en reposo absoluto, y su velocidad es constante respecto a ste; por lo tanto, la medida de la velocidad de la luz que haga un observador en movimiento respecto al ter depender slo de su propio movimiento. En el ao 1887 Albert A. Michelson y Edward W. Morley, partiendo de la hiptesis de la constancia de la velocidad de la luz respecto al ter, realizaron un experimento para medir el movimiento absoluto de la Tierra; es decir, la velocidad de la Tierra respecto al ter (lo que se dio en llamar viento de ter). El experimento consista bsicamente en medir la velocidad de haces de luz movindose en la misma direccin pero en sentidos opuestos. De este modo, la velocidad observada de cada haz de luz respecto a la Tierra dependera de la direccin y sentido del viento de ter con respecto al haz. La figura y la transformacin de velocidades de Galileo nos ayudan a determinar la velocidad de cada haz de luz medida por el observador (fijo en la Tierra). En efecto, sean dos sistemas de referencia inerciales ligados, respectivamente, a la Tierra y al ter; de acuerdo con la transformacin de velocidades de Galileo, tenemos que, v v V donde v representa la velocidad de la luz respecto al observador en Tierra, V la velocidad del ter respecto a la Tierra y v la velocidad de luz respecto al ter. Puesto que la velocidad de la luz respecto al ter es constante e igual a c para el haz (1) y c para el (2) y la velocidad del ter respecto a la Tierra es ve, deducimos que, Haz (1) v1 c ve v1 c ve Haz (2)

Viento ter; velocidad = ve

( 2) c - veO Haces de luz

(1) c + veX

v2

c ve

(c ve )

v2

c ve

es decir, que la velocidad de los haces de luz medidas por el observador deberan ser diferentes, lo que demostrara la existencia del viento de ter y permitira hallar la velocidad de la Tierra respecto a ste. El resultado del experimento mostr que la velocidad de los dos haces era exactamente la misma; o sea, que no apreciaron absolutamente ningn efecto del viento del ter. En el ao 1865 el cientfico escocs James Clerk Maxwell public su teora del Electromagnetismo, que ha sido verificada experimentalmente en multi4/14


Y

Y

Z

O

V Z

O

tud de ocasiones, obtenindose siempre resultados acordes con la experiencia. El fsico alemn de origen judo, Albert Einstein, que crea firmemente que la teora del Electromagnetismo era correcta, saba que sus ecuaciones no mantienen su forma (es decir, no son invariantes) ante una transformacin de Galileo; esto es, no son consistentes con la Mecnica Clsica. Este problema (y algunas contradicciones que aparecieron en ciertos experimentos electromagnticos) lo resolvi Einstein en el ao 1905, cuando public la teora de la Relatividad Especial o Restringida, basada en los dos postulados fundamentales siguientes: 1. Todas las leyes fsicas son las mismas (o sea, permanecen invariantes) para todos los observadores inerciales (esto es, con movimiento relativo de traslacin uniforme). Este postulado extiende el principio de la Relatividad de Galileo de la Mecnica a todas las leyes de la Fsica. Esto implica que no es posible, mediante ningn experimento realizado, distinguir un sistema inercial de otro; o bien que, es imposible conocer el movimiento rectilneo y uniforme de un sistema por cualquier clase de experimentos realizados en su interior. 2. La velocidad de la luz en el vaco es constante e igual para todos los sistemas de referencia inerciales. El postulado explica el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, puesto que la velocidad de la luz es la misma en todas las direcciones, sea cual sea el movimiento de la Tierra. Hay que hacer constar que Einstein estaba poco relacionado con las experiencias de Michelson y Morley sobre el viento del ter. Sin embargo, su teora no precisa de la existencia del ter. En realidad, Einstein no neg su existencia pero s su utilidad como referencia absoluta de movimientos uniformes. Por otro lado, la constancia de la velocidad de la luz, c no sigue la adicin de velocidades que se deduce de la transformacin de Galileo (ec. 1.4). En efecto, la figura muestra dos observadores inerciales O y O de modo que O se mueve a lo largo del eje OX comn acercndose a O con una velocidad V = 50.000 km/s. En un instante dado, O enva un haz de luz lser a lo largo del eje OX positivo, que se desplaza a una X X velocidad c = 300.000 km/s. De acuerdo con la ecuacin (1.4), la velocidad del haz de luz respecto a O debera ser v c V 300.000 ( 50.000) 350.000 km / s Pero la velocidad que mide O es de 300.000 km/s, lo que invalida la transformacin de Galileo. Einstein atribuy estas contradicciones a la interpretacin clsica de los conceptos espacio y tiempo. Por lo tanto, se haca necesario buscar otras ecuaciones de transformacin entre sistemas inerciales, distintas de las de Galileo, bajo las cuales la velocidad de la luz fuera invariante. 3.2. Incompatibilidades entre el Electromagntismo y la Mecnica Clsica La figura muestra una partcula portadora de una carga positiva q en reposo cerca de un alambre recto y largo por el que fluye una corriente de intensi5/14


q

vd

O

r

I

dad I. El sistema es observado desde el sistema inercial O en el que el alambre y q estn en reposo. En el interior del alambre hay electrones que se mueven con una velocidad de arrastre vd y ncleos de iones positivos en reposo; de modo que en cualquier longitud de alambre, el nmero de electrones es igual al de ncleos positivos, y la carga neta es cero. Puesto que la carga negativa de los electrones a lo largo del alambre es igual a la de los ncleos positivos pero de signo contrario, los campos elctricos creados por ambos portadores de carga en cualquier lugar son iguales en magnitud pero de sentidos opuestos. As pues, la fuerza elctrica ejercida sobre q es nula, Fe q( E E ) 0 pues E E 0 Por otro lado, aunque la corriente crea un campo magntico que afecta a q, la fuerza magntica es nula porque q est en reposo respecto al alambre, Fm qv B 0 pues v 0 Como en este sistema de referencia la fuerza neta sobre q es cero, la aceleracin que mide O es cero. Consideremos ahora la situacin desde un sistema inercial O que se mueve paralelo al alambre a la misma velocidad que la del arrastre de los electrones, vd, como se ve en la figura. En esta referencia los electrones estn en reposo y los ncleos positivos y la carga q se mueven hacia la derecha con velocidad vd. En este caso q, por estar en movimiento en el campo magntico creado por la corriente de ncleos positivos, est sometida a una fuerza magntica(2) Fm , como muestra la figura. De acuerdo con la transformacin de Galileo, los observadores inerciales O y O deben estar de acuerdo en que, si q no lleva aceleracin en el sistema O, tampoco existir aceleracin en O . Por lo tanto, q no puede experimentar fuerza neta alguna en el sistema O ; as que, adems de la fuerza magntica, debe existir otra igual y opuesta que la anule (ver figura). Esta fuerza adicional que acta en el sistema O tiene que ser necesariamente de origen elctrico, pero no puede justificarse en el marco de la Mecnica Clsica basada en la transformacin de Galileo. Sin embargo, como veremos en su momento, queda completamente explicada al aplicar la teora de la Relatividad Especial basada en la transformacin de Lorentz. 3.3. Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante una transformacin de Galileo (Opcional) La teora del Electromagnetismo de Maxwell est sintetizada en cuatro ecuaciones fundamentales (ecuaciones de Maxwell), que, adems, conducen a fenmenos completamente nuevos. El logro quiz ms importante de la teora fue la prediccin de la existencia de ondas electromagnticas y dar cuenta de que la luz poda comprenderse como un tipo de onda electromagntica. En este punto vamos a probar de una manera sencilla que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes ante una transformacin de Galileo, utilizando2

Feq

Or

v d Fm

I

vd

En el estudio de los campos magnticos creados por corrientes elctricas, se prueba que una corriente positiva como la de la figura ejerce sobre la carga positiva q una fuerza vertical orientada hacia abajo. 6/14


Z

Y

para ello la ecuacin de la onda electromagntica que se obtiene al combinar convenientemente las ecuaciones de Maxwell. Una onda electromagntica consiste en campos elctricos y magnticos, mutuamente perpendiculares, variables en el tiempo. Esta variacin genera una perturbacin que se propaga en el espacio; es decir, una onda electromagntica. Si los campos varan en el tiempo de forma senoidal, la onda generada ser senoidal, que es el tipo de onda ms simple. La onda representada en la figura es senoidal y se propaga a lo largo del eje OX del sistema de coordenadas elegido; es decir, una onda plana (los campos oscilan slo en los planos XZ y XY), monocromtica (slo hay una frecuencia de vibracin) y unidimensional (se propaga slo en la direccin del eje OX)(3).X

Este enlace visualiza la variacin de los campos elctrico y magntico y la propagacin de la perturbacin. Las ecuaciones de los campos elctrico, E, y magntico, B, de la onda electromagntica monocromtica que se propaga en la direccin del eje OX son, E ( x, t ) E0 sin k (c t x) (1.7)

B( x, t ) B0 sin k (c t x) (1.8) donde E0 y B0 son, respectivamente, los valores mximos, de los campos elctrico y magntico; k = 2 / el nmero de ondas (siendo la longitud de onda) y c la velocidad de la luz. Cojamos una de las componentes de la onda, por ejemplo la elctrica, y derivemos respecto al tiempo(4), E [ E0 sin(ct x)] cE0 cos(ct x) t t ya que E0 = cte y x = cte, pues estamos considerado un punto particular del eje OX. Derivemos de nuevo respecto a t (o sea, hacemos la 2 derivada), 2 E [ E0 sin(ct x)] c 2 E0 sin(ct x) (1.9) 2 t t Derivemos de nuevo la ecuacin (1.7) dos veces, pero esta vez respecto a x en un instante particular; esto es, haciendo t = cte, E [ E0 sin(ct x)] E0 cos(ct x) x x 2 E E0 cos(ct x) E0 sin(ct x) (1.10) x x2 Al comparar las ecuaciones (1.9) y (1.10) obtenemos que,2

E

1 c2

2

E

x2

t2

(1.11)

que es la ecuacin diferencial segunda de la componente elctrica de la onda electromagntica(5).3 4

Un dispositivo lser puede generar una onda de este tipo. Se ha sustituido el smbolo de derivada d por el derivada parcial que significa que al derivar respecto a una variable, las dems se consideran constantes. 5 Es importante destacar que es la ecuacin diferencial la que se obtiene directamente de la combinacin de las ecuaciones de Maxwell. Adems esta ecuacin es independiente de la forma de la onda; o sea, es la misma tanto si la onda es senoidal como si no lo es. Aqu 7/14


Y

xY

xO

Z

O

Z

V

Probemos que la ecuacin (1.11) no es invariante ante una transformacin de Galileo. El conjunto de ecuaciones que reP lacionan las coordenadas espaciales y el tiempo medidos por X X los dos observadores inerciales O y O de la figura (O se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del eje OX comn a ambos sistemas de coordenadas), son, x x Vt x x Vt , y y, z z, t t (1.3) De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que, x ( x Vt ) 1 (1.12) (se deriva en un t particular; o sea t = cte) x x x ( x Vt ) V (1.13a) (de deriva en un x particular; o sea x = cte) t t Puesto que t = t , es evidente que x x t t 1 dt = dt (1.13b) V t t x x V El observador del sistema de referencia O aplica la ecuacin (1.11). Si las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una transformacin de Galileo, el observador del sistema de referencia O , que se mueve con velocidad constante respecto a O, debera aplicar la ecuacin en la misma forma, o sea, 2 E 1 2E

x 2 c2 t 2 Veamos si esto se cumple o no. Derivando la componente elctrica de la onda electromagntica E(x , t ) respecto a x, aplicando la regla de la cadena(6) y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.12) y (1.13), tenemos, E E x E t E E 1 E E 1 E 1 x x x t x x t V x x V t y volviendo a derivar de nuevo la ltima ecuacin respecto a x,2

E2

x

x2

E x E2

1 E V t 1 E 1 t x V2

E x x2 x 1 V E x t 12

2

E t x 12

2

t x2

1 V

E x t

2

x x

E t t2 x

2

x2

E 1 t2V2

E2

x

1 2E V t x

1 2E V x t

E2

E2

1

2

E2

V2 t

x

V2 t

2 2E (1.14) V t x

hemos partido de las ecuaciones (1.7) y (1.8) porque son ms familiares (aparecen en todos los textos de Fsica General). 6 La regla de la cadena para una funcin y f (x) tal que x g (t ) establece que,dy dy dx dt dx dt Resultado que se puede generalizar a funciones de varias variables. Para una funcin de dos variables z f ( x, y) tal que x g (t , s) y y h(s, t ), la regla de la cadena establece que,

z t

z x x t

z y y t

y

z s

z x x s

z y y s

donde se ha sustituido el smbolo de derivada d por del de derivada parcial , ya que al derivar respecto a una variable se consideran constantes las dems. Por ejemplo, la derivada parcial de z 2 x 2 y 3 y respecto a la variable x es: z / x 4 xy. 8/14


Puesto que t = t , resulta que, 2 E E E E y (1.15) t t t2 t2 Combinado las ecuaciones (1.11), (1.14) y (1.15) obtenemos que, 2 E 1 2E 2 2E 1 2E x 2 V 2 t 2 V t x c2 t 2 que no mantiene la misma forma que (1.11); esto es, las ecuaciones de Maxwell no son invariantes frente a una transformacin de Galileo. 3.4. Transformacin de Lorentz Segn los postulados de Einstein todas las leyes fsicas tienen que permanecer invariantes para todos los observadores con velocidad relativa constante y la velocidad de la luz es una invariante fsica con el mismo valor para todos los observadores inerciales. Bajo estas suposiciones, la transformacin de Galileo no es vlida, en particular la ecuacin t = t no puede ser correcta. Si la velocidad de la luz es la misma para dos observadores con movimiento relativo uniforme, no es posible, como se ver despus, que los dos midan el mismo tiempo. En otras palabras, el intervalo de tiempo entre dos eventos no tiene por qu ser el mismo para observadores en movimiento relativo. En definitiva debemos reemplazar la transformacin Galileana por otra, de modo que la velocidad de la luz sea invariante. Como en el caso de la transformacin de Galileo, supondremos dos observadores inerciales O y O de modo que O se mueve respecto a O con velocidad constante V en la direccin del eje OX comn de sus respectivos sistemas de coordenadas, como se ve en la figura. Exigimos que los dos observadores ajusten sus relojes de modo que t = t = 0 cuando sus posiciones coinciden. Supongamos (ver figura) que para t = t = 0 se emite un destello de luz en la Y A posicin comn (o sea, cuando O y O coinciden). Despus de un tiempo t el r observador O notar que la luz ha llegado al punto A y escribir r = ct, sienr do c la velocidad de la luz y r la distancia que recorre desde O hasta A. De la V X , X figura se desprende que, O x2 y2 z 2 r 2 por lo tanto, tambin se cumple que,

Y

OZ

Z

x 2 y 2 z 2 c 2t 2 (1.16) Del mismo modo, el observador O notar que la luz llega al mismo punto A. Ahora bien, como la distancia cubierta por la luz desde O hasta A es r y, como se ve en la figura, r < r, no es posible que se cumpla que r = ct. Puesto que en un movimiento uniforme la distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo, la nica opcin que queda es que el tiempo medido por O para el evento sea distinto del que mide O; es decir que, t t . Entonces el observador O escribir r = ct . Como la figura muestra que, x2 y2 z2 r2 se cumple, para O , que,9/14


x 2 y 2 z 2 c 2t 2 (1.17) Nuestro objetivo es obtener una transformacin que relacione las ecuaciones (1.16) y (1.17). Esto significa encontrar un conjunto de ecuaciones que relacionen (x , y , z , t ) con (x, y, z, t) tales que, al expresar (x , y , z , t ) en funcin de (x, y, z, t) en la ecuacin (1.17), obtengamos la (1.16).Puesto que la Mecnica Clsica, basada en la transformacin de Galileo, da resultados satisfactorios cuando se aplica a cuerpos que se mueven a velocidades muy inferiores a la de la luz; por lo tanto, la nueva transformacin se ha de reducir a la de Galileo a velocidades muy inferiores a la de la luz. Las ecuaciones (1.16) y (1.17) nos hacen sospechar que, en nuestro caso (movimiento uniforme de O respecto a O a lo largo del eje X comn y ejes Y y Z con la misma orientacin), la nueva transformacin ha de ser trivial para y y z; es decir, y y y z z . A las ecuaciones de transformacin tenemos que exigirles que sean lineales (no cuadrticas, por ejemplo); la razn es que a un acontecimiento en O le tiene que corresponder un solo acontecimiento en O (si, por ejemplo, fueran cuadrticas, a un instante particular en un sistema le corresponderan dos en el otro). Adems, sabemos con seguridad que la ecuacin t = t tiene que ser modificada. Dado que la ecuacin x = x + Vt es lineal para x y para t, la dejamos como est. Y puesto que la simetra en las ecuaciones es algo frecuente en Fsica, proponemos para t una ecuacin lineal simtrica a la de x . Intentemos pues una transformacin de la forma, x x Vt , y y, z z, t t kx (1.18) donde k es una constante a determinar. Si nuestra transformacin es correcta, al expresar x , y , z y t en funcin de x, y, z, y t en la ecuacin (1.17) tenemos que encontrar la (1.16). Entonces, ( x Vt )2 y 2 z 2 c2 (t kx)2

x 2 2xVt V 2t 2 y 2 z 2 c 2t 2 c 2 2tkx c 2 k 2 x 2 Observemos que los trminos que contienen xt se anulan si hacemos, k V / c2 t t (V / c2 ) x (1.19) y la ecuacin se puede escribir como, 2 V2 2 2 2 2 2 2 2 V 2 2 x V t y z c t x x 1 y 2 z 2 c 2t 2 1 2 2 c c que coincidira con (1.16) si no fuera por el factor constante 1/(1 que multiplica a x2 y a t2. Pocemos eliminar este factor haciendo transformacin sea,x x Vt 1 V /c2 2

V2 c2 V 2/c2) que la

, y

y, z

z, t

t (V / c 2 ) x 1 V /c2 2

(1.20)

que reciben el nombre de transformacin de Lorentz(7).7

Reciben este nombre porque fue Hendrik A. Lorentz quien las propuso por primera vez hacia 1890, para resolver ciertas inconsistencias que existan entre la Mecnica Clsica y el Electromagnetismo en conexin con el problema del campo electromagntico de una carga en movimiento. 10/14

Transformaciones de Galileo y Lorentz1/ 1 V 2 / c254

32 1

0

0, 2

0, 4 0, 6 V /c

0,8

1,0

Observemos que la transformacin de Lorentz es lineal en x y t y se reduce a la de Galileo para V/c 0, ya que entonces, (1-V 2/c2)1/2 1. En la figura, que muestra la representacin grfica de (1-V 2/c2)1/2 frente a V/c, se ve que incluso para valores de V/c 0,5 (que significa una velocidad V c/2), el valor de aquel sigue estando prximo a 1. Esta es la razn por la que la transformacin galileana es totalmente adecuada para los objetos que se mueven con velocidades ordinarias, incluidos planetas y satlites. A veces conviene introducir una notacin ms adecuada para que las ecuaciones tengan una apariencia ms sencilla y sean ms prcticas. Haciendo, V 1 1 (1.21) y (1.21) 2 2 2 c 1 V /c 1 las ecuaciones de la transformacin del Lorentz quedan como,

x

( x Vt )

(x

ct ), y

y, z

z, t

t V / c 2 (V / c 2 ) x 1 V 2 / c2

t

c

x

(1.22)

Finalmente comprobemos que la transformacin de Lorentz mantiene invariante la ecuacin,

x 2 y 2 z 2 ct 2 Utilizando las ecuaciones de Lorentz, expresemos x , y , z y t en funcin de x, y, z y t. Entonces tenemos que, 2 (x ct )2 y 2 z 2 c2 2 (t x / c)2 2 2 2 2 2 2 ( x2 2 xct c t ) y 2 z 2 c2 2 (t 2 2 xt / c2 x / c2 ) y multiplicando c2 por los trminos del parntesis del segundo miembro, 2 2 2 2 2 2 2 ( x2 2 xct c t ) y2 z 2 (c2t 2 2 xct x ) se ve que los trminos en xct se cancelan, y queda que, 2 2 2 2 2 2 2 ( x2 c t ) y2 z 2 (c2t 2 x ) 2 Ahora coloquemos los trminos en x en el primer miembro y los trminos en t2 en el segundo, 2 2 2 2 2 2 2 x (1 ) y2 z 2 c t (1 ) pero de (1.22) se encuentra que, 2 2 2 2 1/ (1 ) (1 ) 1 que combinndola con la ecuacin anterior conduce a, x 2 y 2 z 2 c 2t 2 que es la expresin que queramos encontrar.3.5. Las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante una transformacin de Lorentz (Opcional) Al igual que hicimos en el punto 3.3, partimos de la ecuacin (1.11), que es la diferencial segunda de la componente elctrica de una onda electromagntica unidimensional que se propaga a lo largo del eje OX del sistemas de coordenadas fijado. Como de costumbre consideramos dos observadores inerciales O y O , de modo que O se mueve respecto a O con una velocidad V a lo largo del eje OX comn a ambos sistemas de coordenadas, como se ve en la figura. La ecuacin (1.11) en el sistema de referencia de O es,11/14

Y

x

xO

P X X

O

V

Transformaciones de Galileo y Lorentz2

(1.11) x2 c2 t 2 Si la ecuacin es invariante ante la transformacin de Lorentz, al aplicar las ecuaciones (1.20) (1.22) debemos obtener una expresin anloga, en la que, en lugar de x y t, tienen que aparecer x y t . Como en el punto (3.3), vamos a derivar E dos veces respecto a x y respecto a t usando las ecuaciones (1.22) y la regla de la cadena para funciones de dos variables. De las ecuaciones de Lorentz obtenemos que, x (1.23) (se deriva en un t particular; t = cte) (x ct ) x x x (x ct ) c (1.24) (se deriva en un x particular; x = cte) t t t t (1.25) y (1.26) t x t x x x c c t t c as que, derivando E(x , t ) dos veces respecto a x,E x2

E

1

2

E

E x x x

E t t x

E x

E c t

E x x2

x2

E x E x E2 2

x

E x E c t x x

E c t t E t x 2 E c x t2 2

E x

E c t2

t x c

x2

E c x t2 2

2

E2

c t (1.27)

E

2

E2

E2

x2

x

c2

t

y derivando E(x , t ) dos veces respecto a t,E t E t E x x t E t t t E c x c E x E t

2

E2

t

t x

t c2

E t t c)2

E x2

E t E ( x t2

x t

c c

E x E t x22

E t2

t t E t2

c2

E2

x

(1.28) t2 t2 x2 Combinando las ecuaciones (1.11), (1.27) y (1.28), llegamos a,

E

2

E

2 2

c

E

2 c

E x t

2

2

E2

2 2

2

E2

2

x c t c donde, si cancelamos el trmino comn

E c x t

2

2 22

2

E2

2 2

2

c

E2

2 c

t x , y operamos,

E x t

2

12/14

Transformaciones de Galileo y Lorentz2 2 E 1 2E E E 2 2 c x t c x t x 2 c2 t 2 c2 t 2 x2 vemos que se cancelan los trminos en 2 /c, por lo tanto, 2 2 2 2 E E 1 2E E 2 2

E

2

2

E

2

2

x 2 c2 t 2 c2 t 2 x2 y agrupando los trminos en x y en t en el primer y en el segundo miembro respectivamente y sacando factor comn, 2 2 E 1 2E E 1 2E 2 2 (1 ) (1 ) x2 c2 t 2 x 2 c2 t 2 que es la ecuacin (1.11) en el sistema de referencia del observador O . Lo que demuestra que las ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo son invariantes ante una transformacin del Lorentz.3.6. Sntesis La transformacin del Galileo, cuya cuarta ecuacin (t = t ) est basada en el sentido comn, mantiene invariantes las leyes de la Mecnica Clsica en todos los sistemas de referencia inerciales, lo que constituye el Principio Clsico de la Relatividad. El hecho de que las ecuaciones del Electromagnetismo (teora que ha sido verificada experimentalmente muchas veces) no son invariantes ante una transformacin de Galileo llev a Einstein a formular una nueva y revolucionaria teora: La Relatividad Especial. La teora se basa en los dos postulados fundamentales siguientes: 1) Todas las leyes fsicas son idnticas para todos los observadores inerciales y 2) La velocidad de la luz en el vaco es constante e igual para todos los observadores inerciales. El segundo postulado, confirmado por el fallido experimento de Michelson y Morley, elimina la necesidad del ter; esto es, de un sistema de referencia inercial en reposo absoluto o privilegiado respecto a los dems. Entonces, si todos los observadores inerciales son equivalentes, es razonable pensar que todas las leyes fsicas, no slo las de la Mecnica, tienen que ser las mismas para todos ellos; que es precisamente lo que afirma el segundo postulado. Se hace necesario en la nueva teora encontrar una transformacin que, distinta a la de Galileo, que sea consistente con la constancia de la velocidad de la luz, mantenga invariantes todas las leyes de la Fsica (incluidas las del Electromagnetismo) para todos los observadores inerciales y se reduzca a la de Galileo para velocidades ordinarias (muy inferiores a la de la luz). Esta transformacin, denominada transformacin de Lorentz, es el conjunto de ecuaciones (1.20). La propagacin de las ondas electromagnticas es una consecuencia de las ecuaciones de la teora del Electromagnetismo. No es sorprendente, por lo tanto, que la constancia de la velocidad con la que se propagan estas ondas (que es la de la luz), tenga importantes implicaciones en la forma de las ecuaciones electromagnticas. En el punto (3.2) vimos un ejemplo de incompatibidad entre el Electromagnetismo y la Mecnica clsica, que queda completamente explicada cuando se aplica la Teora de la Relatividad. La transformacin del Lorentz se reduce a la de Galileo a velocidades pe13/14


queas comparadas con la de la luz, por ello son perfectamente vlidas cuando se aplican a cuerpos que llevan velocidades ordinarias. Sin embargo, a altas velocidades las cosas cambian; las ecuaciones de Lorentz sugieren que las medidas de la longitud de un objeto y del intervalo de tiempo de un evento pueden ser diferentes para distintos observadores inerciales. El cambio fundamental en los conceptos de espacio y tiempo como se expresan en la transformacin de Lorentz tienen necesariamente que influir en toda la Fsica. Debemos volver a examinar en primer lugar las leyes de la Mecnica tal y como se desarrollaron y confirmaron para velocidades bajas (v

transformaciones de galileo y lorentz

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