transferencia de energía 1547 grupo 3 -...
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Transferencia de Energía
1547
Grupo 3
2014-08-25 6ª
2014-08-25
Contenido
El 2014-08-20 no hubo clase.
Ejemplo de transferencia de energía por difusión a través de materiales compuestos.
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
q Qz
x
y
10 1C
1 10
T TT T x
C
rB
TB r
T
r0 T0
r1 T1
rC
TC
1
1
kAq r
r
Ejercicio
Considere el caso de un material compuesto que consiste de una placa de espesor finito
L, pero de un área A enorme.
La placa está compuesta de dos materiales (M1 y M2), los cuales están perfectamente
pegados uno con el otro a través de la interfase que los delimita;
Los materiales M1 y M2 tienen propiedades diferentes (capacidad calorífica y coeficiente
de difusión térmica, etcétera).
La superficie externa del material M1 es A10 y está a la temperatura T10 , y a superficie
externa del material M2 es A2L y está a la temperatura T2L; además, T10 > T2L
Asumiendo que el sistema esta en estado estacionario, se requiere obtener para cada
material el modelo matemático de:
1. Perfil de temperatura;
2. Flux de calor;
3. Flujo de calor.3
I. Esquema
Placa “enorme”, de espesor finito L; esta compuesta de dos materiales, los cuales están
“perfectamente pegados” uno con el otro; la superficie externa de cada placa (A10 y A2L)
tiene cierta temperatura (T10 y T2L, respectivamente), siendo T10 > T2L.
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
II. Sistema coordenado: cartesiano
III. Preguntas
1) Perfil de temperatura en las placas (sistema);
2) Flux de calor en cada material;
3) Flujo de calor en cada material.
IV. Modelo (restricciones)
1) Propiedades de cada material son constantes… ρ, Cp, k…;
2) Estado estacionario;
3) Transporte de energía por difusión solamente (sólido… no convección);
4) El transporte de energía es unidireccional (enormes superficies externas y espesor finito)
5) No hay fuente de energía (la debida a reacción química, por ejemplo).
z
x
y
II. Sistema coordenado: cartesiano
IV. Modelo (restricciones)
1) Propiedades de cada material son constantes… ρ, Cp, k…;
2) Estado estacionario;
3) Transporte de energía por difusión solamente (sólido… no convección);
4) El transporte de energía es unidireccional (enormes superficies externas y espesor finito)
5) No hay fuente de energía (la debida a reacción química, por ejemplo).
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
q Q
yx zv x y z
yx z
y yx x z zxy xz yz
qq qT T T TC v v v EG
t x y z x y z
vv vpT
T x y z
v vv v v v
y x z x z y
Aplicando las restricciones al balance de energía (flechas), se obtiene el modelo buscado.
1)
3)
5)
4)
3)
3)xq0
x
z
x
y
Para expresar qx en términos de variables medibles se utiliza la ley de Fourier.
Balance de energía: xq0
x
... flujo de calor unidireccionalx
dTq k
dx
2d dT d T
k k 0dx dx dx
Resolviendo la ecuación diferencial (balance de energía), se tiene:
2
2
d T dT0 A T Ax B
dxdx
Este modelo es válido para las dos placas, porque ambas tienen las mismas restricciones.
El comportamiento de cada placa (perfil de T, etcétera) lo determina sus propiedades y
límites, lo cual se refleja en el valor de las constantes de integración.
Material 1 (M1).
Como: T Ax B
Para aplicar este modelo a M1 se considera:
1 1 1T A x B
Condiciones límite de M1:
@ ; @ 1 10 1 1CT T x 0 T T x C
10 1 1 1 10T A 0 B B T
1C 1 10 1C
1C 1 1 1 1
T B T TT A C B A A
C C
10 1C
1 10
T TT T x
C
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
q Q
z
x
y
0 C L
T1 =T1C
x = C
Material 2 (M2).
Como: T Ax B
Para aplicar este modelo a M2 se considera:
2 2 2T A x B
Condiciones límite de M1:
@ ; @ 2 2C 2 2LT T x C T T x L
2L 2 2 2 2L 2T A L B B T A L
2C 2 2 2 2C 2T A C B B T A C
2C 2L 2C 2L
2L 2 2 2C 2 2 2 2L
T T T TT A L B T A C A B T L
L C L C
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
q Q
z
x
y
0 C L
T2 =T2C
x = C
2C 2L 2C 2L 2C 2L
2 2L 2L
T T T T T TT T L x T L x
L C L C L C
Material compuesto con M1 y M2.
Perfil de temperatura de cada material:
10 1C
1 10
T TT T x
C
2C 2L
2 2L
T TT T L x
L C
En se debe cumplir: ; 1C 1 2C 2x C T T x C T T x C
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
q Q
z
x
y
0 C L
T2 =T2C
x = C
T1 =T1C
x = C
Ambos están en términos de T1C y T2C que son respectivamente las
temperaturas que tendrían M1 y M2 en la posición x = C; hasta ahora
no se conocen esas temperaturas.
;
10 1C 2C 2L
1 10 1C 2 2L 2C
T T T TT T C T T T L C T
C L C
Aplicando la , se tiene: = ... aún es desconocida1C 2C CT Tsuposición del medio continuo T
Transferencia de calor en el plano C.
Para expresar a TC en términos conocidos se aplica la suposición del
continuo al transporte de calor:
1 2x C x C
q T q T
q(T1)
C
q(T2)
= ... pero, hasta ahora esta tempeSe sab ratura es desconocidae que: 1C 2C CT T T
Aplicando : 1 21 2
x C x C
dT dTk k
dxFou
xrier
d
10 C C 2L
1 10 2 2L
x C x C
T T T Td dk T x k T L x
dx C dx L C
10 C C 2L
1 2
T T T Tk k
C L C
2 2
10 C C 2L
1 1
k kC CT T T T
k L C k L C
1
2 2C 10 2L
1 1
k kC CT T T 1
k L C k L C
Perfil de temperatura en el material compuesto con M1 y M2.
Perfil de temperatura de cada material:
10 C
1 10
T TT T x
C
C 2L
2 2L
T TT T L x
L C
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
q Q
z
x
y
0 C L
con:
1
2 2C 10 2L
1 1
k kC CT T T 1
k L C k L C
Flux q y flujo Q de calor en los materiales M1 y M2.
Considerando primero al material M1 se tiene:
11 1
dTq k
dx
constante-1
10 1C 10 1C
1 1 10 1
T T T Tdq k T x k
dx C C
como:
10 1C
1 10
T TT T x
C
como: ... constante1 1Q q A A
constante-a10 1C
1 1
T TQ k A
C
En el material M2:
22 2
dTq k
dx
constante-2
2C 2L 2C 2L
2 2 2L 2
T T T Tdq k T L x k
dx L C L C
como:
2C 2L
2 2L
T TT T L x
L C
constante-b
2C 2L
2 2
T TQ k A
L C
A2L
T2L
A10
T10
M1M2
q Q
z
x
y
0 C L
T2 =T2C
x = C
T1 =T1C
x = C
como: ... constante2 2Q q A A
13
Ejercicio
Enunciado. Considere el caso de un material M que fluye en el interior de tubo cilíndrico
(radio r, longitud L); algunas otras particularidades del sistema son las siguientes:
La velocidad (vz) y las propiedades físicas del fluido (ρF etcétera) y del tubo (ρ, k,
etcétera) se mantienen prácticamente constantes.
Las paredes interna (r0) y externa (r1) del tubo están mojadas con sendas películas
estacionarias de fluido y de la atmósfera exterior, respectivamente.
La temperatura del fluido de proceso (TC) es mayor que la temperatura de la pared interna
del tubo (T0), la cual es mayor que la temperatura de la pared externa del tubo(T1), y T1 es
mayor que la temperatura de la atmosfera que “moja” al tubo (TB).
Preguntas. Obtener el modelo matemático de:
1) Perfil de temperatura en el tubo;
2) Flux de calor en paredes del tubo: interna (2.1) y externa (2.2);
3) Flujo de calor en paredes del tubo: interna (3.1) y externa (3.2);
4) El coeficiente global de transferencia de calor.
Esquema… tubo con paredes mojadas…
Las paredes interna y externa del tubo están mojadas respectivamente con una película
estacionaria de fluido caliente (corriente de proceso) y una fluido frío (atmósfera exterior).
Película de fluido caliente que moja al tubo
Película de fluido frío que moja al tubo
tubo
Fluido caliente que fluye en el tubo
r, T
Esquema… tubo con paredes mojadas…
rF TB
r Tr0 T0
r1 T1
rC TC
El transporte de calor a través del tubo
(sólido) es por difusión molecular: ley de
Fourier.
El transporte de calor a través de fluido
que moja a una superficie (tubo sólido,
ene este caso) se modela mediante la ley
de enfriamiento de Newton.
q k T
aq h T T
El coeficiente de transferencia de calor h se
determina experimentalmente, y depende de
las características del proceso (fluido y
equipo).
Sistema coordenado… tubo con paredes mojadas… Coordenadas cilíndricas
rB TB
r Tr0 T0
r1 T1
rC TC
v r z
zr
zr
r zrr r zz
r z rr yz
vT T T TC v v
t r r z
q q1 1rq EG
r r r z
v vp 1 1T rv
T r r r z
vv v1v
r r z
v v v v1r
r r r r z
zz
vv1
r z
Sistema coordenado… tubo con paredes mojadas… Coordenadas cilíndricas
A. Modelo en el tubo
1. Transferencia de calor unidireccional: en la dirección radial;
2. En el tubo (sólido) solamente hay transferencia de calor por difusión molecular;
3. Estado estacionario;
4. No hay transformación (reacción química, por ejemplo).
rB TB
r Tr0 T0
r1 T1
rC TC
v r z
z zr r
r z rrr r zz r
z ryz
vT T T TC v v
t r r z
q vq v1 1 p 1 1rq EG T rv
r r r z T r r r z
v vv v v1 1v r
r r z r r r
v v
r z
zz
vv1
r z
r
1 d0 rq
r dr
A. Modelo para el tubo
Como: r
1 d0 rq
r dr
Para tener el modelo que describa la transferencia de energía en el tubo en términos de
variables que se puedan cuantificar, se utiliza la ley de Fourier para expresar qr en términos
de la temperatura (medible) porque dicha transferencia es por difusión molecular:
En coordenadas cilíndricas: r r
Tq k
r
r
1 d 1 d dT k d T d Trq rk r 0 r 0
r dr r dr dr r dr r dr r
Resolviendo: 11 1 2
KdTr K dT dr T K ln r K
dr r
@ ... @ 1 1 0 0T T r r T T r r
rB TB r0 T0
r1 T1
rC TC
Las constantes de integración, A y B, se obtienen utilizando las condiciones límite:
A. Modelo para el tubo
1. Perfil de Temperatura en el tubo T(r). Como: 1 2T K ln r K
Condiciones límite: @ ... @ 1 1 0 0T T r r T T r r rB TB r0 T0
r1 T1
rC TC
... ... ... 1 1 1 2 0 1 0 2 1 0 1 0T K ln r K T K ln r K T T r r
0 1 1 0 1T T K ln r ln r
1 0
1
0 1
T TK
ln r r
1 0
0 0 2
0 1
T TT ln r K
ln r r
1 0
2 0 0
0 1
T TK T ln r
ln r r
Perfil de Temperatura en el tubo:
1 0 1 0
0 0
0 1 0 1
T T T TT ln r T ln r
ln r r ln r r
1 0 0
0
0 1
T T rT T ln
ln r r r
A. Modelo para el tubo
2.1.- Flux de calor en la pared interna del tubo q(r1).
rB TB r0 T0
r1 T1
rC TC
además:
1 0 1 0
0 0
0 1 0 1
T T T TT ln r T ln r
ln r r ln r r
Como: dT
q kdr
1
1 1 2
r r
dq r k K ln r K
dr
De la forma: 1 2T K ln r K
donde: ...
1 0 1 0
1 2 0 0
0 1 0 1
T T T TK K T ln r
ln r r ln r r
1
11 1
1r r
K k1q r k K
r r
1
1
1
K kq r
r
A. Modelo para el tubo
2.2.- Flux de calor en la pared externa del tubo q(r0):
rB TB r0 T0
r1 T1
rC TC
0
0 1 2
r r
dq r k K ln r K
dr
0
0 1
r r
1q r k K
r
1
0
0
K kq r
r
La diferencia que existe entre el flux de calor en la pared interna del tubo
q(r1) y el de la pared externa q(r0) se debe a que tienen diferente área de
flujo de cada una de estas superficies.
como: 11
1
K kq r
r
3.1 y 3.2 Flujo de calor en las paredes interna Q(r1) y externa Q(r0) del tubo.
como: Q qA
... 11 1 11 1
1
K kq r A r 2 r L
rQ r K k2 L ... =1
0 0 0 0 1
0
K kq r A r 2 r L
rQ r K k2 L
El flujo de calor resultó constante [Q(r1) = Q(r0)] porque el producto qA lo fue y el sistema
está en estado estacionario.
10 1
0
rq r q r
r
B. Coeficiente global de transferencia de calor U
U es el factor de proporcionalidad entre el flujo de calor Q (el que atraviesa el material
compuesto) y la fuerza motriz (TC - TB) que promueve dicho transporte de energía.
U engloba todas las resistencias a la transferencia de calor del sistema, .
C BQ UA T T rB
TB
r0
T0
r1
T1
rC
TC
En este caso, Q atraviesa un material compuesto por tres películas: la del fluido de proceso
(fluido caliente FC), la de la pared del tubo, y la del fluido que moja la superficie externa
del tubo (Fluido frío FF).
A es área de transferencia de calor (sección transversal de flujo de calor) de la pared
externa del tubo (medible).
TC es la temperatura de la corriente de proceso; TB es la temperatura del medio que rodea al
tubo; ambas TC y TB son medibles.
a bq h T T
Como se mencionó anteriormente, el flux de calor q que se transporta a través del fluido
que moja una superficie se modela mediante la ley de enfriamiento de Newton; en este
caso se tienen dos películas de esta naturaleza: fluido caliente-tubo y fluido frío-tubo.
El coeficiente de transferencia de calor h es un parámetro empírico (experimental), por lo
tanto su valor depende de las características del proceso (fluido y equipo).
(Ta - Tb) es la fuerza motriz que promueve dicha transferencia de calor.
rB
TB
r0
T0
r1
T1
rC
TC
FC FC C 1q h T T FF FF 0 Bq h T T
Además, para obtener la expresión de U, es conveniente tener presente que las siguientes
diferencias de temperatura (fuerzas motrices):
C 1 1 0 0 B C BT T T T T T T T
En términos del flujo de calor: Q = qA,
Por el principio de continuidad (estado estacionario…)se cumple que el flujo de calor que
sale de una película es igual al que entra a la película que esta pegada (moja) a la primera.
flujo de calor que sale de la película caliente, Flujo de calor que entra en el tubo
=1 0
PC PC C 1 1 1 1
1 0 1
PC
T TkQ h T T 2 r L Q r 2 r L
r ln r r
rB
TB
r0
T0
r1
T1
rC
TC
FC FC C 1q h T T FF FF 0 Bq h T T
flujo de calor que sale del tubo Flujo de calor que entra en la película fría,
1 0
0 0 PF PF 0 B 0
0 0 1
PF
T TkQ r 2 r L Q h T T 2 r L
r ln r r
PC 1 2 PFQ Q r Q r Q Q
Como el flujo de calor Q es constante:
C 1
PC 1
QT T
h 2 r L
rB
TB
r0
T0
r1
T1
rC
TC
FC FC C 1q h T T FF FF 0 Bq h T T
PC 1 2 PFQ Q r Q r Q Q
=
1 0
1 2 PF PF 0 BP 0C
0
C P C 1 1
1
T TQ r k 2 L Q r
ln r rQ h T Q h T T r LT r L 22
0 1
1 0
Qln r rT T
k 2 L
0 B
PF 0
QT T
h 2 r L
como: C B C 1 1 0 0 BT T T T T T T T
0 1
C B
PC 1 PF 0
Qln r rQ QT T
h 2 r L k 2 L h 2 r L
0 1
C B
PC 1 PF 0
ln r rQ 1 1T T
2 L h r k h r
Comparando la ecuación anterior con la propuesta: Q = U Atubo (TC – TB) se tiene la
expresión de U… Revisar 9.6 y ejemplo 9.6 BSL
rB
TB
r0
T0
r1
T1
rC
TC
FC FC C 1q h T T FF FF 0 Bq h T T
Como:
0 1
C B
PC 1 PF 0
ln r rQ 1 1T T
2 L h r k h r
0 1 0 0 10C B
PC 1 PF 0 0 P
0
0 C 1 PF
r
r
ln r r r ln r rrQ 1 1 Q 1T T
2 L h r k h r 2 r L h r k h
1
0 0 100 C B
PC 1 PF
r ln r rr 1Q 2 r L T T
h r k h
11
0 0 1 0 100
PC 1 PF PC 1 PF 0
r ln r r ln r rr 1 1 1U r
h r k h h r k h r
Transferencia de Energía
Fin de 2014-08-25 6ª