transferencia de calor
DESCRIPTION
un pdf que trata el tema de transferencia de calor tema importante para un ingeniero metalmecanicoTRANSCRIPT
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
11
CAPTULO 2
TRANSFERENCIA DE CALOR
2.1. Introduccin
Es aquella ciencia que busca predecir la transferencia de energa que
puede ocurrir entre cuerpos materiales, como resultado de una diferencia de
temperatura. La termodinmica ensea que esta transferencia de energa se
define como: calor. La ciencia de la transferencia de calor, no slo trata de
explicar cmo puede ser transferida la energa calorfica, sino tambin trata de
predecir la rapidez a la que se realizar ste intercambio, bajo ciertas condiciones especficas.
2.2. Definiciones preliminares
Se considera que la transferencia de calor se lleva a cabo, en general, por
tres procesos:
Conduccin: Es la transferencia de calor de una parte de un cuerpo a otra
o a otro cuerpo por la interaccin en un intervalo pequeo, de molculas o
electrones.
Conveccin: Es la transferencia de calor por la combinacin de
mecanismos de mezcla de fluidos y conduccin.
Radiacin: Es la emisin de energa en forma de ondas
electromagnticas. Todos los cuerpos irradian a temperaturas superiores al
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
12
cero absoluto.la radiacin en un cuerpo puede ser absorbida, reflejada y transmitida.
2.3. Mecanismos y leyes fundamentales de la transferencia de calor.
2.3.1. Conduccin
La figura 2.1 muestra una pared plana de rea A y espesor L, cuya cara en
= 0 se mantiene a temperatura , mientras que el lado en = se mantiene a .
El flujo de calor a travs de la pared efecta en la direccin de la disminucin de la temperatura: si > , va en la direccin de positiva. La ley que rige este
flujo de calor es la ley de Fourier de conduccin de calor, la cual establece que, en una sustancia homognea, el flujo de calor local es proporcional a menos el gradiente de temperatura local:
=
(2.1)
Donde = es el flujo de calor por unidad de rea perpendicular a la direccin del flujo , es la temperatura local y es la coordenada en la direccin del flujo . Cuando es negativo, el signo menos de la ecuacin 2.1 da un valor positivo de en la direccin de las positivas. Introduciendo una
constante de proporcionalidad !,
Figura 2.1.Conduccin unidimensional estacionaria a travs de una pared plana.
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
13
= ! (2.2)
Donde ! es la conductividad trmica de la sustancia, cuyas unidades ! se
deducen de la ecuacin.
Puesto que hay flujo de calor hacia # a travs de la cada en , y hacia el exterior de # a travs de la cada en + ,
%| = %| + Es decir = '()*+(*,
Sin embargo, de la Ley de Fourier (2.2)
= = ! = ! -./01 2 (2.3)
2.3.2. Conveccin
Sabemos muy bien que en una placa de metal caliente se enfra con
mayor rapidez cuando se le coloca frente a un ventilador, que cuando se le
expone a un aire en reposo. Decimos que el calor se disipo por conveccin y
llamamos al proceso transferencia de calor por conveccin.
Considrese la placa caliente que se muestra en la figura 2.2 la
temperatura de la placa es 3, y la temperatura de fluido es 4. La velocidad de
flujo aparecer como se muestra, siendo reducida a cero en la placa como resultado de la accin de viscosidad. Ya que la velocidad de la capa de fluido
sobre la pared ser cero, el calor deber transferirse en aquel punto slo por
Figura 2.2 Transferencia de calor por conveccin en una placa.
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
14
conduccin. De este modo podremos calcular la transferencia de calor, utilizando
la ecuacin = ! con la conductividad trmica y el gradiente de temperatura
del fluido sobre la pared.
Por qu, entonces, si en esta capa el calor fluye por conduccin,
hablamos de transferencia de calor por conveccin y necesitamos considerar la
velocidad de fluido? La respuesta es que el gradiente de temperatura depende de
la rapidez a la que el fluido conduce el calor; una velocidad alta produce un
gradiente de temperatura ms grande, y as sucesivamente. Por tanto, el
gradiente de temperatura sobre la pared depende del campo de flujo, y en nuestro ltimo anlisis debemos desarrollar una expresin que relacione las dos
cantidades. Sin embargo, debe recordarse que el mecanismo fsico de
transferencia de calor sobre la pared es un proceso de conduccin.
Para expresar el efecto total de la conveccin, utilizamos la ley de
enfriamiento de Newton:
= 63 47 (2.4) Aqu la rapidez de transferencia de calor est relacionada con la
diferencia de temperatura total entre la pared y el fluido, y el rea de la superficie
. A la cantidad se le llama el coeficiente de transferencia de calor por
conveccin, y la ecuacin 2.4 es la ecuacin que lo define.
-
2.3.3. Radiacin
En contraste con los mecanismos de conduccin y conveccin, en donde
est involucrada la transferencia de energa a travs de un medio material, el
calor tambin se puede transferir a regiones donde existe el vaco
este caso, el mecanismo es la radiacin electromagntica.
Espectro electromagntico: Toda materia emite constante radiacin
electromagntica que viaja por el vaco a la velocidad de la luz, radiacin puede presentar propie
de onda 8 de la radiacin se le relaciona con la frecuencia
propagacin ' a travs de la expresin:
La longitud de onda
metros; o angstroms 91
nmero de onda ; se relaciona con la longitud de onda y la frecuencia a travs de
la expresin
Las unidades de
En la siguiente figura (2.3
TRANSFERENCIA DE CALOR
En contraste con los mecanismos de conduccin y conveccin, en donde
est involucrada la transferencia de energa a travs de un medio material, el
calor tambin se puede transferir a regiones donde existe el vaco
este caso, el mecanismo es la radiacin electromagntica.
Espectro electromagntico: Toda materia emite constante radiacin
electromagntica que viaja por el vaco a la velocidad de la luz, radiacin puede presentar propiedades ondulatorias o corpusculares. La longitud
de la radiacin se le relaciona con la frecuencia ;<
a travs de la expresin:
' = ;. La unidad para ;< es el hertz
se relaciona con la longitud de onda y la frecuencia a travs de
; @
ABC (2.6)
Las unidades de ; son usualmente '/. Por lo tanto, ;
2.3) se muestra el espectro electromagntico:
Figura 2.3 Espectro electromagntico
15
En contraste con los mecanismos de conduccin y conveccin, en donde
est involucrada la transferencia de energa a travs de un medio material, el
calor tambin se puede transferir a regiones donde existe el vaco perfecto. En
Espectro electromagntico: Toda materia emite constante radiacin
electromagntica que viaja por el vaco a la velocidad de la luz, '= 3E10F ) . La dades ondulatorias o corpusculares. La longitud
y la velocidad de
micrones 61G 10/H7;
es el hertz 61IJ 1)/7. El
se relaciona con la longitud de onda y la frecuencia a travs de
'/ 10K
8L G.
se muestra el espectro electromagntico:
Figura 2.3 Espectro electromagntico
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
16
Los efectos trmicos se asocian con la radiacin de longitudes de onda en
la banda de longitudes de onda de alrededor de 0.1+100G, mientras que la radiacin visible se encuentra en una banda muy angosta que va de alrededor de
0.4+0.7G. La radiacin electromagntica que es propagada como resultado de una
diferencia de temperaturas; a esto se le llama radiacin trmica.
Consideraciones termodinmicas muestran que un radiador ideal, o cuerpo
negro, emitir energa a una rapidez proporcional a la cuarta potencia de la
temperatura absoluta del cuerpo. Cuando dos cuerpos intercambian calor por
radiacin, el intercambio de calor neto es entonces proporcional a las diferencias
en K. As; = O6K K7 (2.5)
Donde O es la constante de proporcionalidad y se le llama constante de Stefan-Boltzmann con el valor de 5.66910/F !K. A la ecuacin 1.5 se le llama la ley de radiacin trmica de Stefan-Boltzmann, y se aplican solo a los cuerpos
negros.
2.4. Conduccin unidimensional en estado estable pared plana.
Consideremos primero la pared plana en donde se puede llevar a cabo una
aplicacin directa de la Ley de Fourier - = ! 2. Integrando se obtiene = S 6 7 (2.6)
Cuando la conductividad trmica se considera constante. El espesor de la
pared , y son las temperaturas de la cara de la pared. Si la conductividad
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
17
trmica vara con la temperatura de acuerdo con alguna relacin lineal ! =!=61 + U7, la ecuacin resultante para el flujo de calor es
= SV W6 7 + X 6 7Y (2.7)
Si se encuentra presente ms de un material, como ocurre en la figura
2.4.1., el anlisis proceder de la siguiente manera: se muestra los gradientes de
temperatura en los tres materiales, y el flujo de calor puede escribirse como:
= ! 0/.Z[ = !\ ]/0Z^ = !_ ` /]Za (2.8) Obsrvese que el flujo de calor debe ser el mismo a travs de todas las
secciones. Resolviendo simultneamente las tres ecuaciones, el flujo de calor se escribe
= ./`Z[ S[ bZ^ S^ bZa Sa (2.9) La rapidez de transferencia de calor puede considerarse como un flujo y a
la combinacin de conductividad trmica, espesor de material y rea, como una
resistencia a este flujo. La temperatura es la funcin de potencial o motriz para el flujo de calor, y la ecuacin de Fourier puede escribirse como
cdef ,'+dg = hi,g,('h+ ,j*,('h+d*gh'g,)h)*,('h+*gh'+ En la figura siguiente se muestra el circuito elctrico equivalente a lo
anterior.
Figura 2.4.1Transferencia de calor unidimensional a travs de una pared compuesta
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
18
La analoga elctrica puede usarse para resolver problemas ms complejos que involucran las resistencias trmicas en series y en paralelos. La figura 2.4.3
muestra un problema tpico y su circuito elctrico anlogo. La ecuacin de flujo de calor unidimensional para este tipo de problemas puede escribirse como
= Zlml[npq (2.10)
2.3.3.
En donde las rs son las resistencias trmicas de los diferentes materiales.
Es deseable mencionar que en algunos sistemas como los de la figura 1
puede ocurrir un flujo de calor bidimensional si la conductividad trmica de los
Figura 2.4.2 Anlogo elctrico
2.4.3 Transferencia de calor unidimensional en serie o en paralelo a travs de una pared compuesta y anlogo elctrico
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
19
materiales t, v difieren de manera apreciable. En este caso, para efectuar la resolucin se deber emplear otras tcnicas.
2.5. Conduccin unidimensional en estado estable pared cilndrica
Considrese un cilindro largo con un radio interno gw, un radio externo gx y una longitud , tal como el que se muestra en la figura. Exponemos este cilindro a una diferencia de temperaturas w x y preguntamos cul ser el flujo de calor. Se puede suponer que el calor fluye en una direccin radial, de manera que g es la nica coordenada espacial necesaria para especificar el sistema. Una vez ms se
utiliza la Ley de Fourier introduciendo la relacin de rea adecuada. El rea para
el flujo de calor en el sistema cilndrico es y = 2{g As la Ley de Fourier se escribe y = !y y
O y = 2{!g y
Figura 2.5.1 Flujo de calor unidimensional a travs de un cilindro hueco
Figura 2.5.2 Anlogo elctrico de un cilindro hueco
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
20
Con condiciones de frontera
= w ,(g = gw = x,(g = gx
La solucin de la ecuacin y = 2{!g y es = |S16}/~76y~ y} 7 (2.11)
Y en este caso la resistencia trmica es rs = 6y~ y} 7|S1 El concepto de resistencia trmica puede usarse para paredes cilndricas
multicapas tal como se us para paredes planas. Para el sistema de tres capas
que se muestra en la siguiente figura 2.5.3 a) la solucin es:
= |6./` 76y0 y. 7 S[ b6y] y0 7 S^ b6y` y] 7 Sa (2.12)
En la figura 2.5.3 b) se muestra el circuito trmico. Los sistemas esfricos tambin pueden tratarse como unidimensionales, cuando
la temperatura es nicamente una funcin del radio. Entonces el flujo de calor es
= K|S6}/~7 y} / y~ (2.13)
Figura 2.5.3 Flujo de calor unidimensional a travs de secciones cilndricas mltiples y su anlogo elctrico.
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
21
2.5.1. Radio crtico de aislamiento
Supongamos que se tiene una tubera de vapor que se deseamos aislar
para evitar la prdida de energa y proteger a la gente de las quemaduras. Si el
vapor no est sobrecalentado, se condensara algo de vapor en el interior de la
tubera. Toda la superficie interior de la tubera estar a una temperatura
constante,sws aproximadamente igual a la temperatura de saturacin s , que corresponde a la presin del vapor, ya que la resistencia convectiva bajo dichas condiciones es demasiado pequea y por tanto despreciable. Tenemos
sws s La temperatura de la interface tubera-aislante es aproximadamente igual a
la temperatura de saturacin del vapor ya que la resistencia trmica a travs de la
pared de la tubera tiende a ser pequea y a desaparecer. Esto es, ya que
rsyw = 0.|S1 (2.14)
Donde
g = Radio interior de la tubera en ,(; jh, g = Radio exterior de la tubera en ; jh,
2.5.1.1. Tubo de vapor para ilustrar el radio critico de aislamiento
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
22
!j = Conductividad trmica del material que constituye la tubera en
W Y ; W \ywY = Longitud de la tubera en ; jh, Es posible concluir que rsywes demasiado pequeo y por tanto
despreciable cuando !j es grande y ln6g g 7 es pequeo. En consecuencia, la cada de temperatura a travs de la pared de la tubera ser muy pequea. De
hecho, se considera despreciable a dicha cada y se tomara la temperatura en la
superficie interior del aislante como s. La siguiente figura (2.5.1.2) muestra un anlogo elctrico que se construye
para este problema simplificado
Se conserva que a travs de todos y cada uno de los resistores de la figura
fluye la misma cantidad de calor, de tal modo que se pueda determinar o
dividiendo la diferencia de la temperatura a travs de cualquiera de los resistores,
o cualquier conjunto de ellos entre las resistencias apropiadas, es decir,
= q/pq}bp}qbp~ (2.15) O bien
= B}}/p~ (2.16)
2.5.1.2. Anlogo elctrico para flujo de calor a travs de un tubo de vapor aislado
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
23
O bien
= q/B}}p}q (2.17) Considere que sy 46*,j,g+*eg+,(,d'e+g*7permanecen constantes.
Sean gy g. Los radios interior y exterior del aislante. Entonces, al agregarse aislante, gaumenta y rws aumentara tambin, ya que rws = 6y0 y. 7|S1 .
Sin embargo, ya que rCxA o igual a 61 2{g 7, la resistencia convectiva decrecer al crecer g. Es posible que rCxA pueda decrecer ms rpido de lo que
rwcrece, provocando un incremento en , como indica la ecuacin = q/pq}bp}qbp~ (2.18)
Tambin sabemos que si se agregara una cantidad infinita de aislante, tendera a cero, lo cual lleva a la conclusin de que puede haber un valor de
gpara el cual es mximo. Este valor o g se conoce como gCy, el radio critico del aislamiento.
Procedemos de la siguiente manera para determinar el radio crtico de
aislamiento. El calor total que se pierde de la temperatura aislada se calcula
segn = ~q~qp} en cuya expresin xysxs = s 4
rw = rsyw + rws + rCxA
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
24
Donde rsyw 0. Recurriendo a la tabla 2.5.1.3 tenemos
rws = |S1 ln y0y. (2.19) Y
rCxA = = |y01 (2.20) As que
= q/.0n 0.b
.00n
(2.21)
Para determinar el valor de gpara el cual es mximo, encontramos el valor de g para el cual 6 g 7 = 0. Entonces, substituyendo este valor de g en 6 g 7, estamos capacitados para verificar si hemos encontrado las condiciones para un mximo.
y0 =
=/6q/7 .0n0/.
0n00W .0n 0.b
.0n0Y
0 = 0 (2.22)
Si la solucin es diferente de la trivial, el denominador no se puede hacer
infinitamente grande ni puede ser 6s 47 igual a cero. Por lo tanto
Tabla 2.5.1.3 Resistencia trmica
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
25
|S1y0 |1y00 = 0 (2.23)
Y
g = S = gCy (2.24) Donde gCy =el radio critico de aislamiento. Se obtiene el mismo resultado si se minimiza rw variando g. La sustitucin
de g = 6! 7 en 6 g 7 da por resultado una cantidad negativa, verificando as que gCy = S es el valor de gpara el cual la perdida de calor es mxima.
Esto demuestra que si ges menor que gCy y se agrega aislante a la tubera, las prdidas de calor crecen y llegan a un mximo en gCy y luego decrecen. Sin embargo, si ges mayor que gCy y se agrega aislante, la prdida de calor decrece continuamente.
2.6. Conduccin radial de calor a travs de una esfera hueca
Haciendo un balance de energa en un elemento diferencial de
volumen, con el fin de determinar la ecuacin diferencial apropiada.
Observando que la conduccin trmica es constante, que existen
Figura 2.6.1 Conduccin de calor a travs de una esfera hueca
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
26
condiciones de estado estable estacionario y que no hay fuentes de calor,
escribimos el balance de energa:
g = g + g En cuya expresin
g = Calor que se conduce hacia adentro de una cascara esfrica en g = g g + g = Calor que se conduce a fuera de una cascara esfrica en g = g + g = g + y 6g7 g
Entonces es posible escribir la derivada ordinaria6 g 76g7 ya que la temperatura es funcin nicamente de g (o sea que tiene una sola variable independiente, g).
La cantidad, gest dada por g = !y y Donde y = 4{g
Obsrvese que el rea y que aparece en la ecuacin anterior no es una constante, si no una funcin de g. Sustituyendo g en la ecuacin g = g + g, obtenemos
!y y = !y y + y -!y y2 g (2.25) Ahora, ! es una constante diferente de cero y g no puede tener el
valor cero. Adems, la superficie del rea esfrica,y, est dada por 4{g, y el balance de energa se puede escribir en la forma
y -g y2 = 0 (2.26)
La ecuacin anterior es la ecuacin diferencial apropiada para la
distribucin de temperatura en una esfera hueca.
Las dos condiciones en la frontera asociadas a este problema son las
siguientes:
1. Condicin en la frontera: en g = gw = w
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
27
2. Condicin en la frontera: en g = g= = =
Integrando una vez, se obtiene
g y = (2.27) Y separando las variaciones, tenemos
= yy0 (2.28) Una segunda integracin nos lleva a
= y + (2.29) Aplicando la primera condicin de la frontera, tenemos
w = y} + (2.30) Aplicando la segunda condicin de la frontera, se tiene
= = yV + (2.31) Resolviendo las dos ecuaciones para y , y substituyendo las
expresiones que resultan, en la ecuacin g y = 6g7 = yVy - y/y}yV/y}2 6= w7 + w (2.32) Puesto que sabemos que = !y6 g 7, podemos probar entonces
que
= K|yVy}S6}/V7yV/y} (2.33) Una forma sencilla de resolver el problema anterior sera la de
comenzar utilizando la ecuacin de Fourier en la forma siguiente
= !y g Sustituyendo y, se obtiene
= 4{!g g Puesto que es constante (estado estacionario), se puede integrar
de inmediato para obtener
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
28
ggyVy}
= 4{! V}
Y as
1g= 1gw = 4{!6= w7
O bien
gw g=g=gw = 4{!6= w7
Y
= K|yVy}6V/}7yV/y} (2.34) La ecuacin anterior es la misma que la ecuacin 1, que nos da la
razn del flujo de calor que pasa a travs de la esfera hueca.
2.6.1 Radio crtico
Cuando se tiene una superficie plana, se sabe que si se recubre con
un material aislante, disminuye su transferencia de calor. Porque entre ms
grueso es el aislante ms baja es la velocidad de transferencia de calor, ya que el rea de la pared es constante y al aislarla aumenta la resistencia
trmica sin aumentar la resistencia de la conveccin.
Pero, con cilindros y esferas pasa algo diferente al aislarlo. El aislar
un tubo tambin provoca el crecimiento de la superficie exterior del
aislante, y esto quiere decir que hay mayor transferencia, segn la ley de
enfriamiento de Newton.
=
-
Al considerar
que T1 se mantiene constante. Se asla con un material con conductividad
trmica k y radio r
tienen una Tinf, con un coeficiente de transferencia
conveccin.
La velocidad del tubo aislado hacia el aire de los alrededores es:
En la grafica de variacin de Q contra r
El valor de r
g = 0 , es decir, la pendiente es cero. Si se deriva y despeja robtiene el radio crtico de un cilindro;
Figura 2.6.1.1 Radio critico en una esfera
TRANSFERENCIA DE CALOR
Al considerar un tubo cilndrico como el de la figura, de radio r
se mantiene constante. Se asla con un material con conductividad
trmica k y radio r2.se pierde calor del tubo hacia los alrededores que
, con un coeficiente de transferencia
La velocidad del tubo aislado hacia el aire de los alrededores es:
4
rw $ rCxA
4ln 6g g72{! $
1562{g7
En la grafica de variacin de Q contra r2
El valor de r2 en que Q alcanza su valor mximo se calcula con
, es decir, la pendiente es cero. Si se deriva y despeja robtiene el radio crtico de un cilindro; gCy,Cwwyx !/5
Figura 2.6.1.1 Radio critico en una esfera
29
un tubo cilndrico como el de la figura, de radio r1 en el
se mantiene constante. Se asla con un material con conductividad
.se pierde calor del tubo hacia los alrededores que
de calor h por
La velocidad del tubo aislado hacia el aire de los alrededores es:
en que Q alcanza su valor mximo se calcula con
, es decir, la pendiente es cero. Si se deriva y despeja r2 se
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
30
Para r2 menor que el radio critico de aislamiento el aumento del
espesor mejorara la transferencia de calor del cilindro. Para r2 igual a rcr se alcanza la mxima transferencia, y disminuye con r2 es mayor que rcr.
El radio crtico para un casco esfrico es:
gCy,
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
31
Para encontrar la distribucin de temperatura en la placa, debemos
conocer la ecuacin diferencial apropiada. Esto se consigue haciendo un balance
de energa en una placa de espesor , y rea transversal,, como se muestra en la figura. La ecuacin de balance de energa que nos resulta es
+ = + En cuya expresin es el calor conducido hacia adentro del elemento de
volumen en = y + es el calor conducido hacia afuera del elemento de volumen en = + y es el calor generado por unidad de tiempo en la placa de espesor , rea transversal, , y representa un incremento de energa en el elemento de volumen. La cantidad es diferente del calor que se conduce hacia adentro o hacia afuera del elemento de volumen. Esta representa la energa
calorfica generada a travs del elemento de volumen y depende solamente de y el volumen del elemento. As que
= En consecuencia, tenemos
! + = ! !
Que nos da
+
! = 0
Puesto que se trata de una ecuacin de segundo orden, se requieren dos
condiciones de frontera para tener una solucin. Debido a que es uniforme a travs del material de la pared, y ya que = 3 en = + y en = , esperamos que la distribucin de temperatura sea simtrica con respecto al plano central de
la pared. Debe notarse que ste es el coeficiente convectivo de transferencia de
calor que se especifica para ambas superficies. Sin embargo, una vez que se
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
32
conoce, el valor 3 se hace fijo y es el 3 resultante que se usa como condicin en la frontera para este problema.
De la fsica del problema, si prevalecen condiciones de estado estacionario,
todo el calor que se genera dentro de la pared debe transferirse por conveccin al
fluido que lo rodea. Obsrvese que la temperatura en cada cara es 3. Ahora, al acercarnos al plano medio de la pared, yendo desde una de las caras, la
temperatura debe aumentar continuamente, de tal modo que se puede conducir el
calor generado hacia las superficies y as se puede transferir hacia el exterior.
Como consecuencia, la mxima temperatura debe ocurrir en la lnea media de la
pared, con la mitad del calor total generado en la pared fluyendo hacia cada cara.
Matemticamente significa que
,( = 0, = 0 (2.7.1) Y que
%+! /1 = 6 27 (2.7.2)
%+! /1 = 6 27 (2.7.3)
Adems, como se vio antes
En = , = 3 (2.7.4) En = , = 3 (2.6.5)
En las ecuaciones anteriores expresan el hecho de que la distribucin de
temperatura es simtrica con respecto al eje 6 = 07. Para encontrar los valores de las constantes incgnitas en la solucin de nuestra ecuacin diferencial de
segundo orden, necesitaremos dos condiciones en la frontera. Una de estas
condiciones en la frontera debe expresar el valor de la temperatura en la frontera;
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
33
esto es, se debe usar la ecuacin 2.7.4 o 2.7.5. La otra condicin en la frontera
debe ser, para este problema, la ecuacin 2.7.1,2.7.2 o 2.7.3.
De las condiciones dadas, usaremos las ecuaciones 2.7.1 y 2.7.4 como
nuestra condicin en la frontera. Esto significa que
Primera condicin en la frontera: en = 0, s = 0 Segunda condicin en la frontera: en = , = 3 Refirindonos de nuevo a la ecuacin 00 + S = 0, podemos separar variables
e integrar una vez para obtener
=
! +
Separando variables de nuevo e integran do se tiene
= 2! + + Aplicando la primera condicin en la frontera resulta
0 = 607! + O bien
= 0 As que
= 2! + Ahora, aplicando la segunda condicin en la frontera tenemos
3 =
2! + O bien
= 3 +
2! Esto da por resultado la siguiente distribucin de temperatura:
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
34
3 = 2! 6 7 Ahora, se puede determinar la temperatura a lo largo de la lnea central, C,
haciendo = 0 en la ecuacin 3 = S 6 7. Esto da por resultado:
C = 3 +
2! Se puede probar que C es la temperatura mxima en la pared.
2.7.2 Cilindro slido y largo
En esta seccin se tratara la generacin de calor uniforme en un cilindro
slido y largo, que tiene una prdida de calor despreciable en los extremos, como
se muestra en la figura 2.7.2.1. Se supone que la conductividad trmica del
material es constante. La superficie exterior del cilindro se mantiene en una
temperatura conocida 3.
Igual que el caso de la pared plana, es necesario, tambin, determinar la
ecuacin diferencial que describa la distribucin de temperatura. Esto se consigue
haciendo un balance de energa en cada cascara cilndrica de espesor g. La ecuacin diferencial que resulta es:
Figura 2.7.2.1 Generacin de calor uniforme en un cilindro slido y largo
-
TRANSFERENCIA DE CALOR
35
1g g g
g +
! = 0
Se observa que, mientras que el rea de la cscara esfrica fue 4{gel rea de la cscara cilndrica es de 2{g.
Las dos condiciones en la frontera que se usan al resolver la ecuacin
yy -g y2 + S = 0 para 6g7 son:
En g = g=, = 363 ,)'('h 7 En g = 0, y = 06jg)h,*g+7 Se debe observar que en g = 0, la temperatura es finita. Esto es importante
al evaluar las constantes de integracin.
La solucin de la ecuacin yy -g y2 + S = 0, est sujeta a citadas condiciones
en la frontera, es:
3 = 4! 6g= g7 Y
C = 3 + g=
4! En cuya expresin C es la temperatura mxima en el cilindro, y ocurre en el centro del mismo.