DEMOSTRACIN DE LA E. D. TRANSF. CALOR POR CONDUCCIN EN COORDENADAS ESFRICAS

AAO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACINCURSO:TRANFERENCIA DE CALORTEMA:DEMOSTRACIN DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIN EN COORDENADAS ESFRICASDOCENTE:ING. EL GUAYN H.ALUMNO:HUATAY RODRIGUEZ, H. SAMUELCICLO:VII

NDICE.-

TRANSFERENCIA DE CALOR04I. FUNDAMENTO TERICO05II. PROCEDIMIENTO MATEMTICO061. Hiptesis De Trabajo o Supuestos Tericos072. Clculo De reas073. Principio De Conservacin De La Energa104. Calor Introducido: 115. Calor Generado Por Las Fuentes Internas De Calor: 146. Variacin De La Energa Interna: 157. Reemplazando los Datos Encontrados en la Ecuacin: 168. Difusividad Trmica169. Ecuacin Diferencial De Transferencia de Calor Por Conduccin En Coordenadas Esfricas17III. CONCLUSIONES Y APRECIACIN CRTICA18IV. MAPA CONCEPTUAL19V. BIBLIOGRAFA20Lincografa20VI. ANEXOS21

TRANSFERENCIA DE CALOR

Transferencia de Calor es, en forma sencilla:

La transferencia de calor (o calor) es la energa en trnsito debido a una diferencia de temperaturas

Siempre que exista una diferencia de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos, debe ocurrir una transferencia de calor.Existen diferentes tipos de procesos de transferencia de calor como modos. Cuando existe un gradiente de temperatura () en un medio estacionario, que puede ser un slido o un fluido, utilizamos el trmino.

1 Conduccin: Transferencia de calor que se producir a travs del medio2 Conveccin: Transferencia de calor que ocurrir entre una superficie y un fluido en movimiento cuando estn a diferentes temperaturas.3 Radiacin Trmica: Todas las superficies con temperatura finita emiten energa en forma de ondas electromagnticas. Por tanto, en ausencia de un medio, existe una transferencia neta de calor por radiacin entre dos superficies a diferentes temperaturas.En este caso nos centraremos en el 1 Modo de transferencia de calor y de forma especial en la demostracin de la ecuacin diferencial de transferencia de calor por conduccin en coordenadas esfricas

I. FUNDAMENTO TERICO.-

La transferencia de calor por Conduccin, es el nico mecanismo de transmisin de calor posible en los medios slidos opacos, cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura, el cual es la razn de cambio de la temperatura con respecto a la distancia, en esa direccin. El calor se trasmite de la regin de mayor temperatura a la de menor temperatura, debido al movimiento cintico o el impacto directo de las molculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre de los electrones como sucede en los metales.

-La conduccin de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo.-La temperatura en un medio vara con la posicin y el tiempo; es decir: T= f (r, , , t).

La ley de la conduccin del calor (Joseph Fourier), establece: La tasa de transferencia de calor por conduccin en una direccin dada es proporcional al rea normal a la direccin del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa direccin.

: Tasa de flujo de calor a travs del rea en el espacio.: Conductividad Trmica.: rea de seccin transversal de la transferencia de calor por conduccin.: GradT.:Densidad o rapidez de Flujo de Calor

En el anlisis de la transferencia de calor por conduccin es determinar el campo de temperatura o distribucin de temperaturas, que es el cmo vara la temperatura respecto a la posicin en el medio. Luego, a partir de la ley de Fourier se calcula el flujo de calor por conduccin en cualquier punto en el medio o en la superficie.

En el caso de un slido, saber la distribucin de temperaturas sirve para comprobar la integridad estructural mediante la determinacin de los esfuerzos trmicos, sus expansiones y deflexiones. La distribucin de temperaturas tambin es til para optimizar el espesor de un material aislante o para determinar la compatibilidad de recubrimientos o adhesivos especiales que se usen con el material.

Usando el principio de la conservacin de la energa:Se define un volumen de control diferencial, luego se identifican los procesos de transferencia de energa (calor) relevantes yse introduce las ecuaciones de flujo apropiadas. El resultado es una ecuacin diferencial cuya solucin, para las condiciones de frontera establecidas, proporcionan la distribucin de temperaturas en el medio.II. CUERPO SLIDO.T= f (r, , , t)PROCEDIMIENTO MATEMTICO.-

Elemento diferencial de volumen en coordenadas esfricas:

Conduccin tridimensional del calor a travs de un elemento de volumen de control en coordenadas esfricas ():

En un dt de tiempo Medidas:r = radio; =polar, cenital o colatitud= azimutal o longitud

1. HIPTESIS DE TRABAJO O SUPUESTOS TERICOS.-

El material es homogneo e isotrpico.

Las variaciones de volumen del elemento debido al cambio de temperatura son muy pequeos o despreciables.

Consideremos a las propiedades fsicas no cambiantes con la temperatura (constantes).

En el cuerpo o volumen existen fuentes internas de calor que estn uniformemente distribuidas en l.

2. CLCULO DE REAS.-

Se Calcula el valor de la superficie del elemento diferencial de volumen segn las coordenadas esfricas.

Direccin Radial: (r)

Hacemos:

Hacemos: Las diferenciales se segundo orden se desprecian: ()2

DireccinAzimutal: ()

Las diferenciales se segundo orden se desprecian: ()2

Direccin Cenital: ()

Las diferenciales se segundo orden se desprecian: ()2

Las diferenciales se segundo orden se desprecian: ()2

3. PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGA.-

La energa calorfica neta impartida por la transferencia de calor a travs de sus superficies ms la energa calorfica impartida por las fuentes internas de calor es igual a la variacin de la energa interna del elemento de volumen considerado.

(i)

:La cantidad neta de calor introducida en el elemento por conduccin.

: La cantidad de calor generada por las fuentes internas de calor.

:La variacin de la energa interna de la sustancia contenida en el elemento de volumen.

QE

Energa Entrante

QGEnerga SalienteQS

4. CALOR INTRODUCIDO:

Ecuaciones que se usarn durante la operacin Matemtica para calcular el calor introducido al elemento de volumen considerado, por conduccin:

De la densidad del Flujo de Calor:

DEMOSTRACIN DE LA E. D. TRANSF. CALOR POR CONDUCCIN EN COORDENADAS ESFRICAS

HUATAY RODRIGUEZ, H. SAMUEL

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Adems:

De la Serie de Taylor:

Diferencial de Volumen:

Entonces, APartir De:

El valor es:

(ii)

:La cantidad neta de calor introducida en el elemento por conduccin en la direccin radial.:La cantidad neta de calor introducida en el elemento por conduccin en la direccin azimutal.:La cantidad neta de calor introducida en el elemento por conduccin en la direccin cenital.

Direccin Radial:Las diferenciales se segundo orden se desprecian: ()2

Entonces:

(iii)

Direccin Azimutal:Las diferenciales se segundo orden se desprecian: ()2

Entonces:

(iv)

Direccin Cenital:Las diferenciales se segundo orden se desprecian: ()2

Entonces:(v)

(iii), (iv), (v) en (ii):

Factorizar:

Reemplazar por:

Por lo tanto, El valor es:(usando derivada de un producto)

(vi)

5. CALOR GENERADO POR LAS FUENTES INTERNAS DE CALOR:

Ecuaciones que se usarn durante la operacin Matemtica para calcular el calor generado por el elemento de volumen considerado:

Diferencial de Volumen:

Entonces, APartir De:

Por lo tanto, El valor es:

(vii)

6. VARIACIN DE LA ENERGA INTERNA:

Ecuaciones que se usarn durante la operacin Matemtica para calcular la variacin de la energa interna por el elemento de volumen considerado:

En Slidos:

Energa interna:

Densidad:

Entonces, APartir De:

Por lo tanto, El valor es:

(viii)

7. REEMPLAZANDO LOS DATOS ENCONTRADOS EN LA ECUACIN:

(vi)(vii)

(viii)

(i)

(vi), (vii), (viii) en (ii):

Factorizando:

(ix)

8. DIFUSIVIDAD TRMICA.-

En el anlisis de transferencia de calor, la razn de la conductividad trmicay lacapacidad trmica es una importante propiedad fsica; esencial en rgimen transitorio.Esta propiedad, de la que se puede decir que, es una medida de la inercia trmica que ofrece el cuerpo a la variacin de la temperatura y que sta depende del arreglo cristalino o molecular de la sustancia, sedenominada Difusividad Trmica, que tiene como unidades:

Siendo ms precisos, a mide la capacidad de un material para conducir energa trmica en relacin con su capacidadpara almacenar energa trmica (velocidad de variacin de temperatura). Materiales de a grande respondern rpidamente a cambios en su medio trmico, mientras que los materiales de a pequeo respondenms lentamente y tardan ms en alcanzar una nueva condicin de equilibrio.

9. E. D. DE TRANS. DE CALOR POR CONDUCCIN EN COORDENADAS ESFRICAS:

De la ecuacin (ix):

Dividiendo entre:

La ecuacin de calor en coordenadas esfricas quedara finalmente como sigue:

L.Q.Q.D.

III. CONCLUSIONES Y APRECIACIN CRTICA.-

El fenmeno es estudiado en un intervalo de tiempo y volumen muy pequeos.

Dentro del medio tambin puede haber un trmino de fuente de energa asociado a la velocidad de generacin de energa trmica.

Para lograr encontrar las ecuaciones diferenciales de forma analtica, se utiliz un conocimiento previo de balance de energa, hiptesis de trabajo y no se tomarn en cuenta las diferenciales de segundo orden, sobre el elemento seleccionado.

El elemento seleccionado tiene que ser un elemento diferencial arbitrario, muy pequeo, ya que la ecuacin que se obtendr a partir de ste, podr ser utilizaba y vlida para todo el elemento en conjunto. Esta ecuacin establece que en cualquier punto dentro del medio, la rapidez de transferencia de energa neta por conduccin en un volumen unitario mas la rapidez de generacin volumtrica de energa trmica debe ser igual a la rapidez de cambio de la energa trmica almacenada dentro del volumen.

La ecuacin de calor obtenida es muy importante ya que describe esencialmente la distribucin de calor o variaciones de temperatura (CAMPOS DE TEMPERATURA), en un volumen o superficie de controlen el transcurso del tiempo.

Una vez que se conoce esta distribucin, el flujo de calor por conduccin en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la ley de Fourier.

Las soluciones que podemos obtener mediante esta ecuacin aplicada a fenmenos reales, son estimaciones considerables para la ingeniera y sus aplicaciones.

IV. MAPA MENTAL.-

V. BIBLIOGRAFA.-

INCROPERA, FRANK P. Fundamentos de transferencia de calor, 4ta. Ed. Editorial Prentice Hall, Mxico, 1999.

INCROPERA, FRANK P. Fundamentos de transferencia de calor, 7ta. Ed. Editorial Prentice Hall, Mxico, 2007.

YUNUS A. CENGEL. Transferencia de calor y masa, 3 ed. Editorial McGraw-Hill, Mxico, 2007.

Proyecto de Investigacin titulado TEXTO UNIVERSITARIO: TRANSFERENCIA DE CALOR Ing. Alberto Emilio Panana Girio -209

PETER, V. ONEIL. Matemticas avanzadas para ingeniera - 6taEd. Editorial CengageLearning , Mxico, 2009

LINCOGRAFA:

http://www.netzsch-thermal-analysis.com/sp/landing-pages/determinacion-de-la-difusividad-termica-y-de-la-conductividad-termica/definicion-de-difusividad-termica.html

http://aliso.pntic.mec.es/agalle17/fonetica/alfabeto.html

http://www.slideshare.net/jalexanderc/ecuacin-diferencial-de-transferencia-de-calor-y-sus-aplicaciones-en-ingeniera

http://www.monografias.com/trabajos15/transf-calor/transf-calor.shtml

http://books.google.com.pe/books?id=nQR69waNWvMC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=demostracion+ecuacion+diferencial+de+calor&source=bl&ots=g50AAzWa90&sig=dsKD8jqO6bV7GKdHlTxvfn2AT_w&hl=es&sa=X&ei=gl5XU58tq8yxBMSogqAM&ved=0CFMQ6AEwBQ#v=onepage&q=demostracion%20ecuacion%20diferencial%20de%20calor&f=false

VI. ANEXOS.-

CASOS:

Para Rgimen Estable:

(Ecuacin Diferencial Tridimensional Del Calor)

(Ecuacin Diferencial En El Espacio de Laplace)

(Ecuacin Diferencial En El Plano de Laplace)

Para Rgimen Transitorio:

(Ecuacin Diferencial Unidimensional Del Calor)

PANCASAPANCASAPANCASAPANCASAPANCASAHUATAY RODRIGUEZ, H. SAMUEL22