transferencia de cantidad de movimiento
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ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA, CALOR Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Operaciones unitarias
Profesora: María del Carmen Barrios HernándezGrupo: IB6A
Integrantes:
Chan Correa Delia MalenyTorres Gonzalez Yazmín G.
Villegas Pacheco Miguel ÁngelSánchez Pérez Leonardo
17/05/2014
Tabla de contenido
Introducción.....................................................................................................................1
Transferencia de cantidad de movimiento.......................................................................3
Balance de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones limite................7
Transferencia de calor......................................................................................................7
Procedimientos para establecer ecuaciones de transferencia de calor.....................7
Conductividad térmica.................................................................................................11
Ejemplo de aplicación..................................................................................................12
Ecuación de transferencia..............................................................................................13
Conclusiones...................................................................................................................16
Bibliografía......................................................................................................................17
Introducción
El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente
relacionados: dinámica de fluidos, transmisión de calor y transferencia de materia.
La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la transmisión de
calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia estudia el transporte
de materia de varias especies químicas. En un nivel introductorio, estos tres fenómenos de
transporte deben estudiarse juntos por las siguientes razones:
A menudo se presentan de manera simultánea en problemas industriales, biológicos,
agrícolas y meteorológicos.
las ecuaciones básicas de los tres fenómenos están relacionadas entre sí, por lo tanto
al calcular una ecuación simple de cualquiera de los tres tendrá su base en una
ecuación de alguna transferencia.
Los mecanismos moleculares que constituyen la base de los diversos fenómenos de
transporte tienen una estrecha relación entre sí. Toda la materia está hecha de
moléculas, y los mismos movimientos e interacciones moleculares son responsables
de la viscosidad, la conductividad térmica y la difusión.
La mayor parte de las ecuaciones de transferencia se hallan cuando un sistema se encuentra
en estado estacionario para precisar los cálculos. No se debe confundir un sistema en estado
estacionario con un sistema en equilibrio.
Un sistema está en equilibrio cuando sus propiedades no cambian en el tiempo, mientras que
el estado estacionario es aquél de un sistema cuyas propiedades se mantienen apartadas
del medio que lo rodea. Hay sistemas abiertos, cerrados y aislados, y en cada uno la forma
de estar en equilibrio es distinta. En todo caso: el tipo de equilibrio dependerá de la
interacción que el sistema guarde con el entorno.
Transferencia de cantidad de movimiento
Para poder explicar la transferencia de cantidad de movimiento, se necesita explicar la ley de
viscosidad newton y la relación con la viscosidad. La transferencia de cantidad de
movimiento se relaciona con la dinámica de fluidos, es decir, incluyen los conceptos de flujo
laminar y turbulento así como fluidos newtonianos y no newtonianos.
Para explicar esta relación con la dinámica de fluidos se empieza con un procedimiento de
ecuaciones que están ligados a los problemas que se presentan con estos fluidos.
Se muestra un par de placas paralelas largas, cada una de área A, separadas por una
distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido, ya sea un gas o un líquido. Este
sistema está inicialmente en reposo, pero en el tiempo f = O la placa inferior se pone en
movimiento en la dirección x positiva a una velocidad constante V. A medida que transcurre
el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movimiento y finalmente se establece el perfil de
velocidad lineal en estado estacionario que se observa en la figura. Se requiere que el flujo
sea laminar (el flujo "laminar" es el tipo de flujo ordenado que suele observarse cuando se vierte
jarabe, en contraste con el flujo "turbulento", que es el flujo caótico irregular que se observa en una
licuadora a gran velocidad).
Para mantener el movimiento en la parte inferior requiere de una fuerza constante F, el cual viene
dado por:
yx
F/A=μ*(V/Y)
La fuerza impulsora para la transferencia es una diferencia de concentración o un gradiente de
concentración, de la misma forma que una diferencia de temperatura o un gradiente de temperatura
constituye la fuerza impulsora para la transmisión de calor.
Donde la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e inversamente
proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcionalidad p es una propiedad del
fluido, definida como la viscosidad.
Para explicar este ejemplo se requiere de la fórmula de la ley de viscosidad de Newton a partir de la
ecuación anterior, entonces lo que se hace primero es sustituir el símbolo Txy que es la fuerza en Ia
dirección x sobre un área unitaria perpendicular a la dirección y. Se entiende que ésta es la fuerza
ejercida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Además, V/Y se sustituye por -dv,/dy.
Así, en términos de estos símbolos, Ia ecuación se convierte en: dv,/dy. Así, en términos de estos
símbolos, Ia ecuación 1.1-1 se convierte en esta ecuación, que establece que la fuerza cortante por
área unitaria es proporcional al negativo del gradiente de velocidad, a menudo se denomina ley de
viscosidad de Newton.
Nota: esta ecuación se considera una ley empírica.
El signo menos indica que la velocidad decrece a medida que se asciende en el eje “y”.
La ley de Newton de la viscosidad es una forma unidimensional de una ley más amplia denominada
Ley de Stokes, que tiene en cuenta no sólo el transporte de cantidad de movimiento ‘x’ en el eje ‘y’
(tyx), sino también el resto de las posibilidades: txx, txy, txz, txx...
Txy=- μ dv,/dy
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
t t tt t t mt t t
æ öç ÷
= =-ç ÷ç ÷è ø
τ Δ
Tensor “velocidad de deformación”, que incluye las derivadas de todos los componentes de la velocidad respecto de todas las direcciones del espacio.
Tanto la Ley de Newton como la Ley de Stokes se pueden considerar la definición de un tipo de
fluidos, llamados fluidos newtonianos. Los fluidos que la siguen se denominan newtonianos y los que
no la siguen, no newtonianos. Son newtonianos todos los gases y los líquidos ‘sencillos’, es decir, los
formados por moléculas pequeñas (agua, etanol, plomo fundido, nitrógeno líquido...).
Los fluidos no newtonianos son aquellos que no pueden ser descritos mediante la ley de Newton,
salvo que se considere que la viscosidad no es constante, sino que depende del esfuerzo o de la
velocidad de deformación. La viscosidad es entonces una ‘viscosidad aparente’, ma. (Además, y en
todo caso, la viscosidad depende de la temperatura y de la presión.)
Algunas veces nos referimos a la ley de viscosidad de Newton en términos de fuerza y otras veces en
términos de cantidad de movimiento. A menudo los expertos en dinámica de fluidos usan el símbolo v
para representar la viscosidad dividida entre la densidad (masa por volumen unitario) del fluido; así,
A esta cantidad se le denomina viscosidad cinemática.
También se presenta el siguiente cuadro con algunas unidades que se han definido para la
viscosidad:
V=μ/p
La viscosidad dinámica dividida entre la
densidad del fluido se conoce como
viscosidad cinemática. Las unidades de
viscosidad cinemática con (SI) 1 m2 s-1 y
(CGS) 1 St (Stokes) = 1 cm2 s-1.
La gráfica de la derecha muestra la
viscosidad de algunos de los fluidos más
comunes.
Algunos mecanismos para encontrar la cantidad de movimiento o en todo caso la viscosidad, esta
última es la que está más relacionada con esta transferencia.
Cuando se carece de datos experimentales y no se tiene tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede
estimarse por métodos empíricos, utilizando otros datos sobre la sustancia dada, tales como la
presión y la temperatura. Existe una gráfica para explicar la dependencia de la viscosidad con
respecto a la P y la T°.
Nota: la gráfica que se menciona se puede encontrar en la referencia [1] de este documento.
La grafica que se menciona muestra un panorama global de esta dependencia. La viscosidad
reducida, μr=μ / μc, se grafica contra la temperatura reducida Tr = T/Tc, para varios valores de la
presión reducida Pr = P/Pc, Una cantidad "reducida" es aquella que se ha hecho adimensional
dividiéndola entre la cantidad correspondiente en el punto crítico.
Sin embargo, se puede estimarse en una de las siguientes formas: i) si se conoce un valor de la
viscosidad a una presión y temperatura reducidas dadas, de preferencia en condiciones cercanas a
las de interés, entonces, μ, puede calcularse a partir, μr=μ / μc o bien, ii) si se cuenta con datos de
pV-T críticos, entonces, μc puede estimarse a partir de estas relaciones empíricas:
1) μc = 61.6(MTc)1/2 (Ṽc)-2/3 2)μc = 7.70M1/2 Pc2/3 Tc-1/6
La cantidad de movimiento puede, además, transporte por medio de flujo volumétrico del
fluido, y este proceso de denomina transporte convectivo.
En el centro del cubo (ubicado en x, y, z) el vector de velocidad del fluido es v. el caudal
volumétrico a través del área unitaria sombreada en (a) es vx. Este fluido lleva consigo una
cantidad de movimiento por volumen unitario. Por tanto la densidad de flujo de la
cantidad de movimiento a través del área sombreada es menor x hacia la región mayor
x. de manera semejante, la densidad d flujo de cantidad de movimiento a través del área
sombreada en (b) es , y la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través del área
sombreada en (c) es .
Estos tres vectores describen la densidad de flujo de cantidad de
movimiento a través de las áreas perpendiculares a los ejes respectivos.
Cada uno de estos tres vectores tiene una componente x-, y- y z-.
La colección de nueve componentes escalares proporcionales en la imagen de arriba puede
representarse como:
Si un fluido fluya a través de la superficie con una velocidad v, entonces el caudal
volumétrico a través del a superficie, desde al lado negativo hacia el lado positivo, es
. Por tanto el caudal de movimiento a través de la superficie es , y la
densidad d flujo de cantidad de movimiento convectivo es (n*v) . Según las reglas para la
notacion vector-tensor proporcionadas, lo anterior tambien se puede describir como
; es decir el producto del vector normal unitario n con el tensor de densidad de flujo de
cantidad de movimiento convectivo .
Balance de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones limite
Se presenta el siguiente diagrama para un flujo estacionario, el cual es un planteamiento de
la conservación del movimiento:
Al usar las componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento
combinado " ϕ, el diagrama queda de la siguiente forma:
(Bird, Stewart, & Lightfoot, 1976)
Transferencia de calor
Cuando dos objetos que están a temperaturas diferentes se ponen en contacto térmico, el
calor fluye desde el objeto de temperatura más elevada hacia el de temperatura más baja.
Este flujo se lleva a cabo en dirección hacia la temperatura decreciente. Existen tres
mecanismos por los que se transfiere el calor: Conducción, convección y radiación.
velocidadde entrada de
cantidadde movimientopor transporte
convectivo
velocidadde salida de
cantidadde movimientopor transporte
convectivo
velocidadde entrada de
cantidad demovimiento -
por transporte.molecular
velocidadde salida decantidad demovimiento
por transporte.molecular
fuerza degravedad que actua
sobre el sistema0
Procedimientos para establecer ecuaciones de transferencia de calor
Cuando hablamos de un flujo por conducción nos referimos a que el calor el calor puede fluir
sin que exista un movimiento notable en la materia y de acuerdo con la ley de Fourier el flujo
de calor es proporcional al gradiente de la temperatura y de signo opuesto. Si consideramos
el flujo de calor en una dirección la ecuación que lo expresa sería:
Donde q = velocidad del flujo de calor en dirección normal a la superficie
A = área de la superficie
T = temperatura
x = distancia normal a la superficie
k = constante de proporcionalidad o
conductividad térmica
Para materiales isotrópicos, en donde la conductividad térmica es la misma en todas las
direcciones, la ley de Fourier se transforma como resultado de la comparación del vector flux
que resulta proporcional al gradiente de temperatura pero está dirigido en sentido
opuesto:
En resumen, en un material isotrópico, el calor fluye en dirección al descenso de la
temperatura.
En coordenadas cilíndricas, esta ecuación se transforma en:
En coordenadas esféricas se expresa como:
Conducción en estado estacionario
Para esta medición se asume que k es independiente de la temperatura y así se puede
encontrar la velocidad de flujo de calor.
Debido a que en el estado estacionario no existe acumulación ni pérdida de calor dentro del
bloque, q es constante a lo largo del trayecto del flujo de calor. Si x es la distancia desde el
lado caliente, la ecuación básica de conducción se puede transformar a:
Puesto que las únicas variables en la ecuación son x y T, al integrarlas directamente da:
Donde x2 – x1= B = espesor de la capa aislante
T1 – T2 = ΔT = caída de temperatura a lo largo de la capa
Cuando nos referimos a un flujo de calor asociado con el movimiento de un fluido entonces
estamos hablando de transferencia por convección. Este tipo de flujo por lo general, por
unidad de aire, es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la superficie y la
temperatura del fluido, como se establece en la ley de Newton de enfriamiento:
Dónde: Ts = temperatura de la superficie
Tf = temperatura global del fluido, más allá de la superficie
h = coeficiente de transferencia de calor
El coeficiente de transferencia de calor por convección depende de la densidad, viscosidad y
velocidad del fluido, así como de sus propiedades térmicas (conductividad térmica y calor
específico). La resistencia térmica en la transferencia de calor por convección viene dada
por:
Radiación es el término que se emplea para designar a la transferencia de energía a través
del espacio por medio de ondas electromagnéticas. Si esta radiación viaja a través de un
espacio vacío, no habrá ningún cuerpo que absorba esa energía por lo que no se transferirá.
Sin embargo, cuando existe un cuerpo capaza de absorber esa energía y se encuentra en su
trayectoria, este la tomara y la energía se verá reflejada en forma de calor, manifestación que
es cuantificable. Una superficie negra o mate absorbe la mayor parte de la radiación que
recibe y la energía absorbida es transformada cuantitativamente en calor. La energía emitida
por un cuerpo negro o un radiador perfecto es proporcional a la temperatura absoluta
elevada a la cuarta potencia
Donde Wb = velocidad de emisión de la energía radiante por unidad de área
σ = constante de Stefan-Boltzmann
T = temperatura absoluta
Si un cuerpo negro irradia a un recinto que lo rodea completamente y cuya superficie es
también negra (es decir absorbe toda la energía radiante que incide sobre él, la transferencia
neta de energía radiante por unidad de tiempo viene dada por:
T1: Temperatura del cuerpo negro en Kelvin
T2: Temperatura superficial del recinto en Kelvin
(Warren L. McCabe, 2007)
Reflectividad: ρ Es la fracción de calor incidente sobre el cuerpo que se refleja.
Absortividad: α Es la fracción que se absorbe.
Transmisividad: τ Es la fracción de energía incidente transmitida a través del cuerpo.
Emisividad: Es la efectividad del cuerpo como un radiador térmico a una temperatura. Es la
relación de la emisión de calor a una temperatura dada a la emisión de calor desde un
cuerpo negro a la misma temperatura.
Se conoce como cuerpo gris a uno que emite solo una fracción constante de la emisión del
cuerpo negro por cada longitud de onda. Un cuerpo gris emite radiación según la expresión
Cuando en un problema de transferencia intervienen varias resistencias térmicas en serie,
en paralelo, o en combinación de ambas formas, es conveniente definir un coeficiente de
transferencia de calor global o conductancia global.
Ejemplo de transferencia de calor.
Conductividad térmica
La constante de proporcionalidad k es una propiedad física de la sustancia que se denomina
conductividad térmica. Al igual que la viscosidad newtoniana μ, es una de las propiedades de
transporte del material.
En unidades de ingeniería, q (velocidad de flujo) se mide en watts o Btu/h y dT/dx en °C/m o
°F/ft. Entonces las unidades de k son W/m*°C o Btu/ft2*h*(°F/ft), lo cual puede escribirse
como Btu /ft*h*°F.
La ley de Fourier establece que k es independiente del gradiente de temperatura, pero no
necesariamente de la temperatura misma. Por otra parte, k es una función de la temperatura,
pero no fuertemente. Para pequeños intervalos de temperatura, k se considera constante.
Para intervalos mayores se calcula con:
Donde a y b son constantes empíricas.
Los gases tienen conductividades térmicas de un orden de magnitud menor que las de los
líquidos. Para un gas ideal, k es proporcional a la velocidad molecular promedio, a la
trayectoria libre media y a la capacidad calorífica molar. Para gases monoatómicos, un
modelo de esfera dura da la ecuación teórica:
Donde T = temperatura, K
M = peso molecular
σ = diámetro efectivo de colisión, Å
K = conductividad térmica, W/m · K
Ejemplo de aplicación
Una plancha de acero de espesor L con una conductividad térmica K es sometida a un flujo
de calor uniforme y constante q0 (W/m²) en la superficie límite a X=0. En la otra superficie
límite X=L, el calor es disipado por convección hacia un fluido con temperatura T∞ y con un
coeficiente de transferencia de calor h. Calcular las temperaturas superficiales T1 y T2 para:
Desde T2 a T ∞ se transmite calor por convección, por lo tanto se utiliza la
fórmula:
Reemplazando:
Desde T2 a T1 la transferencia de calor es por conducción, por lo tanto
utilizamos la fórmula:
Ecuación de transferencia
Para establecer una ecuación de transferencia existen varios métodos que involucran la
respuesta del sistema con respecto al tiempo asumiendo que los valores iniciales son nulos.
Debemos considerar que las ecuaciones de transferencia de masa y calor se basan en la
descripción del comportamiento del calor y la masa con respecto al tiempo por lo que se
usan principalmente ecuaciones diferenciales. Por lo tanto se utilizan varios métodos de
cálculo diferencial para acoplarlos a nuestros datos y así obtener modelos matemáticos que
describan nuestros sistemas de transferencia.
Un método práctico y muy efectivo para obtener la función de transferencia del sistema es
obtenerla directamente a partir de la curva de respuesta del sistema. Para identificar la
función de transferencia del sistema se recurre a los métodos de Strejc, Davoust y Broida
(Paschoal, 1991 )
Tm Tiempo muerto del proceso. Desde el instante en que se aplica la entrada al
proceso hasta que el proceso responde a la entrada aplicada.
Δh Cambio total en la salida. Es la variación total del proceso desde el su estado de
equilibrio hasta que este vuelva a estabilizarse
Δu Cambio total en la entrada. Es la variación aplicada al proceso (entrada tipo
escalón).
Identificación del modelo según el método de Ziegler y Nichols
El modelo propuesto por Ziegler y Nichols puede utilizarse para obtener un modelo de primer
orden más tiempo muerto, representado por la ecuación:
Donde los parámetros a determinar son:
τ Constante de tiempo del proceso
θ Tiempo muerto del proceso
Gp Ganancia del proceso
La ganancia del proceso se obtiene a partir de la división del cambio total en la
salida entre el cambio total en la entrada:
Para obtener los parámetros restantes, se traza una recta tangente a la curva de reacción del
proceso en su punto de inflexión
El tiempo transcurrido desde el instante en que se aplica el escalón de entrada hasta el punto
en que la recta tangente corta al eje del tiempo, es el tiempo muerto “Tm”. Asimismo, a partir
de ese instante hasta que la recta tangente corta el valor final de la salida es la constante de
tiempo. “τ”. (Masco, 2010)
Método de diferencias finitas.
Este es un método numérico que puede predecir la evolución de las temperaturas atreves de
cuerpos sólidos. (Virseda)
El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones
algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de
puntos seleccionados.
Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el
problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en
términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados
El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de
ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de
operaciones aritméticas.
(GARCÍA)
El primer paso para la aplicación del método consiste en discretizar el recinto del plano en el
que se quiere resolver la ecuación con una malla, por conveniencia cuadrada. Los puntos de
la malla están separados una distancia h en ambas direcciones x e y.
Podemos desarrollar T(x,y) en serie de Taylor alrededor de un punto:
Sumando miembro a miembro, agrupando, despreciando los términos o(h3) y despejando el
término de la derivada segunda resulta:
De forma similar se obtiene la expresión equivalente:
Pero de la ecuación de Laplace:
Por lo tanto:
Lo que significa que el valor de la temperatura en un punto se puede escribir como la media
de las temperaturas de los 4 puntos vecinos.
Método analítico
Los métodos analíticos están basados en la resolución directa de la ecuación diferencial de
transmisión de calor por conducción. Dentro de este grupo, los distintos métodos existentes
establecen para su resolución simplificaciones, limitaciones de aplicación que faciliten la
resolución de la ecuación diferencial o la aplicación de herramientas matemáticas que
aunque de difícil resolución pueden resultar de fácil aplicación con la utilización de
ordenadores. Entre estos últimos se encuentra el método de La Función de Transferencia, el
cual se basa en que las características de todo sistema pueden ser descritas mediante el
establecimiento de una relación entre una función excitación (temperatura exterior) y la
respuesta del sistema a ella, Este método fue propuesto por primera vez por Nessi y Nisolle.
Conclusiones.
Cuando se habla de fenómenos de transporte se mencionan dentro de su desarrollo en
manejo de tres aspectos fundamentales la transferencia de materia en el sistema, la
dinámica que presentan los fluidos, si los hay, y la transmisión de calor que se provocan en
el sistema.
En la dinámica de fluidos el transporte de fluidos está estrechamente relacionado con la
cantidad de movimiento, a su vez la transmisión de calor consta del trasporte que existe de
energía, como la transferencia de materia estudia el transporte de materia que hay entre
varias especies químicas.
La mayor parte de las ecuaciones que se utilizan para estos casos fueron diseñadas cuando
los sistemas se encuentran en estado estacionario con el fin de que los cálculos fueran más
exactos.
En estas ecuaciones existen las que tratan de explicar las de trasferencia de cantidad de
movimiento y para que esto se a más claro se debe hablar la ley de la viscosidad de newton.
Así mismo la transferencia de cantidad de movimiento habla de la dinámica de fluidos, que
quiere decir que dentro de estos cálculos se verán los conceptos de flujo laminar y
turbulento, pero sobre todo fluidos newtonianos y no newtonianos.
Entonces la cantidad de movimiento puede ser el transporte de un flujo volumétrico que hay
en un fluido se denomina transporte convectivo.
Ahora bien cuando se habla de transferencia de calor podemos mencionar que pueden existir
dos o más cuerpos y estos se encuentran a temperaturas diferentes va a haber un
intercambio en el calor que hay en estos cuerpos del objeto que tenga una temperatura más
elevada al que tenga una más baja.
El transporte de calor se puede dar por tres medios ya sea por conducción, convección, o por
radiación.
Bibliografía
Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (1976). Fenómenos de transportes. Buenos
Aires: Reverté.
GARCÍA, G. H. (s.f.). Geofísica UNAM. Recuperado el 18 de 05 de 2014, de
http://mmc2.geofisica.unam.mx/cursos/hidrogeologia/NotasCurso/1-MDF1_1-10.pdf
Masco, J. F. (2010). Modelamiento Experimental del Intercambiador de Calor de Tubos y.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ.
Paschoal, E. (1991 ). Identificacão de Processos. Belo Horizonte.
Virseda, P. (s.f.). Métodos de transferencia de calor en la refrigeración y congelación de
alimentos. ALIMENTACIÓ, equipos y tecnología, 161-167.
Warren L. McCabe, J. C. (2007). Operaciones Unitarias En Ingeniería Química (7° ed.).
México: McGrawHill.